Affine (lineare) Funktionen und Funktionenscharen

Gymnasium / Realschule
Affine (lineare) Funktionen und Funktionenscharen
Klassen 9 - 11
1. Erkläre folgende Begriffe:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
Ursprungsgerade
Steigung bzw. Steigungsdreieck
steigende u. fallende Gerade
Geradenbüschel, Parallelenschar
y-Achsenabschnitt
Lineare Funktion
Normalform der linearen Funktion
2. Zeichne die durch folgende Gleichungen gegebenen Geraden in ein Koordinatensystem und gib zu
jeder Geraden ihre Steigung an
a)
y = 2x
b)
1
y=-
3
c)
x
y = -4,5x
e)
d) -2x - 3y = 0
1
3
y+
2
5
x=0
f) 3y - 3x = 0
3. Prüfe durch Rechnung nach, ob folgende Punkte auf der jeweiligen Geraden liegen
a) P1 ( − 2 3 l 1 5 ); P2 (-0,6 l -1,5);
b) A (6 l 3); B (-5 l -2);
g1: 5x - 2y = 0
g2: -5y + 2x = 0
4. Gib jeweils die Gleichung der Geraden an, die durch den Ursprung (0 l 0) und einen der folgenden
Punkte verläuft
a) A(2,5 l -3)
c) C( 13 l - 12 5 )
b) B(-4,5 l 0)
Anleitung: Gleichung einer Ursprungsgeraden hat die Form y = mx. Die Koordinaten der Punkte gehören zur
Lösungsmenge. Setze die Koordinaten der Punkte für x und y ein und ermittle damit m.
5. Prüfe durch Rechnung, ob folgende Punkte auf derselben Ursprungsgerade liegen
a) A1(0,3 l 2,7)
A2 (0,6 l 0,54)
b) B1( 15 l 0,8)
B2(0,4 l
c) C1(6 l 3)
C2(-6 l -3)
8
5
)
6. Gegeben sind die Funktionsgleichungen g1: y = -1/4x und g2: -5y + 12x = 0.
Zeichne jeweils den Graphen der Funktion in ein Koordinatensystem und dazu den Graph der
entsprechenden Umkehrfunktion g1-1 und g2-1. Gib die Funktionsgleichung der Umkehrfunktionen an.
Hinweis: Die Umkehrfunktion erhält man durch Spiegelung der Funktion an der Geraden y = x.
7. Gegeben sind die Geraden g1: y - 0,45x = 0 und g2: 6x + 10y = 0.
Zeichne die gegebenen Geraden und die im Koordinatenursprung auf ihnen senkrecht stehenden Geraden.
Ermittle deren Funktionsgleichung.
8. Zeichne die Graphen folgender Relationen und gib an, welche Relationen Funktionen sind.
Begründe dies.
a) R1 { (xly)l lyl + x = 0 } _ × _
b) R2 { (xly)l y + l2xl = 0 } _ × _
c) R3 { (xly)l 2y = 3lxl } _ × _
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9. Die Gerade g mit y = 2/3 x wird nacheinander wie folgt abgebildet :
y - Achse
0(0l0); φ = -90°
g
g1
w mit y = -x
g2
g3
Zeichne die Abbildungen in ein Koordinatensystem.
Wie lauten die Gleichungen der Geraden g1, g2, g3?
10. Gib zu folgenden Funktionen die Umkehrrelation an und zeichne die Graphen jeweils in ein
Koordinatensystem
a)
f1 = { (xly)l y - 2lxl = 0 }
b)
f2 = { (xly)l y -
3
4
lxl }
JG
⎛ 0⎞
⎟ abgebildet
⎝ −2 ⎠
11. Die Gerade g mit y = - 2x wird durch Parallelverschiebung mit dem Vektor v = ⎜
Wie lautet die Gleichung der Bildgeraden ?
12. Die Gerade g hat die Steigung m = 2,5 und verläuft durch den Punkt S (-3 / -17).
Wie lautet die Geradengleichung in der Normalform ?
13. Ermittle durch Rechnung die Normalform der Geradengleichung bei der der y-Achsenabschnitt - 4,5
beträgt und die durch den Punkt A( − 2 3 l
5
6
) verläuft.
14. Gib die Gleichungen der jeweils durch die Punkte P1(5 I 2), P2(-2 I 8) und P3(-3 I -7) verlaufenden
Parallelen zu den Koordinatenachsen an.
15. Wie lauten die Gleichungen der Koordinatenachsen?
16. Ermittle die Nullstellen der Umkehrfunktionen zu den durch folgende Gleichungen gegebenen
Funktionen:
y = 0,5(x - 4) + 3
b) -4x - 5y + 8 = 0
17. Bestimme durch Zeichnung und Rechnung die Koordinaten der Schnittpunkte mit den
Achsen (x = 0; y = 0)
a) 5x - 2y + 1 = 0
b) y = -2(x + 2) + 6
c) 0,75(x + 2) - 3 - y = 0
18. Bestimme die Gleichungen der Geraden durch folgende Punkte:
a) A(0 l -3)
B(1,5 l 4)
b) P(-6 l -7)
Q(-11 l 2,5)
19. Gegeben ist die Gerade g mit y + 3,5(x-2) + 5 = 0.
Bestimme die auf der gegebenen Geraden senkrecht stehende Gerade g'. Der Schnittpunkt
beider Geraden soll auf der x-Achse liegen. Gib die Geradengleichung von g' an.
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20. a) Zeichne die Menge aller Punkte S(x l -0,5x + 2) mit den angegebenen Koordinaten in ein
Koordinatensystem ( x ∈ _ ).
Auf welcher Ortslinie liegen sie?
b) Die Punkte S werden um den Vektor
G ⎛ −2 ⎞
v=⎜
⎟
⎝ 2,5 ⎠
parallel verschoben. Die Bildpunkte heißen T.
Zeichne die Ortslinie der Punkte T ein.
Gib die Menge aller Punkte T in Koordinatenschreibweise an.
21. Die Gleichung y = 3x - (a + 2) mit a ∈ _ beschreibt bezüglich
G = _×_
die Parallelenschar g(a).
a) Gib die Gleichung der Scharparallelen g1 an, die durch den Punkt A(-6 l 1,5) verläuft.
b) Belegt man a einmal mit 2 und dann mit -8, erhält man zwei Geraden g2 und g3. Ermittle die
Gleichung der Mittelparallelen g4 zu den Parallelen g2 und g3. Gib die zugehörige Zahl a an.
22. Gegeben ist die Gleichung einer Parallelenschar g(t): y = -2x + t.
a) Prüfe rechnerisch, ob die Gerade g1: 2x - 3y + 5 = 0 der Parallelenschar angehört.
b) Für welchen Wert von t erhält man jeweils die Gleichung der Schargeraden, die durch die
Punkte A(-2 l 3) und B(1,5 l -8) verlaufen?
c) Gibt es eine Schargerade die zugleich durch die Punkte P1(-4 l 4) und P2(3 l -5) verläuft?
Zeige dies rechnerisch.
d) Wie lautet die Gleichung der Parallelenschar, deren Geraden auf denen der gegebenen Schar
senkrecht stehen?
23. Geraden, die einen gemeinsamen Schnittpunkt haben, gehören einem Geradenbüschel an.
a) Durch welchen Punkt Q verlaufen alle Geraden des Geradenbüschels g(m): y = mx + 3
b) Für welche Werte von m erhält man die Gleichungen der Büschelgeraden, die durch die
Punkte A(0,4 l 3), B(-2 l 4) und C(2,5 l − 13 ) verlaufen ?
c) Zeige rechnerisch, ob es eine Büschelgerade gibt, die gleichzeitig durch die Punkte U(2 l 5)
und V(-3 l 0) verläuft.
d) Ein zweites Geradenbüschel h(m) hat den Büschelpunkt R(3 l 4). Gib die Gleichung des
Geradenbüschels an.
e) Wie lautet die Gleichung der Geraden, die beiden Büscheln gleichzeitig angehört ?
f) Gib die Gleichungen der Geraden beider Büschel an, die auf der Geraden mit y = 1/3x + 3
senkrecht stehen.
24. Das Geradenbüschel g(m) mit y - mx + 2m + 5 = 0 und die Parallelenschar g(t) mit y - 2x - t = 0
sind gegeben.
a) Bringe die Büschelgleichung auf die Form y = m(x - x1) + y1 (Punktsteigungsform) und gib die
Koordinaten des Büschelpunktes B an.
b) Zeichne den Büschelpunkt, die Büschelgeraden für m
für t ∈ [-4; 4] ] in ein Koordinatensystem.
∈
{ 0; ±1; ±3 } und die Schargeraden
c) Gib die Gleichung der Büschelgeraden an, die Ursprungsgerade ist.
d) Welche Gerade der Parallelenschar ist gleichzeitig Büschelgerade?
e) Welche Büschelgerade steht auf allen Schargeraden der Parallelenschar senkrecht ?
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25. Gegeben seien die Punkte P(0 l 2) und Q(k l -2).
a) Stelle in Abhängigkeit vom Parameter k die Funktionsgleichung der Schar fk(x) auf, die durch
die Punkte P und Q bestimmt wird. Welche Werte darf hierbei der Parameter k annehmen?
b) Bestimme die Schnittpunkte Sx und Sy der Funktionenschar mit den Koordinatenachsen in
Abhängigkeit vom Parameter k.
c) Gebe diejenigen Geraden aus der Schar an, die parallel zur x-Achse bzw. parallel zur
Winkelhalbierenden des I. und III. Quadranten verlaufen.
d) Welche Gerade aus der Schar steht senkrecht auf der Geraden h(x) = -4x + 3 ?
Gib die Gleichung dieser Geraden an. Bestimme außerdem den Schnittwinkel dieser Geraden
mit der y-Achse.
e) Ermittle die Gleichung der Geraden g(x), die denselben Abstand vom Ursprung hat wie h(x) und
parallel zu dieser verläuft (keine Schargerade).
f) Haben alle Geraden der Funktionenschar einen gemeinsamen Schnittpunkt?
Wenn ja, gib diesen an.
g) Zeichne die Geraden aus c), d) und e) in ein Koordinatensystem.
26. Eine Gerade g verläuft durch den Punkt P(1 I 3) und hat eine Nullstelle bei x = 5.
a) Erstelle die Funktionsgleichung.
b) Berechne den Neigungswinkel α gegen die x-Achse.
c) Q(3 I q) soll unterhalb von g liegen. Welche Bedingungen muß q erfüllen?
27. Gegeben ist die Gerade g: f(x) = -2/3x + 1
a) Erstelle die Gleichung aller Geraden, die zu g parallel sind.
b) Erstelle die Gleichung aller Geraden, die den gleichen Schnittpunkt mit der y-Achse haben.
28. Gegeben ist der Punkt P(4 I 1) und die Funktionenschar mit der Gleichung
fm(x) = (m - 1)x + 2m
m∈\
a) Bestimme die Funktionsgleichung der Geraden, die den Punkt P enthält.
b) Bestimme die Gleichung der Geraden aus der Schar, die auf h(x) = -2x + 8 senkrecht steht.
c) Berechne die Koordinaten der Schnittpunkte Sx und Sy mit den Koordinatenachsen.
d) Gibt es einen gemeinsamen Schnittpunkt aller Geraden der Schar?
e) Zeichne die in a) und b) ermittelten Geraden in ein Koordinatensystem ein.
29. Gegeben ist die Geradenschar gk: y = (2k - 1)x + k;
k∈\
a) Für welches k verläuft die zugehörige Gerade der Schar durch den Punkt P(1 I -3) ?
Gib die entsprechende Funktionsgleichung an.
b) Bestimme k so, daß die Schargerade parallel zur Winkelhalbierenden des I. und III.
Quadranten verläuft.
c) Berechne die Nullstelle sowie den Schnittpunkt des Graphen mit der y-Achse in Abhängigkeit
von k.
d) Gibt es einen gemeinsamen Schnittpunkt aller Geraden der Schar?
e) Zeichne die ermittelten Ergebnisse in ein Koordinatensystem ein.
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30. Die Geraden einer Schar haben folgende Eigenschaft:
Die Koordinatenachsen und eine Schargerade bestimmen jeweils ein rechtwinkliges Dreieck im ersten
Quadranten mit dem Flächeninhalt 8 FE.
(FE = Flächeneinheiten)
a) Bestimme die Scharfunktion f.
b) Welche Nullstelle hat f ?
31. Ein Zeichner will die Gerade mit der Gleichung
6
3
x-
1
3
y+
18
3
= 0 durch die Punkte P1( 2 3 I
15
2)
und P2( 13 I 20) ziehen. Liegen die Punkte auf der Geraden?
32. Gegeben ist das gleichschenklige Dreieck
ABC mit A(2 l 1).
Die Dreieckshöhe h[AB] liegt auf der Geraden g:
y = -2x + 12,5.
Berechne die Koordinaten des Höhenfußpunktes H.
(siehe nebenstehende Skizze).
33. Gegeben sind die Gerade g mit y +
2
3
x - 4 = 0 und
der Punkt P (12 l 15,5). Der Punkt P ist mit g als
Spiegelachse mittels Achsenspiegelung auf P'
abzubilden.
Berechne die Koordinaten von P'.
34. Die Geraden g1= AB mit A(-1,5 l 0) und B(0 l 3) sowie g2= CD mit C(0 l -2) und D(6 l 0) als auch
g3 = EF mit E(8 l 1) und F(2 l 9) sind gegeben.
Ermittle zeichnerisch und rechnerisch die Punkte S ∈ g1 und T ∈ g2, deren Verbindungsstrecke [PQ] zu g3
parallel verläuft und 6 cm lang ist.
(im Koordinatensystem: 1LE = 1cm)
35. Der Neigungswinkel einer Geraden beträgt 60°. Auf ihr liegt der Punkt P(-4 l 0,5).
a) Stelle die Funktionsgleichung auf.
b) Berechne die Schnittpunkte des Graphen mit den Achsen.
c) Wie heißt die Funktion g mit derselben Nullstelle, deren Graph die Steigung m = − 51 hat?
36. Gegeben ist die Funktion f(x) = -x + 2; Df = \
Durch den Punkt P(1 l y) von Gf soll eine Gerade gelegt werden, die mit Gf einen Winkel von 30°
bildet.
Wie lautet die Geradengleichung?
37. Gegeben sind die Punkte A(1 l 1); B(-2 l -2); C(-3 l 2).
Gib die Menge aller affinen Funktionen f an, für die gilt
A ∈ G f und [ BC ] ∩ G f ≠ θ .
Fertige eine Zeichnung an.
38. Gegeben sind ein Achsenschnittpunkt N(-2 I 0) einer Geraden und die Entfernung der beiden
Achsenschnittpunkte: NT = 6.
Stelle die Gleichung der Geraden auf und berechne die Koordinaten des zweiten Achsenschnittpunktes.
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Scharen affiner Funktionen
t ∈ \;
39. Gegeben ist die Scharfunktion ft (x) = tx – I t I;
D ft = \
a) Welche Nullstellen haben die Scharfunktionen ?
b) Für welche Werte von t schneiden sich zwei Schargeraden auf der y-Achse ?
40. Gegeben ist die Scharfunktion ga(x) = IaIx + a;
a ∈ \;
Dga = \
a) Welche Nullstellen hat diese Schar ?
b) Für welche Werte von a sind zwei Geraden aus der Schar zueinander parallel ?
t ∈ \;
41. Gegeben ist die Scharfunktion ht (x) = - tx + t;
Dht = \
a) Zeige, dass alle Graphen der Schar eine gemeinsame Nullstelle haben.
b) Bestimme den Inhalt der Dreiecksfläche, die von der y-Achse und zwei zueinander senkrechten
Schargeraden begrenzt ist.
c) Für welches t schließt die Schargerade mit der y-Achse einen Winkel von 30° ein ?
42. Die beiden Achsenschnittpunkte jeder Schargeraden haben die Entfernung 10.
Bestimme die Gleichungen der Geraden.
Zeichne einige dieser Geraden.
43. Gegeben ist die Scharfunktion ft ( x) = tx + 2 t 2 + 1; D ft = \; t ∈ \
a) Für welches t ist der Graph parallel zur Winkelhalbierenden des 1.Quadranten ?
Zeichne den Graphen!
b) Für welches t ist der Graph senkrecht zu einer Geraden mit der Gleichung y = 2x + 333 ?
c) Welche Graphen der Schar schließen mit der x - Achse einen Winkel von 60° ein ?
d) Bei welchen t-Werten sind die Nullstellen vom Ursprung 2 2 entfernt ?
e) Welche Stellen der x-Achse sind keine Nullstellen von Schargeraden ?
f) Bestimme die Entfernung d, die die beiden Achsenschnittpunkte der Geraden zum
Parameterwert 5 haben.
g) Bestimme die Entfernung der Achsenschnittpunkte einer Schargeraden allgemein.
h) Für welches t beträgt die Entfernung der Achsenschnittpunkte genau 4 ?
i) Zeichne die zu t ∈ {0; ± 0,25; ± 0,5; ± 1; ± 2; ± 4} gehörenden Graphen.
1
t
x − ; m ≠ {0; 1; − 1} D f = Dg = \
m
m
a) Bestimme den Schnittpunkt von G f und Gg . Wo schneiden Gf und Gg die Gerade mit der
44. Gegeben sind:
f ( x ) = mx + t ;
g ( x) =
Gleichung y = x ?
b) Vergleiche die Winkel, unter denen G f und Gg die Gerade mit der Gleichung y = x schneiden.
c) Wie liegen G f und Gg und die Gerade mit der Gleichung y = x zueinander ?
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45. Gegeben sind die Punkte A(-4 l -3); B(4 l -3); C(a l 25 − a 2 )
Die beiden festen Punkte A, B und der variable (von a abhängige) Punkt C bestimmen ein
Dreieck. Ermittle den Winkel γ = )ACB bei C.
46. Gegeben sind:
f ( x) = −0,75 x + 3;
P(-7 l 2);
h( x) = −0,75 x − 9,5;
D f = Dh = \
a) Bestimme den Schnittwinkel von G f mit der x-Achse.
b) Bestimme die Gleichungen der Geraden, die durch die Achsenpunkte von G f gehen und
auf G f senkrecht stehen.
c) Bestimme die Gleichung der Geraden g, die durch P geht und auf G f senkrecht steht.
d) Bestimme den Schnittpunkt S von G f und Gg . Welchen Abstand haben P und G f ?
f) Welchen Abstand haben G f , Gg und Gh vom Ursprung ?
g) Welchen Abstand haben G f und Gh ?
h) Unter welchem Winkel schneiden sich die y-Achse mit G f ?
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