Skript zur Vorlesung vom 07. und 08.12.1998, 459 KB
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1 Vorlesung Experimentalphysik I am 7.12.1998 und 8.12.1998 J. Ihringer 3.5 Hydro- und Aerodynamik Dieser Abschnitt befaßt sich mit strömenden Medien. Während zur Beschreibung eines Körpers bei gleichförmiger Bewegung ein einziger Vektor für den Impuls oder Drehimpuls genügt, beschreibt man die Strömung im Bild der Massenpunkte mit individuellen Bahnen für jeden Massenpunkt und individuellen Geschwindigkeiten für jeden Punkt der Bahn. Man nennt die Bahn eines Massenpunktes Stromfaden. Die Gesamtheit der Vektoren für die Geschwindigkeiten an allen Punkten der Bahn eines Massenpunktes formen die Stromlinie. Wenn Stromfäden und Stromlinien nicht von der Zeit abhängen, dann zeigen beide das gleiche Bild und die Strömung heißt stationär. Die wichtigste Grundlage der Strömungslehre ist die Forderung nach Erhaltung der Stoffmenge. Sie wird durch die Kontinuitätsgleichung ausgedrückt. Letztere besagt, daß die Stoffmenge, die an einem Ende in ein System eintritt, aus diesem auch wieder austritt. Es ist bemerkenswert, daß in Strömungen bei Geschwindigkeiten unterhalb der Schallgeschwindigkeit auch Gase überall annähernd die gleiche Dichte zeigen, sie können dann also als inkompressibel behandelt werden. 3.5.1 Strömung idealer Flüssigkeiten, die Kontinuitätsgleichung Die Idealisierung bezieht sich auf fehlende Reibung sowohl innerhalb des Mediums als auch zwischen Medium und Wänden. Auch ein Gas kann in diesem Sinn eine ideale Flüssigkeit sein. Das Flüssigkeitsvolumen, welches in der Zeiteinheit durch eine Fläche im Querschnitt des Rohres strömt, wird als Volumenstromstärke bezeichnet. Verengt sich das Volumen, dann beschreibt die Kontinuitätsgleichung die sich ändernde Flußgeschwindigkeit: Die gleiche Stoffmenge wird transportiert, indem die Flußgeschwindigkeit v1 im weiten Rohr mit Querschnitt A1 kleiner ist als v2 im engen Rohr mit Querschnitt A2 . Querschnitt A1 ds1 Querschnitt A2 ds2 Druck p1 Druck p2 Geschwindigkeit v1 Geschwindigkeit v2 Abbildung 1 Fluß einer idealen Flüssigkeit durch Röhren mit unterschiedlichen Querschnitten A1 und A 2 und den Drucken p1 und p 2 . Hervorgehoben: Gleiche Volumenanteile dV in beiden Röhren. 2 Versuch 1 Die Strombahnen einer stationären Strömung werden sichtbar, wenn Bahnen gefärbten Wassers neben Bahnen ungefärbten Wassers verlaufen. Zunächst verlaufen in der Strömung durch ein quaderförmiges Gefäß alle Bahnen parallel, danach wird ein kreisförmiger und ein langgestreckter Gegenstand nahezu ohne Wirbel umflossen. Vorratsgefäß mit klarer Flüssigkeit Vorratsgefäß mit roter Flüssigkeit Auslauf Abbildung 2 Schema des Versuchs, gezeigt kurz nach dem Start. Die Strombahnen haben den Auslauf noch nicht erreicht, unten rechts laufen die gemischten Flüssigkeiten ab. Versuch 2 In einer Wanne mit strömender Flüssigkeit werden unterschiedlich geformte Objekte umströmt, Luftblasen machen die Strombahnen sichtbar. Man erkennt nicht stationäre Strömung an den Abrißkanten der Objekte. Formel dV I dt dV dt Für inkompressible Flüssigkeiten gilt: Einheit m3 1 s m3 s Anmerkung Volumenstromstärke Volumenanteil Zeitintervall Das in einer Zeit dt transportierte Volumen ist in beiden Röhren gleich. Nach Division durch die Zeit dt folgt: dV A1 ds1 A2 ds2 A1 dv1 A2 dv2 Die Kontinuitätsgleichung Querschnitt Strömungsgesc hwindigkeit Druck Nr. des Abschnitts in der Leitung A1 v1 p1 1 A2 v2 p2 2 Tabelle 1 Volumenstromstärke und Kontinuitätsgleichung 3 3.5.1.1 Die Gleichung von Daniel Bernoulli Die Erhöhung der Transportgeschwindigkeit beim Übergang zwischen Rohren unterschiedlichen Durchmessers erhöht die kinetische Energie des Mediums. Diese Energie wird von dem Druckunterschied zwischen den Rohren aufgebracht. Dadurch wird der Druck eines Mediums mit dessen Transportgeschwindigkeit verknüpft. Die Gleichung von Bernoulli zeigt den quantitativen Zusammenhang. Formel Erläuterung 1 1 2 2 m v1 m v 2 2 2 Unterschied dW zwischen den kinetischen Energien in beiden Rohren Arbeit dW am Volumen dV durch den dW p2 p1 dV Druckunterschied Kinetische Energie und Druckarbeit gleichgesetzt, m dV eingesetzt: Bernoulli Gleichung, verknüpft die Differenz der Drucke mit der Differenz der Quadrate 1 2 2 der Strömungsgeschwindigkeiten. Ist bei dV (v1 v 2 ) p 2 p1 dV 2 Druck p1 die Geschwindigkeit v1 Null und bei p 2 v2 v , dann folgt: Bernoulli Gleichung mit Druck p 0 für 1 2 p0 pv v Strömungsgeschwindigkeit 0 und p v für 2 Geschwindigkeit v dW Tabelle 2 Herleitung der Bernoulli Gleichung für reibungsfrei strömende Flüssigkeiten Versuch 3: Drucke in Abhängigkeit von der Strömungsgeschwindigkeit in einer Flüssigkeit: Die Steigrohre zeigen den niedrigen Druck in den Rohren mit kleinem Querschnitt, also hoher Strömungsgeschwindigkeit im Vergleich zum hohen Druck im Rohr mit großem Querschnitt und kleiner Strömungsgeschwindigkeit. Versuch 4: Analog zu Versuch 3, aber mit Luft als strömendem Medium: Die Druckverhältnisse in Strömungen mit unterschiedlicher Geschwindigkeit werden für Gase gezeigt. Versuch 5: Hydrodynamisches Paradoxon: Ein Deckel wird von selbst auf eine Düse mit schnell ausströmender Luft gezogen. Im Bereich des Gasaustritts ist die Geschwindigkeit am höchsten und der Druck am kleinsten, der Atmosphärendruck drückt deshalb den Deckel auf die Düse. 4 Versuch 6 Wasserstrahlpumpe. Schnell aus einer Düse fließendes Wasser reißt die Gasteilchen aus der Umgebung mit. In der Umgebung entsteht damit ein Unterdruck mit dem Dampfdruck des Wassers (15-20 mbar) als untere Grenze. 3.5.1.2 Drucke und Geschwindigkeiten in Strömungen Die Geschwindigkeit einer Strömung wird auf der Grundlage der Bernoulli-Gleichung über Drucke gemessen. Man mißt dazu zwei Drucke: Den „dynamischen Druck“ zeigt ein im Raum fixiertes Manometer, vor dem die Strömungsgeschwindigkeit verschwindet. Ein geeigneter Meßpunkt ist die der Strömung zugewandte Spitze eines symmetrischen, in Strömungsrichtung orientierten Objekts. Die Geschwindigkeit auf der Symmetrieachse oder Linie ist Null, weil sich zu beiden Seiten davon die Strömung ihre Richtung ändert. Man nennt diesen Punkt „Staupunkt“. Den „statischen Druck“ in der Strömung zeigt ein mit der Strömung geführtes Manometer an. Von einem raumfesten Standpunkt aus mißt man diesen Druck über die Kraft auf eine parallel zur Strömungsrichtung liegende Fläche. Die Differenz beider Drucke, der „Staudruck“, zeigt nach der Bernoulli-Gleichung das Quadrat der Geschwindigkeit. In der Strömung um bewegte Fahrzeuge entspricht dem statischen Druck der normale Luftdruck, der dynamische Druck wird in einem am Fahrzeug befindlichen, in Fahrtrichtung liegenden Staupunkt erfaßt. Formel Bezeichnung Erläuterung p0 Dynamischer Druck, Pitot-Druck Druck auf eine senkrecht zur Strömung stehende, im Raum fixierte Platte Statischer Druck Druck auf eine parallel zur Strömung liegende, im Raum fixierte Platte. Es ist der Druck im strömenden Medium, den ein mit der Strömung geführtes, beliebig ausgerichtetes Manometer zeigt Staudruck Die Bernoulli Gleichung verknüpft den Staudruck mit der Geschwindigkeit pv p0 pv 1 v2 2 Messung, schematisch Tabelle 3 Drucke zur Geschwindigkeitsmessung in Strömungen. Die Abbildungen zeigen schematisch Druckdosen mit Stempel als Manometer, die Pfeile an den Dosen die Druckkräfte. 3.5.1.3 Staurohre Zur Messung des Staudrucks dienen Staurohre, die bei Ausrichtung nach der Strömung aufgrund ihrer Rotationssymmetrie an ihrer Spitze einen Staupunkt zeigen. Im Prandtlschen Staurohr (Ludwig Prandtl, 1875-1953) wird an der Spitze der dynamische Druck und am Mantel der statische Druck gemessen. Das Manometer zeigt das Quadrat der Geschwindigkeit als Druckdifferenz zwischen dem dynamischen und dem statischen Druck. 5 Pitot (Henri Pitot, 1695-1771 erfand das nach ihm benannte Staurohr zur Messung der Strömung in Flüssen und Kanälen. Pitot Staurohre werden in Flugzeugen zur Messung der Geschwindigkeit eingesetzt. Sie messen nur den dynamischen Druck, den „Pitot-Druck“. Der statische Druck, der zur Berechnung der Geschwindigkeit nach der Bernoulli Gleichung nötig ist, wird zu beiden Seiten des Rumpfes an den „static ports“ erfaßt. Das Staurohr ist als Teil des Staurohr- und Statik- Drucksystems direkt mit der Geschwindigkeitsanzeige verbunden, auf der die Druckdifferenz zwischen dynamischem und statischem Druck auf einer meist auf Knoten geeichten Skala angezeigt wird. p0 pv 1 v2 2 dh / dt h pN N ln pN pv Dynamischer Druck, PitotDruck p 0 Statischer Druck p v Abbildung 3 Pitot Staurohr und das Drucksystem im Flugzeug. Nur der statische Druck (Luftdruck außerhalb des Flugzeugs) dient zur Höhenmessung (Instrument rechts) mit Hilfe der barometrischen Höhenformel, p N und N sind Luftdruck und Dichte in Meereshöhe, und zur Bestimmung der Steig- und Sinkgeschwindigkeit (Instrument in der Mitte Statischer Druck p v Dynamischer Druck im Staupunkt des Körpers, Pitot-Druck p 0 Abbildung 4 Pitot-Rohr am Flugzeug und Schema des Prandtlschen Staurohrs. 6 Versuch 7 Prandtlsches Staurohr. Der angezeigte Druck ist ein Maß für die Strömungsgeschwindigkeit in der Umgebung des Rohres 3.5.2 Laminare Strömung Anstelle der idealen Flüssigkeiten tritt jetzt ein reales Medium, bei dem innere Reibungsverluste auftreten können. Im Bild der laminaren Strömung gleiten benachbarte Schichten des Mediums nur unter Kraftaufwand aufeinander ab. Bei laminarer Strömung eines Mediums zwischen zwei Wänden geht man davon aus, daß sich die der Wand benachbarten Schichten des Mediums mit der Geschwindigkeit der Wand bewegen. Bewegen sich zwei ebene Wände mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten, dann bildet sich ein lineares Geschwindigkeitsprofil im Medium dazwischen. Versuch 8 Linearer Druckabfall in Strömungsrichtung bei laminarer Strömung zwischen Wänden. Die Druckkraft muß die Reibungskraft überwinden. Mit Geschwindigkeit v bewegte Platte Kraft F Profil der Geschwindigkeite n v (x ) Feststehende Platte Abstand x Abbildung 5 Geschwindigkeitsprofil in einer Flüssigkeit zwischen einer feststehenden und einer mit Geschwindigkeit v bewegten Platte bei laminarer Strömung. Die Pfeile zeigen die Geschwindigkeiten benachbarter Schichten. Die zur Relativbewegung zweier Schichten nötige Kraft ist von ihrem Abstand, ihrer Geschwindigkeitsdifferenz und der Viskosität des Mediums abhängig. Formel F A Einheit dv dx N v x N F A A 1 Anmerkung Allgemein: Kraft zur Bewegung einer Schicht in einer Flüssigkeit bei laminarer Strömung Speziell: „Newtonsche Gleichung“, Kraft zwischen zwei Schichten im Abstand x , die mit Geschwindigkeit v gegeneinander bewegt werden. N s 10 P (Poise) m2 Viskosität der Flüssigkeit m2 Fläche der Schicht 7 dv dx 1 s Geschwindigkeitsänderung in x Richtung Tabelle 4 Definition der Viskosität 3.5.2.1 Strömung in einem Rohr: Das Hagen-Poiseuillesche Gesetz Strömt eine Flüssigkeit durch ein Rohr, dann muß die Reibungskraft von der Druckkraft aufgebracht werden. Daraus ergibt sich eine Beziehung zwischen der Volumenstromstärke und dem Radius des Rohres, das Hagen-Poiseuillesche Gesetz. Es ist eines der wenigen physikalischen Gesetze, in denen die vierte Potenz einer Größe vorkommt: Die Volumenstromstärke nimmt mit der vierten Potenz des Radius zu. Der Betrag der Flußgeschwindigkeit in Abhängigkeit vom Radius zeigt ein parabelförmiges Profil. Druckkraft F r Reibungskraft F l Abbildung 6 Zur Herleitung des Hagen-Poiseuilleschen Gesetzes: Die Reibungskraft der Mantelfläche bei Bewegung des Zylinders aus Flüssigkeit mit Geschwindigkeit v ist gleich der Druckkraft auf die Zylinderfläche Formel F A Anmerkung dv dr Reibungskraft bei laminarer Strömung Druckkraft auf die Deckfläche des Zylinders mit Radius r /*um den Reibungswiderstand 2 zwischen dem Zylindermantel mit diesem F r p1 p2 Radius und dessen Nachbarschicht zu überwinden Fläche des Zylindermantels der Länge l A 2 r l Reibungs- und Druckkraft werden gleichgesetzt: dv Die Reibungs- ist gleich der Druckkraft. Mit 2 r l r 2 p1 p 2 der Mantelfläche eingesetzt flogt dr p p1 dv 2 r dr Differentialgleichung für v, r 2 l p p2 2 Nach Integration erhält man ein v(r ) v0 1 r parabelförmiges Geschwindigkeitsprofil, mit 4 l v0 p1 p 2 R2 4 l Integrationskonstante, um v( R ) 0 zu erhalten 8 Berechnung der Volumenstromstärke I dV I dt Definition der Volumenstromstärke Fluß durch einen Kreisring mit Radius r und Dicke dr in der Zeit dt Volumenstromstärke durch den Kreisring dV 2 r dr v(r ) dt I Kreisring 2 r v(r ) dr R I 2 r v(r ) dr 0 I 2 R R R 2 r dr r 3 dr 0 0 p1 p 2 4 I R 8 l p1 p 2 4 l Die Volumenstromstärke durch das Rohr nimmt mit der vierten Potenz des Radius zu Tabelle 5 Herleitung des Hagen-Poiseuilleschen Gesetzes Versuch 9 In der Strömung durch ein Rohr wird das parabelförmige Geschwindigkeitsprofil durch „Verziehen“ eines Fadens aus gefärbter Flüssigkeit sichtbar. p1 r p2 dr l Abbildung 7 Zum Hagen-Poiseuilleschen Gesetz: Parabelförmiges Geschwindigkeitsprofil der Strömungsgeschwindigkeit im Rohr (rechts). Fluß durch einen Zylindermantel mit Radius r , Dicke dr zur Berechnung der Volumenstromstärke (links) Wie bei allen Reibungsverlusten wird die zur Strömung in Form von Druckarbeit aufgebrachte Energie in Wärme verwandelt. Analog zu elektrischen Stromkreisen ordnet man den Transportwegen bei der Strömung einen Strömungswiderstand zu. Formel p I R Dimension 1 m s 3 Anmerkung Definition des Strömungswiderstands R 9 1 R N s m5 Strömungswiderstand Gesamtwiderstand bei der Kombination von Leitungen RGesamt Ri Hintereinanderschaltung i 1 RGesamt i RGesamt 1 Ri Parallelschaltung RGesamt Tabelle 6 Strömungswiderstand 3.5.2.2 Reibungskraft auf eine Kugel: Das Gesetz von Stokes Auf eine im viskosen Medium bewegte Kugel wirkt eine zur Geschwindigkeit proportionale Reibungskraft: Formel F 6 r v v r Anmerkung Reibungskraft an der Kugel Geschwindigkeit der Kugel Radius der Kugel Viskosität des Mediums Tabelle 7 Das Stokessche Gesetz: Reibungskraft auf eine Kugel bei gleichförmiger Bewegung im viskosen Medium Versuch 10 Zum Stokesschen Gesetz: Fall von Kugeln unterschiedlichen Durchmessers in Glyzerin. Man erkennt, daß sich nach kurzer Beschleunigung konstante Geschwindigkeit einstellt. 3.5.3 Strömung realer Flüssigkeiten, die Reynoldsche Zahl Reale Strömungen werden bei genügend hohen Geschwindigkeiten turbulent. Auch bei kleineren Geschwindigkeiten stellt sich an der Wand eine Grenzschicht ein, in der im Bild der laminaren Strömung die Geschwindigkeiten von 0 an der Wand bis v in der Strömung anwachsen. Die außerhalb der Grenzschicht liegende Flüssigkeit bewegt sich mit annähernd konstanter Geschwindigkeit. Wird eine Platte in eine viskose Flüssigkeit eingeführt, dann ist dazu Energie aufzuwenden. Die Kraft erscheint zunächst als Reibungskraft, es muß aber auch 10 ein Stapel von Flüssigkeitsschichten auf die entsprechende Geschwindigkeit beschleunigt werden. Beide Arbeiten sind gleich, daraus ergibt sich eine Abschätzung für die Dicke der Grenzschicht. v0 Fläche A Reibungskra ft F R v (x ) D x Abbildung 8 Verschiebung einer Flüssigkeit im Bild der laminaren Strömung. Die oberste Schicht wird mit Geschwindigkeit v0 bewegt, die unterste Schicht ist die feststehende Wand des Gefäßes. Der Pfeil nach links zeigt die Trägheitskraft des Stapels aus Schichten der Dicke dx . Links: Das Geschwindigkeitsprofil in Abhängigkeit vom Abstand x zur Wand. Formel Anmerkung Kraft und Arbeit zur Bewegung der obersten Schicht: Newtonsche Gleichung für die Kraft zur Bewegung einer Schicht der Fläche A mit v FR 2 A 0 Geschwindigkeit v0 im Medium mit D Viskosität Arbeit, um diese Schicht eine Strecke l zu WR FR l bewegen Arbeit zur Beschleunigung des Stapels 2 Arbeit zur Beschleunigung einer Schicht in v 1 1 dW ms v( x) 2 A 0 2 x 2 dx Höhe x auf die Geschwindigkeit v (x ) , mit: 2 2 D mS A dx Masse einer Schicht v0 x D 2 D v0 1 1 2 W 2 A 2 x 2 dx v0 A D 2 3 D 0 Beide Arbeiten sind gleich: Geschwindigkeit einer Schicht im Abstand x von der Platte v( x) v 1 2 2 A 0 l v0 A D D 3 v0 l D 1 l 2 Arbeit zur Beschleunigung des ganzen Stapels Die Arbeit zur Beschleunigung des Stapels ist kleiner oder gleich der zum Einführen der Platte, daraus folgt als Abschätzung: Verknüpfung der Konstanten bei Bewegung eines Körpers der Länge l mit Geschwindigkeit v im Medium mit Dichte 11 D und der Viskosität mit laminarer Strömung bis zum Abstand D vom Körper Grenzschichtdicke, stellt sich immer so ein, daß die Ungleichung gilt Die Ungleichung erlaubt Abschätzung für den Bereich D , indem laminare Strömung zu erwarten ist. Die Dicke dieser Grenzschicht hängt von den Eigenschaften der Strömung ab, die in der Reynoldschen Zahl zusammengefaßt sind, und von der linearen Ausdehnung l des Körpers. Re v0 l Reynoldsche Zahl für die Bewegung eines Körpers der Länge l mit Geschwindigkeit v im Medium mit Dichte und der Viskosität D l Art der Strömung <<1 >>1 Laminar: Grenzschicht breit gegen die Linearausdehnung des Körpers 1 1 Grenzschicht so groß wie die Linearausdehnung des Körpers <<1 Turbulenzen. Wirbel, Grenzschicht klein gegen Linearausdehnung, hohes Geschwindigkeitsgefälle Re >>1 1200 Schema der Größenverhältnisse D l v0 Tabelle 8 Reynoldschen Zahl, lineare Ausdehnung l der Körper und Dicke D der Grenzschicht. Die Dreiecke im Schema zeigen die Geschwindigkeitsprofile zwischen dem bewegten Körper in der Mitte und der ruhenden Wand, die symbolisch für das Ende der Grenzschicht steht. Im Bereich außerhalb der Grenzschicht ruht das Medium. Versuch 11 Die endliche Dicke der Grenzschicht wird an einer in eine Flüssigkeit eingeführten Platte gezeigt Versuch 12 Im Windkanal wird der Widerstand unterschiedlicher Objekte sichtbar Versuch 13 Mit einer stabilen Wirbelströmung Luft- bzw. Rauchring wird eine Kerze gelöscht 12 Versuch 14 Laminare- und turbulente Strömung bei unterschiedlich schnellen Einführen einer Platte
