BT/MT WS 15 Mathematik I Serie 4 www.fh

BT/MT
WS 15
Mathematik I Serie 4
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Thema: Vektorrechnung
Aufgabe 1
Seien ~a, ~b und ~c Vektoren der Ebene. Veranschaulichen Sie durch eine Skizze das Assoziativgesetz::
~a + ~b + ~c = ~a + ~b + ~c
Aufgabe 2
Die Vektoren ~a1 , ~a2 , ~a3 seien als Linearkombination der Vektoren ~e1 und ~e2 wie folgt
darstellbar.
~a1 = 3~e1 − ~e2 , ~a2 = −2~e1 + ~e2 , ~a3 = ~e1 − ~e2 .
a) Stellen Sie den Vektor ~x = ~a1 + 2 ~a2 − 2 ~a3 als Linearkombination der Vektoren ~e1
und ~e2 dar.
b) Zeigen Sie, dass die Vektoren ~a1 , ~a2 , ~a3 linear abhängig sind!
Aufgabe 3
Folgt aus der linearen Unabhängigkeit von ~a und ~b die linearen Unabhängigkeit von ~a +~b
und ~a − ~b ?
Aufgabe 4
Seien s, t beliebige Parameter.
  Unterwelcher
 Bedingung
 sind
 die Vektoren
s
0
t
~a =  t  , ~b =  s  und ~c =  0 
0
t
s
linear unabhängig ?
Aufgabe 5
Stellen 
Sie folgende
Vektoren in der Form ~a = α · ~e, mit |~e| = 1 dar.

2
a) ~a =  1 , b) ~b = 3e~1 − 4e~2 + 8e~3
4
Aufgabe 6
Wo liegt die Spitze des Vektors, der im Punkt P1 (7; 3; −2) angreift, in Richtung auf
P2 (6; −1; 4) zeigt und die Länge s = 5 hat?
Aufgabe 7
~ von 1000 N ausübt.
An einem Seil hängt eine Last, die eine Kraft L
~ Im statischen Gleichgewicht gilt:
Auf die Seile wirken die Zugkräfte F~ und G.
~ = F~ + G.
~
L
~
~
Berechnen Sie die Zugkräfte F und G
1
Aufgabe 8
Welchen
Winkel
 schließen
 die
Vektoren ~a und ~b ein?
3
1
a) ~a =  1 , ~b =  4 , b) ~a = e~x − 2e~y + 5e~z , ~b = −e~x − 10e~z
−2
2
Aufgabe 9
Berechnen Sie:
a) den Winkel α zwischen der Raumdiagonalen und einer der sich daran anschließenden Kanten eines Würfels.
b) den Winkel β zwischen der Raumdiagonalen und einer der sich daran anschließenden Flächendiagonalen eines Quadrates der Würfeloberfläche.
Aufgabe 10
~
Berechnen
Sie
 die Komponente
  des Vektors b in Richtung des Vektors ~a, wobei

5
2
~



1 
−2 , und b =
~a =
3
1
Aufgabe 11
Welche Bedingungen müssen die Vektoren ~a und ~b erfüllen, damit ~c = ~a +~b und d~ = ~a −~b
senkrecht aufeinander stehen?
Aufgabe 12
Bilden
 Sie mit
 den Vektoren


 
1
2
0
~a =  4 , ~b =  −1 , ~c =  2 
−6
2
3
die folgenden Vektorprodukte:
a) ~a × ~b b) (~a − ~b) × (3~c)
Aufgabe 13




 
10
6
9
~





−14 , b =
5
y .
, ~c =
Gegeben sind die Vektoren ~a =
2
−2
z
Wie müssen y und z bestimmt werden, damit ~c orthogonal zu ~a und ~b ist.
2
Aufgabe 14
Liegen
~a, ~b, ~c in
Ebene?
 die Vektoren


 einer gemeinsamen


−3
−2
−1
~a =  4 , ~b =  3 , ~c =  3 
0
5
25
Aufgabe 15
Bestimmen Sie die Schnittgerade und den Schnittwinkel der beiden Ebenen:
3(x − 2) + (y − 5) + 2(z − 6) = 0 und 2(x − 1) + 3(z − 1) = 0
Aufgabe 16
Unter Zugrundelegung eines kartesischen Bezugssytems sind im R3 zwei Punkte P1 (−1, 2, −1) ,
P2 (1, 3, 2) , sowie eine Gerade g mit der Parametergleichung
  



x
−3
3
 y  =  3  + t  −1 , t ist beliebig reell,
z
1
2
gegeben.
P3 sei derjenige Punkt auf g, für den das Dreieck mit den Eckpunkten P1 , P2 , P3 minimalen Flächeninhalt hat.
Wie lauten die Koordinaten von P3 ∈ g und wie groß ist der Inhalt des flächenkleinsten
Dreiecks?
Aufgabe 17
Auf eine Ebene E mit der Normalen ~n fällt im Punkt P ein Lichtstrahl, dessen Richtungssinn durch den Vektor ~a festgelegt sei. Bestimmen Sie den Richtungsvektor ~x des
reflektierten Lichtstrahls.
Aufgabe 18
In jedem Speichenreflektor eines Fahrrades, in jedem Autorücklicht und in dem Laserreflektor auf dem Mond ist das Prinzip des Eckenspiegels oder Tripelspiegels zu finden..
Ein Lichtstrahl trifft auf eine Fläche des Eckenspiegels, der Strahl wird so
reflektiert, dass er auf eine zweite Fläche trifft und über die Reflektion an der
dritten Fläche tritt der Lichtstrahl wieder parallel zum Eingangsstrahl aus dem Eckenspiegel.
3
Beweisen Sie diese Behauptung unter Verwendung des Ergebnisses von Aufgabe 17
Aufgabe 19




2
2
Wie lautet die Gleichung der Projektion der Geraden ~r =  −3  + t  1  auf die
4
−3
Koordinatenebenen in parameterfreier Form?
Aufgabe 20
Die Punkte P1 (0, 0, 1) , P2 (1, −1, 0) und P3 (−2, 1, 1) spannen eine Ebene E auf.
Geben Sie E in der Form a1 x1 + a2 x2 + a3 x3 = b an und bestimmen Sie den Abstand q
des Punktes Q(4, 5, 3) von dieser Ebene.
Aufgabe 21
Geben Sie eine parameterfreie Gleichung der Ebene an, bezüglich der die Punkte P (1, 1, −4)
und Q (−1, 1, 0) spiegelbildlich liegen.
Aufgabe 22
Spiegel Sie den Punkt P (5, 7, −3) an Z(0, −2, 4)
Aufgabe 23




1
1
Spiegeln Sie die Gerade g : ~r =  −2  + t  −1  an Z(4, −3, 2).
3
0
Aufgabe 24
Gesucht ist der Winkel zwischen den Vektoren ~u, ~v , wenn |~u| = |~v | und 2~u + ~v ⊥ 4~u − 5~v .
Lösungen
2 ~x = −3~e1 + 3~e2
3 Ja
4 s 6= −t


0, 436
5 a) ~a = 4, 58 ·  0, 218 
0, 873
~
b) b = 9, 434 · (0, 318e~1 − 0, 424e~2 + 0, 848e~3 )


7 − √553


6  3 − √2053 
−2 + √3053
4
7 518 N bzw. 730 N
8 a) ϕ = 79, 920
b) ϕ = 157, 900
9 a ) α = 54, 70 b) β = 35, 260


22/9
10 b~a =  −22/9 
11/9
11 |~a| = ~b




2
93
12  −14  b)  9 
−9
−6
13 y = 16 z = 67
14 ja




0
3
15 Schnittgerade: ~r(λ) =  59/3  + λ  −5 
5/3
−2
0
Schnittwinkel: ϕ = 27, 20
√
16 A∆ = 21 42 F E
17 ~x = ~a − 2 (~a · ~n) ~n
19 x − 2y = 8;
3y + z = −5;
3x + 2z = 14
√
20 E : x + 2y − z = −1 . q = 2 6 ≈ 4, 9
21 x − 2z = 4


−5
22 Spiegelpunkt P 0 =  −11 
11




1
7
23 gespiegelte Gerade g 0 : ~r =  −4  + t  −1 
0
1
24 60°
5