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Strömung realer Flüssigkeiten Laminare Strömung Herleitung des Hagen-Poiseuilleschen Gesetzes Stokessches Gesetz Strömung in einem Rohr Druckkraft r Reibungskraft l Die Druckkraft ist im Gleichgewicht mit der Reibungskraft Parabelförmiges Geschwindigkeitsprofil im Rohr p1 r p2 dr Zur Herleitung: Die Reibungskraft der Mantelfläche bei Bewegung des Zylinderrings aus Flüssigkeit mit Geschwindigkeit v ist gleich der Druckkraft auf die Stirn-Fläche des Rings (vgl. http://www.unituebingen.de/uni/pki/skripten/mechanik.html Abschnitt Hydro- u. Aerodynamik…) Das Hagen-Poiseuillesche Gesetz Einheit dV I dt p1 p 2 4 I R 8 l 1 m3/s 1 m3/s Definition der Volumenstromstärke Die Volumenstromstärke in einem Rohr nimmt mit der vierten Potenz des Radius zu Kräfte bei laminarer Strömung Einheit dv F A dr 1N Reibungskraft bei laminarer Strömung F r 2 p1 p2 1N Druckkraft auf die Deckfläche des Zylinders mit Radius r· A 2 r l 1 m2 Fläche des Zylindermantels der Länge l Die Druckkraft überwindet die Reibungskraft zwischen dem Zylindermantel und dessen Nachbarschicht Ansatz: In jedem Ring ist die Reibungs- gleich der Druckkraft dv 2 r l r 2 p1 p2 dr p1 p2 dv r dr 2 l 1N Die Reibungs- ist entgegengesetzt gleich der Druckkraft Differentialgleichung für 1 m/s v, r p1 p2 Integration von innen dv r dr v i 0 2 l i i 1 m/s nach außen 0 v(r ) r p1 p2 2 v(r ) v0 r 4 l p1 p 2 v0 R2 4 l 1 m/s Geschwindigkeit mit Integrationskonstante v0 Die Integrations1 m/s konstante folgt aus der Bedingung v(R) = 0 Geschwindigkeitsprofil im Rohr bei Strömung mit viskoser Reibung p1 p2 2 2 v(r ) (R r ) 4 l p1 R r dr Parabelförmiges 1 m/s Geschwindigkeitsprofil p2 Berechnung der Volumenstromstärke dV I dt dV 2 r dr v(r ) dt 1 m3/s 1 m3 Definition der Volumenstromstärke Fluss durch einen Kreisring mit Radius r und Dicke dr in der Zeit dt I Kreisring 2 r v(r ) dr 1 m3/s Volumenstromstärke durch den Kreisring Integration der Volumenstromstärke R I 2 r v(r ) dr 0 p1 p 2 I 2 4 l R R 2 3 R r dr r dr 0 0 p1 p 2 4 I R 8 l 1 m3/s Integration über den Radius Die 1 m3/s Geschwindigkeit eingesetzt Volumen1 m3/s stromstärke im Rohr • Die Volumenstromstärke im Rohr nimmt mit der vierten Potenz des Radius zu Vergleich mit dem Fluss von elektrischem Strom U1 U2 Fläche A l Elektrischer Strom I Strom nach dem Ohmschen Gesetz Einheit U I R 1A Ohmsches Gesetz l R A 1Ω Widerstand ρ 1 Ωm Spezifischer Widerstand l 1m Länge des Leiterstücks A 1 m2 Querschnittsfläche 1A Strom durch ein Leiterstück U1 U 2 2 I r l Vergleich zwischen elektrischen und Materie „Strömen“ Einheit U1 U 2 I R2 l p1 p 2 4 I R 8 l 1 1A Elektrischer Strom nach dem Ohmsches Gesetz m3/s Strom eines viskosen Mediums Analogie: • Spannung und Druck • Spezifischer Widerstand und Viskosität Unterschied: • Beim elektrischen Strom ist in einem zylindrischen Draht die Geschwindigkeit der Ladungsträger über den ganzen Quereschnitt konstant, es gibt kein parabelförmiges Profil • Folge: Elektrischer Stromfluss steigt mit R2, nicht mit R4 Zusammenfassung Das Hagen-Poiseuillesche Gesetz beschreibt die laminare Strömung viskoser Medien in Rohren • Das Geschwindigkeitsprofil ist parabelförmig • Die Volumenstromstärke ist proportional zur vierten Potenz des Radius – Im Gegensatz zum elektrischen Stromfluss, der mit r2 zunimmt finis
