Durchstarten Mathematik 5 Angabeteil alles.indb
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VEKTOREN UND ANALYTISCHE GEOMETRIE DER EBENE 5.1 Grundlagen „Spitze minus Schaft“-Regel ___› ___› ___› ( x) ( x) ( x– x ) – OA = yB – yA = yB– y A AB = OB B A B A Parallelitätskriterium: Zwei Vektoren sind genau dann zueinander parallel, wenn der eine Vektor ein Vielfaches (das v-fache) des anderen Vektors ist. (v ∊ ℝ) __› __› __› __› a ⇔ b = v ∙ a ∙ b y Mittelpunkt einer Strecke AB (Halbierungspunktformel) ___› ___› M ___› ) B _ › _ _ + O A ( O 1_ ⋅ ___› 2 1 O _ A ___ ___› OB ___› OB A 2 x Schwerpunkt im Dreieck ABC ___› ___› _ B __ › + O O A B ___› ___› ___› Herleitung: OM = OA + _ 12 ∙ AB = ___› ___› ___› = OA + _ 12 ∙ ( OB – OA )= ___› ___› ___› = OA + _ 12 ∙ OB – _ 12 ∙ OA = ___› ___› = _12 ∙ OA + _ 12 ∙ OB = ___› ___› = _12 ∙ ( OA + OB ) › _1 B 2 O ___› = _ 12 ∙ ( OA + OB ) OM ___› ___› ___› = _ 13 ∙ ( OA + OB + OC ) OS ___› ___› ___› ___› ( = OA + _ 23 ∙AM BC = Herleitung:OS ___› ___› C ) = OA + _ 23 ∙ OM – OA = BC = OA + _ 23 ∙ OM – _ 23 ∙ OA = BC ___› ___› ___› 2 ___› ___› ___› = _13 ∙ OA + _ 23 ∙ _ 12 ∙ ( OB + OC )= ___› ___› ___› = _13 ∙ OA + _ 13 ∙ OB + _ 13 ∙ OC = ___› ___› ___› = _13 ∙ ( OA + OB + OC ) 2 S 1 MBC 1 A MAB B ___› Länge (Betrag) eines Vektors AB = ( xy ) ___› ___› ______ |= | ( xy ) |= √ x2+ y2 AB = | AB Ein Vektor mit der Länge (dem Betrag) 1 heißt Einheitsvektor: __› v0 = __› __› Winkelsymmetrale der Vektoren a : und b __› __ › __› v __› = ___ ___ _1_› ∙ v | v | | v | __› __› = a 0 + b 0 w __› Steigungs-Richtungs-Regel: Zwischen der Steigung k und jedem Richtungsvektor g einer Geraden besteht der Zusammenhang: __› ( ) 1k ; v ∊ ℝ g = v ∙ __› __› ( ) ( ) __ __ x y Rechts-Kipp-Regela y )n x ) = ( = ( – x –ya Links-Kipp-Regela ya n x = a = a › 42 a a l › ar a a a © VERITAS-Verlag, Linz. DURCHSTARTEN AHS-OBERSTUFE, MATHEMATIK, 5. KLASSE. Alle Rechte vorbehalten Durchstarten Mathematik 5 Angabeteil alles.indb 42 07.08.2008 8:39:53 Uhr VEKTOREN UND ANALYTISCHE GEOMETRIE DER EBENE Skalarprodukt __› __› ( x) ( x) a ya ∙ yb = xa∙ xb+ ya∙ yb = ∙ b a Orthogonalitätskriterium b __› __› __› __› a ⇔ a = 0 ⊥ b ∙ b __› __› Winkel φ zwischen g und h __› __› g ∙ h cos φ = _______ __› __› | g | |∙| h Es können auch die beiden Normalvektoren der beiden Geraden verwendet werden, da der Winkel zwischen den beiden Normalvektoren ebenso groß sein muss wie jener zwischen den Richtungsvektoren. Allgemeine Geradengleichung (implizit) ax + by = c Normalvektorsatz: Die Koeffizienten der linearen Glieder der allgemeinen Geradengleichung sind die Koordinaten eines Normalvektors der zugehörigen Geraden. __› ba ) n = ( Hauptform der Geradengleichung (explizit) y = kx + d Parameterdarstellung einer Geraden __› ___› ___› = OA + t ∙ r OX ___› Stellvertreter für alle Punkte der Geraden OX... ___ › Ortsvektor zu einem bestimmten Punkt der Geraden OA... t __› ... Parameter (t ∊ ℝ) r ... Richtungsvektor der Geraden Normalvektorform __› ___› __› ___› = n n ∙ OX ∙ OP __› _n __ › ... Normalvektor der Geraden ... Stellvertreter für alle Punkte der Geraden OX ___ › ... Ortsvektor zu einem bestimmten Punkt der Geraden OP __› Das Abtragen einer Strecke der Länge d von einem Punkt A in Richtung des Vektors a erfolgt gemäß der Formel: ___› ___› __› = OA + d ∙ a 0 OE ___› ... Endpunkt OE ___ › ... Anfangspunkt, von dem aus Abgetragen werden soll OA d ... Distanz/Länge, die Abgetragen werden soll __› a 0 ... Einheitsvektor der Richtung, in die Abgetragen werden soll © VERITAS-Verlag, Linz. DURCHSTARTEN AHS-OBERSTUFE, MATHEMATIK, 5. KLASSE. Alle Rechte vorbehalten Durchstarten Mathematik 5 Angabeteil alles.indb 43 43 07.08.2008 8:39:53 Uhr
