22 GGrraapphhiisscchhee DDaarrsstteelllluunngg

G
Grraapphhiisscchhee D
Daarrsstteelllluunngg
W
Wiiee kkoom
mm
mtt eeiinn K
Köörrppeerr aauuffss P
Paappiieerr??
Netz eines
Körpers
Am einfachsten bekommt man einen Körper durch Aufklappen in eine
Ebene.
Beispiel 2.1
Netz eines Würfels
Aufgabe 2.1
Zu welchem Körper gehört
das nebenstehende Netz?
Projektionen
Will man ein dreidimensionales Gebilde auf einem Blatt Papier, also in
zwei Dimensionen, darstellen, ist die bevorzugte Methode die
Projektion.
Es gibt es zahlreiche verschiedene Projektionen, für jeden Zweck der
ebene Darstellung gibt es spezielle Projektionen.
Zwei wichtige Gruppen von Projektionen sind
die Zentralprojektion und die Parallelprojektion.
Zentral-projektion
Albrecht Dürer: Underweysung der messung/ mit dem zirckel un richtscheyt/ in
Linien ebenen unnd gantzen corporen/. Nürnberg 1525, vorletzte Seite
Maurer: Analytische Geometrie / Seite 18 (16.01.05)
Zentralperspektive
Bei der Zentralprojektion wird ein Körper durch Abbildungs-strahlen,
die von einem Punkt ausgehen, auf eine Ebene projiziert.
Beim oben abgebildeten Verfahren von Dürer ist der gemeinsame
Punkte aller Strahlen die Öse an der Wand.
Ein Diaprojektor und ein Fotoapparat erzeugen ebenfalls
zentralprojektive Bilder.
Das Auge erzeugt übrigens keine zentralperspektiven Bilder, da
erstens die Projektionsebene, die Netzhaut, nicht eben ist und weil die
Augen im Allgemeinen paarweise auftreten.
Parallelperspektive Bei der Parallelprojektion wird ein Körper durch parallele
Abbildungsstrahlen auf eine Ebene projiziert.
Die Sonne erzeugt z. B. parallelperspektive Schattenbilder, da sie so
weit von der Erde entfernt ist, dass die Strahlen, die auf der Erde
ankommen praktisch parallel sind.
Ein parallelperspektives Bild nennt man Schrägbild.
In der Kartographie verwendet man spezielle Prjektionen, um eine Kugel auf eine Ebene
abzubilden.
Das ist natürlich nicht verzerungsfrei möglich.
Man kann entweder die Längentreue (Längen sind in Orginal und Bild proportional), die
Winkeltreue oder die Flächentreue retten, aber nicht alle drei Eigenschaften gleichzeitig.
Prinzipiell gibt es drei Möglichkeiten eine Kugel auf eine Ebene abzubilden:
Die Zylinderprojektion, die Kegelprojektion und die Azimutalprojektion.
Zylinderprojektion
Bei der Zylinderprojektion wird um die Erde ein
Zylinder gelegt. Der Äquator kann, aber muss nicht,
Berührkreis sein.
Die Merkatorprojektion ist ein bekannter Spezialfall
der Zylinderprojektion.
Kegelprojektion
Bei der Kegelprojektion wird ein Kegel über die Erde
gestülpt, die Achse des Kegels kann, aber muss nicht,
Erdachse sein.
Azimutalprojektion
Bei ihr ist die Projektionsfläche eine Ebene. Im
Allgemeinen ist der Pol Berührpunkt der
Projektionsebene.
Maurer: Analytische Geometrie / Seite 19 (16.01.05)
R
Rääuum
mlliicchheess K
Koooorrddiinnaatteennssyysstteem
m
Achsen
Ebenso wie beim ebenen Koordinatensystem wird beim räumlichen
Koordinatensystem die Position eines Punktes in Bezug auf Achsen
festgelegt. Jetzt eben durch drei Achsen.
Die Achsen bilden ein Dreibein. Man verwendet nur Rechts-systeme,
d.h. eine Anordnung der drei Achsen x1,x2, x3, die sich ohne schwere
Verletzungen mit den Fingern der rechten Hand darstellen lassen:
Daumen - x1, Zeigefinger - x2, Mittelfinger - x3.
Axonometrie
Zur graphischen Darstellung verwenden wir die Parallelprojektion,
genauer eine Axonometrie, dabei wird ein räumliches Dreibein auf ein
Ebenes Dreibein (drei Strecken, die von einem Punkt ausgehen)
abgebildet. Nach dem Satz von Pohlke (1853) kann das ebene Dreibein
nahezu beliebig gewählt werden.
Hier drei Beispiele für Axonometrien.
Bei der Kavalierperspektive wird eine
Seitenansicht in wahrer Größe abgebildet
(x2x3-Ebene), der Winkel zwischen x2-Achse
und der Achse nach vorne (x1-Achse)
beträgt 135°.
Bei der Militärperspektive oder
Vogelperspektive wird die Grundfläche in
wahrer Größe abgebildet.
Alle drei nebenstehenden Axonometrien
sind dimetrisch, weil zwei Achsen
dieselben Einheiten besitzen.
IIssoom
meettrriiee
x3
Durch besondere Symmetrie zeichnet sich
die IIssoom
meettrriiee aus.
Die Isometrie ist eine Trimetrie, d.h. alle drei
Achsen besitzen dieselbe Einheit.
Die Winkel zwischen den Achsen betragen
dann 120°.
1
1
x1
Um einen Körper in Ismometrie darzustellen
benutzt man sinnvollerweise Spezialpapier
mit aufgedrucktem Isometrienetz.
1
x2
Maurer: Analytische Geometrie / Seite 20 (16.01.05)
K
Kaavvaalliieerr-PPeerrssppeekkttiivvee
alias
SScchhrrääggbbiilldd
Wir entscheiden uns natürlich - alte Schule - für die
K
Kaavvaalliieerrppeerrssppeekkttiivvee, die auch auf den schlichteren Namen
SScchhrrääggbbiilldd hört.
Für den Winkel zwischen der x1-Achse und der x2-Achse wählen wir
135°.
x3
Auf der x2- und der x3-Achse wird die wahre Länge angetragen - wie
gesagt, das Schrägbild ist eine Dimetrie.
1
1
1
x2
Auf der x1-Achse wird die Einheit mit dem Faktor k =
verkürzt.
x1
1
1
2
1
2 = 0,71
2
Dieser Wert erscheint kompliziert, aber er ergibt sich als Sinus von
2
135°: sin (135°) =
1
2 , aber vor allem ist im kariertes Papier k gerade
2
gleich einer Kästchen-Diagonale.
Kurz gesagt:
Das Schrägbild erhält deshalb den Vorzug vor den anderen
Axonometrien, weil es die einzige Axonometrie ist, die sich auf
kariertem Papier einfach zeichnen lässt.
Für die anderen Axonometrien benötigt man Spezialpapier
K
Koooorrddiinnaatteenn-eebbeenneenn
Im räumlichen Koordinatensystem gibt es neben den drei
Koordinatenachsen noch drei Koordinatenebenen:
die xx111xx222--EEbbeennee, die von der x1- und der x2-Achse aufgespannt wird,
(Fußbodenebene)
die xx222xx333--EEbbeennee, die von der x2- und der x3-Achse aufgespannt wird,
(Tafelebene) und
die xx111xx333--EEbbeennee, die von der x1- und der x3-Achse aufgespannt wird,
(Fensterwand)
O
Okkttaannddeenn
Die drei Koodinatenebenen zerlegen den Raum in acht
Oktanden.
x3
x2x3-Ebene
x1x3-Ebene
x1x2-Ebene
Wir werden uns meistens im 1. Oktanden (vorne rechts)
aufhalten, bei dem alle Koordinaten positiv sind.
x2
x1
Maurer: Analytische Geometrie / Seite 21 (16.01.05)
Beispiel 2.2
Die Abbildung zeigt ein schlichtes Gebäude in Kavalierperspektive. Man
kann aus der Zeichnung leicht die Koordinaten der Punkte ablesen,
deshalb machen wir da gleich eine Aufgabe daraus.
x3
K
L
E
F
H
G
1
A
D
1
x2
2
B
C
x1
Aufgabe 2.2:
Gib die Koordinaten der Punkte A bis L in Beispiel 2.2 an.
Aufgabe 2.3:
Ein Würfel mit den Eckpunkten A( 1 | 2 | 0 ), B( 5 | 2 | 0 ), C( 5 | 6 | 0),
D( 1 | 6 | 0 ), E( 1 | 2 | 4 ) usw. ist gegeben.
Zeichne den Würfel in Kavalierperspektive (Schrägbild) und bestimme
dann alle Kanten- und Diagonalenmitten.
Aufgabe 2.4:
Zeichne das im Schrägbild gegebene Haus aus Beispiel 2.2 in Isometrie.
Rastervorlage siehe nächste Seite.
Maurer: Analytische Geometrie / Seite 22 (16.01.05)
x3
1
1
1
x1
x2
D
Diiee TTüücckkeenn ddeerr P
Peerrssppeekkttiivvee
Wird ein dreidimensionaler Körper auf eine Ebene abgebildet, also auf
zwei Dimensionen reduziert, dann kann das natürlich nicht ohne
Informations-Verluste abgehen.
Bei Aufgabe 2.2 konnte man ohne große Unsicherheit Punktkoordinaten
ablesen. Das hat aber nur deshalb geklappt, weil unser Vorstellungsvermögen sich am dargestellten Gebäude orientiert hat. Unter den vielen
möglichen Lagen der einzelnen Punkte im Raum hat es sich die gewählt,
die zur Gestalt eines solchen Körpers - Quader mit aufgesetztem Prisma passen.
Beispiel 2.3
Zeichnet man z. B. den Punkt G aus
Aufgabe 2.2 alleine in ein Schrägbild
(siehe Abbildung), dann wird
deutlich, dass es unendlich viele
Interpretations-möglichkeiten für
seine Lage im Raum gibt.
Am häufigsten wird vermutlich
G0( 0 3  1 ) genannt, weil durch
die Abbildung durch die beiden
Pfeile von x2- und x3-Achse
dominiert wird, der Punkt G wird in
dem Quadrat gesehen, das dadurch
x1
aufgespannt wird.
x3
1
G
1
2
Maurer: Analytische Geometrie / Seite 23 (16.01.05)
x2
Man kann G aber auch als Bild von G1( 1 3,5  1,5 ) deuten oder von G2(
2 4 2 ) oder von G4( 4 5 3 ) oder von G-1( -220) oder eben wie in
Aufgabe 2.2 von G6( 6 6 4 ).
x3
x3
1
2
Bemerkung
x1
1
G2 G6
1
G-1
1
x2
x2
2
x1
Zeichnet man einen einzelnen Punkt in ein Koordinatensystem ein,
dann muss durch Hilfslinien wie oben seine Position kenntlich gemacht
werden.
Die Hilfslinien spannen immer einen Quader auf, über dessen Lage im
Koordinatensystem können wir uns dann die Position des Punktes im
Raum vorstellen. Bei der linken Zeichnung hat man so seine Probleme,
weil zwei sich widersprechende Vorstellungen ausgelöst werden. Nach
diesem Prinzip sind auch die sogenannten unmöglichen Körper (siehe
nächste Seite) gebaut: Die rechte Abbildung zeigt den berühmten
Wasserfall von Escher.
Maurer: Analytische Geometrie / Seite 24 (16.01.05)
E
Erriinnnneerruunngg aann eeiinneenn eeiiggeennttlliicchh w
woohhllbbeekkaannnntteenn K
Köörrppeerr,, ddiiee
P
Pyyrraam
miiddee
Begriffe, die sowohl in der Umgangssprache und als auch in einer
Fachsprache verwendet werden, sind tückisch. Pyramide ist solch ein
Begriff.
Im Alltag versteht man unter einer Pyramide so etwas, wie in Ghiese in
Ägypten oder stark verkleinert in Karlsruhe auf dem Marktplatz steht. In
der Mathematik ist der Begriff der Pyramide viel weiter gefasst:
Definition
Eine Pyramide entsteht, wenn man die Ecken eines Polygons (Vielecks)
mit einem nicht in der Polygonebene liegenden Punkt S verbindet.
Das Polygon bildet die Grundfläche, der Punkt S die Spitze.
Ist die Grundfläche ein Dreieck, dann handelt es sich um eine dreiseitige
Pyramide.
Ist die Grundfläche ein n-Eck, dann heißt die Pyramide entsprechend nseitige Pyramide.
Beispiel 2.4
Die Abbildung zeigt eine dreiseitige
Pyramide.
x3
S
Die Grundfläche ist das
rechtwinkliges Dreieck ABC.
C
Die Höhe der Pyramide ist die
Strecke CS.
Die Spitze liegt also nicht über dem
Schwerpunkt des Dreiecks.
B
x2
A
x1
Beispiel 2.5
x3
Hier jetzt die "Alltags"-Pyramide, sie
heißt in der mathematischen
Fachsprache senkrechte
quadratische Pyramide.
Die Grundfläche ist das Quadrat
ABCD.
S
h
Die Höhe FS der Pyramide steht
senkrecht über dem Schwerpunkt
des Quadrats.
x2
D
C
F
x1 A
Maurer: Analytische Geometrie / Seite 25 (16.01.05)
B
Sonderfall
Tetraeder
Ein wichtiger Sonderfall ist
die senkrechte dreiseitige
Pyramide, die aus vier
gleichseitigen Dreiecken
besteht, sie heißt Tetraeder.
Der Name stammt aus dem
Griechischen und heißt
Vierflächner.
D
a
hk
a
A
a
a
H
hs
C
a
A
Aufgaben
Aufgabe 2.5
Die sieben Würfel im Schrägbild
nebenan haben die Kantenlänge 2.
Lies die Koordinaten der Eckpunkte A
bis L ab.
Aufgabe 2.6:
Ein Würfel der Kantenlänge 6 steht in der x1x2-Ebene im 1. Oktand.
Der Abstand von den Achsen beträgt 2 Einheiten.
Auf den Würfel wird eine senkrechte quadratische Pyramide der Höhe
h = 6 Einheiten als Dach aufgesetzt. Zeichne ein Schrägbild.
Auf das Dach wird in halber Höhe eine waagrechte Linie aufgemalt.
Zeichne die Linie ein und gib die Koordinaten der Eckpunkte der Linie an.
Aufgabe 2.7:
Von einem Haus mit
Walmdach sind Grundund Aufriss gegeben.
Zeichne das Haus im
Schrägbild.
x3
1
1
1
x1
Maurer: Analytische Geometrie / Seite 26 (16.01.05)
x2