Elementares

Einige elementare Tatsachen der Kugelgeometrie
1.
Durch zwei Gegenpunkte P, P auf der Kugel gibt es unendlich viele Grosskreise.
2.
Sind A, B zwei Kugelpunkte mit B  A, A , so gibt es durch A und B genau einen
Grosskreis.
3.
Der kürzeste Weg auf der Kugel zwischen zwei Punkten A und B liegt auf dem
Grosskreis durch die beiden Kugelpunkte.
4.
Zwei Grosskreise schneiden sich in zwei Gegenpunkten. Sie zerlegen die Kugel in vier
Kugelzweiecke; je zwei davon sind kongruent. Der Winkel eines Kugelzweiecks stimmt
mit dem Winkel zwischen den Grosskreistangenten in einer Ecke überein.
5.
Ein Zweieck mit dem Winkel  auf der Kugel mit dem Radius r hat den Flächeninhalt
F   r2 

90
6.
Drei Grosskreise in allgemeiner Lage schneiden sich in drei Paaren von Gegenpunkten.
Sie zerlegen die Kugelfläche in acht Kugeldreiecke. Je zwei Dreiecke sind
punktsymmetrisch bezgl. M.
7.
Das Gegendreieck ABC geht aus dem Kugeldreieck ABC durch Spiegelung am
Kugelmittelpunkt hervor. Die beiden kugeldreiecke sind kongruent und flächengleich,
haben jedoch verschiedenen Umlaufsinn.
8.
Flächensatz
Ein Eulersches Dreieck mit den Winkeln , ,  auf einer Kugel mit dem Radius r hat
den Flächeninhalt
      180
F   r2
180
9.
Ist das Kugeldreieck A BC  Polardreieck zum Kugeldreieck ABC, so ist auch das
Dreieck ABC Polardreieck zum Dreieck A BC  .
10. Jede Seite eines Kugeldreiecks und der Winkel in der entsprechenden Ecke des
Polardreiecks ergänzen sich auf 180°, und umgekehrt:
a     180
a    180
b     180
b    180
c    180
c     180