Mathematik Begriffe Stochastik Klaus Hoffstadt Übungsblatt zu

Übungsblatt zu stochastischen Berechnungen
(Mache zu allen Aufgaben saubere Rechnungen!)
Begriffe in der Stochastik
Im Folgenden werden gängige Begriffe der Sochastik erläutert. Allen Begriffen liegt
folgender Versuch zu Grunde:
Einige Schüler der 9c wollen im Sportunterricht herausfinden, wie hoch sie springen können.
Der Lehrer sammelt die Werte (Daten) in einer Liste.
Höhe [cm]
123 98
Urliste:
152 130 100 123 102 134 98 140 144 159 136 148 115 120
eine Liste, in der die Daten so aufgeschrieben werden, wie sie gerade
anfallen (ohne Reihenfolge)
Rangliste:
Höhe [cm]
eine Liste, in der die Daten der Größe nach geordnet werden.
98
98
100 102 115 120 123 123 130 134 136 140 144 148 152 159
Minimum:
der kleinste Wert in der Rangliste (98)
Maximum:
der größte Wert in der Rangliste (159)
absolute Häufigkeit:
die Häufigkeit, mit der ein Wert insgesamt vorkommt (z. B. Wert 98
hat die absolute Häufigkeit 2)
relative Häufigkeit:
die Häufigkeit, mit der ein Wert in Vergleich zu allen Werten
vorkommt (prozentuale Häufigkeit) (z. B. Wert 98 hat die relative
Häufigkeit 0,13 bzw. 13%)
Mathematik
Begriffe Stochastik
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arithmetisches Mittel:
Summe aller Daten geteilt durch die Anzahl der Daten (Durchschnitt
bei einer Klassenarbeit) (126,375)
x=
x1 + x2 + x3 ... + xn
n
Durchschnitt:
nur eine andere Bezeichnung für arithmetisches Mittel
Mittelwert:
nur eine andere Bezeichnung für arithmetisches Mittel
mittlere Abweichung:
durchschnittliche Abweichung aller Daten vom arithmetischen Mittel,
sie gibt an, wie weit die Daten um das arithmetische Mittel gestreut
sind bzw. wie weit jeder Wert im Durchschnitt vom arithmetischen
Mittel abweicht (16,5).
a=
| x1 − x | + | x2 − x | +...+ | xn − x |
n
Mittlere quadratische
( x1 − x) 2 + ( x 2 − x) 2 + ... + ( x n − x) 2
a=
, hier nimmt man nicht den
n
Abweichung:
Betrag, sondern das Quadrat von jeder einzelnen Abweichung, um
besonders deutliche Abweichungen vom Mittelwert hervorzuheben.
Median:
der mittlere Wert in einer Rangliste (teilt die Daten in 50% zu 50%);
ist die Anzahl der Daten in einer Rangliste „gerade“ (z. B. 10 Daten),
so nimmt man den Mittelwert zwischen den Daten 5 und 6 (1. Wert,
2. Wert, 3. Wert, 4. Wert, 5. Wert, Median, 6. Wert, 7. Wert, 8. Wert,
9. Wert, 10. Wert) (126,5)
Zentralwert:
nur ein anderer Begriff für Median
Mitte:
der Median liegt in der Mitte der Rangliste
Spannweite:
Differenz wischen dem Größten und dem kleinsten Wert in einer
Rangliste (159 – 98 = 61)
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Begriffe Stochastik
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Unteres Quartil:
Ein Wert heißt unteres Quartil, wenn mindestens 25% aller Daten
kleiner oder gleich dem Wert sind! Ist die Anzahl der Daten ungerade
(Beispiel Handykosten), so zählt man den Median zur Ermittlung des
unteren Quartils mit. Ist die Anzahl der Daten gerade (Beispiel
Hochsprung), so zählt man den Median zur Ermittlung des unteren
Quartils nicht mit (108,5).
Oberes Quartil:
Ein Wert heißt oberes Quartil, wenn mindestens 25% aller Daten
größer oder gleich dem Wert sind! Ist die Anzahl der Daten ungerade
(Beispiel Handykosten), so zählt man den Median zur Ermittlung des
oberen Quartils mit. Ist die Anzahl der Daten gerade (Beispiel
Hochsprung), so zählt man den Median zur Ermittlung des oberen
Quartils nicht mit (142).
Kombinatorik:
Teilgebiet der Mathematik, in dem es um die Anzahl möglicher
Anordnungen und Kombinationen von Objekten geht.
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Begriffe Stochastik
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Boxplot:
eine Art Diagramm zur graphischen Darstellung von Daten
es werden insbesondere das Minimum und das Maximum, der
Median, sowie das untere Quartil und das obere Quartil eingezeichnet
die beiden Quartile und der Median werden durch ein Rechteck (Box)
gekennzeichnet
Beispiel: Es wurden 33 Schüler zu ihren monatlichen Handykosten
befragt:
5, 6, 6, 10, 12, 14, 15, 16, 16, 17, 17, 18, 20, 20, 22, 22, 24, 24, 24, 25, 25,
28, 32, 33, 35, 35, 38, 40, 40, 42, 48, 50, 60
Streifendiagramm:
graphische Darstellung der relativen Häufigkeit von Daten in einem
Streifen
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Begriffe Stochastik
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Kreisdiagramm:
graphische Darstellung der relativen Häufigkeit von Daten in einem
Kreis
Balkendiagramm:
graphische Darstellung von Daten in waagerecht liegenden Balken
Säulendiagramm:
graphische Darstellung von Daten in senkrecht stehenden Säulen
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Begriffe Stochastik
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Stichproben:
Oftmals nimmt man bei einer riesigen Datenmenge nur Stichproben,
um dann Rückschlüsse von der Stichprobe auf alle Daten ziehen zu können.
In der Schule sind 450 Schüler. Man will wissen, wie viele Schüler
Fußball, Volleyball oder Basketball spielen oder Reiten gehen. Als
Stichprobe sucht man sich die Klasse 9c heraus. Jeder Schüler dürfte
nur eine Stimme abgeben und es kam zu folgenden Daten:
Fußball Volleyball Basketball Reiten Nichts
9
3
5
7
2
Um möglichst gut zu schätzen, wie viele Schüler der ganzen Schule
eine Sportart betreiben, multipliziert man die relative Häufigkeit mit
der Gesamtzahl.
Relative Häufigkeit Fußball:
9 : 26 = 0,346 = 34,6 / 100 = 34,6 %
Relative Häufigkeit Volleyb.: 3 : 26 = 0,115 = 11,5 / 100 = 11,5 %
Relative Häufigkeit Basketb.: 5 : 26 = 0,192 = 19,2 / 100 = 19,2 %
Relative Häufigkeit Reiten:
7 : 26 = 0,269 = 26,9 / 100 = 26,9 %
Relative Häufigkeit Nichts:
2 : 26 = 0,077 = 7,7 / 100 = 7,7 %
Daraus ergibt sich für die geschätzte Häufigkeit (gesch. Häufigkeit):
gesch. Häufigkeit Fußball: 450 · 0,35 = 450 · 34,6 % = 155,8
gesch. Häufigkeit Volleyball:
450 · 0,12 = 450 · 11,5 % = 51,9
gesch. Häufigkeit Basketball:
450 · 0,19 = 450 · 19,2 % = 86,5
gesch. Häufigkeit Reiten: 450 · 0,27 = 450 · 26,9 % = 121,2
gesch. Häufigkeit Nichts: 450 · 0,08 = 450 · 7,7 % = 34,6
Mathematik
Begriffe Stochastik
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Laplace Versuch:
ein Zufallsversuch, bei dem alle möglichen Ergebnisse die gleiche
Wahrscheinlichkeit haben (Werfen einer Münze oder eines
Würfels)
Wahrscheinlichkeit:
mögliche Anzahl der gewünschten Ergebnisse geteilt durch die
Anzahl aller möglichen Ergebnisse; sie kann max. bei 100% = 1
liegen (An einer Wand hängen 4 blaue, 3 rote, 2 gelbe und ein
grüner Luftballons. Ein Schüler wirft mit verbundenen Augen
einen Pfeil auf die Luftballons. Wir setzen voraus, dass er einen
Luftballon trifft. Dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass er einen
blauen Luftballon trifft p(blau) = 4 : 10 = 2 : 5 = 0,4 = 40%, dass
er einen roten trifft p(rot) = 3 : 10 = 0,3 = 30% und dass er den
grünen trifft p(grün) = 1 : 10 = 0,1 = 10 %.)
Schätzung:
Wenn die Wahrscheinlichkeit für ein Ergebnis eines Versuches nicht
vorhersehbar ist, muss man den Versuch sehr oft wiederholen, um
Vorhersagen über die Wahrscheinlichkeit zu machen (siehe
Stichproben).
Eine solche Vorhersage nennt man Schätzung. Sie ist umso genauer,
je höher die Anzahl der Wiederholungen ist (Nach einer politischen
Wahl werden die Stimmzettel ausgewertet. Je mehr Zettel
ausgewertet sind, umso genauer ist die Vorhersage bzw.
Schätzung bezüglich des Ausgangs der Wahl.)
Summenregel:
Sind bei einem Zufallsexperiment mehrere Ergebnisse erlaubt, so ist
die Wahrscheinlichkeit für ein gewünschtes Ergebnis gleich der
Summe der einzelnen Wahrscheinlichkeiten der erlaubten Ergebnisse.
Beispiel:
Bei einem Wurf mit dem Würfel braucht der Spieler eine 2 oder eine
5
Mathematik
⇒
Wahrscheinlichkeit = (1 + 1)/6 = 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3
Begriffe Stochastik
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Baumdiagramm:
Besteht ein Zufallsexperiment aus mehreren Schritten, z.B. das
zweimalige Werfen einer Münze (erster Schritt = erster Wurf, zweiter
Schritt = zweiter Wurf), so spricht man von einem mehrstufigen
Zufallsexperiment .
Die Ergebnisse solcher mehrstufiger Zufallsexperimente lassen sich
oft gut durch Baumdiagramme darstellen.
1
2
1
2
Pfadregel:
1
2
1
4
1
2
1
4
1
2
1
4
1
2
1
4
Besteht ein Zufallsexperiment aus mehreren Schritten, so ist die
Wahrscheinlichkeit für ein bestimmtes Endergebnis gleich dem
Produkt aus den einzelnen Zwischenergebnissen, die zu dem
Endergebnis geführt haben.
Beispiele:
siehe Münzexperiment
Beim ersten Wurf hat man die Wahrscheinlichkeit von 1 zu 2 für
Kopf und die Wahrscheinlichkeit von 1 zu 2 für Zahl. Beim
zweiten Wurf hat man wieder die Wahrscheinlichkeit von 1 zu 2
für Kopf bzw. für Zahl. Die Wahrscheinlichkeit für das
Endergebnis Kopf – Zahl (nicht Zahl – Kopf) beträgt 1 zu 4.
Mathematik
Begriffe Stochastik
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Schüler in einer Klasse, die Mathematik lieben
In einer Klasse sind 25 Schüler. Davon sind 10 Jungen und 15
Mädchen. Von den Jungen lieben 4 Mathematik, von den
Mädchen lieben 5 Mathematik
4
10
10
25
Jungen
Klasse
6
10
5
15
15
25
lieben M.
40
4
=
250 25
hassen M.
60
6
=
250 25
lieben M.
75
5
=
375 25
hassen M.
150 10
=
375 25
Mädchen
10
15
Kugeln aus der Urne (sie werden nicht zurück gelegt)
In einer Urne sind drei blaue, zwei rote und eine grüne Kugeln.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, das man eine blau und eine
grüne Kugel hat, wenn man zwei Kugeln blind aus der Urne
zieht? (Antwort: 6 zu 30 = 1 zu 5; mit Summenregel)
3
6
Mathematik
Urne
2
6
Begriffe Stochastik
1
6
Klaus Hoffstadt
Aufgaben zur Stochastik
1. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, beim zweimaligen Würfeln
a) eine Doppelsechs,
b) die Augensumme 6,
c) einen Pasch (gleiche Augenzahl) zu werfen?
2. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, beim dreimaligen Werfen einer Münze
a) 3mal Kopf,
b) genau 1mal Kopf zu werfen?
3. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, in einer Familie mit 3 (4) Kindern
a) keinen Jungen,
b) genau ein Mädchen anzutreffen?
4. Bei einer Befragung von 30 Jugendlichen bezüglich ihrer Lieblingsmusik kam es zu
folgendem Ergebnis. 6 Jugendliche hörten am liebsten Robbie Williams, 4 hörten am
liebsten Shakira, 5 hörten am liebsten Back Street Boys, 2 hörten am liebsten Eminem 9
hörten am liebsten Tokio Hotel und 4 hörten am liebsten Juli.
Stelle diese Umfrage in zwei verschiedenen graphischen Formen dar.
5. Bei einer Umfrage über das wöchentliche Lernpensum von Schülern kam es zu folgendem
Ergebnis:
Schüler
A
B
Minuten 80
65
C
D
135 105
E
F
G
H
54
200
15
74
I
J
164 182
K
L
M
N
94
65
65
105
Bestimme das Minimum, das Maximum, den Median, das obere und unter Quartil, das
arithmetische Mittel und die Spannweite. Stelle die Umfrage mittels eines Boxplots dar.
6. Interpretiere folgende Boxplots: http://www.shodor.org/interactivate/activities/boxplot/
Mathematik
Begriffe Stochastik
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7. Das folgende Diagramm zeigt zwei Boxplots. Sie zeigen die Wurfleistungen der Jungen
und Mädchen bei den Bundesjugendspielen mit dem 200 g Ball. Die Trennlinien in den
Boxen stellen jeweils den Median dar.
Begleittext:
Die Mädchen haben zwischen _________ Metern und _________ Metern weit geworfen.
Bei den Jungen hat der bete Werfer ________ Meter weit geworfen. Die Streuung bei den
Jungen ist _________________ als die Streuung bei den Mädchen, denn die Spannweite
beträgt bei den Mädchen _________ Meter und bei den Jungen _________ Meter. 50%
der Jungen haben weniger als ________ Meter weit geworfen. Bei den Mädchen haben 25
% weiter als ________ Meter geworfen. ________ % der Mädchen haben zwischen 13
und 20 Metern geworfen.
8. Im Boxplot ist Zahl der Angestellten in den Klever Betrieben dargestellt (frei erfunden).
Was kann man über die Verteilung der Daten sagen, wenn man bedenkt, dass der Median
(rot) sehr weit vom Mittelwert (blau) abweicht?
0
Mathematik
Zahl der Angestellten
Begriffe Stochastik
200
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9. Ergänze die folgende Rangliste so, dass der Zentralwert 12 ist.
3
5
9
10
15
21
32
10. Ergänze die folgende Urliste so, dass der Mittelwert 12 ist.
9
5
32
10
26
4
11. Beim Basketball werden von verschiedenen Spielern die Wurfversuche und die Treffer
notiert. Dabei kam es zu folgenden Ergebnissen.
Spieler
A
B
C
D
E
Würfe
20
21
14
30
28
Treffer
5
8
6
12
16
Welcher Spieler hat die meisten Korbe geworfen? Berechne die Trefferquote für jeden
Spieler. Du musst als Trainer im nächsten Spiel zwei Spieler zu Haus lassen. Für welche
Spieler entscheidest du dich?
12. In einer Klasse wird nachgefragt, welches Hobby die Schüler haben. Es kam zu folgenden
Angaben.
Hobby
Fußball
Computer
Lesen
Reiten
Anzahl
7
8
5
4
Berechne die relative Häufigkeit für die einzelnen Hobbys. Wie viele Schüler der Schule
spielen erwartungsgemäß Fußball, spielen Computer, lesen oder reiten, wenn an der
Schule 540 Schüler sind?
13. Sechs Jugendliche verteilen gemeinsam Werbezettel an Haushalte ihres Stadtteils. Die
folgende Tabelle zeigt, wer wie viele Werbezettel verteilt hat:
Annika
Luka
Nadine
Peter
Roxanna
Vivian
240
180
160
300
220
340
a) Wie viele Werbezettel haben die Jugendlichen im Durchschnitt (arithmetisches Mittel)
verteilt?
b) Welchen Anteil der verteilten Werbezettel haben Vivian und Peter zusammen verteilt?
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14. Bei einer Klassenarbeit gab es folgenden Klassenspiegel:
1
2
3
4
5
6
2
7
8
12
5
1
a) Berechne den Durchschnitt!
b) Zeichne ein Kreisdiagramm!
c) Wie viele 3-er und 4-er gab es absolut, wie viele 2-er und 5-er gab es relativ?
d) In der Jahrgangsstufe gibt es 120 Schüler. Wie viele 1-er und 6-er wurden
wahrscheinlich in der ganzen Jahrgangsstufe geschrieben?
15. In einer Lostrommel sind 800 Lose. Davon sind 10 Lose Hauptpreise und 100 Lose
Trostpreise. Berechne die relative Häufigkeit bzw. den Anteil der Haupt- und Lospreise.
16. Stelle die Niederschlagsmenge für Münster in einem Säulendiagramm dar:
Monat
J
Niederschlag 66
F
M
A
M
J
J
A
S
O
N
D
49
57
52
56
69
84
79
64
68
60
73
in mm
17. Eine Firma kauft 200.000 Glühlampen. Von 1000 Lampen sind 6 defekt. Mit wie vielen
defekten Lampen muss die Firma rechnen?
18. Die folgende Tabelle zeigt den monatlichen Energieverbrauch von 2000 und 2001 einer
Familie in kWh.
a) Berechne den Jahresdurchschnitt für beide Jahre
b) Wie hoch ist die durchschnittliche monatliche Stromrechnung, wenn eine kWh 11 ct.
kostet und die Grundgebühr 6,80 € beträgt?
c)
In welchem Jahr hättest du lieber Sommerferien gehabt. Begründe deine Antwort.
Monat
J
F
M
A
M
J
J
A
S
O
N
D
KWh 2000
635 612 598 578 540 511 498 517 554 559 587 621
KWh 2001
566 634 542 587 549 455 321 234 465 553 683 671
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