Übung 09: Dipolstrahlung - ETHZ / Photonics

Elektromagnetische Felder & Wellen
Frühjahrssemester 2017
Photonics Laboratory, ETH Zürich
www.photonics.ethz.ch
Übung 9
Abgabe: 09.05. bzw. 12.05.2017
Dipolstrahlung
In der Vorlesung haben Sie den oszillierenden Dipol als einfachste Strahlungsquelle kennengelernt.
Es gibt zahlreiche Möglichkeiten kompliziertere Strahlungsquellen zu erzeugen, um gewünschte
Eigenschaften bezüglich Strahlungsleistung und Richtcharakteristik zu erreichen. Zwei besonders
einfache Möglichkeiten betrachten wir in dieser Übung. Die erste Möglichkeit besteht im Einsatz
passiver Elemente, die die von der primären Quelle generierte Strahlung streuen und ein gewünschtes Interferenzmuster erzeugen. Die zweite Möglichkeit ist der Einsatz von Phased Arrays, in denen
die relativen Phasen mehrerer getriebener primärer Quellen kontrolliert wird, um eine gewünschte
Richtcharakteristik zu erzielen.
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Ein einfacher Streuer als Antenne (50 Pkt.)
In dieser Aufgabe betrachten wir den Einfluss eines passiven Streuers auf die Eigenschaften eines
strahlenden Dipols. Wir betrachten zunächst einen bei der Kreisfrequenz ω oszillierenden Dipol
p = pnx , gelegen am Ursprung in einem homogenen Medium mit Materialparametern ε, µ.
(a) (5 Pkt.) Formulieren Sie unter Verwendung der Green’schen Funktion das komplexe elektrische Feld E(r) des Dipols in kartesischen Koordinaten unter Verwendung kartesischer
Einheitsvektoren.
(b) (6 Pkt.) Formulieren Sie das Feld (Er , Eθ , Eφ )T des Dipols aus der vorhergehenden Teilaufgabe in sphärischen Koordinaten unter Verwendung sphärischer Einheitsvektoren.
Hinweis: Es gilt für die Einheitsvektoren
nx = sin θ cos φ nr + cos θ cos φ nθ − sin φ nφ ,
ny = sin θ sin φ nr + cos θ sin φ nθ + cos φ nφ ,
(1)
nz = cos θ nr − sin θ nθ .
(c) (8 Pkt.) Zeigen Sie, dass das Magnetfeld H(r) des Dipols lautet
(2)
Hr = 0,
ω eikR
(i + kR) sin φ,
(3)
4π R2
ω eikR
Hφ = p
(i + kR) cos φ cos θ.
(4)
4π R2
Verwenden Sie hierzu eine geeignete Maxwell’sche Gleichung zusammen mit dem Rotationsoperator in sphärischen Koordinaten.
Hθ = p
1
(d) (4 Pkt.) Berechnen Sie unter Verwendung des elektrischen und des magnetischen Feldes den
(zeitgemittelten) Poyntingvektor.
(e) (4 Pkt.) Berechnen Sie die vom Dipol abgestrahlte Leistung durch Integration des Poyntingvektors über eine Kugeloberfläche. Überzeugen Sie sich, dass die Kugelgrösse für die erhaltene
Leistung unerheblich ist und vergleichen Sie Ihr Resultat mit jenem aus der Vorlesung.
(f) (3 Pkt.) Wir bringen nun eine polarisierbare Kugel mit Polarisierbarkeit α in die Nähe des
strahlenden primären Dipols an den Ort (0, 0, d). Bestimmen Sie das komplexe elektrische
Feld am Ort der Kugel. Verwenden Sie kartesische Einheitsvektoren.
(g) (4 Pkt.) In der Kugel wird ein Dipolmoment pα = αE induziert, in Abhängigkeit von der
Polarisierbarkeit und vom auf die Kugel wirkenden Feld. Der induzierte Dipol strahlt wiederum
ein Feld ab. Bestimmen Sie das vom polarisierten Partikel generierte Feld Eα am Ort des
primären Dipols.
(h) (6 Pkt.) Bestimmen Sie die (zeitgemittelte) Leistung, die vom primären Dipol am Ursprung gegen das von der Kugel generierte sekundäre Feld dissipiert wird. Nehmen Sie der Einfachheit
halber ab sofort an, dass die Polarisierbarkeit α, eigentlich eine komplexwertige Grösse, rein
reellwertig sei.
(i) (4 Pkt.) Ermitteln Sie die gesamte vom Dipol am Ursprung dissipierte Leistung und normieren
Sie diese mit der in Abwesenheit der polarisierbaren Kugel dissipierten Leistung P0 . Machen
Sie sich klar, dass die vom primären Dipol dissipierte Leistung durch den Abstand zum
streuenden Partikel eingestellt werden kann. Bringen Sie Ihr Ergebnis in die Form
P
= 1 + A [B sin(2kd) − C cos(2kd)] .
P0
(5)
Hierbei sind A, B, C dimensionslose Faktoren, wobei B(kd) und C(kd) von kd abhängen,
während A von kd unabhängig sei.
(j) (6 Pkt.) Erstellen Sie einen Graphen der normierten Leistung P/P0 aus der vorherigen
Teilaufgabe als Funktion des Abstandes zwischen primärer Quelle und Antennenpartikel.
Tragen Sie hierzu auf der Abszisse den passend normierten Abstand kd im Bereich 0 . . . 10
auf Wählen Sie A = 0.3. Diskutieren Sie in knappen Worten Ihren Graphen. Fällt Ihnen
ein logischer Widerspruch auf? Diskutieren Sie, inwieweit ein solcher Widerspruch mit einer
Annahme über die Polarisierbarkeit α zu tun haben kann, die wir in dieser Aufgabe gemacht
haben.
2
2
Das Phased Array und die Fraunhofer Näherung (50 Pkt.)
Oftmals greift man beim Design einer Antenne auf die überlegte Anordnung mehrerer Strahlungsquellen zurück. Hierbei begegnet man stets dem Problem, das Strahlungsfeld einer räumlich
verschobenen Quelle zu berechnen, deren Feld bekannt ist, wenn sich die Quelle am Ursprung befindet. Die Fraunhofer Näherung beschreibt die Felder einer Quelle, die um eine Distanz verschoben
ist, die viel kleiner ist, als der Abstand zum Beobachtungspunkt. Somit eignet sich die Fraunhofer
Näherung bestens, um die Fernfelder einer Anordnung mehrerer Quellen in grossem Abstand vom
Quellgebiet zu beschreiben. Die Fraunhofer Näherung geht davon aus, dass die Verschiebung
der Quelle keinen Einfluss auf die Feldamplitude am Beobachtungspunkt hat, wohl jedoch auf die
Phase, in der die Verschiebung bis zur linearen Ordnung berücksichtigt wird.
In dieser Aufgabe machen wir uns mit der Fraunhofer Näherung vertraut, indem wir die Strahlungsleistung eines Dipolpaares in einem Medium mit Materialparametern ε, µ berechnen, wie es
beispielsweise in Phased-Array Antennen verbaut wird. Es befinde sich ein zeitharmonischer Dipol
p1 = pnx am Ursprung, ein zweiter mit gleicher Dipolstärke, aber endlicher Phasenverschiebung
p2 = peiϕ nx am Ort (0, 0, d).
(a) (5 Pkt.) Es sei R0 = r − r0 der Vektor von der Quelle am Punkt r0 = (a, b, c)T zum Beobachtungspunkt r = (x, y, z)T . Formulieren Sie den Betrag R bis zur linearen Ordnung in
a/r, b/r, c/r.
(b) (5 Pkt.) Verwenden Sie die Fraunhofer Näherung, um das komplexe elektrische Fernfeld des
zweiten Dipols unter Verwendung des Feldes des ersten Dipols zu beschreiben. Vergewissern
Sie sich, dass sich die Fernfelder der beiden Dipole in der gemachten Näherung nur um einen
Phasenfaktor unterscheiden.
Hinweis: Die Fernfelder sind die mit dem Abstand zur Quelle am langsamsten abfallenden
Feldkomponenten.
(c) (5 Pkt.) Berechnen Sie den Poyntingvektor des durch das Dipolpaar generierten Fernfeldes.
Hinweis: Erleichtern Sie sich Ihre Arbeit, indem Sie von der Transversalität der Fernfelder
Gebrauch machen.
(d) (10 Pkt.) Erstellen Sie einen Graphen mit der Abstrahlcharakteristik in der Ebene φ = 0 des
Dipolpaares mit Abstand d = 2/k. Betrachten Sie die Fälle ϕ = 0, π/2, π. Machen Sie sich klar,
welche Variabilität in der Richtcharakteristik dieses zweikomponentige (und damit minimale)
Phased Array mit dem Parameter der relativen Phase zwischen den beiden Quellen aufweist.
Hinweis: Erstellen Sie (gern mithilfe eines geeigneten Computerprogramms) einen Radialgraphen, wie nachfolgend gezeigt, in dem der Betrag der radialen Poyntingvektorkomponente
durch den Abstand zum Ursprung dargestellt wird und der Winkel θ relativ zur Vertikalen in
der Blattebene gemessen wird.
3
0
θ
ϕ=0
ϕ=π/2
ϕ=π
S/Smax
1
0.6
270°
90°
180°
(e) (8 Pkt.) Ermitteln Sie die Strahlungsleistung des Dipolpaares durch Integration des Poyntingvektors. Normieren Sie die Leistung mit der Strahlungsleistung P0 eines einzelnen Dipols.
Hinweis: Das Integral
Z π
cos(2v) 4a2 − 1 sin(2a) + 2a cos(2a)
4
2
2
+
sin x cos x + 1 cos (a cos x + v) dx =
(6)
3
4a
3
0
sollte hilfreich sein.
(f) (5 Pkt.) Betrachten Sie die abgestrahlte Leistung im Grenzwert d → 0 in den Fällen ϕ = 0 und
ϕ = π. Ergibt Ihr Resultat Sinn?
Hinweis: Entwickeln Sie die trigonometrischen Funktionen.
(g) (2 Pkt.) Wir vergewissern uns nun noch, dass die abgestrahlte Leistung gerade der von den
Dipolen dissipierten Leistung entspricht. Der Einfachheit halber beschränken wir uns ab sofort
auf den Fall ϕ = 0. Bestimmen Sie zunächst das vom ersten Dipol am Ort seines Nachbarn
generierte komplexe elektrische Feld.
(h) (4 Pkt.) Berechnen Sie die Leistung, die der zweite Dipol gegen das Feld des ersten dissipiert.
(i) (6 Pkt.) Bestimmen Sie nun die vom Dipolpaar insgesamt dissipierte Leistung. Ziehen Sie
hierzu sowohl die Leistung gegen das jeweils eigene Feld, sowie die Leistung gegen die Felder
des Nachbarn in Betracht. Vergleichen Sie Ihr Ergebnis mit jenem aus Teilaufgabe (e).
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