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Analysis
JOHANNES BONNEKOH
Allgemeine Hochschulreife und Fachabitur
Vorwort
Vorwort
„Mathematik ist eine Sprache, die uns hilft die Natur und
allgemeine naturwissenschaftliche Vorgänge zu
beschreiben.“
Johannes Bonnekoh
Diese Buch richtet sich an alle Schülerinnen, Schüler und Studierende, die
sich an Berufskollegs, beruflichen Gymnasien, Gymnasien und
Gesamtschulen auf die Allgemeine Hochschulreife (vulgo Abitur) oder die
Fachhochschulreife vorbereiten.
Die folgenden Kapitel entstanden aus den Unterlagen, die ich während
meiner Unterrichtszeit am Berufskolleg St. - Nikolaus - Stift in Zülpich Füssenich zusammengestellt habe und sind damit für den Unterricht an
einem Berufskolleg mit dem Schwerpunkt Sozial- und Gesundheitswesen
entstanden. Die dem Ganzen zugrundeliegende Mathematik ist natürlich für
alle Schulen die Selbe.
In jedem Kapitel habe ich mich bemüht, die Grundlagen möglichst formelfrei
und erklärend zu beschreiben bevor ich die mathematisch korrekten Formeln
einführte. Meiner Ansicht nach kann man jedes Problem immer auch ohne
Fachsprache erklären, wenn man es richtig verstanden hat. Die Leserinnen
und Leser die diesen Punkt noch etwas weiter vertiefen möchten, können
sich z.B. das Buch „QED - Die seltsame Theorie des Lichts und der Materie“
ii
von Richard P. Feynman einmal durchlesen. Prof. Feynman
schafft es in diesem Buch die Theorie der Quantenelektrodynamik
ohne Formeln und physikalische Fachbegriffe zu beschreiben. In
gewisser Weise war er mein Vorbild bei der Erstellung dieser
Unterrichtsreihe.
Allen Leserinnen und Lesern wünsche ich viel Spaß und Erfolg
beim Lesen dieses Buches.
50374 Erftstadt, den
Johannes Bonnekoh
iii
Kapitel 1
Grundlagen
In diesem Kapitel werden wir uns erst einmal mit
den Fragen „Was ist Mathematik?“ und „Wozu
brauchen wir Mathematik?“ beschäftigen.
Anschließend werden die Grundbegriffe der
Analysis eingeführt.
Kapitel 2
Schnittpunkte
Ganzrationaler
Funktionen
In diesem Kapitel widmen wir uns einem Teil der
Analysis, der auch in späteren Kapiteln immer
wieder benutzt werden wird. Die hier vermittelten
Kenntnisse sind also extrem wichtig.
Abschnitt 1
Verschiedene Arten von Schnittpunkten
AUFBAU
Prinzipiell gibt es drei verschiedene Arten von Schnittpunkten und
1. Schnittpunkte mit der y - Achse
dementsprechend auch drei verschiedene Ansätze zur Berechnung dieser
2. Schnittpunkte mit der x - Achse
Schnittpunkte. Diese Arten und die eingerahmten Ansätze besitzen für alle
Funktionsklassen und nicht nur für ganzrationale Funktionen Gültigkeit.
3. Schnittpunkte zweier Funktionen
4. Verfahren zur Berechnung
1. Schnittpunkte mit der y Achse
Der einfachste Schnittpunkt ist der Schnittpunkt mit der y - Achse. Für alle Punkte
auf der y - Achse gilt: x = 0. Um den Schnittpunkt mit der y - Achse auszurechnen
müssen wir also lediglich
f (0) = …
berechnen.
6
Beispiel: f ( x ) = 2x + 3
Äquivalenzumformungen wird dann die Gleichung nach x
aufgelöst.
f (0) = 2 ⋅ 0 + 3 = 3
Beispiel: f ( x ) = 2x + 3
Sy ( 0 3)
f ( x) = 0
2. Schnittpunkte mit der
x - Achse
Die nächste und etwas schwierigere Art von Schnittpunkten sind
⇔ 2x + 3 = 0
−3
⇔
2x = −3
:2
⇔
x=−
⎛ 3
N⎜−
⎝ 2
3
2
⎞
0⎟
⎠
die Schnittpunkte mit der x - Achse (Nullstellen). Für alle Punkte
auf der x - Achse gilt: y = 0. Mit f(x) = y erhalten wir also den
Ansatz
f ( x) = 0
.
3. Schnittpunkte zweier
Funktionen
Die anschließende Berechnung der Unbekannten x wird in diesem
Die letzte Art von Schnittpunkten sind die Schnittpunkte zweier
ganzen Kapitel unser Thema sein. Je nach Funktion gibt es
Funktionen f und g. Der Schnittpunkt S (x|y) zweier Funktionen
unterschiedliche Verfahren x zu berechnen.
zeichnet sich dadurch aus, dass er auf beiden Funktionen liegt.
Dies liefert uns den Ansatz
Am einfachsten ist hierbei das Verfahren des direkten Auflösens.
Es wird immer dann angewandt, wenn die aus dem obigen
Ansatz resultierende Gleichung nur eine Potenz von x (diese evtl.
mehrfach) und ansonsten nur Zahlen enthält. Mittels
f ( x) = g( x) .
7
Die aus diesem Ansatz resultierenden Gleichungen werden im
5. Linearfaktorzerlegung
Wesentlichen genau so gelöst wie die vorher Vorgestellten.
Das Verfahren des Direkten Auflösens habe ich bereits in den
Beispiel: f ( x ) = 2x + 3 und g ( x ) = x + 6
f ( x) = g( x)
Leserinnen und Lesern bereits bekannt sein.
Die restlichen Verfahren werden im Folgenden vorgestellt.
⇔ 2x + 3 = x + 6
−3
⇔
−x
2x = x + 3
Beispielen dieses Kapitels präsentiert und solche auch allen
⇔
x=3
Berechnung von y:
y = f ( 3) = 2 ⋅ 3 + 3 = 9
S ( 3 9)
4. Verfahren zur
Berechnung
Prinzipiell gibt es fünf Verfahren zur Berechnung der oben
erklärten Schnittpunkte:
1. Direktes Auflösen,
2. Quadratisches Ergänzen / p - q - Formel
3. Ausklammern
4. Substitution
8
Abschnitt 2
Quadratisches Ergänzen
AUFBAU
1. Das Verfahren
2. Übungsaufgaben
1. Das Verfahren
Das Quadratische Ergänzen ist ein Verfahren zur Berechnung der Nullstellen, also
3. Herleitung der p-q-Formel
der Schnittpunkte mit der x - Achse, bei beliebigen quadratischen Funktionen. Mit
4. Ergebnisse der Übungsaufgaben
Hilfe dieses Verfahrens wird auch die p-q-Formel hergeleitet.
Bei diesem Verfahren wird so geschickt eine Zahl ergänzt, dass auf einer Seite des
Gleichheitszeichens eine der beiden Binomischen Formeln
2
2
a
+
b
=
a
+
2ab
+
b
(
)
2
(a − b)
2
= a 2 − 2ab + b 2
steht.
Schauen wir uns dieses Verfahren einmal an einem Beispiel an.
9
f ( x ) = 2x 2 + 8x − 10
4x = 2ab x = a
⇔ 4x = 2xb Vergleichen
⇔ 4 = 2b
4
⇔ b = = 2.
2
f ( x) = 0
⇔ 2x 2 + 8x − 10 = 0
:2
⇔ x 2 + 4x − 5
=0
+5
⇔ x 2 + 4x
=5
Der einzige aus der ersten Binomischen Formel noch fehlende
Im ersten Schritt müssen wir immer dafür sorgen, dass vor dem
x 2 keine Zahl mehr steht. Danach wird die Zahl ohne x auf die
andere Seite der Gleichung gebracht.
Nun müssen wir den links des Gleichheitszeichens stehenden
Term mit der rechten Seite einer der Binomischen Formeln
2
Term ist das b . Dieses müssen wir nun ergänzen und können
dann die erste Binomische Formel anwenden.
f ( x ) = 2x 2 + 8x − 10
f ( x) = 0
vergleichen. Da vor der 4 ein „+“ steht, verwenden wir die erste
⇔ 2x 2 + 8x − 10 = 0
:2
Binomische Formeln. Würde dort ein „-“ stehen, würden wir die
⇔ x 2 + 4x − 5
=0
+5
⇔ x 2 + 4x
=5
⎛ 4⎞
+ ⎜ ⎟ = 22 = 4
⎝ 2⎠
⇔ x 2 + 4x + 4
= 5 + 4 1. Binomische Formel
⇔ ( x + 2)
=9
zweite Binomische Formel verwenden.
Unser x stimmt mit dem a überein. Das x ist also unser a. Der
2
2
Term mit x ohne Quadrat (4x) muss also mit dem Mischterm aus
der Binomischen Formel (2ab) übereinstimmen.
2
2
±
⇔ x + 2 = 3 ∨ x + 2 = −3 −2
⇔ x = 1∨ x = −5
N1 ( −5 0 ) , N 2 (1 0 )
10
Die farbig markierten Zahlen geben hierbei an, welche Zahl an
welcher Stelle wieder eingesetzt wird.
Das Zeichen „v“ steht für das lateinische Wort vel und bedeutet
oder. Es wird immer dann verwendet, wenn mehrere Lösungen
möglich sind.
Alternativ kann auch das Zeichen „ ∧ “ verwendet werden. Es
steht abkürzend für das englische Wort AND (die Spitze des
Buchstaben A) und bedeutet und. Bei Verwendung dieses
Zeichens müssen aber die x bei den Lösungen durchnummeriert
werden, also x1 , x2 ,… . Dies ist deshalb notwendig, weil das selbe
x keine zwei unterschiedlichen Werte annehmen kann.
Bei einigen Funktionen kommt es vor, dass beim Schritt des
Wurzelziehens auf der rechten Seite des Gleichheitszeichens eine
negative Zahl steht. In diesem Fall ist das Wurzelziehen nicht
möglich und die Funktion hat keine Nullstellen.
Da die Wurzel aus einer negativen Zahl nie gezogen werden kann,
2. Übungsaufgaben
Berechne die Nullstellen:
2
a) f (x) = 3x − 18x + 27
b) f (x) =
1 2 9
x + x + 20
2
2
2
c) f (x) = 3x + 9x + 5
2
d) f (x) = 2x − 6x + 4
2
e) f (x) = −3x + 39x − 120
2
f) f (x) = x + x + 1
2
g) f (x) = 4x + 204x + 200
2
h) f (x) = −5x − 5x + 100
2
i) f (x) = x − 2x + 8
darf auch niemals die Wurzel aus einer negativen Zahl
aufgeschrieben werden.
11
3. Herleitung der p-qFormel
4. Ergebnisse der
Übungsaufgaben
Wir schauen uns nun einmal das Verfahren für eine allgemeine
a) N (3 | 0)
quadratische Funktion an.
b) keine Nullstellen
f ( x ) = x 2 + px + q
c) N1 −
f ( x) = 0
⇔ x 2 + px + q
⇔ x + px
2
2
=0
−q
= −q
⎛ p⎞
+⎜ ⎟
⎝ 2⎠
⎛ p⎞
⇔ x+⎜ ⎟
⎝ 2⎠
2
2
2
⎛ p⎞
= ± +⎜ ⎟ − q
⎝ 2⎠
2
⇔ x1/2
f) keine Nullstellen
±
h) N1 (−5 0), N2 (4 0)
⎛ p⎞
−⎜ ⎟
⎝ 2⎠
7
0
3
d) N1 (1 0), N2 (2 0)
1. Binomische Formel
2
⎛ p⎞
= +⎜ ⎟ − q
⎝ 2⎠
7
3 1
0 , N2 − −
3
2 2
e) N1 (5 0), N2 (8 0)
2
⎛ p⎞
⎛ p⎞
⇔ x + px + ⎜ ⎟ = + ⎜ ⎟ − q
⎝ 2⎠
⎝ 2⎠
2
2
⎛
⎛ p⎞ ⎞
⇔⎜x+⎜ ⎟ ⎟
⎝ 2⎠ ⎠
⎝
2
3 1
+
2 2
2
g) N1 (−1 0), N2 (−50 0)
i) keine Nullstellen
2
⎛ p⎞
⎛ p⎞
= −⎜ ⎟ ± +⎜ ⎟ − q
⎝ 2⎠
⎝ 2⎠
Das Quadratische Ergänzen und die p-q-Formel sind also
vollkommen äquivalente Verfahren.
12
Abschnitt 3
Das Ausklammern
AUFBAU
1. Die Nullteilerfreiheit der reellen Zahlen
2. Das Verfahren
3. Übungsaufgaben
4. Ergebnisse der Übungsaufgaben
1. Die Nullteilerfreiheit der
reellen Zahlen
Das hier untersuchte Verfahren basiert auf der Nullteilerfreiheit der reellen Zahlen.
Satz: Seien a,b ∈ , dann gilt:
a ⋅b = 0 ⇔ a = 0 ∨ b = 0.
Wenn also das Produkt zweier reeller Zahlen gleich Null ist, muss schon ein der
beiden Zahlen gleich Null sein.
Auf diesem Satz basiert das im Folgenden präsentierte Verfahren. Dieses
Verfahren löst eine solche Gleichung nicht direkt, sondern verwandelt ein Problem
der Nullstellenbestimmung in zwei Probleme niederen Grades. Es dient also nur
der Vereinfachung und nicht der Lösung des Problems.
Die entstehenden Teilprobleme müssen noch mittels anderer Verfahren gelöst
werden.
Die Nullteilerfreiheit der reellen Zahlen werden wir auch noch im letzten Abschnitt
dieses Kapitels, der Linearfaktorzerlegung, benötigen.
13
2. Das Verfahren
Dieses Verfahren lässt sich bei jeder ganzrationalen Funktion mit
fehlendem absoluten Glied anwenden. Bei diesem Verfahren wird
als erstes die kleinste vorkommende Potenz von x
ausgeklammert. Anschließend wird die Nullteilerfreiheit der reellen
f ( x ) = x 3 + 4x 2 − 5x
f ( x) = 0
⇔ x 3 + 4x 2 − 5x = 0
x ausklammern
⇔ x x 2 + 4x − 5 = 0
Nullteilerfreiheit
⇔ x = 0 ∨ x 2 + 4x − 5 = 0
+5
(
)
Zahlen angewandt. Schauen wir uns dies an zwei Beispielen an.
2
⎛ 4⎞
+ ⎜ ⎟ = 22 = 4
⎝ 2⎠
f ( x ) = 3x 2 + 5x
⇔ x 2 + 4x
⇔ 3x + 5x = 0
x ausklammern
⇔ x 2 + 4x + 4 = 5 + 4
1. Bin. Formel
⇔ x ( 3x + 5 ) = 0
Nullteilerfreiheit der reellen Zahlen
⇔ ( x + 2)
±
f ( x) = 0
2
⇔ x = 0 ∨ 3x + 5 = 0 x ausklammern
⇔ 3x = −5 : 3
5
⇔ x=−
3
5
⇔ x = 0∨x = −
3
⎛ 5 ⎞
N1 ( 0 0 ) , N 2 ⎜ − 0 ⎟
⎝ 3 ⎠
2
=5
=9
⇔ x + 2 = 3 ∨ x + 2 = −3 −2
⇔ x = 0 ∨ x = 1∨ x = −5
N1 ( −5 0 ) , N 2 ( 0 0 ) , N 3 (1 0 )
Ich empfehle dringend, das Einrücken nach Anwendung der
Nullteilerfreiheit zu übernehmen. Gerade bei längeren
Rechnungen ist es sonst sehr gut möglich, dass die erste Lösung
vergessen wird.
Natürlich muss nicht immer nur x ausgeklammert werden. Falls
2
möglich, kann auch x ausgeklammert werden. Im zweiten
Durch das Einrücken und das Wiederholen aller Lösungen am
Ende wird dieses Risiko minimiert.
Beispiel schauen wir uns eine kompliziertere Funktion an.
14
Das Verfahren des Ausklammerns funktioniert nur, wenn auf der
rechten Seite des Gleichheitszeichens eine Null steht.
Steht dort eine andere Zahl, lässt sich dieses Verfahren nicht
anwenden, da z.B. die Fünf sich als Produkt beliebig vieler
Faktoren schreiben lassen kann:
5 1
5 = 1⋅ 5 = 2 ⋅ = ⋅10 = … .
2 2
4. Ergebnisse der
Übungsaufgaben
a) N1 (−9 0), N2 (0 0)
b) N1 (−3 0), N2 (0 0)
c) N1 − 3 0 , N2 (0 0), N3
3 0
(
)
(
)
3. Übungsaufgaben
d) N1 (0 0), N2 (3 0)
Berechne die Nullstellen:
e) N1
a) f (x) =
1 2 9
x + x
2
2
1 1
−
(2 2
1 1
161 0 , N2 (0 0), N3
+
)
(2 2
)
161 0
f) N (0 0)
3
2
b) f (x) = 3x + 9x
g) N1 (0 0), N2 (1 0)
4
2
c) f (x) = 2x − 6x
h) N (0 0)
3
2
d) f (x) = 3x − 18x + 27x
3
2
e) f (x) = −3x + 3x + 120x
3
2
f) f (x) = x + x + x
3
2
g) f (x) = 4x − 8x + 4x
4
2
h) f (x) = 5x + 5x
15
Abschnitt 4
Das Substitutionsverfahren
AUFBAU
1. Das Verfahren
2. Ein vollständiges Beispiel
3. Übungsaufgaben
1. Das Verfahren
Das Substitutionsverfahren (vom lat. substituere d.h. ersetzen) findet bei
ganzrationalen Bestimmungsgleichungen mindestens vierter Ordnung mit drei
Termen Anwendung.
Allgemein lässt sich das Substitutionsverfahren bei jeder ganzrationalen
Bestimmungsgleichung mit drei Termen anwenden, wenn die Potenz des mittleren
Gliedes halb so groß wie die Potenz des führenden Gliedes ist und das absolute
Glied nicht Null ist.
Ziel des Verfahrens ist es durch Einführung einer neuen Variablen die vorhandene
Bestimmungsgleichung höherer Ordnung auf eine quadratische
Bestimmungsgleichung zurück zu führen. Diese neue quadratische
Bestimmungsgleichung wird dann mit Hilfe der quadratischen Ergänzung gelöst.
Anschließend werden die so erhaltenen Lösungen in Lösungen der
Ursprungsgleichung umgerechnet.
Schauen wir uns dieses Verfahren an zwei Beispielen an:
16
f (x) = x 4 − 5x 2 + 4
f (x) = 0
⇔ z 2 − 5z + 4 = 0 −4
⇔ x − 5x + 4 = 0
⇔ z 2 − 5z = − 4 + ( 52 ) =
Warum wir nun eine neue Variable einführen, wird bei einer
⇔ z 2 − 5z +
4
2
Umschreibung der obigen Formel deutlich.
⇔ (x 2) − 5x 2 + 4 = 0
2
Bei dieser Bestimmungsgleichung vierter Ordnung handelt es sich
2
25
=
4
2
−4+
25
4
25
4
9
⇔ (z − 52 ) = 4 ±
⇔z−
5
2
=
3
2
∨z−
5
2
= − 32 + 52
⇔z =4∨z =1
also um eine quadratische Bestimmungsgleichung in x 2 . Daher
nennt man solche Funktionen auch biquadratische Funktionen.
Wir setzen nun
Nun müssen wir die für z erhaltenen Ergebnisse wieder in x
umrechnen. Hierzu lösen wir einfach die Definitionsgleichung
z: = x 2 ⇔ z 2 = x 4.
z: = x 2 nach x auf.
Einsetzen der neuen Variable liefert
⇔x =
⇔ z 2 − 5z + 4 = 0.
Wir erhalten also aus jeder nicht negativen Lösung für z zwei
Diese quadratische Bestimmungsgleichung können wir nun mit
Hilfe des quadratischen Ergänzens lösen.
z ∨x =−
z
Lösungen für x.
⇔x =2∨x =−2∨x =1∨x =−1
N1(−2 0), N2(−1 0), N3(1 0), N4(2 0)
17
2. Ein vollständiges
Beispiel
4
3. Übungsaufgaben
Bestimmen Sie die Schnittpunkte mit der x - Achse!
a) f (x) = 3x 4 + 30x 2 + 27
2
f (x) = 2x − 16x − 18
f (x) = 0
4
b) f (x) = x 4 + 6x 2 − 7
c) f (x) = 2x 4 − 50x 2 + 288
2
⇔ 2x − 16x − 18 = 0 : 2
⇔ x 4 − 8x 2 − 9 = 0 z: = x 2 ⇔ x =
z ∨x =−
z
⇔ z 2 − 8z = 9 +
e) f (x) = x 4 + 4x 2 + 4
f) f (x) = 5x 4 + 5x 2 − 100
⇔ z 2 − 8z − 9 = 0 + 9
2
( 82 )
d) f (x) = 2x 4 − 4x 2 + 2
g) f (x) = x 4 + 5x 2 − 6
= 42 = 16
h) f (x) = 2x 4 − 34x 2 + 32
i) f (x) = x 4 + 10x 2 + 25
⇔ z 2 − 8z + 16 = 9 + 16
j) f (x) = x 6 + 2x 3 + 1
⇔ (z − 4)2 = 25 ±
⇔ z − 4 = 5 ∨ z − 4 = − 5 + 4
⇔ z = 9 ∨ z = − 1 x =
z ∨x =−
z
⇔x =3∨x =−3
Da − 1 < 0 folgen hieraus keine weiteren L ösungen f ür x
N1( − 3 0), N2(3 0)
18