Hydro- und Aerodynamik
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Hydro- und Aerodynamik Die Volumenstromdichte Die Kontinuitätsgleichung Die Bernoulli-Gleichung So fliegen die Vögel! …und die Flugzeuge Inhalt • Strömung idealer Flüssigkeiten – Die Volumenstromstärke – Die Kontinuitätsgleichung – Die Gleichung von Daniel Bernoulli • Strömung realer Flüssigkeiten – Laminare Strömung, Newtonsche Gleichung – Das Hagen-Poiseuillesche Gesetz – Reibungskraft auf eine Kugel: Das Gesetz von Stokes • Die Grenzschicht und die Reynoldssche Zahl, Turbulenz Ideale Flüssigkeit • Inkompressibel • Keine Reibung – innerhalb des Mediums – zwischen Medium und Wänden • Auch ein Gas kann -in diesem Sinne- eine ideale Flüssigkeit sein Ideale Strömung • Strömung eines Mediums konstanter Dichte (Inkompressibel) • Strömung ohne Reibungskräfte – innerhalb des Mediums – zwischen dem Medium und den Wänden Die Volumenstromstärke • Volumen der Flüssigkeit, das in einer Zeiteinheit ein Rohr mit Querschnittsfläche A durchströmt Zeit dt 10 0 5 A ds v dV Die Volumenstromstärke Einheit dV ds I A A v 1 m3/s dt dt Volumenstromstärke A 1m Querschnittsfläche des Rohres v 1 m/s Strömungsgeschwindigkeit Zeit dt A 10 0 ds 5 v dV Die Kontinuitätsgleichung für ideale Strömungen • Eine ideale Flüssigkeit fließe durch ein Rohr mit veränderlichem Querschnitt • Die Kontinuitätsgleichung besagt: Die Volumenstromstärke ist konstant – unabhängig vom Querschnitt Zeit dt 10 0 5 dV dV Die Kontinuitätsgleichung dV A1 ds1 A1 dV A2 ds2 ds1 A2 ds 2 dV v1 v2 p2 dV Das in einem Zeitintervall transportierte Volumen ist in beiden Röhren gleich Die Kontinuitätsgleichung Einheit A1 ds1 A2 ds2 1 m3 In gleichen Zeiten werden gleiche Volumina bewegt ds1 ds2 A1 A2 dt dt Division durch die Zeit 1 m3/s ergibt die Kontinuitätsgleichung A1 v1 A2 v2 Kontinuitätsgleichung: Die Volumenstromstärke ist 1 m3/s konstant – unabhängig vom Querschnitt Der Bernoulli Effekt • Eine ideale Flüssigkeit fließe durch ein Rohr mit veränderlichem Querschnitt • Im Bereich des kleineren Querschnitts nimmt die Strömungsgeschwindigkeit zu, der Druck aber ab Der Bernoulli-Effekt Bei Anstieg der Strömungsgeschwindigkeit fällt der Druck Versuch zur Bernoulli-Gleichung Drucke in Abhängigkeit von der Strömungsgeschwindigkeit einer Flüssigkeit: • Niederer Druck in den Rohren mit kleinem Querschnitt, also hoher Strömungsgeschwindigkeit • Hoher Druck im Rohr mit großem Querschnitt und kleiner Strömungsgeschwindigkeit Arbeit zur Bewegung eines Volumens dV des Mediums: Kraft mal Weg W1 F1 ds1 W2 F2 ds2 ds1 ds2 F1 F2 Die Wege ds1 und ds2 werden in der Zeit dt zurückgelegt Arbeit in beiden Rohren, um ein Volumen dV zu versetzen Volumen links Volumen rechts W1 F1 ds1 W2 F2 ds2 W1 p1 A1 ds1 W2 p2 A2 ds2 1 J Kraft mal Weg 1J Arbeit gegen den Druck ds1 A1 ds2 p1 p2 Die Kraft wird durch Druck mal Fläche ersetzt A2 Kontinuitätsgleichung beim Übergang Einheit A1 v1 A2 v2 A1 ds1 / dt A2 ds2 / dt A1 ds1 A2 ds2 ds1 Kontinuitätsgleichung, 1 m3/s v1, v2 unterschiedliche Fließgeschwindigkeiten 1 m3 Zeit dt A1 ds2 p1 Konstante Volumina p2 10 0 5 A2 Das Volumen, das um sich selbst versetzt wird, ist zu beiden Seiten gleich Arbeit in beiden Rohren, um ein Volumen dV zu versetzen Volumen links Volumen rechts W1 p1 A1 ds1 W2 p2 A2 ds2 W1 p1dV W2 p2 dV 1J 1J Arbeit gegen den Druck in beiden Rohren ds1 A1 ds2 p1 p2 A2 Zur Beachtung: Das Volumen im kleinerer Rohr bewegt sich schneller Die „Überraschung“ der Bernoulli Gleichung • Die in einer Zeiteinheit versetzten Volumina sind in beiden Röhren gleich • Aber: Die dazu benötigte Arbeit ist unterschiedlich, wenn sich der Druck in beiden Röhren unterscheidet • Q: Weshalb ist in den Rohren unterschiedliche Arbeit zum Versetzen zu erwarten? • A: Weil die Flüssigkeit beim Übergang in das Rohr mit kleinerem Querschnitt beschleunigt wird …und um ein Volumen dV zu beschleunigen Volumen links Volumen rechts W1 p1dV W2 p2 dV 1 J Arbeit gegen den Druck und zur 2 2 WKin1 1/ 2mv1 WKin2 1 / 2mv2 1J Beschleunigung p1dV 1 / 2mv1 p2 dV 1 / 2mv2 2 2 1 J Energieerhaltung dV v1 p1 v2 p2 dV Bei Übergang vom großen zum kleinen Rohr wird das Medium beschleunigt Die Bernoulli-Gleichung 1 dV (v2 2 v12 ) dVp1 dVp2 2 1J Die Masse wird durch m=ρ·dV ersetzt 1 Pa Bernoulli Gleichung: Bei Erhöhung der Strömungsgeschwindigkeit fällt der Druck ab p1, p2 1 Pa Drucke in beiden Bereichen v1, v2 1m/s Geschwindigkeiten in beiden Bereichen ρ 1 kg/m3 1 2 2 (v2 v1 ) p1 p2 2 Dichte des strömenden Mediums Versuche zum Bernoulli-Effekt • Das hydrodynamische Paradoxon Eine Anwendung: Druckmessung in bewegten Objekten Barometrischer Luftdruck in ruhender Luft Anwendung: Druckmessung in Flugzeugen Druckmessung in Flugzeugen p0 pv 1 v2 2 dh / dt pN pN h ln g N pv Dynamischer Druck, PitotDruck 0 p Statischer Druck v p Messung des dynamischen und statischen Drucks in einem Gerät: Das Prandtlsche Staurohr Statischer Druck Dynamischer Druck im Staupunkt des Körpers, Pitot-Druck Versuch: Magnus Effekt Unterschiedliche Strömungsgeschwindigkeiten an der Oberfläche! • Druckunterschied an einem in einer Strömung rotierenden Körper • In welcher Richtung wirkt die Kraft? Versuch: Wasserstrahlpumpe • Die schnell austretenden, versprühenden Wasserteilchen reißen die Luft mit: Die Geschwindigkeit der umgebenden Luft steigt, der Druck fällt Auftrieb am Flügel • Durch die Form des Flügels ergibt sich ein größerer Weg und deshalb eine höhere Geschwindigkeit an seiner Oberseite • Höherer Druck an der Unterseite Auftrieb Zusammenfassung • Ideale Flüssigkeiten, ideale Strömung – Bewegung ohne Reibung – Inkompressibel, d.h. überall konstante Dichte • Die Volumenstromstärke – Produkt aus Querschnitt und Fließ-Geschwindigkeit • Die Kontinuitätsgleichung: Erhaltung der Massen bei der Strömung inkompressibler Flüssigkeiten – Die Volumenstromstärken bei Ein- und Austritt sind gleich • „Was reinfließt, fließt auch wieder raus“ • Die Gleichung von Daniel Bernoulli für ideale Strömungen: – In Bereichen großer Strömungsgeschwindigkeit ist der Druck kleiner als in Bereichen kleiner Strömungsgeschwindigkeit finis So fliegen die Vögel! …und die Flugzeuge
