LK I Wachstumsmodelle 13

Christianeum
LK/GK III
Mathematik
Punkte, Vektoren und Geraden im 
3
Wilms
28. 8. 2009
Bereits beim Thema G2 (Matrizen und Vektoren als Datenspeicher) haben wir Vektoren
benutzt, damals noch ohne geometrische Deutung (s. Zettel Lineare Gleichungssysteme
(2)I vom 7. 1. 2009 [Mathe-INFO 3]):
- Wir haben Vektoren addiert (dabei wurden die Komponenten addiert);
- wir haben einen Vektor mit einer reellen Zahl multipliziert (dabei wurde jede
Komponente des Vektors mit dieser Zahl multipliziert).
Forschungsauftrag:
Wie wirken sich die rechnerischen Operationen geometrisch aus?
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Lade dir die Behörden-Handreichungen G5 – Analytische Geometrie auf deinen Rechner:
http://www.mint-hamburg.de/Handreichungen/Ma-gyO/GK-LK/G5-Lernheft.pdf
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Aufgabe Forschungs-U-Boot
Im Rahmen eines Forschungsauftrages wird die Unterwasser-Sonde US1 ins Wasser gesetzt. Von der
Startposition (0|0|0) aus bewegt sie sich geradlinig mit gleich bleibender Geschwindigkeit und befindet
sich nach einer Minute an der Position R = ( 1,2 | 2,5 | -1,8 ) (Angabe in Metern).
a)
Ermittele die Positionen der Sonde nach 2 min, 5 min, 9 min, wenn die Sonde sich in gleicher
Richtung und mit gleicher Geschwindigkeit weiterbewegt.
b)
Gib die Position der Sonde zu einer beliebigen Zeit t an.
c)
Bestimme die Geschwindigkeit des U-Bootes (in Metern pro Sekunde).
d)
Berechne, wann die Sonde den in 25 m Tiefe liegenden Meeresboden erreicht hat, und gib die
genaue Position an.
Eine zweite Sonde namens US2 wird von der Position S = ( 12 | 17 | 0 ) aus ins Wasser gelassen. Sie
bewegt sich mit gleicher Geschwindigkeit wie US1 und bewegt sich parallel zu ihr.
e)
Beschreibe die Fahrbahn der zweiten Sonde mit Hilfe einer Gleichung.
f)
Prüfe, ob die Positionen P, Q, T auf den Bahnen der beiden U-Boote liegen:
P = ( 25,68 | 53,5 | -38,72 ), Q = ( 40,8 | 77 | -43,2 ), T = ( 18,36 | 38,25 | -27,54 ).
g)
Gib die neuen Bewegungsgleichungen der Sonden an, wenn diese sich nach 5 min Tauchzeit
direkt aufeinander zu bewegen sollen.
h)
Bestimme die genaue Position des Treffpunktes beider Sonden.
->-> b.w.
Christianeum
Mathematik
Wilms
-2-
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Geometrische Erkenntnisse beim Forschungs-U-Boot
-
 p1 
 p1 
 
 
3
Fasst man jeden Punkt P   p 2  des  als Endpunkt seines Ortvektors OP =  p 2  auf, so ergibt
p 
p 
 3
 3
 p1 
 
sich, dass t   p 2  eine (unendliche) Menge von Punkten des 3 darstellt, wenn der
p 
 3
Platzhalter (Parameter) t alle reellen Zahlen durchläuft. Geometrisch gesehen, ergibt sich
 p1 
 
eine Gerade durch den Ursprung (warum?).  p 2  heißt Richtungsvektor der Geraden.
p 
 3
 p1 
 
Man schreibt:
g : X  t   p2  , t   .
p 
 3
-
Die Länge (Betrag, Norm) eines Vektors lässt sich berechnen, wenn man sich den Vektor
 p1 
 
als Diagonale in einem Quader vorstellt:  p 2  : ( p1) 2  ( p 2) 2  ( p3) 2
p 
 3
-
Zwei Geraden des 3 sind parallel, wenn ihre Richtungsvektoren kollinear sind (auf einer
geraden Linie liegend). Merke:
-
Geht eine Gerade nicht durch den Ursprung, reicht die obige Schreibweise nicht aus: In
diesem Fall muss ein Ortsvektor zunächst zu einem Punkt A auf der Geraden führen, ehe
dann von dort die Gesamtheit aller Vielfachen des Richtungsvektors abgetragen wird.
 a1 
 p1 
 a1 
 
 
 
Man schreibt: h : X   a 2   t   p 2  , t   .  a 2  heißt Stützvektor der Geraden.
a 
p 
a 
 3
 3
 3
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Aufgaben
-
Bearbeite die Aufgaben Pfadfinderzelt und Flugbahnen (s. S. 3/4).
-
In der Handreichung G5 steht auf S. 13 ein Rechenausdruck für denjenigen Winkel, den
zwei Vektoren, die in demselben Punkt angreifen, bilden. Experimentiere mit dieser Formel
an selbst gewählten Beispielen.
-
Zwei verschiedene Geraden im Raum können sich schneiden, parallel zueinander verlaufen
oder ____________________________________ .
->-> b.w.