pdf-Datei - eLKaTe

Fachhochschule
Münster University of
Applied Sciences
Grundgebiete der Elektrotechnik 2
Teil 3: Ergänzungen Wechselstrom
Teil 4: Nichtlineare Vorgänge
Peter Richert
(Stand: 1. Februar 2017)1
Fachhochschule Münster, Fachbereich Elektrotechnik und Informatik
eLKaTe — Labor Kommunikationstechnik
Stegerwaldstraße 39, 48 565 Steinfurt, Tel.: +49 2551 9-62125,
eMail: [email protected]
http: www.ktet.fh-muenster.de
1 Die
aktuelle pdf-Datei steht Studierenden des FB 2 zum Download zur Verfügung auf dem pset-Server unter http://pset.fh-muenster.de
-> Vorlesungsunterlagen -> Lehrende -> Richert_Peter.
Das Bild zeigt die 3D-Fouriertransformation des 2D-Logos der Fachhochschule Münster.
GdE2-2
[email protected]ünster.de
1. Februar 2017
Vorwort
Die Vorlesung „Grundgebiete der Elektrotechnik“ im Studiengang Elektrotechnik ist aus den Büchern
(Weißgerber, 2000), (Frohne u. a., 2005) und (Hagmann, 2001) entstanden. Weitere sehr gute Fachbücher sind
(Albach, 2008), (Schmidt u. a., 2006), (Clausert und Wiesemann, 1992), (Flegel und Birnstiel, 1982) sowie
(Böge, 2007). Informatiker können (Paul, 2004) nehmen.
Weißgerber (2000)
In 3 Bänden von Wilfried Weißgerber wird die Elektrotechnik für Ingenieure umfassend behandelt. Eine Formelsammlung (Weißgerber, 2007b), Übungs(Vömel und Zastrow, 2001) und Klausuraufgaben (Weißgerber, 2007a) runden dieses
Werk ab.
Frohne u. a. (2005)
Bei vorhandenen Grundkenntnissen bietet das von Franz Moeller begründete Werk
den Stoff der Vorlesung etwas theoretischer aufbereitet an.
Albach (2008)
Der weitergehende Teil der Elektrotechnik erfordert auch ein anspruchsvolles Lehrbuch. Gerade zur Laplace-Transformation ist es sehr gut geeignet.
Dies ist ein Vorlesungsskript und kein Fachbuch. Es erspart das Abschreiben der Tafel während der Vorlesung und hilft somit, sich auf den Stoff zu konzentrieren. Dazu kann und sollte jeder seine persönlichen
Ergänzungen zum Skript vornehmen — entsprechend seinem Wissensstand aus den Erläuterungen des Stoffes
während der Vorlesungen.
Ohne aktive Teilnahme an den Vorlesungen ist das zusätzliche Lesen eines Fachbuches ratsam, um das gewollt hohe Klausurniveau erreichen zu können. Kopie oder Vervielfältigung des Skriptes ist nur mit Erlaubnis
des Autors gestattet.
Steinfurt, den 1. Februar 2017
P. Richert
Inhaltsverzeichnis
III. Ergänzungen Wechselstrom
8. Schutzsysteme
8.1. Gefährdung . . . .
8.2. Schutzmaßnahmen
8.3. Schutzisolierung .
8.4. Schutztrennung . .
8.5. Schutzerdung . . .
8.6. Nullung . . . . . .
8.7. Schutzschaltung . .
8.8. Netzausführungen .
8.9. Zusammenfassung
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9. Ortskurven
9.1. Grundlagen . . . . . . . . . . . . .
9.2. Begriff der Ortskurve . . . . . . . .
9.3. Reihenschaltung . . . . . . . . . . .
9.4. Parallelschaltung . . . . . . . . . .
9.5. Inversion von Ortskurven . . . . . .
9.6. Amplituden- und Phasendiagramme
9.7. Zusammenfassung . . . . . . . . .
9.8. Übungsaufgaben . . . . . . . . . .
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10. Schwingkreise
10.1. Freie Schwingungen . . . . . .
10.2. Erzwungene Schwingungen . . .
10.3. Reihenschwingkreis . . . . . . .
10.4. Parallelschwingkreis . . . . . .
10.5. Kenngrößen von Schwingkreisen
10.6. Zusammenfassung . . . . . . .
10.7. Übungsaufgaben . . . . . . . .
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11. Mehrphasensysteme
11.1. Mehrphasengenerator . .
11.2. Dreiphasengenerator . .
11.3. Drehfeld . . . . . . . . .
11.4. Sternschaltung . . . . . .
11.5. Dreieckschaltung . . . .
11.6. Verbraucherschaltungen .
11.7. Leistungsberechnung . .
11.8. Leistungsmessung . . . .
11.9. Zusammenfassung . . .
11.10.Übungsaufgaben . . . .
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Inhaltsverzeichnis
IV. Nichtlineare Vorgänge
12. Nichtlineare Wechselstromschaltungen
12.1. Sinusförmige Zeitfunktionen . . . . . . . .
12.2. Approximation periodischer Zeitfunktionen
12.3. Fourierreihen . . . . . . . . . . . . . . . .
12.4. Fourieranalyse . . . . . . . . . . . . . . . .
12.5. Komplexe Fourierreihen . . . . . . . . . .
12.6. Spektrumanalysator . . . . . . . . . . . . .
12.7. Kenngrößen . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.7.1. Effektivwert . . . . . . . . . . . .
12.7.2. Leistung . . . . . . . . . . . . . .
12.8. Verzerrungen . . . . . . . . . . . . . . . .
12.8.1. Lineare Verzerrungen . . . . . . . .
12.8.2. Nichtlineare Verzerrungen . . . . .
12.9. Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . .
12.10.Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . .
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13. Schaltvorgänge
13.1. Ausgleichsvorgänge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.2. Trennen der Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.3. Exponentialansatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.3.1. Homogene DGL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.3.2. Inhomogene DGL . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.3.3. Ausgleichsvorgang . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.4. Übertragungsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.5. Wechselspannung an Spule . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.6. Wechselspannung an Reihenschwingkreis . . . . . . . . . . .
13.7. Gleichstrom an Reihenschwingkreis . . . . . . . . . . . . . .
13.8. Fourier-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.9. Laplace-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.9.1. Grundlagen der Laplace-Transformation . . . . . . . .
13.9.2. Laplace-Transformation der Ableitung einer Funktion
13.9.3. Laplace-Transformation des Integrals einer Funktion .
13.9.4. Laplace-Rücktransformation . . . . . . . . . . . . . .
13.9.5. Sätze der Laplace-Transformationen . . . . . . . . . .
13.9.6. Laplace-Transformation einer Spannung . . . . . . . .
13.9.7. Anwendung der Laplace-Transformation . . . . . . .
13.9.8. Laplace-Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.9.9. Laplace-Operatoren mit Anfangswerten . . . . . . . .
13.10.Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.11.Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.11.1.Übungsaufgaben Exponentialansatz . . . . . . . . . .
13.11.2.Übungsaufgaben Laplace-Transformation . . . . . . .
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Literatur
130
Index
132
Formeln
135
A. Ergebnisse der Übungsaufgaben
140
A.1. Übungsaufgaben zu Ortskurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
GdE2-ii
[email protected]ünster.de
1. Februar 2017
Inhaltsverzeichnis
A.2.
A.3.
A.4.
A.5.
Inhaltsverzeichnis
Übungsaufgaben zu Schwingkreise . . . . . . . .
Übungsaufgaben zu Mehrphasensysteme . . . . .
Übungsaufgaben zur Fourierreihe . . . . . . . .
Übungsaufgaben zum Schalten . . . . . . . . . .
A.5.1. Übungsaufgaben Exponentialansatz . . .
A.5.2. Übungsaufgaben Laplace-Transformation
1. Februar 2017
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156
159
163
167
167
171
GdE2-iii
Tabellenverzeichnis
13.1. Parameter der an Wechselspannung geschalteten RLC-Schaltung . . . . . . . . . . . . . . . . 108
13.2. Laplace-Operatoren der Bauelemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
13.3. Laplace-Operatoren mit Anfangswerten der Bauelemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
GdE2-iv
[email protected]ünster.de
1. Februar 2017
Abbildungsverzeichnis
8.0.1.
8.3.1.
8.6.1.
8.7.1.
Eine Schutzschaltung aus der Praxis . . .
Maßnahmen zur Schutzisolierung . . . . .
Maßnahmen zur Nullung, TN-C-S-System
Fehler-Schutzschalter, TN-C-S-System . .
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4
5
6
9.2.1.
9.3.1.
9.3.2.
9.3.3.
9.4.1.
9.4.2.
9.4.3.
9.5.1.
9.6.1.
9.6.2.
Entwicklung der Ortskurve für eine RL-Reihenschaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ortskurve der Spannung an einer RLC-Reihenschaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ortskurve des Stromes in einer RLC-Reihenschaltung als Funktion des Blindwiderstandes
Ortskurve des Stromes in einer RLC-Reihenschaltung als Funktion des Wirkwiderstandes .
Ortskurven einer GB-Parallelschaltung mit dem Blindleitwert als Parameter . . . . . . . .
Ortskurven einer Reihen-Parallel-Schaltung mit der Frequenz als Parameter . . . . . . . .
Ortskurve einer LC-Parallel-Schaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Konstruktion und Ermittlung der Parameterwerte eines Kreises als Ortskurve . . . . . . .
Schaltung und normierte Ortskurve des Tiefpasses 1. Ordnung . . . . . . . . . . . . . . .
Normierter Amplituden- und Phasengang des Tiefpasses 1. Ordnung . . . . . . . . . . . .
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10.1.1. Formen freier Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2.1. Gemessene Resonanzkurven der Spannungen und des Stroms . . . . . . . . . . . . . . .
10.2.2. Verschiebung der Resonanzmaxima bei einem Reihenschwingkreis . . . . . . . . . . . .
10.3.1. Reihen- oder Spannungsresonanz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.3.2. Frequenzabhängigkeiten des Betrags der Impedanzen bei einem Reihenschwingkreis . .
10.4.1. Parallel- oder Stromresonanz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.4.2. Frequenzabhängigkeiten des Betrags der Admittanzen bei einem Parallelschwingkreis . .
10.4.3. Frequenzabhängigkeiten des Betrags der Impedanzen bei einem Parallelschwingkreis . .
10.5.1. Normierte Frequenzabhängigkeiten der Blindwiderstände bei einem Reihenschwingkreis
10.5.2. Definition der Bandbreite bei einem Reihenschwingkreis . . . . . . . . . . . . . . . . .
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31
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35
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11.2.1. Querschnitt durch einen symmetrischen Dreiphasengenerator . .
11.2.2. Experiment zur Induktion einer Spannung . . . . . . . . . . . .
11.2.3. Spannungsdiagramm: (a) Zeitdarstellung, (b) Zeigerdiagramm .
11.3.1. Entstehung des Drehfeldes: Phasenfolge der Ströme . . . . . . .
11.3.2. Entstehung des Drehfeldes: Rotation des magnetischen Flusses .
11.4.1. Symmetrisches Vierleitersystem mit Spannungszeigerdiagramm
11.5.1. Dreieckschaltung mit Stromzeigerdiagramm . . . . . . . . . . .
11.6.1. Stern-Stern-Schaltung im Vierleitersystem . . . . . . . . . . . .
11.6.2. Stern-Stern-Schaltung im Dreileitersystem . . . . . . . . . . . .
11.6.3. Stern-Dreieck-Schaltung im Dreileitersystem . . . . . . . . . .
11.6.4. Dreieck-Dreieck-Schaltung im Dreileitersystem . . . . . . . . .
11.6.5. Dreieck-Stern-Schaltung im Dreileitersystem . . . . . . . . . .
11.6.6. Erzeugen eines Sternpunktes beim Transformator . . . . . . . .
11.7.1. Funktion eines Stern-Dreieck-Schalters . . . . . . . . . . . . .
11.8.1. Wirkleistungsmessung im Vierleiternetz . . . . . . . . . . . . .
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53
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12.1.1. Reihenschaltung sinusförmiger Quellen unterschiedlicher Frequenzen . . . . . . . . . . . .
59
1. Februar 2017
[email protected]ünster.de
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GdE2-v
Abbildungsverzeichnis
Abbildungsverzeichnis
12.1.2. Addition sinusförmiger Spannungen unterschiedlicher Frequenzen mit ω2 ω1
12.1.3. Addition sinusförmiger Spannungen unterschiedlicher Frequenzen mit ω2 ≈ ω1
12.2.1. Überlagerung sinusförmiger Ströme unterschiedlicher Frequenzen . . . . . . .
12.2.2. Näherungsfunktion für eine periodische Funktion . . . . . . . . . . . . . . . .
12.4.1. Sonderfälle der Fourieranalyse: Gerade und Ungerade Funktion . . . . . . . . .
12.4.2. Sonderfälle der Fourieranalyse: Wechsel- und alternierende Funktion . . . . . .
12.4.3. Fourieranalyse einer rechteckförmigen Stromfunktion . . . . . . . . . . . . . .
12.4.4. Näherungsfunktion einer rechteckförmigen Stromfunktion . . . . . . . . . . .
12.4.5. Fourieranalyse einer verschobenen rechteckförmigen Stromfunktion . . . . . .
12.5.1. Komplexe Fourieranalyse einer rechteckförmigen Stromfunktion . . . . . . . .
12.6.1. Amplitudenspektrum einer rechteckförmigen Stromfunktion . . . . . . . . . .
12.6.2. Blockschaltbild eines Spektrumanalysators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.8.1. Stromverzerrung an einem nichtlinearen Bauelement bei Sinusspannung . . . .
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13.1.1. Beispiel eines Schaltvorganges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.2.1. Schaltung zur Kondensatoraufladung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.2.2. Spannung und Strom bei der Kondensatoraufladung . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.2.3. Spannung und Strom bei der Kondensatorentladung . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.2.4. Schaltung zur Messung des Stromanstiegs in einer Spule . . . . . . . . . . . . . . .
13.3.1. Beispiel eines Schaltvorganges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.3.2. Stromverlauf in einer Spule beim Einschalten einer Gleichspannung . . . . . . . . .
13.3.3. Leistungsverlauf in einer Spule beim Einschalten einer Gleichspannung . . . . . . .
13.4.1. Geschaltete Gleichspannung an einem 4-Pol oder 2-Tor . . . . . . . . . . . . . . . .
13.4.2. Sprungantwort oder Übertragungsfunktion eines einfachen Netzwerkes . . . . . . . .
13.5.1. Geschaltete Wechselspannung an ein Netzwerk mit Spule . . . . . . . . . . . . . . .
13.5.2. Stromverlauf beim Einschalten einer Wechselspannung an eine Spule . . . . . . . .
13.5.3. Minimaler Stromverlauf beim Einschalten einer Wechselspannung an eine Spule . . .
13.5.4. Maximaler Stromverlauf beim Einschalten einer Wechselspannung an eine Spule . .
13.6.1. Geschaltete Wechselspannung an einen RLC-Schwingkreis und LTspice-Simulation .
13.6.2. Aperiodischer Stromverlauf beim Einschalten einer Wechselspannung . . . . . . . .
13.6.3. Aperiodischer Grenzfall des Stromverlaufs beim Einschalten einer Wechselspannung
13.6.4. Periodischer Stromverlauf beim Einschalten einer Wechselspannung . . . . . . . . .
13.7.1. Geschalteter Gleichstrom an einen RLC-Schwingkreis und LTspice-Simulation . . .
13.7.2. Aperiodischer Stromverlauf beim Schalten eines Gleichstromes . . . . . . . . . . . .
13.7.3. Aperiodischer Grenzfall des Stromverlauf beim Schalten eines Gleichstromes . . . .
13.7.4. Periodischer Stromverlauf beim Schalten eines Gleichstromes . . . . . . . . . . . .
13.9.1. Prinzip der Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.9.2. Prinzip der Laplace-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.9.3. Anwendung der Laplace-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.9.4. Lösungsmethoden bei Ausgleichsvorgängen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.9.5. Anfangswerte bei der Laplace-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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GdE2-vi
[email protected]ünster.de
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1. Februar 2017
Teil III.
Ergänzungen Wechselstrom
1. Februar 2017
[email protected]ünster.de
GdE2-1
8. Schutzsysteme
Ziele:
In diesem Kapitel werden Schutzmaßnahmen behandelt, die im wesentlichen 2 Ziele
haben und zwar in der gegebenen Reihenfolge:
1. Schutz von Personen vor Verletzungen oder tödlichen Folgen in Folge von fehlerhaftem Umgang mit elektrischen Geräten oder in Folge von der Benutzung
fehlerhafter elektrischer Geräte.
2. Schutz von Geräten vor Beschädigung und Zerstörung in Folge von Fehlbedienung oder Fehlfunktion oder normalem Verschleiss.
Anwendung:
Das erworbene Wissen sollte im begleitenden Praktikum angewendet werden.
Es sollte aber auch dafür sensibilisieren, wer dafür verantwortlich ist, wenn über eine
gelb/grüne Ader1 die Phase einer Wechselschaltung geschaltet wird und es dann zu
einem tödlichen Unfall bei einer Reparatur kommt . . .
Frage:
Was ist ein FI-Schalter2 und was ist der Rest, den man in Abb. ?? sieht ?
• Wo findet man das?
→ Zu Hause!
• Wozu braucht man das?
→ Es ist vorgeschrieben!
• Was ist das?
• Wer hat das schon einmal gesehen?
• Wozu braucht man das?
Abbildung 8.0.1.: Eine Schutzschaltung aus der Praxis
1 Die
gelb/grüne Ader (PE, Protective Earth) darf natürlich nur zur Erdung von Metallteilen verwendet werden!
Fehlerstrom-Schutzschalter, RCCB, engl. Residual Current Circuit Breaker ist eine Fehlerstrom-Schutzeinrichtungen, RCD, von
engl. Residual Current Device, deutsch Reststrom(schutz)gerät. Durch internationale Normung wird seit 2008 RCD auch in deutschsprachigen Normen verwendet.
2 Der
GdE2-2
[email protected]ünster.de
1. Februar 2017
8. Schutzsysteme
8.1
Gefährdung
8.1. Gefährdung
Allgemein:
Alle Spannungsnetze weisen eine Spannung gegen Erde auf3 . Daher ist eine Schutzmaßnahme erforderlich, um einen Benutzer der elektrischen Anlage im Fehlerfall vor
Schäden zu bewahren.
Berührspannung:
Durch einen Isolationsfehler entstehende Spannung gegen Erde bei einem Bauteil, das
im Normalfall spannungslos sein sollte (z.B. Gehäuseteil).
Gefahr:
Nicht die Spannung sondern der Strom durch den menschlichen Körper ist gefährlich!
Ohm’sches Gesetz: Spannung → Körperwiderstand → Strom (Beispiel Sensordimmer!)
Mensch:
Aufgrund des zusätzlichen Hautwiderstandes ist anfangs der Körperwiderstand noch
RK ≈ 3kΩ, danach nur:
Fuß — Fuß:
2kΩ
Hand — Hand: 1kΩ
Hand — Fuß:
1,5kΩ
Hand — Füße: 1kΩ
Durchschlag:
Verkleinerung der Widerstände für den fließenden Strom.
I < 2mA:
Keine Wahrnehmung.
I < 25mA:
Einsetzen einer Muskelverkrampfung, keine tödliche Wirkung.
I < 80mA:
Lebensgefährliches Herzkammerflimmern (kein Pumpen sondern nur schnelle Zuckungen) kann nach ca. 30s zum Herzstillstand führen.
I < 3A:
Herzkammerflimmern nach 0,1s bis 0,3s. 100mA Gleichstrom sind tödlich!
I > 3A:
Als Folge von Hochspannungsunfällen treten bei großen Strömen schwere innere und
äußere Verbrennungen auf, die zum Tode führen.
Hochfrequenz:
Die Gefährdung nimmt mit der Frequenz des Wechselstromes ab.
→ Mehrere Ampere hochfrequenten Strom ohne Schaden in der medizinischen Heilbehandlung4 .
U < 24V :
Besonders gefährdete Bereiche (z.B.: medizinische Geräte in Behandlungsräumen)
U < 42V :
Kinderspielzeug
U < 50V :
Allgemein keine Gefährdung, da der Strom I = U/RK = 50V /2kΩ = 25mA ist. Es
sind keine besonderen Schutzmaßnahmen notwendig.
U < 250V :
Es sind i.a. Schutzmaßnahmen notwendig.
U > über250V :
Es sind immer besondere Schutzmaßnahmen notwendig.
→ Sensorik zum Erkennen eines Fehlers und Aktorik zum Schutz von Personen im
Fehlerfall5 .
3 Warum
dass wirklich sinnvoll ist, wird im Folgenden noch erläutert.
oder Elektromedizin, z.B. mit Hochfrequenztherapie im Bereich von 3 MHz bis 31 MHz zur selektiven Tiefenerwär-
4 Elektrotherapie
mung
Körperstrom I = 250V /3kΩ = 83,2mA ist lebensgefährlich!
5 Der
1. Februar 2017
[email protected]ünster.de
GdE2-3
8.2
Schutzmaßnahmen
Sicher:
8. Schutzsysteme
Abschaltströme, bei denen Sicherungen innerhalb von 0,1s den Strom unterbrechen
müssen:
6 und 10A: IA = 5,25IN
16 und 25A: IA = 4,90IN
32 und 63A: IA = 4,55IN
8.2. Schutzmaßnahmen
Der Erdungswiderstand RE setzt sich zusammen aus dem Erdleitungswiderstand REl
zwischen dem Gerät und dem Erder und dem Ausbreitungswiderstand des Erders REa
Erdung:
RE = REl + REa
(8.2.1)
→ Da man möglichst große Leitungsquerschnitte für Erdleitungen nimmt, wird REl
möglichst klein und es gilt dann RE ≈ REa .
Widerstand:
Der Ausbreitungswiderstand ist definiert als Widerstand zwischen dem Erder und dem
20m entfernten Erdboden. Er wird durch den Widerstand des Erdreichs bestimmt.
→ Um den Erder existiert eine Sperrfläche, die wegen der Trittspannung gefährlich
sein kann.
Betriebserde:
Sie gehört zum Betrieb einer Anlage und führt den betriebsmäßigen Erdungsstrom6 .
Schutzerde:
Sie gehört zu keinem Betriebsstromkreis und schützt alle Metallteile einer Anlage.
8.3. Schutzisolierung
Maßnahme:
Umhüllung aller Metallteile und spannungsführenden Teile mit einer Isolation.
Ru
Rk
Rst
Re
Ub
If
Uf
ESB der Schutzisolierung
Kennzeichnung
Schutzisolierter
Geräte
Abbildung 8.3.1.: Maßnahmen zur Schutzisolierung
Wirkung:
Der Umkleidungswiderstand RU in Abb. 8.3.1 wird so groß, dass im Fehlerfall an
ihm praktisch die ganze Fehlerspannung UF abfällt und damit die Berührspannung
UB über dem Körperwiderstand RK unbedeutend wird.
→ Alternative Isolierung des Standortes (z.B. mit Gummimatten) erhöht entsprechend
den Widerstand RSt des Standortes.
Stecker:
6 z.B.
Schutzisolierte Geräte führen keinen Erdleiter im Stecker. Das Kennzeichen entsprechend Abb. 8.3.1 muss auf diesen Geräten sichtbar angebracht sein.
Sternpunkt der Sekundärseite eines Transformators
GdE2-4
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1. Februar 2017
8. Schutzsysteme
8.4
Schutztrennung
8.4. Schutztrennung
Maßnahme:
Mit einem Schutztransformator wird die Sekundärseite ohne Erdung mit der Betriebsspannung versorgt. An diesem Trenntransformator darf jeweils nur ein Verbraucher mit
maximal 16A betrieben werden.
Wirkung:
Durch die fehlende Erdung kann kein Strom mehr im Fehlerfall zur Erde fließen, z.B.:
Radio- und Fernsehreparatur (sonst u.U. Spannung auf Chassis!).
→ Man kann den Fehler lokalisieren und beseitigen.
Problem:
Durch die fehlende Erdung kann aber auch der Fehlerfall einer Spannung an einem
sonst spannungsfreien Punkt nicht mehr detektiert werden.
→ Fasst man an diesen Punkt und den passenden Rückleiter an, kann es tödlich werden!
8.5. Schutzerdung
Maßnahme:
Erdung aller Metallteile der Anlage. Der Erdungswiderstand soll so bemessen werden,
dass die entsprechende Sicherung im Fehlerfall anspricht.
Wirkung:
Durch die Erdung soll die Spannung im Fehlerfall 50V nicht überschreiten. Zusätzlich
soll eine Unterbrechung der Spannung durch die Sicherung erfolgen.
Werte:
Wenn eine Schutzerdung schützen soll, dann muss für den Erdungswiderstand z.B.
bei einer 15A-Leitungssicherung gelten
REs ≤
Praxis:
50V
50V
= 0,68Ω
=
IA
4,9 · 15A
(8.5.1)
Über Wasserrohnetz zu erreichen, ansonsten ist der Erdungswiderstand oft größer als
2Ω und eine Schutzerdung damit nicht mehr möglich.
8.6. Nullung
Maßnahme:
Alle metallischen Teile der Anlage werden über einen zusätzlichen Leiter (Farbe
gelb-grün, in Abb. 8.6.1 rot gezeichnet ) mit dem Sternpunktleiter des VierleiterDrehstromnetzes verbunden.
L1
L2
Mot
3~
L3
N
Sicherung
PE
Reb < 5Ohm
Reb < 5Ohm
Abbildung 8.6.1.: Maßnahmen zur Nullung, TN-C-S-System
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GdE2-5
8.7
Schutzschaltung
8. Schutzsysteme
Praxis:
Der Schutzleiter darf weder über Sicherungen noch über Schaltkontakte gelegt werden.
Wirkung:
Jeder Kontakt einer spannungsführenden Ader mit einem metallischen Gehäuseteil
führt zum Kurzschluss und durch den Abschaltstrom zum Auslösen der entsprechenden Sicherung.
→ Im Fehlerfall wird also die Sicherung bereits ausgelöst, bevor eine Person die Fehlerstelle berühren kann7 .
8.7. Schutzschaltung
Maßnahme:
1. Fehlerspannungs(FU)-Schutzschalter: Metallteile werden über die Auslösespule
des Schutzschalters an eine Hilfserde gelegt. Problem: Funktion der Hilfserde
sicherstellen.
2. Fehlerstrom(FI)-Schutzschalter: Die Auslösespule wird
P über einen Ringstromwandler vom Fehlerstrom betätigt. Normalbetrieb:
I = 0. Fehlerfall: FehP
lerstrom fließt über den Kurzschluss ab →
I 6= 0. Diese Art der heute fast
ausschließlich verwendeten Schutzschaltung ist in Abb. 8.7.1 dargestellt. Dieser
FI-Schalter befindet sich in jedem Sicherungskasten. Er ist als einzelner Drehschalter leicht von den vielen Sicherungsautomaten zu unterscheiden. Er schaltet
allpolig den Verbraucher ab, incl. der Sicherungsautomaten.
Relais
Taster
L2 N
L1 L3
R
L1
Mot
3~
L2
Relais
L3
Sicherung
N
PE
FU−Schutzschalter
FI−Schutzschalter
Abbildung 8.7.1.: Fehler-Schutzschalter, TN-C-S-System
Wirkung:
Die Schutzschaltung soll die Fehlerstelle innerhalb von 0,2s abschalten.
8.8. Netzausführungen
Normen:
Die Arten der in Europa gebräuchlichen Netzausführung sind von der International
Electrotechnical Commission8 festgelegt und unterteilen sich in 3 wesentliche Niederspannungsnetze (230V / 400V).
Terre Neutre:
Das TN-System9 ist in Mitteleuropa die gebräuchlichste Ausführung
• Starr geerdeten Sternpunkt
• Teilweise wird der Schutzleiter bzw. gemeinsam der Neutral- und Schutzleiter
als sogenannter PEN-Leiter vom Transformator bis zur Unterverteilung geführt
7 Leider
ist die genaue Fehlerstelle deswegen unter Umständen auch nur schwer zu finden.
ein internationales Normierungsgremium mit Sitz in Genf für Normen im Bereich der Elektrotechnik und Elektronik.
9 Französisch: Terre = Erde, Neutre = Neutral
8 IEC,
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8. Schutzsysteme
8.9
Zusammenfassung
• Fünf bzw. vier parallele Leiter notwendig
Unterteilung des TN-System nach konkreter Ausführung des Schutzleiters bzw. Neutralleiters und deren Kombinationen in das TN-C-System, TN-S-System und das gebräuchlichste, das TN-C-S-System10 .
Terre Terre:
Das TT-System ist ist kostengünstiger als das TN-System, da dabei der zusätzliche
Leiter für den Schutzleiter im Bereich der Hauptverteilung entfallen kann
• Sternpunkt beim Trafo und beim Verbraucher mit der Erdungsanlage galvanisch
verbunden
• Keine gemeinsame Schutzleiterverbindung zwischen Verbraucher und Transformator, die Verbindung des Schutzleiters erfolgt ausschließlich über das Erdreich.
Das TT-System setzt geringe Erdungswiderstände voraus, die nicht immer gewährleistet werden können.
Isolé Terre:
Das IT-System ist ein sogenanntes isoliertes Netz
• Der Sternpunkt ist nicht geerdet.
• Erhöhte Ausfallsicherheit bei Erdschlussfehlern, da ein einfacher Erdschluss
nicht sofort zu einem Ausfall führt
• Der Fehler wird von einem Isolationsüberwachungsgerät angezeigt und kann
dann unter Umständen ohne Unterbrechung behoben werden.
Verwendung in meist kleinräumigen Industrienetzen und in Krankenhäusern11 . Der
Einsatz von Fehlerstromschutzschaltern ist in diesem Netz nicht möglich.
8.9. Zusammenfassung
Schutz:
Elektrotechnisch bedeutende Verfahren zum Schutz von Personen und Geräten sind:
• Nullung über einen gelb/grünen zusätzlichen Leiter
• Fehlerstrom-Schutzschalter (FI-Schalter)
• Gebräuchliste Netzausführung in Europa ist das TN-C-S-System
10 Französisch:
11 Wie
Terre Neutre Combiné Séparé
wäre es, wenn bei einer OP der FI auslösen würde?
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GdE2-7
9. Ortskurven
Ziele:
In diesem Kapitel werden Ortskurven behandelt, die im wesentlichen zur übersichtlichen Darstellung von Netzwerkeigenschaften über einen größeren Frequenzbereich
verwendet werden.
• Signalverarbeitung: Darstellung des komplexen Frequenzgangs eines Verstärkers
• Hochfrequenztechnik: Smithdiagramm zur Impedanzanpassung in der Leitungstheorie
• Elektrische Maschinen: Hylandkreis als Ortskurve des Läuferstromes einer
Asynchrommaschine
• Regelungstechnik: Nyquistkriterium zur Stabilitätsaussage eines Regelkreises
Anwendung:
Das erworbene Wissen wird in den gleichnamigen Vorlesungen der höheren Semester
verwendet.
9.1. Grundlagen
Bisher:
Gleich- und Wechselstromschaltungen mit konstanten Größen
• Bauelementewerte R, XL = f (ω,L), XC = f (ω,C)
• Spannungen U = f (ω) und Ströme I = f (ω)
im eingeschwungenen Zustand mit sinusförmigem Kurvenverlauf.
Parameter:
Betrachten der Betriebseigenschaften als Funktion einer Schaltungsgröße bzw. der
Frequenz mit stationären Betriebszuständen für jeden einzelnen Wert des Parameters.
→ Keine Zeitfunktion der Parameter selbst, da sich z.B. mit ω = f (t) und i = î sin ωt
für die Spannung an der Spule1
uL = L
di
d sin ωt
dω
= Lî
= Lî · cos ωt · (ω + t )
dt
dt
dt
(9.1.1)
keine sinusförmige Lösung ergibt und damit keine komplexe Darstellung
U L = jωLI
(9.1.2)
mehr möglich ist.
9.2. Begriff der Ortskurve
Bisher:
Zeigerdiagramme zur Darstellung komplexer Spannungen, Ströme und Impedanzen
bzw. Admittanzen für eine feste Frequenz.
mit der Kettenregel y = F (u(x)) ergibt y 0 = F 0 (u) · u0 (x) und mit der Produktregel u = v(x) · w(x) ergibt u0 =
v 0 (x) · w(x) + v(x) · w0 (x).
1 Ableitung
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9. Ortskurven
9.3
Reihenschaltung
Impedanz Z der Reihenschaltung einer (idealen) Spule mit der Induktivität L und ihres
(realen Kupfer-) Widerstandes R (also die Impedanz einer realen Spule)
Parameter:
Z = R + jXL = R + jωL
(9.2.1)
als Funktion der Frequenz ω = ω1 , ω2 , ω3 , . . .
→ Eine Vielzahl von Zeigerdiagrammen zur Darstellung der Betriebseigenschaften
dieser einfachen Schaltung, wie sie in Abb. 9.2.1 im Teilbild a dargestellt sind .
Zeiger:
Vereinfachung derart, dass nur die resultierenden Zeiger der Impedanzen
Z i = R + jωi L
(9.2.2)
wie in Abb. 9.2.1 Teilbild b dargestellt werden.
→ Komplexe Größe mit Betrag und Phase als Funktion des Parameters.
Ortskurve:
Die Ortskurve ist der geometrische Ort eines komplexen Zeigers als Funktion einer
Variablen wie in Abb. 9.2.1 Teilbild c dargestellt mit der Darstellung der Spitze des
komplexen Zeigers anstelle des kompletten Zeigers.
X
Z3
Z2
X
jω3L
X
Z (ω 3)
p3
jω2L
Z (ω 2)
p2
jω1L
Z (ω 1)
p1
Z1
R
R
(a) Zeigerdiagramm
R
R
(b) resultierende Zeiger
(c) Ortskurve
Abbildung 9.2.1.: Entwicklung der Ortskurve für eine RL-Reihenschaltung
Die Ortskurve der Impedanz2 (Teilbild c in Abb.9.2.1 )
Z(p) = R + j(pω0 )L
(9.2.3)
ist also eine Gerade parallel zur Y-Achse im Abstand R.
9.3. Reihenschaltung
Spannung:
Gesucht sind die Ortskurven der Spannung U = f (X) = f (pX0 ) und U = f (R) =
f (pR0 ) einer RLC-Reihenschaltung bei konstantem Strom I. An der Impedanz
Z = R + jωL − j
1
= R + jX
ωC
(9.3.1)
ergibt sich die Spannung entsprechend dem Ohm’schen Gesetz
U = ZI = RI + jXI
2 Es
(9.3.2)
gilt dabei: ω1 = p1 ω0 , ω2 = p2 ω0 , etc . . . mit dem dimensionlosen Parameter p
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GdE2-9
9.4
Parallelschaltung
Parameter X:
9. Ortskurven
Bei variablem Blindwiderstand X = pX0 und festem Wirkwiderstand R ergibt sich
als Ortskurve eine Gerade parallel zur Y-Achse im Abstand
U = RI
(9.3.3)
wenn als Bezugspunkt die Phasenlage des Stromes gewählt wird (siehe Abb. 9.3.1) .
Parameter R:
Bei festem Blindwiderstand X und variablem Wirkwiderstand R = pR0 ergibt sich
als Ortskurve eine Gerade parallel zur X-Achse im Abstand
U = jXI
(9.3.4)
wenn als Bezugspunkt die Phasenlage des Stromes gewählt wird (siehe Abb. 9.3.1) .
Im{ U }
Im{ U }
U
X>0
R
U
I
Re{ U }
I
Re{ U }
X<0
(a) U = f(pX0)
(b) U = f(pR0)
Abbildung 9.3.1.: Ortskurve der Spannung an einer RLC-Reihenschaltung
Impedanz:
Division von Gln. 9.3.2 durch den konstanten Strom I, wobei aufgrund der Wahl als
Bezugsgröße der Phasenwinkel Null ist, ergibt
Z=
U
= R + jX
I
(9.3.5)
→ Die ähnlichen Ortskurven U und Z als f (pX0 ) oder f (pR0 ) unterscheiden sich nur
im Wert und in der Dimension des Maßstabsfaktors I.
Strom:
Gesucht sind die Ortskurven des Stromes I = f (X) = f (pX0 ) und I = f (R) =
f (pR0 ) einer RLC-Reihenschaltung bei konstanter Spannung U .
Parameter X:
Bei variablem Blindwiderstand X = pX0 und festem Wirkwiderstand R ergibt sich
als Ortskurve ein Kreis in der rechten Halbebene3 , wie Abb. 9.3.2 dargestellt .
Parameter R:
Bei festem Blindwiderstand X und variablem Wirkwiderstand R = pR0 ergibt sich
als Ortskurve ein Halbkreis im ersten oder vierten Quadranten4 , abhängig vom Vorzeichen des Blindanteils, wie es in Abb. 9.3.3 dargestellt ist .
9.4. Parallelschaltung
Dualität:
3 Da
4 Da
Die Dualitätsbeziehungen zwischen einer Parallelschaltung und einer Reihenschaltung
führen zu ähnliche Ortskurven:
R ≥ 0 ergibt sich nur 1 Kreis in der rechten Halbebene und keiner in der linken.
R ≥ 0 ergeben sich nur 2 Halbkreise und keine Vollkreise.
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9. Ortskurven
9.4
Ortskurve
0.6
Aus
IRe(X), IIm(X)
- -1
- -2
0.4
- -3
0.2
x<0
Im(I)
Parallelschaltung
Z
= R + jpX0
U
= Z ·I
U
= U
-0
0
x>0
ergibt sich
-0.2
-3
-2
-0.4
I(p) =
-1
-0.6
0
0.2
0.4
0.6
Re(I)
0.8
U
R + jpX0
(9.3.6)
1
Abbildung 9.3.2.: Ortskurve des Stromes in einer RLC-Reihenschaltung als Funktion des Blindwiderstandes
Ortskurve
1.2
IRea(R), IIma(R)
IRe(R), IIm(R)
1 -0
Aus
0.8
R
0.6
x<0
Im(I)
-3
=
=
pR0 + jX
Z ·I
=
U
0
-3
ergibt sich
-2
-0.2
-0.4
x>0
-1
-0.6
C
Z
U
U
-2
0.2
L
-1
0.4
I(p) =
-0.8
U
pR0 + jX
(9.3.7)
-1 - 0
-1.2
0
0.2 0.4
Re(I)
0.6
Abbildung 9.3.3.: Ortskurve des Stromes in einer RLC-Reihenschaltung als Funktion des Wirkwiderstandes
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GdE2-11
9.4
Parallelschaltung
9. Ortskurven
• Geraden für Leitwert und Strom einer Parallelschaltung
I =Y ·U
oder Widerstand und Spannung einer Reihenschaltung
U =Z ·I
• Kreise für Widerstand und Spannung einer Parallelschaltung
U=
I
Y
oder Leitwert und Strom einer Reihenschaltung
U
Z
I=
Kurven:
Für Parallelschaltung aus Widerstand und Blindwiderstand. Zum Nachrechnen der
Kurven aus Abb. 9.4.1 sind R = 1Ω und X = 1Ω zu setzen. Für den Parameter p
wurde −10 ≤ p ≤ 10 gewählt, wobei die Gerade des Leitwertes nur für |p| ≤ 0,6
dargestellt ist.
Ortskurve
0.6
- -2
0.4
- -3
- -4
0.2
Imaginrteil
ZRe(X), ZIm(X)
- -1
YRe(X),
YIm(X)
- -0.5 - 0.4
• Ortskurve
Y (p) = G + jpB0
- 0.3
- 0.2
- -8
→ Gerade
- 0.1
-0
0
-0.2
- -0.2
-4
-3
Z(p) =
- -0.3
-2
-0.4
• Ortskurve
- -0.1
-8
- 0.5
1
Y (p)
- -0.4
→ Kreis
-1
-0.6
0
0.2
0.4
0.6
0.8
Realteil
1
1.2
Abbildung 9.4.1.: Ortskurven einer GB-Parallelschaltung mit dem Blindleitwert als Parameter
Beides:
Kombinationen von Reihen- und Parallelschaltungen liefern entsprechend komplexere
Ortskurven:
→ Y = f (pf0 ) = (R + L)||C und Z = 1/Y .
AUFGABE:
Bitte nicht aus dem Script ablesen, sondern selber herleiten:
1. Zeichnen Sie die Schaltung auf!
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9. Ortskurven
9.4
Parallelschaltung
2. Geben Sie folgende Admittanzen und Impedanzen der Schaltung an ohne eine
Berechnung durchzuführen:
• Y (p = 0) =
• Y (p = ∞) =
• Z(p = 0) =
• Z(p = ∞) =
Ergebnis:
Numerisch können diese Kurven z.B. direkt mit gnuplot unter Linux erstellt werden.
Eine einfache zeichnerische Methode zur Konstruktion5 von Ortskurven verwendet
das nachfolgend beschriebene Verfahren der Inversion von Ortskurven.
Zum Nachrechnen der Kurven aus Abb. 9.4.2 hier die Bauelementewerte R = 400Ω,
L = 0,1H und C = 50nF und der Frequenzbereich 40Hz ≤ f ≤ 20kHz.
Ortskurve
Ortskurve
2.5
YRe(f), YIm(f)
2
2 - 7000
R
1.5
1.5
Im(Z) / k Ohm
Im(Y) / mS
1
0.5
- 3000
- 2159
0
-0
- 1000
-1
0
- 2200
-1 - 4000
-1.5
- 2500
-3.5
0
1 1.5 2
Re(Y) / mS
2.5
- 2300
- 3000
-3
- 500
0.5
- 2159
-2.5
-1.5
0
- 2100
-0.5 - 7000
-2
- 100
- 200
- 1500
-0.5
L
ZRe(f), ZIm(f)
- 2000
- 1000
- 500
-0
0.5
- 5000
C
- 1500
1
1
3
a) Admittanz Y = f (pf0 )
- 2400
2
3
4
Re(Z) / k Ohm
5
6
b) Impedanz Z = f (pf0 )
Abbildung 9.4.2.: Ortskurven einer Reihen-Parallel-Schaltung mit der Frequenz als Parameter
Werte:
Das Ermitteln der Parameterwerte entlang der Kurve wird in den Übungen behandelt.
Dabei kann es aber auch vorkommen, dass diese Werte selbst bei einfacher Kurvenform nur durch numerische Berechnungen bestimmt werden können:
→ Z(pf0 ) = R1 + Z 2 (pf0 ) mit Y 2 (pf0 ) = R2 ||C2 ||L2 . 6
AUFGABE:
Bitte aus der Ortskurve ablesen:
1. Welchen Zahlenwert hat der Widerstand R1 ?
• R1 =
2. Bei welchen Frequenzen kann man den Zahlenwert für R1 aus der Ortskurve
ablesen?
• f1 =
• f2 =
3. Welchen Zahlenwert hat der Widerstand R2 ?
• R2 =
5 Die
dargestellte Ortskurve Y (p) lässt sich als grafische Addition der beiden Ortskuren Y RL (p) (-> Kreis) und Y C (p) (-> Gerade)
konstruieren.
6 Zum Nachrechnen der Kurven aus Abb. 9.4.3 hier die fehlenden Bauelementewerte L = 0,1H und C = 1µF . Diese Kurve wurde
2
2
ebenfalls mit gnuplot unter Linux erstellt werden. Sie ist eine Übungsaufgabe.
1. Februar 2017
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GdE2-13
9.5
Inversion von Ortskurven
9. Ortskurven
Ortskurve Z(p) = R1 + Z2(p)
60
100
40
R2
200
300
Im(Z) / Ohm
L2
ZRe(p), ZIm(p)
C2
50
20
400
10
100E3
0
10E3
-20
R1
500
700
5000
-40
2000
1000
-60
0
20
40
60
80
100
Re(Z) / Ohm
120
140
160
Abbildung 9.4.3.: Ortskurve einer LC-Parallel-Schaltung
4. Bei welcher Frequenz kann man den Zahlenwert für R2 aus der Ortskurve ablesen?
• f3 =
5. Welche Bedeutung hat diese Frequenz für die Schaltung?
•
9.5. Inversion von Ortskurven
Definition:
Die Inversion einer komplexen Größe erfordert die Bildung des Kehrwertes
Y =
1
1
1
=
= e−jϕz = Y ejϕy
Z
Zejϕz
Z
(9.5.1)
→ Bei bekannter Ortskurve Z ergibt sich die Ortskurve des Kehrwertes Y = 1/Z
durch Inversion der bekannten Ortskurve.
Regeln:
Hilfreiche Konstruktionsregeln sind:
1. Die Inversion einer Geraden durch den Nullpunkt ergibt wieder eine Gerade
durch den Nullpunkt.
2. Die Inversion eines Kreises nicht durch den Nullpunkt ergibt wieder einen Kreis
nicht durch den Nullpunkt.
3. Die Inversion einer Geraden nicht durch den Nullpunkt ergibt einen Kreis durch
den Nullpunkt — und umgekehrt.
In Abb. 9.4.1 aus dem letzten Abschnitt sind zwei inverse Ortskurven entsprechend
Regel 3 dargestellt.
Praxis:
Grafische Konstruktion einfacher Ortskurven aufgrund der Berechnung von max. 3
Punkten!
Allgemein:
Die allgemeine Form der parametrisierten Ortskurve der Reihenschaltung von Impedanzen hat die Form einer Geradengleichung
G=A+p·B
GdE2-14
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(9.5.2)
1. Februar 2017
9. Ortskurven
9.5
Inversion von Ortskurven
Der Kehrwert, also die entsprechende Admittanz, bedeutet die Inversion der sogenannten Nennergeraden (G steht im Nenner), die zu einem Kreis durch den Nullpunkt
führt
1
1
=
(9.5.3)
K=
G
A+p·B
Parameter:
Die konjugiert komplexen Zeiger A∗ und B ∗ ermöglichen das Zeichnen des Kreises.
Die an der reellen Achse gespiegelte Nennergerade
G∗ = A∗ + p · B ∗
(9.5.4)
ermöglicht die Parametrisierung des Kreises.
Graph:
In Abb. 9.5.1 ist die Konstruktion und die Ermittlung der Parameterwerte der Ortskurve eines Kreises durch den Nullpunkt dargestellt.
B
Im{} A
G =A + p B
G* = A* + p B*
p=−2
4.
Re{}
p=−1
p=−1
B*
A*
p=1
M
1/(2A)
5.
p=2
p=1
Abbildung 9.5.1.: Konstruktion und Ermittlung der Parameterwerte eines Kreises als Ortskurve
Anleitung:
Es empfiehlt sich folgendes schematisierte Vorgehen:
1. Das Zeichnen der Nennergeraden
G(p) = A + p · B
wird meistens nicht explizit ausgeführt, da die gespiegelte Nennergerade direkt
berechnet werden kann.
2. Wahl der Achsen für die (an der rellen Achse) gespiegelte Nennergerade
G∗ (p) = A∗ + p · B ∗
für G∗ (pmin ) und G∗ (pmax ) mit gleichem Maßstab für die x- und y-Achse.
3. Zeichnen der gespiegelten Nennergerade, deren lineare Parameterwerte die Parameter des späteren Kreises sind.
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GdE2-15
9.5
Inversion von Ortskurven
9. Ortskurven
4. Zeichnen der Senkrechten auf der gespiegelten Nennergeraden G∗ , die durch den
Nullpunkt läuft.
5. Berechnen des Abstandes
AK =
1
|A|
und Festlegen des Maßstabs für den Kreis, z.B. auf einem analogen Raster zum
Maßstab der gespiegelten Nennergeraden.
Zeichnen der Senkrechten auf A∗ im Abstand AK /2.
6. Die Schnittpunkte der beiden Senkrechten ergeben den Mittelpunkt M des Kreises. Zeichnen des Kreises und Markieren des Kreissegmentes entsprechend der
gespiegelten Nennergeraden.
7. Beziffern des Kreises mit den Parameterwerten p entsprechend der gespiegelten
Nennergeraden G∗ indem vom Nullpunkt des Koordinatensystems aus Geraden
durch die bekannten Parameterwerte der gespiegelten Nennergeraden gezeichnet
werden.
Beispiel 9.5.1
(RLC)
Zu einer Reihenschaltung aus R = 25Ω, L = 80µH wird ein Kondensator mit CP =
0,5µF parallelgeschaltet. Die Frequenz ist f = 5kHz.
1. Konstruieren Sie die Ortskurve der Admittanz Y = f (L) im Bereich von 0 · L ≤
L ≤ 50 · L.
2. Lesen Sie aus der Ortskurve die beiden Resonanzpunkte der Schaltung ab!
3. Erklären Sie, warum es zwei Resonanzpunkte gibt!
4. Berechnen Sie die beiden Resonanz-Induktivitäten der Schaltung und überprüfen
Sie die Ergebnisse anhand der Ortskurve!
LÖSUNG:
Die Lösung wird in der Vorlesung erarbeitet. Ergebnisse für den Vergleich der eigenen
Lösung sind:
1. Endergebnis der Ortskurve
Ortskurve Y(p) = Y2 + Y1(p)
30
YRe(p), YIm(p)
20
Im(Y) / mS
0
10
50
40
30
5
20
0
10
-10
-20
0
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10
20
30
Re(Y) / mS
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40
50
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9. Ortskurven
9.6
Amplituden- und Phasendiagramme
2. Aus der Ortskurve können die beiden Induktivitäten der Schaltung für Resonanz
abgelesen werden, wenn der Parameter hinreichend fein eingezeichnet wird:
L1
=
5 · 80µH = 0,4mH
L2
=
20 · 80µH = 1,6mH
4. Nullsetzen des Imaginärteils ergibt die Zahlenwerten
L1
=
0,3860 · 10−3 H
L2
=
1,6404 · 10−3 H
9.6. Amplituden- und Phasendiagramme
Ortskurve:
Die Ortskurve stellt gleichzeitig die Amplitude und Phasenlage einer komplexen Größe
Z = Zejϕ = f (p)
(9.6.1)
als Funktion des Parameters p dar.
→ Schaltung und normierte Ortskurve eines Tiefpasses 1. Ordnung in Abb. 9.6.1.
Ortskurve
0.1
ZRe(W), ZIm(W)
-0
R
U1
C
U2
Im(U2/U1) / Ohm
0
-0.1 - 10
-5
-0.2
-0.3
-0.4
-2
-0.5
- 0,5
-1
-0.6
0
0.2
0.4
0.6
Re(U2/U1) / Ohm
0.8
1
Abbildung 9.6.1.: Schaltung und normierte Ortskurve des Tiefpasses 1. Ordnung
Normiert:
Die normierte Darstellung zeigt theoretische Eigenschaften einer Schaltung unabhängig von Bauelementewerten:
→ Übertragungsfunktion als das Verhältnis von Ausgangs- zu Eingangsgröße Ua /Ue ,
z.B. beim Tiefpass (siehe Abb. 9.6.1)
U2
jXC
1
1
=
=
=
U1
R + jXC
1 + R/jXC
1 + jωRC
(9.6.2)
→ Verhältnis des Parameters zu einem Referenzwert p/pr , z.B.
Ω=
1. Februar 2017
ω
ωg
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GdE2-17
9.6
Amplituden- und Phasendiagramme
9. Ortskurven
beim Tiefpass mit √der Grenzfrequenz ωg , bei der die Übertragungsfunktion um
−3dB = 20 log(1/ 2) abgefallen ist. Beim Tiefpass ergibt sich diese Grenzfrequenz
(für |XC | = R) zu
1
ωg =
(9.6.3)
RC
und damit dessen normierte Übertragungsfunktion zu
U2
1
=
U1
1 + jΩ
AUFGABE:
(9.6.4)
Welchen Wert hat der Betrag der Übertragungsfunktion
U2 1 =
U1 1 + jΩ beim Tiefpass bei der Grenzfrequenz ωg ?
LÖSUNG:
Amplitude:
Die Darstellung des Betrags
Z = f (p)
(9.6.5)
ist eine reelle Kurve im Aplitudendiagramm.
Phase:
Die Darstellung der Phase
ϕ = f (p)
(9.6.6)
ist eine reelle Kurve im Phasenwinkeldiagramm.
Bode:
Bodediagramm der Phase, falls die Frequenzachse im logarithmischen Maßstab ist
wobei die Phase oft in Grad anstelle in Radiant angegeben wird
ϕgrad
ϕrad
=
360◦
2π
(9.6.7)
Bodediagramm der Amplitude, falls beide Achsen im logarithmischen Maßstab sind.
Die Amplitude in deziBel ist
U2 /U1
= 20 · log10 (U2 /U1 )
dB
Tiefpass:
GdE2-18
(9.6.8)
Normierter Amplituden- und Phasengang des Tiefpasses 1. Ordnung sowie das Bodediagramm sind in Abb. 9.6.2 dargestellt .
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1. Februar 2017
9. Ortskurven
9.7
Bodediagramm
Frequenzgang
0
1
Phase(w)
Betrag(w)
-0.2
0.9
-10
0.8
-20
-0.4
-0.8
0.5
0.4
-1
0.3
-1.2
0.2
-1.4
-1.6
0
2
4
6
Omega
8
10
0
-5
-30
Phase in Grad
0.6
normierter Betrag
Phase in Radiant
0.7
-0.6
Phase(w)
Betrag(w)
-10
-40
-50
-15
-60
-70
0.1
-80
0
-90
normierter Betrag in dB
0
Zusammenfassung
-20
0.1
1
Omega
-25
10
Abbildung 9.6.2.: Normierter Amplituden- und Phasengang des Tiefpasses 1. Ordnung
9.7. Zusammenfassung
Ortskurve:
Die Ortskurve ist der geometrische Ort eines komplexen Zeigers als Funktion einer
Variablen.
Parameter:
Ortskurven sind die graphische Darstellung der Betriebseigenschaften einer Schaltung
als Funktion einer Schaltungsgröße bzw. der Frequenz mit stationären Betriebszuständen als Funktion des Parameters.
Formen:
Häufige Formen (einfacher) Ortskurven sind:
• Geraden
• Kreise
Konstruktion:
1. Februar 2017
Grafische Konstruktion (einfacher) Ortskurven aufgrund der Berechnung von max. 3
Punkten!
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GdE2-19
9.8
Übungsaufgaben
9. Ortskurven
9.8. Übungsaufgaben
Aufgabe 9.8.1
(Ortskurve)
-> Seite 140
Bei der angegebene Schaltung mit dem
Widerstand R = 60Ω ist die Induktivität
im Bereich L = (0 . . . 10)mH veränderbar.
R
L
Z
Es ist die Ortskurve der Impedanz Z für die Frequenz f = 1kHz zu konstruieren und
mit Einheiten der Induktivität L zu beziffern.
Aufgabe 9.8.2
(Ortskurve)
-> Seite 140
Bei der angegebenen Parallelschaltung mit dem Widerstand R = 125Ω
ist
die
Induktivität
im
Bereich
L = (10 . . . 100)mH veränderbar.
R
L
Es ist die Ortskurve der Admittanz Y für die Frequenz f = 1kHz zu konstruieren und
mit Einheiten der Induktivität L zu beziffern.
Aufgabe 9.8.3
(Ortskurve)
-> Seite 141
Aufgabe 9.8.4
(Ortskurve)
-> Seite 142
Die dargestellte Schaltung mit dem kaI
pazitiven Widerstand XC = −200Ω liegt
R
XC
an der Wechselspannung U = 100V .
U
Der Wirkwiderstand ist im Bereich R =
(80 . . . 1000)Ω veränderbar.
Es ist die Ortskurve des Gesamtstromes I zu konstruieren und mit Einheiten des Widerstandes R zu beziffern (U = Bezugsgröße (= reell)).
Bei der angegebenen Reihenschaltung
mit dem induktiven Widerstand XL =
100Ω ist der Wirkwiderstand im Bereich
R = (0 . . . 300)Ω veränderbar. Es ist
R
XL
1. die Ortskurve der Impedanz Z,
2. die Ortskurve der Admittanz Y zu konstruieren und mit Einheiten des Wirkwiderstandes R zu beziffern.
Aufgabe 9.8.5
(Ortskurve)
-> Seite 144
GdE2-20
Für die dargestellte Reihenschaltung mit
dem Wirkwiderstand R = 50Ω und der
Kapazität C = 1,5µF sei die Frequenz im
Bereich f = (1 . . . 10)kHz veränderbar.
Es ist
1. die Ortskurve der Impedanz Z,
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R
C
1. Februar 2017
9. Ortskurven
9.8
Übungsaufgaben
2. die Ortskurve der Admittanz Y zu konstruieren und mit Einheiten der Frequenz
f zu beziffern.
Aufgabe 9.8.6
(Ortskurve)
-> Seite 146
Aufgabe 9.8.7
(Ortskurve)
-> Seite 147
Bei der dargestellten Schaltung mit
R1 = 25Ω, C1 = 10µF , R2 = 125Ω ist
die Kapazität C2 im Bereich (0 . . . 3)µF
veränderbar.
Es ist die Ortskurve der Impedanz Z für
die Frequenz f = 500Hz zu konstruieren
und mit Einheiten der Kapazität C2 zu beziffern.
Bei der dargestellten Schaltung mit
R1 = 100Ω, R2 = 100Ω, L1 = 12,7mH
und L2 = 15,9mH ist die Kapazität im
Bereich C = (0 . . . 2,5)µF einstellbar
(Frequenz f = 1kHz).
R1
C1
R2
C2
R1
L1
R2
L2
C
1. Es ist die Ortskurve der Impedanz Z der Schaltung zu konstruieren und mit Einheiten der Kapazität C zu beziffern.
2. Aus der Ortskurve ist zu entnehmen, bei welchen Werten von C die Impedanz Z
reell ist?
Aufgabe 9.8.8
(Ortskurve)
-> Seite 149
Bei der dargestellten Schaltung mit
L = 7,96mH, R2 = 50Ω und C =
9,55µF ist der Widerstand R1 im Bereich
(0 . . . 100)Ω einstellbar (Frequenz f =
500Hz).
R1
C
L
R2
1. Es ist die Ortskurve der Admittanz Y der Schaltung zu konstruieren und mit
Einheiten des Widerstandes R1 zu beziffern.
2. Bei welchem Widerstand R10 ist Y reell? (Der Wert ist aus der Ortskurve zu
entnehmen.)
3. Bei welchem Widerstand R100 ist der Gesamtwiderstand Z der Schaltung am geringsten?
Aufgabe 9.8.9
(Ortskurve)
-> Seite 151
1. Februar 2017
Bei der dargestellten Schaltung mit U =
100V , f = 800Hz, R1 = 40Ω, R2 =
200Ω und C = 1,99µF ist die Induktivität
im Bereich L = (0 . . . 40)mH einstellbar.
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I
U
R1
L
C
R2
GdE2-21
9.8
Übungsaufgaben
9. Ortskurven
1. Es ist die Ortskurve des Stromes I zu konstruieren und mit Einheiten der Induktivität L zu beziffern (U = Bezugsgröße (= reell)).
2. Aus der Ortskurve ist zu entnehmen, bei welcher Induktivität L Spannung U und
Strom I in Phase sind.
Aufgabe 9.8.10
(Ortskurve)
-> Seite 152
Aufgabe 9.8.11
(Ortskurve)
-> Seite 154
GdE2-22
Bei der dargestellten Schaltung mit L =
L
3,18mH, R = 100Ω und C = 1µF ist die
R
Frequenz im Bereich f = (0,5 . . . 5)kHz
C
veränderbar.
Es ist die Ortskurve der Impedanz Z der Schaltung zu konstruieren und mit Einheiten
der Frequenz zu beziffern.
Für die dargestellte Schaltung mit R1 =
50Ω, R2 = 100Ω, L = 100mH und C =
1µF ist die Ortskurve der Impedanz Z für
variable Frequenz zu konstruieren. Auf der
Ortskurve sind die Punkte f = 0, f = f0
(Z ist reell) und f = ∞ zu markieren.
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R2
R1
L
C
1. Februar 2017
10. Schwingkreise
Ziele:
In diesem Kapitel werden elektrische Schwingkreise behandelt, als eine Schaltung aus
einer Spule, einem Kondensator und einem Widerstand, die elektrische Schwingungen
ausführen kann. Die Energie zwischen Spule und Kondensator wird periodisch ausgetauscht, wodurch abwechselnd ein hoher Strom oder eine hohe Spannung vorhanden
ist.
Anwendung:
Schwingkreise haben eine besondere Bedeutung für die Nachrichtentechnik und hier
speziell für die Hochfrequenztechnik, z.B. um einen Rundfunkempfänger auf den gewünschten Sender abzustimmen oder um eine Störung aus dem Rundfunksignal auszufiltern.
10.1. Freie Schwingungen
Energie:
In einem Schwingkreis wird die Energie zwischen zwei Energiespeichern ausgetauscht, in der Elektrotechnik1 :
• Magnetische Energie in der Spule: Wm = 21 Li2
• Elektrische Energie im Kondensator: We = 21 Cu2
Schwingung:
In der Praxis sind Verluste nie völlig zu vermeiden:
• Bei einer ungedämpften Schwingung geht keine Energie beim Transport verloren.
→ Möglichkeit einer freien ungedämpften Schwingung!
• Bei einer gedämpften Schwingung entsteht beim Transport ein Energieverlust.
→ Möglichkeit einer freien gedämpften Schwingung!
• Bei einer gedämpften Schwingung wird der Energieverlust, der beim Transport
entsteht, von außen zugeführt.
→ Möglichkeit einer erzwungenen ungedämpften Schwingung!
Ideal:
Freie Schwingungen, wie in Abb. 10.1.1 dargestellt, existieren z.B. bei einem idealen
LC-Schwingkreis.
Energie:
In einem idealen Reihenschwingkreis mit einer Kapazität C und einer Induktivität L
wird im Kondensator die elektrische Energie
We =
Cu2
C(ZC i)2
Ci2
i2
=
=
=
2
2
2
2(ωC)
2ω 2 C
(10.1.1)
gespeichert und in der Spule die magnetische Energie
Wm =
Li2
2
(10.1.2)
1 Beispiele
für mechanische Schwingungen sind die Schaukel und das Pendel, bei denen sich potentielle (Lage-) Energie und kinetische
(Bewegungs-) Energie abwechsels.
1. Februar 2017
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GdE2-23
10.2
Erzwungene Schwingungen
10. Schwingkreise
Freie ungedämpfte Schwingung
1
Freie gedämpfte Schwingung
1
u(t)
i(t)
0.8
u(t)
d(t)
−d(t)
0.6
normierte Amplitude
normierte Amplitude
0.5
0.4
0.2
0
−0.2
−0.4
0
−0.5
−0.6
−0.8
−1
−1
0
0.5
1
1.5
normierte Zeit
2
0
1
2
3
4
normierte Zeit
5
Abbildung 10.1.1.: Formen freier Schwingungen
Maximum:
Damit die Energie vollständig zwischen elektrischem und magnetischem Speicher
pendelt, müssen die Maximalwerte von We und Wm gleich sein.
We =
Li2
i2
=
= Wm
2ωr2 C
2
(10.1.3)
Die Resonanzskreisfrequenz ωr , die beim ungedämpften Schwingkreis gleich der Eigenkreisfrequenz2 ωe ist, wird zu
L
1
=
2
2ωr2 C
→
ωr = ωe = √
1
LC
(10.1.4)
10.2. Erzwungene Schwingungen
Ursache:
Wirkung:
Eine erzwungene Schwingung tritt als Folge einer Spannung u = û sin(ωt) (z.B. an
einem RLC-Parallelschwingkreis) oder eines Stromes i = î sin(ωt) (z.B. an einem
RLC-Reihenschwingkreis) einer äußeren Quelle auf.
1. Nach einem Einschwingvorgang stellt sich ein stationärer Zustand ein.
2. Die Schwingung hat die Frequenz ω der eingeprägten Spannung oder des Stromes.
3. Die Verluste der in den Wirkwiderständen R umgesetzte Energie PV = i2 R
müssen von der Quelle zugeführt werden. Sie gehen als Wärme verloren.
4. Für Frequenzen ungleich der Resonanzfrequenz ωr pendelt zusätzliche Energie
zwischen dem Schwingkreis und der Quelle hin und her.
5. Im Resonanzfall für ω = ωr kann eine Spannungsüberhöhung UL /U = UC /U
auftreten.
2 Wird
ein gedämpfter Schwingkreis nur einmalig mit einem Puls angeregt schwingt er mit der Eigenfrequenz fe aus.
GdE2-24
[email protected]ünster.de
1. Februar 2017
10. Schwingkreise
10.2
Erzwungene Schwingungen
Spannungsüberhöhung3 bei einem Reihenschwingkreis mit Z = Rr + j(XL + XC )
für Rr < (XLr = −XCr ).
Resonanz:
Frequenzabhängigkeiten
300
250
12
10
200
8
150
6
100
Strom in mA
Spannung in Volt
14
U_L(f)
U_C(f)
I_R(f)
4
50
2
0
0
20
40
60
Frequenz in Hz
80
0
100
Abbildung 10.2.1.: Gemessene Resonanzkurven der Spannungen und des Stroms
Maxima:
Das Maximum des Stromes liegt bei der Resonanzfrequenz, das der Kondensatorspannung tiefer und das der Spulenspannung höher, wie in Abb. 10.2.2 für den Reihenschwingkreis aus Abb. 10.2.1 .
Resonanzpunkte
266
Spannung in Volt
12.5
U_L(f)
U_C(f)
I_R(f)
U_S_p(f)
268
12.45
12.4
264
12.35
262
12.3
260
12.25
258
Strom in mA
270
12.2
256
254
12.15
252
12.1
250
12.05
49
49.5
50
Frequenz in Hz
50.5
51
Abbildung 10.2.2.: Verschiebung der Resonanzmaxima bei einem Reihenschwingkreis
Komplex:
Die Impedanz des RCL-Reihenschwingkreises (reale Spule plus Kondensator) ist
Z = Z Sp + Z C
(10.2.1)
3 Die
Kurven aus Abb. 10.2.1 ergeben sich für die Bauelementewerte
√ R = 3kΩ, L = 68H und C = 150nF im Freqenzbereich
0Hz ≤ f ≤ 100Hz. Bei der Resonanzfrequenz fr = 1/(2π LC) ≈ 50Hz wird XL = 21,362kΩ und XC = −21,220kΩ,
womit die Bedingung einer Resonanzüberhöhung erfüllt ist.
1. Februar 2017
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GdE2-25
10.2
Erzwungene Schwingungen
10. Schwingkreise
mit der Impedanz der Spule4
Z Sp = R + Z L = R + jXL = R + jωL
(10.2.2)
und der Impedanz des Kondensators
Z C = jXC = −j
Strom:
1
ωC
(10.2.3)
Damit ergibt sich der komplexe Strom durch die Reihenschaltung zu
I=
U
U
=
Z
R + j(ωL −
(10.2.4)
1
ωC )
mit der Quellenspannung als Bezugspunkt, d.h. U = U .
Spannungen:
Die Spannung am Kondensator wird damit zu
U C = Z C I = −j
1
−j ωC
1
I=
ωC
R + j(ωL −
1 U
ωC )
(10.2.5)
Die Spannung an der realen Spule wird damit zu
U Sp = Z Sp I = (R + jωL)I =
R + jωL
1 U
R + j(ωL − ωC
)
(10.2.6)
mit der (nicht messbaren) Teilspannung am Kupfer-Widerstand
U R = RI =
R
R + j(ωL −
1 U
ωC )
(10.2.7)
und der (nicht messbaren) Teilspannung an der Induktivität
U L = Z L I = jωLI =
Resonanz:
jωL
R + j(ωL −
1 U
ωC )
(10.2.8)
Die Resonanzfrequenz fr ist die Frequenz, bei der die Ströme und / oder Spannungen
des Reihenschwingkreises ihr Betragsmaximum haben.
→ Für ihre 1. Ableitungen gilt
d
|f (ω)| = 0
dω
Betrag:
Für den Betrag einer komplexen Größe gilt
U |U |
U
=
|I| = I = =
Z
|Z|
Z
(10.2.9)
(10.2.10)
An der Stelle, an der der Betrag einer komplexen Größe ein Maximum hat, ist auch
das Quadrat dieser Größe maximal
d U
d U2
=
=0
(10.2.11)
dω Z
dω Z 2
Damit ergeben sich folgende Gleichungen und Ergebnisse
4 Zu
beachten ist, dass bei einer realen Spule anstelle von R = RCu und XL nur der Scheinwiderstand der Spule Z Sp messtechnisch
zugänglich ist. In der Berechnung kann der Einfluss beider Teile jedoch separat betrachtet werden.
GdE2-26
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1. Februar 2017
10. Schwingkreise
Strom:
10.2
Erzwungene Schwingungen
Aus der Gln. 10.2.4 des Stromes
I2
1
= 2
L
2
2
U2
R + ω L − 2C
+
1
ω2 C 2
(10.2.12)
folgt mit der Ableitung nach der Quotientenregel für die Funktion
u(ω)
v(ω)
(10.2.13)
u0 (ω) · v(ω) − u(ω) · v 0 (ω)
(v(ω))2
(10.2.14)
y=
und deren Ableitung
y0 =
mit den Teilfunktionen
u(ω) = 1
(10.2.15)
und
v(ω) = R2 + ω 2 L2 − 2
L
1
+ 2 2
C |ω {z
C}
1
C2
(10.2.16)
ω −2
und deren Ableitungen
u0 (ω) = 0
(10.2.17)
und
v 0 (ω) = 2ωL2 −
für den Zähler
−2ωI L2 +
2
(10.2.18)
ω3 C 2
2
=0
ωI3 C 2
(10.2.19)
Nach Multiplizieren mit ωI3 C 2 /2
ωI4 C 2 L2 = 1
(10.2.20)
ergibt sich das Ergebnis zu
r
ωI =
Kondensator:
1
= ωr
LC
(10.2.21)
Aus der Gln. 10.2.5 der Kondensatorspannung
1
UC2
ω2 C 2
=
L
U2
R2 + ω 2 L2 − 2 C
+
1
ω2 C 2
(10.2.22)
wird mit der Ableitung nach der Quotientenregel mit den Teilfunktionen
u(ω) =
1
1
= 2 ω −2
ω2 C 2
C
und
v(ω) = R2 + ω 2 L2 − 2
1
L
+ 2 2
C
ω C
(10.2.23)
(10.2.24)
und deren Ableitungen
2
ω3 C 2
(10.2.25)
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GdE2-27
u0 (ω) = −
1. Februar 2017
10.2
Erzwungene Schwingungen
10. Schwingkreise
und
v 0 (ω) = 2ωL2 −
für den Zähler
−
2
(10.2.26)
ω3 C 2
4L2
4L
2R2
−
+ 3 3 =0
3
2
ωC C
ωC C 2
ωC C
(10.2.27)
Durch Multiplizieren mit ωC C 3 /2 und zusammenfassen
1
2
2
2 (2L − R C) = 2L C
ωC
(10.2.28)
2L
R2 C
1
R2
−
=
−
2L2 C
2L2 C
LC
2L2
(10.2.29)
ergibt sich
2
ωC
=
Mit
R2 LC
1 R2 C
R2 C
·
=
·
= ωr2 ·
2
2L LC
LC 2L
2L
ergibt sich das Ergebnis
r
ωC =
R2
1
−
= ωr
LC
2L2
r
1−
(10.2.30)
R2 C
= ωr · kv
2L
(10.2.31)
als multiplikative Verschiebung der Resonanzkreisfrequenz zu tieferen Frequenzen
(kv ≤ 1) hin.
FRAGE:
Ist das Argument der Wurzel in Gln. 10.2.31 eigentlich immer positiv?
Antwort:
Nehmen wir eine RLC-Reihenschaltung mit R = 15Ω, L = 0,2H und C = 30µF
und rechnen einmal . . .
• Resonanzkreisfrequenz
ωr =
• Verschiebungsfaktor
kv =
mit einer reelen Wurzel für
R≤
Für R > 115,47Ω gibt es keine Schwingung mehr, da die Dämpfung zu groß ist!
• Verschiebung der Resonanzkreisfrequenz beim Kondensator
ωC
• Verschiebung der Resonanzkreisfrequenz bei der Spule
→ Kommt ERST GLEICH !!!
ωL =
• Zusammenhang
ωr =
GdE2-28
[email protected]ünster.de
√
ωC ωL
1. Februar 2017
10. Schwingkreise
Spule:
10.3
Reihenschwingkreis
Aus der Gln. 10.2.8 der Spulenspannung
ω 2 L2
UL2
=
L
U2
+
R2 + ω 2 L2 − 2 C
(10.2.32)
1
ω2 C 2
wird mit der Ableitung nach der Quotientenregel mit den Teilfunktionen
u(ω) = ω 2 L2
und
v(ω) = R2 + ω 2 L2 − 2
(10.2.33)
L
1
+ 2 2
C
ω C
(10.2.34)
und deren Ableitungen
u0 (ω) = 2ωL2
und
v 0 (ω) = 2ωL2 −
für den Zähler
2ωL L2 R2 −
(10.2.35)
2
ω3 C 2
(10.2.36)
4L2
4ωL L3
=0
+
C
ωL C 2
(10.2.37)
Durch erweitern mit ωL C 2 /2L2 und zusammenfassen
2
ωL
(C 2 R2 − 2LC) = −2
(10.2.38)
ergibt sich analog zur Kondensatorspannung für die Spulenspannung
r
ωL =
2
ωr
ωr
=q
=
2
2
2
2LC − R C
kv
1 − R2LC
(10.2.39)
als multiplikative Verschiebung der Resonanzkreisfrequenz zu höheren Frequenzen
(1/kv ≥ 1) hin.
10.3. Reihenschwingkreis
Reihe:
Bei einem Reihenschwingkreis bezeichnet die Spannungsresonanz bei der Schaltung
in Abb. 10.3.1 nur einen von drei möglichen Zuständen:
1. Strom I ist voreilend gegenüber der Spannung U
2. Strom I ist in Phase mit der Spannung U
3. Strom I ist nacheilend gegenüber der Spannung U
Berechnung:
Für das Zeigerdiagramm lässt sich die Maschengleichung aufstellen
U = UR + UL + UC = UR + UB
(10.3.1)
Für die Teilspannungen gilt mit dem Ohmschen Gesetz
1. Februar 2017
UR
= Z R I = RI
(10.3.2)
UL
=
(10.3.3)
UC
Z L I = jXL I = jωLI
1
= Z C I = jXC I = −j
I
ωC
UB
= Z B I = j(XL + XC )I = j(ωL −
[email protected]ünster.de
(10.3.4)
1
)I
ωC
(10.3.5)
GdE2-29
10.3
Reihenschwingkreis
I
10. Schwingkreise
R
U
UR
UL
U
UL
C
UB
ϕ
L
UC
UC
Schaltbild
UR
Zeigerdiagramm
Abbildung 10.3.1.: Reihen- oder Spannungsresonanz
Spannung:
Strom:
Damit gilt für die Gesamtspannung
1
U = R + j ωL −
I
ωC
Für den Strom durch die Bauelemente ergibt sich durch Umstellen
I=
Resonanz:
(10.3.6)
U
R + j ωL −
1
ωC
(10.3.7)
Es kann eine Resonanzfrequenz5 fr gefunden werden mit
XBr = XLr + XCr = ωr Lr −
1
=0
ωr Cr
(10.3.8)
Damit wird der Betrag der Impedanz Z = Zmin = R reell und minimal, d.h. der
Strom I ist in Phase zur Spannung U und hat sein Maximum, wie bei der Resonanzfrequenz fr .
ωr :
Bei festen Bauelementewerten Rr , Lr und Cr ergibt sich dann die Resonanzkreisfrequenz oder Kennkreisfrequenz vereinfachtt zu
ωr = 2πfr = √
1
Lr Cr
(10.3.9)
XKr :
Mit der Resonanzkreisfrequenz kann der Kennwiderstand des Resonanzkreises definiert werden zu
s
L2r
Cr
Lr
=
·
= −XCr
(10.3.10)
XKr = XLr = ωr Lr = √
Lr Cr Cr
Lr Cr
Impedanzen:
Der Verlauf des Betrages der Impedanzen als Funktion der Frequenz in Abb. 10.3.2
zeigt bei der Resonanzfrequenz ein Minimum der Gesamtimpedanz auf. 6
5 Hier muss man eigentlich von der Kompensationsfrequenz f
0 sprechen, bei der der Imaginärteil der komplexen Impedanz Im{Z} = 0
wird. Obwohl nur die Resonanzfrequenz fr die tatsächlichen Maxima der Resonanzgrößen ergibt, verwendet man die Resonanzfrequenz anstelle der Kompensationsfrequenz. Das machen wir hier auch!
p
6 Die Bauteilewerte des Reihenschwingkreises sind: R = 3.2E3Ω, L = 67.547H und C = 150.E − 9F mit X
L/C =
kr =
21,2kΩ und Q = Xkr /R = 6,6.
GdE2-30
[email protected]ünster.de
1. Februar 2017
10. Schwingkreise
10.4
Parallelschwingkreis
Frequenzabhängigkeiten
Impedanz in k Ohm
1000
Z_L(f)
Z_C(f)
Z_R(f)
Z_G(f)
100
10
1
10
20
30
40
50
60
70
Frequenz in Hz
80
90
100
Abbildung 10.3.2.: Frequenzabhängigkeiten des Betrags der Impedanzen bei einem Reihenschwingkreis
10.4. Parallelschwingkreis
Parallel:
Bei einem Parallelschwingkreis bezeichnet die Stromresonanz bei der Schaltung in
Abb. 10.4.1 nur einen von drei möglichen Zuständen:
1. Spannung U ist voreilend gegenüber dem Strom I
2. Spannung U ist in Phase mit dem Strom I
3. Spannung U ist nacheilend gegenüber dem Strom I
I
IR
IL
IC
IC
U
C
R
I
IL
Schaltbild
IB
ϕ
L
IR
Zeigerdiagramm
Abbildung 10.4.1.: Parallel- oder Stromresonanz
Berechnung:
Für das Zeigerdiagramm lässt sich die Knotengleichung aufstellen
I = IR + IL + IC = IR + IB
(10.4.1)
Für die Teilströme gilt mit dem Ohmschen Gesetz
IR
IC
IL
1. Februar 2017
= Y G U = GU
= Y C U = jBC U = jωCU
1
= Y L U = jBL U = −j
U
ωL
[email protected]ünster.de
(10.4.2)
(10.4.3)
(10.4.4)
GdE2-31
10.5
Kenngrößen von Schwingkreisen
IB
Strom:
10. Schwingkreise
=
Y B U = j(BC + BL )U = j(ωC −
1
)U
ωL
(10.4.5)
Damit gilt für den Gesamtstrom
1
I = G + j ωC −
U
ωL
Spannung:
Für die Spannung an den Bauelementen ergibt sich durch Umstellen
U=
Resonanz:
(10.4.6)
I
G + j ωC −
1
ωL
(10.4.7)
Es kann eine Resonanzfrequenz fr gefunden werden mit der Bedingung
BBr = BCr + BLr = ωr Cr −
1
=0
ωr Lr
(10.4.8)
Damit wird die Gesamtadmittanz reell, d.h. Strom I und Spannung U sind in Phase
Y G = YG = G
ωr :
(10.4.9)
Bei festen Bauelementewerten Rr , Lr und Cr ergibt sich die Resonanzkreisfrequenz
oder Kennkreisfrequenz zu
ωr = 2πfr = √
1
Lr Cr
(10.4.10)
BKr :
Mit der Resonanzkreisfrequenz kann der Kennleitwert des Resonanzkreises definiert
werden zu
r
Cr
BKr = BCr = −BLr =
(10.4.11)
Lr
Admittanzen:
Der Verlauf des Betrages der Admittanzen als Funktion der Frequenz in Abb. 10.4.2
zeigt bei der Resonanzfrequenz ein Minimum der Gesamtadmittanz auf. 7
Impedanzen:
Der Verlauf des Betrages der Impedanzen als Funktion der Frequenz in Abb. 10.4.3
zeigt bei der Resonanzfrequenz ein Maximum der Gesamtimpedanz auf. 8
10.5. Kenngrößen von Schwingkreisen
Vergleich:
Ein Vergleich der Berechnungen beim Reihen- mit dem Parallelschwingkreis zeigt ein
duales Verhalten:
1. Der Gleichungsaufbau ist vollkommen identisch.
2. Um die entsprechenden Gleichungen zu überführen können wechselseitig ersetzt
werden:
• Spannung U und Strom I,
7 Die
Bauteilewerte des Parallelschwingkreises sind: R = 3.2E5Ω, L = 67.547H und C = 150.E − 9F .
beachten ist im Vergleich mit dem Reihenschwingkreis aus Abb. 10.3.2, dass der ohmsche Widerstand den 100-fachen Wert hat, um
eine vergleichbare Kurvenform zu bekommen.
8 Zu
GdE2-32
[email protected]ünster.de
1. Februar 2017
10. Schwingkreise
10.5
Kenngrößen von Schwingkreisen
Frequenzabhängigkeiten
Admittanz in mS
1
Y_L(f)
Y_C(f)
Y_R(f)
Y_G(f)
0.1
0.01
0.001
10
20
30
40
50
60
70
Frequenz in Hz
80
90
100
Abbildung 10.4.2.: Frequenzabhängigkeiten des Betrags der Admittanzen bei einem Parallelschwingkreis
Frequenzabhängigkeiten
Impedanz in k Ohm
1000
Z_L(f)
Z_C(f)
Z_R(f)
Z_G(f)
100
10
1
10
20
30
40
50
60
70
Frequenz in Hz
80
90
100
Abbildung 10.4.3.: Frequenzabhängigkeiten des Betrags der Impedanzen bei einem Parallelschwingkreis
1. Februar 2017
[email protected]ünster.de
GdE2-33
10.5
Kenngrößen von Schwingkreisen
10. Schwingkreise
• Impedanz Z und Admittanz Y ,
• Widerstand R und Leitwert G,
• Blindwiderstand X und Blindleitwert Y sowie
• Kapazität C und Induktivität L.
3. Es gibt nur eine identische Resonanzkreisfrequenz ωr .
4. Im Resonanzfall tritt nur der Wirkwiderstand Rr = 1/Gr nach außen in Erscheinung.
5. Für den Kennwiderstand und den Kennleitwert gilt XKr = 1/BKr .
→ Einführung gemeinsamer Kenngrößen!
Frequenz:
Zur besseren Darstellung der Frequenzabhängigkeit der Blindwiderstände wird die
normierte Frequenz definiert zu
Ω=
ω
f
=
ωr
fr
→
ω = ωr Ω
(10.5.1)
Damit werden z.B. die Blindwiderstände des Reihenschwingkreises zu
XL
XC
XB :
= ωLr = Ωωr Lr = ΩXLr
1
= − Ωω1r Cr =
= − ωC
r
1
Ω XCr
= ΩXkr
1
= − XKr
Ω
(10.5.2)
(10.5.3)
Die Abhängigkeit der Summe der Blindwiderstände wird damit
XB
v:
1
= XL + XC = ΩXKr − XKr
Ω
1
=
Ω−
XKr = vXKr
Ω
(10.5.4)
Als relative Verstimmung wird jetzt definiert
v =Ω−
ω
f
1
ωr
fr
=
=
−
−
Ω
ωr
ω
fr
f
(10.5.5)
Impedanzen:
Die normierte Darstellung der Frequenzabhängigkeiten in Abb. 10.5.1 zeigt den prinzipiellen Verlauf losgelöst von tatsächlichen Schaltungswerten. 9
BB :
Analog ergibt sich für den Parallelschwingkreis die Abhängigkeit der Summe der
Blindleitwerte zu
BB = BC + BL = vBKr
(10.5.6)
Normiert:
Wird die Impedanz Z der Reihenschaltung auf den Wert bei der Resonanzfrequenz
normiert, so ergibt sich mit der relativen Verstimmung v
Z
Rr + jXBr
XBr
XKr
=
=1+j
=1+j
v
Zr
Rr
Rr
Rr
(10.5.7)
Wird die Admittanz Y der Parallelschaltung auf den Wert bei der Resonanzfrequenz
normiert, so ergibt sich analog
Gr + jBBr
BBr
BKr
Y
=
=1+j
=1+j
v
Yr
Gr
Gr
Gr
9 Resonanz:
(10.5.8)
normierte Frequenz Ω = ω/ωr = 1, bzw. relative Verstimmung v = Ω − 1/Ω = 0 und normierte Impedanz X/Xkr =
±1.
GdE2-34
[email protected]ünster.de
1. Februar 2017
10. Schwingkreise
10.5
Kenngrößen von Schwingkreisen
Frequenzabhängigkeiten
4
XL(x)
XC(x)
Xr(x)
normierte Impedanz
3
2
1
0
−1
−2
−3
−4
0
0.5
1
1.5
2
2.5
normierte Frequenz
3
3.5
4
Abbildung 10.5.1.: Normierte Frequenzabhängigkeiten der Blindwiderstände bei einem Reihenschwingkreis
Güte:
Aus beiden Gleichungen kann nun die Kreisgüte, der Gütefaktor oder die Resonanzschärfe definiert werden. Beim Reihenschwingkreis erhalten wir
Qr =
XKr
Rr
(10.5.9)
→ Die Güte ist beim Reihenschwingkreis ein Maß für die Schwingungsintensität bei
Resonanz, also die Resonanzverstärkung der Spannung an den Blindkomponenten.
Beim Parallelschwingkreis erhalten wir entsprechend
Qr =
BKr
=
Gr
1
XKr
1
Rr
=
Rr
XKr
(10.5.10)
→ Die Güte ist beim Parallelschwingkreis ein Maß für die Resonanzverstärkung des
Stromes. Wie zu sehen ist, hat ein einfacher Reihen- und Parallelschwingkreis aus denselben Bauelementen entweder Spannungs- oder Stromresonanz, nie beides gleichzeitig.
Dämpfung:
Anstelle der Kreisgüte kann auch die Dämpfung verwendet werden
dr =
FRAGE:
1
Qr
(10.5.11)
Eine gegebene RLC-Reihenschaltung mit der Impedanz Z RLC wird an die Spanungsquelle U angeschlossen. Wie groß ist die Spannung U RLC an der Impedanz bei der
Resonanzfrequenz?
ANTWORT:
1. Februar 2017
[email protected]ünster.de
GdE2-35
10.5
Kenngrößen von Schwingkreisen
Bedeutung:
10. Schwingkreise
Der Amplituden- bzw. Phasengang in Abb. 10.5.2 verläuft um so steiler, je kleiner die
Dämpfung d bzw. je größer die Güte Qr des Kreises ist.
Frequenzabhängigkeiten
0.25
Frequenzabhängigkeiten
100
I_G_1(v)
I_G_2(v)
I_G_5(v)
Q=2
80
Q = 1 60
0.2
Phase in Grad
45°
normierter Strom
P_G_1(v)
P_G_2(v)
P_G_5(v)
Q=5
0.15
0.1
40
20
0
−20
−40
−45°
0.05
−60
Q=5
Q=2
Q=1
0
−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1
relative Verstimmung
1.5
−80
−100
−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1
relative Verstimmung
1.5
Abbildung 10.5.2.: Definition der Bandbreite bei einem Reihenschwingkreis
Bandbreite:
Zur Objektivierung der subjektiven Beurteilung der Resonanzkurven wird die Kenngröße Bandbreite definiert
bω = ω2 − ω1
(10.5.12)
bei dem der Betrag des Blindwiderstand gleich dem ohmschen Widerstand ist10
|XBr | = Rr
(10.5.13)
Mit der Kreisgüte Qr und der relativen Verstimmung v ist das bei einem Reihenschwingkreis gleichbedeutend mit
XBr
XKr
=
v = Qr v = 1
Rr
Rr
→
v=
1
Qr
(10.5.14)
Dieser Zusammenhang ist z.B. in Abb. 10.5.2 besonders gut sichtbar.
Strom:
Zur Bestimmung der Bandbreite aus dem Verlauf des Betrages der Schwingungsgröße
gehen aus vom Strom
I(v) =
Betrag:
U
U
=
Rr + jXB
Rr + jvXKr
(10.5.15)
Mit dem Betrag des Stromes bei Resonanz
|I(v = 0)| = I(v = 0) =
U
Rr
(10.5.16)
und dem Strom bei den Grenzkreisfrequenzen der Bandbreite
I(v = 1/Qr ) =
U
Rr + j
XKr
Q
| {zr }
(10.5.17)
Rr
10 Oder
der Phasenwinkel ϕ =
GdE2-36
45◦
beträgt
[email protected]ünster.de
1. Februar 2017
10. Schwingkreise
10.5
Kenngrößen von Schwingkreisen
und dessen Betrag
I(v = 1/Qr ) = p
U
U
√
=
2
Rr 2
+ Rr
Rr2
(10.5.18)
erhalten wir das Verhältnis der Strombeträge beim RLC-Reihenschwingkreis zu
√
I(v = 0)
= 2
I(v = 1/Qr )
Güte:
(10.5.19)
Zur Bestimmung der Bandbreite aus der Güte bzw. der Dämpfung bei der Resonanz
gehen wir von der Impedanz aus, die ihr Betragsminimum für v = 0 hat
|Z(v = 0)| = |Rr + jvXKr | = Rr
(10.5.20)
Bei den beiden Grenzkreisfrequenzen ω1,2 ist der Realteil der Impedanz gleich dem
Betrag des Imaginärteils
|Im{Z 1,2 }|
|v1,2 |XKr
= Re{Z 1,2 }
= Rr
(10.5.21)
Mit der Güte Q und den Grenzkreisfrequenzen folgt dann direkt
ωr
Rr
1
ω1,2
−
= v1,2 = ∓
=∓
ωr
ω1,2
XKr
Qr
| {z }
{z
}
|
(10.5.22)
T eil2
T eil1
Multiplizieren mit ω1,2 ωr ergibt die quadratische Gleichung
2
ω1,2
±
Mathematik:
ω1,2 ωr
− ωr2 = 0
Q
(10.5.23)
Die allgemeine Lösung einer quadratischen Gleichung der Form
x2 + ax − b = 0
(10.5.24)
ist
r
a
a2
+b
(10.5.25)
x1,2 = − ±
2
4
Da als Lösung nur positive Grenzfrequenzen möglich sind, entfällt die negative Wurzel. Mit den positiven Werten für die Grenzkreisfrequenzen erhalten wir die Nullstellen zu
r
ωr
1
ω1 = −
+ ωr ·
+1
2Q
4Q2
r
1
ωr
+ ωr ·
+1
(10.5.26)
ω2 = +
2Q
4Q2
Elektrotechnik:
Die Bandbreite entspricht der Differenz
bω = ω2 − ω1 =
1. Februar 2017
ωr
= ωr d
Q
[email protected]ünster.de
(10.5.27)
GdE2-37
10.5
Kenngrößen von Schwingkreisen
10. Schwingkreise
FRAGE:
Liegt die Resonanzfrequenz genau in der Mitte zwischen der unteren und der oberen
Grenzfrequenz?
Antwort:
Dazu berechnen wir für den RLC-Reihenschwingkreis:
Induktivität:
Kapazität:
Resonanzfrequenz:
Kennwiderstand:
Widerstand:
Güte:
Untere Frequenz:
Obere Frequenz:
Arithmetisches Mittel:
Geometrisches Mittel:
Praxis:
L
C
fr
= 67,547H
= 0,15µF
=
=
= 3,2kΩ
=
=
=
=
=
XKr
R
Qr
f1
f2
fr0
fr0
Aus der relativen Verstimmung v1 = −1/Qr und v2 = 1/Qr erhalten wir durch
Gleichsetzen
−v1
ω1
ωr
−
ω1
ωr
ωr2 ω2 − ω12 ω2
ωr2 (ω2
FRAGE:
=
=
v2
ω2
ωr
−
| · ω1 ω2 ωr
ωr
ω2
ω1 ω22 − ωr2 ω1
+ ω1 )
=
ω1 ω2 (ω2 + ω1 )
ωr2
=
ωr
=
fr
=
ω1 ω2
√
ω1 ω2
p
f1 f2
=
(10.5.28)
Können aus der Messung der Spannungsüberhöhung bei Resonanz direkt Kenngrößen
von Schwingkreisen berechnet werden?
ANTWORT:
Messung:
Die Impedanz eines Reihenschwingkreises bezogen auf die Resonanzfrequenz ist
Z = R + jXB = R + jvXKr
(10.5.29)
mit der relativen Verstimmung v und dem Kennwiderstand XKr . Die Spannung am
Kondensator ist
(10.5.30)
U C = ZC I
mit dem Strom durch die Reihenschaltung
I=
U
Z
(10.5.31)
und der kapazitiven Impedanz
Z C = jXC = −j
GdE2-38
[email protected]ünster.de
1
ωC
(10.5.32)
1. Februar 2017
10. Schwingkreise
10.6
Zusammenfassung
Mit der normierten Frequenz Ω und dem Kennwiderstand XKr folgt
Z C = −j
Spannung:
1
ω
ωr ωr C
= −j
1 1
1
= −j XKr
Ω ωr C
Ω
(10.5.33)
Damit wird die Spannungsüberhöhung, das Verhältnis der Kondensatorspannung zur
Quellenspannung
−j Ω1 XKr
Z
UC
= C =
(10.5.34)
U
Z
R + jvXKr
Mit der Resonanzbedingung ω = ωr wird die normierte Frequenz Ω = 1 und die
relative Verstimmung v = 0. Dann gilt für das Spannungsverhältnis
−jXKr
UC
=
U
R
(10.5.35)
und für den Betrag der Spannungsüberhöhung gilt mit der Güte Q
U C UC
XKr
U = U = R =Q
(10.5.36)
→ Analoges gilt für die Spannungsüberhöhung an der Spule, da sich die Summe der
Spannungen an der Spule und dem Kondensator bei Resonanz ja zu Null addieren
müssen.
10.6. Zusammenfassung
Schwingkreis:
In einem (RLC-Reihen-) Schwingkreis wird die Energie zwischen zwei Energiespeichern ausgetauscht:
• Magnetische Energie Wm = 12 Li2 in der Spule
• Elektrische Energie We = 12 Cu2 im Kondensator
Eigenfrequenz:
Wird der Schwingkreis mit einer Sprungfunktion einmalig angeregt, so tritt eine gedämpfte Schwingung mit der Frequenz fe auf.
Resonanzfrequenz:
Wird der Schwingkreis mit der Frequenz fr angeregt, so tritt im Resonanzfall ein
Maximum der Resonanzgröße auf, bei der die 1. Ableitung der Resonanzgröße gleich
Null ist.
Kompensationsfrequenz: Die theoretische Frequenz f0 , bei der der Blindwiderstand der Schaltung
Im{Z} = 0 ist, wird in der Praxis anstelle der Resonanzfrequenz verwendet. Dabei gilt aber nur fr = f0 = fe für Re{Z} = 0. Mit zunehmender Dämpfung werden
die Abweichungen größer und bei zu großer Dämpfung tritt keine Schwingung mehr
auf.
1. Februar 2017
[email protected]ünster.de
GdE2-39
10.7
Übungsaufgaben
10. Schwingkreise
10.7. Übungsaufgaben
Aufgabe 10.7.1
(Tiefpass)
-> Seite 156
Aufgabe 10.7.2
(Hochpass)
-> Seite 156
Aufgabe 10.7.3
(Schwingkreis)
-> Seite 156
Aufgabe 10.7.4
(Schwingkreis)
-> Seite 156
Bei dem dargestellten Tiefpass mit C =
100nF soll die Grenzfrequenz fg =
1,0kHz betragen.
Welcher Widerstand R ist vorzusehen?
R
U1
Bei dem dargestellten Hochpass mit
R = 1,0kΩ beträgt die Grenzfrequenz
fg = 1,2kHz.
Wie groß ist das Verhältnis U2 /U1 bei
einer Frequenz von f = 500Hz?
C
U1
Der angegebene Reihenschwingkreis
mit L = 10mH soll so ausgelegt werden,
dass die Resonanzfrequenz fr = 10kHz
und die Bandbreite b = 1kHz betragen.
Welche Werte sind für R und C vorzusehen?
Von
einer
an
U = 100V liegenden
RLC-Reihenschaltung
ist
die
angegebene
Resonanzkurve bekannt.
U2
C
U2
R
R
L
C
I/A
I
R
U
8
L
4
C
ω /s −1
0
300 500
Welche Werte haben R, L und C?
Aufgabe 10.7.5
(Schwingkreis)
-> Seite 157
Von
einer
an
U = 100V liegenden
RLC-Parallelschaltung
ist
die
angegebene
Resonanzkurve bekannt.
I/A
I
R
L
C
U
8
4
ω /s −1
0
300 500
Welche Werte haben R, L und C?
Aufgabe 10.7.6
(Schwingkreis)
-> Seite 157
In der angegebenen Schaltung sind R1 ,
R2 , L und C als bekannt anzusehen.
R1
L
C
R2
Es ist die Resonanzkreisfrequenz ωr der Schaltung in allgemeiner Form zu bestimmen.
GdE2-40
[email protected]ünster.de
1. Februar 2017
10. Schwingkreise
Aufgabe 10.7.7
(Schwingkreis)
-> Seite 157
10.7
Bei der angegebenen Schaltung sind R1 ,
R2 , L und C als bekannt anzusehen.
Übungsaufgaben
R1
L
R2
C
Es ist die Resonanzkreisfrequenz ωr der Schaltung in allgemeiner Form zu bestimmen.
Aufgabe 10.7.8
(Schwingkreis)
-> Seite 157
Von der angegebenen Schaltung mit
R = 100Ω, C = 100nF und L = 10mH
sind
R
C
L
1. die Resonanzfrequenz fr ,
2. der bei der Frequenz fr vorhandene Gesamtwiderstand Zr zu bestimmen.
Aufgabe 10.7.9
(Schwingkreis)
-> Seite 158
Die angegebene Schaltung mit L1 =
0,1H, L2 = 0,2H, C = 10µF liegt an
einer Wechselspannung U mit einstellbarer
Frequenz.
L2
L1
C
U
UR R
1. Bei welchen Frequenzen f1 ist
U R = 0?
2. Bei welchen Frequenzen f2 ist U R = U ?
Aufgabe 10.7.10
(Schwingkreis)
-> Seite 158
1. Februar 2017
Die angegebene Schaltung mit L1 =
10mH ist so auszulegen, dass der Gesamtwiderstand für die Frequenz f1 = 4kHz
Null wird und für die Frequenz f2 = 3kHz
unendlich groß wird.
Welche Werte sind für C und L2 vorzusehen?
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C
L1
L2
GdE2-41
11. Mehrphasensysteme
Ziele:
In diesem Kapitel werden speziell Dreiphasensysteme behandelt, als die Erweiterung
eines Einphasensystems mit folgenden allgemeinen Vorteilen:
• Einsparung von Leitermaterial und geringere Verluste, da die Summe der Leiterströme zu jedem Zeitpunkt null ist, wodurch der Neutralleiter entfallen kann
• Verfügbarkeit der zwei Spannungen 400V und 230V
• Transformierbarkeit und damit wirtschaftliche Übertragung großer Mengen elektrischer Energie über große Entfernungen
Anwendung:
Dreiphasensysteme werden speziell in der Energietechnik eingesetzt zur
• Erzeugung und Übertragung konstanter Wirkleistung
• Erzeugung eines Drehfeldes mit ruhender Dreiphasenwicklung für robuste und
kostengünstige Asynchronmotoren
11.1. Mehrphasengenerator
Wechselstrom:
Wechselstromsysteme sind Einphasensysteme mit je einer Hin- und Rückleitung für
den Strom
→ Erzeugung durch Rotation einer Spule in einem homogenen Magnetfeld (Praxis
umgekehrt, siehe Fahrraddynamo!).
Definition:
Symmetrische Mehrphasensysteme entstehen durch Rotation von m selbständig geschalteten Spulen, die um den Raumwinkel
α=
2π
m
(11.1.1)
versetzt angeordnet sind, in einem homogenen Magnetfeld.
→ Erzeugen von m Wechselspannungen, die um den Phasenwinkel
ϕ=
2π
m
(11.1.2)
zueinander phasenverschoben sind.
Spannungen:
Die m Wechselspannungen
U i = U 1 e−j(i−1)ϕ
, i = 1,m
(11.1.3)
bilden einen symmetrischen Stern.
GdE2-42
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1. Februar 2017
11. Mehrphasensysteme
11.2
U1
Ständer
120°
V2
W1
Rotor
11
00
00
11
11
00
00
11
11
00
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
N
S
Dreiphasengenerator
Parameter:
120°
111
000
000
111
000
111
000
111
000
111
000
111
000
111
000
111
000
111
000
111
000
111
000
111
000
111
000
111
000
111
000
111
000
111
000
111
• 1 GleichstromErregerwicklung
W2
• m = 3 WechselstromWicklungen: u, v, w
1111
0000
0000
1111
V1
0000
1111
0000
1111
• Polpaarzahl:
p=1
• Spulenversatz:
360◦ /3 = 120◦
120°
U2
Abbildung 11.2.1.: Querschnitt durch einen symmetrischen Dreiphasengenerator
11.2. Dreiphasengenerator
Generator:
In Analogie zu einem Wechselstromgenerator sind auf dem Stator eines Dreiphasengenerators 3 räumlich versetzte Wicklungen angeordnet (siehe Abb. 11.2.1) .
Frage:
Wie sehen die induzierten Spannungen in den 3 Wicklungen aus?
Induktion:
Eigentlich müsste jetzt das Induktionsgesetzt aus GdE 3 angewendet werden, bei dem
ein zeitlich veränderlicher magnetischer Fluss Φ durch eine Leiterschleife eine elektrische Spannung ui in der Schleife induziert entsprechend Abb. 11.2.2 .
Φ
S
Φ
N
t
N
Ui
t
V
Ui
(a)
(b)
Abbildung 11.2.2.: Experiment zur Induktion einer Spannung
→ Wir beschränken uns hier auf die Wirkung und arbeiten mit dem Induktionsgesetz
ui = −
dΦ
dt
erst im nächsten Semester!
Spannungen:
Entsprechend Gln. 11.1.3 entstehen 3 miteinander verketten symmetrischen Wechselspannungen
U 1 = U,
◦
U 2 = U 1 e−j120 ,
◦
◦
U 3 = U 2 e−j120 = U 1 e−j240
(11.2.1)
für deren Summe gilt
U1 + U2 + U3 = 0
1. Februar 2017
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(11.2.2)
GdE2-43
11.3
Drehfeld
11. Mehrphasensysteme
AUFGABE:
Zeigen Sie, dass diese Gleichung richtig ist!
LÖSUNG:
Drehstrom:
Drehstrom ist die umgangssprachliche Bezeichnung für dieses Dreiphasenwechselstrom-System, wie es in Abb. 11.2.3 dargestellt ist .
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
w(t)
v(t)
u(t)
u = u sinω t
U2 L2
w
v = v sin(ω t − 120°)
120°
u
L1
U1
120°
120°
w = w sin(ω t −240°)
0
1
2
3
4
5
6
v
U3
L3
Abbildung 11.2.3.: Spannungsdiagramm: (a) Zeitdarstellung, (b) Zeigerdiagramm
FRAGE:
Was dreht sich eigentlich beim Drehstrom?
ANTWORT:
11.3. Drehfeld
Motor:
Die Bedeutung des magnetischen Drehfeldes wird beim Betrieb des Generators als
Motor besonders deutlich. Dazu legen wir 3 phasenversetzten Wechselspannungen,
wie in Abb. 11.3.1 zu sehen ist, an die 3 Spulen eines Motors1 an.
Ströme:
Die in den Wicklungen fließenden zeitabhängige Ströme, die jeweils um 120◦ gegeneinander phasenverschoben sind, wie es in Abb. 11.3.1 dargestellt ist, erzeugen einen
magnetischen Summen-Fluss.
Wirkung:
Aus der Betrachtung für die vier Zeitpunkte t1 . . . t4 in Abb. 11.3.2 ist die Rotation
des Drehfeldes ersichtlich.
t1 = 0:
1 Die
Spule 1: 100% positiver Strom, Spule 2 und 3: 50% negativer Strom →
Die umhüllenden Feldlinien zeigen ein nach links gerichtetes, zweipoliges Magnetfeld.
Wicklungen eines Motors bestehen aus denselben 3 Spulen des Generators
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1. Februar 2017
11. Mehrphasensysteme
11.3
Drehfeld
t1 t2 t3 t4
1
1
2
3
w(t)
u(t)
v(t)
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
0
1
2
3
4
5
6
Abbildung 11.3.1.: Entstehung des Drehfeldes: Phasenfolge der Ströme
t1
t2
1
1
+100%
3
+86,6%
3
1
2
−50% −50%
3
1
−86,6%
2
3
2
1,5 φ Str
t3
t4
1
1
+50%
−100%
3
+50%
2
−86,6%
+86,6%
3
2
Abbildung 11.3.2.: Entstehung des Drehfeldes: Rotation des magnetischen Flusses
1. Februar 2017
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GdE2-45
11.4
Sternschaltung
11. Mehrphasensysteme
t2 = T /12: Spule 1: 86,6% positiver Strom, Spule 2: Strom = 0 und Spule 3: -86,6%
negativer Strom → Die umhüllenden Feldlinien zeigen um 30◦ gedrehtes
zweipoliges Magnetfeld.
Summe:
Drehfeld:
t3 :
Entsprechend weitere Drehung der umhüllenden Feldlinien um 30◦ .
t4 :
Entsprechend . . .
Die geometrische Addition der 3 zeitabhängigen Teilflüsse entsprechend Abb. 11.3.2
ergibt einen rotierenden magnetischen Fluss2 mit dem zeitlich konstanten Betrag
1,5Φ̂Str .
• Das Drehfeld rotiert kontinuierlich mit der Rotationsgeschwindigkeit (Winkelgeschwindigkeit) ω.
• Eine volle Umdrehung des Drehfeldes findet bei der 2-poligen Drehfeldmaschine3 genau in der Periode T statt. Für die Drehfeldgeschwindigkeit oder die synchrone Drehzahl erhalten wir dann
ns = f
(11.3.1)
wobei f die Frequenz der Ströme ist. Für eine Drehstrommaschine mit der allgemeinen Polpaarzahl p > 1 gilt analog
ns =
Drehsinn:
f
p
(11.3.2)
Werden 2 beliebige Zuleitungen (der 3 Leitungen) der Drehstromwicklung vertauscht,
so ändert sich der Drehsinn des Drehfeldes.
11.4. Sternschaltung
Schaltung:
Die 6 Leitungen der 3 Wicklungen des Generators können auf zwei Arten verschaltet
werden:
• Sternschaltung mit 3 oder 4 Leitungen
• Dreieckschaltung mit 3 Leitungen
→ Die Schaltungsarten werden beim Erzeuger hergeleitet. Sie sind aber beide auch
beim Verbraucher möglich.
→ Verkette Dreiphasensysteme ersparen Leitungen aufgrund des gemeinsamen oder
fehlenden Rückleiters.
Sternschaltung:
Verbindung der Anschlüsse u2, v2 und w2 zum Nullpunkt N (siehe Abb. 11.4.1)
Leiter:
Durch die Sternschaltung entsteht ein 3 oder 4 Leitersystem:
• 3 Außenleiter: u1 → L1 , v1 → L2 und w1 → L3
• 1 Sternpunktleiter: u2 → N , v2 → N und w2 → N
Strang:
Ein Strang ist der Zweig zwischen 2 Anschlusspunkten.
→ Strang mit Wicklung u zwischen L1 und N .
2 GdE
3 Für
3: Φ ∼ I wegen Φ = BA, B = µH und H = N I/l
je einen magnetischen Nord- und Südpol (p = 1) benötigt man jeweils 3 Spulen, bei p = 2 Polpaaren also 2 · 3 = 6 Spulen.
GdE2-46
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1. Februar 2017
11. Mehrphasensysteme
11.4
L2
L1
u1
u
UStr
U12
Sternschaltung
U12
U31
u2
w2
v2
v
L2
v1
w
w1
U1N
L1
U23
N
U2N
U23
U2N
U3N
L3
U3N
U31
U1N
L3
N
Abbildung 11.4.1.: Symmetrisches Vierleitersystem mit Spannungszeigerdiagramm
Spannungen:
• Die Strangspannung ist die Spannung an einem Strang
→ U Str
• Die Sternpunktspannung ist die Spannung zwischen einem Außenleiter und dem
Sternpunktleiter
→ U 1N , U 2N und U 3N mit U1N = U2N = U3N
→ Bei der Sternschaltung ist die Strangspannung gleich der Sternpunktspannung.
• Die Außenleiterspannung ist die Spannung zwischen 2 Außenleitern
→ U 12 , U 23 und U 31 mit U12 = U23 = U31
• Der Verkettungsfaktor
kv =
ULL
Außenleiterspannung
=
Sternpunktspannung
ULN
(11.4.1)
verknüpft die beiden möglichen Spannungsebenen.
Rechnung:
Es gilt z.B. für die komplexen Spannungen
U 12
=
U 1N − U 2N
=
U1N − U1N 6 (−120◦ )
= U1N − U1N [cos(−120◦ ) + j sin(−120◦ )]
= U1N (1 − [cos(−120◦ ) + j sin(−120◦ )])
(11.4.2)
und für deren Beträge
U12
=
=
p
(1 − cos(−120◦ ))2 + (sin(−120◦ ))2
√
U1N 3
U1N
(11.4.3)
Damit wird der Verkettungsfaktor des Dreiphasensystems
√
U12
= 3
U1N
(11.4.4)
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GdE2-47
kv =
1. Februar 2017
11.5
Dreieckschaltung
11. Mehrphasensysteme
• I Str ist ein Strangstrom
Ströme:
• I 1 ist ein Außenleiterstrom
• I N ist der Sternpunktleiterstrom
11.5. Dreieckschaltung
Durch die wechselseitige Verbindung der drei Wicklungen u2 − v1, v2 − w1 und
w2 − u1 entfällt der Sternpunktleiter
Dreieckschaltung:
→ kein Sternpunkt (siehe Abb. 11.5.1) und nur eine Spannungsebene
I1
L1
u1
w2
I12
u
I Str
u2
w
I1
I31
I2
I12
I 23
L2
I3
v1
w1
I 31
I23
v
I2
I3
v2
L3
Abbildung 11.5.1.: Dreieckschaltung mit Stromzeigerdiagramm
Außenleiter:
L1 , L2 und L3
Leiterzahl:
3
Ströme:
• Die Strangströme fließen durch einen Strang
→ I Str , I 12 , I 23 und I 31
→ Die Strangströme sind Ströme zwischen zwei Außenleitern.
• Die Außenleiterströme sind die Ströme, die durch die Außenleiter fließen
→ I 1 , I 2 und I 3 ,
Rechnung:
Kirchhoffschen Knotenregel für symmetrische Last
I1
= I 31 − I 12
I2
= I 12 − I 23 = I 1 6 120◦
I3
= I 23 − I 31 = I 1 6 (−120◦ )
→ Mit dem Verkettungsfaktor gilt für die Beträge
IL = kv IStr
Stromsumme:
Da kein Sternpunktleiter vorhanden ist, gilt für beliebige Belastungen
I1 + I2 + I3 = 0
GdE2-48
(11.5.1)
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(11.5.2)
1. Februar 2017
11. Mehrphasensysteme
11.6
Verbraucherschaltungen
11.6. Verbraucherschaltungen
Y-4-Y:
Werden sowohl Verbraucher als auch Generator wie in Abb. 11.6.1 im Stern geschaltet, so können sowohl die 3 Phasen als auch der Sternpunktleiter über ein Vierleitersystem verbunden werden.
U12
I1
L1
U23
I2
L2
Z3
Z2
U31
U2N
U3N
Z1
U1N
L3
I3
IN
N
ZN
Abbildung 11.6.1.: Stern-Stern-Schaltung im Vierleitersystem
Strom:
Bei symmetrischer Last mit Z 1 = Z 2 = Z 3 sind die Beträge der Außenleiterströme
gleich I = I1 = I2 = I3 und damit wird der Sternpunktleiterstrom zu
IN = I1 + I2 + I3 = 0
Y-3-Y:
(11.6.1)
Bleiben sowohl Verbraucher als auch Generator wie in Abb. 11.6.2 im Stern geschaltet, so können die 3 Phasen auch über ein Dreileitersystem verbunden werden.
U12
I1
L1
U23
I2
L2
Z1
N’
Z3
U31
U2N
U3N
Z2
U1N
L3
I3
IN
UN’N
N
Abbildung 11.6.2.: Stern-Stern-Schaltung im Dreileitersystem
Strom:
Bei beliebiger Last ist immer I N = 0 und damit wird die Summe der Außenleiterströme
I1 + I2 + I3 = 0
(11.6.2)
Spannung:
Bei symmetrischer Last gilt zusätzlich noch U N 0 N = 0.
Y-3-∆:
Wird der Verbraucher im Dreieck an den Generator im Stern wie in Abb. 11.6.3 geschaltet, ist der Sternpunktleiter des Generators offen.
Spannung:
Die Strangspannung beim Verbraucher ist um den Verkettungsfaktor größer als die des
Generators
√
UStr,Last = 3UStr,Gen
(11.6.3)
1. Februar 2017
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GdE2-49
11.6
Verbraucherschaltungen
11. Mehrphasensysteme
U12
L1
I1
I 31
Z1
I 12
U23
L2
I2
Z3
Z2
I 23
U31
U2N
U3N
L3
I3
U1N
IN
N
Abbildung 11.6.3.: Stern-Dreieck-Schaltung im Dreileitersystem
→ Es existieren weiter zwei Spannungsebenen.
∆-3-∆:
Werden sowohl Verbraucher als auch Generator wie in Abb. 11.6.4 im Dreieck geschaltet, so können die 3 Phasen mit einem Dreileitersystem verbunden werden.
I1
U12
L1
I 31
Z1
I 12
I2
U23
L2
Z3
Z2
I 23
U31
I3
L3
Abbildung 11.6.4.: Dreieck-Dreieck-Schaltung im Dreileitersystem
Strom:
Bei symmetrischer Last sind die Außenleiterströme um den Verkettungsfaktor größer
als die Strangströme
√
IL = 3IStr
(11.6.4)
Spannung:
Es existiert nur eine Spannungsebene.
∆-3-Y:
Wird der Verbraucher im Stern an den Generator im Dreieck wie in Abb. 11.6.5 geschaltet, ist der Sternpunktleiter des Verbrauchers offen.
U12
I1
L1
U23
I2
L2
U1N
U3N
Z1
Z2
Z3
U31
U2N
I3
L3
N’
Abbildung 11.6.5.: Dreieck-Stern-Schaltung im Dreileitersystem
GdE2-50
[email protected]ünster.de
1. Februar 2017
11. Mehrphasensysteme
Spannung:
11.7
Leistungsberechnung
Die Strangspannung beim Verbraucher ist um den Verkettungsfaktor kleiner als die
des Generators
UStr,Gen
√
UStr,Last =
(11.6.5)
3
→ Bei symmetrischer Last entsteht ein virtueller Sternpunkt N 0 .
Problem:
Verteilung der Energie über Dreileitersysteme
→ Weniger Leitungskosten
und Anschluss der Verbraucher über Vierleitersysteme
→ 2 Spannungsebenen.
Lösung:
Erzeugen eines Sternpunktes beim Heruntertransformieren der Spannungsebenen, wie
in Abb. 11.6.6 gezeigt :
→ Wicklungen eines Dreiphasengenerators im Stern schalten und sekundärseitig den
Sternpunktleiter mitführen.
L1
L1
L2
L2
L3
L3
N
Abbildung 11.6.6.: Erzeugen eines Sternpunktes beim Transformator
Beispiel 11.6.1
(Drehstrom)
Das Leistungsschild eines Drehstrommotors gibt folgende Nenndaten an: Mechanische Leistung 16kW , Spannung 220/380V , Strom 53,6/31A, Leistungsfaktor λ =
0,89, Drehzahl 1460min−1 = 24,33s−1 .
1. Skizzieren Sie die Spannungs- und Stromverhältnisse am Motor in Stern- und
Dreieckschaltung!
2. Wie groß ist der Wirkungsgrad des Motors bei Nennlast?
Lösung:
Die Lösung wird in der Vorlesung erarbeitet. Ergebnisse für den Vergleich der eigenen
Lösung sind: Elektrische Leistungsaufnahme
Pel = 3UStr IStr · cos ϕ = 18,159kW
und der Wirkungsgrad
η=
Pmech
= 0,88
Pel
11.7. Leistungsberechnung
Leistung:
Die Leistung des Dreiphasensystems ist bei beliebiger Belastung gleich der Summe
der Leistungen der zusammengeschalteten drei Einphasen-Wechselstromsysteme
S = S 1 + S 2 + S 3 = U Str1 I ∗Str1 + U Str2 I ∗Str2 + U Str3 I ∗Str3
1. Februar 2017
[email protected]ünster.de
(11.7.1)
GdE2-51
11.7
Leistungsberechnung
Balanciert:
11. Mehrphasensysteme
Bei symmetrischer Belastung sind die Leistungen der Stränge gleich und damit wird
die Scheinleistung zu
S = 3S Str = 3U Str I ∗Str
(11.7.2)
Entsprechend ergibt sich die Wirkleistung zu
P = S cos ϕ = 3UStr IStr cos ϕ
(11.7.3)
Q = S sin ϕ = 3UStr IStr sin ϕ
(11.7.4)
und die Blindleistung zu
→ Diese Formeln gelten für die Dreieck- und Sternschaltung.
Umrechnung:
Anstelle der Stranggrößen können auch die Außenleitergrößen verwendet werden
Schaltung
Ergebnis:
Y
Strangspannung
UStr
UY = U√LL
3
∆
U∆ = ULL
Strangstrom
IStr
IY = IL
I∆ =
IL
√
3
Scheinleistung
S = 3UStr IStr
S = 3UY IY
√
S = 3ULL IL
S = 3U∆ I∆
√
S = 3ULL IL
Die Scheinleistung aller drei Stränge ist unabhängig von der Schaltungsart bei symmetrischer Last gegeben mit
S = 3UStr IStr =
√
3ULL IL
(11.7.5)
Praxis:
Gegeben sei ein Asynchronmotor für den Nennbetrieb in Dreieckschaltung bei ULL =
400V . Er wird über einen Stern-Dreieck-Schalter in Abb. 11.7.1 zuerst über die Sternschaltung angefahren.
Stern:
An den Motorwicklungen liegt die Strangspannung
ULL
UStr = √
3
(11.7.6)
an. Die Scheinleistungsaufnahme des ASM im Stern ist dann
SY = 3SStr = 3
Dreieck:
2
UStr
U2
= LL
ZStr
ZStr
(11.7.7)
An den Motorwicklungen liegt die Strangspannung
UStr = ULL
(11.7.8)
an. Die Scheinleistungsaufnahme des ASM im Dreieck ist dann
S∆ = 3SStr = 3
Ergebnis:
2
UStr
U2
= 3 LL
ZStr
ZStr
Bei gleicher Last gilt für die Scheinleistung in Dreieck- und Sternschaltung
S∆ = 3SY
GdE2-52
(11.7.9)
[email protected]ünster.de
(11.7.10)
1. Februar 2017
11. Mehrphasensysteme
11.8
Leistungsmessung
∆
Y
v1 L2 u2
w1L3 v2
Aus
u1
v1
w1
u2
v2
w2
ASM
L1
L2
L3
Netz
u1 L1w2
Abbildung 11.7.1.: Funktion eines Stern-Dreieck-Schalters
11.8. Leistungsmessung
Scheinleistung:
Bei beliebiger Last ist die Scheinleistung im Vierleiternetz ohne angeschlossenen
Sternpunktleiter (siehe Abb. 11.8.1) entsprechend Gln. 11.7.1 gegeben mit
S
= S1 + S2 + S3
=
=
U Z1 I ∗1
+
(U 1N −
(11.8.1)
U Z2 I ∗2
+ (U 2N − U N 0 N )I ∗2 + (U 3N − U N 0 N )I ∗3
I1
P1
L1
+
U N 0 N )I ∗1
U Z3 I ∗3
Z1
W
P2
L2
U Z1
I2
Z2
W
I3
P3
L3
U 2N
U Z3
Z3
W
U 1N
U Z2
U 3N
N
N’
U N’N
Abbildung 11.8.1.: Wirkleistungsmessung im Vierleiternetz
Aufgrund des offenen Sternpunktes wird
I1 + I2 + I3 = 0
(11.8.2)
I ∗1 + I ∗2 + I ∗3 = 0
(11.8.3)
und ebenfalls
1. Februar 2017
[email protected]ünster.de
GdE2-53
11.9
Zusammenfassung
11. Mehrphasensysteme
Damit ergibt sich die Scheinleistung unabhängig von einer Spannung zwischen
Verbraucher- und Netzsternpunkt zu
S
Aron:
=
U 1N I ∗1 + U 2N I ∗2 + U 3N I ∗3 − U N 0 N (I ∗1 + I ∗2 + I ∗3 )
=
U 1N I ∗1 + U 2N I ∗2 + U 3N I ∗3
(11.8.4)
Wird ein Strom eliminiert, z.B. (I ∗2 = −I ∗1 − I ∗3 ) und die Spannungen zu Außenleiterspannungen zusammengefasst
S
=
U 1N I ∗1 + U 2N (−I ∗1 − I ∗3 ) + U 3N I ∗3
=
(U 1N − U 2N )I ∗1 + (U 3N − U 2N )I ∗3
=
U 12 I ∗1 + U 32 I ∗3
(11.8.5)
so ergibt sich die Aronschaltung zur 3-phasigen Leistungsmessung ohne Neutralleiter
mit zwei Leistungsmessern4 .
AUFGABE:
In Abb. 11.8.1 wird der Sternpunkt S der drei Messgeräte vom Sternpunkt N des Netzes getrennt.
1. Darf man dass machen?
2. Was ändert sich dadurch in Gln 11.8.4?
3. Darf man den Sternpunkt der Messgeräte mit einem beliebigen Punkt, z.B. mit
dem Außenleiter L2 verbiunden?
11.9. Zusammenfassung
Drehstrom:
Die Überlagerung (Superposition) der 3 zeitlich sich ändernden magnetischen Flüsse
in den 3 Spulen eines Asynchronmotors ergibt einen konstanten, sich räumlich drehenden Gesamtfluss (Drehfluss und nicht Drehstrom!).
Schaltung:
Die 6 Leitungen der 3 Wicklungen können auf zwei Arten verschaltet werden:
• Sternschaltung mit 3 oder 4 Leitungen
• Dreieckschaltung mit 3 Leitungen
4 Bei
der Aronschaltung ist nur die Summe der beiden Messwerte gleich der Summe der drei Strangleistungen, die beiden Teilwerte sind
nicht einzeln interpretierbar!
GdE2-54
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1. Februar 2017
11. Mehrphasensysteme
11.10
Übungsaufgaben
11.10. Übungsaufgaben
Aufgabe 11.10.1
(Drehstrom)
-> Seite 159
Ein Vierleiter-Drehstromnetz mit der
Außenleiterspannung U = 400V ist entsprechend der angegebenen Schaltung belastet. (R1 = R2 = XL = −XC = 100Ω)
Es sind die Leiterströme I 1 , I 2 , I 3 und
I N zu bestimmen.
L1
I1
R1
I2
R2
L2
L3
I3
IN
XL
XC
N
Aufgabe 11.10.2
(Drehstrom)
-> Seite 159
Ein Vierleiter-Drehstromnetz mit der
Außenleiterspannung U = 400V ist
entsprechend der angegebenen Schaltung
durch zwei einphasige Verbraucher belastet. Die Daten der Verbraucher sind: P1 =
100W , cos ϕ1 = 0,7 (induktiv), P2 =
80W , cos ϕ2 = 0,6 (kapazitiv).
L1
L2
L3
N
I1
I2
IN
P1
cos ϕ 1
P2
cos ϕ 2
Es sind die Leiterströme I 1 , I 2 und I N zu bestimmen.
Aufgabe 11.10.3
(Drehstrom)
-> Seite 159
Aufgabe 11.10.4
(Drehstrom)
-> Seite 159
Aufgabe 11.10.5
(Drehstrom)
-> Seite 160
1. Februar 2017
An einem Dreileiter-Drehstromnetz mit
der Außenleiterspannung U = 400V sind
entsprechend der angegebenen Schaltung
die Widerstände R1 = 100Ω, R2 = 125Ω
und R3 = 200Ω angeschlossen.
Es sind die Leiterströme I 1 , I 2 und I 3
zu bestimmen.
L1
An einem Drehstromnetz mit der Außenleiterspannung U = 400V sind die in
Dreieck geschalteten Widerstände R1 =
200Ω, R2 = 150Ω und R3 = 100Ω angeschlossen (s. Skizze).
Es sind die Leiterströme I 1 , I 2 und I 3
zu bestimmen.
L1
Zwei einphasige ohmsch-induktive VerL1
braucher mit den Daten P1 = 600W ,
L2
cos ϕ1 = 0,82, P2 = 800W , cos ϕ2 =
L3
0,72 sind entsprechend der angegebenen
Schaltung an einem Drehstromnetz mit der
Außenleiterspannung U = 230V angeschlossen.
Es sind die Leiterströme I 1 , I 2 und I 3 zu bestimmen.
[email protected]ünster.de
I1
R1
I2
R2
I3
R3
L2
L3
I1
L2
L3
R1
R3
I2
R2
I3
I1
I2
I3
P1
cos ϕ 1
P2
cos ϕ 2
GdE2-55
11.10
Übungsaufgaben
Aufgabe 11.10.6
(Drehstrom)
-> Seite 160
11. Mehrphasensysteme
Ein Vierleiter-Drehstromnetz mit der
Außenleiterspannung U = 400V ist
entsprechend der angegebenen Schaltung
durch zwei einphasige ohmsch-induktive
Verbraucher belastet. Die Daten der Verbraucher sind: P1 = 385W , cos ϕ1 = 0,5,
P2 = 570W , cos ϕ2 = 0,5.
L1
I1
L2
L3
N
I3
IN
P1
cos ϕ 1
P2
cos ϕ 2
R
R
Es sind die Leiterströme I 1 , I 3 und I N zu bestimmen.
Aufgabe 11.10.7
(Drehstrom)
-> Seite 160
In dem angegebenen, symmetrisch belasteten Drehstromnetz
mit C = 10µF und R = 1kΩ
beträgt die Außenleiterspannung
U = 400V , f = 50Hz.
L1
L2
L3
I1
I2
I3
C
C
C
R
1. Welcher Gesamtstrom fließt in jeder Netzzuleitung?
2. Wie groß ist der Gesamtleistungsfaktor?
Aufgabe 11.10.8
(Drehstrom)
-> Seite 161
In dem angegebenen, symmetrisch belasteten Drehstromnetz
mit P1 = 2kW , cos ϕ1 = 0,707
(kapazitiv), R2 = 100Ω und
C2 = 50µF beträgt die Außenleiterspannung U = 400V , f =
50Hz.
L1
L2
L3
I1
I2
I3
C2
R2
P1
cos ϕ 1
R2
C2
R2
C2
1. Welcher Gesamtstrom fließt in jeder Netzzuleitung?
2. Wie groß ist der Gesamtleistungsfaktor?
Aufgabe 11.10.9
(Drehstrom)
-> Seite 161
GdE2-56
Ein symmetrischer Drehstromverbraucher nimmt bei der Außenleiterspannung
U = 400V und dem Leistungsfaktor
cos ϕ = 0,94 (induktiv) die Wirkleistung P = 2kW auf. Der Verbraucher
soll über drei gleiche Kondensatoren an ein
Drehstromnetz mit der Außenleiterspannung U 0 = 500V , f = 50Hz angeschlossen werden.
Welche Kapazität C muss jeder Kondensator haben?
[email protected]ünster.de
L1
L2
L3
C
C
P
cos ϕ
C
1. Februar 2017
11. Mehrphasensysteme
Aufgabe 11.10.10
(Drehstrom)
-> Seite 161
11.10
Ein Drehstromnetz mit der Außenleiterspannung U = 400V , f = 50Hz ist durch drei
in Stern geschaltete Spulen belastet (R = 50Ω, L = 0,318H). Durch das Zuschalten
von drei in Dreieck geschalteten Kondensatoren soll der Gesamtleistungsfaktor auf
cos ϕ = 0,8 (induktiv) erhöht werden.
1. Welche Kapazität C muss
jeder der drei Kondensatoren haben?
2. Welcher Gesamtstrom fließt
bei cos ϕ = 0,8 in jeder
Netzzuleitung?
Aufgabe 11.10.11
(Drehstrom)
-> Seite 161
Aufgabe 11.10.12
(Drehstrom)
-> Seite 162
Übungsaufgaben
L1
I1
C
C
L2
I2
C
L3
I3
Ein Drehstromnetz mit der AuL1
I1
ßenleiterspannung U = 400V ,
L2
I2
f = 50Hz ist durch einen symL3
metrischen Verbraucher (P =
I3
1,5kW , cos ϕ = 0,707 (indukN
IN
tiv)) und durch einen unsymmetriP
schen Verbraucher (R = 100Ω,
cos ϕ
C = 31,8µF ) belastet.
Es sind die Leiterströme I 1 , I 2 , I 3 und I N zu bestimmen.
In der angegebenen Schaltung
mit R1 = 1,73kΩ, R2 = 500Ω,
XC1 = −1kΩ, XC2 = −866Ω
beträgt die Außenleiterspannung
des Drehstromnetzes U = 400V .
R
L
R
L
R
L
C
R
L1
L2
L3
N
R1
X C1 X C2
A
UAB
R2
B
Welche Spannung liegt zwischen den Punkten A und B?
1. Februar 2017
[email protected]ünster.de
GdE2-57
Teil IV.
Nichtlineare Vorgänge
GdE2-58
[email protected]ünster.de
1. Februar 2017
12. Nichtlineare Wechselstromschaltungen
Wie sich die Gleichstromtechnik als Spezialfall der Wechselstromtechnik mit f =
0Hz darstellen lässt, kann die bisherige Wechselstromtechnik als Spezialfall einer allgemeineren Darstellung gesehen werden, bei der aus einer Summe von Sinusschwingungen nur eine Schwingung ungleich Null ist.
Ziele:
Die Beschränkung auf zeitlich sinusförmige Größen einer Frequenz bei Strom- und
Spannungsquellen führt zu einfachen mathematischen Berechnungsverfahren.
Anwendung:
Ursachen für andere Kurvenformen sind:
• Nichtidealitäten bei Generatoren führen schon bei der Erzeugung zu nicht sinusförmigen Spannungen
• Einsatz von Rechteck-, Sägezahn- oder allgemeinen Funktionsgeneratoren
• Verwendung von nichtlinearen Bauelementen zur Modulation führen zu Verzerrungen der Ausgangsgrößen
12.1. Sinusförmige Zeitfunktionen
Vorteil:
Die Zerlegung von nicht sinusförmigen Wechselgrößen in sinusförmige Teilschwingungen ermöglicht es, bekannte Verfahren der bisherigen Netzwerkanalyse weiter zu
verwenden1 .
ue
R
ua ue1
R
C
ua
C
ue2 . . uen
Abbildung 12.1.1.: Reihenschaltung sinusförmiger Quellen unterschiedlicher Frequenzen
Linear:
In linearen Schaltungen kann dann die nicht sinusförmige, periodische Wechselgröße ue am Eingang einer Schaltung entsprechend Abb. 12.1.1 als Überlagerung der
Sinusquellen uei , i = 1,n dargestellt werden.
→ Netzwerkanalyse mit dem Verfahren der Superposition: Die Ausgangsspannung
ergibt sich dann als Überlagerung der Sinusspannungen uai , i = 1,n.
Beispiel 1:
Addition von zwei Kosinusspannungen
u(t) = 3û + û1 cos(ω1 t) + û2 cos(ω2 t)
(12.1.1)
1 Für
eine Sinusspannung ist die Lösung zu Abb. 12.1.1 in GdE 1 behandelt worden! In Aufgabe 12.10.5 wird dieser Tiefpass für eine
Dreieckseingangsspannung berechnet.
1. Februar 2017
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GdE2-59
12.1
Sinusförmige Zeitfunktionen
12. Nichtlineare Wechselstromschaltungen
mit û = û1 = û2 und ω2 = 10ω1 . Die Summenspannung enthält eine niederfrequente Grundschwingung, die mit der höherfrequenten Schwingung moduliert ist. Zur
Verdeutlichung enthält das Summensignal den zusätzlichen Gleichanteil.
10
us(t)
u1(t)
u2(t)
8
u/V
6
4
2
0
-2
-20
-15
-10
-5
0
t/ms
5
10
15
20
Abbildung 12.1.2.: Addition sinusförmiger Spannungen unterschiedlicher Frequenzen mit ω2 ω1
Beispiel 2:
Addition von zwei Kosinusspannungen
u(t) = 3û + û1 cos(ω1 t) + û2 cos(ω2 t)
(12.1.2)
mit û = û1 = û2 und ω2 = 0.9ω1 . Die Summenspannung ist eine Schwebung, bei der
die Amplitude zwischen (û1 + û2 ) und (im allgemeinen Fall) (û1 − û2 ) schwingt. Zur
Verdeutlichung enthält das Summensignal wieder den zusätzlichen Gleichanteil.
10
us(t)
u1(t)
u2(t)
8
u/V
6
4
2
0
-2
-20
-15
-10
-5
0
t/ms
5
10
15
20
Abbildung 12.1.3.: Addition sinusförmiger Spannungen unterschiedlicher Frequenzen mit ω2 ≈ ω1
Mathematik:
GdE2-60
Mit dem Additionstheorem (Papula, 2006, Seite 96)
α+β
α−β
cos
cos α + cos β = 2 cos
2
2
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(12.1.3)
1. Februar 2017
12. Nichtlineare Wechselstromschaltungen
12.2
Approximation periodischer Zeitfunktionen
erhalten wir für die Addition der beiden Kosinusspannungen
u(t)
=
û1 cos(ω1 t) + û2 cos(ω2 t) + 0
=
û1 cos(ω1 t) + û2 cos(ω2 t) + [û1 − û1 ] cos(ω2 t)
|
{z
}
0
û1 [cos(ω1 t) + cos(ω2 t)] + [û2 − û1 ] cos(ω2 t)
ω1 + ω2
ω1 − ω2
= 2û1 cos
t cos
t
2
2
+[û2 − û1 ] cos(ω2 t)
=
Spezialfall:
(12.1.4)
Der spezielle Fall, das die Frequenzen in einem ganzzahligen Vielfachen stehen
ω2 = nω1
, mit n = 2,3, . . .
(12.1.5)
führt zur Überlagerung harmonischer Schwingungen, mit Grund- und Oberschwingungen, die von zentraler Bedeutung sind.
12.2. Approximation periodischer Zeitfunktionen
Überlagerung:
Jede periodische Zeitfunktion, für die
f (t) = f (t + nT )
(12.2.1)
gilt, mit der Periodendauer T und ganzen Zahlen n, kann aus der Überlagerung von Sinusschwingungen passender Frequenz und Phasenlage und eines Gleichanteils erzeugt
werden.
3
2
1
i/A
→ Die Addition von
(ungeraden)
Kosinusschwingungen
passender Amplitude
und Frequenz ergibt
eine Rechteckschwingung.
i_s(t)
i_1(t)
i_3(t)
i_5(t)
i_7(t)
i_9(t)
i_1_1(t)
0
-1
-2
-3
-10
-5
0
t/ms
5
10
Abbildung 12.2.1.: Überlagerung sinusförmiger Ströme unterschiedlicher Frequenzen
Die passenden Amplituden des Beispiel sind aν = 4 · 2A/νπ, ν = 1,5,9 und aν =
−4 · 2A/νπ, ν = 3,7,11 für die Funktionen fν (t) = aν cos(νωt) gewesen.
Umkehrung:
Die Umkehrung der Überlagerung führt zu folgender Aussage:
→ Jede periodische Zeitfunktion kann dargestellt werden als eine Summe von Sinusschwingungen unterschiedlicher Frequenz und Phasenlage und eines Gleichanteils.
1. Februar 2017
[email protected]ünster.de
GdE2-61
12.2
Approximation periodischer Zeitfunktionen
Aufgabe:
12. Nichtlineare Wechselstromschaltungen
Finden eines Rechenverfahrens mit deren Hilfe eine vorgegebene Zeitfunktion f (t) in
optimaler Weise durch eine Funktion g(t) angenähert werden kann.
→ Es wird ein geeigneter Funktionstyp und ein Optimierungskriterium benötigt!
Näherung:
Zur Approximation der Originalfunktion f (t) durch die Näherungsfunktion g(t) müssen beide Funktionen dieselbe Periodendauer T aufweisen, damit in jeder Periode T
die Näherung identisch ist. Dann dürfen nur sinusförmige Funktionen verwendet werden, deren Frequenz ein ganzzahliges Vielfaches der Grundfrequenz ist.
→ Es bleibt aber die Frage: Wann ist die Näherung optimal?
Fehler:
Die Beurteilung der Güte der Näherung führt auf den Approximationsfehler
δ(t) = g(t) − f (t)
(12.2.2)
im betrachteten Zeitbereich, also der Periodendauer T bei periodischen Funktionen.
Von den möglichen Kriterien
• Minimieren des mittleren linearen Fehlers δ oder
• Minimieren des mittleren Fehlerquadrates δ 2
wird in der Praxis als Kriterium das kleinste mittlere Fehlerquadrat
δ2
1
=
T
ZT
(g(t) − f (t))2 dt
(12.2.3)
0
verwendet, da sich beim linearen Fehler positive und negative Fehleranteile aufheben.
Beispiel:
Die periodische Zeitfunktion f (t) in Abb. 12.2.2 ist die Summe der 3 Funktionen
3 sin(ωt) + 2 sin(2ωt) + sin(3ωt). Bei der Näherungsfunktion g(t) wurden dagegen
nur die ersten beiden Summanden berücksichtigt.
5
f(t)
g_3(t)
g(t)
4
3
2
I/A
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
-20
-15
-10
-5
0
t/ms
5
10
15
20
Abbildung 12.2.2.: Näherungsfunktion für eine periodische Funktion
GdE2-62
[email protected]ünster.de
1. Februar 2017
12. Nichtlineare Wechselstromschaltungen
12.3
Fourierreihen
12.3. Fourierreihen
Spektralform:
Jede beliebige periodische Funktion f (t) kann durch eine endliche Fourierreihe2
g(t) =
n
X
gν =
ν=0
n
X
ĝν sin(νωt + ϕν )
(12.3.1)
ν=0
mit dem Gleichanteil g0 = ĝ0 sin ϕ0 und den Amplituden ĝν und Nullphasenwinkeln
ϕν der harmonischen Oberwellen beliebig genau dargestellt werden.
→ Diese Darstellung wird als Spektralform der Fouriereihe bezeichnet.
→ Die Gliederzahl n bestimmt die Güte der Näherung, sie ist um so besser, je größer
n ist.
Einschränkung:
Die Funktion f (t) muss außerdem die Dirichletschen Bedingen erfüllen:
1. Die Funktion ist endlich3 und
2. das Intervall [0, 2π] lässt sich in endlich viele Teilintervalle zerlegen, in denen
f (t) stetig und monoton ist.
Koeffizienten:
Die Koeffizienten ĝν der Fourierreihe müssen so bestimmt werden, dass das Fehlerintegral
tZ
o +T
(g(t) − f (t))2 dt
J=
(12.3.2)
t0
minimal wird.
→ Mathematik: Differenzieren nach den Koeffizienten und Nullsetzen der 1. Ableitung!
Alternativ:
Mit dem Additionstheorem (Papula, 2006, Seite 94)4
gν
= ĝν sin(νωt + ϕν )
= ĝν sin(νωt) cos ϕν + ĝν cos(νωt) sin ϕν
= ĝν cos ϕν sin(νωt) + ĝν sin ϕν cos(νωt)
| {z }
| {z }
aν
bν
= bν sin(νωt) + aν cos(νωt)
(12.3.3)
ergeben sich Koeffizienten der Fourierreihe für reine Kosinusterme
aν = ĝν sin ϕν
(12.3.4)
und Koeffizienten für reine Sinusterme
bν = ĝν cos ϕν
(12.3.5)
2 Zu
Ehren des französischen Mathematikers Jean Baptiste Fourier, geb. 1768, gest. 1830
beschränkt mit |f (x)| ≤ M
4 sin(x ± x ) = sin x cos x ± cos x sin x
1
2
1
2
1
2
3 also
1. Februar 2017
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GdE2-63
12.4
Fourieranalyse
Zurück:
12. Nichtlineare Wechselstromschaltungen
Umgekehrt lassen sich die Amplitude
ĝν =
p
a2ν + b2ν
und der Phasenwinkel
ϕν = arctan
aν
bν
(12.3.6)
(12.3.7)
aus den Koeffizienten der Kosinus- und Sinusterme berechnen.
Normalform:
Die Fourierreihe wird dann zu
g(t) =
n
X
gν =
ν=0
n
X
aν cos(νωt) +
ν=0
n
X
bν sin(νωt)
(12.3.8)
ν=0
Mit dem Gleichanteil für ν = 0
g0 = a0 cos 0 + b0 sin 0 = a0
(12.3.9)
ergibt sich die Normalform der Fourierreihe zu
g(t) = a0 +
n
X
aν cos(νωt) +
ν=1
Näherung:
n
X
bν sin(νωt)
(12.3.10)
ν=1
Zur Approximation der Originalfunktion f (t) durch die Näherungsfunktion g(t) müssen beide Funktionen dieselbe Periodendauer T aufweisen.
→ Es dürfen nur sinusförmige Funktionen verwendet werden, deren Frequenz ein
ganzzahliges Vielfaches der Grundfrequenz ist.
12.4. Fourieranalyse
Definition:
Die Zerlegung einer periodischen Funktion in einzelne sinusförmige Teilschwingungen wird als Fourieranalyse bezeichnet.
→ Das Ergebnis der Fourieranalyse sind die Koeffizienten der Fourierreihe.
Mathematik:
Da die Fourierreihe nach Gln. 12.3.10 eine Linearkombination der Koeffizienten ist,
kann Gln. 12.3.2 mit der Kettenregel nach den Koeffizienten differenziert werden.
→ Differenzieren nach den Konstanten aν , wobei ν = 0 für den Koeffizienten a0
steht, ergibt
∂J
∂aν
=
∂
∂aν
tZ
o +T
(g(t) − f (t))2 dt = 0
(12.4.1)
t0
2

=
∂
∂aν
tZ
o +T 
t0

n
n
X
X


a0 +
 dt
a
cos(νωt)
+
b
sin(νωt)
−f
(t)
ν
ν




ν=1
ν=1
{z
}
|
g(t)
→ Verfährt man ebenso für die bν so erhält man 2n + 1 Gleichungen für die 2n + 1
Fourierkoeffizienten.
GdE2-64
[email protected]ünster.de
1. Februar 2017
12. Nichtlineare Wechselstromschaltungen
Kette:
12.4
Fourieranalyse
Mit der Kettenregel der Differentialrechnung (y = F (u(x)) ergibt y 0 = F 0 (u) · u0 (x))
ergibt sich für den Koeffizienten a0
∂J
=2
∂a0
tZ
o +T
(g(t) − f (t)) · (1) dt = 0
|{z}
t0
(12.4.2)
g 0 (t)
und für die anderen Koeffizienten aν
∂J
=2
∂aν
tZ
o +T
(g(t) − f (t)) · cos(νωt) dt = 0
| {z }
t0
Summe:
(12.4.3)
g 0 (t)
Mit der Summenregel der Differentialrechnung ergibt sich nach dem Trennen der Integrale für den Koeffizienten a0
tZ
o +T
tZ
o +T
[a0
f (t) dt =
+
aµ cos(µωt)
µ=1
t0
t0
n
X
+
n
X
bµ sin(µωt)] dt
(12.4.4)
µ=1
und für die anderen Koeffizienten aν
tZ
o +T
tZ
o +T
f (t) cos(νωt) dt =
t0
[a0
+
n
X
aµ cos(µωt)
µ=1
t0
+
n
X
bµ sin(µωt)] cos(νωt) dt
µ=1
(12.4.5)
Rechts:
Für die Integrale auf der rechten Seite gilt entsprechend den Orthogonalitätsrelationen
der trigonometrischen Funktionen
ZT
T
dt
=
t|o = T
cos(µωt) dt
=
T
sin(µωt) sin(µ2π) − sin 0
=
=0
µω o
µω
=
T
cos(µωt) cos(µ2π) − cos 0
−
=0
=−
µω o
µω
0
ZT
0
ZT
sin(µωt) dt
0
(12.4.6)
und
ZT
cos(µωt) cos(νωt) dt =
T /2
0
für µ = ν
für µ 6= ν
0
1. Februar 2017
[email protected]ünster.de
GdE2-65
12.4
Fourieranalyse
12. Nichtlineare Wechselstromschaltungen
ZT
sin(µωt) sin(νωt) dt
=
T /2
0
für µ = ν
für µ 6= ν
0
(12.4.7)
und
ZT
cos(µωt) sin(νωt) dt =
0
(12.4.8)
0
→ Die Integrale mit den Sinustermen werden für die analoge Berechnung der bν benötigt.
Gleichungen:
Es ergibt sich das vereinfachte Gleichungssystem
tZ
o +T
f (t) dt
= a0 T
(12.4.9)
t0
tZ
o +T
f (t) cos(νωt) dt
=
aν
T
2
(12.4.10)
=
bν
T
2
(12.4.11)
t0
tZ
o +T
f (t) sin(νωt) dt
t0
a0 :
Somit erhalten wir den Gleichanteil a0 der Funktion f (t) zu
1
a0 =
T
tZ
o +T
f (t) dt
(12.4.12)
t0
aν :
Ebenso werden die Fourierkoeffizienten aν der Funktion f (t) zu
2
aν =
T
tZ
o +T
f (t) cos(νωt) dt
(12.4.13)
t0
bν :
Und die Fourierkoeffizienten bν der Funktion f (t) sind damit
2
bν =
T
tZ
o +T
f (t) sin(νωt) dt
(12.4.14)
t0
Sonderfall:
Bei periodischen Funktionen mit besonderen Symmetrieeigenschaften werden einige
der Koeffizienten der Fourierreihe zu Null:
1. Gerade Funktion mit f (−t) = f (t) (siehe Abb. 12.4.1)
→ Spiegelsymmetrisch zur y-Achse (Achsensymmetrie)
GdE2-66
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1. Februar 2017
12. Nichtlineare Wechselstromschaltungen
12.4
Fourieranalyse
2. Ungerade Funktion mit f (−t) = −f (t) (siehe Abb. 12.4.1)
→ Zentralsymmetrisch zum Ursprung (Punktsymmetrie)
3. Wechselfunktion mit f (t) = 0 (siehe Abb. 12.4.2)
→ Gleichanteil ist Null
4. Alternierende Funktion f (t + T /2) = −f (t) (siehe Abb. 12.4.2)
→ Form der positiven und negativen Halbschwingung gleich. (Tabelle: x = Koeffizienten von gradzahligen Vielfachen der Grundfrequenz sind Null.)
Funktion
Graph
Bedingung
a0
Gerade
(wie cos)
Koeffizienten
aν
bν
0
f (−t) = f (t)
3
f(t)
2
1
I/A
0
-1
-2
-3
-4
-5
-1
I/A
Ungerade
(wie sin)
-0.5
0
t/T
5
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
0.5
1
f (−t)
−f (t)
f(t)
-1
-0.5
0
t/T
0.5
=
0
1
Abbildung 12.4.1.: Sonderfälle der Fourieranalyse: Gerade und Ungerade Funktion
Beispiel 12.4.1
Welche Koeffizienten sind Null für die symmetrische Rechteckschwingung in
(Fourierkoeffizienten) Abb. 12.4.3 mit dem Tastverhältnis 1/2?
LÖSUNG:
Es handelt sich um eine
• Wechselfunktion →
• Gerade Funktion →
• Alternierende Funktion →
Für die Darstellung in Abb. 12.4.4 wurden ungerade Koeffizienten der Kosinusfunktionen bis n = 15 verwendet. Die Berechnung der Koeffizienten sei zur Übung empfohlen.
1. Februar 2017
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GdE2-67
12.4
Fourieranalyse
12. Nichtlineare Wechselstromschaltungen
Funktion
Graph
Bedingung
a0
Wechsel-
8
f(t)
6
f (t) = 0
0
f (t + T /2) =
−f (t)
(rot: -f(t))
0
Koeffizienten
aν
bν
4
I/A
2
0
-2
-4
-6
-8
-1
-0.5
0
0.5
1
t/T
Alternierende
4
f(t)
-f(t)
3
2
x
x
I/A
1
0
-1
-2
-3
-4
-1
-0.5
0
t/T
0.5
1
Abbildung 12.4.2.: Sonderfälle der Fourieranalyse: Wechsel- und alternierende Funktion
rect(t)
2
I/A
1
0
-1
-2
-1
-0.5
0
t/T
0.5
1
Abbildung 12.4.3.: Fourieranalyse einer rechteckförmigen Stromfunktion
GdE2-68
[email protected]ünster.de
1. Februar 2017
12. Nichtlineare Wechselstromschaltungen
12.4
2.5
Fourieranalyse
g(t)
rect(t)
2
1.5
1
I/A
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
-2.5
-1
-0.5
0
t/T
0.5
1
Abbildung 12.4.4.: Näherungsfunktion einer rechteckförmigen Stromfunktion
2.5
g(t)
rect(t)
2
1.5
1
I/A
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
-2.5
-1
-0.5
0
t/T
0.5
1
Abbildung 12.4.5.: Fourieranalyse einer verschobenen rechteckförmigen Stromfunktion
1. Februar 2017
[email protected]ünster.de
GdE2-69
12.5
Komplexe Fourierreihen
12. Nichtlineare Wechselstromschaltungen
Beispiel 12.4.2
Es sind die Fourierkoeffizienten der Rechteckfunktion in Abb. 12.4.5 für eine zeitliche
(Fourierkoeffizienten) Verschiebung um ∆t = T /4 zu berechnen!
LÖSUNG:
Die Lösung wird in der Vorlesung erarbeitet. Ergebnisse für den Vergleich der eigenen
Lösung sind:
4î
1
·
π 2ν − 1
b2ν−1 =
Substitution:
,
ν = 1, 2, 3, . . .
Bei der Berechnung der Fourierkoeffizienten nach Gln. 12.4.12-12.4.14 kann statt
nach dt mit folgender Substitution auch direkt nach dx = d(ωt) integriert werden
x =
t =
dx
dx
= ω , bzw. dt =
dt
ω
0 → x = 0 , t = T → x = ωT = 2π
ωt →
(12.4.15)
z.B. für
1
a0 =
T
ZT
ω
f (t) dt =
2π
0
Z2π
f (ωt)
d(ωt)
ω
(12.4.16)
0
mit dem Ergebnis
a0
=
1
2π
Z2π
f (ωt) d(ωt)
0
aν
=
1
π
Z2π
f (ωt) cos(νωt) d(ωt)
0
bν
=
1
π
Z2π
f (ωt) sin(νωt) d(ωt)
(12.4.17)
0
12.5. Komplexe Fourierreihen
Ausblick:
Die komplexe Fourierreihe ist die mathematische Grundlage der Einführung der
Fourier- und Laplace-Transformationen!
Euler:
Mit Hilfe der Euler-Gleichungen (Papula, 2006, Seite 221)
ejϕ = cos ϕ + j sin ϕ
,
e−jϕ = cos ϕ − j sin ϕ
(12.5.1)
ergibt sich für die Kosinus- und die Sinusfunktion durch Addition bzw. Subtraktion
cos ϕ =
GdE2-70
1 jϕ
(e + e−jϕ ) ,
2
sin ϕ =
[email protected]ünster.de
1 jϕ
(e − e−jϕ )
2j
(12.5.2)
1. Februar 2017
12. Nichtlineare Wechselstromschaltungen
Unendlich:
12.5
Komplexe Fourierreihen
Setzt man diese Ergebnisse in die Fourierreihe nach Gln. 12.3.10 ein und lässt die
Anzahl n → ∞ gehen, so ergibt sich
f (t) = a0
+
+
∞
X
aν
ν=1
∞
X
2
(ejνωt + e−jνωt )
bν jνωt
(e
− e−jνωt )
2j
ν=1
(12.5.3)
Durch sortieren nach den Exponentialtermen
Fertig:
und entsprechendes Zusammenfassen wird daraus5
f (t) = a0
+
+
Koeffizienten:
∞
X
1
2
ν=1
∞
X
1
2
ν=1
(aν − jbν )ejνωt
(aν + jbν )e−jνωt
(12.5.4)
Die komplexen Koeffizienten lassen sich mit den Fourierkoeffizienten nach
Gln. 12.4.13 und 12.4.14 darstellen als
cν
=
=
=
1
( aν −j bν )
|{z}
2 |{z}
12.4.13
12.4.14
tZ
o +T
1
f (t) [cos(νωt) − j sin(νωt)] dt
|
{z
}
T
t0
mit Gln. 12.5.1
tZ
o +T
1
f (t)e−jνωt dt
T
(12.5.5)
t0
und ebenso
c∗ν
1
1
= (aν + jbν ) =
2
T
tZ
o +T
f (t)ejνωt dt
(12.5.6)
t0
Gleichanteil:
Für den Index ν = 0 ergibt sich für beide komplexen Koeffizienten
c0 =
c∗0
1
=
T
tZ
o +T
f (t) dt = a0
(12.5.7)
t0
was entsprechend Gln. 12.4.12 dem Gleichanteil entspricht.
Zusammen:
5 Dabei
Aus den Definitionsgleichungen der komplexen Koeffizienten ist zu sehen, dass c∗ν =
1
1
2 (aν + jbν ) zu cν = 2 (aν − jbν ) wird, wenn die Laufvariable ν durch −ν ersetzt
wird.
wird aus 1/j durch erweitern mit j/j der Term j/ − 1 = −j.
1. Februar 2017
[email protected]ünster.de
GdE2-71
12.6
Spektrumanalysator
Komplex:
12. Nichtlineare Wechselstromschaltungen
Damit lassen sich die drei Terme der Gln. 12.5.4 zur komplexen Fourierreihe zusammenfassen
∞
X
f (t) =
cν ejνωt
(12.5.8)
f (t)e−jνωt dt
(12.5.9)
ν=−∞
mit den komplexen Koeffizienten
cν =
1
T
tZ
o +T
t0
Beispiel 12.5.1
Es sind die Fourierkoeffizienten der Rechteckfunktion in Abb. 12.5.1 aus den kom(Fourierkoeffizienten) plexen Koeefizienten der komplexen Fourierreihe zu berechnen!
rect(t)
2
I/A
1
0
-1
-2
-1
-0.5
0
t/T
0.5
1
Abbildung 12.5.1.: Komplexe Fourieranalyse einer rechteckförmigen Stromfunktion
LÖSUNG:
Die Lösung wird in der Vorlesung erarbeitet. Ergebnisse für den Vergleich der eigenen
Lösung sind die resultierenden komplexen Koeffizienten
cν =
−j2î
νπ
,
ν = . . . − 3, − 1,1,3, . . .
12.6. Spektrumanalysator
Messung:
Die Zerlegung eines periodischen Messsignals in sinusförmige Teilschwingungen
kann messtechnisch mit einem Frequenzanalysator durchgeführt werden.
→ Im Amplitudenspektrum des Messsignal werden die Amplituden (Scheitelwerte)
der einzelnen harmonischen Schwingungen als Funktion der Ordnungszahl (Vielfache
der Grundschwingung) dargestellt, wie es in Abb. 12.6.1 zu sehen ist .
GdE2-72
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1. Februar 2017
12. Nichtlineare Wechselstromschaltungen
12.6
3
Spektrumanalysator
’SpectrumRect.dat’ using 1:2
2.5
Amplitude / A
2
1.5
1
0.5
0
0
5
10
15
20
Orndnungsindex
25
30
Abbildung 12.6.1.: Amplitudenspektrum einer rechteckförmigen Stromfunktion
a
2GHz
fS
Mischer
4GHz
f
fZF
fLO
Unterdrückung von
Spiegelfrequenzen
Detektor
fLO
Lokal−
oszillator
fS
fZF Zwischen−
frequenz−
verstärker
f1
f1 + f 2
Video−
verstärker
f1 − f 2
f2
y−Achse
Mischerprinzip
3
Sägezahn−
generator
’SpectrumRect.dat’ using 1:2
2.5
Amplitude / A
Tiefpass−
filter
Eingang
2
1.5
1
x−Achse
0.5
0
0
5
10
15
20
Orndnungsindex
25
30
Abbildung 12.6.2.: Blockschaltbild eines Spektrumanalysators
1. Februar 2017
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GdE2-73
12.7
Kenngrößen
Gerät:
12. Nichtlineare Wechselstromschaltungen
Die Darstellung von Signalen im Frequenzbereich ist mit gewobbelt abgestimmten
Spektrumanalysatoren, wie in Abb. 12.6.2 dargestellt, möglich.
→ Wenn die Oszillatorfrequenz fLO hoch über der Zwischenfrequenz fZF , liegt kann
mit einem einfachen Tiefpass die Summenfrequenz (Spiegelfrequenz) unterdrückt
werden und es gilt dann fS = fLO − fZF .
12.7. Kenngrößen
Berechnungen:
Zur Überführung einer gegebenen analytischen Funktion f (t) in eine Fourierreihe
kann folgendermaßen vorgegangen werden:
1. Angabe der Funktionsgleichung und graphische Darstellung der Funktion
2. Untersuchung der Funktion nach Symmetrien
3. Berechnung der Fourierkoeffizienten nach den angegeben Formeln
4. Aufstellen der Fourierreihe in ausführlicher Form
5. Weitere Berechnungen:
• Effektivwerte
• Leistungen
12.7.1. Effektivwert
Effektivwert:
Der Effektivwert eines sinusförmigen Wechselstroms berechnet sich zu
v
u tZ0 +T
u
u1
i2 dt
I=t
T
t0
Wird die Stromfunktion i(t) durch eine Fourierreihe in Spektralform nach Gln. 12.3.1
dargestellt,
so ergibt sich mit mit dem Gleichanteil ī = a0 und dem Scheitelwert
p
îν = a2ν + b2ν der ν-ten Teilschwingung entsprechend Gln. 12.3.6
v
u tZ0 +T "
#2
n
u
X
u1
I=t
ī +
îν sin(νωt + ϕν ) dt
(12.7.1)
T
ν=1
t0
→ Durch das Quadrieren entstehen gemischte Ausdrücke des Typs sin(µωt +
ϕµ ) sin(νωt + ϕν ), deren Integral über eine Periodendauer stets Null ist. Durch Vertauschung der Reihenfolge der Summation mit der Integration ergibt sich
v
u tZ0 +T
tZ
0 +T
n
u
X
1
u1
2
ī dt +
î2ν sin2 (νωt + ϕν ) dt
(12.7.2)
I=u
uT
T
u
ν=1
t
t
0
t| 0{z
}
|
{z
}
I02
Allgemein:
Iν2
Die einzelnen Summanden sind jeweils der Effektivwert der ν-ten Teilschwingung
v
u tZ0 +T
u
iˆν
u1
Iν = t
î2ν sin2 (νωt + ϕν ) dt = √
(12.7.3)
T
2
t0
GdE2-74
[email protected]ünster.de
1. Februar 2017
12. Nichtlineare Wechselstromschaltungen
12.7
Kenngrößen
Bezeichnet man den Gleichanteil wie bisher mit
v
u tZ0 +T
u
u1
I0 = t
ī2 dt
T
(12.7.4)
t0
so ergibt sich der Effektivwert einfach als
v
v
u
u n
n
X
u
uX
2
2
t
I = I0 +
Iν = t
Iν2
ν=1
(12.7.5)
ν=0
Entsprechend wird der Effektivwert des Wechselstromanteils zu
I∼ =
q
v
u n
uX
I 2 − I02 = t
Iν2
(12.7.6)
ν=1
12.7.2. Leistung
Wirkleistung:
Die Wirkleistung P einer zeitlich veränderlichen periodischen Augenblicksleistung
p(t) ist
ZT
ZT
1
1
p(t) dt =
u(t) · i(t) dt
(12.7.7)
P =
T
T
0
0
Die nicht sinusförmigen Spannung u(t) kann mit einer Fourierreihe nach Gln. 12.3.10
approximiert werden zu
u(t) = au,0 +
n
X
au,ν cos(νωt) +
n
X
bu,ν sin(νωt)
(12.7.8)
bi,ν sin(νωt)
(12.7.9)
ν=1
ν=1
n
X
n
X
und ebenso der Strom
i(t) = ai,0 +
ai,ν cos(νωt) +
ν=1
ν=1
Eingesetzt in die Gleichung der Wirkleistung ergibt sich
1
P =
T
ZT
"
au,0 +
n
X
au,ν cos(νωt) +
ν=1
0
"
ai,0 +
n
X
n
X
#
bu,ν sin(νωt) ·
ν=1
ai,ν cos(νωt) +
ν=1
n
X
#
bi,ν sin(νωt) dt
ν=1
(12.7.10)
Vereinfachung:
Entsprechend den Orthogonalitätsrelationen der trigonometrischen Funktionen
(Gln. 12.4.7) ergibt sich wieder vereinfachend
P
=
1
T
ZT "
au,0 ai,0 +
0
1. Februar 2017
n
X
au,ν ai,ν cos2 (νωt)
ν=1
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GdE2-75
12.7
Kenngrößen
12. Nichtlineare Wechselstromschaltungen
n
X
+
=
#
2
bu,ν bi,ν sin (νωt) dt
ν=1
n
X
"
#
n
T X
T
1
au,0 ai,0 T +
au,ν ai,ν +
bu,ν bi,ν
T
2 ν=1
2
ν=1
(12.7.11)
Ergebnis:
Die Wirkleistung kann direkt aus den Fourierkoeffizienten der Spannungs- und Stromreihe berechnet werden als Summe der Gleichleistung, Grundwellenleistung, und
Oberwellenleistung entsprechender Ordnung
n
P = au,0 ai,0 +
Oder:
1X
(au,ν ai,ν + bu,ν bi,ν )
2 ν=1
(12.7.12)
Anstelle der Fourierkoeffizienten können mit Gln. 12.3.4
aν = ĝν sin ϕν
und Gln. 12.3.5
bν = ĝν cos ϕν
auch die Scheitelwerte und Nullphasenwinkel der Spannungs- und Stromfunktion verwendet werden
P = U0 I0 +
n
X
î
û
√ν √ν (sin ϕu,ν sin ϕi,ν + cos ϕu,ν cos ϕi,ν )
2
2
ν=1 |{z} |{z}
Uν
(12.7.13)
Iν
Mit den Effektivwerten und der trigonometrischen Umrechnung (Papula, 2006, Seite
94) ergibt sich
n
X
P = U0 I0 +
Uν Iν cos(ϕu,ν − ϕi,ν )
(12.7.14)
ν=1
Ergebnis:
Die Wirkleistung bei nicht sinusförmigen periodischen Spannungen und Strömen ist
gleich der Summe der Gleichleistung und der Wechselstromleistung der Grund- und
Oberwellen
n
X
P = U0 I0 +
Uν Iν cos ϕν
(12.7.15)
ν=1
Scheinleistung:
Das Produkt der Effektivwerte nach Gln. 12.7.5 von Spannung und Strom liefert wie
bekannt die Scheinleistung
S
= U Iv

 v

u n
u n
uX
uX
Uν2  · t
Iν2 
= t
ν=0
v
!
u n
u X
= t
Uν2 ·
ν=0
ν=0
n
X
!
Iν2
(12.7.16)
ν=0
die Aufgrund der Mischterme nicht einfach aus der Addition der Scheinleistungen der
einzelnen Harmonischen berechnet werden kann.
GdE2-76
[email protected]ünster.de
1. Februar 2017
12. Nichtlineare Wechselstromschaltungen
Blindleistung:
12.8
Verzerrungen
Auch die Blindleistung
Q=
p
S2 − P 2
(12.7.17)
enthält zusätzliche Mischterme, so dass sich die Blindleistung aus der Addition der
Blindleistungen der einzelnen Harmonischen
Qh =
n
X
Uν Iν sin ϕν
(12.7.18)
ν=1
und entsprechend den Mischtermen einer zusätzlichen Verzerrungsblindleistung Qd
zusammensetzt.
Leistungsfaktor:
Wir erweitern jetzt noch den aus der Wechselstromtechnik bekannten Leistungsfaktor
für Ströme und Spannungen in Fourierreihen und erhalten mit
Pn
U0 I0 +
Uν Iν cos ϕν
P
(12.7.19)
= p Pn ν=1 Pn
λ=
2
S
( ν=0 Uν ) · ( ν=0 Iν2 )
den allgemeinen Fall, bei dem eine reine Wechselspannung mit der ersten Harmonischen (k = 1, f = 50Hz) nur ein Sonderfall ist
Uk Ik cos ϕk
λ = p 2 2 = cos ϕk
Uk · Ik )
(12.7.20)
12.8. Verzerrungen
Praxis NT:
Der Klirrfaktor6 erfasst den unerwünschten Einfluss einer nichtlinearen Schaltung auf
den Strom bei einer sinusförmigen Wechseleingangsspannung:
• Verstärker
• Analog-Digital-Umsetzer
• Lautsprecher / Mikrofon
→ Anwendung in der Nachrichtentechnik
Praxis AT:
Die Verzerrungsblindleistung7 erfasst den unerwünschten Anteil der Blindleistung, die
in einem Wechselnetz durch einen nichtlinearen Verbraucher bei einer sinusförmigen
Wechseleingangsspannung entsteht:
• Gleichrichter in Netzteilen
• Wechselrichter
• Magnetische Sättigung in Spulen bei Motoren
→ Anwendung in der Automatisierungstechnik
12.8.1. Lineare Verzerrungen
Linear:
6 auch
7 auch
In einer linearen Schaltung mit linearen Bauelementen Widerstand R = const, Kondensator C = const und Spule L = const, die Ein- und Ausgangsgrößen unterschiedlicher Kurvenformen aufweisen, spricht man von linearen Verzerrungen. Dabei
gilt dass
Oberschwingungsgehalt oder Verzerrungsgehalt genannt
Oberschwingungsblindleistung oder Verzerrungsleistung genannt
1. Februar 2017
[email protected]ünster.de
GdE2-77
12.8
Verzerrungen
12. Nichtlineare Wechselstromschaltungen
• die Ausgangsgröße nur harmonische Anteile enthält, die schon in der Eingangsgröße enthalten sind,
• die Kurvenform der Ausgangsgröße sich nicht ändert, wenn man die Eingangsgröße bei gleich bleibender Kurvenform vergrößert oder verkleinert und
• die Amplituden der harmonischen Oberwellen aufgrund der Integration an Kondensator und Spule
Z
Z
1
1
iC dt und iL =
uL dt
uC =
C
L
oder der Differentiation an Kondensator und Spule
iC = C
duC
dt
und uL = L
diL
dt
nichtlinear verändert werden.
Widerstand:
Ein Widerstand verändert die Kurvenform nicht.
Spule:
Fließt ein Strom in Form einer Fourierreihe durch die Spule, so wird die Amplitude
der ν-te Teilschwingung der Spannung an der Spule mit Differentiation zu
uL = L
d
îν sin(νωt + ϕν ) = Lνω îν cos(νωt + ϕν )
dt
(12.8.1)
→ Multiplikation der Teilschwingungsamplitude ûL mit νω wodurch höherfrequente
Anteile verstärkt werden.
Kondensator:
Fließt ein Strom in Form einer Fourierreihe durch den Kondensator, so wird die Amplitude der ν-te Teilschwingung der Spannung am Kondensator mit Integration zu
Z
îν
1
uC =
îν sin(νωt + ϕν ) dt = −
cos(νωt + ϕν )
(12.8.2)
C
Cνω
→ Division der Teilschwingungsamplitude ûC durch νω wodurch höherfrequente Anteile gedämpft werden.
12.8.2. Nichtlineare Verzerrungen
Verzerrung:
In einer nichtlinearen Schaltung treten trotz sinusförmiger Spannung u(t) nicht sinusförmige Ströme i(t) auf. In Abb. 12.8.1 ist beispielhaft die Kennlinie eines nichtlinearen Widerstandes dargestellt. Weitere nichtlineare Bauelemente sind Gleichrichter,
stromabhängige Induktivitäten oder Dioden und Transistoren.
Definition:
Der Schwingungsgehalt (s) einer Mischgröße wird nach DIN 40110 für einen Strom
(si ) definiert als Quotient der Effektivwerte von Wechselanteil und Gesamtgröße8
s = si =
I∼
I
(12.8.3)
mit dem Effektivwert des Wechselstromanteils entsprechend Gln. 12.7.6
v
u n
q
uX
2
2
I∼ = I − I0 = t
Iν2
ν=1
8 Der
Index i Kennzeichnet dabei den Schwingungsgehalt si des Stromes, er wird im Folgenden weggelassen. Gleiches gilt für gi und
ki .
GdE2-78
[email protected]ünster.de
1. Februar 2017
12. Nichtlineare Wechselstromschaltungen
12.8
I
Verzerrungen
i
I(U)
i(t)
t
U
u
u(t)
t
Abbildung 12.8.1.: Stromverzerrung an einem nichtlinearen Bauelement bei Sinusspannung
1. FRAGE:
Was war noch einmal eine Mischgröße?
2. FRAGE:
Wie groß ist der Schwingungsgehalt einer Wechselgröße?
Speziell:
Für reine Wechselgrößen ist der Gleichanteil I0 = 0 und somit wird I∼ = I. Damit
hat der Schwingungsgehalt keine Aussage mehr und man definiert stattdessen den
Grundschwingungsgehalt als Quotienten der Effektivwerte von Grundschwingung und
der gesamten Wechselgröße
g=
Definition:
I1
I1
=
I∼
I
(12.8.4)
Als Oberschwingungsgehalt oder Klirrfaktor einer Wechselgröße bezeichnet man den
Quotienten aus dem Effektivwert aller Oberschwingungen (für ν ≥ 2) und der gesamten Wechselgröße
s
k=
n
P
ν=2
I
Iν2
p
=
p
I 2 − I12
= 1 − g2
I
(12.8.5)
→ Der Klirrfaktor ist der Grad der Verzerrung, um den die Kurvenform einer Wechselgröße von der Sinusform abweicht9 .
9 Ohne
Verzerrungen, also für reine Wechselgrößen wird k = 0, da g = 1 ist.
1. Februar 2017
[email protected]ünster.de
GdE2-79
12.8
Verzerrungen
Wirkleistung:
12. Nichtlineare Wechselstromschaltungen
Nach Voraussetzung enthält die Sinusspannung
u1 = U1 sin ωt
keine Oberwellen und damit enthält auch die Wirkleistung nach Gln. 12.7.15 keine
Stromoberwellenanteile
P = U0 I0 +
n
X
Uν Iν cos ϕν = U1 I1 cos ϕ1
(12.8.6)
ν=1
|
Gln.
Scheinleistung:
}
Für die Scheinleistung nach Gln. 12.7.16 ergibt sich analog
S=
Blindleistung:
{z
12.7.15
UI
|{z}
Gln. 12.7.16
v
u n
uX
= U1 I = U1 t
Iν2
(12.8.7)
ν=0
Bei der Blindleistung liefert der gleiche Ansatz mit
v
u
n
p
u X
2
2
Q = S − P = tU12
Iν2 − U12 I12 cos2 ϕ1
(12.8.8)
ν=0
die beiden Anteile Grundschwingungsblindleistung und Verzerrungsleistung.
Umformen:
Durch Sortieren nach den Stromfunktionen wird daraus
q
Q = U12 I12 (1 − cos2 ϕ1 ) + U12 (I02 + I22 + I32 + . . .)
(12.8.9)
Berücksichtigt man, dass
sin2 ϕ1 = 1 − cos2 ϕ1
ist, so bekommt man die Grundschwingungsblindleistung als Funktion der Phasenverschiebung zu
Q1 = U1 I1 sin ϕ1
(12.8.10)
und die Oberschwingungsblindleistung oder Verzerrungsleistung verursacht durch die
Stromoberschwingungen zu
Qdist = U1
Ergebnis:
I02 + I22 + I32 + . . .
(12.8.11)
Damit addiert sich die Blindleistung als Summe der Grundschwingungsblindleistung
und der Verzerrungsleistung quadratisch zu
Q=
GdE2-80
q
q
Q21 + Q2dist
[email protected]ünster.de
(12.8.12)
1. Februar 2017
12. Nichtlineare Wechselstromschaltungen
12.9
Zusammenfassung
12.9. Zusammenfassung
Behauptung:
Jede periodische Zeitfunktion kann dargestellt werden als eine Summe von Sinusschwingungen unterschiedlicher Frequenz und Phasenlage und eines Gleichanteils.
Beweis:
Jede beliebige periodische Funktion f (t) kann durch eine endliche Fourierreihe mit
dem Gleichanteil g0 = ĝ0 sin ϕ0 und den Amplituden ĝν und Nullphasenwinkeln ϕν
der harmonischen Oberwellen beliebig genau dargestellt werden.
Darstellung:
Gleichwertige Darstellungen sind:
• Spektralform der Fourierreihe
• Normalform der Fourierreihe
• Komplexe Fourierreihe
1. Februar 2017
[email protected]ünster.de
GdE2-81
12.10
Übungsaufgaben
12. Nichtlineare Wechselstromschaltungen
12.10. Übungsaufgaben
Aufgabe 12.10.1
(Fourierreihe)
-> Seite 163
u
Eine Wechselspannung mit dem Scheitelwert û und der Periodendauer T hat den
angegebenen zeitlichen Verlauf.
u
0
T
4
−
t
T
4
T
2
3
T
4
−u
1. Bestimmen Sie die Fourier-Koeffizienten in allgemener Form für die Normalform der Fourierreihe.
R
Hinweis: sin(ax)dx = − a1 cos(ax)
2. Berechnen Sie die ersten 4 Zahlenwerte der Koeffizienten und geben Sie damit
die Normalform der Fourier-Reihe an.
Aufgabe 12.10.2
(Fourierreihe)
-> Seite 163
Ein Wechselstrom mit dem Scheitelwert
î und der Periodendauer T hat den angegebenen zeitlichen Verlauf.
i
i
0
T
−
2
t
T
2
−i
1. Berechnen Sie aus den komplexen Fourier-Koeffizienten die FourierKoeffizienten in allgemener Form für die Normalform der Fourierreihe.
R
ax
Hinweis: x · eax dx = (ax−1)·e
a2
2. Berechnen Sie die ersten 4 Zahlenwerte der Koeffizienten und geben Sie damit
die Normalform der Fourier-Reihe an.
3. Verwenden Sie den m-File „dreieck_208.m“ aus dem Downloadbereich des psetServers und tragen Sie dort ihre Lösung ein. Nutzen Sie „octave“ zur Überprüfung Ihrer Lösung!
Aufgabe 12.10.3
(Fourierreihe)
-> Seite 163
Ein Strom mit dem Scheitelwert î hat
den angegebenen zeitlichen Verlauf.
i
i = i |sin ω t|
i
ωt
0
π
2π
1. Bestimmen Sie die Fourier-Koeffizienten in allgemener Form.
Hinweis: sin x1 cos x2 = 12 [sin(x1 − x2 ) + sin(x1 + x2 )]
R
cos(a−b)x
bzw.: sin(ax) cos(bx) dx = − cos(a+b)x
2(a+b) − 2(a−b)
2. Geben Sie die Normalform der Fourier-Reihe mit den ersten n = 6 Koeffizienten
an.
GdE2-82
[email protected]ünster.de
1. Februar 2017
12. Nichtlineare Wechselstromschaltungen
Aufgabe 12.10.4
(Fourierreihe)
-> Seite 164
12.10
Bei dem dargestellten Stromverlauf beträgt der Scheitelwert î = 10A (T = Periodendauer).
Übungsaufgaben
i
i
t
0
T
−3
T
3
2
T
3
−i
T
1. Es sind die Effektivwerte der einzelnen Harmonischen bis einschließlich der
Ordnungszahl n = 6 zu bestimmen.
2. Aus den bei 1) bestimmten Werten sind der Effektivwert der Gesamtschwingung,
3. der Klirrfaktor k des Stromes und
4. der Grundschwingungsgehalt g des Stromes zu ermitteln. (Hierbei sind Harmonische mit einer Ordnungszahl n > 6 zu vernachlässigen.)
Aufgabe 12.10.5
(Fourierreihe)
-> Seite 165
Die dargestellte Schaltung mit
R = 1kΩ und C = 1µF liegt an
einer Sägezahnspannung mit ûe =
100V und T = 6,28ms.
ue
ue
ue
R
ua
C
t
0
T
1. Bestimmen Sie den in ue enthaltenen Gleichspannungsanteil sowie die Effektivwerte der 1., 2. und 3. Harmonischen von ue .
R
Hinweis: x sin(ax) dx = sin(ax)
− x cos(ax)
a2
a
2. Bestimmen Sie den in ua enthaltenen Gleichspannungsanteil sowie die Effektivwerte der 1., 2. und 3. Harmonischen von ua .
3. Aus den bei 1) und 2) gefundenen Werten sind die Effektivwerte der Eingangsspannung ue und der Ausgangsspannung ua zu berechnen. Harmonische mit einer Ordnungszahl n > 3 können vernachlässigt werden.
Aufgabe 12.10.6
(Fourierreihe)
-> Seite 165
1. Februar 2017
Die Primärwicklung eines Transformators nimmt bei sinusförmiger Spannung
einen rechteckförmigen Strom auf. (Zeitlicher Verlauf von Spannung und Strom s.
Skizze.)
Welche Wirkleistung P , Scheinleistung
S und Verzerrungsleistung D nimmt der
Transformator auf?
u
i
100V 1A
ωt
π
0
−100V
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2π
−1A
GdE2-83
13. Schaltvorgänge
Ziele:
Das Ziel der bisherigen Netzwerkberechnungen ist die Berechnung von Strömen und
Spannungen an Bauelementen, deren Werte gegeben sind:
• Für Netzwerke, die nur Gleichstromquellen enthalten, ist dabei der Zeitpunkt der
Berechnung nicht von Bedeutung, da es nur einen stationären Zustand gibt.
• Für Netzwerke, die auch Wechselstromquellen enthalten, ist dabei der Zeitpunkt
der Berechnung nicht von Bedeutung gewesen, da nur der stationäre Zustand
betrachtet wird, bei dem alle Einschwingvorgänge abgeklungen sind.
Anwendung:
Wenn wir diese zeitabhängigen Änderungen nicht mehr vernachlässigen wollen, stellt
sich die Frage:
Was sind
• Einschwingvorgänge und was passiert beim
• Ein- und Ausschalten von Bauelementen in einem Netzwerk?
13.1. Ausgleichsvorgänge
Definition:
Ein Ausgleichsvorgang beschreibt in einem allgemeinen physikalischen System den
Übergang von einem stationären Zustand in einen anderen stationären Zustand. Insgesamt gibt es drei Zustände, wenn ein Ausgleichsvorgang auftritt:
1. Den Zustand vor dem Schaltvorgang,
2. den Ausgleichsvorgang und
3. den stationären Endzustand nach dem Ausgleichsvorgang.
Ursache:
Der Zustand eines elektrischen Netzwerkes wird durch seine gespeicherte Energie beschrieben. Energiespeicher sind
• Spulen, deren magnetische Energie
1 2
LI
2
Wm =
(13.1.1)
eine stetige Funktion des Stromes ist und
• Kondensatoren, deren elektrische Energie
We =
1
CU 2
2
(13.1.2)
eine stetige Funktion der Spannung ist.
Wirkung:
Sind Spulen und Kondensatoren in einem Netzwerk, so kann sich
• der Strom durch eine Spule und
• die Spannung an einem Kondensator
GdE2-84
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1. Februar 2017
13. Schaltvorgänge
13.1
Ausgleichsvorgänge
nur stetig ändern.
→ Im Gegensatz dazu können die Spannung an einer Spule und der Strom durch einen
Kondensator Sprünge aufweisen.
Annahme:
Wir verwenden zur Berechnung von Schaltvorgängen einen idealen Schalter:
• Der zeitabhängige Widerstand des Schalters ändert seinen Wert von R = ∞ vor
dem Schalten für t < 0 (Leerlauf) auf den Wert R = 0 nach dem Schalten für
t ≥ 0 (Kurzschluss) in unendlich kurzer Zeit.
• In der Praxis würde z.B. ein Transistor als Schalter eine gewisse Zeit für den
Wechsel des Schaltzustandes benötigen, also selbst ein Ausgleichsvorgang sein.
Beispiel:
Ein Schalter verbindet eine Spule mit einer Gleichspannungsquelle, wie in Abb. 13.3.1
zu sehen ist. 1
L
R2
D
t < 0: I = 0
t = 0: Schaltvorgang
R1
t=0
U0
i
C
uC
i = f (t) = Ie +?
t 0: Ie =
U0
R1
Abbildung 13.1.1.: Beispiel eines Schaltvorganges
Wirkung:
Der Energiespeicher Spule für magnetische Energie verhindert eine sprunghafte Änderung der Zustandsgröße Strom i bei der Spule.
→ Der Ausgleichvorgang gleicht den Strom I vor dem Ausgleichsvorgang stetig, d.h.
ohne Sprung an den Strom Ie nach dem Ausgleichsvorgang an.
Ansatz:
Der Ausgleichsvorgang wird als Überlagerung des eingeschwungenen, stationären Zustandes und eines temporären, flüchtigen Übergangsvorganges aufgefasst.
Beispiel:
Für den Strom durch eine Spule erhalten wir mit dem eingeschwungenen Strom Ie
und dem temporären, oft als flüchtig bezeichneten, Strom if
i = i(t) = Ie + if (t)
Vorteil:
(13.1.3)
Für den kompletten Ausgleichsvorgang können der stationäre Zustand und der Übergangsvorgang getrennt berechnet werden.
→ Die bisherigen Ergebnisse der Gleich- und Wechselstromtechnik können und müssen mitverwendet werden!
Mathematik:
• Zur Berechnung des stationären Anteils ist eine bekannte Gleich- oder Wechselstromrechnung notwendig.
• Die Berechnung des Übergangsvorganges erfordert die Aufstellung und die Lösung einer homogenen Differentialgleichung2 .
1 Der
rechte Teil der Schaltung gehört zu einem DC-DC-Hoch-Spannungswandler, der bei Ansteuerung des Schalters mit einem Takt
jeweils die Energie der Spule in den Kondensator überträgt → Leistungselektronik.
2 Störfunktion ist Null
1. Februar 2017
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GdE2-85
13.2
Trennen der Variablen
Bekanntes:
13. Schaltvorgänge
In Gleich- und Wechselspannungsnetzwerken gelten im eingeschwungenen Zustand
die bekannten Gesetze
• Kirchhoffsche Maschenregel und
• Kirchhoffsche Knotenregel
Mathematik:
In Wechselspannungsnetzwerken ergeben die Maschen- und Knotenregeln für die Augenblickswerte Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten.
• Die Ordnung der DGL entspricht der Anzahl nicht zusammenfassbarer Energiespeicher, den Spulen und Kondensatoren
→ Aufwendiger Lösungsweg im Zeitbereich
• Transformation zu einer algebraischen Gleichung im komplexen Bildbereich
→ Einfache Lösung und anschließende Rücktransformation
13.2. Trennen der Variablen
Beispiel:
Für t = 0 wird der Schalter zum Kontakt 1 in Abb. 13.2.1 geschlossen.
1
2
R
uR
U0
iC
V
1
uC
A
R
uR
2
Abbildung 13.2.1.: Schaltung zur Kondensatoraufladung
Masche:
Aufgrund der Maschenregel gilt
U0 − uR − uC = 0
(13.2.1)
Hierin ist U0 die zeitunabhängige Gleichspannung der Quelle und der Spannungsabfall am Widerstand uR und am Kondensator uC sind zeitabhängige Spannungen.
Kleinbuchstaben kennzeichnen zeitabhängige Größen, d.h. u = u(t).
Zeit:
Die Zustandsgröße uC wird von der Anfangsspannung uC = 0V mit der Zeit ansteigen bis zum stationären Endwert uC = U0 , wenn der Strom durch den Widerstand
Null geworden ist.
→ Ausgleichsvorgang!
Strom:
Mit dem bekannten Bauelementestrom des Kondensators
iC = C
GdE2-86
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duC
dt
(13.2.2)
1. Februar 2017
13. Schaltvorgänge
13.2
Trennen der Variablen
und dem Ohmschen Gesetz kann die Spannung über dem Widerstand ersetzt werden
uR = R · iR = R · iC = R · C
duC
dt
(13.2.3)
In die Maschengleichung eingesetzt erhalten wir damit
RC
DGL:
duC
+ uC − U0 = 0
dt
(13.2.4)
Das ergibt eine Differentialgleichung zur Bestimmung der Kondensatorspannung
U0 − uC
duC
=
dt
RC
Lösung:
(13.2.5)
Gesucht ist uC (t), das diese DGL erfüllt. Die Lösung erhält man mit der Substitution
x = U 0 − uC
(13.2.6)
und deren Ableitung
dx
= −1
duC
→
duC = −dx
(13.2.7)
über
−dx
x
=
dt
RC
(13.2.8)
1
1
dx = −
dt
x
RC
(13.2.9)
und Trennen der Veränderlichen aus
Mit einer unbestimmten Integration folgt
Z
Z
1
1
dx = −
dt
x
RC
(13.2.10)
Das Ergebnis der Integration ist
ln x = −
t
+K
RC
(13.2.11)
Ersetzen der Konstanten durch K = ln k liefert weiter
ln x − ln k
x
ln
k
x
U0 − uC
| {z }
t
RC
t
= −
RC
t
= k · e− RC
= −
t
= k · e− RC
(13.2.12)
x
Aus der Anfangsbedingung uC (t = 0) = 0 folgt
0
uC (0) = U0 − k · e− RC
1. Februar 2017
→
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k = U0
(13.2.13)
GdE2-87
13.2
Trennen der Variablen
Spannung:
13. Schaltvorgänge
Damit erhalten wir die gesuchte Lösung zu
t
uC = U0 1 − e− RC
(13.2.14)
τ = RC
(13.2.15)
mit der Zeitkonstanten
Strom:
Mit Gln. 13.2.2 erhalten wir den Strom zu
iC = C
U0 − t
duC
=
e τ
dt
R
(13.2.16)
Zeitkonstante:
Die Kondensatorspannung nach Gln. 13.2.14 würde aus jedem Zeitpunkt t = tx mit
konstant gehaltener Steigung
duC
U0 − t
=
e τ
(13.2.17)
dt
τ
den Endwert U0 nach Ablauf der Zeit t = τ erreichen. Für tx = 0 ist dieses in
Abb. 13.2.2 mit eingezeichnet.
Kennlinie:
Die Kondensatorspannung in Abb. 13.2.2 steigt nach einer Exponentialfunktion an
und wird erst nach langer Zeit gleich der Spannung der Quelle. Der für den Anfangszeitpunkt maximale Strom nimmt mit der Zeit exponentiell gegen Null ab.
→ Normierte Funktionen: uC (x) = 1 − exp(−x) und iC (x) = exp(−x).
Kondensatoraufladung
normierte Spannung bzw. Strom
1
u_c(x)
i_c(x)
tau(x)
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5 2 2.5
normierte Zeit
3
3.5
4
4.5
5
Abbildung 13.2.2.: Spannung und Strom bei der Kondensatoraufladung
Entladung:
Nachdem der Kondensator aufgeladen ist, wird der Schalter in Abb. 13.2.1 in Stellung
2 gebracht. Aufgrund der Maschenregel gilt jetzt
uC − uR = 0
GdE2-88
[email protected]ünster.de
(13.2.18)
1. Februar 2017
13. Schaltvorgänge
13.2
Trennen der Variablen
und mit dem Kondensatorstrom, der entgegengesetzt zur Spannung am Widerstand
(uR = −RiC ) ist, erhalten wir
uC + RiC
duC
uC + RC
dt
RC
· duC
dt
DGL:
=
0
=
0
= −uC
Entsprechend der Kondensatoraufladung ergibt sich die Ausgangsdifferentialgleichung durch Trennen der Variablen direkt zu
1
1
dt
duC = −
uC
RC
Lösung:
t
+ ln k
RC
(13.2.21)
Mit der Anfangsbedingung uC (t = 0) = U0 wird die Kondensatorspannung zu
t
uC = U0 · e− RC
Strom:
(13.2.20)
Entsprechend der Kondensatoraufladung ergibt sich als Lösung der Integration
ln uC = −
Spannung:
(13.2.19)
(13.2.22)
Mit Gln. 13.2.2 erhalten wir den Strom zu
iC = C
U0 t
duC
= − e− τ
dt
R
(13.2.23)
→ Auch hier springt der Kondensatorstrom im Schaltzeitpunkt von dem Wert
iC (t−0 ) = 0A auf den Wert iC (t+0 ) = −U0 /R.
Kennlinie:
Die Kondensatorspannung in Abb. 13.2.3 fällt von einem Anfangswert U0 exponentiell
auf Null ab. Bei Ladung und Entladung bleibt die Spannung dauernd im positiven
Bereich, aber die Stromrichtung ändert sich.
→ Normierte Funktionen: uC (x) = exp(−x) und iC (x) = −exp(−x).
Beispiel 13.2.1
(Spule)
Eine Spannungsquelle wird über einen Schalter an eine reale Spule angeschlossen. Auf
den Innenwiderstand der Spannungsquelle kann ja verzichtet werden, da in den Gleichungen immer nur die Summe des Innenwiderstandes und des Kupferwiderstandes
vorkommt.
1. Kann man auch eine ideale Spule an eine ideale Spannungsquelle anschließen?
2. Was passiert, wenn man den geschlossenen Schalter bei einer realen Spule wieder öffnet?
3. Es ist der zeitliche Verlauf des Spulenstroms mit Hilfe des Verfahrens Trennen
der Variablen zu berechnen!
LÖSUNG:
1. Februar 2017
Die Lösung wird in der Vorlesung erarbeitet. Ergebnisse für den Vergleich der eigenen
Lösung sind:
R
U0 iL =
1 − e− L t
R
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GdE2-89
13.2
Trennen der Variablen
13. Schaltvorgänge
Kondensatorentladung
normierte Spannung bzw. Strom
1
u_c(x)
i_c(x)
tau(x)
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5 2 2.5
normierte Zeit
3
3.5
4
4.5
5
Abbildung 13.2.3.: Spannung und Strom bei der Kondensatorentladung
iL
R
uR
U0
uL
L
A
Abbildung 13.2.4.: Schaltung zur Messung des Stromanstiegs in einer Spule
GdE2-90
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1. Februar 2017
13. Schaltvorgänge
13.3
Ergebnis:
Exponentialansatz
Für den Stromanstieg erhalten wir eine formal ähnliche Beziehung wie für den Spannungsanstieg beim Kondensator
iL =
U0 1 − e−t/τ
R
(13.2.24)
τ = L/R
(13.2.25)
mit der Zeitkonstanten
Spannung:
1. Der Anfangswert des Stromes ist
iL (t = 0) = 0
(13.2.26)
diL
d U0 1 − e−t/τ = U0 e−t/τ
=L
dt
dt R
(13.2.27)
2. Die Spulenspannung ist
uL = L
3. Der Anfangswert der Spulenspannung ist
uL (t = 0) = U0
(13.2.28)
→ Die Spulenspannung springt im Schaltzeitpunkt von dem Wert uL (t−0 ) = 0V
auf den Wert uL (t+0 ) = U0 .
13.3. Exponentialansatz
Beispiel:
Ein Schalter verbindet eine reale Spule mit einer realen Gleichspannungsquelle, wie
in Abb. 13.3.1 zu sehen ist.
t=0
Ri
U Ri
t < 0: I = 0
i
RL
URL
t = 0: Schaltvorgang
i = f (t) = Ie +?
U0
L
UL
t 0: Ie =
U0
RL +Ri
Abbildung 13.3.1.: Beispiel eines Schaltvorganges
2. Netzwerkber.:
Für die Spule aus Abb. 13.3.1 ergibt sich aus der Maschenregel für die Augenblickswerte der Spannungen
uRL + uRi + uL = U0
(13.3.1)
mit den bekannten Bauelementegleichungen die DGL mit konstanten Koeffizienten
di
(RL + Ri ) i + L = U0
| {z }
dt
(13.3.2)
Rg
1. Februar 2017
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GdE2-91
13.3
Exponentialansatz
Lösung:
13. Schaltvorgänge
Da es sich um ein Gleichstromnetz handelt, wird direkt
di
=0
dt
(13.3.3)
und somit der eingeschwungene Strom zu
U0
Rg
ie =
Mathematik:
(13.3.4)
Die Zerlegung des Ausgleichsvorgangs entspricht der Lösung der inhomogenen Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten
• Eingeschwungener Zustand:
→ Partikuläre Lösung der inhomogenen DGL
• Übergangsvorgang:
→ Allgemeine Lösung der homogenen DGL mit Konstantenbestimmung
Speziell:
Bei homogener DGL ist die Störfunktion (Spannungsquelle U0 ) Null, so dass nur ein
Übergangsvorgang existiert.
13.3.1. Homogene DGL
1. DGL:
Die DGL für den Übergangsvorgang bekommt man wie beim eingeschwungenen Zustand aus der Netzwerkanalyse im Zeitbereich. Für den Ausgleichsvorgang nach dem
Einschalten einer Gleichspannung an eine Spule entsprechend Abb. 13.3.1 ergibt sich
die DGL in Gln. 13.3.2. Setzt man den Ausgleichsstrom aus zwei Anteilen i = ie + if
in die DGL ein, so erhält man
Rg (ie + if ) + L
Stationär:
(13.3.5)
Dieselbe DGL ergibt sich natürlich auch für den eingeschwungenen Zustand, im Prinzip für t → ∞, wenn also der flüchtige Strom zu Null geworden ist
Rg ie + L
Flüchtig:
d(ie + if )
= U0
dt
die
= U0
dt
(13.3.6)
Durch Subtraktion dieser DGL entsprechend der Summenregel der Differentialrechnung erhält man für den Übergangsvorgang die homogene DGL zu
Rg if + L
dif
=0
dt
(13.3.7)
Formal:
Wird in der DGL für den Ausgleichsvorgang die Störfunktion Null gesetzt, so erhält
man die homogene DGL des Übergangsvorgangs dadurch, dass der Index f ergänzt
wird.
Lösung:
Mit Hilfe der Mathematik sind folgende Lösungsmethoden für homogene DGLs mit
konstanten Koeffizienten möglich:
1. Bei DGLs erster Ordnung kann die Trennung der Variablen verwendet werden,
die aber gegenüber der 2. Methode keine Vorteile hat → Ergebnis e-Funktion.
2. Lösung durch den eλt -Ansatz für DGLs beliebiger Ordnung.
GdE2-92
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1. Februar 2017
13. Schaltvorgänge
3. Hom. DGL:
13.3
Exponentialansatz
Die DGL der Spule war 1. Ordnung, daher wählt man den Ansatz
if = Keλt
(13.3.8)
dif
= Kλeλt
dt
(13.3.9)
Nach der Differentiation ergibt sich
DGL:
In die homogene DGL eingesetzt wird daraus
Rg Keλt + λLKeλt = 0
(13.3.10)
Keλt (Rg + λL) = 0
(13.3.11)
Umsortieren ergibt
K = 0 ergibt keinen flüchtigen Strom, eλt kann nicht Null werden, also muss
Rg + λL = 0
sein und damit wird
λ=−
Lösung:
Rg
L
(13.3.12)
(13.3.13)
Damit lautet die allgemeine Lösung der homogenen DGL
if = Ke−t/τ
(13.3.14)
mit der Zeitkonstanten τ , der charakteristischen Größe des Ausgleichsvorganges
τ =−
L
1
=
λ
Rg
(13.3.15)
13.3.2. Inhomogene DGL
Konstanten:
Die Bestimmung der Konstanten entsprechend der Ordnung der DGL erfolgt aufgrund
der stetigen Anfangsbedingungen der Zustandsgrößen
i(0− ) = i(0+ ) = ie (0+ ) + if (0+ )
Mathematik:
(13.3.16)
Mathematisch sind der linksseitige Grenzwert und der rechtsseitige zum Zeitpunkt
t = 0 identisch. Sprungartige Änderungen der Zustandsgrößen sind elektrotechnisch
nicht möglich, weil
• bei einer Spule deren magnetische Energie
Wm =
1 2
Li = f (iL )
2 L
• und bei einem Kondensatoren dessen elektrische Energie
We =
1 2
Cu = f (uC )
2 C
sich nur stetig ändern können.
1. Februar 2017
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GdE2-93
13.3
Exponentialansatz
4. Konstanten:
13. Schaltvorgänge
Für die Spule ist die Anfangsbedingung entsprechend
i(0− )
=
0
=
ie (0+ ) + if (0+ )
U0
+ Ke−0/τ
Rg
(13.3.17)
Mit e0 = 1 ergibt sich die Konstante zu
K=−
U0
Rg
(13.3.18)
Die Lösung der homogenen DGL (allgemeine Lösung) ist damit bestimmt
if = −
U0 −t/τ
e
Rg
(13.3.19)
Der Ausgleichsvorgang ist die Überlagerung der partikulären Lösung ie aus
Gln. 13.3.4 und der allgemeinen Lösung if
5. Überlagerung:
i=
U0
U0 −t/τ
U0
−
e
=
(1 − e−t/τ )
Rg
Rg
Rg
(13.3.20)
Der graphische Verlauf in Abb. 13.3.2 mit der normierten Zeitkonstanten τ =
L/Rg = 1s und der normierten Amplitude U0 /Rg = 1A zeigt den Einfluss der Stromteile i = ie + if .
6. Berechnung:
Einschaltverhalten einer Spule
1.5
i(x)
i_e(x)
i_f(x)
normierter Strom
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-1
0
1
2
normierte Zeit
3
4
5
Abbildung 13.3.2.: Stromverlauf in einer Spule beim Einschalten einer Gleichspannung
13.3.3. Ausgleichsvorgang
6. Berechnung:
GdE2-94
Mit der Zustandsgröße können weitere Berechnungen erfolgen
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1. Februar 2017
13. Schaltvorgänge
13.3
Exponentialansatz
• Spannung an der Spule
uL = L
di
= U0 e−t/τ
dt
(13.3.21)
• oder die Gesamtleistung, d.h. die Leistungen im Innenwiderstand RI der Quelle
und im Kupferwiderstand RL der Spule . . .
BERECHNUNG:
Grafik:
Die graphische Darstellung zeigt den normierten Leistungsverlauf in einer Spule beim
Einschalten einer Gleichspannung mit p0 = U02 /(RL + Ri ) = 1W
Leistungsverlauf in einer Spule beim Einschalten
1.4
p_0(x)
p(x)
p_R(x)
p_L(x)
normierte Leistung
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
1
2
3
normierte Zeit
4
5
Abbildung 13.3.3.: Leistungsverlauf in einer Spule beim Einschalten einer Gleichspannung
Verfahren:
Zur Berechnung des Ausgleichsvorganges nach einem Schaltvorgang in elektrischen
Netzen mit Gleich- oder Wechselspannungserregung kann folgender Maßen verfahren
werden:
1. Aufstellen der Differentialgleichung ab t = t0 für die Zustandsgröße
2. Gleichstrom- oder Wechselstromberechnung zur Bestimmung des eingeschwungenen Zustandes für t → ∞
3. Berechnen des Übergangsvorganges mit dem Exponentialansatz zur Lösung der
homogenen DGL
4. Bestimmung der Konstanten aus den Anfangsbedingungen und Einsetzen in die
allgemeine Lösung
1. Februar 2017
[email protected]ünster.de
GdE2-95
13.4
Übertragungsfunktion
13. Schaltvorgänge
5. Überlagerung des Übergangsvorganges mit dem eingeschwungenen Zustand
zum Ausgleichsvorgang
6. Weitere Berechnungen und graphische Darstellung der Zeitverläufe
→ Die Zahlen im vorigen Abschnitt entsprechen diesen Punkten!
13.4. Übertragungsfunktion
Netzwerk:
Wie sieht der zeitliche Verlauf der Spannung u2 des Netzwerkes in Abb. 13.4.1 mit
dem Kondensator als Energiespeicher aus, wenn die Eingangsspannung geschaltet
wird?
t=0
U0
i
uR
uC
R1
C
R2
u1
u2
Netzwerk
Abbildung 13.4.1.: Geschaltete Gleichspannung an einem 4-Pol oder 2-Tor
→ Die Antwort ist die Sprungantwort oder Übertragungsfunktion des Netzwerkes.
Lösung:
Zur Beantwortung der Frage muss zuerst die Spannung am Kondensator nach dem
Schließen des Schalters bestimmt werden, da sich die Spannung einfach als u2 =
R2 · iC berechnen lässt.
→ Mit dem 6-Punkte-Verfahren des Exponentialansatzes ergibt sich
1. DGL:
Aus der Maschengleichung
uR + uC + u2 = U0
(13.4.1)
wird mit dem Ohmschen Gesetz für die Widerstände
(R1 + R2 ) ·i + uC = U0
| {z }
(13.4.2)
Rg
Mit der Bauelementegleichung des Kondensators
duC
dt
(13.4.3)
duC
+ uC = U0
dt
(13.4.4)
i=C
ergibt sich die Differentialgleichung zu
Rg · C
GdE2-96
[email protected]ünster.de
1. Februar 2017
13. Schaltvorgänge
2. Netzwerkber.:
3. Hom. DGL:
13.4
Übertragungsfunktion
Der stationäre Zustand ergibt sich trivial zu
uCe = U0
(13.4.5)
duCf
+ uCf = 0
dt
(13.4.6)
Die Lösung der homogenen DGL
Rg · C
wird mit dem Exponentialansatz zu
uCf = K · e−t/τ
,
duCf
K
= − · e−t/τ
dt
τ
Eingesetzt in die DGL
K ·e
−t/τ
Rg · C
1−
=0
τ
ergibt sich die Zeitkonstante
4. Konstanten:
τ = Rg · C
(13.4.7)
uC (0− ) = uC (0+ ) = uCe (0+ ) + uCf (0+ )
(13.4.8)
Für die Anfangsbedingung
erhalten wir mit
0 = U0 + K
die Konstante zu
K = −U0
(13.4.9)
und damit die Lösung der homogenen DGL zu
uCf = −U0 · e−t/τ
5. Überlagerung:
(13.4.10)
Die Überlagerung der beiden Lösungen ergibt den Ausgleichsvorgang
uC = uCe + uCf = U0 − U0 · e−t/τ
und damit die benötigte Spannung am Kondensator
uC = U0 · (1 − e−t/τ )
6. Berechnung:
(13.4.11)
Berechnung der gesuchten Spannung
u2 = R2 · i
(13.4.12)
Mit dem Strom durch den Kondensator
i=C·
CU0 −t/τ
CU0 −t/τ
duC
=
·e
=
·e
dt
τ
Rg C
(13.4.13)
wird daraus die Sprungantwort des Netzwerkes
u2 =
1. Februar 2017
R2
· U0 · e−t/τ
Rg
[email protected]ünster.de
(13.4.14)
GdE2-97
13.5
Wechselspannung an Spule
Bedeutung:
13. Schaltvorgänge
Das Übertragungsverhalten von Reglern wird oft mit einer Sprungfunktion getestet.
Die Ausgangszeitfunktion
y(t) = f (x · σ(t))
(13.4.15)
eines Übertragungsgliedes bei sprungförmiger Eingangszeitfunktion ist die Übertragungsfunktion oder Sprungantwort.
Die normierte Grafik der Sprungantwort in Abb. 13.4.2 ergibt sich für U0 = 1V und
R2 /Rg = 0,8
6. Berechnung:
Sprungantwort des Netzwerks
1.2
u1(x)
u2(x)
normierter Spannung
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-1
0
1
2
normierte Zeit
3
4
5
Abbildung 13.4.2.: Sprungantwort oder Übertragungsfunktion eines einfachen Netzwerkes
13.5. Wechselspannung an Spule
Schaltung:
Anstelle einer Gleichspannung soll nun eine Wechselspannung
u = û sin(ωt + ϕu )
(13.5.1)
an eine Spule entsprechend Abb. 13.5.1 geschaltet werden.
Gesucht:
Strom iL (t) durch die Spule.
FRAGE:
Was könnte sich im Vergleich zum Gleichstromfall ändern?
ANTWORTEN:
GdE2-98
[email protected]ünster.de
1. Februar 2017
13. Schaltvorgänge
13.5
t=0
iL
R1
i1
uR1 uL
u
Wechselspannung an Spule
i2
L
R2
Masche
uRL
RL
Abbildung 13.5.1.: Geschaltete Wechselspannung an ein Netzwerk mit Spule
1. DGL:
In der Maschengleichung
uR1 + uL + uRL − u = 0
(13.5.2)
werden zuerst die Bauelementgleichungen eingesetzt
R1 i1 + L
diL
+ RL iL = u
dt
(13.5.3)
Aus der Knotengleichung
i1 − iL − i2 = 0
(13.5.4)
i1 = iL + i2
(13.5.5)
wird der Strom i1
ersetzt und dabei der Strom i2 in der Parallelschaltung mit dem ohmschen Gesetz
bestimmt
L diL + RL iL
uL + uRL
uR2
=
= dt
(13.5.6)
i2 =
R2
R2
R2
Zusammen mit der Wechselspannung ergibt sich
RL
L diL
diL
R1 iL +
iL +
+RL iL + L
= û sin(ωt + ϕu )
R2
R2 dt
dt
{z
}
|
(13.5.7)
i1
und zusammengefasst
R1 +
|
ESB:
3 Sie
R1
R1
diL
RL + RL ·iL + L ·
+1 ·
= û sin(ωt + ϕu )
R2
R2
dt
{z
}
|
{z
}
Resb
(13.5.8)
Lesb
Mit dem Ersatzwiderstand Resb und der Ersatzinduktivität Lesb vereinfacht sich die
DGL zu3
diL
Resb · iL + Lesb ·
= û sin(ωt + ϕu )
(13.5.9)
dt
entspricht damit der Gln. 13.3.2
1. Februar 2017
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GdE2-99
13.5
Wechselspannung an Spule
FRAGE:
13. Schaltvorgänge
Wie sieht die DGL aus, wenn nur eine Spule ohne die Widerstände R1 und R2 an die
Wechselspannung geschaltet wird?
ANTWORT:
2. Netzwerkber.:
Die Berechnung des eingeschwungenen Zustandes erfolgt mit der Symbolischen Methode im Bildbereich (Komplexe Rechnung). Mit der Stromteilerregel
I Le
Z2
R2
=
=
I 1e
Z 2 + Z RL
R2 + jωL + RL
(13.5.10)
und dem eingeschwungenen Gesamtstrom
I 1e
U
=
Z1 +
Z 2 ·Z L )
Z 2 +Z L
U
=
R1 +
R2 ·(jωL+RL )
R2 +jωL+RL
U (R2 + jωL + RL )
R1 (R2 + jωL + RL ) + R2 (jωL + RL )
=
(13.5.11)
ergibt sich der eingeschwungene Strom zu
I Le
=
=
=
Zurück:
U R2
1/R2
·
R1 (R2 + jωL + RL ) + R2 (jωL + RL ) 1/R2
U
R1
R1
R1 + R2 RL + RL + jωL R
+
1
2
U
Resb + jωLesb
(13.5.12)
Die Rücktransformation der komplexen Zeitfunktion
iLe
=
=
ûej(ωt+ϕu )
Resb + jωLesb
ûej(ωt+ϕu )
û j(ωt+ϕu −ϕ)
=
e
Resb + jωLesb
Zesb
(13.5.13)
mit der Amplitude
îLe =
û
û
=p 2
Zesb
Resb + (ωLesb )2
und dem Anfangsphasenwinkel
ϕie = ϕu − ϕ = ϕu − arctan
ωLesb
Resb
liefert den eingeschwungenen Strom
iLe =
GdE2-100
û
sin(ωt + ϕu − ϕ) = îLe sin(ωt + ϕie )
Zesb
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(13.5.14)
1. Februar 2017
13. Schaltvorgänge
3. Hom. DGL:
13.5
Wechselspannung an Spule
diL
=0
dt
(13.5.15)
Die Lösung der homogenen DGL4
Resb · iL + Lesb ·
wird mit dem Exponentialansatz zu
iLf = K · e−t/τ
Eingesetzt in die DGL
Lesb
K · e−t/τ Resb −
=0
τ
ergibt sich die Zeitkonstante
τ=
Lesb
=
Resb
L
R1 ·R2
R1 +R2
+ RL
(13.5.16)
→ u = 0 in der homogenen DGL führt dazu, dass die Widerstände R1 und R2 parallel
liegen und in Reihe zu RL den Gesamtwiderstand der Zeitkonstanten bestimmen.
AUFGABE:
Führen Sie ausgehend von den Gleichungen für Lesb und Resb die Umformung der
Gleichung für τ durch5 !
ERGEBNIS:
4. Konstanten:
Für die Anfangsbedingung
iL (0− ) = iL (0+ ) = iLe (0+ ) + iLf (0+ )
(13.5.17)
erhalten wir aus Gln. 13.5.14 mit
0 = îLe sin ϕie + K
die Konstante zu
K = −îLe sin ϕie
(13.5.18)
und damit die Lösung der homogenen DGL zu
iLf = −îLe sin ϕie · e−t/τ
5. Überlagerung:
Die Überlagerung der beiden Lösungen ergibt den Ausgleichsvorgang
h
i
iL = iLe + iLf = îLe sin(ωt + ϕie ) − sin ϕie · e−t/τ
6. Berechnung:
(13.5.19)
(13.5.20)
Die normierte Darstellung des Stromverlaufs beim Einschalten einer Wechselspannung an eine Spule in Abb. 13.5.2 zeigt die Addition des flüchtigen Stroms, der den
eingeschwungenen Strom für t = t0 zu Null kompensiert.
4 Auch
5 Das
bei einer Wechselspannung ist die Störfunktion Null bei der homogenen DGL.
Ergebnis ist der Weg des Stromes bei kurzgeschlossener Spannungsquelle!
1. Februar 2017
[email protected]ünster.de
GdE2-101
13.5
Wechselspannung an Spule
13. Schaltvorgänge
Stromverlauf einer Spule
1.5
i_L(x)
i_L_e(x)
i_L_f(x)
normierter Strom
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
-1
0
1
2
normierte Zeit
3
4
5
Abbildung 13.5.2.: Stromverlauf beim Einschalten einer Wechselspannung an eine Spule
FRAGE:
Wann muss geschaltet werden, damit der Ausgleichsstrom sofort gleich dem eingeschwungenen Strom wird?
ANTWORT:
Spezieller Stromverlauf einer Spule
1.5
i_L(x)
i_L_e(x)
i_L_f(x)
normierter Strom
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
-1
0
1
2
normierte Zeit
3
4
5
Abbildung 13.5.3.: Minimaler Stromverlauf beim Einschalten einer Wechselspannung an eine Spule
FRAGE:
Wie groß kann der Ausgleichsstrom maximal unter welchen Bedingungen werden?
ANTWORT:
GdE2-102
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1. Februar 2017
13. Schaltvorgänge
13.6
Wechselspannung an Reihenschwingkreis
Spezieller Stromverlauf einer Spule
i_L(x)
i_L_e(x)
i_L_f(x)
2
1.5
normierter Strom
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
-2
-1
0
1
2
normierte Zeit
3
4
5
Abbildung 13.5.4.: Maximaler Stromverlauf beim Einschalten einer Wechselspannung an eine Spule
13.6. Wechselspannung an Reihenschwingkreis
RLC:
Als letztes soll nun eine Wechselspannung an einen RLC-Reihenschwingkreis entsprechend Abb. 13.6.1 geschaltet werden. Gesucht ist der Strom i(t) nach dem Schalten6 .
t=0
N1
R
i
uR
uL
L
u
N5
uC
C
Abbildung 13.6.1.: Geschaltete Wechselspannung an einen RLC-Schwingkreis und LTspice-Simulation
→ Würde hier anstelle der Wechselspannung eine Gleichspannung geschaltet, so wäre
aufgrund des Kondensators der eingeschwungene Zustand gleich dem Ausgleichsvorgang.
1. DGL:
Aus der Maschengleichung
uR + uL + uC = u
Z
di
1
Ri + L +
i dt = û sin(ωt + ϕu )
dt C
(13.6.1)
ergibt sich mit einmaliger Differentiation die DGL7
d2 i R di
1
û
+ ·
+
i = ω cos(ωt + ϕu )
dt
L dt LC
L
6 Schaltung
7 Aufgrund
(13.6.2)
mit R = 250Ω, LTspice-Simulation mit grün: i, blau uC , violett: u und rot: Schalten
der zweiten Ableitung spricht man von einer DGL 2. Ordnung
1. Februar 2017
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GdE2-103
13.6
Wechselspannung an Reihenschwingkreis
2. Netzwerkber.:
13. Schaltvorgänge
Die Berechnung der partikulären Lösung des eingeschwungenen Strom ergibt im Bildbereich
U · ejϕu
U
U
Ie =
=
(13.6.3)
=
R + j(XL + XC )
Z esb
Zesb · ejϕ
Die Rücktransformation der komplexen Zeitfunktion liefert den eingeschwungenen
Strom
ie =
3. Hom. DGL:
û
sin(ωt + ϕu − ϕ) = îe sin(ωt + ϕie )
Zesb
(13.6.4)
In die homogene DGL
d2 i R di
1
+ ·
+
·i=0
dt
L dt LC
wird der allgemeine Exponentialansatz
if = K · eλt
,
dif
= λ · if
dt
,
(13.6.5)
d2 if
= λ2 · if
dt
eingesetzt
1
R
λif +
if = 0
L
LC
und ergibt so die charakteristische Gleichung
1
R
if
=0
λ2 + λ +
L
LC
{z
}
|
λ2 if +
charakteristische Gleichung
Die Lösung dieser quadratischen Gleichung ist8
λ1,2
Kenngrößen:
R
±
=−
2L
s
R
2L
2
−
1
LC
(13.6.6)
Eine alternative Darstellung der Nullstellen λ1,2 des charakteritischen Polynoms ergibt sich mit den Kenngrößen der Schwingkreise. Mit dem Kennwiderstand aus
Gln. 10.3.10
r
L
XK =
C
und der Güte aus Gln. 10.5.9
XK
Q=
R
bzw. der Dämpfung aus Gln. 10.5.11
d=
1
Q
wird der Dämpfungsgrad zu
d
1
R
R
R
ϑ= =
=
= p
=
2
2Q
2XKr
2
2 L/C
r
C
L
(13.6.7)
8 pq-Formel
GdE2-104
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1. Februar 2017
13. Schaltvorgänge
13.6
Wechselspannung an Reihenschwingkreis
Mit der Resonanzfrequenz aus Gln. 10.3.9
ωr = √
1
LC
wird das Produkt zu
1
R
ωr ϑ = √
·
LC 2
r
C
R
=
L
2
r
C
R
=
LCL
2L
Eingesetzt in die Ergebnisgleichung erhalten wir damit
s 2
R
R
1
λ1,2 = −
−
±
2L
2L
LC
p
= −ωr ϑ ± ωr2 ϑ2 − ωr2
p
= ωr (−ϑ ± ϑ2 − 1)
(13.6.8)
(13.6.9)
4. Konstanten:
Es gibt drei unterschiedliche Fälle
Fall 1:
Im Aperiodischen Fall für ϑ > 1 gibt es zwei unterschiedliche negativ reelle Lösungen
p
λ1 = ωr (−ϑ − ϑ2 − 1)
p
λ2 = ωr (−ϑ + ϑ2 − 1)
(13.6.10)
Eingesetzt in die Lösung der homogenen DGL wird
if = K1 eλ1 t + K2 eλ2 t
(13.6.11)
Da sich der Spulenstrom nicht sprunghaft ändert, ergibt sich aus der Anfangsbedingung
i(0− ) = i(0+ ) = ie (0+ ) + if (0+ )
die erste Gleichung zur Bestimmung der Konstanten
0 = îe sin ϕie +K1 + K2
| {z }
(13.6.12)
î0
oder
K1
= −î0 − K2
K2
= −î0 − K1
(13.6.13)
Da sich die Kondensatorspannung nur stetig von uC0 = 0 ändern kann und die Spannung am Widerstand (if0 = iL0 = 0) für t = 0 ebenfalls Null ist muss die Spulenspannung gleich der eingeprägten Spannung zum Schaltzeitpunkt sein
!
die dif diL =L
+
= û sin ϕu = û0
(13.6.14)
uL (0+ ) = L
dt 0+
dt 0+
dt 0+
mit der Ableitung des eingeschwungenen Stromanteils
d
die =
(îe sin(ωt + ϕie ) = îe ω cos(ϕie )
|
{z
}
dt 0+
dt
0+
(13.6.15)
î00
1. Februar 2017
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GdE2-105
13.6
Wechselspannung an Reihenschwingkreis
13. Schaltvorgänge
und der Ableitung des flüchtigen Stromanteils
dif = K1 λ1 + K2 λ2
dt 0+
(13.6.16)
ergibt sich die zweite Bestimmungsgleichung zu
û0
= î00 + K1 λ1 + K2 λ2
L
(13.6.17)
Durch einsetzen von K2 = −(î0 + K1 ) erhalten wir
û0
= î00 + K1 λ1 − (î0 + K1 )λ2
L
(13.6.18)
û0
− î00 + î0 λ2 = K1 (λ1 − λ2 )
L
(13.6.19)
und weiter
Für die zweite Konstante gehen wir entsprechend vor und erhalten damit beide Konstanten zu
Fall 2:
K1
=
K2
=
û0
L
û0
L
− î00 + λ2 î0
λ1 − λ2
− î00 + λ1 î0
λ2 − λ1
(13.6.20)
Im Aperiodischen Grenzfall für ϑ = 1 gibt es nur eine Lösung
λ = λ1 = λ2 = −ωr
(13.6.21)
Eingesetzt in die Lösung der homogenen DGL wird
if = (K1 + K2 · t)eλt
(13.6.22)
Aus dem stetigen Spulenstrom (Gln. 13.6.12) ergibt sich die erste Gleichung zur Bestimmung der Konstanten
0 = î0 + K1
Für die stetige Kondensatorspannung (Gln. 13.6.14) benötigen wir wieder die Ableitung des flüchtigen Stromanteils9
dif = K1 λ + K2 = û0
(13.6.23)
dt 0+
Die beiden Konstanten werden damit
K1
K2
9 Für
= −î0
û0
=
+ λî0 − î00
L
(13.6.24)
den Strom iL = ie + if bleibt die Ableitung î00 gleich. Ableitung für if = f1 (t) · f2 (t) mit mit der Produktregel: i0f =
K2 eλt + (K1 + K2 t)λeλt
GdE2-106
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1. Februar 2017
13. Schaltvorgänge
Fall 3:
13.6
Wechselspannung an Reihenschwingkreis
Im Periodischen Fall für ϑ < 1 gibt es zwei zueinander konjugiert komplexe Lösungen
p
λ1 = − ωr ϑ −j ωr 1 − ϑ2 = −a − jb
|{z}
|
{z
}
a
λ2
=
b
p
− ωr ϑ +j ωr 1 − ϑ2 = −a + jb
|{z}
|
{z
}
a
(13.6.25)
b
die zu einer gedämpften Schwingung führen
−at
e|{z}
eλt =
·
ejbt
|{z}
(13.6.26)
Dämpf ung Schwingung
Eingesetzt in die Lösung der homogenen DGL wird
if = [K1 cos(bt) + K2 sin(bt)] e−at
(13.6.27)
Mit der Eigenkreisfrequenz des Schwingkreises10
p
b = ωd = ωr 1 − ϑ2
(13.6.28)
Aus dem stetigen Spulenstrom (Gln. 13.6.12) ergibt die erste Gleichung zur Bestimmung der Konstanten
0 = î0 + K1
Für die stetige Kondensatorspannung (Gln. 13.6.14) benötigen wir wieder die Ableitung des flüchtigen Stromanteils. Mit dessen Ableitung
dif = (−K1 ωd sin ωd t + K2 ωd cos ωd t))e−at
dt 0+
+(K1 cos ωd t + K2 sin ωd t)(−a) e−at t=0
= K2 ωd − K1 a
(13.6.29)
erhalten wir die zweite Bestimmungsgleichung zu
ωd K2 − aK1 =
û0
− î00
L
Die beiden Konstanten werden damit
K1
=
K2
=
−î0
û0
0
L − î0 − aî0
ωd
(13.6.30)
6. Berechnung:
Die nachfolgenden Grafiken zeigen den Stromverlauf beim Einschalten eines RLCReihenschwingkreises an eine Wechselspannung (Frohne u. a., 2005, Seite 426) mit
den konstante Werten û = 325V , ϕu = 35◦ , f = 50Hz, L = 0,525H, C = 0,3µF
und verändertem Widerstand R (siehe Tab. 13.1) für die drei Fälle11 .
Fall 1:
Im aperiodischen Fall verläuft der Strom beim Einschalten einer Wechselspannung
an den RLC-Kreis entsprechend Abb. 13.6.2 ohne Schwingung gedämpft durch den
ohmschen Widerstand.
1. Februar 2017
[email protected]ünster.de
GdE2-107
13.6
Wechselspannung an Reihenschwingkreis
13. Schaltvorgänge
Fall
R/Ω
ϑ
K1 /A
K2 /A
1
3600
1,36
−0,07025
0,04195
2
2640
1,00
−0,02822
287,783
3
250
0,09
−0,02592
0,14136
fd /Hz
399,24
Tabelle 13.1.: Parameter der an Wechselspannung geschalteten RLC-Schaltung
Aperiodischer Stromverlauf eines Reihenschwingkreises
40
Strom / mA
300
i(t)
i_e(t)
i_f(t)
u(t)
200
20
100
0
0
-20
-40
-0.5
Spannung / V
60
-100
-200
0
0.5
1
1.5
2
Zeit / ms
2.5
3
3.5
4
Abbildung 13.6.2.: Aperiodischer Stromverlauf beim Einschalten einer Wechselspannung
20
100
0
0
-20
-40
-0.5
Spannung / V
Strom / mA
Aperiodischer Grenzstromverlauf eines Reihenschwingkreises
60
300
i(t)
i_e(t)
i_f(t)
40
200
u(t)
-100
-200
0
0.5
1
1.5
2
Zeit / ms
2.5
3
3.5
4
Abbildung 13.6.3.: Aperiodischer Grenzfall des Stromverlaufs beim Einschalten einer Wechselspannung
GdE2-108
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1. Februar 2017
13. Schaltvorgänge
13.7
Gleichstrom an Reihenschwingkreis
Fall 2:
Im aperiodischen Grenzfall verläuft der Strom beim Einschalten einer Wechselspannung an den RLC-Kreis entsprechend Abb. 13.6.3 ebenfalls ohne Schwingung gedämpft, aber mit der kürzest möglichen Einschwingzeit.
Fall 3:
Im periodischen Fall verläuft der Strom beim Einschalten einer Wechselspannung an
den RLC-Kreis entsprechend Abb. 13.6.3 mit einer Schwingung, bis er den stationären
Zustand erreicht hat.
Schwingender Stromverlauf eines Reihenschwingkreises
i(t)
i_e(t)
i_f(t)
u(t)
100
Strom / mA
50
300
200
100
0
0
-50
-100
-100
-200
-150
0
5
10
Zeit / ms
15
Spannung / V
150
-300
20
Abbildung 13.6.4.: Periodischer Stromverlauf beim Einschalten einer Wechselspannung
13.7. Gleichstrom an Reihenschwingkreis
RLC:
Können wir eigentlich jetzt auch einen Gleichsstrom an einen RLCReihenschwingkreis entsprechend Abb. 13.7.1 schalten und den Zeitverlauf des
Stromes berechnen12 ?
L
D
R1
t=0
U0
C
R2
uC
i
Abbildung 13.7.1.: Geschalteter Gleichstrom an einen RLC-Schwingkreis und LTspice-Simulation
10 Schwingung
ohne peridische äußere Erregung
ist die Eigenfrequenz des Schwingkreises
12 Schaltung mit R = 3600Ω, LTspice-Simulation mit grün: i, blau u und rot: Schalten
C
11 f
d
1. Februar 2017
[email protected]ünster.de
GdE2-109
13.7
Gleichstrom an Reihenschwingkreis
13. Schaltvorgänge
→ Bei geschlossenem Schalter speichert die Spule eine magnetische Energie, die bei
geöffnetem Schalter über die ideale Diode (UD0 = 0V ) als elektrische Energie in den
Kondensator geht. Wie ändert sich nach dem Schalten i(t), wenn R2 = ∞ ist?
1. DGL:
Wir wollen uns auf die Unterschiede zur letzten Aufgabe konzentrieren und übernehmen daher soviel Ergebnisse wie möglich direkt ohne erneute Berechnung
d2 i R di
1
+ ·
+
i = U0
dt
L dt LC
2. Netzwerkber.:
(13.7.1)
Die Berechnung der partikulären Lösung des eingeschwungenen Strom ergibt im Zeitbereich aufgrund des Kondensators in der Reihenschaltung direkt
ie = 0
(13.7.2)
3. Hom. DGL:
Übernehmen der Lösung der charakteritischen Gleichung der homogenen DGL mit
den Kenngrößen der Schwingkreise
s 2
1
R
R
−
±
λ1,2 = −
2L
2L
LC
p
2
2
2
= −ωr ϑ ± ωr ϑ − ωr
p
= ωr (−ϑ ± ϑ2 − 1)
(13.7.3)
4. Konstanten:
Es gibt drei unterschiedliche Fälle
Fall 1:
Im Aperiodischen Fall für ϑ > 1 wird Lösung der homogenen DGL zu
if = K1 eλ1 t + K2 eλ2 t
(13.7.4)
i(0− ) = I0 = i(0+ ) = ie0 +K1 + K2
|{z}
(13.7.5)
Aus den Anfangsbedingungen
0
mit dem Anfangsstrom durch die Spule
I0 =
U0
R1
(13.7.6)
und (Gleichstrom durch die Spule)
dif uL (0+ ) = L
= L (K1 λ1 + K2 λ2 ) = 0
dt 0+
(13.7.7)
erhalten wir die beiden Konstanten
Fall 2:
K1
=
K2
=
λ2 I0
λ2 − λ1
λ1 I0
λ1 − λ2
Im Aperiodischen Grenzfall für ϑ = 1 gibt es nur eine Lösung der charakteristischen
Gleichung und damit wird die Lösung der homogenen DGL
i = (K1 + K2 · t)eλt
GdE2-110
(13.7.8)
[email protected]ünster.de
(13.7.9)
1. Februar 2017
13. Schaltvorgänge
13.7
Gleichstrom an Reihenschwingkreis
Aus den Anfangsbedingungen
und
i(0− ) = I0 = i(0+ ) = K1
(13.7.10)
dif uL (0+ ) = L
= L(K1 λ + K2 ) = 0
dt 0+
(13.7.11)
erhalten wir die beiden Konstanten
Fall 3:
K1
=
I0
K2
=
−λI0
(13.7.12)
Im Periodischen Fall für ϑ < 1 gibt es zwei zueinander konjugiert komplexe Lösungen
des charakteristischen Polynoms mit einer gedämpften Schwingung
−at
e|{z}
eλt =
·
ejbt
|{z}
(13.7.13)
Dämpf ung Schwingung
Die Lösung der homogenen DGL wird
i = [K1 cos(bt) + K2 sin(bt)] e−at
(13.7.14)
Aus den Anfangsbedingungen
i(0− ) = I0 = i(0+ ) = K1
und
uL (0+ ) = L
dif = L[ωd K2 − aK1 ] = 0
dt 0+
(13.7.15)
(13.7.16)
erhalten wir die beiden Konstanten
K1
K2
6. Berechnung:
= I0
aI0
=
ωd
(13.7.17)
Die nachfolgenden Grafiken zeigen den Stromverlauf beim Schalten eines RLCReihenschwingkreises an einen Gleichsstrom für die Schaltung in Abb. 13.7.1. Dazu werden die gleichen Bauelementewerte verwendet wie beim Einschalten an eine
Wechselspannung:
U0 = 325V , L = 0,525H, C = 0,3µF
• Fall 1: R = 3600Ω mit ϑ = 1,36 und
• Fall 2: R = 2640Ω mit ϑ = 1,00 und
• Fall 3: R = 250Ω mit ϑ = 0,09
Fall 1:
Im aperiodischen Fall verläuft der Strom beim Schalten eines Gleichstromes an den
RLC-Kreis entsprechend Abb. 13.7.2 ohne Schwingung gedämpft durch den ohmschen Widerstand.
Fall 2:
Im aperiodischen Grenzfall verläuft der Strom beim Schalten eines Gleichstromes an
den RLC-Kreis entsprechend Abb. 13.7.3 ebenfalls ohne Schwingung gedämpft, aber
mit der kürzest möglichen Einschwingzeit.
Fall 3:
Im periodischen Fall verläuft der Strom beim Schalten eines Gleichstromes an den
RLC-Kreis entsprechend Abb. 13.7.3 mit einer Schwingung, bis er den stationären
Zustand erreicht hat.
1. Februar 2017
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13.7
Gleichstrom an Reihenschwingkreis
13. Schaltvorgänge
Aperiodischer Stromverlauf eines Reihenschwingkreises
100
i(t)
i_e(t)
i_f(t)
80
Strom / mA
60
40
20
0
-20
-40
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
Zeit / ms
2.5
3
3.5
4
Abbildung 13.7.2.: Aperiodischer Stromverlauf beim Schalten eines Gleichstromes
Aperiodischer Grenzstromverlauf eines Reihenschwingkreises
150
i(t)
i_e(t)
i_f(t)
Strom / mA
100
50
0
-50
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
Zeit / ms
2.5
3
3.5
4
Abbildung 13.7.3.: Aperiodischer Grenzfall des Stromverlauf beim Schalten eines Gleichstromes
GdE2-112
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1. Februar 2017
13. Schaltvorgänge
13.8
Fourier-Transformation
Schwingender Stromverlauf eines Reihenschwingkreises
i(t)
i_e(t)
i_f(t)
Strom / mA
1000
500
0
-500
-1000
0
5
10
Zeit / ms
15
20
Abbildung 13.7.4.: Periodischer Stromverlauf beim Schalten eines Gleichstromes
13.8. Fourier-Transformation
Ziel:
Mit Hilfe der Lapcace-Transformation wird eine Netzwerkberechnung mit einem
Schaltvorgang aus dem Originalbereich (Zeitbereich) in den Bildbereich (Frequenzbereich) transformiert und dort gelöst. Anschließend wird das Ergebnis in den Originalbereich Rück-Transformiert.
Der Weg dahin ist:
1. Die komplexe Fourierreihe wird auf Schaltvorgänge angewendet, bei denen sich
das einmalige Schaltereignis mit einer Periode T → ∞ wiederholt (aperiodische
Funktion).
2. Durch den Übergang von der Summenbildung in der Fourierreihe zu Integralen
entsteht die Fourier-Transformation.
3. Um die schlechten Konvergenzeigenschaften der Fourier-Transformation zu beheben wird anstelle jω in der e-Funktion in der komplexen Fourierreihe die komplexe Frequenz s = σ+jω eingeführt, wodurch man zur Laplace-Transformation
kommt.
Reihe:
Ausgangspunkt ist die komplexe Fourierreihe aus Gln. 12.5.8
f (t) =
∞
X
cν ejνωt
(13.8.1)
ν=−∞
mit den komplexen Koeffizienten aus Gln. 12.5.9
1
cν =
T
T /2
Z
f (t)e−jνωt dt
(13.8.2)
−T /2
Spektrum:
1. Februar 2017
Für den Übergang vom diskreten Spektrum mit ωT = 2π zum kontinuierlichen Spektrum wird aus der Grundfrequenz ω = ∆ω und damit
1
ω
∆ω
=
=
T
2π
2π
(13.8.3)
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GdE2-113
13.8
Fourier-Transformation
13. Schaltvorgänge
Eingesetzt in die Koeffizientengleichung
π/∆ω
Z
∆ω
cν =
2π
f (t)e−jν∆ωt dt
(13.8.4)
−π/∆ω
Eingesetzt in die Fourierreihe

∞
X
 ∆ω
f (t) =

2π
ν=−∞
π/∆ω
Z


f (t)e−jν∆ωt dt ejν∆ωt
(13.8.5)
−π/∆ω
Durch den Grenzübergang ∆ω → 0 wird daraus


π/∆ω
Z
∞
X
1


f (t) =
lim
f (t)e−jν∆ωt dt ejν∆ωt · ∆ω

2π ∆ω→0 ν=−∞
(13.8.6)
−π/∆ω
Mit ∆ω → 0 erhalten wir mit der kontinuierlichen Kreisfrequenz ω = ν∆ω


Z∞ Z∞
1

(13.8.7)
f (t)e−jωt dt ejωt dω
f (t) =
2π
−∞ −∞
{z
}
|
F (ω)
Bedingung:
Dabei muss das uneigentliche Integral der Zeitfunktion
Z∞
|f (t)| dt < K < ∞
−∞
absolut konvergent sein.
Transformation:
Damit erhalten wir die Gleichungen der Fourier-Transformation.
Mit der eigentlichen Fourier-Transformation
Z∞
F (ω) =
f (t)e−jωt dt
(13.8.8)
−∞
erhalten wir zu einer Zeitfunktion f (t), deren Fourierintegral konvergiert,
Z∞
|f (t)| dt < K < ∞
(13.8.9)
−∞
das Spektrum F (jω).
Mit der sogenannten Rücktransformation
1
f (t) =
2π
Z∞
F (ω)ejωt dω
(13.8.10)
−∞
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1. Februar 2017
13. Schaltvorgänge
13.9
Laplace-Transformation
oder Inversen der Fourier-Transformation erhalten wir aus dem Spektrum F (jω) die
zugehörige Zeitfunktion f (t) zurück
Problem:
In der Praxis gibt es schon bei einfachen Funktionen wie der Sprungfunktion, d.h.
einer eingeschalteten Gleichspannung, Probleme mit der Konvergenzbedingung der
Fouriertransformation aus Gln. 13.8.9.
Ansatz:
Die bisherige Zeitfunktion f (t) wird modifiziert gemäß
−σt
e f (t) , t > 0
f (t) ⇒
0
, t<0
(13.8.11)
Es ergeben sich damit folgende Aussagen:
1. Das Integral über das Produkt aus Sprungfunktion und Exponentialfunktion konvergiert für t > 0.
2. Der problematische Bereich der Exponentialfunktion für t < 0 ist für technische
Vorgänge uninteressant, da von der Vorgeschichte nur die Anfangswerte für t =
0 wichtig sind.
3. Die Lösung wird also nur noch für den Zeitbereich t > 0 betrachtet.
Ergebnis:
Es ergibt sich eine neue Hintransformation
Z∞
F (ω)
=
−σt
e f (t) e−jωt dt
0
Z∞
=
f (t)e−(σ+jω)t dt
(13.8.12)
0
und eine neue Rücktransformation für t > 0, wenn wir beide Seiten mit exp(σt)
multiplizieren und diese von ω unabhängige Konstante unter das Integral ziehen
e
−σt
f (t)
f (t)
=
=
=
1
2π
1
2π
1
2π
Z∞
−∞
Z∞
−∞
Z∞
F (ω)ejωt dω
F (ω)eσt ejωt dω
F (ω)e(σ+jω)t dω
(13.8.13)
−∞
Substitution:
Schreiben wir jetzt für die komplexe Frequenz
s = σ + jω
(13.8.14)
so erhalten wir die Gleichungen der Laplace-Transformation.
13.9. Laplace-Transformation
Prinzip:
Die Berechnung von Wechselstromnetzen bei sinusförmiger Erregung wird mit der
komplexen Rechnung erleichtert.
→ Transformation von Differentialgleichungen in algebraische Gleichungen (siehe
Abb. 13.9.1) .
1. Februar 2017
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GdE2-115
13.9
Laplace-Transformation
13. Schaltvorgänge
Zeitbereich
(Originalbereich)
Differentialgleichung
komplexer Bereich
(Bildbereich)
Transformation
algebraische Gleichung
aufwendiger
Lösungsweg
Lösung der
Differentialgleichung
Rücktransformation
Lösung der
algebraischen Gleichung
Abbildung 13.9.1.: Prinzip der Transformation
Problem:
Ströme und Spannungen bei Schaltvorgängen sind keine sinusförmigen Wechselgrößen.
13.9.1. Grundlagen der Laplace-Transformation
Laplace:
Die Lösung von Ausgleichsvorgängen mit Differentialgleichungen kann mit Hilfe der
Laplace-Transformation ebenso vereinfacht werden wie die Berechnung von Netzwerken mit der komplexen Rechnung.
→ Transformation von Differentialgleichungen mit Anfangsbedingungen in algebraische Gleichungen (siehe Abb. 13.9.2) .
Zeitbereich
(Originalbereich)
Differentialgleichung mit
Anfangsbedingungen
komplexer Bereich
(Bildbereich)
Laplace−
algebraische Gleichung
Transformation
aufwendiger
Lösungsweg
Lösung der
Differentialgleichung
Rücktransformation
(Inversion der Laplace−
Transformation)
Lösung der
algebraischen Gleichung
Abbildung 13.9.2.: Prinzip der Laplace-Transformation
→ Die Zeitfunktionen sind erst ab t = 0 von Interesse!
Transformation:
Die Transformationsgleichung der Laplace-Transformation einer Zeitfunktion ist das
uneigentliche Integral
Z∞
L{f (t)} =
f (t) · e−s·t dt = F (s)
(13.9.1)
+0
mit der komplexen Frequenz
s = σ + jω
(13.9.2)
Die Einheit von s ergibt sich aus dem Argument der Exponentialfunktion zu „Hertz“
[s] =
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1
1
=
[t]
s
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1. Februar 2017
13. Schaltvorgänge
13.9
Laplace-Transformation
13.9.2. Laplace-Transformation der Ableitung einer Funktion
Erweiterung:
Zur Transformation von Differentialgleichungen muss die Laplace-Transformation der
Ableitung einer Zeitfunktion berechenbar sein.
→ Damit sich wie behauptet algebraische Gleichungen ergeben, muss die Differentiation im Zeitbereich einer Multiplikation mit dem Operator im Bildbereich entsprechen.
Stetig:
In elektrischen Ausgleichsvorgängen sind Spannung am Kondensator und der Strom
durch die Spule stetige Zeitfunktionen, deren Laplace-Transformation der 1. Ableitung
mit Hilfe der partiellen Integration bestimmt werden kann
Z∞
F (s)
=
f (t) · e−s·t dt
0
=
∞
Z∞
f (t) · e−s·t 1
0
−s·t
−
dt
+ s f (t) · e
s
0
(13.9.3)
0
Die Integration liefert den Anfangswert der Zeitfunktion
∞
f (∞) · e−∞ − f (0) · e0
f (0)
f (t) · e−s·t =
−
=
−
s
s
s
0
Ergebnis:
(13.9.4)
Die Laplace-Transformierte einer Funktion f (t) wird damit mit der Produktintegration
zu
1
1
1
F (s) = f (0) + L{f 0 (t)} = [f (0) + L{f 0 (t)}]
(13.9.5)
s
s
s
Damit kann die Laplace-Transformierte der Ableitung einer Funktion f 0 (t) durch Multiplikation mit s und Subtraktion des Anfangswertes der Zeitfunktion f (t = 0) gebildet werden, wenn die Laplace-Transformierte der Zeitfunktion f (t) bekannt ist
L{f 0 (t)} = s · F (s) − f (0)
(13.9.6)
→ Die Laplace-Transformierte der 2. Ableitung einer Funktion f 00 (t) lässt sich entsprechend iterativ auf die die Laplace-Transformierte der 1. Ableitung zurückführen
L{f 00 (t)}
=
s · L{f 0 (t)} − f 0 (0)
=
s2 · F (s) − s · f (0) − f 0 (0)
(13.9.7)
13.9.3. Laplace-Transformation des Integrals einer Funktion
Analog:
Bei der Aufstellung von DGLs mit der Maschen- oder Knotenpotentialanalyse ergeben
sich integrale Zusammenhänge für Kondensatorspannungen und Spulenströme.
→ Analog zur Bestimmung der Laplace-Transformierten der Ableitung einer Funktion
kann die Laplace-Transformierte des Integrals einer Funktion wieder mit partieller
Integration ermittelt werden
Z∞
f (t) · e
F (s) =
0
1. Februar 2017
−s·t
Z∞
dt =
e−s·t · f (t) dt
(13.9.8)
0
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GdE2-117
13.9
Laplace-Transformation
13. Schaltvorgänge
mit den beiden Funktionen der Produktintegration
= e−s·t
dv
v 0 (t) =
= f (t)
dt
du
u0 (t) =
= −s · e−s·t
Zdt
u(t)
v(t)
Ergebnis:
=
f (t) dt
Unter Auslassen der mathematischen Zwischenschritte ergibt sich als Ergebnis
Zt
L{
1
F (s)
s
f (τ ) dτ } =
(13.9.9)
0
→ Die Bildfunktion F (s) wird durch s dividiert.
→ Die fehlenden Zwischenschritte werden vielleicht in der Mathematik gegeben
. . . bestimmt aber, wenn an passender Stelle nachgefragt wird!
13.9.4. Laplace-Rücktransformation
Praxis:
Die Berechnung von komplizierten Ausgleichsvorgängen wäre sehr aufwendig, wenn
bei jeder Transformation das Laplace-Integral gelöst werden müsste
→ Es existieren Korrespondenz-Tabellen mir Zeitfunktionen und deren Transformierter (Weißgerber, 2000, Seite 86-91), die sowohl zur Hin- als auch zur Rücktransformation verwendet werden können.
Mathematisch:
Die Rücktransformation bedeutet die Lösung des Integrals
−1
f (t) = L
1
{F (s)} =
2πj
σ+j∞
Z
F (s) · es·t ds
(13.9.10)
σ−j∞
→ Dass dieses Umkehrintegral von der Bildfunktion F (s) zu der Zeitfunktion f (t)
führt, wurde mit der Fourierreihe und der Fourier-Transformation hergeleitet.
13.9.5. Sätze der Laplace-Transformationen
Sätze:
Für die Praxis kann die Berechnung des Laplace-Integrals durch die Anwendung folgender Sätze (ohne mathematische Herleitung) oft vereinfacht werden:
1. Lineare Überlagerung
L{a1 · f1 (t) + a2 · f2 (t)} = a1 · F1 (s) + a2 · F2 (s)
(13.9.11)
2. Zeit-Verschiebungssatz
L{f (t − t0 )} = e−st0 · F (s)
GdE2-118
[email protected]ünster.de
(13.9.12)
1. Februar 2017
13. Schaltvorgänge
13.9
Laplace-Transformation
3. Frequenz-Verschiebungssatz → Dämpfungssatz im Zeitbereich
F (s + a) = L{e−at · f (t)}
(13.9.13)
4. Ähnlichkeitssatz
L{f (a · t)} =
s
1
·F
a
a
(13.9.14)
5. Faltungssatz
L{f1 (t) ∗ f2 (t)} = F1 (s) · F2 (s)
(13.9.15)
6. Differenzieren der Bildfunktion
F 0 (s) = L{−t · f (t)}
(13.9.16)
7. Integrieren der Bildfunktion
Z∞
F (u) du = L
1
f (t)
t
(13.9.17)
s
8. Anfangswertsatz
f (0) = lim f (t) = lim s · F (s)
(13.9.18)
f (∞) = lim f (t) = lim s · F (s)
(13.9.19)
s→∞
t→0
9. Endwertsatz
t→∞
s→0
13.9.6. Laplace-Transformation einer Spannung
Gleichspannung:
Die Transformation einer Gleichspannung
u(t) = U
(13.9.20)
ergibt formal die Laplace-Transformierte
Z∞
U (s) = L{U } = U
e−st dt
(13.9.21)
0
und mit der Integration
U (s)
=
U·
=
−
1
· [e−st ]∞
0
−s
U
· [0 − 1]
s
das Ergebnis
L{U } =
1. Februar 2017
U
s
[email protected]ünster.de
(13.9.22)
GdE2-119
13.9
Laplace-Transformation
Sinus:
13. Schaltvorgänge
Die Transformation einer sinusförmigen Wechselspannung
u(t) =
û sin ωt , t > 0
0
, t≤0
(13.9.23)
ergibt formal die Laplace-Transformierte
Z∞
U (s) = L{û sin ωt} =
û sin ωt · e−st dt
(13.9.24)
0
Mit dem Integral 322 (Weißgerber, 2000, Seite 462)
Z
eax
eax sin bx dx = 2
· [a · sin bx − b · cos bx]
a + b2
kann mit a = −s und b = ω die Integration durchgeführt werden
U (s)
=
=
û
· [e−st · (−s · sin ωt − ω · cos ωt)]∞
0
s2 + ω 2
û
· [0 − 1 · (−s · sin 0 − ω · cos 0)]
2
s + ω2
mit dem Ergebnis
L{û sin ωt} = û ·
Kosinus:
(13.9.25)
Die Laplace-Transformierte einer kosinusförmigen Wechselspannung ergibt analog
L{û cos ωt} = û ·
Phase:
ω
s2 + ω 2
s2
s
+ ω2
(13.9.26)
Die Transformation einer sinusförmigen Wechselspannung mit Anfangsphase
u(t) =
û sin(ωt + ϕu ) , t > 0
0
, t≤0
(13.9.27)
ergibt formal die Laplace-Transformierte
U (s) = L{û sin(ωt + ϕu )}
(13.9.28)
Mit der trigonometrischen Beziehung
sin(ωt + ϕu ) = sin ϕu · cos ωt + cos ϕu · sin ωt
und dem Additionssatz wird daraus
L{û sin(ωt + ϕu )} = û ·
GdE2-120
s · sin ϕu + ω · cos ϕu
s2 + ω 2
[email protected]ünster.de
(13.9.29)
1. Februar 2017
13. Schaltvorgänge
13.9
t=0
i1
iL
R1
i2
uR1 uL
u
Laplace-Transformation
L
R2
Masche
uRL
RL
Abbildung 13.9.3.: Anwendung der Laplace-Transformation
13.9.7. Anwendung der Laplace-Transformation
Schaltung:
Als Beispiel wird die bereits bekannte Schaltung mit einer Spule verwendet, bei der
eine Wechselspannung entsprechend Abb. 13.9.3 geschaltet wird.
Nach Gln. 13.5.9 war die DGL
Resb · iL + Lesb ·
diL
= û sin(ωt + ϕu )
dt
mit dem Ersatzwiderstand und der Ersatzinduktivität
Resb = R1 +
Spannung:
R1
RL + RL
R2
und
Lesb = L ·
R1
+1
R2
Die Laplace-Transformierte der Eingangsspannung ist mit Gln. 13.9.29
L{û sin(ωt + ϕu )} = û ·
sin ϕu · s + cos ϕu · ω
s2 + ω 2
Gleichung:
Resb IL (s) + Lesb · [sIL (s) − iL (0)] = û ·
sin ϕu · s + cos ϕu · ω
s2 + ω 2
(13.9.30)
mit der Anfangsbedingung iL (0) = 0
Strom:
Die Laplace-Transformierte des Spulenstromes wird damit
IL (s) =
Zurück:
û
sin ϕu · s + cos ϕu · ω
·
Resb + sLesb
s2 + ω 2
Mit der Rücktransformation 101 (Weißgerber, 2000, Seite 91)
r
d−b
s+d
d2 + a2
−1
−bt
=
·
e
+
· sin(at + Φ)
L
(s2 + a2 )(s + b)
a2 + b2
a2 b2 + a4
mit
Φ = arctan
b
d
− arctan
a
a
kann der Spulenstrom im Zeitbereich bestimmt werden


cos ϕu
 û sin ϕ

s
+
·
ω
u
sin ϕu
·
iL (t) = L−1
 Lesb

esb
(s2 + ω 2 ) s + R
Lesb
1. Februar 2017
(13.9.31)
[email protected]ünster.de
(13.9.32)
GdE2-121
13.9
Laplace-Transformation
13. Schaltvorgänge
Der Vergleich mit der Korrespondenz ergibt
d=
Ergebnis:
cos ϕu
· ω = cot ϕu · ω
sin ϕu
, a=ω
und
b=
Resb
1
=
Lesb
τ
Wir erhalten direkt das Ergebnis zu
iL (t)
=

cos ϕu
Resb
û sin ϕu  sin ϕu · ω − Lesb
·
· e−t/τ
2
R
Lesb
ω 2 + 2esb
Lesb

v
u ( cos ϕu · ω)2 + ω 2
u sin ϕu
· sin(ωt + Φ)
+t
2
Resb
2
4
ω L2 + ω
(13.9.33)
esb
→ Hier sind wir eigentlich schon fertig! Der Beweis der Gleichheit erfordert einige
kleinere mathematische Umformungen, die zur Vorbereitung einer mathematischen
Klausur hilfreich sein können . . .
13.9.8. Laplace-Operatoren
Sonderfall:
Bei vielen Ausgleichsvorgängen sind die Zustandsgrößen, die Ströme durch Spulen
und die Spannungen an Kondensatoren bis zum Zeitpunkt des Schaltens Null.
→ Die Anfangsbedingungen verschwinden und die Laplace-Transformierte der Ableitungen vereinfachen sich.
Operatoren:
Es ergeben sich damit Zusammenhänge mit reellen und komplexen Operatoren zwischen den Laplace-Transformierten der Spannungen und der Ströme an Bauelementen
(siehe Tab. 13.2) .
Widerstand
Zeitbereich
u(t) = Ri(t)
(Original)
i(t) =
Bildbereich
(Transf.)
1
R u(t)
U (s) = RI(s)
I(s) =
1
R U (s)
Spule
u(t) =
i(t) =
1
L
di
L dt
R
I(s) =
i(t) = C du
dt
u dt
U (s) = sL · I(s)
1
sL
Kondensator
R
u(t) = C1 i dt
· U (s)
U (s) =
1
sC
· I(s)
I(s) = sC · U (s)
Tabelle 13.2.: Laplace-Operatoren der Bauelemente
Übersicht:
Als Lösungsmethoden für die Berechnung von Ausgleichsvorgängen bieten sich damit
3 Verfahren an, die in Abb. 13.9.4 dargestellt sind.
13.9.9. Laplace-Operatoren mit Anfangswerten
Spezialfall:
Sind bei Ausgleichsvorgängen die Zustandsgrößen Spulenstrom und Kondensatorspannung vor dem Zeitpunkt des Schaltens nicht Null, so können die LaplaceOperatoren aus Tab.13.2 nicht verwendet werden.
Kirchhoff:
Die Kirchhoffschen Gleichungen gelten analog zur Wechselstromlehre im LaplaceBildbereich mit der Maschengleichung
X
U (s) = 0
(13.9.34)
M asche
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1. Februar 2017
13. Schaltvorgänge
13.9
Laplace-Transformation
Schaltung mit Zeitfunktionen ab t=0 und linearen Schaltelementen
Differentialgleichung
im Zeitbereich ab t=0
Schaltung mit transformierten Zeit−
funktionen und komplexen Operatoren
Laplace−Transformation
algebraische Gleichung in s
Lösung der algebraischen Gleichung in s
Rücktrans−
formation
Lösung der Differentialgleichung im Zeitbereich
Abbildung 13.9.4.: Lösungsmethoden bei Ausgleichsvorgängen
und der Knotengleichung
X
I(s) = 0
(13.9.35)
Knoten
→ Speichernde Bauelemente aus einem ungeladenen Bauelement und einer aktiven
Quelle zusammensetzen.
ESB:
Die Anfangsbedingungen werden als zusätzliche Strom- und Spannungsquellen in das
Ersatzschaltbild mit komplexen Operatoren eingeführt entsprechend Abb. 13.9.5 .
Operatoren:
Wir erhalten damit die Laplace-Transformierten der Spannungen und der Ströme an
den Bauelementen (siehe Tab. 13.2) .
Bauteil
Spannung
Strom
Widerstrand
U R = RI R
IR =
Spule
U L = sI L − L · iL (0+ )
IL =
Kondensator
UC =
1
sC
· IC +
uC (0+ )
s
UR
R
1
sL ·
UL +
iL (0+ )
s
I C = C(sU C − uC (0+ ))
Tabelle 13.3.: Laplace-Operatoren mit Anfangswerten der Bauelemente
Bemerkung:
1. Februar 2017
Hat man den Strom durch einen Kondensator im Bildbereich berechnet, so kann die
Spannung über dem Kondensator mit dem komplexen Operator Z C = 1/sC berechnet
werden, wenn man nach der Rücktransformation in den Zeitbereich noch die Anfangsspannung des Kondensators zum Ergebnis addiert.
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GdE2-123
13.9
Laplace-Transformation
i C (t)
13. Schaltvorgänge
i L(t)
UC0
u L(t)
u C (t)
i C (t)
UC0
I L0
i L(t)
u C (t)
I C (s)
I L0
u L(t)
u(0+)
s
i(0+)
s
I L(s)
UC(s)
UL (s)
Abbildung 13.9.5.: Anfangswerte bei der Laplace-Transformation
Beispiel 13.9.1
(Operatoren)
In der angegebenen Schaltung mit U =
100V , R = 25Ω, L = 100mH und C =
1µF wird der Schalter geschlossen.
t=0
R
L
C
uC
U
Es ist der zeitliche Verlauf der Spannung uC zu bestimmen. Das Ergebnis ist grafisch
darzustellen. (Der Schaltzeitpunkt entspreche dem Zeitpunkt t = 0.)
1. Die Lösung ist zum einen direkt mit der Laplacerücktransformation
1
−1
=
L
s(s − s1 )(s − s2 )
1
1
· 1+
· s2 · es1 t − s1 · es2 t
s1 · s2
s1 − s2
2. und zum anderen mit Hilfe einer Partialbruchzerlegung mit Hilfe der Laplacerücktransformationen
a
L−1
= ebt · sin(at)
(s − b)2 + a2 )
und
−1
L
s−c
(s − c)2 + d2 )
= ect · cos(dt)
durchzuführen.
3. Die Ergebnisse sind grafisch darzustellen.
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1. Februar 2017
13. Schaltvorgänge
Lösung:
13.10
Zusammenfassung
Die Lösung wird in der Vorlesung erarbeitet. Ergebnisse für den Vergleich der eigenen
Lösung sind:
uC (t)
=
100V · [1 − 1,0008e−t/8ms · sin(3,16ms−1 · t + 87,71◦ )]
|
{z
}
cos(3,16ms−1 ·t−2,29◦ )
13.10. Zusammenfassung
Energie:
Die Spannung am Energiespeicher Kondensator und der Strom durch den Energiespeicher Spule sind immer stetig.
Lösungen:
Bei Schaltvorgängen in Netzwerken mit Spulen und Kondensatoren können die Lösungen des charakteristischen Polynoms reell oder konjugiert komplex sein.
In Schaltungen mit Kondensatoren oder Spulen sind die Lösungen immer reell womit
für die homogene Lösung der DGL kein peridischer Schwingungsfall auftreten kann.
Sonderfall:
1. Februar 2017
Wird der Schaltvorgang in einem Netzwerk so ausgeführt, dass die Zustangsgöße vor
und nach dem Schaltzeitpunkt ohne Ausgleichsvorgang identisch ist, dann existiert
auch kein Ausgleichsvorgang.
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GdE2-125
13.11
Übungsaufgaben
13. Schaltvorgänge
13.11. Übungsaufgaben
13.11.1. Übungsaufgaben Exponentialansatz
Aufgabe 13.11.1
(Schalten)
-> Seite 167
In der angegebenen Schaltung mit U =
120V , R1 = 60Ω, R2 = 30Ω und L =
100mH wird der Schalter zum Zeitpunkt
t = 0 geschlossen.
t=0
i
U
R1
R2
uL
L
1. Es ist der zeitliche Verlauf des in der Spule fließenden Stromes i zu bestimmen.
2. Nach welcher Zeit erreicht i 50 % des Endwertes?
3. Es ist der zeitliche Verlauf der an der Spule liegenden Spannung uL zu bestimmen.
Aufgabe 13.11.2
(Schalten)
-> Seite 167
In der angegebenen Schaltung mit U =
24V , R1 = 120Ω, R2 = 60Ω und L =
0,6mH wird der Schalter zum Zeitpunkt
t = 0 geöffnet.
t=0
R1
U
R2
uL
L
Es ist der zeitliche Verlauf der an der Spule liegenden Spannung uL anzugeben.
Aufgabe 13.11.3
(Schalten)
-> Seite 167
In der angegebenen Schaltung mit U =
36V , R1 = 24Ω, R2 = 48Ω und L =
120mH wird der Schalter zum Zeitpunkt
t = 0 geschlossen.
t=0
U
R1
i
R2
L
Es ist der zeitliche Verlauf des Stromes i anzugeben.
Aufgabe 13.11.4
(Schalten)
-> Seite 168
In der angegebenen Schaltung mit U =
100V , R = 1kΩ ist der Kondensator C =
1µF auf die Spannung U0 = 80V aufgeladen (Polarität der Spannung s. Skizze).
t=0
i
R
U
uC
C −
+
U0
Der Schalter wird zum Zeitpunkt t = 0 geschlossen.
1. Es sind der zeitliche Verlauf der Kondensatorspannung uC und
2. des Ladestromes i anzugeben.
GdE2-126
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1. Februar 2017
13. Schaltvorgänge
Aufgabe 13.11.5
(Schalten)
-> Seite 168
13.11
In der angegebenen Schaltung mit U =
120V , R1 = 3kΩ, R2 = 6kΩ, R3 = 2kΩ
und C = 1µF wird der Schalter im Zeitpunkt t = 0 geschlossen.
Übungsaufgaben
t=0
U
i
R3
R1
uC
R2
C
1. Anzugeben sind der zeitliche Verlauf der Kondensatorspannung uC und
2. der zeitliche Verlauf des Ladestromes i.
3. Nach welcher Zeit hat die Kondensatorspannung u 99 % ihres Endwertes erreicht?
Aufgabe 13.11.6
(Schalten)
-> Seite 169
In der angegebenen Schaltung mit U =
120V , R1 = 3kΩ, R2 = 6kΩ, R3 = 9kΩ
und C = 2µF wird der Schalter im Zeitpunkt t = 0 geschlossen.
R1
U
R2
C
t=0
uC
R3
Es ist der zeitliche Verlauf der Kondensatorspannung uC anzugeben.
Aufgabe 13.11.7
(Schalten)
-> Seite 169
In der angegebenen Schaltung mit U =
100V , R1 = 50Ω, L = 1H soll die beim
Öffnen des Schalters an der Spule auftretende Spannung den Wert uLmax = 500V
nicht überschreiten.
t=0
R1
U
L
R2
C
1. Was passiert ohne Widerstand oder Kondensator?
2. Welchen Wert muss der Widerstand R2 haben?
3. Welchen Wert müsste die Kapazität C eines Kondensators haben, der statt des
Widerstandes R2 verwendet würde?
Aufgabe 13.11.8
(Schalten)
-> Seite 169
Eine Spule mit der Induktivität L =
1H wird entsprechend der dargestellten
Schaltung mit einer Wechselspannungsquelle verbunden.
t=0
i
U
L
Der Effektivwert der sinusförmigen Wechselspannung beträgt U = 230V , die Frequenz f = 50Hz.
Es ist der zeitliche Verlauf des im Kreis fließenden Stromes i(t) zu ermitteln für den
Fall, dass
1. der Schalter im positiven Spannungsmaximum,
1. Februar 2017
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GdE2-127
13.11
Übungsaufgaben
13. Schaltvorgänge
2. der Schalter im positiven Spannungs-Nulldurchgang geschlossen wird.
3. Die ermittelten Funktionen i = f (t) sind grafisch darzustellen. (Der Schaltaugenblick entspreche dem Zeitpunkt t = 0.)
Aufgabe 13.11.9
(Schalten)
-> Seite 170
Die Reihenschaltung des Widerstandes
R = 200Ω und der Spule mit der Induktivii
t=0
R
tät L = 50mH wird an eine Wechselspanu
nungsquelle angeschlossen, deren sinusförL
mige Ausgangsspannung den Scheitelwert
û = 150V und die Frequenz f = 500Hz
hat.
1. Welchen zeitlichen Verlauf hat der im Kreis fließende Strom i, wenn der Schalter
ϕu = 50◦ nach dem positiven Spannungs-Nulldurchgang geschlossen wird?
2. Wie groß müsste der Winkel ϕ0u sein, damit nach dem Schließen des Schalters
kein Ausgleichsstrom fließt (also sofort der stationäre Wechselstrom einsetzt)?
3. Das Ergebnis ist grafisch darzustellen.
Aufgabe 13.11.10
(Schalten)
-> Seite 170
Bei der angegebenen Schaltung mit
R1 = 60Ω, R2 = 120Ω, R3 = 50Ω
und C = 1µF hat die sinusförmige Versorgungsspannung den Scheitelwert û =
120V und die Frequenz f = 1kHz.
t=0
R1
u
R2
R3
UC0 + C
uC −
Der Kondensator ist vor dem Schließen des Schalters auf die Spannung UC0 = 60V
aufgeladen.
Es ist der zeitliche Verlauf der am Kondensator liegenden Spannung zu ermitteln für den Fall, dass der Stromkreis ϕu = 45◦ nach dem positiven SpannungsNulldurchgang geschlossen wird. (Der Schaltaugenblick entspreche dem Zeitpunkt
t = 0.)
13.11.2. Übungsaufgaben Laplace-Transformation
Aufgabe 13.11.11
(Schalten)
-> Seite 171
In der angegebenen Schaltung mit C =
4µF , L = 300mH und R = 600Ω ist
der Kondensator auf die Spannung UC =
250V aufgeladen.
t=0
C + U
C
−
R
L
i
Es ist der zeitliche Verlauf des Stromes i zu bestimmen, der nach dem Schließen des
Schalters auftritt.
Das Ergebnis ist grafisch darzustellen. (Der Schaltzeitpunkt entspreche dem Zeitpunkt
t = 0.)
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1. Februar 2017
13. Schaltvorgänge
Aufgabe 13.11.12
(Schalten)
-> Seite 171
13.11
In der angegebenen Schaltung mit U =
400V , R1 = R2 = 100Ω und L =
100mH ist der Kondensator C = 500nF
auf die Spannung UC = 100V aufgeladen.
t=0
R1
U
Übungsaufgaben
R2
L
C
UC +
−
Es ist der zeitliche Verlauf der Kondensatorspannung uC anzugeben, der nach dem
Schließen des Schalters auftritt.
Das Ergebnis ist grafisch darzustellen. (Der Schaltzeitpunkt entspreche dem Zeitpunkt
t = 0.)
Aufgabe 13.11.13
(Schalten)
-> Seite 172
In der angegebenen Schaltung mit U =
120V , L = 10mH und C = 100nF
soll der Widerstand R so gewählt werden, dass beim Schließen des Schalters ein
Ausgleichsvorgang entsprechend dem aperiodischen Grenzfall auftritt.
t=0
R
L
uC
U
C
1. Welchen Wert muss der Widerstand R haben?
2. Welchen zeitlichen Verlauf hat die Kondensatorspannung uC in diesem Fall ?
(Der Schaltzeitpunkt entspreche dem Zeitpunkt t = 0.)
Aufgabe 13.11.14
(Schalten)
-> Seite 173
In der angegebenen Schaltung mit R =
200Ω, L = 100mH und C = 1µF wird
der Schalter geschlossen. Die sinusförmige
Wechselspannung u hat den Scheitelwert
û = 320V und die Frequenz f = 50Hz.
t=0
u
R
L
uC
C
Es ist der zeitliche Verlauf der Kondensatorspannung uC unter der Voraussetzung zu
bestimmen, dass der Schalter im positiven Scheitelwert der Spannung u geschlossen
wird.
Das Ergebnis ist grafisch darzustellen. (Der Schaltzeitpunkt entspreche dem Zeitpunkt
t = 0.)
1. Februar 2017
[email protected]ünster.de
GdE2-129
Literatur
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GdE2-130
[email protected]ünster.de
1. Februar 2017
Literatur
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1. Februar 2017
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GdE2-131
Index
A
Exponentialansatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
Exponentialfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Abschaltströme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Additionstheorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
Alternierende Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
Amplitudenspektrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
Anfangsbedingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
Anfangswertsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
Aperidischer Grenzfall . . . . . . . . . . . . . . . . 109, 111
Aperiodischer Fall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107, 111
Aplitudendiagramm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
Aronschaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
Asynchronmoto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
Ausgleichsvorgang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
Außenleiterspannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
Außenleiterstrom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
F
Faltungssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
Fehlerintegral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
Fehlerspannungs(FU)-Schutzschalter . . . . . . . . . . 6
Fehlerstrom(FI)-Schutzschalter . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Fourier-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
Fourieranalyse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .64
Fourierkoeffizienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
Fourierreihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
Freie Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Frequenzanalysator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
G
Bandbreite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Berührspannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Betriebserde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Blindleistung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
Bodediagramm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Gerade Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
Gespiegelte Nennergerade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Gleichanteil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
Grenzfrequenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Grenzkreisfrequenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Grundwellenleistung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
Güte der Näherung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
Gütefaktor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
D
H
Differentialgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
Dirichletschen Bedingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
Drehstrom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Dreieckschaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
Dreiphasengenerator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Dualitätsbeziehungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Herzkammerflimmern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Homogene DGL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
B
E
Effektivwert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
Eigenkreisfrequenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Einphasensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Einschwingvorgang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Endwertsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
Energiespeicher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23, 84
Erdungswiderstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Euler-Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
GdE2-132
I
Inhomogene DGL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
Inversion von Ortskurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Isolationsfehler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
IT-System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
K
Kennkreisfrequenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Kennleitwert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Kennwiderstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Kettenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
Klirrfaktor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
[email protected]ünster.de
1. Februar 2017
INDEX
INDEX
Komplexe Fourierreihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
Kondensatoraufladung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
Kondensatorentladung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
Konvergenzbedingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
Korrespondenz-Tabellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
Kreisgüte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Körperwiderstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
L
Laplace-Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
Laplace-Transformation . . . . . . . . . . . . . . 113, 115 f.
Leistungsfaktor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
Leistungsverlauf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
Lineare Verzerrungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
Linearkombination . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
M
Mathematik . . . . . . . . . . . . . . . 27, 37, 59, 63 f., 92 f.
Mehrphasensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Motorwicklungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
N
Nennergerade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Netzwerkanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Normalform der Fourierreihe . . . . . . . . . . . . . . . . 64
Normierte Darstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Normierte Frequenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Nullung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Näherungsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
O
Oberschwingungsgehalt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
Oberwellenleistung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
Originalfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
Orthogonalitätsrelation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
Ortskurve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Oszillatorfrequenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
P
Parallelschwingkreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Parametrisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Partialbruchzerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
Periodischer Fall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109, 111
Phasenwinkeldiagramm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Q
Quotientenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1. Februar 2017
R
Raumwinkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Realtive Verstimmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Reihenschwingkreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Resonanzfrequenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Resonanzkreisfrequenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Resonanzkurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Resonanzschärfe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Resonanzskreisfrequenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Resonanzverstärkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Rücktransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
S
Scheinleistung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53, 76
Schutzerde: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Schutzerdung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Schutzisolierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Schutzleiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Schutzmaßnahme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Schutztransformator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Schwingkreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Schwingungsfall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109, 111
Schwingungsgehalt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
Sicherungsautomaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Spannungsresonanz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Spannungsüberhöhung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24, 39
Spektralform der Fouriereihe. . . . . . . . . . . . . . . . .63
Spektrumanalysator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
Spiegelfrequenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
Spiegelsymmetrisch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
Sprungantwort. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .96
Sternpunktleiterstrom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
Sternpunktspannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
Sternschaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
Strangspannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
Strangstrom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
Stromresonanz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Störfunktion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .92
Substitution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70, 87
Summe von Sinusschwingungen . . . . . . . . . . . . . 61
Superposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Symmetrieeigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .66
T
TN-System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Transistor als Schalter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
Trennen der Veränderlichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
Trenntransformator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
TT-System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
[email protected]ünster.de
GdE2-133
INDEX
INDEX
U
Umkehrintegral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .118
Umkleidungswiderstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Ungerade Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
V
Verkettungsfaktor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
Verzerrungsleistung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
Vierleitersystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
W
Wechselstromsysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Wirkleistung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
Z
Zeitkonstante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
Zentralsymmetrisch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
Zustandsgröße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
Zwischenfrequenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
Ä
Ähnlichkeitssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
Ü
Übergangsvorgang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
Überlagerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Überlagerung von Sinusschwingungen . . . . . . . . 61
Übertragungsfunktion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18, 96
GdE2-134
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1. Februar 2017
Formeln
Schwingkreise
Eigenfrequenz:
Vorlesung: Gln. 10.1.4, Seite 24
ω0 = ωe = √
1
LC
(13.11.1)
1
Lr Cr
(13.11.2)
Resonanzkreisfrequenz: Vorlesung: Gln. 10.3.9, Seite 30
ωr = 2πfr = √
Kennwiderstand:
Vorlesung: Gln. 10.3.10, Seite 30
r
XKr = XLr = −XCr =
Kennleitwert:
(13.11.3)
Cr
Lr
(13.11.4)
Vorlesung: Gln. 10.4.11, Seite 32
r
BKr = BCr = −BLr =
Realtive Frequenz:
Lr
Cr
Vorlesung: Gln. 10.5.1, Seite 34
Ω=
ω
f
=
ωr
fr
(13.11.5)
Relative Verstimmung: Vorlesung: Gln. 10.5.5, Seite 34
v =Ω−
Kreisgüte:
1
ω
f
ωr
fr
=
=
−
−
Ω
ωr
ω
fr
f
Vorlesung: Gln. 10.5.9, Seite 35
Qr =
Dämpfung:
XKr
Rr
(13.11.7)
1
Qr
(13.11.8)
Vorlesung: Gln. 10.5.11, Seite 35
dr =
Bandbreite:
Vorlesung: Gln. 10.5.27, Seite 37
bω = ω 2 − ω 1 =
ωr
Q
Spannungsüberhöhung: Vorlesung: Gln. 10.5.36, Seite 39
U C UC
XKr
U = U = R =Q
1. Februar 2017
(13.11.6)
[email protected]ünster.de
(13.11.9)
(13.11.10)
GdE2-135
INDEX
INDEX
Mehrphasensysteme
Verkettungsfaktor:
Vorlesung: Gln. 11.4.1, Seite 47
kv =
Dreiphasensystem:
Außenleiterspannung
ULL
=
Sternpunktspannung
ULN
Vorlesung: Gln. 11.4.4, Seite 47
kv =
Leistung:
√
U12
= 3
U1N
(13.11.12)
Vorlesung: Gln. 11.7.1, Seite 51
S
= S1 + S2 + S3
=
Leistung:
(13.11.11)
U Str1 I ∗Str1 + U Str2 I ∗Str2 + U Str3 I ∗Str3
(13.11.13)
Vorlesung: Gln. 11.7.5, Seite 52
S = 3UStr IStr =
√
3ULL IL
(13.11.14)
ĝν sin(νωt + ϕν )
(13.11.15)
Nichtlineare Wechselstromschaltungen
Spektralform:
Vorlesung: Gln. 12.3.1, Seite 63
g(t) =
n
X
gν =
ν=0
Normalform:
n
X
ν=0
Vorlesung: Gln. 12.3.10, Seite 64
g(t) = a0 +
n
X
aν cos(νωt) +
bν sin(νωt)
(13.11.16)
ν=1
ν=1
Gleichanteil:
n
X
Vorlesung: Gln. 12.4.12, Seite 66
1
a0 =
T
tZ
o +T
f (t) dt
(13.11.17)
f (t) cos(νωt) dt
(13.11.18)
f (t) sin(νωt) dt
(13.11.19)
t0
Koeffizienten aν :
Vorlesung: Gln. 12.4.13, Seite 66
2
aν =
T
tZ
o +T
t0
Koeffizienten bν :
Vorlesung: Gln. 12.4.14, Seite 66
2
bν =
T
tZ
o +T
t0
GdE2-136
[email protected]ünster.de
1. Februar 2017
INDEX
Komplexe Form:
INDEX
Vorlesung: Gln. 12.5.8, Seite 72
∞
X
f (t) =
cν ejνωt
(13.11.20)
f (t)e−jνωt dt
(13.11.21)
ν=−∞
Koeffizienten:
Vorlesung: Gln. 12.5.9, Seite 72
tZ
o +T
1
cν =
T
t0
Effektivwert:
Vorlesung: Gln. 12.7.5, Seite 75
v
v
u
u n
n
X
u
uX
2
2
t
I = I0 +
Iν = t
Iν2
ν=1
Effektivwert:
(13.11.22)
ν=0
Vorlesung: Gln. 12.7.6, Seite 75
v
u n
q
uX
2
Iν2
I∼ = I − I0 = t
(13.11.23)
ν=1
Wirkleistung:
Vorlesung: Gln. 12.7.12, Seite 76
P = au,0 ai,0 +
Wirkleistung:
n
X
au,ν ai,ν + bu,ν bi,ν
2
ν=1
(13.11.24)
Vorlesung: Gln. 12.7.15, Seite 76
P = U0 I0 +
n
X
Uν Iν cos ϕν
(13.11.25)
ν=1
Schwingungsgehalt: Vorlesung: Gln. 12.8.3, Seite 78
I∼
I
(13.11.26)
I1
I1
=
I∼
I
(13.11.27)
si =
Grundschwingungsgehalt: Vorlesung: Gln. 12.8.4, Seite 79
gi =
Klirrfaktor:
Vorlesung: Gln. 12.8.5, Seite 79
s
ki =
1. Februar 2017
n
P
ν=2
I
Iν2
p
=
I 2 − I12
=
I
[email protected]ünster.de
q
1 − gi2
(13.11.28)
GdE2-137
INDEX
INDEX
Schaltvorgänge
Kondensatorspannung: Vorlesung: Gln. 13.2.14, Seite 88
t
uC = U0 1 − e− RC
Zeitkonstante:
Kondensatorstrom:
Vorlesung: Gln. 13.2.15, Seite 88
τ = RC
(13.11.30)
duC
U0 − t
=
e τ
dt
R
(13.11.31)
U0 1 − e−t/τ
R
(13.11.32)
L
R
(13.11.33)
Vorlesung: Gln. 13.2.16, Seite 88
iC = C
Spulenstrom:
Vorlesung: Gln. 13.2.24, Seite 91
iL =
Zeitkonstante:
Vorlesung: Gln. 13.2.25, Seite 91
τ=
Spulenspannung:
Vorlesung: Gln. 13.2.27, Seite 91
uL = L
Exponentialansatz:
(13.11.29)
diL
d U0 =L
1 − e−t/τ = U0 e−t/τ
dt
dt R
(13.11.34)
Vorlesung: Gln. 13.3.8, Seite 93
if = Keλt
(13.11.35)
Fourier-Transformation: Vorlesung: Gln. 13.8.8, Seite 114
Z∞
F (ω) =
f (t)e−jωt dt
(13.11.36)
−∞
Konvergenzbedindung: Vorlesung: Gln. 13.8.9, Seite 114
Z∞
|f (t)| dt < K < ∞
(13.11.37)
−∞
Fourier-Rücktransformation: Vorlesung: Gln. 13.8.10, Seite 114
1
f (t) =
2π
Z∞
F (ω)ejωt dω
(13.11.38)
f (t) · e−s·t dt = F (s)
(13.11.39)
−∞
Laplace-Transformation: Vorlesung: Gln. 13.9.1, Seite 116
Z∞
L{f (t)} =
+0
GdE2-138
[email protected]ünster.de
1. Februar 2017
INDEX
Laplace-Ableitung:
INDEX
Vorlesung: Gln. 13.9.6, Seite 117
L{f 0 (t)} = s · F (s) − f (0)
Laplace-Integral:
(13.11.40)
Vorlesung: Gln. 13.9.9, Seite 118
Zt
L{
f (τ ) dτ } =
1
F (s)
s
(13.11.41)
0
Laplace-Rücktransformation: Vorlesung: Gln. 13.9.10, Seite 118
−1
f (t) = L
1
{F (s)} =
2πj
σ+j∞
Z
F (s) · es·t ds
(13.11.42)
σ−j∞
Gleichspannung:
Vorlesung: Gln. 13.9.22, Seite 119
L{U } =
Sinusspannung:
U
s
Vorlesung: Gln. 13.9.25, Seite 120
L{û sin ωt} = û ·
Kosinusspannung:
(13.11.44)
s
+ ω2
(13.11.45)
s2
Vorlesung: Gln. 13.9.29, Seite 120
L{û sin(ωt + ϕu )} = û ·
1. Februar 2017
ω
s2 + ω 2
Vorlesung: Gln. 13.9.26, Seite 120
L{û cos ωt} = û ·
Phase:
(13.11.43)
s · sin ϕu + ω · cos ϕu
s2 + ω 2
[email protected]ünster.de
(13.11.46)
GdE2-139
A. Ergebnisse der Übungsaufgaben
A.1. Übungsaufgaben zu Ortskurven
Lösung zur
Aufgabe 9.8.1
(Ortskurve)
Die Ortskurve der Impedanz für p = 0 . . . 10 mit L0 = 1mH ergibt eine Gerade mit
G = A + pB
= R + pjωL0
=
60Ω + pj6,28Ω
(A.1.1)
Skalierung der Achsen:
Z(p = 0)
=
60Ω + j0Ω
Z(p = 10)
=
60Ω + j62,8Ω
(A.1.2)
entsprechend eine (quadratische) Skalierung von
−10Ω ≤ x ≤ 70Ω
70Ω
≤y≤
−10Ω
(A.1.3)
Die Ortskurve ist mit dem Parameter p beziffert.
Ortskurve Z(p) = R + j XL(p)
70
ZRe(p), ZIm(p)
Im(Z) / Ohm
60
50
8
40
6
30
4
20
2
10
0
0
-10
-10
Lösung zur
Aufgabe 9.8.2
(Ortskurve)
0
10
20 30 40
Re(Z) / Ohm
50
60
70
Die Ortskurve der Admittanz für p = 10 . . . 100 bzw. p0 = 1/p = 0,1 . . . 0,01 mit
L0 = 1mH ergibt eine Gerade mit
G = A + p0 B
=
=
GdE2-140
10
1
1
− p0 j
R
ωLp
8mS − pj159mS
[email protected]ünster.de
(A.1.4)
1. Februar 2017
A. Ergebnisse der Übungsaufgaben
A.1
Übungsaufgaben zu Ortskurven
Skalierung der Achsen:
Y (p0 = 0,01)
0
Y (p = 1)
=
8mS − j1,59mS
=
8mS − j15,9mS
(A.1.5)
entsprechend eine (quadratische) Skalierung von
0mS
≤x≤
20mS
−20mS
≤y≤
0mS
(A.1.6)
Die Ortskurve ist links linear mit dem Parameter p0 und rechts nichtlinear mit dem
Parameter p beziffert.
Ortskurve Y(p) = G + j BL(p)
0
0.01
YRe(p), YIm(p)
100
0.02
50
0.04
25
0.05
20
0.08
12.5
0.1
10
Im(Y) / mS
-5
-10
-15
-20
0
Lösung zur
Aufgabe 9.8.3
(Ortskurve)
5
10
Re(Y) / mS
15
20
Die Ortskurve des Gesamtstromes (U = Bezugsgröße (= reell)) für p = 0,8 . . . 10 bzw.
p0 = 1/p = 1,25 . . . 0,1 mit R0 = 100Ω ergibt eine Gerade mit
G = A + p0 B
U
U
+ p0
XC
Rp
= j0,5A + p0 1A
= −j
(A.1.7)
Skalierung der Achsen:
I(p0 = 0,1)
0
I(p = 1,25)
=
0,1A + j0,5A
=
1,25A + j0,5A
(A.1.8)
entsprechend eine (quadratische) Skalierung von
0A ≤ x ≤ 1,5A
0A ≤ y ≤ 1A
(A.1.9)
Die Ortskurve ist unten linear mit dem Parameter p0 und oben nichtlinear mit dem
Parameter p beziffert.
1. Februar 2017
[email protected]ünster.de
GdE2-141
A.1
Übungsaufgaben zu Ortskurven
A. Ergebnisse der Übungsaufgaben
Ortskurve I(p) = U(1/pR+j BC)
1
IRe(p), IIm(p)
Im(I) / A
0.8
0.6
10
0.1
4
2.5
2
0.25 0.4 0.5
1.25
1
0.8
0.8
1
1.25
0.4
0.2
0
0
Lösung zur
Aufgabe 9.8.4
(Ortskurve)
0.2
0.4
0.6
0.8
Re(I) / A
1
1.2
1.4
1. Die Ortskurve der Impedanz für p = 0 . . . 3 mit R0 = 100Ω ergibt eine Gerade
mit
G = A + pB
= jXL + pR0
= j100Ω + p100Ω
(A.1.10)
Skalierung der Achsen:
Z(p = 0)
=
0Ω + j100Ω
Z(p = 3)
=
300Ω + j100Ω
(A.1.11)
entsprechend eine (quadratische) Skalierung von
−10Ω
≤x≤
320Ω
−10Ω
≤y≤
120Ω
(A.1.12)
Die Ortskurve wird zum Schluss mit dem Parameter p beziffert.
GdE2-142
[email protected]ünster.de
1. Februar 2017
A. Ergebnisse der Übungsaufgaben
A.1
Übungsaufgaben zu Ortskurven
Ortskurve Z(p) = pR + j XL
120
Im(Z) / Ohm
100
ZRe(p), ZIm(p)
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
80
60
40
20
0
0
50
100
150
200
Re(Z) / Ohm
250
300
2. Die Ortskurve der Admittanz für p = 0 . . . 3
Y (p) =
1
1
1
=
=
Z(p)
G
A + pB
(A.1.13)
ergibt als Inversion einer Geraden einen Kreis durch den Nullpunkt.
a) Wahl der Achsen
0Ω
−300Ω
≤x≤
≤y≤
300Ω
0Ω
(A.1.14)
b) Zeichnen der gespiegelten Nennergerade
G∗ = −j100Ω + p · 100Ω
(A.1.15)
c) Senkrechte auf der gespiegelten Nennergeraden durch den Nullpunkt ist die
Y-Achse.
d) Berechnen des Abstandes
AK =
1
1
=
= 10mS
A
100Ω
(A.1.16)
Maßstab wählen zu 50Ω=2mS.
ˆ
Zeichnen der Senkrechten auf A∗ im Abstand AK /2 = 5mS .
e) Zeichnen des Kreises.
f) Beziffern des Kreises mit den Parameterwerten p entsprechend der gespiegelten Nennergeraden G∗ indem vom Nullpunkt des Koordinatensystems
aus Geraden durch die bekannten Parameterwerte der gespiegelten Nennergeraden gezeichnet werden. Die Schnittpunkte dieser Geraden mit dem
Kreis der gesuchten Ortskurve erhalten die entsprechenden Parameterwerte
der gespiegelten Nennergeraden.
1. Februar 2017
[email protected]ünster.de
GdE2-143
A.1
Übungsaufgaben zu Ortskurven
A. Ergebnisse der Übungsaufgaben
Ortskurve Y(p) = 1/(pR + j XL)
0
Re(Z) / Ohm
100
150
200
50
0
3
-2
250
YRe(p), YIm(p)
2.5 ZNRe(p), ZNIm(p)
2
300
0
-50
1.5
0 0.25 0.5
1
1.5
1
2
2.5
-100
3
-6
-150
0.5
-8
j Im(Z) / Ohm
j Im(Y) / mS
-4
-200
0.25
-10
-250
0
-12
0
2
4
6
8
10
-300
12
Re(Y) / mS
Lösung zur
Aufgabe 9.8.5
(Ortskurve)
1. Die Ortskurve der Impedanz für p = 1 . . . 10 bzw. p0 = 1/p = 1,0 . . . 0,1 mit
f0 = 1kHz ergibt eine Gerade der Form
=
1
2πf0 C
50Ω − p0 j106,1Ω
Z(p0 = 0,1)
=
50Ω − j10,6Ω
Z(p0 = 1)
=
50Ω − j106Ω
G = A + p0 B
= R − p0 j
(A.1.17)
Skalierung der Achsen:
(A.1.18)
entsprechend eine (quadratische) Skalierung von
0Ω
−110Ω
≤ x ≤ 100Ω
≤y≤
0Ω
(A.1.19)
Die Ortskurve ist mit dem Parameter p beziffert.
GdE2-144
[email protected]ünster.de
1. Februar 2017
A. Ergebnisse der Übungsaufgaben
A.1
Übungsaufgaben zu Ortskurven
Ortskurve Z(p) = R + j XC(p)
Im(Z) / Ohm
0
ZRe(p), ZIm(p)
10
0.1
-20
0.2
5
-40
0.4
2.5
0.5
2
0.8
1.25
1
1
-60
-80
-100
0
20
40
60
Re(Z) / Ohm
80
100
2. Die Ortskurve der Admittanz für p = 1 . . . 10
Y (p) =
1
1
1
=
=
Z(p)
G
A + pB
(A.1.20)
ergibt als Inversion einer Geraden einen Kreis durch den Nullpunkt.
a) Wahl der Achsen
0Ω
≤ x ≤ 120Ω
0Ω
≤y≤
120Ω
(A.1.21)
b) Zeichnen der gespiegelten Nennergerade
G∗ = 50Ω + p · j106,1Ω
(A.1.22)
c) Senkrechte auf der gespiegelten Nennergeraden durch den Nullpunkt ist die
X-Achse.
d) Berechnen des Abstandes
AK =
1
1
=
= 20mS
A
50Ω
(A.1.23)
Maßstab wählen zu 30Ω=5mS.
ˆ
Zeichnen der Senkrechten auf A∗ im Abstand AK /2 = 10mS.
e) Zeichnen des Kreises.
f) Beziffern des Kreises mit den Parameterwerten p bzw. p’ entsprechend der
gespiegelten Nennergeraden G∗ .
1. Februar 2017
[email protected]ünster.de
GdE2-145
A.1
Übungsaufgaben zu Ortskurven
A. Ergebnisse der Übungsaufgaben
Ortskurve Y(p) = 1/(R + j XC(p))
30
20
120
120
YRe(p), YIm(p)
ZNRe(p), ZNIm(p)
15
j Im(Y) / mS
Re(Z) / Ohm
60
90
90
0.8
10
0.5
0.4
1
60
2
2.5
5
5
30
10
0.2
0.1
0
0
0
Lösung zur
Aufgabe 9.8.6
(Ortskurve)
j Im(Z) / Ohm
0
5
10
Re(Y) / mS
15
20
Die Ortskurve der Impedanz für p = 0 . . . 3
Z(p) = Z 1 + Z 2 (p)
(A.1.24)
entspricht der Ortskurve der Impedanz für Z 2 (p), die relativ zum Koordinatenursprung
um den Vektor
Z 1 = R1 − j
1
ωC1
25Ω − j31,8Ω
=
(A.1.25)
verschoben ist. Ortskurve der Impedanz für p = 0 . . . 3 mit C20 = 1µF als Inversion
einer Geraden
G = A + pB
=
=
1
+ pjωC20
R2
8mS + pj3,14mS
(A.1.26)
1. Skalierung der Achsen:
Y ∗2 (p = 0)
=
8mS + j0mS
Y ∗2 (p = 3)
=
8mS − j9,4mS
(A.1.27)
entsprechend eine (quadratische) Skalierung von
0mS
−10mS
≤ x ≤ 10mS
≤y≤
0mS
(A.1.28)
G∗ = 8mS − pj3,14mS
(A.1.29)
2. Zeichnen der gespiegelten Nennergerade
3. Senkrechte auf der gespiegelten Nennergeraden durch den Nullpunkt ist die XAchse.
GdE2-146
[email protected]ünster.de
1. Februar 2017
A. Ergebnisse der Übungsaufgaben
A.1
Übungsaufgaben zu Ortskurven
4. Berechnen des Abstandes
AK =
1
1
=
= 125Ω
A
8mS
(A.1.30)
Maßstab wählen zu 5mS =50Ω.
ˆ
Senkrechte auf A∗ im Abstand AK /2 = 62,5Ω.
5. Zeichnen des Kreises.
6. Beziffern des Kreises mit den Parameterwerten p entsprechend der gespiegelten
Nennergeraden G∗ .
7. Verschiebung der Ortskurve um Z 1 erfolgt grafisch durch Verschieben des Koordinatenursprungs um
−Z 1 = −25Ω + j31,8Ω
(A.1.31)
Ortskurve Z2(p) = 1/R2 + j BC(p)
50
10
15
5
Z2Re(p), Z2Im(p)
Y2NRe(p), Y2NIm(p)
Zx1Re(p),
Zx1Im(p)
(0,0) mit Z1
Zy1Re(p), Zy1Im(p)
0
(0,0) ohne Z1
0.5
0
Im(Z) / Ohm
Re(Y) / mS
5
0
0
0.5
1
1
1.5
-50
2
1.5
3 2.5
2.5
3
-100
-150
-50
0
50
0
-5
Im(Y) / mS
-5
-10
100
-15
150
Re(Z) / Ohm
Lösung zur
Aufgabe 9.8.7
(Ortskurve)
1. Die Ortskurve der Impedanz für p = 0 . . . 2,5
Z(p) = Z 1 + (Z 2 ||Z C (p))
(A.1.32)
entspricht der Ortskurve der Impedanz für Z 2 (p), die relativ zum Koordinatenursprung um den Vektor
Z 1 = R1 + jωL1 = 100Ω + j80Ω
(A.1.33)
verschoben ist. Ortskurve der Impedanz für p = 0 . . . 2,5 mit C0 = 1µF als
Inversion einer Geraden
G = A + pB
=
=
1. Februar 2017
1
+ pjωC0
R2 + jωL2
5mS − j5mS + pj6,28mS
[email protected]ünster.de
(A.1.34)
GdE2-147
A.1
Übungsaufgaben zu Ortskurven
A. Ergebnisse der Übungsaufgaben
a) Skalierung der Achsen:
Y ∗3 (p = 0)
Y
∗
3 (p
= 3)
=
5mS + j5mS
=
5mS − j10,7mS
(A.1.35)
entsprechend eine (quadratische) Skalierung von
−5mS
≤ x ≤ 20mS
−15mS
≤y≤
10mS
(A.1.36)
b) Zeichnen der gespiegelten Nennergeraden
G∗ = (5mS + j5mS) + p(−j6,28mS)
(A.1.37)
c) Senkrechte auf der gespiegelten Nennergeraden durch den Nullpunkt ist die
X-Achse.
d) Berechnen des Abstandes
AK
1
1
√
=
A
5mS · 2
√
100Ω · 2 = 141Ω
=
=
(A.1.38)
∗
Maßstab wählen zu √
5mS =50Ω.
ˆ
Zeichnen der Senkrechten auf A im Abstand AK /2 = 50Ω 2. Schnittpunkt mit der x-Achse zu
√
√ √
rK = (AK /2) · 2 = 50Ω · 2 · 2 = 100Ω
(A.1.39)
e) Zeichnen des Kreises.
f) Beziffern des Kreises mit den Parameterwerten p entsprechend der gespiegelten Nennergeraden G∗ .
g) Die Verschiebung der Ortskurve um Z 1 erfolgt grafisch durch Verschieben
des Koordinatenursprungs um
−Z 1 = −100Ω − j80Ω
(A.1.40)
Ortskurve Z3(p) = 1/Y2 + j BC(p)
-10
150
-5
0
Re(Y) / mS
5
10
15
20
15
Z3Re(p), Z3Im(p)
Y3NRe(p), Y3NIm(p)
Zx1Re(p), Zx1Im(p)
Zy1Re(p), Zy1Im(p)
0
100
10
0.5
0
0.5
0
0
1
(0,0) ohne Z1
1.5
-50
2
-100
-150
-100
1
1.5
-10
2.5
-50
-5
2.5
(0,0) mit Z1
GdE2-148
5
Im(Y) / mS
Im(Z) / Ohm
50
0
50
100
Re(Z) / Ohm
[email protected]ünster.de
150
-15
200
1. Februar 2017
A. Ergebnisse der Übungsaufgaben
A.1
Übungsaufgaben zu Ortskurven
2. C-Werte, bei denen die Impedanz Z reell ist:
Lösung zur
Aufgabe 9.8.8
(Ortskurve)
C1
=
1,2 · 1µF = 1,2µF
C2
=
2,4 · 1µF = 2,4µF
(A.1.41)
1. Die Ortskurve der Admittanz für p = 0 . . . 10
Y (p) = Y 2 + Y 1 (p)
(A.1.42)
entspricht der Ortskurve der Admittanz für Y 1 (p), die relativ zum Koordinatenursprung um den Vektor
Y2 =
1
+ jωC = 20mS + j30,0mS
R2
(A.1.43)
verschoben ist. Ortskurve der Admittanz für p = 0 . . . 10 mit R10 = 10Ω als
Inversion einer Geraden
G = A + pB
= jωL + pR10
= j25,0Ω + p10Ω
(A.1.44)
a) Skalierung der Achsen:
Z ∗1 (p = 0)
=
0Ω − j25Ω
Z ∗1 (p = 10)
=
100Ω − j25Ω
(A.1.45)
entsprechend eine (quadratische) Skalierung von
−10Ω ≤ x ≤
−110Ω
≤y≤
110Ω
10Ω
(A.1.46)
b) Zeichnen der gespiegelten Nennergeraden
G∗ = −j25,0Ω + p10Ω
(A.1.47)
c) Senkrechte auf der gespiegelten Nennergeraden durch den Nullpunkt ist die
Y-Achse.
d) Berechnen des Abstandes
Ak =
1
1
=
= 40mS
A
25,0Ω
(A.1.48)
Maßstab wählen für den Kreis zu 30Ω =
ˆ 10mS. Senkrechte auf A∗ im Abstand AK /2 = 20mS.
e) Beziffern des Kreises mit den Parameterwerten p entsprechend der gespiegelten Nennergeraden G∗ .
1. Februar 2017
[email protected]ünster.de
GdE2-149
A.1
Übungsaufgaben zu Ortskurven
A. Ergebnisse der Übungsaufgaben
Ortskurve Y1(p) = 1 / (R1(p) + j XL)
0
-30
Re(Z) / Ohm
30
60
90
120
30
Y1Re(p), Y1Im(p)
Z1NRe(p), Z1NIm(p)
Yx2Re(p), Yx2Im(p)
Yy2Re(p), Yy2Im(p)
10
8
(0,0) ohne Y2
-10
Im(Y) / mS
0
0 1 2
4
6
0
8
10
-30
4
-20
-60
2
(0,0) mit Y2
-30
Im(Z) / Ohm
-60
10
-90
1
0
-40
-120
-50
-20
-10
0
10
Re(Y) / mS
20
30
-150
40
2. Die Verschiebung der Ortskurve um Y 2 erfolgt grafisch durch Verschieben des
Koordinatenursprungs um
−Y 2 = 20mS + j30,0mS
(A.1.49)
Ortskurve Y(p) = Y2 + Y1(p)
YRe(p), YIm(p)
ZminRe(p), ZminIm(p)
30
10
6
Im(Y) / mS
20
4
10
Mp
Kr
2
1.45
0
1
0
-10
0
10
20
30
Re(Y) / mS
40
50
3. Widerstand, bei dem Y reell ist
R10 = 1,4 · 10Ω = 14Ω
(A.1.50)
4. Der Gesamtwiderstand der Schaltung
Z=
GdE2-150
[email protected]ünster.de
1
Y
(A.1.51)
1. Februar 2017
A. Ergebnisse der Übungsaufgaben
A.1
Übungsaufgaben zu Ortskurven
ist dann am Geringsten, wenn der Leitwert am Größten ist. Fassen wir die Admittanz der Schaltung als Addition zweier Leitwerte auf
Y = Y 0,M p + Y M p,Kr
(A.1.52)
von denen der erste vom Nullpunkt des Koordinatenursprungs zum Mittelpunkt
des Kreises der Ortskurve geht und der zweite vom diesem Mittelpunkt auf den
Kreisbogen der Ortskurve, so erhalten wir das Maximum in der Verlängerung
des ersten Vektors
R100 = 4 · 10Ω = 40Ω
(A.1.53)
Lösung zur
Aufgabe 9.8.9
(Ortskurve)
1. Die Ortskurve des Stromes für p = 0 . . . 4 mit L0 = 10mH
I(p) = U · Y (p) = 100V · Y (p)
(A.1.54)
ist identisch zur Ortskurve der Admittanz für p = 0 . . . 4
Y (p) =
1
1
1
=
=
Z(p)
G
A + pB
(A.1.55)
da nur der Maßstabsfaktor der Achsen sich ändert. Aus Y = 1mS wird I =
100V · 1mS = 0,1A. Ortskurve der Attmittanz als Inversion einer Geraden
G = A + pB
1
+ pjωL0
G2 + jωC
80,0Ω − j80,0Ω + pj50,3Ω
= R1 +
=
(A.1.56)
a) Skalierung der Achsen:
Z ∗ (p = 0)
∗
Z (p = 4)
=
80,0Ω + j80,0Ω
=
80,0Ω − j121,2Ω
(A.1.57)
Quadratische Skalierung:
0Ω
≤x≤
240Ω
−120Ω
≤y≤
120Ω
(A.1.58)
b) Zeichnen der gespiegelten Nennergeraden
G∗ = 80,0Ω + j80,0Ω − pj50,3Ω
(A.1.59)
c) Senkrechte auf der gespiegelten Nennergeraden durch den Nullpunkt ist die
X-Achse.
d) Berechnen des Abstandes
Ak =
1
1
√ = 8,84mS
=
A
80Ω 2
(A.1.60)
Senkrechte auf A∗ im Abstand AK /2 = 4,42mS. Berechnen des Kreisradius zu
√
(A.1.61)
rK = (AK /2) · 2 = 1/160Ω = 6,25mS
Maßstab wählen für den Kreis 20Ω =
ˆ 10mS.
1. Februar 2017
[email protected]ünster.de
GdE2-151
A.1
Übungsaufgaben zu Ortskurven
A. Ergebnisse der Übungsaufgaben
e) Beziffern des Kreises mit den Parameterwerten p entsprechend der gespiegelten Nennergeraden G∗ .
0
8
6
Im(Y) / mS
4
2
Re(Z) / Ohm
40 80 120 160 200 240 280 320
160
YRe(p), YIm(p)
ZNRe(p), ZNIm(p)
120
0
0
80
1
40
1
1.6
2
0
1.6
-2
-80
4
4
-6
-8
0
2
-40
2
3
-4
0
Im(Z) / Ohm
Ortskurve Y(p) = 1 / [R1 + (R2 || j XC) + j XL(p)]
4
3
-120
-160
6 8 10 12 14 16
Re(Y) / mS
2. Aus der durch Skalierung der Achsen aus der Ortskurve Y (p) sich ergebende
Ortskurve I(p) ergibt sich die Induktivität bei der Spannung U und Strom I in
Phase sind zu
L = 1,6 · 10mH = 16mH
(A.1.62)
Ortskurve I(p) = U / [R1 + (R2 || j XC) + j XL(p)]
0.8
IRe(p), IIm(p)
0.6
0
Im(I) / A
0.4
1
0.2
1.6
0
-0.2
2
-0.4
4
-0.6
3
-0.8
0
Lösung zur
Aufgabe 9.8.10
(Ortskurve)
GdE2-152
0.2 0.4 0.6 0.8 1
Re(I) / A
1.2 1.4 1.6
Der Verlauf der Ortskurve der Impedanz für p = 0,5 . . . 5 mit f0 = 1kHz
Z(p) = Z 1 (p) + Z 2 (p)
[email protected]ünster.de
(A.1.63)
1. Februar 2017
A. Ergebnisse der Übungsaufgaben
A.1
Übungsaufgaben zu Ortskurven
ergibt sich als graphische Addition der ersten Ortskurve, einer Geraden auf der imaginären Achse,
Z 1 (p) = G1
=
A1 + pB 1
=
pj20,0Ω
(A.1.64)
Hier kann nicht einfach der Koordinatenursprung verschoben werden, sondern es muss
eine Addition von je 2 Werten mit dem selben p-Wert erfolgen! Die zweite Ortskurve
ist ein Kreis mit der Impedanz der Parallelschaltung
Z 2 (p) =
1
1
1
=
=
Y 2 (p)
G2
A2 + pB 2
(A.1.65)
als Inversion einer Geraden
G2
= A2 + pB 2
=
10mS + pj6,28mS
(A.1.66)
1. Skalierung der Achsen für G2 :
Y ∗2 (p = 0,5)
Y
∗
2 (p
= 5)
=
10,0mS − j3,14mS
=
10,0mS − j31,4mS
(A.1.67)
entsprechend eine (quadratische) Skalierung von
0mS
≤x≤
40mS
−40mS
≤y≤
0mS
(A.1.68)
2. Zeichnen der gespiegelten Nennergeraden
G∗2 = 10mS − pj6,28mS
(A.1.69)
3. Senkrechte auf der gespiegelten Nennergeraden durch den Nullpunkt ist die YAchse.
4. Berechnen des Abstandes
Ak =
1
1
=
= 100Ω
A
10mS
(A.1.70)
Maßstab wählen für den Kreis 10mS =
ˆ 20Ohm. Senkrechte auf A∗ im Abstand
AK /2 = 50Ohm.
5. Beziffern des Kreises mit den Parameterwerten p entsprechend der gespiegelten
Nennergeraden G∗ .
1. Februar 2017
[email protected]ünster.de
GdE2-153
A.1
Übungsaufgaben zu Ortskurven
A. Ergebnisse der Übungsaufgaben
Ortskurve Z(p) = Z1(p) + Z2(p)
0
100
5
80
4
60
3
2.5
2
1.5
1
0.5
40
20
Re(Y) / mS
20
30
10
50
60
50
40
30
4
20
3
-20
5
-40
4
34
-60
5
0
10
2.5
0.5 2
1.5
1
1
1.5
2
2.5
3
0
-20
40
Z2Re(p), Z2Im(p)
Y2NRe(p), Y2NIm(p)
Z1Re(p), Z1Im(p)
ZRe(p), ZIm(p)
5
20
2
1.5
40
0
Im(Y) / mS
Im(Z) / Ohm
-10
0.5
-10
0.5
-20
1
-30
60
80
100 120
Re(Z) / Ohm
6. Skalierung der Achsen für G1 :
Z 1 (p = 0,5)
=
0,0Ω + j10,0Ω
Z 1 (p = 5)
=
0,0Ω + j100,0Ω
(A.1.71)
entsprechend eine (quadratische) Skalierung von
0Ω
≤x≤
100Ω
0Ω
≤y≤
100Ω
(A.1.72)
7. Zeichnen der Geraden
G1 (p) = pj20,0Ω
(A.1.73)
und mit dem Parameter p beziffern. Die punktweise Addition der beiden Ortskurven für gleiche Parameterwerte p ergibt die gesuchte Ortskurve der kompletten
Schaltung.
Lösung zur
Aufgabe 9.8.11
(Ortskurve)
Die Ortskurve der Impedanz für p = 0 . . . ∞
Z(p) = Z 1 + Z 2 (p))
(A.1.74)
entspricht der Ortskurve der Impedanz für Z 2 (p), die relativ zum Koordinatenursprung
um den Vektor
Z 1 = R1 = 50Ω
(A.1.75)
verschoben ist. Als erstes wird daher die Ortskurve der Impedanz für p = 0 . . . ∞ mit
f0 = 1kHz
1
1
Z 2 (p) =
=
(A.1.76)
G
A + pB 1 + p1 B 2
GdE2-154
[email protected]ünster.de
1. Februar 2017
A. Ergebnisse der Übungsaufgaben
A.1
Übungsaufgaben zu Ortskurven
als Inversion einer Geraden
1
G = A + pB 1 + B 2
p
1
1
j
=
+ pj2πf0 C − ·
)
R2
p 2πf0 L
1
= 10mS + pj6,28mS − j1,59mS
p
(A.1.77)
Aufgrund der Proportionalität von Y 2 zu p und zu 1/p ergibt sich keine Skalierung,
die aus einer linear geteilten Nennergeraden konstruiert werden kann. Für die ausgewählten Punkte erhalten wir
Z(f = 0)
=
50,0Ω
Z(f = ∞)
=
50,0Ω
Z(f = f0 )
=
150,0Ω
(A.1.78)
bei der Resonanzfrequenz
f0 =
1
√
= 503,29Hz
2π LC
(A.1.79)
Senkrechte auf der gespiegelten Nennergeraden durch den Nullpunkt ist die X-Achse.
Berechnen des Abstand
1
1
=
= 100Ω
(A.1.80)
Ak =
A
10mS
∗
Maßstab wählen für den Kreis 10mS =
ˆ 20Ω. Senkrechte auf A im Abstand AK =
AK /2 = 50Ω.
Ortskurve Z2(p) = 1/R2 + j (BC(p) - BL(p))
-20
-10
0
Re(Y) / mS
10
20
80
60
40
50
40
30
200
100
40
20
100
20
10
200
10
1E5
0
500
500
(0,0) mit R1
1E4
-20
1000
-10
2000
-40
0
Im(Y) / mS
Im(Z) / Ohm
30
Z2Re(p), Z2Im(p)
Y2NRe(p), Y2NIm(p)
Zx1Re(p), Zx1Im(p)
Zy1Re(p), Zy1Im(p)
1E3
2E3
-20
-60
-30
-40
-20
0
20
40
60
80
100
Re(Z) / Ohm
Die Ortskurve ist mit Einheiten des Parameters p beziffert. Die Verschiebung der Ortskurve um R1 kann grafisch durch Verschieben des Koordinatenursprungs um −R1
erfolgen. Der neue Koordinatenursprung ist ebenfalls eingezeichnet.
1. Februar 2017
[email protected]ünster.de
GdE2-155
A.2
Übungsaufgaben zu Schwingkreise
A. Ergebnisse der Übungsaufgaben
A.2. Übungsaufgaben zu Schwingkreise
Lösung zur
Aufgabe 10.7.1
(Tiefpass)
Widerstand
R
=
=
Lösung zur
Aufgabe 10.7.2
(Hochpass)
1
2πfg C
2π ·
103 Hz
1
= 1,59kΩ
· 0,1 · 10−6 F
(A.2.1)
Kapazitätswert
C
=
1
2πfg R
=
1
= 132,6nF
2π · 1200Hz · 1000Ω
=
q
(A.2.2)
Betragsverhältnis
U2
U1
=
Lösung zur
Aufgabe 10.7.3
(Schwingkreis)
1
1+
1
(2πf1 CR)2
1
q
1+
1
(2π·500Hz·132,6·10−9 F ·1000Ω)2
=
0,385
=
1
(2πfr )2 L
=
1
= 25,33nF
(2π104 Hz)2 · 0,01H
(A.2.3)
Kapazität
C
(A.2.4)
Widerstand
R
=
=
Lösung zur
Aufgabe 10.7.4
(Schwingkreis)
r
bXk
b
L
=
·
fr
fr
C
s
103 Hz
0,01H
·
= 62,83Ω
104 Hz
25,33 · 10−9 F
Widerstand
R = Z1 = 12,5Ω
(A.2.6)
Induktivität
p
L =
=
GdE2-156
(A.2.5)
Z22 − R2
ω2
ω2 − ω12
p
(25Ω)2 − (12,5Ω)2
300s−1 −
(500s−1 )2
300s−1
[email protected]ünster.de
= 40,59mH
(A.2.7)
1. Februar 2017
A. Ergebnisse der Übungsaufgaben
A.2
Übungsaufgaben zu Schwingkreise
Kapazität
C=
Lösung zur
Aufgabe 10.7.5
(Schwingkreis)
1
1
= 98,55µF
=
ω12 L
(500s−1 )2 · 0,04059H
Widerstand
R = Z1 =
1
= 25,0Ω
Y1
(A.2.8)
(A.2.9)
Kapazität
p
C
=
Y22 − G2
ω2
ω2 − ω12
p
(0,08S)2 − (0,04S)2
=
= 129,9µF
(A.2.10)
1
= 30,79mH
· 129,9 · 10−6 F
(A.2.11)
300s−1 −
(500s−1 )2
300s−1
Induktivität
L=
1
ω12 C
Lösung zur
Aufgabe 10.7.6
(Schwingkreis)
Resonanzfrequenz
Lösung zur
Aufgabe 10.7.7
(Schwingkreis)
Resonanzfrequenz
Lösung zur
Aufgabe 10.7.8
(Schwingkreis)
=
(500s−1 )2
R1 + R2
ω = ωr = p 2
R2 LC − L2
s
ω = ωr =
(A.2.12)
L
R12 − C
2
LCR2 − L2
(A.2.13)
1. Resonanzfrequenz
f = fr
=
=
=
1
2π
p
LC − (RC)2
1
p
2π 0,01H · 100 ·
5,31kHz
10−9 F
− (100Ω · 100 · 10−9 F )2
(A.2.14)
2. Gesamtwiderstand
Zr
1. Februar 2017
=
1
1
=
Yr
Re{Y }
=
R2 + XC2
=R+
R
=
100Ω +
=
998,0Ω
1 2
ωC
R
=R+
1
R(ωC)2
1
100Ω · (2π · 5310Hz · 100 · 10−9 F )2
[email protected]ünster.de
(A.2.15)
GdE2-157
A.2
Übungsaufgaben zu Schwingkreise
Lösung zur
Aufgabe 10.7.9
(Schwingkreis)
A. Ergebnisse der Übungsaufgaben
1. Frequenz
f1
1
1
√
p
=
2π L2 C
2π 0,2H · 10 · 10−6 F
112,5Hz
=
=
(A.2.16)
2. Frequenz
s
f2
1
2π
=
1+
L1
L2
CL1
s
1 + 0,1H
1
0,2H
2π 10 · 10−6 F · 0,1H
194,9Hz
=
=
Lösung zur
Aufgabe 10.7.10
(Schwingkreis)
(A.2.17)
Kapazität
C
1
=
ω12 L1
=
=
1
(2π · 4000Hz)2 · 0,01H
158,3nF
(A.2.18)
Induktivität
L2
=
=
=
GdE2-158
1
ω22 C
− L1
1
− 0,01H
(2π · 3000Hz)2 · 158,3 · 10−9 F
7,78mH
[email protected]ünster.de
(A.2.19)
1. Februar 2017
A. Ergebnisse der Übungsaufgaben
A.3
Übungsaufgaben zu Mehrphasensysteme
A.3. Übungsaufgaben zu Mehrphasensysteme
Lösung zur
Aufgabe 11.10.1
(Drehstrom)
Leiterströme
I1
=
I2
=
I3
=
(231V 6 0◦ )
U 1N
U
= (2,31A6 0◦ )
= 1N =
Z1
R1
100Ω
U 2N
U 2N
(231V 6 − 120◦ )
=
=
= (1,63A6 − 165◦ )
Z2
R2 + jXL
(100Ω + j100Ω)
U 3N
U
(231V 6 120◦ )
= 3N =
(A.3.1)
= (2,31A6 − 150◦ )
Z3
jXC
−j100Ω
Strom im Sternpunktleiterzu
= I1 + I2 + I3
IN
Lösung zur
Aufgabe 11.10.2
(Drehstrom)
=
(2,31A6 0◦ ) + (1,63A6 − 165◦ ) + (2,31A6 − 150◦ )
=
(2,02A6 − 129◦ )
(A.3.2)
Leiterströme
I1
=
=
I2
=
=
(231V 6 0◦ )
U 1N
=
Z1
(373,5Ω6 45,6◦ )
(0,618A6 − 45,6◦ )
U 2N
(231V 6 − 120◦ )
=
Z2
(400,2Ω6 − 53,1◦ )
6
(0,577A − 66,9◦ )
(A.3.3)
Strom im Sternpunktleiter
IN
Lösung zur
Aufgabe 11.10.3
(Drehstrom)
=
(0,618A6 − 45,6◦ ) + (0,577A6 − 66,9◦ )
=
(1,18A6 − 55,8◦ )
(A.3.4)
Leiterströme
I1
=
=
I2
=
=
I3
=
=
1. Februar 2017
= I1 + I2
U 1N − U SN
(231V 6 0◦ ) − (43,77V 6 − 36,6◦ )
=
R1
100Ω
1,98A6 7,59◦
U 2N − U SN
(231V 6 − 120◦ ) − (43,77V 6 − 36,6◦ )
=
R2
125Ω
◦
6
1,84A − 130,9
U 3N − U SN
(231V 6 120◦ ) − (43,77V 6 − 36,6◦ )
=
R3
200Ω
◦
6
1,36A 123,7
[email protected]ünster.de
(A.3.5)
GdE2-159
A.3
Übungsaufgaben zu Mehrphasensysteme
Lösung zur
Aufgabe 11.10.4
(Drehstrom)
Leiterströme
I1
I2
I3
Lösung zur
Aufgabe 11.10.5
(Drehstrom)
A. Ergebnisse der Übungsaufgaben
=
I 12 − I 31 = (2,0A6 30◦ ) − (4,0A6 150◦ )
=
(5,29A6 − 10,9◦ )
=
I 23 − I 12 = (2,67A6 − 90◦ ) − (2,0A6 30◦ )
=
(4,06A6 − 115,3◦ )
=
I 31 − I 23 = (4,0A6 150◦ ) − (2,67A6 − 90◦ )
=
(5,81A6 126,6◦ )
(A.3.6)
Leiterströme
I1
=
=
I2
=
=
−U 31
−(230V 6 150◦ )
U 13
=
=
Z1
Z1
(72,30Ω6 34,9◦ )
◦
6
(3,18A − 64,9 )
(230V 6 − 90◦ )
U 23
=
Z2
(47,61Ω6 43,9◦ )
(4,83A6 − 133,9◦ )
(A.3.7)
Strom im Leiter 3
I3
Lösung zur
Aufgabe 11.10.6
(Drehstrom)
=
−I 1 − I 2
=
−(3,18A6 − 64,9◦ ) − (4,83A6 − 133,9◦ )
=
(6,67A6 72,5◦ )
(A.3.8)
Leiterströme
IN
=
I3
=
U 1N
(231V 6 0◦ )
=
= (3,33A6 − 60◦ )
Z1
(69,3Ω6 60◦ )
U 31
(400V 6 150◦ )
=
= (2,85A6 90◦ )
Z2
(140,35Ω6 60◦ )
(A.3.9)
Strom im Leiter 1
I1
Lösung zur
Aufgabe 11.10.7
(Drehstrom)
GdE2-160
=
IN − I3
=
(3,33A6 − 60◦ )− = (2,85A6 90◦ )
=
(5,97A6 − 73,8◦ )
(A.3.10)
1. Leiterströme
I 1N
=
I 2N
=
I 3N
=
U 1N
(231V 6 0◦ )
=
= (1,0035A6 46,3◦ )
Z
(230,2Ω6 − 46,3◦ )
U 2N
(231V 6 − 120◦ )
=
= (1,0035A6 − 73,7◦ )
Z
(230,2Ω6 − 46,3◦ )
U 3N
(231V 6 120◦ )
=
= (1,0035A6 166,3◦ )
Z
(230,2Ω6 − 46,3◦ )
(A.3.11)
[email protected]ünster.de
1. Februar 2017
A. Ergebnisse der Übungsaufgaben
A.3
Übungsaufgaben zu Mehrphasensysteme
2. Gesamtleistungsfaktor
cos ϕ = cos(−46,3◦ ) = 0,69
Lösung zur
Aufgabe 11.10.8
(Drehstrom)
(A.3.12)
1. Außenleiterströme
= I 12 − I 31
I1
=
(5,70A6 67,6◦ ) − (5,70A6 − 172,4◦ )
=
(9,87A6 37,6◦ )
= I 23 − I 12
I2
=
(5,70A6 − 52,4◦ ) − (5,70A6 67,6◦ )
=
(9,87A6 − 82,4◦ )
= I 31 − I 23
I3
=
(5,70A6 − 172,4◦ )− = (5,70A6 − 52,4◦ )
=
(9,87A6 157,4◦ )
(A.3.13)
2. Gesamtleistungsfaktor
Lösung zur
Aufgabe 11.10.9
(Drehstrom)
Lösung zur
Aufgabe 11.10.10
(Drehstrom)
Kapazität
C=
cos ϕ = cos(−37,63◦ ) = 0,79
(A.3.14)
−1
1
= 36,29µF
=
ωXC
2π · 50Hz · 87,72Ω
(A.3.15)
1. Kapazität
C=
−1
1
= 5,3µF
=
ωXC
2π · 50Hz · 599,5Ω
(A.3.16)
2. Außenleiterströme
Lösung zur
Aufgabe 11.10.11
(Drehstrom)
=
(1,156A6 − 36,8◦ )
I 02
=
(1,156A6 − 156,8◦ )
I 03
=
(1,156A6 83,2◦ )
(A.3.17)
Außenleiterströme
I1 =
I 01
= (3,06A6 − 45◦ )
I 2 = I 02 + I 002
= (5,63A6 − 121,7◦ )
I 3 = I 03 + I 003
= (5,93A6 101,8◦ )
IN =
1. Februar 2017
I 01
I 00N
= (2,31A6 − 150◦ )
[email protected]ünster.de
(A.3.18)
GdE2-161
A.3
Übungsaufgaben zu Mehrphasensysteme
Lösung zur
Aufgabe 11.10.12
(Drehstrom)
GdE2-162
A. Ergebnisse der Übungsaufgaben
Spannung
U AB
= U XC1 − U XC2
=
(115,6V 6 − 60◦ ) − (200,1V 6 90◦ )
=
(305,7V 6 − 79,1◦ )
[email protected]ünster.de
(A.3.19)
1. Februar 2017
A. Ergebnisse der Übungsaufgaben
A.4
Übungsaufgaben zur Fourierreihe
A.4. Übungsaufgaben zur Fourierreihe
Lösung zur
Aufgabe 12.10.1
(Fourierreihe)
Fourierreihe
n
u(t)
=
=
Lösung zur
Aufgabe 12.10.2
(Fourierreihe)
4û X sin( νπ
2 )
· cos νω1 t
π ν=1
ν
4û
1
1
cos ω1 t − cos 3ω1 t + cos 5ω1 t − . . .
π
3
5
(A.4.1)
Fourierreihe
i(t) = −
n
2î X cos(νπ)
· sin νω1 t
π ν=1
ν
(A.4.2)
Die Fourierreihe i(t) ist für n = 4 dargestellt.
2
i_d(t)
i_s(t)
i_1(t)
i_2(t)
i_3(t)
i_4(t)
1.5
1
I/A
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
-10
Lösung zur
Aufgabe 12.10.3
(Fourierreihe)
-5
0
t/ms
5
10
Fourierreihe
i(t) =
1
1
2î 4î
−
·
cos(2ω1 t) +
cos(4ω1 t) + . . .
π
π
1·3
3·5
(A.4.3)
Die Fourierreihe i(t) ist für n = 3 dargestellt.
1. Februar 2017
[email protected]ünster.de
GdE2-163
A.4
Übungsaufgaben zur Fourierreihe
A. Ergebnisse der Übungsaufgaben
2.5
i_d(t)
i_s(t)
i_0
i_2(t)
i_4(t)
i_6(t)
2
1.5
I/A
1
0.5
0
-0.5
-1
0
2
4
6
8
10
t/ms
Lösung zur
Aufgabe 12.10.4
(Fourierreihe)
1. Fourierkoeffizienten
bν
2î
2νπ
· cos(
)−1
νπ
3
=
(A.4.4)
Effektivwerte
I1
=
6,75A
I2
=
3,38A
I3
I4
=
=
0A
1,69A
I5
=
1,35A
I6
=
0A
2. Effektivwert der Gesamtschwingung
v
u 6
uX
Ii2 = 7,85A
I=t
(A.4.5)
(A.4.6)
i=1
3. Den Klirrfaktor k des Stromes
qP
k=
6
2
i=2 Ii
I
=
4,01A
= 0,51
7,85A
(A.4.7)
4. Der Grundschwingungsgehalt
g=
GdE2-164
I1
6,75A
=
= 0,86
I
7m85A
[email protected]ünster.de
(A.4.8)
1. Februar 2017
A. Ergebnisse der Übungsaufgaben
Lösung zur
Aufgabe 12.10.5
(Fourierreihe)
A.4
Übungsaufgaben zur Fourierreihe
1. Gleichanteil
Ue0 = a0
1
T
=
ZT
ûe
ûe
·t= 2
T
T
2 T
ûe t
T2 2
=
t dt
0
0
ZT
=
0
1
ûe = 50V
2
(A.4.9)
Fourierkoeffizienten
bν
= −
ûe
νπ
(A.4.10)
Effektivwerte
ûe
= −31,8V
1π
ûe
b2 = −
= −15,9V
2π
ûe
b3 = −
= −10,6V
3π
b1 = −
⇒
Ue1 = 22,5V
⇒
Ue2 = 11,3V
⇒
Ue3 = 7,5V
(A.4.11)
2. Gleichspannungsanteil
Ua0 = Ue0 = 50V
(A.4.12)
Effektivwerte
= (15,9V 6 − 45◦ )
U a1 =
22,5V · (0,7076 − 45◦ )
U a2 =
11,3V · (0,4476 − 63,4◦ )
= (5,05V 6 − 63,4◦ )
U a3 =
7,5V · (0,3166 − 71,5◦ )
= (2,37V 6 − 71,5◦ )
(A.4.13)
3. Effektivwerte der Eingangsspannung
v
u 3
uX
Ue = t
Ue2i = 56,5V
(A.4.14)
i=0
und der Ausgangsspannung zu
v
u 3
uX
Ua = t
Ua2i = 52,7V
(A.4.15)
i=0
Lösung zur
Aufgabe 12.10.6
(Fourierreihe)
Fourierkoeffizienten
bν
=
2î
[1 − cos(νπ)]
νπ
(A.4.16)
Wirkleistung
P = U I1 cos ϕ1 = 70,7V · 0,9A = 63,6W
1. Februar 2017
[email protected]ünster.de
(A.4.17)
GdE2-165
A.4
Übungsaufgaben zur Fourierreihe
A. Ergebnisse der Übungsaufgaben
Scheinleistung
S = U I = 70,7V · 1A = 70,7V A
(A.4.18)
Verzerrungsblindleistung
D
GdE2-166
p
=
S2 − P 2
p
=
(70,7V A)2 − (63,6W )2 = 30,8V ar
[email protected]ünster.de
(A.4.19)
1. Februar 2017
A. Ergebnisse der Übungsaufgaben
A.5
Übungsaufgaben zum Schalten
A.5. Übungsaufgaben zum Schalten
A.5.1. Übungsaufgaben Exponentialansatz
Lösung zur
Aufgabe 13.11.1
(Schalten)
1. Zeitlicher Verlauf des in der Spule fließenden Stromes
i(t)
= ie + if0 · e−t/τ
=
2A − 2A · e−t/5ms
=
2A · (1 − e−t/5ms )
(A.5.1)
2.
= −5ms · ln 0,5
t50
=
3,47ms
(A.5.2)
3. Zeitliche Verlauf der an der Spule liegenden Spannung
uL
Lösung zur
Aufgabe 13.11.2
(Schalten)
di
dt
=
L·
=
0,1H ·
=
40V · e−t/5ms
2A
· ·e−t/5ms
0,005s
(A.5.3)
Zeitlicher Verlauf der an der Spule liegenden Spannung
= −R2 · i(t)
uL (t)
= −60Ω · 0,2A · e−t/10µs
= −12V · e−t/10µs
Lösung zur
Aufgabe 13.11.3
(Schalten)
(A.5.4)
Gesuchter Strom
= ie + if0 · e−t/τ
i(t)
=
0,75A − 0,25A · e−t/2,5ms
=
0,5A + 0,25A · (1 − e−t/2,5ms )
(A.5.5)
dargestellt in folgender Grafik
0.9
ia
ie
i(t)
0.8
I/A
0.7
0.6
0.5
0.4
-2
0
2
4
6
8
10
12
t/ms
1. Februar 2017
[email protected]ünster.de
GdE2-167
A.5
Übungsaufgaben zum Schalten
Lösung zur
Aufgabe 13.11.4
(Schalten)
A. Ergebnisse der Übungsaufgaben
1. Gesuchte Spannung
= ue + uf0 · e−t/τ
uC (t)
=
100V − 180V · e−t/1ms
= −80V + 180V · (1 − e−t/1ms )
(A.5.6)
2. Zeitlicher Verlauf des Ladestromes
i
U − uC
R1
100V − [100V − 180V · e−t/1ms ]
1kΩ
0,180A · e−t/1ms
=
=
=
(A.5.7)
Spannungs- und Stromverlauf sind in folgender Grafik dargestellt
50
U/V
0.2
0.15
0.1
0.05
0
-0.05
-0.1
-0.15
-0.2
ua
ue
u(t)
i(t)
100
0
-50
-100
-1
0
1
2
3
4
I/A
Spannungs- und Stromverlauf
5
t/ms
Lösung zur
Aufgabe 13.11.5
(Schalten)
1. Gesuchte Spannung
uC (t)
= ue + uf0 · e−t/τ
=
80V − 80V · e−t/4ms
=
80V · (1 − e−t/4ms )
(A.5.8)
2. Zeitlicher Verlauf des Ladestromes
i
=
=
=
GdE2-168
Uq − uC
Ri
80V − [80V − 80V · e−t/4ms ]
4kΩ
−t/4ms
20mA · e
[email protected]ünster.de
(A.5.9)
1. Februar 2017
A. Ergebnisse der Übungsaufgaben
A.5
Übungsaufgaben zum Schalten
3. Zeit t99
t99
= −4ms · ln 0,01
=
Lösung zur
Aufgabe 13.11.6
(Schalten)
Lösung zur
Aufgabe 13.11.7
(Schalten)
18,42ms
(A.5.10)
Gesuchte Spannung
uC (t)
= ue + uf0 · e−t/τ
=
80V + 20V · e−t/4ms
=
100V − 20V · (1 − e−t/4ms )
(A.5.11)
1. Ohne Widerstand oder Kondensator
uL (t) = L
di
=L·∞
dt
(A.5.12)
2. Mit dem Widerstand
R2 =
uLmax
500V
=
= 250Ω
i(t = 0+ )
2A
(A.5.13)
C=
1H
L
=
= 16,0µF
XC2
(250Ω)2
(A.5.14)
3. Mit dem Kondensator
Lösung zur
Aufgabe 13.11.8
(Schalten)
1. Schalter im positiven Spannungsmaximum geschlossen
i(t) = ie (t) + if (t) =
û
sin(ωt)
XL
(A.5.15)
2. Schalter im positiven Spannungs-Nulldurchgang geschlossen
i(t) = ie (t) + if (t) = îe [1 + sin(ωt − 90◦ )]
(A.5.16)
3. Die ermittelten Funktionen i = f (t) sind grafisch dargestellt. Der Schaltaugenblick entspricht dem Zeitpunkt t = 0. Die Amplituden sind auf die Scheitelwerte
normiert.
Spannungs-Maxima
2
ie(t)
u(t)
i(t)
1
0.5
0
-0.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1
0
5
10
15
20 25
t/ms
30
35
40
Spannungs-Maxima
1. Februar 2017
ie(t)
iff
u(t)
i(t)
1.5
i/A bzw. u/V
1.5
i/A bzw. u/V
Spannungs-Nulldurchgang
2
[email protected]ünster.de
0
5
10
15
20 25
t/ms
30
35
40
Spannungs-Nulldurchgang
GdE2-169
A.5
Übungsaufgaben zum Schalten
Lösung zur
Aufgabe 13.11.9
(Schalten)
A. Ergebnisse der Übungsaufgaben
1. Zeitlicher Verlauf des Stromes
i(t)
= ie (t) + if (t)
=
0,6A · sin(ωt + 11,9◦ ) − 0,12A · e−t/0,25ms
(A.5.17)
mit dem Schaltzeitpunkt t = 0 und der Spannung
u(t) = û sin(ωt + 50◦ )
(A.5.18)
2. Nach dem Schließen des Schalters kein Ausgleichsstrom
ϕ0u = 38,1◦
(A.5.19)
3. Die graphische Darstellung der Ergebnisse ist
Schalten mit Ausgleichsstrom
1.2
ie(t)
iff(t)
u(t)
i(t)
1
0.8
0.6
0.8
0.4
0.2
0.6
0.4
0.2
0
0
-0.2
-0.2
0
0.2
0.4
t/ms
0.6
0.8
ϕu = 50◦
Lösung zur
Aufgabe 13.11.10
(Schalten)
ie(t)
iff(t)
u(t)
i(t)
1
i/A
i/A
Schalten ohne Ausgleichsstrom
1.2
0
0.2
0.4
t/ms
0.6
0.8
ϕu = 38,1◦
Zeitlicher Verlauf der Kondensatorspannungzu
u(t)
= ue (t) + uf (t)
=
69,64V · sin(ωt + 15,9◦ ) + 41,39V · e−t/90µs
(A.5.20)
mit dem Schaltzeitpunkt t = 0 und der Spannung
u(t) = û sin(ωt + 45◦ )
(A.5.21)
Die graphische Darstellung der Ergebnisse ist
GdE2-170
[email protected]ünster.de
1. Februar 2017
A. Ergebnisse der Übungsaufgaben
A.5
Übungsaufgaben zum Schalten
Kondensator mit Amfangsspannung
ue(t)
uff(t)
u(t)
80
60
40
u/V
20
0
-20
-40
-60
-80
0
0.2
0.4
t/ms
0.6
0.8
1
A.5.2. Übungsaufgaben Laplace-Transformation
Lösung zur
Aufgabe 13.11.11
(Schalten)
Gesuchte Zeitfunktion
iC (t)
h
i
250V
−t/1,69ms
−t/0,71ms
·
e
−
e
2 · 408s−1 · 0,3H
h
i
1,02A · e−t/1,69ms − e−t/0,71ms
=
=
(A.5.22)
Das Ergebnis ist grafisch dargestellt, wobei der Schaltzeitpunkt dem Zeitpunkt t = 0
entspricht.
i1(t)
i2(t)
i(t)
1
i/V
0.5
0
-0.5
-1
0
Lösung zur
Aufgabe 13.11.12
(Schalten)
1
2
3
4
t/ms
5
6
7
8
Gesuchte Zeitfunktion
uC (t)
=
200,16V − 100,16V e−t/4ms · sin(4,465ms−1 · t + 86,79◦ )
|
{z
}
cos(4,465ms−1 ·t−3,21◦ )
(A.5.23)
1. Februar 2017
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GdE2-171
A.5
Übungsaufgaben zum Schalten
A. Ergebnisse der Übungsaufgaben
Das Ergebnis ist grafisch dargestellt, wobei der Schaltzeitpunkt dem Zeitpunkt t = 0
entspricht.
300
u(t)
250
u/V
200
150
100
50
0
0
Lösung zur
Aufgabe 13.11.13
(Schalten)
2
4
6
t/ms
8
10
12
1. Gesuchter Widerstand
R2
4L2
R2
R
1
LC
4L2
=
LC
r
L
= 2
C
s
=
=
0,01H
0 = 632,5Ω
0,1 · 10−6 F
2
(A.5.24)
2. Zeitlicher Verlauf der Kondensatorspannung
uC (t)
=
U·
1 4L2
· 2 ·[1 + (−δt − 1)e−δt ]
LC
| {z R }
=1
=
120V · [1 − (31,625ms · t + 1)e−t/31,6µs ]
(A.5.25)
Das Ergebnis ist grafisch dargestellt, wobei der Schaltzeitpunkt dem Zeitpunkt
t = 0 entspricht.
GdE2-172
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1. Februar 2017
A. Ergebnisse der Übungsaufgaben
A.5
Übungsaufgaben zum Schalten
u(t)
120
100
u/V
80
60
40
20
0
0
Lösung zur
Aufgabe 13.11.14
(Schalten)
0.05
0.1
0.15
t/ms
0.2
0.25
0.3
Stationärer (eingeschwungenen) Anteil
ue (t)
=
322,5V · cos(3,14ms−1 · t − 3,63◦ )
(A.5.26)
Transienter (flüchtigen) Anteil
uf (t)
=
−340,00V · e−t/1ms cos(3ms−1 · t − 18,78◦ )
(A.5.27)
Das Ergebnis
uC (t) = ue (t) + uf (t)
(A.5.28)
ist grafisch dargestellt, wobei der Schaltzeitpunkt dem Zeitpunkt t = 0 entspricht.
ue(t)
uf(t)
u(t)
400
u/V
200
0
-200
-400
0
1. Februar 2017
5
10
t/ms
[email protected]ünster.de
15
20
GdE2-173