euklidw

EÙkle…dhj
Stoice‹a
Lucius Hartmann
Inhalt
Biographie und Werk ........................................................................................................ 3 – 4
Texte ................................................................................................................................. 5 – 27
Geometrie (1. Buch) ................................................................................................... 5 – 10
Geometrie (2. Buch) ................................................................................................. 11 – 14
Konstruktion der regelmässigen n-Ecke (4. Buch) ................................................... 15 – 17
Arithmetik (7. Buch) ................................................................................................. 18 – 20
Geometrie im dreidimensionalen Raum (11. und 12. Buch) .................................... 21 – 27
Wörter ............................................................................................................................. 28 – 33
Kommentar ..................................................................................................................... 34 – 40
Skizzen ............................................................................................................................ 41 – 44
Bibliographie ......................................................................................................................... 45
Euklid, Elemente (Inhalt)
2
Biographie und Werk
Biographie
• vgl. Kleiner Pauly
• jünger als Plat. und dessen direkte Schüler, älter als Archimedes
• Ausbildung (philosophisch und mathematisch) in Athen
• Wirken und Lehre in Alexandria
Werk
Überliefert sind folgende Werke:
• Elemente (13 Bücher)
1 – 4: ebene Trigonometrie
5 – 6: Proportionen
7 – 10: Arithmetik
11 – 13: 3-dim. Raum, platonische Körper (Ziel des Werkes)
• Data (planimetrische Probleme)
• Phaenomena (Sphärik)
• Optica (Perspektive)
• Sectio canonis (math. Musiktheorie)
Proklos, Eucl. El. p. 68, 6 – p. 69, 7 Friedlein
OÙ pÒlu d• toÚtwn <maqhtîn toà Pl£twnoj> neèterÒj ™stin
EÙkle…dhj Ð t¦ stoice‹a sunagagën kaˆ poll¦ m•n tîn EÙdÒxou
sunt£xaj, poll¦ d• tîn Qeait»tou telews£menoj, œti d• t¦ malakèteron
deiknÚmena to‹j œmprosqen e“j ¢nelšgktouj ¢pode…xeij ¢nagagèn.
Gšgone d• oátoj Ð ¢n¾r ™pˆ toà prètou Ptolema…ou: kaˆ g¦r Ð
'Arcim»dhj ™pibalën kaˆ tù prètJ mnhmoneÚei toà EÙkle…dou, kaˆ
mšntoi ka… fasin Óti Ptolema‹oj ½retÒ pote aÙtÒn, e‡ t…j ™stin
perˆ gewmetr…an ÐdÕj suntomwtšra tÁj stoiceièsewj: Ð d•
¢pekr…nato, m¾ e•nai basilik¾n ¢trapÕn ™pˆ gewmetr…an.
Neèteroj m•n oân ™sti tîn perˆ Pl£twna, presbÚteroj d•
'Eratosqšnouj kaˆ 'Arcim»douj. Oátoi g¦r sÚgcronoi ¢ll»loij, éj poÚ
fhsin 'Eratosqšnhj. Kaˆ tÍ proairšsei d• PlatwnikÒj ™sti kaˆ tÍ
filosof…v taÚtV o“ke‹oj, Óqen d¾ kaˆ tÁj sump£shj stoiceièsewj tšloj
proest»sato t¾n tîn kaloumšnwn Platwnikîn schm£twn sÚstasin. Poll¦
m•n oân kaˆ ¥lla toà ¢ndrÕj toÚtou maqhmatik¦ suggr£mmata
Euklid, Elemente (Einführung)
3
qaumastÁj ¢kribe…aj ka… ™pisthmonikÁj qewr…aj mest£. Toiaàta
g¦r kaˆ t¦ Ñptik¦ kaˆ t¦ katoptrik£, toiaàtai d• kaˆ aƒ kat¦ mousik¾n
stoiceièseij, œti d• tÕ perˆ diairšsewn bibl…on. DiaferÒntwj d' ¥n tij
aÙtÕn ¢gasqe…h kat¦ t¾n gewmetrik¾n stoice…wsin tÁj t£xewj
›neka kaˆ tÁj ™klogÁj tîn prÕj t¦ stoice‹a pepoihmšnwn qewrhm£twn
te kaˆ problhm£twn.
Vorbemerkungen
• Aufbau: Definitionen, Postulate, Axiome, Problemata, Theoremata, Porismata
(Folgerungen), Lemmata (Hilfssätze)
•
•
•
•
sehr starke geometrische Orientierung
fehlende Algebra (von den Arabern erfunden)
Exaktheit des Aufbaus
Terminologie
Auswahl der Texte
Ich habe mich für die folgenden Texte entschieden (die mit (*) versehen Themen sind relativ
kompliziert):
• Definition, Postulate und Axiome des 1. Buches (ebene Geometrie)
• Beweisschema
• Satz von Pythagoras
• Fehlende Algebra illustriert an Theorema II, e'
• Flächengleiches Quadrat zu vorgegebenem Viereck
• Konstruktion des regelmässigen 5-Eckes (*)
• Konstruktion des regelmässigen 15-Eckes (*)
• Definitionen des 7. Buches (Arithmetik)
• Euklidischer Algorithmus
• Definitionen des 11. Buches (räumliche Geometrie)
• Volumen von Pyramide und Kegel (*)
Es können aber durchaus auch andere Sätze gewählt werden bzw. die ausgewählten Texte
(sinnvoll) gekürzt werden.
Begründung der Euklidlektüre
• axiomatischer Aufbau der Mathematik
• exakte Wissenschaft (teilweise bis heute gültig!)
• Wirkung bis ins Mittelalter und die Neuzeit
• Terminologie auch ins Deutsche übernommen
Euklid, Elemente (Einführung)
4
• Lektüre bekannter Sätze im Original
• logische Struktur der griechischen Sprache (va. Konnektoren)
Euklid, Elemente (Einführung)
5
Geometrie (1. Buch)
Definitionen
OROI
a'.
Shme‹Òn ™stin, oá mšroj oÙqšn.
b'.
Gramm¾ d• mÁkoj ¢platšj.
g'.
GrammÁj d• pšrata shme‹a.
d'.
EÙqe‹a gramm» ™stin, ¼tij ™x ‡sou to‹j ™f' ˜autÁj
shme…oij ke‹tai.
e'.
'Epif£neia dš ™stin, Ö mÁkoj kaˆ pl£toj mÒnon œcei.
j'.
'Epifane…aj d• pšrata gramma….
z'.
'Ep…pedoj ™pif£nei£ ™stin, ¼tij ™x ‡sou ta‹j ™f' ˜autÁj
eÙqe…aij ke‹tai.
h'.
'Ep…pedoj d• gwn…a ™stˆn ¹ ™n ™pipšdJ dÚo
grammîn ¡ptomšnwn ¢ll»lwn kaˆ m¾ ™p' eÙqe…aj
keimšnwn prÕj ¢ll»laj tîn grammîn kl…sij.
q'.
”Otan d• aƒ perišcousai t¾n gwn…an grammaˆ eÙqe‹ai
ðsin, eÙqÚgrammoj kale‹tai ¹ gwn…a.
i'.
”Otan d• eÙqe‹a ™p' eÙqe‹an staqe‹sa t¦j ™fexÁj
gwn…aj ‡saj ¢ll»laij poiÍ, Ñrq¾ ˜katšra tîn ‡swn gwniîn
™sti, kaˆ ¹ ™festhku‹a eÙqe‹a k£qetoj kale‹tai, ™f' ¿n
™fšsthken.
ia'.
'Amble‹a gwn…a ™stˆn ¹ me…zwn ÑrqÁj.
ib'.
'Oxe‹a d• ¹ ™l£sswn ÑrqÁj.
ig'.
”Oroj ™st…n, Ó tinÒj ™sti pšraj.
id'.
ScÁma ™sti tÕ ØpÕ tinoj ½ tinwn Órwn periecÒmenon.
ie'.
KÚkloj ™stˆ scÁma ™p…pedon ØpÕ mi©j grammÁj
periecÒmenon ¿ kale‹tai perifšreia, prÕj ¿n ¢f' ˜noj
shme…ou tîn ™ntÕj toà sc»matoj keimšnwn p©sai aƒ
prosp…ptousai eÙqe‹ai prÕj t¾n toà kÚklou perifšreian
‡sai ¢ll»laij e“s…n.
ij'.
Kšntron d• toà kÚklou tÕ shme‹on kale‹tai.
iz'.
Di£metroj d• toà kÚklou ™stˆn eÙqe‹£ tij di¦ toà kšntrou
ºgmšnh kaˆ peratoumšnh ™f' ˜k£tera t¦ mšrh ØpÕ tÁj toà
kÚklou perifere…aj, ¼tij kaˆ d…ca tšmnei tÕn kÚklon.
Euklid, Elemente (Texte)
6
ih'.
`HmikÚklion dš ™sti tÕ periecÒmenon scÁma ØpÒ te tÁj
diamštrou kaˆ tÁj ¢polambanomšnhj Øp' aÙtÁj
perifere…aj. Kšntron d• toà ¹mikukl…ou tÕ aÙtÒ, Ö kaˆ
toà kÚklou ™st…n.
iq'.
Sc»mata
eÙqÚgramm£
™sti
t¦
ØpÕ
eÙqeiîn
periecÒmena, tr…pleura m•n t¦ ØpÕ triîn, tetr£pleura d•
t¦ ØpÕ tess£rwn, polÚpleura d• t¦ ØpÕ pleiÒnwn À
tess£rwn eÙqeiîn periecÒmena.
k'.
Tîn d• tripleÚrwn schm£twn “sÒpleuron m•n tr…gwnÒn
™sti tÕ t¦j tre‹j ‡saj œcon pleur£j, “soskel•j d• tÕ t¦j dÚo
mÒnaj ‡saj œcon pleur£j, skalhnÕn d• tÕ t¦j tre‹j
¢n…souj œcon pleur£j.
ka'. ”Eti d• tîn tripleÚrwn schm£twn Ñrqogènion m•n
tr…gwnÒn ™sti tÕ œcon Ñrq¾n gwn…an, ¢mblugènion
d• tÕ œcon ¢mble‹an gwn…an, Ñxugènion d• tÕ t¦j tre‹j
Ñxe…aj œcon gwn…aj.
kb'. Tîn d• tetrapleÚrwn schm£twn tetr£gwnon mšn ™stin, Ö
“sÒpleurÒn tš ™sti kaˆ Ñrqogènion, ˜terÒmhkej dš, Ö
Ñrqogènion mšn, oÙk “sÒpleuron dš, ·Òmboj dš, Ö
“sÒpleuron mšn, oÙk Ñrqogènion dš, ·omboeid•j d• tÕ t¦j
¢penant…on pleur£j te kaˆ gwn…aj ‡saj ¢ll»laij œcon, Ö
oÜte “sÒpleurÒn ™stin oÜte Ñrqogènion: t¦ d• par¦ taàta
tetr£pleura trapšzia kale…sqw.
kg'. Par£llhlo… e“sin eÙqe‹ai, a†tinej ™n tù aÙtù ™pipšdJ
oâsai kaˆ ™kballÒmenai e“j ¥peiron ™f' ˜k£tera t¦ mšrh
™pˆ mhdštera sump…ptousin ¢ll»laij.
Postulate
AITHMATA
a'.
'Hit»sqw ¢pÕ pantÕj shme…ou ™pˆ p©n shme‹on
eÙqe‹an gramm¾n ¢gage‹n.
b'.
Kaˆ peperasmšnhn eÙqe‹an kat¦ tÕ sunec•j ™p'
eÙqe…aj ™kbale‹n.
g'.
Kaˆ pantˆ kšntrJ kaˆ diast»mati kÚklon gr£fesqai.
d'.
Kaˆ p£saj t¦j Ñrq¦j gwn…aj ‡saj ¢ll»laij e•nai.
Euklid, Elemente (Texte)
7
e'.
Kaˆ ™¦n e“j dÚo eÙqe…aj eÙqe‹a ™mp…ptousa t¦j
™ntÕj kaˆ ™pˆ t¦ aÙt¦ mšrh gwn…aj dÚo Ñrqîn ™l£ssonaj
poiÍ, ™kballomšnaj t¦j dÚo eÙqe…aj ™p' ¥peiron
sump…ptein, ™f' § mšrh e“sˆn aƒ tîn dÚo Ñrqîn
™l£ssonej.
Axiome
KOINAI ENNOIAI
a'.
T¦ tù aÙtù ‡sa kaˆ ¢ll»loij ™stˆn ‡sa.
b'.
Kaˆ ™¦n ‡soij ‡sa prosteqÍ, t¦ Óla ‡sa.
g'.
Kaˆ ™¦n ¢pÕ ‡swn ‡sa ¢faireqÍ, t¦ kataleipÒmen£ ™stin
‡sa.
d'.
Kaˆ ™¦n ¢n…soij ‡sa prosteqÍ, t¦ Óla ™stˆn ¥nisa.
e'.
Kaˆ t¦ toà aÙtoà dipl£sia ‡sa ¢ll»loij ™st…n.
j'.
Kaˆ t¦ toà aÙtoà ¹m…sh ‡sa ¢ll»loij ™st…n.
z'.
Kaˆ t¦ ™farmÒzonta ™p' ¥llhla ‡sa ¢ll»loij ™st…n.
h'.
Kaˆ tÕ Ólon toà mšrouj me‹zon ™st…n.
q'.
Kaˆ dÚo eÙqe‹ai cwr…on oÙ perišcousin.
Beweisschema
PrÒblhma a'.
'Epˆ tÁj doqe…shj eÙqe…aj peperasmšnhj tr…gwnon
“sÒpleuron sust»sasqai.
”Estw ¹ doqe‹sa eÙqe‹a peperasmšnh ¹ AB.
De‹ d¾ ™pˆ tÁj AB eÙqe…aj tr…gwnon “sÒpleuron
sust»sasqai.
KšntrJ m•n tù A diast»mati d• tù AB kÚkloj gegr£fqw Ð
BGD, kaˆ p£lin kšntrJ m•n tù B diast»mati d• tù BA kÚkloj
gegr£fqw Ð AGE, kaˆ ¢pÕ toà G shme…ou, kaq' Ön tšmnousin
¢ll»louj oƒ kÚkloi, ™pˆ t¦ A, B shme‹a ™pezeÚcqwsan eÙqe‹ai
aƒ GA, GB.
Kaˆ ™peˆ tÕ A shme‹on kšntron ™stˆ toà GDB kÚklou, ‡sh
™stˆn ¹ AG tÍ AB: p£lin, ™peˆ tÕ B shme‹on kšntron ™stˆ toà
GAE kÚklou, ‡sh ™stˆn ¹ BG tÍ BA. 'Ede…cqh d• kaˆ ¹ GA tÍ
AB ‡sh: ˜katšra ¥ra tîn GA, GB tÍ AB ™stˆn ‡sh. T¦ d• tù aÙtù
Euklid, Elemente (Texte)
8
‡sa kaˆ ¢ll»loij ™stˆn ‡sa: kaˆ ¹ GA ¥ra tÍ GB ™stˆn ‡sh: aƒ tre‹j
¥ra aƒ GA, AB, BG ‡sai ¢ll»laij e“s…n.
'IsÒpleuron ¥ra ™stˆ tÕ ABG tr…gwnon, kaˆ sunšstatai ™pˆ
tÁj doqe…shj eÙqe…aj peperasmšnhj tÁj AB.
'Epˆ tÁj doqe…shj ¥ra eÙqe…aj peperasmšnhj tr…gwnon
“sÒpleuron sunšstatai: Óper œdei poiÁsai.
PrÒblhma b'.
PrÕj tù doqšnti shme…J tÍ doqe…sV eÙqe…v ‡shn eÙqe‹an
qšsqai.
”Estw tÕ m•n doq•n shme‹on tÕ A, ¹ d• doqe‹sa eÙqe‹a ¹
BG:
de‹ d¾ prÕj tù A shme…J tÍ doqe…sV eÙqe…v tÍ BG ‡shn
eÙqe‹an qšsqai.
'EpezeÚcqw g¦r ¢pÕ toà A shme…ou ™pˆ tÕ B shme‹on
eÙqe‹a ¹ AB, kaˆ sunest£tw ™p' aÙtÁj tr…gwnon “sÒpleuron
tÕ DAB, kaˆ ™kbebl»sqwsan ™p' eÙqe…aj ta‹j DA, DB
eÙqe‹ai aƒ AE, BZ, kaˆ kšntrJ m•n tù B diast»mati d• tù BG
kÚkloj gegr£fqw Ð GHQ, kaˆ p£lin kšntrJ tù D kaˆ diast»mati tù
DH kÚkloj gegr£fqw Ð HKL.
'Epeˆ oân tÕ B shme‹on kšntron ™stˆ toà GHQ kÚklou, ‡sh
™stˆn ¹ BG tÍ BH. P£lin, ™peˆ tÕ D shme‹on kšntron ™stˆ toà
KLH kÚklou, ‡sh ™stˆn ¹ DL tÍ DH, ïn ¹ DA tÍ DB ‡sh ™st…n.
Loip¾ ¥ra ¹ AL loipÍ tÍ BH ™stˆn ‡sh. 'Ede…cqh d• kaˆ ¹ BG tÍ
BH ‡sh: ˜katšra ¥ra tîn AL, BG tÍ BH ™stˆn ‡sh. T¦ d• tù aÙtù
‡sa kaˆ ¢ll»loij ™stˆn ‡sa: kaˆ ¹ AL ¥ra tÍ BG ™stˆn ‡sh.
PrÕj ¥ra tù doqšnti shme…J tù A tÍ doqe…sV eÙqe…v tÍ BG
‡sh eÙqe‹a ke‹tai ¹ AL: Óper œdei poiÁsai.
PrÒblhma g'.
DÚo doqeisîn eÙqeiîn ¢n…swn ¢pÕ tÁj me…zonoj tÍ
™l£ssoni ‡shn eÙqe‹an ¢fele‹n.
”Estwsan aƒ doqe‹sai dÚo eÙqe‹ai ¥nisoi aƒ AB, G, ïn
me…zwn œstw ¹ AB:
de‹ d¾ ¢pÕ tÁj me…zonoj tÁj AB tÍ ™l£ssoni tÍ G ‡shn
eÙqe‹an ¢fele‹n.
Ke…sqw prÕj tù A shme…J tÍ G eÙqe…v ‡sh ¹ AD: kaˆ
kšntrJ m•n tù A diast»mati d• tù AD kÚkloj gegr£fqw Ð DEZ.
Euklid, Elemente (Texte)
9
Kaˆ ™peˆ tÕ A shme‹on kšntron ™stˆ toà DEZ kÚklou, ‡sh
™stˆn ¹ AE tÍ AD: ¢ll¦ kaˆ ¹ G tÍ AD ™stin ‡sh. ˜katšra ¥ra tîn
AE, G tÍ AD ™stin ‡sh: éste kaˆ ¹ AE tÍ G ™stin ‡sh.
DÚo ¥ra doqeisîn eÙqeiîn ¢n…swn tîn AB, G ¢pÕ tÁj
me…zonoj tÁj AB tÍ ™l£ssoni tÍ G ‡sh ¢fÇrhtai ¹ AE: Óper œdei
poiÁsai.
Qeèrhma d'.
'E¦n dÚo tr…gwna t¦j dÚo pleur¦j [ta‹j] dusˆ pleura‹j ‡saj œcV
˜katšran ˜katšrv kaˆ t¾n gwn…an tÍ gwn…v ‡shn œcV t¾n
ØpÕ tîn ‡swn eÙqeiîn periecomšnhn, kaˆ t¾n b£sin tÍ b£sei
‡shn ›xei, kaˆ tÕ tr…gwnon tù trigènJ ‡son œstai, kaˆ aƒ loipaˆ
gwn…ai ta‹j loipa‹j gwn…aij ‡sai œsontai ˜katšra ˜katšrv, Øf' §j
aƒ ‡sai pleuraˆ Øpote…nousin.
”Estw dÚo tr…gwna t¦ ABG, DEZ t¦j dÚo pleur¦j t¦j AB, AG ta‹j
dusˆ pleura‹j ta‹j DE, DZ ‡saj œconta ˜katšran ˜katšrv t¾n m•n
AB tÍ DE t¾n d• AG tÍ DZ kaˆ gwn…an t¾n ØpÕ BAG gwn…v
tÍ ØpÕ EDZ ‡shn.
Lšgw, Óti kaˆ b£sij ¹ BG b£sei tÍ EZ ‡sh ™st…n, kaˆ tÕ ABG
tr…gwnon tù DEZ trigènJ ‡son œstai, kaˆ aƒ loipaˆ gwn…ai ta‹j
loipa‹j gwn…aij ‡sai œsontai ˜katšra ˜katšrv, Øf' §j aƒ ‡sai
pleuraˆ Øpote…nousin, ¹ m•n ØpÕ ABG tÍ ØpÕ DEZ, ¹ d•
ØpÕ AGB tÍ ØpÕ DZE.
'Efarmozomšnou g¦r toà ABG trigènou ™pˆ tÕ DEZ tr…gwnon
kaˆ tiqemšnou toà m•n A shme…ou ™pˆ tÕ D shme‹on tÁj d•
AB eÙqe…aj ™pˆ t¾n DE, ™farmÒsei kaˆ tÕ B shme‹on ™pˆ
tÕ E di¦ tÕ ‡shn e•nai t¾n AB tÍ DE: ™farmos£shj d¾ tÁj AB
™pˆ t¾n DE ™farmÒsei kaˆ ¹ AG eÙqe‹a ™pˆ t¾n DZ di¦ tÕ
‡shn e•nai t¾n ØpÕ BAG gwn…an tÍ ØpÕ EDZ: éste kaˆ tÕ G
shme‹on ™pˆ tÕ Z shme‹on ™farmÒsei di¦ tÕ ‡shn p£lin e•nai
t¾n AG tÍ DZ. 'All¦ m¾n kaˆ tÕ B ™pˆ tÕ E ™fhrmÒkei: éste
b£sij ¹ BG ™pˆ b£sin t¾n EZ ™farmÒsei. E“ g¦r toà m•n B ™pˆ
tÕ E ™farmÒsantoj toà d• G ™pˆ tÕ Z ¹ BG b£sij ™pˆ t¾n EZ
oÙk ™farmÒsei, dÚo eÙqe‹ai cwr…on perišxousin: Óper
™stˆn ¢dÚnaton. 'EfarmÒsei ¥ra ¹ BG b£sij ™pˆ t¾n EZ kaˆ
‡sh aÙtÍ œstai: éste kaˆ Ólon tÕ ABG tr…gwnon ™pˆ Ólon tÕ
DEZ tr…gwnon ™farmÒsei kaˆ ‡son aÙtù œstai, kaˆ aƒ loipaˆ
gwn…ai ™pˆ t¦j loip¦j gwn…aj ™farmÒsousi kaˆ ‡sai aÙta‹j
Euklid, Elemente (Texte)
10
œsontai, ¹ m•n ØpÕ ABG tÍ ØpÕ DEZ ¹ d• ØpÕ AGB tÍ ØpÕ
DZE.
'E¦n ¥ra dÚo tr…gwna t¦j dÚo pleur¦j [ta‹j] dÚo pleura‹j ‡saj
œcV ˜katšran ˜katšrv kaˆ t¾n gwn…an tÍ gwn…v ‡shn œcV
t¾n ØpÕ tîn ‡swn eÙqeiîn periecomšnhn, kaˆ t¾n b£sin tÍ
b£sei ‡shn œxei, kaˆ tÕ tr…gwnon tù trigènJ ‡son œstai, kaˆ
aƒ loipaˆ gwn…ai ta‹j loipa‹j gwn…aij ‡sai œsontai ˜katšra
˜katšrv, Øf' §j aƒ ‡sai pleuraˆ Øpote…nousin: Óper œdei
de‹xai.
Satz von Pythagoras
Proklos p. 426, 6 – 9 Friedlein:
Tîn m•n ƒstore‹n t¦ ¢rca‹a boulomšnwn ¢koÚontaj tÕ
qeèrhma toàto e“j PuqagÒran ¢napempÒntwn ™stˆn eØre‹n
kaˆ bouqute‹n legÒntwn aÙtÕn ™pˆ tÍ eØršsei.
Qeèrhma mz'.
'En to‹j Ñrqogwn…oij trigènoij tÕ ¢pÕ tÁj t¾n Ñrq¾n gwn…an
ØpoteinoÚshj pleur©j tetr£gwnon ‡son ™stˆ to‹j ¢pÕ tîn t¾n
Ñrq¾n gwn…an periecousîn pleurîn tetragènoij.
”Estw tr…gwnon Ñrqogènion tÕ ABG Ñrq¾n œcon t¾n ØpÕ
BAG gwn…an:
lšgw, Óti tÕ ¢pÕ tÁj BG tetr£gwnon ‡son ™stˆ to‹j ¢pÕ tîn
BA, AG tetragènoij.
'Anagegr£fqw g¦r ¢pÕ m•n tÁj BG tetr£gwnon tÕ BDEG, ¢pÕ
d• tîn BA, AG t¦ HB, QG, kaˆ di¦ toà A Ðpotšrv tîn BD, GE
par£llhloj ½cqw ¹ AL: kaˆ ™pezeÚcqwsan aƒ AD, ZG. Kaˆ
™peˆ Ñrq» ™stin ˜katšra tîn ØpÕ BAG, BAH gwniîn, prÕj d»
tini eÙqe…v tÍ BA kaˆ tù prÕj aÙtÍ shme…J tù A dÚo eÙqe‹ai
aƒ AG, AH m¾ ™pˆ t¦ aÙt¦ mšrh ke…menai t¦j ™fexÁj gwn…aj
dusˆn Ñrqa‹j ‡saj poioàsin: ™p' eÙqe…aj ¥ra ™stˆn ¹ GA tÍ AH.
Di¦ t¦ aÙt¦ d¾ kaˆ ¹ BA tÍ AQ ™stin ™p' eÙqe…aj. Kaˆ ™peˆ
‡sh ™stˆn ¹ ØpÕ DBG gwn…a tÍ ØpÕ ZBA: Ñrq¾ g¦r ˜katšra:
koin¾ proske…sqw ¹ ØpÕ ABG: Ólh ¥ra ¹ ØpÕ DBA ÓlV tÍ
ØpÕ ZBG ™stin ‡sh. Kaˆ ™peˆ ‡sh ™stˆn ¹ m•n DB tÍ BG, ¹
d• ZB tÍ BA, dÚo d¾ aƒ DB, BA dÚo ta‹j ZB, BG ‡sai e“sˆn
˜katšra ˜katšrv: kaˆ gwn…a ¹ ØpÕ DBA gwn…v tÍ ØpÕ ZBG
Euklid, Elemente (Texte)
11
‡sh: b£sij ¥ra ¹ AD b£sei tÍ ZG [™stin] ‡sh, kaˆ tÕ ABD tr…gwnon tù ZBG trigènJ ™stˆn ‡son: kaˆ [™stˆ] toà m•n ABD
trigènou dipl£sion tÕ BL parallhlÒgrammon: b£sin te g¦r t¾n
aÙt¾n œcousi t¾n BD kaˆ ™n ta‹j aÙta‹j e“si parall»loij ta‹j BD,
AL: toà d• ZBG trigènou dipl£sion tÕ HB tetr£gwnon: b£sin te
g¦r p£lin t¾n aÙt¾n œcousi t¾n ZB kaˆ ™n ta‹j aÙta‹j e“si
parall»loij ta‹j ZB, HG. [T¦ d• tîn ‡swn dipl£sia ‡sa ¢ll»loij
™st…n:] ‡son ¥ra ™stˆ kaˆ tÕ BL parallhlÒgrammon tù HB
tetragènJ. `Omo…wj d¾ ™pizeugnumšnwn tîn AE, BK
deicq»setai kaˆ tÕ GL parallhlÒgrammon ‡son tù QG
tetragènJ: Ólon ¥ra tÕ BDEG tetr£gwnon dusˆ to‹j HB, QG
tetragènoij ‡son ™st…n. Ka… ™sti tÕ m•n BDEG tetr£gwnon
¢pÕ tÁj BG ¢nagrafšn, t¦ d• HB, QG ¢pÕ tîn BA, AG. TÕ ¥ra
¢pÕ tÁj BG pleur©j tetr£gwnon ‡son ™stˆ to‹j ¢pÕ tîn BA, AG
pleurîn tetragènoij.
'En ¥ra to‹j Ñrqogwn…oij trigènoij tÕ ¢pÕ tÁj t¾n Ñrq¾n
gwn…an ØpoteinoÚshj pleur©j tetr£gwnon ‡son ™stˆ to‹j ¢pÕ
tîn t¾n Ñrq¾n [gwn…an] periecousîn pleurîn tetragènoij: Óper
œdei de‹xai.
Qeèrhma mh'.
'E¦n trigènou tÕ ¢pÕ mi©j tîn pleurîn tetr£gwnon ‡son Ï to‹j
¢pÕ tîn loipîn toà trigènou dÚo pleurîn tetragènoij, ¹
periecomšnh gwn…a ØpÕ tîn loipîn toà trigènou dÚo pleurîn
Ñrq» ™stin.
Trigènou g¦r toà ABG tÕ ¢pÕ mi©j tÁj BG pleur©j tetr£gwnon
‡son œstw to‹j ¢pÕ tîn BA, AG pleurîn tetragènoij:
lšgw, Óti Ñrq» ™stin ¹ ØpÕ BAG gwn…a.
”Hcqw g¦r ¢pÕ toà A shme…ou tÍ AG eÙqe…v prÕj Ñrq¦j ¹ AD
kaˆ ke…sqw tÍ BA ‡sh ¹ AD, kaˆ ™pezeÚcqw ¹ DG. 'Epeˆ ‡sh
™stˆn ¹ DA tÍ AB, ‡son ™stˆ kaˆ tÕ ¢pÕ tÁj DA tetr£gwnon tù
¢pÕ tÁj AB tetragènJ. KoinÕn proske…sqw tÕ ¢pÕ tÁj AG
tetr£gwnon: t¦ ¥ra ¢pÕ tîn DA, AG tetr£gwna ‡sa ™stˆ to‹j ¢pÕ
tîn BA, AG tetragènoij. 'All¦ to‹j m•n ¢pÕ tîn DA, AG ‡son ™stˆ
tÕ ¢pÕ tÁj DG: Ñrq¾ g£r ™stin ¹ ØpÕ DAG gwn…a: to‹j d•
¢pÕ tîn BA, AG ‡son ™stˆ tÕ ¢pÕ BG: ØpÒkeitai g£r: tÕ ¥ra
¢pÕ tÁj DG tetr£gwnon ‡son ™stˆ tù ¢pÕ tÁj BG tetragènJ:
éste kaˆ pleur¦ ¹ DG tÍ BG ™stin ‡sh: kaˆ ™peˆ ‡sh ™stˆn ¹ DA
Euklid, Elemente (Texte)
12
tÍ AB, koin¾ d• ¹ AG, dÚo d¾ aƒ DA, AG dÚo ta‹j BA, AG ‡sai
e“s…n: kaˆ b£sij ¹ DG b£sei tÍ BG ‡sh: gwn…a ¥ra ¹ ØpÕ DAG
gwn…v tÍ ØpÕ BAG [™stin] ‡sh. 'Orq¾ d• ¹ ØpÕ DAG: Ñrq¾
¥ra kaˆ ¹ ØpÕ BAG.
”E¦n ¥ra trigènou tÕ ¢pÕ mi©j tîn pleurîn tetr£gwnon ‡son Ï
to‹j ¢pÕ tîn loipîn toà trigènou dÚo pleurîn tetragènoij, ¹
periecomšnh gwn…a ØpÕ tîn loipîn toà trigènou dÚo pleurîn
Ñrq» ™stin: Óper œdei de‹xai.
Euklid, Elemente (Texte)
13
Geometrie (2. Buch)
Fehlende Algebra…
OROI
b'
PantÕj d• parallhlogr£mmou cwr…ou tîn perˆ t¾n di£metron aÙtoà parallhlogr£mmwn ž n Ðpoionoàn sÝn to‹j
dusˆ paraplhrèmasi gnèmwn kale…sqw.
Qeèrhma e'.
'E¦n eÙqe‹a gramm¾ tmhqÍ e“j ‡sa kaˆ ¥nisa, tÕ ØpÕ tîn
¢n…swn tÁj Ólhj tmhm£twn periecÒmenon Ñrqogènion met¦
toà ¢pÕ tÁj metaxÝ tîn tomîn tetragènou ‡son ™stˆ tù ¢pÕ tÁj
¹mise…aj tetragènJ.
EÙqe‹a g£r tij ¹ AB tetm»sqw e“j m•n ‡sa kat¦ tÕ G, e“j d•
¥nisa kat¦ tÕ D:
lšgw, Óti tÕ ØpÕ tîn AD, DB periecÒmenon Ñrqogènion met¦
toà ¢pÕ tÁj GD tetragènou ‡son ™stˆ tù ¢pÕ tÁj GB tetragènJ.
'Anagegr£fqw g¦r ¢pÕ tÁj GB tetr£gwnon tÕ GEZB, kaˆ
™pezeÚcqw ¹ BE, kaˆ di¦ m•n toà D Ðpotšrv tîn GE, BZ
par£llhloj ½cqw ¹ DH, di¦ d• toà Q Ðpotšrv tîn AB, EZ par£llhloj
p£lin ½cqw ¹ KM, kaˆ p£lin di¦ toà A Ðpotšrv tîn GL, BM
par£llhloj ½cqw ¹ AK. Kaˆ ™peˆ ‡son ™stˆ tÕ GQ parapl»rwma
tù QZ paraplhrèmati, koinÕn proske…sqw tÕ DM: Ólon ¥ra tÕ
GM ÓlJ tù DZ ‡son ™st…n. 'All¦ tÕ GM tù AL ‡son ™st…n,
™peˆ kaˆ ¹ AG tÍ GB ™stin ‡sh: kaˆ tÕ AL ¥ra tù DZ ‡son
™st…n. KoinÕn proske…sqw tÕ GQ: Ólon ¥ra tÕ AQ tù MNX
gnèmoni ‡son ™st…n. 'All¦ tÕ AQ tÕ ØpÕ tîn AD, DB ™stin:
‡sh g¦r ¹ DQ tÍ DB: kaˆ Ð MNX ¥ra gnèmwn ‡soj ™stˆ tù ØpÕ
AD, DB. KoinÕn proske…sqw tÕ LH, Ó ™stin ‡son tù ¢pÕ tÁj
GD: Ð ¥ra MNX gnèmwn kaˆ tÕ LH ‡sa ™stˆ tù ØpÕ tîn AD,
DB periecomšnJ Ñrqogwn…J kaˆ tù ¢pÕ tÁj GD tetragènJ. 'All¦
Ð MNX gnèmwn kaˆ tÕ LH Ólon ™stˆ tÕ GEZB tetr£gwnon, Ó
™stin ¢pÕ tÁj GB: tÕ ¥ra ØpÕ tîn AD, DB periecÒmenon
Ñrqogènion met¦ toà ¢pÕ tÁj GD tetragènou ‡son ™stˆ tù ¢pÕ
tÁj GB tetragènJ.
'E¦n ¥ra eÙqe‹a gramm¾ tmhqÍ e“j ‡sa kaˆ ¥nisa, tÕ ØpÕ tîn
¢n…swn tÁj Ólhj tmhm£twn periecÒmenon Ñrqogènion met¦
Euklid, Elemente (Texte)
14
toà ¢pÕ tÁj metaxÝ tîn tomîn tetragènou ‡son ™stˆ tù ¢pÕ tÁj
¹mise…aj tetragènJ: Óper œdei de‹xai.
Zu beliebigem Viereck flächengleiches Quadrat
Als Vorbereitung für das entscheidende Problema id' benutzt Euklid
folgenden Satz:
PrÒblhma me'.
Tù doqšnti eÙqugr£mmJ ‡son parallhlÒgrammon sust»sasqai
™n tÍ doqe…sV gwn…v eÙqugr£mmJ.
”Estw tÕ m•n doq•n eÙqÚgrammon tÕ ABGD, ¹ d• doqe‹sa
gwn…a eÙqÚgrammoj ¹ E:
de‹ d¾ tù ABGD eÙqugr£mmJ ‡son parallhlÒgrammon
sust»sasqai ™n tÍ doqe…sV gwn…v tÍ E.
'EpezeÚcqw ¹ DB, kaˆ sunest£tw tù ABD trigènJ ‡son
parallhlÒgrammon tÕ ZQ ™n tÍ ØpÕ QKZ gwn…v, ¼ ™stin
‡sh tÍ E: kaˆ parabebl»sqw par¦ t¾n HQ eÙqe‹an tù DBG
trigènJ ‡son parallhlÒgrammon tÕ HM ™n tÍ ØpÕ HQM
gwn…v, ¼ ™stin ‡sh tÍ E. Kaˆ ™peˆ ¹ E gwn…a ˜katšrv tîn
ØpÕ QKZ, HQM ™stin ‡sh, kaˆ ¹ ØpÕ QKZ ¥ra tÍ ØpÕ HQM
™stin ‡sh. Koin¾ proske…sqw ¹ ØpÕ KQH: aƒ ¥ra ØpÕ ZKQ,
KQH ta‹j ØpÕ KQH, HQM ‡sai e“s…n. 'All' aƒ ØpÕ ZKQ, KQH
dusˆn Ñrqa‹j ‡sai e“s…n: kaˆ aƒ ØpÕ KQH, HQM ¥ra dÚo
Ñrqa‹j ‡sai e“s…n. PrÕj d» tini eÙqe…v tÍ HQ kaˆ tù prÕj aÙtÍ
shme…J tù Q dÚo eÙqe‹ai aƒ KQ, QM m¾ ™pˆ t¦ aÙt¦ mšrh
ke…menai t¦j ™fexÁj gwn…aj dÚo Ñrqa‹j ‡saj poioàsin: ™p'
eÙqe…aj ¥ra ™stˆn ¹ KQ tÍ QM: kaˆ ™peˆ e“j parall»louj t¦j KM,
ZH eÙqe‹a ™nšpesen ¹ QH, aƒ ™nall¦x gwn…ai aƒ ØpÕ MQH,
QHZ ‡sai ¢ll»laij e“s…n. Koin¾ proske…sqw ¹ ØpÕ QHL: aƒ
¥ra ØpÕ MQH, QHL ta‹j ØpÕ QHZ, QHL ‡sai e“s…n. 'All' aƒ
ØpÕ MQH, QHL dÚo Ñrqa‹j ‡sai e“s…n: kaˆ aƒ ØpÕ QHZ,
QHL ¥ra dÚo Ñrqa‹j ‡sai e“s…n: ™p' eÙqe…aj ¥ra ™stˆn ¹ ZH
tÍ HL. Kaˆ ™peˆ ¹ ZK tÍ QH ‡sh te kaˆ par£llhlÒj ™stin, ¢ll¦ kaˆ ¹
QH tÍ ML, kaˆ ¹ KZ ¥ra tÍ ML ‡sh te kaˆ par£llhlÒj ™stin: kaˆ
™pizeugnÚousin aÙt¦j eÙqe‹ai aƒ KM, ZL: kaˆ aƒ KM, ZL ¥ra
‡sai te kaˆ par£llhlo… e“sin: parallhlÒgrammon ¥ra ™stˆ tÕ
KZLM. Kaˆ ™peˆ ‡son ™stˆ tÕ m•n ABD tr…gwnon tù ZQ
Euklid, Elemente (Texte)
15
parallhlogr£mmJ, tÕ d• DBG tù HM, Ólon ¥ra tÕ ABGD
eÙqÚgrammon ÓlJ tù KZLM parallhlogr£mmJ ™stˆn ‡son.
Tù ¥ra doqšnti eÙqugr£mmJ tù ABGD ‡son parallhlÒgrammon sunšstatai tÕ KZLM ™n gwn…v tÍ ØpÕ ZKM, ¼
™stin ‡sh tÍ doqe…sV tÍ E: Óper œdei poiÁsai.
PrÒblhma id'.
Tù doqšnti eÙqugr£mmJ ‡son tetr£gwnon sust»sasqai.
”Estw tÕ doq•n eÙqÚgrammon tÕ A:
de‹ d¾ tù A eÙqugr£mmJ ‡son tetr£gwnon sust»sasqai.
Sunest£tw g¦r tù A eÙqugr£mmJ ‡son parallhlÒgrammon
Ñrqogènion tÕ BD: e“ m•n oân ‡sh ™stˆn ¹ BE tÍ ED, gegonÕj
¨n e‡h tÕ ™pitacqšn. Sunšstatai g¦r tù A eÙqugr£mmJ ‡son
tetr£gwnon tÕ BD: e“ d• oÜ, m…a tîn BE, ED me…zwn
™st…n. ”Estw me…zwn ¹ BE, kaˆ ™kbebl»sqw ™pˆ tÕ Z, kaˆ
ke…sqw tÍ ED ‡sh ¹ EZ, kaˆ tetm»sqw ¹ BZ d…ca kat¦ tÕ H, kaˆ
kšntrJ tù H, diast»mati d• ˜nˆ tîn HB, HZ ¹mikÚklion gegr£fqw
tÕ BQZ, kaˆ ™kbebl»sqw ¹ DE ™pˆ tÕ Q, kaˆ ™pezeÚcqw ¹
HQ.
'Epeˆ oân eÙqe‹a ¹ BZ tštmhtai e“j m•n ‡sa kat¦ tÕ H, e“j d•
¥nisa kat¦ tÕ E, tÕ ¥ra ØpÕ tîn BE, EZ periecÒmenon
Ñrqogènion met¦ toà ¢pÕ tÁj EH tetragènou ‡son ™stˆ tù ¢pÕ
tÁj HZ tetragènJ. ”Ish d• ¹ HZ tÍ HQ: tÕ ¥ra ØpÕ tîn BE, EZ
met¦ toà ¢pÕ tÁj HE ‡son ™stˆ tù ¢pÕ tÁj HQ. Tù d• ¢pÕ tÁj
HQ ‡sa ™stˆ t¦ ¢pÕ tîn QE, EH tetr£gwna: tÕ ¥ra ØpÕ tîn BE,
EZ met¦ toà ¢pÕ HE ‡sa ™stˆ to‹j ¢pÕ tîn QE, EH. KoinÕn
¢fVr»sqw tÕ ¢pÕ tÁj HE tetr£gwnon: loipÕn ¥ra tÕ ØpÕ tîn BE,
EZ periecÒmenon Ñrqogènion ‡son ™stˆ tù ¢pÕ tÁj EQ
tetragènJ. 'All¦ tÕ ØpÕ tîn BE, EZ tÕ BD ™stin: ‡sh g¦r ¹ EZ tÍ
ED: tÕ ¥ra BD parallhlÒgrammon ‡son ™stˆ tù ¢pÕ tÁj QE
tetragènJ. ”Ison d• tÕ BD tù A eÙqugr£mmJ. Kaˆ tÕ A ¥ra
eÙqÚgrammon ‡son ™stˆ tù ¢pÕ tÁj EQ ¢nagrafhsomšnJ
tetragènJ.
Tù ¥ra doqšnti eÙqugr£mmJ tù A ‡son tetr£gwnon sunšstatai
tÕ ¢pÕ tÁj EQ ¢nagrafhsÒmenon: Óper œdei poiÁsai.
Euklid, Elemente (Texte)
16
Konstruktion der regelmässigen n-Ecke (4. Buch)
Regelmässiges 5-Eck
PrÒblhma i'.
'Isoskel•j tr…gwnon sust»sasqai œcon ˜katšran tîn prÕj tÍ
b£sei gwniîn diplas…ona tÁj loipÁj.
'Ekke…sqw tij eÙqe‹a ¹ AB, kaˆ tetm»sqw kat¦ tÕ G shme‹on,
éste tÕ ØpÕ tîn AB, BG periecÒmenon Ñrqogènion ‡son
e•nai tù ¢pÕ tÁj GA tetragènJ: kaˆ kšntrJ tù A kaˆ diast»mati tù
AB kÚkloj gegr£fqw Ð BDE, kaˆ ™nhrmÒsqw e“j tÕn BDE
kÚklon tÍ AG eÙqe…v m¾ me…zoni oÜsV tÁj toà BDE kÚklou
diamštrou ‡sh eÙqe‹a ¹ BD: kaˆ ™pezeÚcqwsan aƒ AD, DG,
kaˆ perigegr£fqw perˆ tÕ AGD tr…gwnon kÚkloj Ð AGD.
Kaˆ ™peˆ tÕ ØpÕ tîn AB, BG ‡son ™stˆ tù ¢pÕ tÁj AG, ‡sh
d• ¹ AG tÍ BD, tÕ ¥ra ØpÕ tîn AB, BG ‡son ™stˆ tù ¢pÕ tÁj
BD. Kaˆ ™peˆ kÚklou toà AGD e‡lhpta… ti shme‹on ™ktÕj tÕ
B, kaˆ ¢pÕ toà B prÕj tÕn AGD kÚklon prospeptèkasi dÚo
eÙqe‹ai aƒ BA, BD, kaˆ ¹ m•n aÙtîn tšmnei, ¹ d• prosp…ptei,
ka… ™sti tÕ ØpÕ tîn AB, BG ‡son tù ¢pÕ tÁj BD, ¹ BD ¥ra
™f£ptetai toà AGD kÚklou. 'Epeˆ oân ™f£ptetai m•n ¹ BD, ¢pÕ
d• tÁj kat¦ tÕ D ™pafÁj diÁktai ¹ DG, ¹ ¥ra ØpÕ BDG gwn…a
‡sh ™stˆ tÍ ™n tù ™nall¦x toà kÚklou tm»mati gwn…v tÍ ØpÕ
DAG. 'Epeˆ oân ‡sh ™stˆn ¹ ØpÕ BDG tÍ ØpÕ DAG, koin¾
proske…sqw ¹ ØpÕ GDA: Ólh ¥ra ¹ ØpÕ BDA ‡sh ™stˆ dusˆ
ta‹j ØpÕ GDA, DAG. 'All¦ ta‹j ØpÕ GDA, DAG ‡sh ™stˆn ¹
™ktÕj ¹ ØpÕ BGD: kaˆ ¹ ØpÕ BDA ¥ra ‡sh ™stˆ tÍ ØpÕ BGD.
'All¦ ¹ ØpÕ BDA tÍ ØpÕ GBD ™stin ‡sh, ™peˆ kaˆ pleur¦ ¹ AD tÍ
AB ™stin ‡sh: éste kaˆ ¹ ØpÕ DBA tÍ ØpÕ BGD ™stin ‡sh. Aƒ
tre‹j ¥ra aƒ ØpÕ BDA, DBA, BGD ‡sai ¢ll»laij e“s…n. Kaˆ ™peˆ
‡sh ™stˆn ¹ ØpÕ DBG gwn…a tÍ ØpÕ BGD, ‡sh ™stˆ kaˆ
pleur¦ ¹ BD pleur´ tÍ DG. 'All¦ ¹ BD tÍ GA ØpÒkeitai ‡sh: kaˆ ¹ GA
¥ra tÍ GD ™stin ‡sh: éste kaˆ gwn…a ¹ ØpÕ GDA gwn…v tÍ
ØpÕ DAG ™stin ‡sh: aƒ ¥ra ØpÕ GDA, DAG tÁj ØpÕ DAG
e“si diplas…ouj. ”Ish d• ¹ ØpÕ BGD ta‹j ØpÕ GDA, DAG: kaˆ ¹
ØpÕ BGD ¥ra tÁj ØpÕ GAD ™sti diplÁ. ”Ish d• ¹ ØpÕ BGD
˜katšrv tîn ØpÕ BDA, DBA: kaˆ ˜katšra ¥ra tîn ØpÕ BDA, DBA
tÁj ØpÕ DAB ™sti diplÁ.
Euklid, Elemente (Texte)
17
'Isoskel•j ¥ra tr…gwnon sunšstatai tÕ ABD œcon ˜katšran tîn
prÕj tÍ DB b£sei gwniîn diplas…ona tÁj loipÁj: Óper œdei
poiÁsai.
PrÒblhma ia'.
E“j tÕn doqšnta kÚklon pent£gwnon “sÒpleurÒn te kaˆ
“sogènion ™ggr£yai.
”Estw Ð doqeˆj kÚkloj Ð ABGDE:
de‹ d¾ e“j tÕn ABGDE kÚklon pent£gwnon “sÒpleurÒn te kaˆ
“sogènion ™ggr£yai.
'Ekke…sqw tr…gwnon “soskel•j tÕ ZHQ diplas…ona œcon
˜katšran tîn prÕj to‹j H, Q gwniîn tÁj prÕj tù Z, kaˆ ™ggegr£fqw
e“j tÕn ABGDE kÚklon tù ZHQ trigènJ “sogènion tr…gwnon tÕ
AGD, éste tÍ m•n prÕj tù Z gwn…v ‡shn e•nai t¾n ØpÕ GAD,
˜katšran d• tîn prÕj to‹j H, Q ‡shn ˜katšrv tîn ØpÕ AGD, GDA:
kaˆ ˜katšra ¥ra tîn ØpÕ AGD, GDA tÁj ØpÕ GAD ™sti diplÁ.
Tetm»sqw d¾ ˜katšra tîn ØpÕ AGD, GDA d…ca ØpÕ ˜katšraj
tîn GE, DB eÙqeiîn, kaˆ ™pezeÚcqwsan aƒ AB, BG, [GD], DE,
EA.
'Epeˆ oân ˜katšra tîn ØpÕ AGD, GDA gwniîn diplas…wn ™stˆ
tÁj ØpÕ GAD, kaˆ tetmhmšnai e“sˆ d…ca ØpÕ tîn GE, DB
eÙqeiîn, aƒ pšnte ¥ra gwn…ai aƒ ØpÕ DAG, AGE, EGD, GDB,
BDA ‡sai ¢ll»laij e“s…n. Aƒ d• ‡sai gwn…ai ™pˆ ‡swn
perifereiîn beb»kasin: aƒ pšnte ¥ra perifšreiai aƒ AB, BG, GD,
DE, EA ‡sai ¢ll»laij e“s…n. `UpÕ d• t¦j ‡saj perifere…aj ‡sai
eÙqe‹ai Øpote…nousin: aƒ pšnte ¥ra eÙqe‹ai aƒ AB, BG, GD,
DE, EA ‡sai ¢ll»laij e“s…n: “sÒpleuron ¥ra ™stˆ tÕ ABGDE
pent£gwnon. Lšgw d», Óti kaˆ “sogènion. 'Epeˆ g¦r ¹ AB perifšreia tÍ DE perifere…v ™stˆn ‡sh, koin¾ proske…sqw ¹ BGD:
Ólh ¥ra ¹ ABGD perifšreia ÓlV tÍ EDGB perifere…v ™stˆn ‡sh.
Kaˆ bšbhken ™pˆ m•n tÁj ABGD perifere…aj gwn…a ¹ ØpÕ
AED, ™pˆ d• tÁj EDGB perifere…aj gwn…a ¹ ØpÕ BAE: kaˆ ¹
ØpÕ BAE ¥ra gwn…a tÍ ØpÕ AED ™stin ‡sh. Di¦ t¦ aÙt¦ d¾ kaˆ
˜k£sth tîn ØpÕ ABG, BGD, GDE gwniîn ˜katšrv tîn ØpÕ BAE,
AED ™stin ‡sh: “sogènion ¥ra ™stˆ tÕ ABGDE pent£gwnon.
'Ede…cqh d• kaˆ “sÒpleuron.
E“j ¥ra tÕn doqšnta kÚklon pent£gwnon “sÒpleurÒn te kaˆ
“sogènion ™ggšgraptai: Óper œdei poiÁsai.
Euklid, Elemente (Texte)
18
Regelmässiges 15-Eck
PrÒblhma ij'.
E“j tÕn doqšnta kÚklon pentekaidek£gwnon “sÒpleurÒn te
kaˆ “sogènion ™ggr£yai.
”Estw Ð doqeˆj kÚkloj Ð ABGD:
de‹ d¾ e“j tÕn ABGD kÚklon pentekaidek£gwnon “sÒpleurÒn
te kaˆ “sogènion ™ggr£yai.
'Eggegr£fqw e“j tÕn ABGD kÚklon trigènou m•n “sopleÚrou
toà e“j aÙtÕn ™ggrafomšnou pleur¦ ¹ AG, pentagènou d•
“sopleÚrou ¹ AB: o†wn ¥ra ™stˆn Ð ABGD kÚkloj ‡swn
tmhm£twn dekapšnte, toioÚtwn ¹ m•n ABG perifšreia tr…ton
oâsa toà kÚklou œstai pšnte, ¹ d• AB perifšreia pšmpton oâsa
toà kÚklou œstai triîn: loip¾ ¥ra ¹ BG tîn ‡swn dÚo. Tetm»sqw
¹ BG d…ca kat¦ tÕ E: ˜katšra ¥ra tîn BE, EG perifereiîn
pentekaidškatÒn ™sti toà ABGD kÚklou.
'E¦n ¥ra ™pizeÚxantej t¦j BE, EG ‡saj aÙta‹j kat¦ tÕ sunec•j
eÙqe…aj ™narmÒswmen e“j tÕn ABGD[E] kÚklon, œstai e“j
aÙtÕn ™ggegrammšnon pentekaidek£gwnon “sÒpleurÒn te
kaˆ “sogènion: Óper œdei poiÁsai.
Euklid, Elemente (Texte)
19
Arithmetik (7. Buch)
Definitionen
OROI
a'.
Mon£j ™stin, kaq' ¿n ›kaston tîn Ôntwn ž n lšgetai.
b'.
'AriqmÕj d• tÕ ™k mon£dwn sugke…menon plÁqoj.
g'.
Mšroj ™stˆn ¢riqmÕj ¢riqmoà Ð ™l£sswn toà me…zonoj,
Ótan katametrÍ tÕn me…zona.
d'.
Mšrh dš, Ótan m¾ katametrÍ.
e'.
Pollapl£sioj d• Ð me…zwn toà
katametrÁtai ØpÕ toà ™l£ssonoj.
j'.
”Artioj ¢riqmÒj ™stin Ð d…ca diairoÚmenoj.
z'.
PerissÕj d• Ð m¾ diairoÚmenoj d…ca À Ð mon£di
diafšrwn ¢rt…ou ¢riqmoà.
h'.
'Arti£kij ¥rtioj ¢riqmÒj ™stin Ð ØpÕ ¢rt…ou ¢riqmoà
metroÚmenoj kat¦ ¥rtion ¢riqmÒn.
q'.
'Arti£kij d• perissÒj ™stin Ð ØpÕ ¢rt…ou ¢riqmoà
metroÚmenoj kat¦ perissÕn ¢riqmÒn.
i'.
Periss£kij ¢rtiÒj ™stin Ð ØpÕ
metroÚmenoj kat¦ ¥rtion ¢riqmÒn.
ia'.
Periss£kij d• perissÒj ¢riqmÒj ™stin Ð ØpÕ perissoà
¢riqmoà metroÚmenoj kat¦ perissÕn ¢riqmÒn.
ib'.
Prîtoj ¢riqmÒj ™stin Ð mon£di mÒnV metroÚmenoj.
ig'.
Prîtoi prÕj ¢ll»louj ¢riqmo… e“sin oƒ mon£di mÒnV
metroÚmenoi koinù mštrJ.
id'.
SÚnqetoj ¢riqmÒj ™stin Ð ¢riqmù tini metroÚmenoj.
ie'.
SÚnqetoi d• prÕj ¢ll»louj ¢riqmo… e“sin oƒ ¢riqmù tini
metroÚmenoi koinù mštrJ.
ij'.
'AriqmÕj ¢riqmÕn pollaplasi£zein lšgetai, Ótan, Ósai e“sˆn
™n aÙtù mon£dej, tosaut£kij sunteqÍ Ð pollaplasiazÒmenoj, kaˆ gšnhta… tij.
iz'.
”Otan d• dÚo ¢riqmo… pollaplasi£santej ¢ll»louj poiîs…
tina, Ð genÒmenoj ™p…pedoj kale‹tai, pleuraˆ d• aÙtoà
oƒ pollaplasi£santej ¢ll»louj ¢riqmo….
Euklid, Elemente (Texte)
™l£ssonoj,
perissoà
Ótan
¢riqmoà
20
ih'.
”Otan d• tre‹j ¢riqmoˆ pollaplasi£santej ¢ll»louj poiîs…
tina, Ð genÒmenoj stereÒj ™stin, pleuraˆ d• aÙtoà oƒ
pollaplasi£santej ¢ll»louj ¢riqmo….
iq'.
Tetr£gwnoj ¢riqmÒj ™stin Ð “s£kij ‡soj À Ð ØpÕ dÚo
Šswn ¢riqmîn periecÒmenoj.
k'.
KÚboj d• Ð “s£kij ‡soj “s£kij À Ð ØpÕ triîn ‡swn ¢riqmîn
periecÒmenoj.
ka'. 'Ariqmoˆ ¢n£logÒn e“sin, Ótan Ð prîtoj toà deutšrou kaˆ Ð
tr…toj toà tet£rtou “s£kij Ï pollapl£sioj À tÕ aÙtÕ mšroj À t¦
aÙt¦ mšrh ðsin.
kb'. ”Omoioi ™p…pedoi kaˆ stereoˆ ¢riqmo… e“sin oƒ
¢n£logon œcontej t¦j pleur£j.
kg'. Tšleioj ¢riqmÒj ™stin Ð to‹j ˜autoà mšresin ‡soj ên.
Euklidischer Algorithmus
Qeèrhma b'.
DÚo ¢riqmîn doqšntwn m¾ prètwn prÕj ¢ll»louj tÕ mšgiston
aÙtîn koinÕn mštron eØre‹n.
”Estwsan oƒ doqšntej dÚo ¢riqmoˆ m¾ prîtoi prÕj ¢ll»louj oƒ
AB, GD.
De‹ d¾ tîn AB, GD tÕ mšgiston koinÕn mštron eØre‹n.
E“ m•n oân Ð GD tÕn AB metre‹, metre‹ d• kaˆ ˜autÒn, Ð
GD ¥ra tîn GD, AB koinÕn mštron ™st…n. Kaˆ fanerÒn, Óti kaˆ
mšgiston: oÙdeˆj g¦r me…zwn toà GD tÕn GD metr»sei.
E“ d• oÙ metre‹ Ð GD tÕn AB, tîn AB, GD ¢nqufairoumšnou
¢eˆ toà ™l£ssonoj ¢pÕ toà me…zonoj leifq»seta… tij ¢riqmÒj,
Öj metr»sei tÕn prÕ ˜autoà. Mon¦j m•n g¦r oÙ leifq»setai: e“
d• m», œsontai oƒ AB, GD prîtoi prÕj ¢ll»louj: Óper oÙc
ØpÒkeitai. Leifq»seta… tij ¥ra ¢riqmÒj, Öj metr»sei tÕn prÕ
˜autoà. Kaˆ Ð m•n GD tÕn BE metrîn leipštw ˜autoà ™l£ssona
tÕn EA, Ð d• EA tÕn DZ metrîn leipštw ˜autoà ™l£ssona tÕn
ZG, Ð d• GZ tÕn AE metre…tw. 'Epeˆ oân Ð GZ tÕn AE
metre‹, Ð d• AE tÕn DZ metre‹, kaˆ Ð GZ ¥ra tÕn DZ
metr»sei: metre‹ d• kaˆ ˜autÒn: kaˆ Ólon ¥ra tÕn GD metr»sei.
`O d• GD tÕn BE metre‹: kaˆ Ð GZ ¥ra tÕn BE metre‹: metre‹
d• kaˆ tÕn EA: kaˆ Ólon ¥ra tÕn BA metr»sei: metre‹ d• kaˆ
Euklid, Elemente (Texte)
21
tÕn GD: Ð GZ ¥ra toÝj AB, GD metre‹. Ð GZ ¥ra tîn AB, GD
koinÕn mštron ™st…n. Lšgw d», Óti kaˆ mšgiston. E“ g¦r m»
™stin Ð GZ tîn AB, GD mšgiston koinÕn mštron, metr»sei tij
toÝj AB, GD ¢riqmoÝj ¢riqmÕj me…zwn ín toà GZ. Metre…tw,
kaˆ œstw Ð H. Kaˆ ™peˆ Ð H tÕn GD metre‹, Ð d• GD tÕn BE
metre‹, kaˆ Ð H ¥ra tÕn BE metre‹: metre‹ d• kaˆ Ólon tÕn BA:
kaˆ loipÕn ¥ra tÕn AE metr»sei. `O d• AE tÕn DZ metre‹: kaˆ
Ð H ¥ra tÕn DZ metr»sei: metre‹ d• kaˆ Ólon tÕn DG: kaˆ
loipÕn ¥ra tÕn GZ metr»sei Ð me…zwn tÕn ™l£jsona: Óper
™stˆn ¢dÚnaton: oÙk ¥ra toÝj AB, GD ¢riqmoÝj ¢riqmÒj tij
metr»sei me…zwn ín toà GZ: Ð GZ ¥ra tîn AB, GD mšgistÒn
™sti koinÕn mštron: [Óper œdei de‹xai].
PÒrisma
'Ek d¾ toÚtou fanerÒn, Óti ™¦n ¢riqmÕj dÚo ¢riqmoÝj metrÍ,
kaˆ tÕ mšgiston aÙtîn koinÕn mštron metr»sei: Óper œdei
de‹xai.
Euklid, Elemente (Texte)
22
Geometrie im dreidimensionalen Raum (11. und 12. Buch)
Definitionen
OROI
a'.
StereÒn ™sti tÕ mÁkoj kaˆ pl£toj kaˆ b£qoj œcon.
b'.
Stereoà d• pšraj ™pif£neia.
g'.
EÙqe‹a prÕj ™p…pedon Ñrq» ™stin, Ótan prÕj p£saj t¦j
¡ptomšnaj aÙtÁj eÙqe…aj kaˆ oÜsaj ™n tù [ØpokeimšnJ]
™pipšdJ Ñrq¦j poiÍ gwn…aj.
d'.
'Ep…pedon prÕj ™p…pedon ÑrqÒn ™stin, Ótan aƒ tÍ koinÍ tomÍ tîn ™pipšdwn prÕj Ñrq¦j ¢gÒmenai eÙqe‹ai ™n
˜nˆ tîn ™pipšdwn tù loipù ™pipšdJ prÕj Ñrq¦j ðsin.
e'.
EÙqe…aj prÕj ™p…pedon kl…sij ™st…n, Ótan ¢pÕ toà
meteèrou pšratoj tÁj eÙqe…aj ™pˆ tÕ ™p…pedon
k£qetoj ¢cqÍ, kaˆ ¢pÕ toà genomšnou shme…ou ™pˆ tÕ
™n tù ™pipšdJ pšraj tÁj eÙqe…aj eÙqe‹a ™pizeucqÍ, ¹
periecomšnh gwn…a ØpÕ tÁj ¢cqe…shj kaˆ tÁj
™festèshj.
j'.
'Epipšdou prÕj ™p…pedon kl…sij ™stˆn ¹ periecomšnh
Ñxe‹a gwn…a ØpÕ tîn prÕj Ñrq¦j tÍ koinÍ tomÍ ¢gomšnwn
prÕj tù aÙtù shme…J ™n ˜katšrJ tîn ™pipšdwn.
z'.
'Ep…pedon prÕj ™p…pedon Ðmo…wj kekl…sqai lšgetai
kaˆ ›teron prÕj ›teron, Ótan aƒ e“rhmšnai tîn kl…sewn gwn…ai ‡sai ¢ll»laij ðsin.
h'.
Par£llhla ™p…ped£ ™sti t¦ ¢sÚmptwta.
q'.
”Omoia stere¦ sc»mat£ ™sti t¦ ØpÕ Ðmo…wn ™pipšdwn
periecÒmena ‡swn tÕ plÁqoj.
i'.
”Isa d• kaˆ Ómoia stere¦ sc»mat£ ™sti t¦ ØpÕ Ðmo…wn
™pipšdwn periecÒmena ‡swn tù pl»qei kaˆ tù megšqei.
ia'.
Stere¦ gwn…a ™stˆn ¹ ØpÕ pleiÒnwn À dÚo grammîn
¡ptomšnwn ¢ll»lwn kaˆ m¾ ™n tÍ aÙtÍ ™pifane…v oÙsîn
prÕj p£saij ta‹j gramma‹j kl…sij. ”Allwj: stere¦ gwn…a
™stˆn ¹ ØpÕ pleiÒnwn À dÚo gwniîn ™pipšdwn periecomšnh m¾ oÙsîn ™n tù aÙtù ™pipšdJ prÕj ˜nˆ
shme…J sunistamšnwn.
Euklid, Elemente (Texte)
23
ib'.
Puram…j ™sti scÁma stereÕn ™pipšdoij periecÒmenon
¢pÕ ˜nÕj ™pipšdou prÕj ˜nˆ shme…J sunestèj.
ig'.
Pr…sma ™stˆ scÁma stereÕn ™pipšdoij periecÒmenon,
ïn dÚo t¦ ¢penant…on ‡sa te kaˆ Ómoi£ ™sti kaˆ par£llhla, t¦ d• loip¦ parallhlÒgramma.
id'.
Sfa‹r£ ™stin, Ótan ¹mikukl…ou menoÚshj tÁj diamštrou
perienecq•n tÕ ¹mikÚklion e“j tÕ aÙtÕ p£lin ¢pokatastaqÍ, Óqen ½rxato fšresqai, tÕ perilhfq•n scÁma.
ie'.
”Axwn d• tÁj sfa…raj ™stˆn ¹ mšnousa eÙqe‹a, perˆ ¿n
tÕ ¹mikÚklion stršfetai.
ij'.
Kšntron d• tÁj sfa…raj ™stˆ tÕ aÙtÒ, Ö kaˆ toà
¹mikukl…ou.
iz'.
Di£metroj d• tÁj sfa…raj ™stˆn eÙqe‹£ tij di¦ toà kšntrou
ºgmšnh kaˆ peratoumšnh ™f' ˜k£tera t¦ mšrh ØpÕ tÁj
™pifane…aj tÁj sfa…raj.
ih'.
KînÒj ™stin, Ótan Ñrqogwn…ou trigènou menoÚshj mi©j
pleur©j tîn perˆ t¾n Ñrq¾n gwn…an perienecq•n tÕ
tr…gwnon e“j tÕ aÙtÕ p£lin ¢pokatastaqÍ, Óqen ½rxato
fšresqai, tÕ perilhfq•n scÁma. K¨n m•n ¹ mšnousa
eÙqe‹a ‡sh Ï tÍ loipÍ [tÍ] perˆ t¾n Ñrq¾n periferomšnV,
Ñrqogènioj œstai Ð kînoj, ™¦n d• ™l£ttwn, ¢mblugènioj,
™¦n d• me…zwn, Ñxugènioj.
iq'.
”Axwn d• toà kènou ™stˆn ¹ mšnousa eÙqe‹a, perˆ ¿n tÕ
tr…gwnon stršfetai.
k'.
B£sij d• Ð kÚkloj Ð ØpÕ tÁj periferomšnhj eÙqe…aj
grafÒmenoj.
ka'. KÚlindrÒj ™stin, Ótan Ñrqogwn…ou parallhlogr£mmou
menoÚshj mi©j pleur©j tîn perˆ t¾n Ñrq¾n gwn…an
perienecq•n tÕ parallhlÒgrammon e“j tÕ aÙtÕ p£lin
¢pokatastaqÍ, Óqen ½rxato fšresqai, tÕ perilhfq•n
scÁma.
kb'. ”Axwn d• toà kul…ndrou ™stˆn ¹ mšnousa eÙqe‹a, perˆ
¿n tÕ parallhlÒgrammon stršfetai.
kg'. B£seij d• oƒ kÚkloi oƒ ØpÕ tîn ¢penant…on periagomšnwn dÚo pleurîn grafÒmenoi.
Euklid, Elemente (Texte)
24
kd'. ”Omoioi kînoi kaˆ kÚlindro… e“sin, ïn o† te ¥xonej kaˆ aƒ
di£metroi tîn b£sewn ¢n£logÒn e“sin.
ke'. KÚboj ™stˆ scÁma stereÕn ØpÕ ž x tetragènwn ‡swn
periecÒmenon.
kj'.
'Okt£edrÒn ™sti scÁma stereÕn ØpÕ Ñktë trigènwn
‡swn kaˆ “sopleÚrwn periecÒmenon.
kz'. E“kos£edrÒn ™sti scÁma stereÕn ØpÕ e‡kosi trigènwn
‡swn kaˆ “sopleÚrwn periecÒmenon.
kh'. Dwdek£edrÒn
™sti
scÁma
stereÕn
ØpÕ
dèdeka
pentagènwn ‡swn kaˆ “sopleÚrwn kaˆ “sogwn…wn
periecÒmenon.
Volumen der Pyramide
Qeèrhma z'.
P©n pr…sma tr…gwnon œcon b£sin diaire‹tai e“j tre‹j
puram…daj ‡saj ¢ll»laij trigènouj b£seij ™coÚsaj.
”Estw pr…sma, oá b£sij m•n tÕ ABG tr…gwnon, ¢penant…on d• tÕ DEZ:
lšgw, Óti tÕ ABGDEZ pr…sma diaire‹tai e“j tre‹j puram…daj
‡saj ¢ll»laij trigènouj ™coÚsaj b£seij.
'EpezeÚcqwsan g¦r aƒ BD, EG, GD. 'Epeˆ parallhlÒgrammÒn
™sti tÕ ABED, di£metroj d• aÙtoà ™stin ¹ BD, ‡son ¥ra ™stˆ
tÕ ABD tr…gwnon tù EBD trigènJ: kaˆ ¹ puramˆj ¥ra, Âj b£sij
m•n tÕ ABD tr…gwnon, koruf¾ d• tÕ G shme‹on, ‡sh ™stˆ
puram…di, Âj b£sij mšn ™sti tÕ DEB tr…gwnon, koruf¾ d• tÕ
G shme‹on. 'All¦ ¹ puram…j, Âj b£sij mšn ™sti tÕ DEB
tr…gwnon, koruf¾ d• tÕ G shme‹on, ¹ aÙt» ™sti puram…di, Âj
b£sij mšn ™sti tÕ EBG tr…gwnon, koruf¾ d• tÕ D shme‹on:
ØpÕ g¦r tîn aÙtîn ™pipšdwn perišcetai. Kaˆ puramˆj ¥ra, Âj
b£sij mšn ™sti tÕ ABD tr…gwnon, koruf¾ d• tÕ G shme‹on,
‡sh ™stˆ puram…di, Âj b£sij mšn ™sti tÕ EBG tr…gwnon,
koruf¾ d• tÕ D shme‹on. P£lin, ™peˆ parallhlÒgrammÒn ™sti
tÕ ZGBE, di£metroj dš ™stin aÙtoà ¹ GE, ‡son ™stˆ tÕ GEZ
tr…gwnon tù GBE trigènJ. Kaˆ puramˆj ¥ra, Âj b£sij mšn ™sti
tÕ BGE tr…gwnon, koruf¾ d• tÕ D shme‹on, ‡sh ™stˆ
puram…di, Âj b£sij mšn ™sti tÕ EGZ tr…gwnon, koruf¾ d• tÕ
Euklid, Elemente (Texte)
25
D shme‹on. `H d• puram…j, Âj b£sij mšn ™sti tÕ BGE
tr…gwnon, koruf¾ d• tÕ D shme‹on, ‡sh ™de…cqh puram…di, Âj b£sij mšn ™sti tÕ ABD tr…gwnon, koruf¾ d• tÕ G
shme‹on: kaˆ puramˆj ¥ra, Âj b£sij mšn ™sti tÕ GEZ tr…gwnon,
koruf¾ d• tÕ D shme‹on, ‡sh ™stˆ puram…di, Âj b£sij m•n
[™sti] tÕ ABD tr…gwnon, koruf¾ d• tÕ G shme‹on: diÇrhtai
¥ra tÕ ABGDEZ pr…sma e“j tre‹j puram…daj ‡saj ¢ll»laij
trigènouj ™coÚsaj b£seij.
Kaˆ ™peˆ puram…j, Âj b£sij mšn ™sti tÕ ABD tr…gwnon,
koruf¾ d• tÕ G shme‹on, ¹ aÙt» ™sti puram…di, Âj b£sij tÕ
GAB tr…gwnon, koruf¾ d• tÕ D shme‹on: ØpÕ g¦r tîn aÙtîn
™pipšdwn perišcontai: ¹ d• puram…j, Âj b£sij tÕ ABD
tr…gwnon, koruf¾ d• tÕ G shme‹on, tr…ton ™de…cqh toà
pr…smatoj, oá b£sij tÕ ABG tr…gwnon, ¢penant…on d• tÕ
DEZ, kaˆ ¹ puramˆj ¥ra, Âj b£sij tÕ ABG tr…gwnon, koruf¾ d•
tÕ D shme‹on, tr…ton ™stˆ toà pr…smatoj toà œcontoj b£sin
t¾n aÙt¾n tÕ ABG tr…gwnon, ¢penant…on d• tÕ DEZ.
PÒrisma
'Ek d¾ toÚtou fanerÒn, Óti p©sa puramˆj tr…ton mšroj ™stˆ
toà pr…smatoj toà t¾n aÙt¾n b£sin œcontoj aÙtÍ kaˆ Ûyoj
‡son [™peid»per k¨n ›terÒn ti scÁma eÙqÚgrammon œcV ¹
b£sij toà pr…smatoj, toioàto kaˆ tÕ ¢penant…on, kaˆ diaire‹tai
e“j pr…smata tr…gwna œconta t¦j b£seij kaˆ t¦ ¢penant…on,
kaˆ æj ¹ Ólh b£sij prÕj ›kaston]: Óper œdei de‹xai.
Volumen des Kegels
Qeèrhma i'.
P©j kînoj kul…ndrou tr…ton mšroj ™stˆ toà t¾n aÙt¾n b£sin
œcontoj aÙtù kaˆ Ûyoj ‡son.
'Ecštw g¦r kînoj kul…ndrJ b£sin te t¾n aÙt¾n tÕn ABGD
kÚklon kaˆ Ûyoj ‡son:
lšgw, Óti Ð kînoj toà kul…ndrou tr…ton ™stˆ mšroj, toutšstin
Óti Ð kÚlindroj toà kènou triplas…wn ™st…n.
E“ g¦r m» ™stin Ð kÚlindroj toà kènou triplas…wn, œstai Ð
kÚlindroj toà kènou ½toi me…zwn À triplas…wn À ™l£sswn À
triplas…wn. ”Estw prÒteron me…zwn À triplas…wn, kaˆ
Euklid, Elemente (Texte)
26
™ggegr£fqw e“j tÕn ABGD kÚklon tetr£gwnon tÕ ABGD: tÕ
d¾ ABGD tetr£gwnon me‹zÒn ™stin À tÕ ¼misu toà ABGD
kÚklou. Kaˆ ¢nest£tw ¢pÕ toà ABGD tetragènou pr…sma “soãy•j tù kul…ndrJ. tÕ d¾ ¢nist£menon pr…sma me‹zÒn ™stin
À tÕ ¼misu toà kul…ndrou, ™peid»per k¨n perˆ tÕn ABGD
kÚklon tetr£gwnon perigr£ywmen, tÕ ™ggegrammšnon e“j tÕn
ABGD kÚklon tetr£gwnon ¼misÚ ™sti toà perigegrammšnou:
ka… ™sti t¦ ¢p' aÙtîn ¢nist£mena stere¦ parallhlep…peda
pr…smata “soãyÁ: t¦ d• ØpÕ tÕ aÙtÕ Ûyoj Ônta stere¦
parallhlep…peda prÕj ¥llhl£ ™stin æj aƒ b£seij: kaˆ tÕ ™pˆ toà
ABGD ¥ra tetragènou ¢nastaq•n pr…sma ¼misÚ ™sti toà
¢nastaqšntoj pr…smatoj ¢pÕ toà perˆ tÕn ABGD kÚklon
perigrafšntoj tetragènou: ka… ™stin Ð kÚlindroj ™l£ttwn toà
pr…smatoj toà ¢nastaqšntoj ¢pÕ toà perˆ tÕn ABGD kÚklon
perigrafšntoj tetragènou: tÕ ¥ra pr…sma tÕ ¢nastaq•n ¢pÕ
toà ABGD tetragènou “soãy•j tù kul…ndrJ me‹zÒn ™sti toà
¹m…sewj toà kul…ndrou. Tetm»sqwsan aƒ AB, BG, GD, DA
perifšreiai d…ca kat¦ t¦ E, Z, H, Q shme‹a, kaˆ ™pezeÚcqwsan
aƒ AE, EB, BZ, ZG, GH, HD, DQ, QA: kaˆ ›kaston ¥ra tîn AEB,
BZG, GHD, DQA trigènwn me‹zÒn ™stin À tÕ ¼misu toà kaq'
˜autÕ tm»matoj toà ABGD kÚklou, æj œmprosqen
™de…knumen. 'Anest£tw ™f' ˜k£stou tîn AEB, BZG, GHD,
DQA trigènwn pr…smata “souyÁ tù kul…ndrJ: kaˆ ›kaston ¥ra
tîn ¢nastaqšntwn prism£twn me‹zÒn ™stin À tÕ ¼misu mšroj
toà kaq' ˜autÕ tm»matoj toà kul…ndrou, ™peid»per ™¦n di¦ tîn
E, Z, H, Q shme…wn parall»louj ta‹j AB, BG, GD, DA ¢g£gwmen, kaˆ sumplhrèswmen t¦ ™pˆ tîn AB, BG, GD, DA
parallhlÒgramma, kaˆ ¢p' aÙtîn ¢nast»swmen stere¦
parallhlep…peda “soãyÁ tù kul…ndrJ, ˜k£stou tîn ¢nastaqšntwn
¹m…sh ™stˆ t¦ pr…smata t¦ ™pˆ tîn AEB, BZG, GHD, DQA
trigènwn: ka… ™sti t¦ toà kul…ndrou tm»mata ™l£ttona tîn
¢nastaqšntwn stereîn parallhlepipšdwn: éste kaˆ t¦ ™pˆ tîn
AEB, BZG, GHD, DQA trigènwn pr…smata me…zon£ ™stin À
tÕ ¼misu tîn kaq' ˜aut¦ toà kul…ndrou tmhm£twn. Tšmnontej
d¾ t¦j Øpoleipomšnaj perifere…aj d…ca kaˆ ™pizeugnÚntej
eÙqe…aj kaˆ ¢nist£ntej ™f' ˜k£stou tîn trigènwn pr…smata
“soãyÁ tù kul…ndrJ kaˆ toàto ¢eˆ poioàntej katale…yomšn tina
¢potm»mata toà kul…ndrou, § œstai ™l£ttona tÁj ØperocÁj, Î
Euklid, Elemente (Texte)
27
Øperšcei Ð kÚlindroj toà triplas…ou toà kènou. Lele…fqw, kaˆ
œstw t¦ AE, EB, BZ, ZG, GH, HD, DQ, QA: loipÕn ¥ra tÕ
pr…sma, oá b£sij m•n tÕ AEBZ GHDQ polÚgwnon, Ûyoj d•
tÕ aÙtÕ tù kul…ndrJ, me‹zÒn ™stin À tripl£sion toà kènou. 'All¦
tÕ pr…sma, oá b£sij mšn ™sti tÕ AEBZGHDQ polÚgwnon,
Ûyoj d• tÕ aÙtÕ tù kul…ndrJ, tripl£siÒn ™sti tÁj puram…doj,
Âj b£sij mšn ™sti tÕ AEBZGHDQ polÚgwnon, koruf¾ d• ¹
aÙt¾ tù kènJ: kaˆ ¹ puramˆj ¥ra, Âj b£sij m•n [™sti] tÕ
AEBZGHDQ polÚgwnon, koruf¾ d• ¹ aÙt¾ tù kènJ, me…zwn
™stˆ toà kènou toà b£sin œcontoj tÕn ABGD kÚklon. 'All¦ kaˆ
™l£ttwn: ™mperišcetai g¦r Øp' aÙtoà: Óper ™stˆn ¢dÚnaton.
OÙk ¥ra ™stˆn Ð kÚlindroj toà kènou me…zwn À tripl£sioj.
Lšgw d», Óti oÙd• ™l£ttwn ™stˆn À tripl£sioj Ð kÚlindroj toà
kènou.
E“ g¦r dunatÒn, œstw ™l£ttwn À tripl£sioj Ð kÚlindroj toà
kènou: ¢n£palin ¥ra Ð kînoj toà kul…ndrou me…zwn ™stˆn À
tr…ton mšroj. 'Eggegr£fqw d¾ e“j tÕn ABGD kÚklon
tetr£gwnon tÕ ABGD: tÕ ABGD ¥ra tetr£gwnon me‹zÒn ™stin
À tÕ ¼misu toà ABGD kÚklou. Kaˆ ¢nest£tw ¢pÕ toà ABGD
tetragènou puramˆj t¾n aÙt¾n koruf¾n œcousa tù kènJ: ¹ ¥ra
¢nastaqe‹sa puramˆj me…zwn ™stˆn À tÕ ¼misu mšroj toà
kènou, ™peid»per, æj œmprosqen ™de…knumen, Óti ™¦n
perˆ tÕn kÚklon tetr£gwnon perigr£ywmen, œstai tÕ ABGD
tetr£gwnon ¼misu toà perˆ tÕn kÚklon perigegrammšnou
tetragènou: kaˆ ™¦n ¢pÕ tîn tetragènwn stere¦ parallhlep…peda
¢nast»swmen “soãyÁ tù kènJ, § kaˆ kale‹tai pr…smata, œstai
tÕ ¢nastaq•n ¢pÕ toà ABGD tetragènou ¼misu toà
¢nastaqšntoj ¢pÕ toà perˆ tÕn kÚklon perigrafšntoj tetragènou:
prÕj ¥llhla g£r e“sin æj aƒ b£seij. éste kaˆ t¦ tr…ta: kaˆ puramˆj
¥ra, Âj b£sij tÕ ABGD tetr£gwnon, ¼misÚ ™sti tÁj puram…doj
tÁj ¢nastaqe…shj ¢pÕ toà perˆ tÕn kÚklon perigrafšntoj
tetragènou. Ka… ™sti me…zwn ¹ puramˆj ¹ ¢nastaqe‹sa ¢pÕ
toà perˆ tÕn kÚklon tetragènou toà kènou: ™mperišcei g¦r
aÙtÒn. `H ¥ra puramˆj, Âj b£sij tÕ ABGD tetr£gwnon, koruf¾
d• ¹ aÙt¾ tù kènJ, me…zwn ™stˆn À tÕ ¼misu toà kènou.
Tetm»sqwsan aƒ AB, BG, GD, DA perifšreiai d…ca kat¦ t¦ E, Z,
H, Q shme‹a, kaˆ ™pezeÚcqwsan aƒ AE, EB, BZ, ZG, GH, HD,
DQ, QA: kaˆ ›kaston ¥ra tîn AEB, BZG, GHD, DQA trigènwn
Euklid, Elemente (Texte)
28
me‹zÒn ™stin À tÕ ¼misu mšroj toà kaq' ˜autÕ tm»matoj toà
ABGD kÚklou. Kaˆ ¢nest£twsan ™f' ˜k£stou tîn AEB, BZG,
GHD, DQA trigènwn puram…dej t¾n aÙt¾n koruf¾n œcousai
tù kènJ: kaˆ ˜k£sth ¥ra tîn ¢nastaqeisîn puram…dwn kat¦ tÕn
aÙtÕn trÒpon me…zwn ™stˆn À tÕ ¼misu mšroj toà kaq'
˜aut¾n tm»matoj toà kènou. Tšmnontej d¾ t¦j Øpoleipomšnaj
perifere…aj d…ca kaˆ ™pizeugnÚntej eÙqe…aj kaˆ ¢nist£ntej
™f' ˜k£stou tîn trigènwn puram…da t¾n aÙt¾n koruf¾n
œcousan tù kènJ kaˆ toàto ¢eˆ poioàntej katale…yomšn tina
¢potm»mata toà kènou, § œstai ™l£ttona tÁj ØperocÁj, Î
Øperšcei Ð kînoj toà tr…tou mšrouj toà kul…ndrou. Lele…fqw,
kaˆ œstw t¦ ™pˆ tîn AE, EB, BZ, ZG, GH, HD, DQ, QA: loip¾
¥ra ¹ puram…j, Âj b£sij mšn ™sti tÕ AEBZGHDQ polÚgwnon,
koruf¾ d• ¹ aÙt¾ tù kènJ, me…zwn ™stˆn À tr…ton mšroj toà
kul…ndrou. 'All' ¹ puram…j, Âj b£sij mšn ™sti tÕ AEBZG HDQ
polÚgwnon, koruf¾ d• ¹ aÙt¾ tù kènJ, tr…ton ™stˆ mšroj toà
pr…smatoj, oá b£sij mšn ™sti tÕ AEBZGHDQ polÚgwnon,
Ûyoj d• tÕ aÙtÕ tù kul…ndrJ: tÕ ¥ra pr…sma, oá b£sij mšn
™sti tÕ AEBZGHDQ polÚgwnon, Ûyoj d• tÕ aÙtÕ tù
kul…ndrJ, me‹zÒn ™sti toà kul…ndrou, oá b£sij ™stˆn Ð
ABGD kÚkloj. ¢ll¦ kaˆ œlatton: ™mperišcetai g¦r Øp' aÙtoà:
Óper ™stˆn ¢dÚnaton. OÙk ¥ra Ð kÚlindroj toà kènou ™l£ttwn
™stˆn À tripl£sioj. 'Ede…cqh dš, Óti oÙd• me…zwn À
tripl£sioj: tripl£sioj ¥ra Ð kÚlindroj toà kènou: éste Ð kînoj
tr…ton ™stˆ mšroj toà kul…ndrou.
P©j ¥ra kînoj kul…ndrou tr…ton mšroj ™stˆ toà t¾n aÙt¾n
b£sin œcontoj aÙtù kaˆ Ûyoj ‡son: Óper œdei de‹xai.
Euklid, Elemente (Texte)
29
Wörter
Vorbemerkung
Mit (+) gekennzeichnete Wörter können vom Schüler selbständig erschlossen werden, solche
mit (*) kommen häufig vor und sollten daher zum Lernvokabular gehören.
Wörter in Anführungszeichen (””) sind Lehnübersetzungen.
Proklos
t¦ stoice‹a
die Elemente
sun£gw
verfassen
sunt£ssw
ordnen
teleÒw
vollenden
malakÒj
nachlässig
to‹j œmprosqen
Dat. auctoris
¢nšlegktoj
unwiderlegbar
™pibalèn
darauf
sÚntomoj
kurz
¹ ¢trapÒj
Weg
¹ proa…resij
wissenschaftliche Richtung, Gesinnung
tšloj pro…sthmi
als Ziel festlegen
¹ sÚstasij
Konstruktion
mestÒj tinoj
voll von
t¦ katoptrik£
Bücher über die Theorie des Spiegels
diaferÒntwj
besonders
¥gamai
bewundern
¹ ™klog»
Auswahl
Geometrie (1. Buch)
Definitionen
a'
b'
g'
tÕ shme‹on
Punkt (+)
tÕ mšroj
Teil (*)
oÙqšn
= oÙdšn
¹ gramm»
Linie (*)
¢-plat»j, šj
ohne Breite
tÕ mÁkoj
Ausdehnung, Breite (*)
tÕ pšraj
Ende (*)
Euklid, Elemente (Wörter)
30
eÙqe‹a gramm»
Gerade (+)
™x ‡sou tin…
in gleicher Weise in bezug auf etw.
¹ ™pif£neia
Fläche (+)
tÕ pl£toj
Breite
™p…pedoj, on
eben (*)
™p…pedoj ™pif£neia
Ebene (+)
¹ gwn…a
Winkel (+)
¤ptoma… tinoj
sich berühren, sich schneiden (*)
™p' eÙqe…aj
in der Verlängerung
q'.
eÙqÚgrammoj, on
”geradlinig”
i'.
™fexÁj
aufeinander folgend (*)
Ñrq¾ gwn…a
”rechter Winkel” (+)
k£qetoj
< kaq…hmi; ”Kathete”
ia'.
¢mblÚj, e‹a, Ú
”stumpf” (+)
ib'.
ÑxÚj, e‹a, Ú
”spitz” (+)
ig'.
tÕ Óroj
Begrenzung
id'.
tÕ scÁma, atoj
Figur (+)
ie'.
Ð kÚkloj
Kreis (+)
¹ perifšreia
”Peripherie” (+)
ij'
tÕ kšntron
Mittelpunkt, ”Zentrum” (+)
iz'.
¹ di£metroj
”Durchmesser” (+)
eÙqe‹an ¥gw
eine Linie ”ziehen” (*)
ih'.
tÕ ¹mikÚklion
Halbkreis (+)
iq'.
tr…pleuroj, on
”dreiseitig” (+)
k'.
“sÒpleuroj, on
”gleichseitig” (+)
“soskel»j, ej
”gleichschenklig” (+)
skalhnÒj, on
schief
Ñrqogènioj, on
”rechtwinklig” (+)
¢mblugènioj, on
”stumpfwinklig” (+)
Ñxugènioj, on
”spitzwinklig” (+)
tÕ tetr£gwnon
Quadrat (+)
tÕ ˜terÒmhkej
Rechteck (+)
Ð ·Òmboj
”Rhombus” (+)
tÕ ·omboeidšj
Parallelogramm (+)
d'
e'
z'.
h'.
ka'.
kb'.
Euklid, Elemente (Wörter)
31
kg'.
¢penant…on
gegenüberliegend
tÕ trapšzion
Viereck
par£llhloj, on
”parallel” (+)
™kb£llw
verlängern (*)
sump…ptw
zusammenfallen
Postulate
a'.
kat¦ tÕ sunecšj
unaufhörlich
g'.
tÕ di£sthma
Abstand, Radius (*)
Axiome
e'.
dipl£sioj, on
doppelt (+)
z'.
t¦ ™farmÒzonta ™p' ¥llhla
kongruierend
q'.
tÕ cwr…on
Fläche
Beweisschema
Problema a'
doqe…j, qe‹sa, qšn
”gegeben” (+)
sun…sthmi
konstruieren (*)
tšmnw kat£ ti
in etw. ”schneiden” (+)
™pizeÚgnumi
eine Verbindungslinie ziehen (*)
Problema b'
prÕj shme…J
in einem Punkt (*)
Problema d'
Øpote…nw (ØpÒ) ti
einem Winkel gegenüberliegen (*) (vgl.
”Hypotenuse”)
ØpÒ ABG
Winkel ABG
™farmÒttw
auf etw. fallen, kongruieren
Satz von Pythagoras
Proklos p. 426, 6 – 9
¢napšmpw
zurückführen
bouqutšw
Rinder opfern
Theorema mz'
tÕ ¢pÕ pleur©j tetr£gwnon
Euklid, Elemente (Wörter)
das von einer Seite aufgespannte Quadrat, das
32
Quadrat über einer Seite
¢nagr£fw
konstruieren
Theorema mh'
ØpÒkeitai
es wurde vorausgesetzt
Geometrie (2. Buch)
Fehlende Algebra…
Definitionen
b'.
¹ di£metroj
Diagonale (*)
Ðpoionoàj, oàn
jeder beliebige
tÕ parapl»rwma
Ergänzungsparallelogramm
Ð gnèmwn
”Gnomon”
Theorema e'
tÕ tmÁma
Schnitt (+)
metaxÚ tinoj
zwischen
¢nagr£fw
konstruieren
Zu beliebigem Viereck flächengleiches Quadrat
Problema me'
‡soj, h, on
flächengleich (*)
parab£llw
danebenlegen
aƒ ™nall¦x gwn…ai
Gegenwinkel
Konstruktion der regelmässigen n-Ecke (4. Buch)
Regelmässiges 5-Eck
Problema i'
™narmÒttw
hineinpassen, als Sehne hineinlegen
perigr£fw
”umschreiben” (+)
™f£ptoma… tinoj
berühren
¹ ™paf»
Berührpunkt
di£gomai
sich erstrecken
tÍ ™n tù ™nall¦x toà kÚklou
gemeint: Peripheriewinkel
Problema ia'
Euklid, Elemente (Wörter)
33
™ggr£fw
einbeschreiben (+)
bšbhka
sich befinden
Regelmässiges 15-Eck
™narmÒttw
hineinpassen, als Sehne hineinlegen
Arithmetik (7. Buch)
Definitionen
a'.
¹ mon£j
Einheit, Einer (*)
g'.
tÕ mšroj
Teiler (+)
katametršw
ausmessen, teilen (*)
d'.
t¦ mšrh
Teile, Nichtteiler
e'.
pollapl£sioj, a, on
Vielfaches (+)
j'.
¥rtioj
gerade (*)
d…ca diairšw
halbieren
z'.
perissÒj, », Òn
überzählig, ungerade (*)
h'.
¢rti£kij
gerademal
metršw kat£ ti
teilen mit
i'.
periss£kij
ungerademal
ib'.
prîtoj, h, on
”Primzahl” (lat. primus) (+)
ig'.
prîtoi, ai, a
teilerfremd
id'.
sÚnqetoj, h, on
zusammengesetzt, nicht prim
ie'.
sÚnqetoi, ai, a
nicht teilerfremd
ij'.
pollaplasi£zw
vervielfachen (*)
iz'.
™p…pedoj, h, on
eben, flach; ebenes Produkt
¹ pleàra
Seite, Faktor
ih'.
stereÒj, £, Òn
fest; räumliches Produkt
iq'.
tetr£gwnoj ¢riqmÒj
”Quadrat” (+)
‡soj “s£kij
mit sich selbst potenziert
k'.
Ð kÚboj
”Kubik”zahl
ka'.
¢n£logoj
proportional (+)
kg'.
tšleioj, a, on
vollkommen
Euklidischer Algorithmus
tÕ mšgiston koinÕn mštron
Euklid, Elemente (Wörter)
ggT
34
¢nqufairšw
gegenseitig abziehen
Geometrie im dreidimensionalen Raum (11. und 12. Buch)
Definitionen
a'.
stereÒj, £, Òn
fest, räumlich (+)
b'.
¹ ™pif£neia
Fläche
g'.
¤ptomai
berühren, schneiden
e'.
¹ kl…sij
Neigungs(winkel)
metšwroj, a, on
in der Höhe befindlich
Ð k£qetoj
Lot
™f…stamai
darüberstehen
h'.
¢sÚmptwtoj, h, on
nicht zusammenfallend (”Asymptote”)
q'.
Ómoioj, a, on
gleich (aussehend) (*)
i'.
‡soj, h, on
volumengleich (*)
id'.
¹ sfa‹ra
Kugel (+)
¢pokaq…sthmi
wieder in die alte Lage setzen (*)
ie'.
Ð ¥xwn, onoj
Drehachse
ih'.
Ð kînoj
Kegel, ”Konus” (+)
Volumen der Pyramide
¹ koruf»
Spitze
‡soj, h, on
volumengleich
™peid»per
weil ja doch
Volumen des Kegels
“soãy»j, ej tin…
die gleiche Höhe habend wie
tÕ parallhlep…pedon
”Parallelflach”, Spat
tÕ tmÁma
Segment
¹ Øperoc»
Differenz
™mperišcomai
enthalten werden
Euklid, Elemente (Wörter)
35
Kommentar
Geometrie (1. Buch)
Definitionen
a'.
Punkt
b'.
Linie
g'.
Begrenzung der Linie: keine neue Definition, sondern Verknüpfung
zwischen a'. und b'.
d'.
Gerade, Strecke; sprachlich schwierig und auch umstritten: ™x ‡sou
bedeutet grundsätzlich ”in gleicher Weise”, doch wohin gehört der
Dativ to‹j ™f' ˜autÁj shme…oij? Am besten wohl doch zu ke‹tai
(”Eine Gerade ist eine Linie, die in gleicher Weise für alle Punkte auf
ihr liegt.”) Sinn der Definition: Eine Gerade ist in allen Punkten
gleich, kein Punkt ist durch Asymmetrie hervorgehoben.
Moderne Definition: Eine Gerade ist die kürzeste Verbindung
zwischen 2 Punkten.
e'.
Fläche
j'.
Begrenzung der Fläche: keine neue Definition, sondern Verknüpfung
zwischen e'. und b'. (Bemerkung: für Euklid ist also eine Kugel keine
Fläche)
z'.
Ebene; vgl. d'.
h'.
Winkel zwischen beliebigen Kurven
q'.
Winkel;Winkel werden heute nur noch mit Geraden (bei Kurven mit
Tangenten) definiert.
i'.
Rechter Winkel: Die Existenz von rechten Winkel in Problema I, 11
bewiesen.
ia'.
StumpferWinkel
ib'.
Spitzer Winkel
ig'.
Begrenzung: pšraj = Óroj
id'.
Figur: Geraden und Winkel sind ausgeschlossen (anders Platon).
ie'.
Kreis: als Punktmenge definiert: k = {P | MP = r}
ij'.
Mittelpunkt
iz'.
Durchmesser
ih'.
Halbkreis
iq'.
Vielecke
Euklid, Elemente (Kommentar)
36
k'.
Dreiecke
ka'. Winkel in Dreiecken
kb'. Vierecke; Begriff ”Parallelogramm”, der später immer wieder
gebraucht wird, fällt hier nicht, da die Eigenschaft ”parallel” noch
nicht definiert wurde.
kg'. Parallelen
Postulate
a'.
hier nur die Existenz, die Eindeutigkeit folgt aus Axiom 9
b'.
Verlängerung einer Strecke
g'.
Existenz eines Kreises
d'.
Rechte Winkel als Invariante.
e'.
sog. ”Parallelenaxiom”, viele vergebliche Versuche, dieses Postulat
als Theorem zu beweisen (Ptolemaios, Proklos; bis in die Neuzeit)
Axiome
a'.
Transitivität der Gleichheit (a = c und b = c  a = b)
b'.
a = c, b = d  a + b = c + d
g'.
a = c, b = d  a - b = c - d
d'.
a - c, b = d  a + b - c + d
e'.
a=b2·a=2·b
j'.
a = b  0.5 · a = 0.5 · b
z'.
Kongruentes ist gleich (flächen-)
h'.
Ganzes > Teil
q'.
Keine Fläche zwischen zwei Geraden. Dies trifft nur für die Euklidische Geometrie (die ”normale” Geometrie) zu, in der sphärischen
Geometrie (= Geometrie auf der Kugel) umschliessen zwei Geraden,
die nicht gleich sind, immer eine Fläche (nämlich die Fläche zwischen
zwei Grosskreisen).
Beweisschema
Allgemein (das Fettgedruckte ist immer vorhanden)
i)
prÒtasij: allgemeine Behauptung
ii) œkqesij: Bezeichnung der gegebenen und der gesuchten Teile
iii) diorismÒj: Behauptung mit den bezeichneten Teilen formuliert
(Problema: de‹; Theorema: lšgw, Óti)
Euklid, Elemente (Kommentar)
37
iv)
v)
vi)
kataskeu»: Konstruktion des Gesuchten oder von Hilfslinien oder
-punkten
¢pÒdeixij: Beweis
sumpšrasma: Folgerung (= Behauptung)
Problema a'
Konstruktion eines gleichseitigen Dreieckes
i)
'Epˆ
tÁj
ii)
“sÒpleuron sust»sasqai.
”Estw ¹ doqe‹sa eÙqe‹a peperasmšnh ¹ AB.
iii)
De‹
iv)
sust»sasqai.
KšntrJ m•n tù A diast»mati d• tù AB kÚkloj gegr£fqw Ð BGD,
v)
kaˆ p£lin kšntrJ m•n tù B diast»mati d• tù BA kÚkloj gegr£fqw
Ð AGE, kaˆ ¢pÕ toà G shme…ou, kaq' Ön tšmnousin ¢ll»louj
oƒ kÚkloi, ™pˆ t¦ A, B shme‹a ™pezeÚcqwsan eÙqe‹ai aƒ GA,
GB.
Kaˆ ™peˆ tÕ A shme‹on kšntron ™stˆ toà GDB kÚklou, ‡sh
d¾
doqe…shj
™pˆ
tÁj
eÙqe…aj
AB
peperasmšnhj
eÙqe…aj
tr…gwnon
tr…gwnon
“sÒpleuron
™stˆn ¹ AG tÍ AB: p£lin, ™peˆ tÕ B shme‹on kšntron ™stˆ toà
vi)
GAE kÚklou, ‡sh ™stˆn ¹ BG tÍ BA. 'Ede…cqh d• kaˆ ¹ GA tÍ
AB ‡sh: ˜katšra ¥ra tîn GA, GB tÍ AB ™stˆn ‡sh. T¦ d• tù aÙtù
‡sa kaˆ ¢ll»loij ™stˆn ‡sa: kaˆ ¹ GA ¥ra tÍ GB ™stˆn ‡sh: aƒ tre‹j
¥ra aƒ GA, AB, BG ‡sai ¢ll»laij e“s…n.
'IsÒpleuron ¥ra ™stˆ tÕ ABG tr…gwnon, kaˆ sunšstatai ™pˆ tÁj
i)
doqe…shj eÙqe…aj peperasmšnhj tÁj AB.
'Epˆ tÁj doqe…shj ¥ra eÙqe…aj peperasmšnhj tr…gwnon
“sÒpleuron sunšstatai: Óper œdei poiÁsai.
Problematisch: Existenz und Eindeutigkeit von G ist nirgendwo
vorausgesetzt!
Problema b'
Gegebene Gerade in einen gegebenen Punkt verschieben.
Problema g'
Kleinere Linie von einer grösseren abziehen.
Theorema d'
sws, indirekter Beweis
Satz von Pythagoras
Euklid, Elemente (Kommentar)
38
Proklos p. 426, 6 – 9
”Wenn wir auf diejenigen hören, die das Alte erforschen wollen, können
wir solche finden, die dieses Theorem auf Pythagoras zurückführen und die
sagen, dass er bei der Entdeckung einen Stier geopfert habe.”
Pythagoras soll also einen Stier geopfert haben für die Entdeckung (und den
Beweis?) dieses Satzes.
Proklos spricht im folgenden seine Bewunderung auch für Euklid aus.
Theorema mz'
Voraussetzung für den Beweis: Scherung (Theorema ma')
Satz stammt sicher von Pythagoras, dieser wird ihn jedoch vom Orient her
übernommen haben; zusammen mit dem Satz kommt natürlich auch die
Existenz des Irrationalen (insbes. von \r(2)) in den Bereich der Griechen.
Theorema mh'
Umkehrung des Satzes von Pythagoras
Geometrie (2. Buch)
Fehlende Algebra
Definitionen
Gnomon, vgl. Abbildung
”Gnomon” bezeichnete ursprünglich ein Instrument mit rechtem Winkel
(zur Messung der Tageszeit mit der Sonnenuhr oder zur Konstruktion eines
rechten Winkels). Die Bezeichnung wurde erst später auf Quadrate und
Parallelogramme übertragen.
Theorema e'
ab + (\f(a + b,2) - b)\s\up5(2) = (\f(a + b,2))\s\up5(2)
Zu beliebigem Viereck flächengleiches Quadrat
Problema me'
Flächengleiches Parallelogramm zu gegebenem Viereck
Voraussetzung für den Beweis: Scherung (Theorema ma')
Problema id'
Höhepunkt der Flächenumwandlungen
Konstruktion der regelmässigen n-Ecke (4. Buch)
Regelmässiges 5-Eck
Euklid, Elemente (Kommentar)
39
Problema i'
Vorausgesetzt: goldener Schnitt (2, 11), Sekanten-Tangenten-Satz (3, 36;
3, 37)
Problema ia'
Zweiteilung: gleichseitig und gleiche Winkel (wobei das 2. eigentlich direkt
aus dem ersten folgen würde)
Regelmässiges 15-Eck
Die Rückführung der Konstruktion des regelmässigen 15-Eckes auf
diejenige des regelmässigen 3-Eckes und des 5-Eckes kommt nicht von
ungefähr: Ein Satz der höheren Mathematik besagt, dass nur regelmässige
n-Ecke der Form n = 2\s\up5(m) · p\s\do3(1) · … · p\s\do3(k) konstruiert
werden können, wobei p\s\do3(i) eine sogenannte Fermatsche Primzahl ist
(d.h. p\s\do3(i) = 2\s\up5(2\s\up2(l)) + 1; bisher bekannt: 3, 5, 17, 257,
65537). Die Konstruktion des regelmässigen 17-Eckes wurde erst durch
Gauss entdeckt, die Berechnungen zur Konstruktion des 257-Eckes füllen
einen ganzen Koffer (in der Neuzeit durchgeführt).
Arithmetik (7. Buch)
Definitionen
a'.
Einheit
b'.
Zahl
g'.
Teil, Teiler
d'.
Nichtteiler: jedes Vielfache ist nur ein Teil des Ganzen, jedoch nie das
Ganze selbst (so nur bei Euklid)
e'.
Vielfaches
j'.
Gerade Zahl
z'.
Ungerade Zahl
h'.
Gerademal gerade Zahl: Definition auch für Euklid nicht ganz klar:
denn 2 Möglichkeiten denkbar:
a)
Produkt allein von geraden Zahlen (dann also von der Form
2\s\up5(n))
(so in Theorema IX, 32)
b) Produkt von mind. 2 geraden Zahlen (z.B. 24 = 4 · 6 = 3 · 8)
(so in Theorema IX, 34)
q'.
Gerademal ungerade Zahl
Euklid, Elemente (Kommentar)
40
i'.
Ungerademal gerade Zahl: kein Unterschied zu q'. (daher wohl
interpoliert)
ia'.
Ungerademal ungerade Zahl
ib'.
Primzahl: folgende 2 Möglichkeiten für den Namen:
a)
Die Primzahl entsteht nur aus dem Zusammensetzen von Einern
(und nicht von anderen Zahlen)
(prîtoj ”nicht zusammengesetzt”)
b)
Die Primzahl kommt als erste Zahl in ihrer Primfaktorzerlegung
vor.
ig'.
Teilerfremde Zahlen
id'.
Zusammengesetzte Zahl
ie'.
Nichtteilerfremde Zahlen
ij'.
Multiplikation
iz'.
Geometrische Auffassung der Multiplikation von 2 Zahlen
ih'.
Geometrische Auffassung der Multiplikation von 3 Zahlen
iq'.
Quadrat einer Zahl
k'.
Kubikzahlen
ka'. Proportionalität
kb'. Ähnliche Figuren und Körper
kg'. Vollkommene Zahl: Zahl = Summe ihrer Teiler (6 = 1 + 2 + 3;
28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14)
Euklidischer Algorithmus
Beweis in 2 Teilen: a) Existenz, b) Eindeutigkeit (lšgw d», Óti kaˆ
mšgistion)
problematisch: ”Pünktchenbeweis” (korrekt: vollständige Induktion)
Die Bezeichnung ”Algorithmus” stammt übrigens aus dem Arabischen.
Beispiel: 46, 10 (”n | m” heisst ”m ist durch n teilbar”)
46 - 4 · 10 = 6, 6 \o(|,-) 10
10 - 6 = 4, 4 \o(|,-) 6
6 - 4 = 2, 2 | 4
ggt (46, 10) = 2
Geometrie im dreidimensionalen Raum (11. und 12. Buch)
Definitionen
Euklid, Elemente (Kommentar)
41
a'.
Räumlich, Körper
b'.
Begrenzung des Körpers: keine neue Definition,
Verknüpfung zwischen a'. und Definition I, e'.
g'.
Rechter Winkel zwischen Gerade und Ebene
d'.
Rechter Winkel zwischen zwei Ebenen
e'.
Winkel zwischen Gerade und Ebene
j'.
Winkel zwischen 2 Ebenen
z'.
Gleiche Neigung zwischen Ebenen
h'.
Parallele Ebenen: vgl. dazu die genauere Definition I, kg'
q'.
Ähnliche Körper
i'.
Volumengleiche Körper (wohl besteht der Unterschied zwischen q'
und i' darin)
ia'.
Dreidimensionaler Winkel
ib'.
Pyramide
ig'.
Prisma
id'.
Kugel: keine eigentliche Definition (vgl. Definition I, ie'), sondern
eher eine Konstruktionsvorschrift (wie auch beim Kegel und beim
sondern
Zylinder)
ie'.
Drehachse der Kugel: diese ist natürlich nicht ausgezeichnet, jeder
Durchmesser kann eine Drehachse sein
ij'.
Mittelpunkt der Kugel
iz'.
Durchmesser der Kugel
ih'.
Kegel: die Unterteilung in verschiedene Untergruppen abhängig vom
Öffnungswinkel wird im weiteren Verlauf des Werkes nicht mehr
benötigt, sie daher wohl ein Relikt aus Euklid’s Vorbild
iq'.
Drehachse des Kegels
k'.
Grundfläche des Kegels
ka'. Zylinder
kb'. Drehachse des Zylinders
kg'. Grund- und Deckfläche des Zylinders
kd'. Ähnlichkeit von Zylindern und Kegeln: bemerkenswert ist das Fehlen
der Volumengleichheit (vgl. Definition i')
ke'. Würfel
Euklid, Elemente (Kommentar)
42
kj'.
Oktaeder
kz'. Ikosaeder
kh'. Dodekaeder (interessanterweise fehlt das Tetraeder)
Volumen der Pyramide
Im Porisma Verallgemeinerung auf Prismata mit allgemeinen Grundflächen.
Volumen des Kegels
Der Beweis ist in zwei Teile geteilt:
i)
Zylindervolumen > 3 · Kegelvolumen
ii)
Zylindervolumen < 3 · Kegelvolumen
problematisch: ”Pünktchenbeweis” (wenn auch die eigentliche Idee
gleichbleiben würde)
Euklid, Elemente (Kommentar)
43
Skizzen
Vorbemerkung
Diese Skizzen sind unabdingbar für das Verständnis der behandelten Sätze.
Daher muss man sie auch den Schülern abgeben oder während (besser vor)
der Übersetzung zeichnen.
Problema 1, a'
G
A
B
E
D
Problema I, b'
K
G
Q
D
B
A
H
L
Z
E
Problema I, g'
D
G
E
A
B
Z
Euklid, Elemente (Skizzen)
44
Theorema I, mz'
Q
K
H
A
Z
G
B
L
D
E
Theorema I, mh'
G
D
A
B
Definitio II, b'
Theorema II, e'
G
A
B
M Q
K
L
D
NM
X
E
H
Z
Theorema I, me'
D
A
Z
H
L
E
B
G
Euklid, Elemente (Skizzen)
K
Q
M
45
Problema II, id'
Q
A
H
B
G
E
Z
D
Problema IV, i'
a
2a
Problema IV, i'
B
D
G
A
E
Problema IV, ia'
A
Z
B
E
G
D
Euklid, Elemente (Skizzen)
H
Q
46
Problema IV, ij'
A
B
E
G
D
Theorema VII, b'
A
E
B
G
Z
D
H
Theorema XII, z'
Z
D
E
G
B
A
Theorema XII, i'
Q
A
D
E
H
B
G
Z
Euklid, Elemente (Skizzen)
47
Bibliographie
Text
E.S. Stamatis, Euclides Elementa I – XIII (4 Bde), Leipzig \s\up5(2)1969
Kommentar
T. L. Heath, Euclid’s Elements, translated with introduction and commentary, Cambridge
1926
Euklid, Elemente (Bibliographie)
48