Durchstarten Mathematik 5 Angabeteil alles.indb

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VEKTOREN UND ANALYTISCHE GEOMETRIE DER EBENE
5.1 Grundlagen
„Spitze minus Schaft“-Regel
___›
___›
___›
( ​x​​) ( ​x​​) ( ​x​​– x​ ​​)
​     – OA​
​     = ​ ​ ​yB​ ​​  ​– ​ ​ ​yA​ ​​  ​= ​ ​ ​yB​​– y​ A​ ​ 
​  ​
​AB​
    = OB​
B
A
B
A
Parallelitätskriterium: Zwei Vektoren sind genau dann zueinander parallel, wenn der eine Vektor ein Vielfaches (das
v-fache) des anderen Vektors ist. (v ∊ ℝ)
__›
__›
__›
__›
​a ​
   ⇔ ​b ​
   = v ∙ ​a ​
   ∙ ​b ​
   
y
Mittelpunkt einer Strecke AB (Halbierungspunktformel)
___›
___›
M
___›  ) ​  ​
​  B
_
›
_
_  ​ + O
A
 
(​ O​
1_​   ​⋅
___›
2
1  ​O
_
​  ​  A ​ 
___
___›
​     
OB​
___›
​     
OB​
A
2
x
Schwerpunkt im Dreieck ABC
___›
___›   ​
_
​  B
__ ›  ​ + O
O​  A
B
___› ___›
___›
Herleitung: ​OM​
    = OA​
​     + _​ 12 ​∙ AB​
​     =
___›
___› ___›
= ​OA​
    + _
​ 12 ​∙ (​ OB​
​     – OA​ 
​     )​=
___›
___›
___›
= ​OA​
    + _
​ 12 ​∙ OB​
​     – _​ 12 ​∙ OA​
​     =
___›
___›
= ​ _12 ​∙ OA​
​     + _​ 12 ​∙ OB​
​     =
___› ___›
= ​ _12 ​∙ (​ OA​
​     + OB​ 
​     )​
›
​ _1 ​  B ​ 
2  ​O
___›
    = _
​ 12 ​∙ (​ OA​
​     + OB​ 
​     )​
​OM​
___›
___›
___›
    = _
​ 13 ​∙ (​ OA​
​     + OB​
​     + OC​ 
​     )​
​OS​
___›
___›
___›
___›
( 
    = OA​
​     + _​ 23 ​∙​AM​​
​    BC
  ​=
Herleitung:​OS​
___›
___›
C
)
= OA​
​     + _​ 23 ​∙ ​ OM​​
​​     
​– OA​ 
​     ​=
BC
= OA​
​     + _​ 23 ​∙ OM​​
​​     
​– _​ 23 ​∙ OA​
​     =
BC
___›
___›
___›
2
___›
___› ___›
= ​ _13 ​∙ OA​
​     + _​ 23 ​∙ _​ 12 ​∙ (​ OB​
​     + OC​ 
​     )​=
___›
___›
___›
= ​ _13 ​∙ OA​
​     + _​ 13 ​∙ OB​
​     + _​ 13 ​∙ OC​
​     =
___› ___› ___›
= ​ _13 ​∙ (​ OA​
​     + OB​
​     + OC​ 
​     )​
2
S 1
MBC
1
A
MAB
B
___›
Länge (Betrag) eines Vektors AB​
​     = (​  ​ xy ​ )​
___›
___›
______
​     |​= |​ ​(  ​ xy ​ )​ |​= √
​ ​x2​​+ ​y2​​ ​ 
​AB​
    = ​| AB​ 
Ein Vektor mit der Länge (dem Betrag) 1 heißt Einheitsvektor:
__›
​​v0​  ​ ​ =
__›
__›
Winkelsymmetrale der Vektoren ​a ​
  : 
   und ​b ​
__›
__
›
__›
​v ​
   
__›  ​ = ___
​ ___
​ _1_›   ​ ∙ ​v ​
   
|​ ​v ​ 
   |​ |​ ​v ​ 
   |​
__›
__›
   = ​a ​0 ​ ​ + ​b ​0 ​ ​ 
​w ​
__›
Steigungs-Richtungs-Regel: Zwischen der Steigung k und jedem Richtungsvektor ​g ​
   einer Geraden besteht der
Zusammenhang:
__›
(  )
​ 1k ​  ​; v ∊ ℝ
​g ​
   = v ∙ ​ __›
__›
(  )
(  )
__
__
​x​​
​y​​
Rechts-Kipp-Regel​a ​
​ ​y​ ​​ )​​​n ​​
​  x​ ​ ​  )​
   = ​(     ​= (​ –​
​x​​
–​ya​​
Links-Kipp-Regel​a ​
​ ​ya​ ​​  ​​​n ​​
​  ​x​ ​ ​  ​
   = ​   ​a ​​​ = ​ a
›
 
42
a
a
l
›
 
​a​r​
a
a
a
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Durchstarten Mathematik 5 Angabeteil alles.indb 42
07.08.2008 8:39:53 Uhr
VEKTOREN UND ANALYTISCHE GEOMETRIE DER EBENE
Skalarprodukt
__›
__›
( ​x​​) ( ​x​​)
​a ​
​ ​ya​ ​​  ​∙ ​ ​ ​yb​ ​​  ​= ​xa​​∙ ​xb​​+ ​ya​​∙ ​yb​​
   = ​    ∙ ​b ​
a
Orthogonalitätskriterium
b
__›
__›
__›
__›
​a ​
   ⇔ ​a ​
   = 0
   ⊥ ​b ​
   ∙ ​b ​
__›
__›
Winkel φ zwischen ​g ​
   
   und ​h ​
__›
__›
​g ​
   
   ∙ ​h ​
 ​ 
cos φ = _______
​ __› __› 
​| ​g ​ 
   |​
   |​∙| ​h ​ 
Es können auch die beiden Normalvektoren der beiden Geraden verwendet werden, da der Winkel zwischen
den beiden Normalvektoren ebenso groß sein muss wie jener zwischen den Richtungsvektoren.
Allgemeine Geradengleichung (implizit)
ax + by = c
Normalvektorsatz: Die Koeffizienten der linearen Glieder der allgemeinen Geradengleichung sind die Koordinaten
eines Normalvektors der zugehörigen Geraden.
__›
​ ba ​ )​
​n ​
   = ​(  Hauptform der Geradengleichung (explizit)
y = kx + d
Parameterdarstellung einer Geraden
__›
___› ___›
    = OA​
​     + t ∙ ​r ​
​OX​
   
___›
     Stellvertreter für alle Punkte der Geraden
​OX​...
___
›
     Ortsvektor zu einem bestimmten Punkt der Geraden
​OA​...
t
__› ... Parameter (t ∊ ℝ)
​r ​
    ... Richtungsvektor der Geraden
Normalvektorform
__›
___›
__›
___›
    = ​n ​
    
​n ​
   ∙ ​OX​
   ∙ ​OP​
__›
​_n ​
__ ›   ... Normalvektor der Geraden
     ... Stellvertreter für alle Punkte der Geraden
​OX​
___
›
    ... Ortsvektor zu einem bestimmten Punkt der Geraden
​OP​
__›
Das Abtragen einer Strecke der Länge d von einem Punkt A in Richtung des Vektors ​a ​
   erfolgt gemäß der Formel:
___›
___›
__›
    = OA​
​     + d ∙ ​a 0​ ​ ​ 
​OE​
___›
     ... Endpunkt
​OE​
___
›
     ... Anfangspunkt, von dem aus Abgetragen werden soll
​OA​
d ... Distanz/Länge, die Abgetragen werden soll
__›
​​a ​0 ​ ​  ... Einheitsvektor der Richtung, in die Abgetragen werden soll
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