3. Schriftliche Wiederholung aus Physik Donnerstag, 27. Februar 1997

2. Schularbeit aus Mathematik und angewandter Mathematik
5 bk – gruber
Freitag, 21. März 2014
Gruppe A
ACHTUNG:
Fehlerhafte und unübliche Notationen sind bewertungsrelevant und führen zu Punkteabzügen.
Beantworten Sie Anwendungsbeispiele in ganzen Sätzen.
Dokumentieren Sie Lösungswege (Ansätze, Nebenrechnungen, Überlegungen)
Beispiel 1:
a)
Die Kostenfunktion eines Produkts ist S-förmig und weist folgende Werte auf:
x
K
Menge in ME
Kosten in GE
2
40
5
61
7
70
8
80
10
120
Berechnen Sie mit dem geeigneten Modell eine möglichst gut passende Kostenfunktion für diese Daten.
EXCEL: Polynomische Regression 3. Grades: K(x) = 0,36x3 – 5,46 x2 + 31,44 x – 3,76
b)
Die Nachfragefunktion nach einem Produkt ist linear mit der Sättigungsmenge 60 ME.
Bei einem Preis von 18 000 GE/ME können 24 ME verkauft werden.
Berechnen Sie die Gleichung der Nachfragefunktion p(x).
p(24) = 18 000 und p(60) = 0
p(x) = 30 000 – 500x
c)
 18 000 = 24 a + b und 0 = 60 a + b  a = – 500 und b = 30 000 daher
Die Kostenfunktion eines Produktes ist K(x) = 4x3 – 240x2 + 10 000 x + 100 000.
Die Nachfragefunktion für dieses Produkt ist p(x) = 20 000 – 200x. x ist dabei die Menge in ME, K die Kosten
in GE und p der Preis in GE/ME.
Berechnen Sie die Gewinngrenzen und den Preis, bei dem der Gewinn maximal wird.
G(x) = –4 (x3 – 10x2 – 2 500x + 25 000) = 0  x1 = 10 und x2 = 50
Error! = –4 (3x2 – 20x – 2 500) = 0  x1 = 32,4 als relevante Lösung p(32,4) = 13 521 GE/ME
Gewinn tritt zwischen den Mengen 10 ME und 50 ME auf, der maximale Gewinn ist bei einem
Verkaufspreis von 13 521 GE/ME zu erzielen.
d)
Die angebotene Menge hängt vom erzielbaren Preis mit
s(x) = ax2 + bx
ab:
x … Menge in ME, s … Preis in GE/ME
Berechnen Sie aus den Daten:
x
Nachfrage in ME
5
7
s(x)
Preis in GE/ME
90
120
9
170
durch Regression eine möglichst gut passende Nachfragefunktion.
Berechnen Sie anschließend die angebotene Menge bei einem Preis von 212,98 GE/ME.
s(x) = 0,356x2 + 15,44x
212,98 = s(x)  x = 11
Bei einem Preis von 212,98 GE/ME werden 11 ME angeboten.
A
Beispiel 2:
a)
Die Flugkurve eines geworfenen Gegenstandes weist folgende Werte auf:
Waagrechte Entfernung x zum Startpunkt in m
Höhe h über dem Startpunkt in m
5
5
10
7
15
2
Der Startpunkt hat die Koordinaten S (0 m / 0 m)
Eine Flugkurve ist bei Nichtbeachtung des Luftwiderstandes eine Parabel (d.h. der Graph einer quadratischen
Funktion)
Berechnen Sie die Gleichung dieser Flugkurve mittels Regression.
Ansatz: y = ax2 + bx weil S(0/0) ist.
b)
y = –0,098 x2 + 1,6x
Die Trefferanzahl eines Basketballspielers ist in einer Spielsaison ist normalverteilt mit 250 bei einer
Standardabweichung von 20.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass er mehr als 280 mal trifft.
Berechnen Sie die Trefferanzahl, die mit einer Wahrscheinlichkeit von 90 % nicht unterboten wird.
W(x ≥ 280) = 1 – normal(280; 250; 20) = 0,067
0,9 = 1 – normal(x,250,20) = 224,4
Mit einer Wahrscheinlichkeit von 6,7 % trifft er häufiger als 280 mal, mit 90 % - iger Wahrscheinlichkeit
mehr als 224 mal.
c)
Ein Basketballspieler soll einen Vertrag bekommen. Es wird eine Testreihe vereinbart. Der Test gilt als
bestanden, wenn der Spieler bei 30 Versuchen wenigstens 20 mal trifft.
Berechnen Sie das Spielerrisiko (Produzentenrisiko) bei einer Treffsicherheit von 70 %.
W(Ablehnung) = 1 –  Error!
d)
= 0,655 für p = 0,7
Ein Wert ist normalverteilt mit dem
Mittelwert 10 und der
Standardabweichung 2. Begründen Sie
ohne Rechnung, warum die
Wahrscheinlichkeiten W(x ≤ 7) und W(x
≥ 13) gleich groß sein müssen. Benützen
Sie für Ihre Argumentation die
beiliegende Skizze der
Normalverteilungsdichte. Schraffieren
Sie die Flächen, die ein Maß für die
verlangten Wahrscheinlichkeiten sind.
Die Dichtefunktion ist symmetrisch
bezüglich ihrem Mittelwert.
Die Werte 7 und 13 weichen jeweils
gleich weit vom Mittelwert 10 ab.
Daher müssen auch die Flächen
unterhalb von 7 und oberhalb von 13
gleich groß sein. Diese Flächen sind
aber ein Maß für die
Wahrscheinlichkeiten.
Das Spielerrisiko beträgt 65,5 %
A
Beispiel 3:
a)
Ein Gewässer wird durch einen Störfall in einer Anlage ab dem Zeitpunkt t = 0 verschmutzt. Die eingetragene
Schadstoffmenge S(t) ( t in Stunden – h, S in Mengeneinheiten pro Stunden – ME/h) wird exponentiell
ausgedünnt und die Werte betragen:
t
S
in Stunden
in ME/h
0
30
2
20
4
15
Die Anlage verschmutzt leider das Gewässer auch ohne Störfall mit einem Grundpegel von 5 ME/h.
Berechnen Sie die Gleichung der Verschmutzung aus den obigen Zahlen durch exponentielle Regression.
S(t) = 24,565 e–0,229t + 5
b)
Die Verschmutzungsleistung S(t) für das Gewässer nach dem Störfall betrage: S(t) = 25 e –0,2 t + 5.
t in Stunden, S(t) in ME/h.
Berechnen Sie den Wert, gegen den S(t) konvergiert. Berechnen Sie weiters die Halbwertszeit der
außergewöhnlichen Verschmutzungsleistung (also der Verschmutzung über dem Grundpegel).
lim;
c)
t→∞
S(t) = 5
0,5 = e–0,2 τ  τ = 3,5 Stunden
Die Verschmutzungsleistung S(t) für das Gewässer nach dem Störfall betrage: S(t) = 25 e –0,2 t + 5.
t in Stunden, S(t) in ME/h.
Berechnen Sie die Gleichung für die eingetragene Gesamtverschmutzung G(t) nach dem Störfall (d.h. mit G(0) =
0). t in Stunden (h), G in Mengeneinheiten (ME).
G(t) = Error! = C – 125 e–0,2t + 5t
G(t) = 125 – 125 e–0,2t + 5t
d)
mit G(0) = 0 = C – 125  C = 125
Die Gleichung für die gesamte eingetragene Schadstoffmengen für das Gewässer sei G(t) = 10t + 100( 1 – e–0,2t)
Berechnen Sie die eingetragenen Schadstoffmenge nach 2 Stunden.
Berechnen Sie die Differenz zwischen G(t) und der mit dem Grundpegel 10 ME/h eingebrachten
Schadstoffmengen nach sehr langer Zeit.
G(2) = 52,97 ME
lim;
t→∞
( G(t) – 10t) = 100
A
Beispiel 4:
a)
Ein Straßenverlauf zwischen den markierten
Punkten (0/0) und (10/1) verläuft wie in der
Grafik rechts. Der Graph lässt sich durch
eine Gleichung der Form y = ax3 + bx2
beschreiben. Die folgenden Punkte werden
vom Straßenverlauf durchlaufen: (2 / 0,3)
(5 / 1) (10 / 1)
Alle Einheiten in Kilometer (km).
Berechnen Sie mit Hilfe der Methode der
kleinsten Quadrate eine möglichst gut
passende Gleichung der angegebenen Form.
y = 0,071x2 – 0,006x3
b)
Berechnen Sie für y = 0,08x2 – 0,007x3 die Nullstellen, Extremwerte und Wendepunkte samt
Tangentensteigungen.
y′ = 0,16x – 0,021x2 y″ = 0,16 – 0,042x
W (3,8 / 0,77); 0,3 E1 = N1,2 (0 / 0); 0 E2 (7,62 / 1,55);0
c)
Der momentane Verkehrsfluss V ( in Fahrzeugen pro Stunde) verhält sich an einem Tag wie V(t) = 30t (24 – t).
Dabei bedeutet t die Uhrzeit.
Berechnen Sie die Gesamtzahl der die Straße benützenden Fahrzeuge an diesem Tag (von 0 bis 24 Uhr).
G = Error! = 360t2 – 10t3
d)
N3 (11,43 / 0); –0,91
G(24) = 69 120 Fahrzeuge
Ein Prozess läuft nach der Formel p(x) = Error!, wobei k ein stoffabhängiger Parameter ist. Berechnen Sie k
mit Hilfe der Methode der kleinsten Quadrate aus folgenden gemessenen Daten:
x
p
2
15
p(x) = 0,09965 x3
4
33
6
60
0,09965 = Error!  k = 3,344
2. Schularbeit aus Mathematik und angewandter Mathematik
5 bk – gruber
Freitag, 21. März 2014
Gruppe B
ACHTUNG:
Fehlerhafte und unübliche Notationen sind bewertungsrelevant und führen zu Punkteabzügen.
Beantworten Sie Anwendungsbeispiele in ganzen Sätzen.
Dokumentieren Sie Lösungswege (Ansätze, Nebenrechnungen, Überlegungen)
Beispiel 1:
a)
Die Kostenfunktion eines Produkts ist S-förmig und weist folgende Werte auf:
x
K
Menge in ME
Kosten in GE
2
400
5
610
7
700
8
800
10
1.200
Berechnen Sie mit dem geeigneten Modell eine möglichst gut passende Kostenfunktion für diese Daten.
EXCEL: Polynomische Regression 3. Grades: K(x) = 3,6x3 – 54,6 x2 + 314,4 x – 37,6
b)
Die Nachfragefunktion nach einem Produkt ist linear mit der Sättigungsmenge 60 ME.
Bei einem Preis von 36 000 GE/ME können 24 ME verkauft werden.
Berechnen Sie die Gleichung der Nachfragefunktion p(x).
p(24) = 18 000 und p(60) = 0
daher p(x) =60 000 – 1 000
c)
 36 000 = 24 a + b und 0 = 60 a + b  a = – 1 000 und b = 60 000
Die Kostenfunktion eines Produktes ist K(x) = 4x3 – 240x2 + 10 000 x + 100 000.
Die Nachfragefunktion für dieses Produkt ist p(x) = 20 000 – 200x. x ist dabei die Menge in ME, K die Kosten
in GE und p der Preis in GE/ME.
Berechnen Sie die Gewinngrenzen und den Preis, bei dem der Gewinn maximal wird.
G(x) = –4 (x3 – 10x2 – 2 500x + 25 000) = 0  x1 = 10 und x2 = 50
Error! = –4 (3x2 – 20x – 2 500) = 0  x1 = 32,4 als relevante Lösung p(32,4) = 13 521 GE/ME
Gewinn tritt zwischen den Mengen 10 ME und 50 ME auf, der maximale Gewinn ist bei einem
Verkaufspreis von 13 521 GE/ME zu erzielen.
d)
Die angebotene Menge hängt vom erzielbaren Preis mit
s(x) = ax2 + bx
ab:
x … Menge in ME, s … Preis in GE/ME
Berechnen Sie aus den Daten:
x
Nachfrage in ME
5
7
s(x)
Preis in GE/ME
900
1.200
9
1.700
durch Regression eine möglichst gut passende Nachfragefunktion.
Berechnen Sie anschließend die angebotene Menge bei einem Preis von 2129,8 GE/ME.
s(x) = 3,56x2 + 154,4x
2129,8 = s(x)  x = 11
Bei einem Preis von 212,98 GE/ME werden 11 ME angeboten.
B
Beispiel 2:
a)
Die Flugkurve eines geworfenen Gegenstandes weist folgende Werte auf:
Waagrechte Entfernung x zum Startpunkt in m
Höhe h über dem Startpunkt in m
5
10
10
14
15
4
Der Startpunkt hat die Koordinaten S (0 m / 0 m)
Eine Flugkurve ist bei Nichtbeachtung des Luftwiderstandes eine Parabel (d.h. der Graph einer quadratischen
Funktion)
Berechnen Sie die Gleichung dieser Flugkurve mittels Regression.
Ansatz: y = ax2 + bx weil S(0/0) ist.
b)
y = –0,196 x2 + 3.2x
Die Trefferanzahl eines Basketballspielers ist in einer Spielsaison ist normalverteilt mit 250 bei einer
Standardabweichung von 20.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass er mehr als 280 mal trifft.
Berechnen Sie die Trefferanzahl, die mit einer Wahrscheinlichkeit von 90 % nicht unterboten wird.
W(x ≥ 280) = 1 – normal(280; 250; 20) = 0,067
0,9 = 1 – normal(x,250,20) = 224,4
Mit einer Wahrscheinlichkeit von 6,7 % trifft er häufiger als 280 mal, mit 90 % - iger Wahrscheinlichkeit
mehr als 224 mal.
c)
Ein Basketballspieler soll einen Vertrag bekommen. Es wird eine Testreihe vereinbart. Der Test gilt als
bestanden, wenn der Spieler bei 30 Versuchen wenigstens 20 mal trifft.
Berechnen Sie das Spielerrisiko (Produzentenrisiko) bei einer Treffsicherheit von 70 %.
W(Ablehnung) = 1 –  Error!
d)
= 0,655 für p = 0,7
Ein Wert ist normalverteilt mit dem
Mittelwert 10 und der
Standardabweichung 2. Begründen Sie
ohne Rechnung, warum die
Wahrscheinlichkeiten W(x ≤ 7) und W(x
≥ 13) gleich groß sein müssen. Benützen
Sie für Ihre Argumentation die
beiliegende Skizze der
Normalverteilungsdichte. Schraffieren
Sie die Flächen, die ein Maß für die
verlangten Wahrscheinlichkeiten sind.
Die Dichtefunktion ist symmetrisch
bezüglich ihrem Mittelwert.
Die Werte 7 und 13 weichen jeweils
gleich weit vom Mittelwert 10 ab.
Daher müssen auch die Flächen
unterhalb von 7 und oberhalb von 13
gleich groß sein. Diese Flächen sind
aber ein Maß für die
Wahrscheinlichkeiten.
Das Spielerrisiko beträgt 65,5 %
B
Beispiel 3:
a)
Ein Gewässer wird durch einen Störfall in einer Anlage ab dem Zeitpunkt t = 0 verschmutzt. Die eingetragene
Schadstoffmenge S(t) ( t in Stunden – h, S in Mengeneinheiten pro Stunden – ME/h) wird exponentiell
ausgedünnt und die Werte betragen:
t
S
in Stunden
in ME/h
0
30
2
20
4
15
Die Anlage verschmutzt leider das Gewässer auch ohne Störfall mit einem Grundpegel von 5 ME/h.
Berechnen Sie die Gleichung der Verschmutzung aus den obigen Zahlen durch exponentielle Regression.
S(t) = 24,565 e–0,229t + 5
b)
Die Verschmutzungsleistung S(t) für das Gewässer nach dem Störfall betrage: S(t) = 25 e –0,2 t + 5.
t in Stunden, S(t) in ME/h.
Berechnen Sie den Wert, gegen den S(t) konvergiert. Berechnen Sie weiters die Halbwertszeit der
außergewöhnlichen Verschmutzungsleistung (also der Verschmutzung über dem Grundpegel).
lim;
c)
t→∞
S(t) = 5
0,5 = e–0,2 τ  τ = 3,5 Stunden
Die Verschmutzungsleistung S(t) für das Gewässer nach dem Störfall betrage: S(t) = 25 e –0,2 t + 5.
t in Stunden, S(t) in ME/h.
Berechnen Sie die Gleichung für die eingetragene Gesamtverschmutzung G(t) nach dem Störfall (d.h. mit G(0) =
0). t in Stunden (h), G in Mengeneinheiten (ME).
G(t) = Error! = C – 125 e–0,2t + 5t
G(t) = 125 – 125 e–0,2t + 5t
d)
mit G(0) = 0 = C – 125  C = 125
Die Gleichung für die gesamte eingetragene Schadstoffmengen für das Gewässer sei G(t) = 10t + 100( 1 – e–0,2t)
Berechnen Sie die eingetragenen Schadstoffmenge nach 2 Stunden.
Berechnen Sie die Differenz zwischen G(t) und der mit dem Grundpegel 10 ME/h eingebrachten
Schadstoffmengen nach sehr langer Zeit.
G(2) = 52,97 ME
lim;
t→∞
( G(t) – 10t) = 100
B
Beispiel 4:
a)
Ein Straßenverlauf zwischen den markierten
Punkten (0/0) und (10/1) verläuft wie in der
Grafik rechts. Der Graph lässt sich durch
eine Gleichung der Form y = ax3 + bx2
beschreiben. Die folgenden Punkte werden
vom Straßenverlauf durchlaufen: (2 / 0,3)
(5 / 1) (10 / 1)
Alle Einheiten in Kilometer (km).
Berechnen Sie mit Hilfe der Methode der
kleinsten Quadrate eine möglichst gut
passende Gleichung der angegebenen Form.
y = 0,071x2 – 0,006x3
b)
Berechnen Sie für y = 0,8x2 – 0,07x3 die Nullstellen, Extremwerte und Wendepunkte samt Tangentensteigungen.
y′ = 1,6x – 0,21x2 y″ = 1,6 – 0,42x
W (3,8 / 7,7); 3 E1 = N1,2 (0 / 0); 0 E2 (7,62 / 15,5);0
c)
Der momentane Verkehrsfluss V ( in Fahrzeugen pro Stunde) verhält sich an einem Tag wie V(t) = 10t (24 – t).
Dabei bedeutet t die Uhrzeit.
Berechnen Sie die Gesamtzahl der die Straße benützenden Fahrzeuge an diesem Tag (von 0 bis 24 Uhr).
G = Error! = 120t2 – 3,33t3
d)
N3 (11,43 / 0); –9,1
G(24) = 23 040 Fahrzeuge
Ein Prozess läuft nach der Formel p(x) = Error!, wobei k ein stoffabhängiger Parameter ist. Berechnen Sie k
mit Hilfe der Methode der kleinsten Quadrate aus folgenden gemessenen Daten:
x
p
2
5
p(x) = 0,047 x3
4
11
6
20
0,047 = Error!  k = 7,09
2. Schularbeit aus Mathematik und angewandter Mathematik
5 bk – gruber
Freitag, 21. März 2014
Gruppe A
ACHTUNG:
Fehlerhafte und unübliche Notationen sind bewertungsrelevant und führen zu Punkteabzügen.
Beantworten Sie Anwendungsbeispiele in ganzen Sätzen.
Dokumentieren Sie Lösungswege (Ansätze, Nebenrechnungen, Überlegungen)
Beispiel 1:
a)
Die Kostenfunktion eines Produkts ist S-förmig und weist folgende Werte auf:
x
K
Menge in ME
Kosten in GE
2
40
5
61
7
70
8
80
10
120
Berechnen Sie mit dem geeigneten Modell eine möglichst gut passende Kostenfunktion für diese Daten.
b)
Die Nachfragefunktion nach einem Produkt ist linear mit der Sättigungsmenge 60 ME.
Bei einem Preis von 18 000 GE/ME können 24 ME verkauft werden.
Berechnen Sie die Gleichung der Nachfragefunktion p(x).
c)
Die Kostenfunktion eines Produktes ist K(x) = 4x3 – 240x2 + 10 000 x + 100 000.
Die Nachfragefunktion für dieses Produkt ist p(x) = 20 000 – 200x. x ist dabei die Menge in ME, K die Kosten
in GE und p der Preis in GE/ME.
Berechnen Sie die Gewinngrenzen und den Preis, bei dem der Gewinn maximal wird.
d)
Die angebotene Menge hängt vom erzielbaren Preis mit
s(x) = ax2 + bx
ab:
x … Menge in ME, s … Preis in GE/ME
Berechnen Sie aus den Daten:
x
s(x)
Nachfrage in ME
Preis in GE/ME
5
90
7
120
9
170
durch Regression eine möglichst gut passende Nachfragefunktion.
Berechnen Sie anschließend die angebotene Menge bei einem Preis von 212,98 GE/ME.
A
Beispiel 2:
a)
Die Flugkurve eines geworfenen Gegenstandes weist folgende Werte auf:
Waagrechte Entfernung x zum Startpunkt in m
Höhe h über dem Startpunkt in m
5
5
10
7
15
2
Der Startpunkt hat die Koordinaten S (0 m / 0 m)
Eine Flugkurve ist bei Nichtbeachtung des Luftwiderstandes eine Parabel (d.h. der Graph einer quadratischen
Funktion)
Berechnen Sie die Gleichung dieser Flugkurve mittels Regression.
b)
Die Trefferanzahl eines Basketballspielers ist in einer Spielsaison ist normalverteilt mit 250 bei einer
Standardabweichung von 20.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass er mehr als 280 mal trifft.
Berechnen Sie die Trefferanzahl, die mit einer Wahrscheinlichkeit von 90 % nicht unterboten wird.
c)
Ein Basketballspieler soll einen Vertrag bekommen. Es wird eine Testreihe vereinbart. Der Test gilt als
bestanden, wenn der Spieler bei 30 Versuchen wenigstens 20 mal trifft.
Berechnen Sie das Spielerrisiko (Produzentenrisiko) bei einer Treffsicherheit von 70 %.
d)
Ein Wert ist normalverteilt mit dem Mittelwert 10 und der Standardabweichung 2. Begründen Sie ohne
Rechnung, warum die Wahrscheinlichkeiten W(x ≤ 7) und W(x ≥ 13) gleich groß sein müssen. Benützen Sie für
Ihre Argumentation die beiliegende Skizze der Normalverteilungsdichte. Schraffieren Sie die Flächen, die ein
Maß für die verlangten Wahrscheinlichkeiten sind.
A
Beispiel 3:
a)
Ein Gewässer wird durch einen Störfall in einer Anlage ab dem Zeitpunkt t = 0 verschmutzt. Die eingetragene
Schadstoffmenge S(t) ( t in Stunden – h, S in Mengeneinheiten pro Stunden – ME/h) wird exponentiell
ausgedünnt und die Werte betragen:
t
S
in Stunden
in ME/h
0
30
2
20
4
15
Die Anlage verschmutzt leider das Gewässer auch ohne Störfall mit einem Grundpegel von 5 ME/h.
Berechnen Sie die Gleichung der Verschmutzung aus den obigen Zahlen durch exponentielle Regression.
b)
Die Verschmutzungsleistung S(t) für das Gewässer nach dem Störfall betrage: S(t) = 25 e –0,2 t + 5.
t in Stunden, S(t) in ME/h.
Berechnen Sie den Wert, gegen den S(t) konvergiert. Berechnen Sie weiters die Halbwertszeit der
außergewöhnlichen Verschmutzungsleistung (also der Verschmutzung über dem Grundpegel).
c)
Die Verschmutzungsleistung S(t) für das Gewässer nach dem Störfall betrage: S(t) = 25 e –0,2 t + 5.
t in Stunden, S(t) in ME/h.
Berechnen Sie die Gleichung für die eingetragene Gesamtverschmutzung G(t) nach dem Störfall
(d.h. mit G(0) = 0). t in Stunden (h), G in Mengeneinheiten (ME).
d)
Die Gleichung für die gesamte eingetragene Schadstoffmengen für das Gewässer sei G(t) = 10t + 100( 1 – e–0,2t)
Berechnen Sie die eingetragenen Schadstoffmenge nach 2 Stunden.
Berechnen Sie die Differenz zwischen G(t) und der mit dem Grundpegel 10 ME/h eingebrachten
Schadstoffmengen nach sehr langer Zeit.
Beispiel 4:
a)
Ein Straßenverlauf zwischen den markierten
Punkten (0/0) und (10/1) verläuft wie in der
Grafik rechts. Der Graph lässt sich durch
eine Gleichung der Form y = ax3 + bx2
beschreiben. Die folgenden Punkte werden
vom Straßenverlauf durchlaufen:
(2 / 0,3) (5 / 1) (10 / 1)
Alle Einheiten in Kilometer (km).
Berechnen Sie mit Hilfe der Methode der
kleinsten Quadrate eine möglichst gut
passende Gleichung der angegebenen Form.
b)
Berechnen Sie für y = 0,08x2 – 0,007x3 die Nullstellen, Extremwerte und Wendepunkte samt
Tangentensteigungen.
c)
Der momentane Verkehrsfluss V ( in Fahrzeugen pro Stunde) verhält sich an einem Tag wie V(t) = 30t (24 – t).
Dabei bedeutet t die Uhrzeit.
Berechnen Sie die Gesamtzahl der die Straße benützenden Fahrzeuge an diesem Tag (von 0 bis 24 Uhr).
d)
Ein Prozess läuft nach der Formel p(x) = Error!, wobei k ein stoffabhängiger Parameter ist. Berechnen Sie k
mit Hilfe der Methode der kleinsten Quadrate aus folgenden gemessenen Daten:
x
p
2
15
4
33
6
60
2. Schularbeit aus Mathematik und angewandter Mathematik
5 bk – gruber
Freitag, 21. März 2014
Gruppe B
ACHTUNG:
Fehlerhafte und unübliche Notationen sind bewertungsrelevant und führen zu Punkteabzügen.
Beantworten Sie Anwendungsbeispiele in ganzen Sätzen.
Dokumentieren Sie Lösungswege (Ansätze, Nebenrechnungen, Überlegungen)
Beispiel 1:
a)
Die Kostenfunktion eines Produkts ist S-förmig und weist folgende Werte auf:
x
K
Menge in ME
Kosten in GE
2
400
5
610
7
700
8
800
10
1.200
Berechnen Sie mit dem geeigneten Modell eine möglichst gut passende Kostenfunktion für diese Daten.
b)
Die Nachfragefunktion nach einem Produkt ist linear mit der Sättigungsmenge 60 ME.
Bei einem Preis von 36 000 GE/ME können 24 ME verkauft werden.
Berechnen Sie die Gleichung der Nachfragefunktion p(x).
c)
Die Kostenfunktion eines Produktes ist K(x) = 4x3 – 240x2 + 10 000 x + 100 000.
Die Nachfragefunktion für dieses Produkt ist p(x) = 20 000 – 200x. x ist dabei die Menge in ME, K die Kosten
in GE und p der Preis in GE/ME.
Berechnen Sie die Gewinngrenzen und den Preis, bei dem der Gewinn maximal wird.
d)
Die angebotene Menge hängt vom erzielbaren Preis mit
s(x) = ax2 + bx
ab:
x … Menge in ME, s … Preis in GE/ME
Berechnen Sie aus den Daten:
x
Nachfrage in ME
5
7
s(x)
Preis in GE/ME
900
1.200
9
1.700
durch Regression eine möglichst gut passende Nachfragefunktion.
Berechnen Sie anschließend die angebotene Menge bei einem Preis von 2129,8 GE/ME.
B
Beispiel 2:
a)
Die Flugkurve eines geworfenen Gegenstandes weist folgende Werte auf:
Waagrechte Entfernung x zum Startpunkt in m
Höhe h über dem Startpunkt in m
5
10
10
14
15
4
Der Startpunkt hat die Koordinaten S (0 m / 0 m)
Eine Flugkurve ist bei Nichtbeachtung des Luftwiderstandes eine Parabel (d.h. der Graph einer quadratischen
Funktion)
Berechnen Sie die Gleichung dieser Flugkurve mittels Regression.
b)
Die Trefferanzahl eines Basketballspielers ist in einer Spielsaison ist normalverteilt mit 250 bei einer
Standardabweichung von 20.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass er mehr als 280 mal trifft.
Berechnen Sie die Trefferanzahl, die mit einer Wahrscheinlichkeit von 90 % nicht unterboten wird.
c)
Ein Basketballspieler soll einen Vertrag bekommen. Es wird eine Testreihe vereinbart. Der Test gilt als
bestanden, wenn der Spieler bei 30 Versuchen wenigstens 20 mal trifft.
Berechnen Sie das Spielerrisiko (Produzentenrisiko) bei einer Treffsicherheit von 70 %.
d)
Ein Wert ist normalverteilt mit dem Mittelwert 10 und der Standardabweichung 2. Begründen Sie ohne
Rechnung, warum die Wahrscheinlichkeiten W(x ≤ 7) und W(x ≥ 13) gleich groß sein müssen. Benützen Sie für
Ihre Argumentation die beiliegende Skizze der Normalverteilungsdichte. Schraffieren Sie die Flächen, die ein
Maß für die verlangten Wahrscheinlichkeiten sind.
B
Beispiel 3:
a)
Ein Gewässer wird durch einen Störfall in einer Anlage ab dem Zeitpunkt t = 0 verschmutzt. Die eingetragene
Schadstoffmenge S(t) ( t in Stunden – h, S in Mengeneinheiten pro Stunden – ME/h) wird exponentiell
ausgedünnt und die Werte betragen:
t
S
in Stunden
in ME/h
0
30
2
20
4
15
Die Anlage verschmutzt leider das Gewässer auch ohne Störfall mit einem Grundpegel von 5 ME/h.
Berechnen Sie die Gleichung der Verschmutzung aus den obigen Zahlen durch exponentielle Regression.
b)
Die Verschmutzungsleistung S(t) für das Gewässer nach dem Störfall betrage: S(t) = 25 e –0,2 t + 5.
t in Stunden, S(t) in ME/h.
Berechnen Sie den Wert, gegen den S(t) konvergiert. Berechnen Sie weiters die Halbwertszeit der
außergewöhnlichen Verschmutzungsleistung (also der Verschmutzung über dem Grundpegel).
c)
Die Verschmutzungsleistung S(t) für das Gewässer nach dem Störfall betrage: S(t) = 25 e –0,2 t + 5.
t in Stunden, S(t) in ME/h.
Berechnen Sie die Gleichung für die eingetragene Gesamtverschmutzung G(t) nach dem Störfall (d.h. mit G(0) =
0). t in Stunden (h), G in Mengeneinheiten (ME).
d)
Die Gleichung für die gesamte eingetragene Schadstoffmengen für das Gewässer sei G(t) = 10t + 100( 1 – e–0,2t)
Berechnen Sie die eingetragenen Schadstoffmenge nach 2 Stunden.
Berechnen Sie die Differenz zwischen G(t) und der mit dem Grundpegel 10 ME/h eingebrachten
Schadstoffmengen nach sehr langer Zeit.
Beispiel 4:
a)
Ein Straßenverlauf zwischen den markierten
Punkten (0/0) und (10/1) verläuft wie in der
Grafik rechts. Der Graph lässt sich durch
eine Gleichung der Form y = ax3 + bx2
beschreiben. Die folgenden Punkte werden
vom Straßenverlauf durchlaufen: (2 / 0,3)
(5 / 1) (10 / 1)
Alle Einheiten in Kilometer (km).
Berechnen Sie mit Hilfe der Methode der
kleinsten Quadrate eine möglichst gut
passende Gleichung der angegebenen Form.
b)
Berechnen Sie für y = 0,8x2 – 0,07x3 die Nullstellen, Extremwerte und Wendepunkte samt Tangentensteigungen.
c)
Der momentane Verkehrsfluss V ( in Fahrzeugen pro Stunde) verhält sich an einem Tag wie V(t) = 10t (24 – t).
Dabei bedeutet t die Uhrzeit.
Berechnen Sie die Gesamtzahl der die Straße benützenden Fahrzeuge an diesem Tag (von 0 bis 24 Uhr).
d)
Ein Prozess läuft nach der Formel p(x) = Error!, wobei k ein stoffabhängiger Parameter ist. Berechnen Sie k
mit Hilfe der Methode der kleinsten Quadrate aus folgenden gemessenen Daten:
x
p
2
5
4
11
6
20