Experiment 20 - Das Prinzip der Parfumflasche
Werbung
Anhang zu Mariazell 2000: Strömungen (A) Newtonscher Reibungsansatz und Innere Reibung Bewegt man einen Körper, z.B. ein Blech, durch eine Flüssigkeit oder strömt eine Flüssigkeit an deinem Körper vorbei, bewegen sich unmittelbar angrenzende Flüssigkeitsschichten relativ zueinander nicht. Je größer die Entfernung vom Körper ist, desto geringer ist die Verschiebung der Flüssigkeitsschichten, das bedeutet, dass die Flüssigkeitsschichten sich verschieden schnell bewegen. Es müssen also Querdrucke zwischen den Schichten aufgrund der „Inneren Reibung“ auftreten. Dies manifestiert sich in einem Geschwindigkeitsgradienten quer zur Strömungsrichtung [ Änderung der Geschwindigkeit einer Strömung senkrecht zur Strömungsrichtung].Ursache dafür ist die sogenannte „Innere dv Kräfte auf die mittlere Schicht Reibung“ aufgrund der Viskosität: p dz dv Strömungsgeschwindigkeiten Für die Reibungskraft ergibt sich somit: F A dz Unter versteht man die Viskosität, die die Zähigkeit eines Mediums beschreibt. In diesem Zusammenhang kommen bei der Bearbeitung von Strömungsproblemen zwar selten, aber doch die Ausdrücke dynamische Viskosität, kinematische Viskosität und Fluidität vor Die Fluidität ist der Kehrwert der dynamischen Viskosität. kinematische Viskosität = dv [M.L.T-2] = .[L2] . [L.T-1] . [L-1] dz [M.L.T-2] = .[L2 . T-1] = [M.L-1 .T-1] = [kg.m-1 .s-1] Dimensionsüberlegung zur Viskosität: F A Grundsätzlich unterscheidet man zwischen zwei Reibungen: (1) Reibung zwischen Flüssigkeit und der Gefäßwand (2) Reibung zwischen den Schichten, wobei gilt: RFlüssigkeit-RFlüssigkeit < RFlüssigkeit-Gefäßen Je näher die Schicht an die Gefäßwand kommt, desto langsamer ist sie. Die nebenbei aufgeführte Skizze zeigt, dass die Randschicht sich langsamer als die benachbarte Schicht bewegt. Die Reibungskraft ist proportional zur relativen Geschwindigkeit der momentanen Schicht. Es bildet sich ein lineares Geschwindigkeitsprofil aus. Die Reduktion hängt von der Art der Flüssigkeit bzw. von der inneren Reibung der Flüssigkeit, der sogenannten Zähflüssigkeit bzw. Viskosität ab. Die Abhängigkeit der Viskosität von der Temperatur vernachlässigt. 30 G.Lechner/deptphywest/ In der folgenden Abbildung sieht man das Profil des Flüssigkeitsstromes in einem Rohr. Der Kolben soll andeuten, dass die Flüssigkeit irgendwie in das Rohr hineingepumpt werden muss. Eine Strömung, in der sich die einzelnen Schichten so gegeneinander verschieben, dass dadurch eine Geschwindigkeitsverminderung erfolgt, bezeichnet man als eine „laminare“ Strömung. Wenn also eine Strömung vorhanden ist, dann muss es ein Druckgefälle geben. Fp = p.dy.dz Fp+dx = (p + dp).dy.dz dFp = p.dy.dz - (p + dp).dy.dz p dp = - dx x p p dV dFp = - dx .dy.dz = x x Erfolgt das Druckgefälle in beliebiger Richtung ( nicht wie in der Überlegung angedeutet nur in xp p p Richtung) dann hat die Kraft die Komponenten - dV , - dV ,- dV dFp = - grad p.dV x z y (B) Das Ohmsche Gesetz und das Kirchhoffsche Gesetz für Strömungen Um die Flüssigkeitsströmung im Rohr leichter behandeln zu können, helfen Analogien zur Elektrizität: Ohmsches Gesetz der Elektrizität: U = I. R Die Spannung U ist die Differenz des Elektronendrucks im Kreislauf Druckdifferenz in der Flüssigkeit ist eine Kraft der Strömung: U p In einer realen Flüssigkeit finden Reibungsvorgänge statt: R RFl Die Strömungsintensität beschreibt eine Anzahl von Elektronen, die durch den Querschnitt eines Leiters gehen. Diese Intensität soll äquivalent dem Volumen einer Flüssigkeit, die durch einen solchen Querschnitt eines Rohres fließt, sein: V I V’ = A. v; V’ = t Ohmsches Gesetz: p = R. V’ 31 G.Lechner/deptphywest/ Nun wird das Kirchhoff’sche Gesetz für Strömungsflüssigkeiten entwickelt. Die Skizze die Darstellung von verzweigten Volumsströmungen: I1 + I2 = IL IL + IR = I5 I3 + I4 = IR ---------------------------------------------------I1 + I2 + I3 +I4 = I5 Die Summen der einströmenden Strömungsvolumina muss gleich der Summe der ausströmenden Volumina sein. Nun wird der totale Widerstand der drei verschiedenen parallelen Gefäßen berechnet. Der Druckabfall ist für jedes Gefäß derselbe: p Durch das Ohmsche und Kirchhoff’sche Gesetz bekommt man in diesem System folgende Gleichung: Itot = I1 + I2 + I3 = 1 p p p 1 1 p p R1 R2 R3 R1 R2 R3 Rtot 1 1 1 1 R1 R2 R3 Rtot (C) Laminare Rohrströmung Differenz im Druck und dem Durchmesser der Gefäße Die Volumsströmungsintensität ist beinahe genauso wichtig wie die vorher angestellten Überlegungen. Um eine Verbindung zwischen der Volumsströmung, dem Durchmesser der Gefäße und der Viskosität zu finden, verwendet man eine Skizze eines hohlen Zylinders, da die Geschwindigkeiten der einzelnen Schichten verschieden sind. (1) Als erstes erfolgt eine Berechnung des Volumens der Flüssigkeit, die den ringartigen Bereich mit dem Radius r und der Breite dr mit der Geschwindigkeit v in der Zeit t durchfließt: dV = 2.r..dr.t.v (2) Nun muss v als Funktion von r ausgedrückt v werden: F A r ² . . p r 32 G.Lechner/deptphywest/ Der Reibungsbereich ist wie eine gewölbte Oberfläche eines Zylinders: 2. r. .l 2 r r l v r ² p v r p r 2 l r p R p r dr R ² r ² v 2 l r 4 l (3) Dieses Ergebnis wird jetzt in Beziehung zum Profil der Strömung interpretiert: Die Gleichung zeigt für v, dass die Spitzen der Geschwindigkeitsvektoren die Oberfläche eines Paraboloiden bilden. (4) Nun wird eine Formel für die durchströmende Volumsmenge aufgestellt: R 2 r t p p t R ²r ² R 4 V dV 2.r. v t dr R ² r ² dr 4 l 2 l 2 4 0 0 0 0 R R R p t R 4 R 4 p t R 4 p t R 4 2 l 2 4 2 l 4 8 l (5) Erläuterung zur Formel: Das durch ein Gefäß fließende Strömungsvolumen kann in erster Linie durch eine Vergrößerung des Radius und nicht aufgrund der Druckdifferenz gesteigert werden (6) Nun wird die Reibungskraft in einer laminaren Strömung berechnet: FR = R²..p = R².. 8 l V 8 l V ' 8 l A v 8 l R² v R² R² R² t R4 = 8 l v Das Ergebnis dieser Berechnung für eine laminare Strömung in einem Rohr nennt man „Hagen-Poiseuille-Gesetz“. 33 G.Lechner/deptphywest/ (7) Die Durchflussrate V’ ergibt sich durch Differentiation des Volumens nach der Zeit: V p R 4 p t R 4 V = V’ 8 l t 8 l Inwieweit sich die Durchflussrate V’ in Abhängigkeit vom Radius ändert, errechnet sich durch Differentiation von V’ nach dem Radius. Um einer Verwechslung mit dem Widerstand aus dem Wege zu gehen, wird ab nun der Radius wieder mit „r“ bezeichnet. V Ein Vergleich zwischen V r V 4 r 3 p p r 4 8 l r 8 l und V’ , V r 4 V , zeigt, dass eine Änderung von r eine 4 mal so große r 4 r V r Änderung der Durchflussrate verursacht. V (8) Da die Durchflussrate beibehalten werden soll, und ein verkürzter Radius eine Reduktion des Flusses verursachen würde, muss eine Erhöhung der Druckdifferenz erfolgen. V p r 4 V 8 l V durch das vorhergehende Resultat p t 8 l r4 kann man ersehen, dass ein halb so großer Radius zu einem 16 mal so großen Druck führt. Herleitung der Durchflussrate über Dimensionsüberlegungen: V f ( , r , p., l ) t z V p k x r y . L3.T-1 = [M.L-1.T-1]x. [L]y. [M.L.T-2.L-2.L-1]z t l L3.T-1 = [M]x+z . [L]-x+y-2z. [T]-x-2z 0=x+z -1 =-z ;x=-1 -1 = -x - 2z 3 = 1 + y -2 y = 4 3 = -x + y -2z V p k 1 r 4 . t l V pr4 k t l Die Bestimmung der Konstanten ist auf diesem Wege nicht möglich. 34 G.Lechner/deptphywest/ (D) Laminare Umströmung um Kugeln Abschätzen einer Formel für den Widerstand den umströmte, kugelförmige Körper einer Flüssigkeit entgegensetzen bzw. bewegte kugelförmige Körper auf ihrer Bewegung durch ruhende Flüssigkeiten erfahren: Wenn man eine Kugel durch eine Flüssigkeit zieht, so haften Flüssigkeitsteilchen an der Kugel, an den Teilchen haften wieder Teilchen usw., sodass ein Geschwindigkeitsgefälle von der dv dv Kugel weg entsteht: F A F 4 r 2 dz dz dv v Annahme: In der Entfernung r von der Kugel ist die Geschwindigkeit „0“ dz r dv v F 4 r 2 F 4 r 2 F 4 r v dz r Die Abschätzung stimmt bis auf den Faktor 4. Die genaue Beziehung nennt man Stoke-Reibungsgesetz: F 6 v r Herleitung des Stoke-Gesetzes über Dimensionsüberlegungen: F = f(,r,v) F k x v y r z F k x v y r z [M.L.T-2] = [M.L-1.T-1]x. [L.T-1]y. [L]z 1=x 1 = -x + y + z 2 = y + z z = 1 -2 = -x -y 1=y F k v r (E) Die Reynoldszahl 1833 bewies O. Reynolds, dass bei kleinen Geschwindigkeiten jede reale Strömung laminar ist. Wird nun die Geschwindigkeit vergrößert, kommt es zu einer Veränderung des Strömungszustandes. Die Flüssigkeitsteilchen nehmen nun eine völlig ungeordnete Bewegung ein. Sie bewegen sich mit verschieden Geschwindigkeiten entlang verschiedener Wege, wobei Wirbel und damit Kräfte, die auf die einzelnen Flüssigkeitsvolumen wirken, entstehen. Hier kann man nun von einer Trägheitskraft sprechen. Bei der Bildung von Wirbelbewegungen geht Translationsenergie in Rotationsenergie über. Dadurch erhöht sich die innere Reibung der Wirbel, was sich in einer Erhöhung des Strömungswiderstands auswirkt. Ein Teil dieser Rotationsenergie geht auch in Wärmeenergie über. Ob eine Strömung laminar bleibt oder v2 turbulent wird, hängt also vom Einfluss der Trägheit ( Bewegungsenergie ) und vom 2 v Einfluss der inneren Reibung ( ) ab. r Als ein Kriterium für den Übergang einer laminaren Strömung in eine turbulente Strömung wird jetzt der Quotient aus der Trägheitskraft und der Kraft, die die innere Reibung verursacht verwendet. Dieser Quotient wird als die Reynoldssche Zahl Re bezeichnet. 35 G.Lechner/deptphywest/ Abschätzung: Um nun die innere Kraft zu berechnen, wird das Volumen V = l³ betrachtet. Innerhalb dieses Volumen nehmen alle Flüssigkeitsteilchen die selbe Bewegung innerhalb derselben Zeit t ein, die Momentangeschwindigkeit sei u: (1) Die maximale Geschwindigkeitsänderung lautet nun u . t l u² beschrieben. a t l u² (3) Die Trägheitskraft kann durch m.a = l ³ l ² u ² angenommen werden. l u u (4) Die innere Reibung A l ² l u l l l ² u² l u (5) Die Reynoldszahl: Re lu (6) Da eine Ungenauigkeit bezüglich der Länge vorliegt, kann anstatt „l“ der d u Durchmesser eines Rohres verwendet werden: Re (2) Durch „l“ wird jetzt u (7) Je zäher eine Medium ist, desto weniger groß ist ihre Bereitschaft zur Wirbelbildung, desto weniger neigt sie zur Turbulenz. Irgendwann bildet aber jedes Medium Wirbel. Der kritische Wert von Re ist auch jener Wert, der beim Beginn einer Instabilität der laminaren Strömung entsteht. Man kann nicht erwarten, dass bei der Reynoldszahl „1“ der Umschlag von laminar in turbulent erfolgt. Die Reynoldszahl hängt auch von einigen anderen Einflüssen wie von der Oberflächenstruktur, der Krümmung des Rohres etc. ab. So gibt man für den Umschlag bei kreisförmigen Rohren 1160, bei elliptischen Rohren 2200 und bei Kugel 1000 an., Auf jeden Fall gilt jedoch für eine laminare Strömung, dass Re> 4000 ist. Bei einem kleineren Querschnitt kann die Zahl jedoch etwas geringer sein. Turbulente Strömungen verursachen Wirbel und dadurch auch zusätzliche Reibungen. Die Reynoldszahl lässt sich auch folgendermaßen realisieren: Geht die kinetische Energie in innere Energie über, gilt: dv m v2 A .l dz 2 dv werden durch die Geometrie des angeströmten Körpers bestimm, daher ordnet dz dv l2 .v man ihnen auch geometrische Größen zu: l A dz .l3.v² . l2.v l v m v2 Re Für ergibt sich eine Proportionalität zu .l3.v² 2 l v So ist also leicht einzusehen, dass den Übergang von laminar zu turbulent beschreibt. A, l und 36 G.Lechner/deptphywest/ (F) Der Strömungswiderstand (Newton Reibung) Wenn eine reale Flüssigkeit ein Hindernis umströmt, kann das im Prinzip laminar erfolgen, aufgrund der Adhäsion und der Viskosität treten aber am Rand des Hindernisses starke Geschwindigkeitsgradienten auf. Es kommt zwar zentral hinter dem Hindernis ebenfalls zu einem „v = 0 - Gebiet“. Am Rand lösen sich aber Wirbel ab, oben rechtsdrehende, unten linksdrehende, sodass der Drehimpulserhaltungssatz erfüllt ist. Man nennt dies auch den Satz von Kelvin. Es soll nun die Größe dieses Strömungswiderstands abgeschätzt werden: Denkt man sich ein Hindernis in der Strömung, z.B. eine kreisrunde Platte, so ist die Strömung an der Vorderseite nicht gleich der an der Rückseite. Ein Teil der Bewegungsenergie der Strömung wird als umgewandelt in Arbeit gegen die Strömungswiderstandskraft. Für die Abschätzung einsichtiger wird es, wenn man die Situation umdreht. Man zieht ein Hindernis mit konstanter Geschwindigkeit durch eine ruhendes Medium. Dabei ist Arbeit aufzuwenden. Man kann dies sehen, einerseits als für die Bewegung notwendige kinetische Energie und andererseits als Arbeit, um den Strömungswiderstand zu überwinden: dm v 2 dV v 2 dl A v 2 A v2 F dl F dl F dl F 2 2 2 2 Da bei gleichem wirkenden Querschnitt gegen die Strömung die Widerstandskraft verschieden ist, ist leicht einzusehen, dass mit einem die Form charakterisierenden Faktor multipliziert werden muss. Dieser Faktor wird als Widerstandsbeiwert cw oder Widerstandskoeffizient cw bezeichnet: A v2 F cw 2 Wie oben schon erwähnt, entscheidet die Reynoldszahl, ob mit der Stoke Reibung oder mit der Newton Reibung zu arbeiten ist, d.h. ob das Verhalten geschwindigkeitslinear oder quadratisch zur Geschwindigkeit ist. (G) Das Grenzschichtverhalten An jedem durch ein Medium gezogenen Körper hängt eine Schicht des Mediums, die für ein Geschwindigkeitsgefälle nach außen verantwortlich ist. Das Geschwindigkeitsgefälle beschreibt den Übergang zwischen der Geschwindigkeit des Körpers und der ruhenden Flüssigkeit. Ist die Grenzschicht sehr dünn gegenüber den Köperdimensionen, kann das Gefälle als linear angesehen werden und das Strömungsverhalten an der Schicht als laminar betrachtet werden. Auf die umströmte Oberfläche wirkt dann auch die Reibungskraft dv FR A . dz dv Verschiebt man den Körper um die Strecke l, ist die Arbeit WR A l notwendig. dz 37 G.Lechner/deptphywest/ Diese Arbeit geht in die kinetische Energie der neuen Grenzschicht über. Aufgrund des Geschwindigkeitsgefälles hat jede infinitesimale Schicht eine verschiedene kinetische Energie, D 1 sodass auf die gesamte Schicht die Integralrechung anzuwenden ist: WKin dm v z2 . Nützt 2 0 man die Linearität des Geschwindigkeitsgefälles aus ( D WKin D 1 v2 2 1 v2 A dz 2 z A 2 z 2 dz 2 0 2 D D 0 vz v ), ergibt sich: z D 1 v2 z3 A 2 2 D 3 D 0 1 A v2 D 6 Da die Reibungsarbeit also gleich die kinetische Energie ist, kann man die Grenzschichtdicke 6 l v 1 berechnen: A l A v 2 D D D 6 v Warum ist es Bedingung, dass die Grenzschicht sehr dünn ist? D 6 l 2 vl 6 v l D l 2 D <<< l D <<< 1 l 6 v l D l 6 <<< 1 Re 6 D v l l 2 2 6 D Re l Re >>> 1 Wäre diese Bedingung nicht erfüllt wäre die Reynoldszahl sehr klein und die Strömung als ganzes laminar, sodass man nicht mehr von einer Grenzschicht sprechen könnte. Wie groß ist der Strömungswiderstand, wenn D <<< l ist? FR A v v v3 A Av ; D 6 l 6l für A l² ergibt sich: F l 2 v3 l v3 l 3 im Vergleich dazu ist FStoke v l und FNewton v 2 l 2 FGrenzschicht FStoke FNewton (geometrisches Mittel) Für reale Körper wie zum Beispiel Flugzeuge Schiffe, liefert die Stoke - Reibung einen zu kleinen Wert, da sie Wirbel unberücksichtigt lässt, die Newton-Reibung einen zu großen Wert, da sie die Laminarität zu wenig berücksichtigt. 38 G.Lechner/deptphywest/ (H) Reynoldszahl und Widerstandsbeiwert Die Reynoldszahl lässt sich auch über die Bestimmung des Widerstandsbeiwerts ermitteln. Aus der ermittelten Reynoldszahl lässt sich dann wiederum auf die Laminarität der Strömung schließen. Reynoldszahl, Widerstandsbeiwert und umströmte Kugel: Die Stoke - Kraft FStoke 6 v r wird auf die Form der Strömungswiderstandskraft F cw A v2 2 ergänzt: 1 1 1 1 FStoke 6 v r = 6 2 v 2 r 2 v r 2 2 l v 2r v 12 2 v A = FStoke Re vr 2 2 12 v 2 A vr 2 24 24 v 2 A cW Re Re 2 Da diese Berechnung auf der Annahme einer laminaren Strömung basiert, kann über cw - Wert bzw. Reynoldszahl ein Schluss ´auf die Laminarität gezogen werden. Reynoldszahl, Widerstandsbeiwert und durchströmte Röhre: Die Hagen-Poiseuille-Kraft FHP = 8 l v wird auf die Form der A v2 Strömungswiderstandskraft F c w ergänzt: 2 1 1 1 1 1 8 v2 A FHP = 8 l v = 8 2 v 2 2 l r 2 vr 2 v r 2 Re 16 l v 2r v 8 2 v 2 A 16 v 2 A = FHP cW Re Re 2 vr 2 2 (I) Bernoulli - Gleichung 39 G.Lechner/deptphywest/ In ruhenden Flüssigkeiten würde in allen Steigrohren die Flüssigkeit gleich hoch stehen, denn sie zeigen den statischen Druck an. Beim Strömen ergibt sich en linearer Druckabfall aufgrund der Inneren Reibung. Könnte man die Innere Reibung vernachlässigen, so würde auch beim Strömen in der linken Abbildung der statische Druck überall gleich sein. Dort wo der Querschnitt kleiner ist, strömt das Medium schneller und der statische Druck ist kleiner. Die Erklärung ist im Energiesatz begründet: Im engeren Teil strömt das Medium schneller. Der Zuwachs V an kinetischer Energie kann nur Folge einer Druckarbeit sein. Der Druck p1 schiebt das Volumen V1 F1 vor sich her und muss dabei den Druck p2 überwinden. Der Druck x2 p1verrichtet die Arbeit W1 = p1.V x1 und verschiebt dabei das Volumen V im breiten Teil. Dieses Volumen drängt aber ein gleich großes Volumen im engen Teil weiter und verrichtet dabei die Arbeit W2 = p2.V. Die Differenz dieser Arbeiten macht sich als kinetische Energie bemerkbar: m V (v 22 v12 ) ( p1 - p2 ).V = (v 22 v12 ) 2 2 2 2 2 v 2 v1 v1 v 22 p1 + = p2 + = p0 2 2 2 2 p1.V - p2.V = p1 - p2 = Die Überlegung bezieht sich auf eine horizontale Strömung, d.h. dass der Schweredruck nicht berücksichtigt ist. Somit ist p0 der Druck der ruhenden Flüssigkeit auf gleicher Höhe. Wenn nun die Strömung nicht mehr auf gleicher Höhe erfolgt, muss in die Druckarbeit auch noch der entsprechende Schweredruck miteinbezogen werden: v² p g h const . 2 Um an diesem Beispiel den Einsatz der Differentialrechnung zu üben, soll eine quantitative Beschreibung über den Energiesatz gefunden werden: V x1,p1,t1,v1 dF(x) = dA.p(x) - dF(x+dx) = dA.p(x+dx) x0,p0,t0,v0 x,p,t,v dF(x) -dF(x+x) x+x, p+p, t+t, v+v resultierende Kraft: dF = dA.[p(x) - p(x+dx)] = dp dp dx = dV = dA dx dx x Diese Kraft beschleunigt die in dV enthaltene Masse dm = .dV 40 G.Lechner/deptphywest/ d d ( dm v ) ( dV v) dt dt d = dV ( v) dV ( v v) dt Die Kraft ist die zeitliche Änderung des Impulses: dF = Im Falle konstanter Dichte ist = 0 dF = dV v dF dF v v dV A dx dp v dx p0 p0 Da p in Richtung x abnimmt, gilt: dp v dx dp p1 p1 p0 v0 dp v dv p1 - p0 = p1 p1 2 v1 v12 p0 2 dv v dt dt 2 v 02 v12 v02 Diese Bernoulli - Gleichung gilt streng genommen nur für reibungsfreie, ideale Flüssigkeiten. Die Annahme konstanter Dichte kann bei Flüssigkeiten im Allgemeinen als erfüllt angesehen werden. Solange die Druckänderungen im Vergleich zum Gesamtdruck gering sind, kann die Gleichung auch auf Gase angewandt werden. 41 G.Lechner/deptphywest/
