Lösung 6

Physik und Umwelt I
Lösungen der Übungen Nr. 6
Aufgabe 6.1
Daten:
Innendurchmesser d = 50 mm
Länge l = 100 m
Fluid: Erdgas H ( ρ = 0,783 kg / m 3 ; η = 10,8 ⋅ 10 −6 Pa ⋅ s )
a) v = 0,276 m/s
b) v = 2,76 m/s
c) v = 82,8 m/s
Re = 1000
Re = 10000
Re = 300000
Rohrreibungsgesetz: Δp V = λ
lρ 2
v
d2
a) Re = 1000
Re < Re krit = 2320
Laminare Strömung
λ=
64
(Hagen-Poiseuille)
Re
λ = λ lam =
Δp V = λ
64
= 0,064
Re
lρ 2
v
d2
Δp V = 3,82 Pa
b) Re = 10000
2320 < Re < 100000 (Turbulente Strömung)
λ = 0,3164 ⋅ Re −0, 25 (Blasius)
λ = λ turb = 0,3164 ⋅ 4
Δp V = λ
1
Re
= 0,03164
lρ 2
v
d2
Δp V = 188,7 Pa
c) Re = 300000
LOES-PU-I-Ü6-1
Physik und Umwelt I
Lösungen der Übungen Nr. 6
Turbulente Strömung
10 5 < Re < 5⋅10 6
λ = 0,0032 + 0,221 ⋅ Re −0, 237 (Nikuradse)
λ = λ turb = 0,0032 + 0,221 ⋅ Re −0, 237 = 0,0143
Daten:
Innendurchmesser d = 50 mm
Länge l = 100 m
Fluid: Erdgas H ( ρ = 0,783 kg / m 3 ; η = 10,8 ⋅ 10 −6 Pa ⋅ s )
v = 0,276 m/s
v = 2,76 m/s
v = 82,8 m/s
Re = 1000
Re = 10000
Re = 300000
Rohrreibungsgesetz: Δp V = λ
lρ 2
v
d2
Re = 1000
Re < Re krit = 2320
Laminare Strömung
λ=
64
(Hagen-Poiseuille)
Re
λ = λ lam =
Δp V = λ
64
= 0,064
Re
lρ 2
v
d2
Δp V = 3,82 Pa
b) Re = 10000
2320 < Re <
105 (Turbulente Strömung)
λ = 0,3164 ⋅ Re −0, 25 (Blasius)
LOES-PU-I-Ü6-2
Physik und Umwelt I
Lösungen der Übungen Nr. 6
λ = λ turb = 0,3164 ⋅ 4
Δp V = λ
1
= 0,03164
Re
lρ 2
v
d2
Δp V = 188,7 Pa
c) Re = 300000
Turbulente Strömung
10 5 < Re < 5⋅10 6
λ = 0,0032 + 0,221 ⋅ Re −0, 237 (Nikuradse)
λ = λ turb = 0,0032 + 0,221 ⋅ Re −0, 237 = 0,0143
Δp V = λ
lρ 2
v
d2
Δp V = 76900 Pa = 7,69 ⋅ 10 4 Pa
Δp V = λ
lρ 2
v
d2
Δp V = 76900 Pa = 7,69 ⋅ 10 4 Pa
Aufgabe 6.2
a)
Anwendung der Bernoulli-Gleichung liefert:
p ges,1 = p ges, 2
1 2
1
ρv1 = p 2 + ρv 22
2
2
1
p 2 = p1 + ρ( v12 − v 22 )
2
p1 +
Mit Hilfe der Kontinuitätsgleichung (A1v1 = A 2 v 2 ) folgt:
A
A
ρ
ρ
p 2 = p1 + [ v12 − ( v1 1 ) 2 ] = p1 + v12 [1 − ( 1 ) 2 ]
2
A2
2
A2
LOES-PU-I-Ü6-3
Physik und Umwelt I
Lösungen der Übungen Nr. 6
p2 = 7,93 bar
b)
I V = A 2 v 2 = A 1 v1 = 9,64 ⋅ 10 −3 m 3 / s = 9,64 l / s
Aufgabe 6.3
Um das Flüssigkeitsvolumen ΔV mit der Masse Δm = ρΔV auf die Höhe h zu bringen muss
die Hubarbeit ΔW verrichtet werden.
ΔW = Δmgh = ρΔVgh
Die Leistung P der Pumpe ist gegeben durch den Differenzenquotienten
P=
ΔW
ΔV
= ρgh
= ρghI V .
Δt
Δt
I V stellt die durch die Pumpe beförderte Volumenstromstärke dar. Der Wirkungsgrad der
Pumpe wurde hier vereinfachend mit 100% angenommen.
Mit I V = 360l / min = 0,360m 3 / 60s = 6 ⋅ 10 −3 m 3 / s folgt für die Leistung der Pumpe
P = 7063,2 W.
Aufgabe 6.4
Ein Behälter ist bis zur Höhe h mit Wasser gefüllt. Am Boden befindet sich ein horizontales
Ausflussrohr der Länge l = 50 cm mit dem Innendurchmesser d = 1,2 mm.
a) Berechnen Sie die maximale Geschwindigkeit v 2 , mit der die reale Strömung
laminar aus der Ausflussröhre ausfließen kann.
b) Aus welcher Höhe H über der Ausflussröhre sinkt der Wasserspiegel ab, wenn das
Wasser bei idealer Strömung mit v 2 = 1,92 m / s die Ausflussröhre verlässt? Wie groß
ist dabei der Druck p 1 am Rohreinlauf?
c) Aus welcher Höhe H über der Ausflussröhre sinkt der Wasserspiegel bei realer
Strömung ab, wenn turbulente Strömung in laminare Strömung umschlägt?
Daten:
ρ W = 1000 kg / m
3
;
η W = 10
−3
Pa s ;
g = 10 m/s2
Lösung:
a) Die Geschwindigkeit
v2
ergibt sich aus dem Reynolds-Kriterium.
LOES-PU-I-Ü6-4
Physik und Umwelt I
Lösungen der Übungen Nr. 6
Re =
v=
ρvd
η
Re⋅ η
ρd
Mit Rekrit = 2320 folgt:
v 2 = 1 ,93 m / s .
b) Ideale Strömung ( η = 0 )
Unter Vernachlässigung von Reibungsverlusten soll zunächst die Höhe H über
der Ausflussröhre berechnet werden.
Für eine ideale Strömung gilt die Bernoulli-Gleichung
p + ρgh +
1
ρv
2
= kon st .
2
Wichtig ist, dass bei jeder Anwendung der Bernoulli-Gleichung für die Höhe h
ein einheitliches Bezugsniveau (Nullniveau NN, d. h. Nullpunkt der
Höhenmessung) festgelegt wird. Die Lage des Nullpunkts kann dabei beliebig
gewählt werden.
P0
0
h
l
0
NN
1
Der Umgebungsdruck
p amb
2 P0
wurde hier zur Abwechselung mit
p0
bezeichnet.
Gemäß Bernoulli-Gleichung ist an allen Stellen des Strömungssystems die
Summe aus statischen Druck p stat , geodätischen Druck (Schweredruck) p S und
dynamischen Druck (Staudruck) p dyn gleich groß.
p stat + p S + p dyn = konst .
LOES-PU-I-Ü6-5
Physik und Umwelt I
Lösungen der Übungen Nr. 6
Stellt man die Bernoulli-Gleichung für den Punkt (0) der freien Oberfläche und
für den Austritt (2) der Flüssigkeit auf, erhält man:
1
p 0 + ρgh 0 +
2
2
ρv 0 = p 2 + ρgh 2 +
1
2
2
ρv 2
.
An der Stelle (2) herrscht nur der Luftdruck, der sich über die Höhe H nicht
ändert. Er ist daher identisch mit dem Luftdruck p 0 über dem Behälter. Unter
der Annahme, dass die Behälteroberfläche so groß ist, dass v 0 ≈ 0 gesetzt
werden darf, folgt::
v0 = 0 , h 0 = H, h 2 = 0
und
p2 = p0.
Damit vereinfacht sich die Bernoulli-Gleichung:
v 2 = 2 gH
.
Dieses Ergebnis wird auch als Gesetz von Torricelli für ideale Strömungen
(Evangelista Torricelli (1608 - 1647)) bezeichnet. Die
Ausflussgeschwindigkeit einer Flüssigkeit aus einem Behälter in der Tiefe h
unter dem Flüssigkeitsspiegel ist so groß, als hätten die Flüssigkeits-elemente
die Höhe h frei durchfallen. Torricelli gelangte zu diesem Ergebnis aufgrund
einer Energiebetrachtung. Ein in der Höhe h über einem Nullniveau ruhender
Körper der Masse m besitzt dort die potentielle Energie Epot = mgh. Beim
freien Fall über die Fallstrecke h wandelt sich die potentielle Energie
vollständig in kinetische Energie um. Die Energieerhaltung liefert:
Epot = Ekin
mgh =
m
v
2
2
v = 2 gh
.
Das Gesetz von Torricelli v 2 = 2gH = 1,93 m / s liefert für die Höhe H des
Wasserspiegels im Behälter H =
v 22
2g
= 0,186 m.
Der Druck p 1 im Rohreinlauf ergibt sich durch Anwendung der BernoulliGleichung an den Stellen (0) und (1) (Rohreinlauf):
p 0 + ρgh 0 +
Mit v 0
folgt:
1
2
2
ρv o = p 1 + 0 +
=0, h0 =H
1
2
2
ρv 1 .
und wegen der stationären Rohrströmung
v 1 = v 2 = 2 gH
LOES-PU-I-Ü6-6
Physik und Umwelt I
Lösungen der Übungen Nr. 6
p 0 + ρgH = p 1 +
1
ρ ⋅ 2 gH
2
p1 = p 0.
c) Reale Strömung
Ist v die mittlere Strömungsgeschwindigkeit, so folgt unter Berücksichtigung
der Rohrreibung nach dem Rohrwiderstandsgesetz:
Δp V
=
l
λ 1
ρv
2
d 2
Druckabfall Δp V und Verlusthöhe h V werden durch die Relation
verknüpft. Die Verlusthöhe ergibt sich zu:
hV =λ
l v
Δp V = ρgh V
2
.
d 2g
Da laminare Strömung vorliegt, gilt das Hagen-Poiseuillesche Gesetz und die
Rohrreibungszahl λ erhält den Wert
λ=
64
Re
. Mit Rekrit = 2320, g = 10 m/s2 und
v = v 2 = 1 ,93 m / s
folgt für die Verlusthöhe h V = 2 ,141 m . Um bei reibungsbehafteter Strömung die gleiche Strömungsgeschwindigkeit wie bei der idealen
Strömung von v = 1,93 m/s zu erreichen muss der statische Druck um den
Druckverlust Δp V vergrößert werden. Dazu muss der Flüssigkeitsspiegel um
die Verlusthöhe h V = 2 ,141 m erhöht werden. Die Gesamthöhe HR bei realer
Strömung bei realer Strömung ergibt sich dann zu HR = H + hv = 0,186 m +
2,141 m = 2,327 m.
LOES-PU-I-Ü6-7
Physik und Umwelt I
Lösungen der Übungen Nr. 6
(a): Ideale Strömung ( η = 0 )
(b): Reale Strömung ( η > 0 )
Aufgabe 6.5
In ein Gefäß, das im Boden eine Auslauföffnung (μ = 1,0) mit der Querschnittsfläche A = 10
cm² hat, wird Wasser mit der konstanten Volumenstromstärke I V = 265,8 l / min eingeleitet.
Welche Höhe he erreicht der Wasserspiegel im stationären Zustand bei idealer Ausströmung?
Daten: I V = 265,8 l / min = 4,43 ⋅ 10 −3 m 3 / s ; A = 10 cm² = 1⋅ 10 −3 m 2
Lösung:
Im stationären Zustand sind zufließende und abfließende Volumenstromstärke gleich. Die
Kontinuitätsgleichung liefert:
I V = I V,zu = I V,ab =
ΔV
= A ⋅ v(h e )
Δt
Für die Auslaufgeschwindigkeit v(h) gilt nach Torricelli: v = μ 2gh
μ:
Ausflusszahl
v(h) = 2gh
IV = A ⋅ v(he ) = A 2ghe
he = (
IV 2 1
) ⋅
= 1m
A
2g
LOES-PU-I-Ü6-8
Physik und Umwelt I
Lösungen der Übungen Nr. 6
Anhang
Für ideale Strömungen ( η = 0 ) gilt die Bernoullische Gleichung
(Daniel Bernoulli, 1700 - 1782):
p+
1 2
ρv = p ges = konst.
2
Die Bernoulli-Gleichung stellt den Zusammenhang zwischen Strömungsgeschwindigkeit v
und dem Druck p her. Sie gilt für eine laminare, reibungsfreie Strömung eines fluiden
Mediums mit konstanter Dichte ρ im stationären Zustand.
Abb.: 4.33: Bernoullische Gleichung
Die Größe p wird als statischer Druck bezeichnet. Der statische Druck wirkt in allen
Richtungen gleichermaßen; er ist isotrop. Befindet sich das fluide Medium in Ruhe
(v = 0), so ist der statische Druck gleich dem Gesamtdruck pges. Die Größe
1 2
ρv
2
besitzt ebenfalls die Dimension eines Drucks und wird Staudruck genannt.
LOES-PU-I-Ü6-9