3. Mathematikschulaufgabe - mathe-physik

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3. Mathematikschulaufgabe
Klasse 10
1.
(x, y ∈ R+)
Vereinfache:
a)
b)
8x −1 x 3 y
2
3
1
3
x −x y
y−x
2.
−
2
3
1
2
2
3
− 12y −1 x 3 y 4 =
=
(a, b ∈ R)
Berechne:
1
 − ( a − 1)3 b−6  3 =


3.
Bestimme die Lösungsmenge:
3
4
−
 34
2
 1 3
 4x + 16  − 4 ⋅   = 0
8


4.
!!"  6 
!!"  −2 
 und b =  
 1,5 
 3
Es ist a = 
!" !!"
!!"
Berechne den Zwischenwinkel von a − b und a .
5.
Geg.: CB = b = 4,00 cm; DC = c = 5,00 cm; AD = d = 1,50 cm
δ = 100,00°
α = 105,00°
Zwischenwerte auf 2 Stellen nach dem Komma runden !
Ges.: a) f
b) a
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3. Mathematikschulaufgabe
Klasse 10
1.
a) Vereinfache und gib das Ergebnis ohne Wurzel im Nenner an:
1
1
1
a 2 + 2a 4 b 2 + b
1
4
1
5
1
2
a c +b c
(a, b, c ∈ R+)
1
5
b) Vereinige unter einer Wurzel:
n
an ⋅ n−1 an+1 : n+1 an−1
n>1
c) Vereinfache und schreibe das Ergebnis mit rationalem Nenner und ohne
Verwendung negativer Exponenten:
3
 a4c 5 a2b  b 2
 6 3 :4 3 
 b
c  4 a2c 5

2.
Berechne:
(2x4 - 7x3 + 13x2 - 11x + 3) : (x2 - 2x + 3) =
3.
Wie dick ist die Wand einer (kugelförmigen !) Seifenblase, die aus einem
8 mm dicken kugelförmigen Tropfen entstanden ist und einen Durchmesser von
40 mm hat ?
4.
In einem Parallelogramm ABCD ist AB = 5cm, BC = 3cm und ! CBA = 125°.
Berechne jeweils mit allgemeinem Ansatz die beiden Diagonalen !
5.
Um die Höhe eines Turmes zu bestimmen, misst man von einem 9 m über der
gemeinsamen Grundebene gelegenen Standpunkt aus, die Winkel α und β
bezüglich der Horizontalen zum Fuß bzw. zur Spitze des Turmes (siehe Skizze).
Wie hoch ist der Turm bei α = 7° und β = 21° ?
Wie weit ist er vom Haus entfernt ?
GM_A0019 **** Lösungen 3 Seiten
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3. Mathematikschulaufgabe
Klasse 10
1.
Bestimme die Lösungsmenge:
4
5

5
4
250
x
−
224

 = 81 x


2.
Die nebenstehenden Diagramme zeigen vier Graphen, nummeriert von 1 bis 4.
Ordne diesen Graphen ihre Funktionsvorschrift zu (z.B. 2c).
Gib außerdem für den Graphen Nr. 1 die Definitions- und Wertemenge sowie seine
Monotonie und Symmetrie an.
a)
b)
f : x 6 − (x + 2)5 − 3,5
1
− 3,5
f:x6
3
(x − 3)2
3
c)
f : x 6 (x + 5)7 − 2
d)
f : x 6 (x + 3)4 + 5
e)
f : x 6 (x + 5)3 − 2
f)
f:x6
g)
f : x 6 (x − 2)7 − 3,5
h)
f : x 6 (x − 3) 2 − 3,5
7
( ) +5
1
x+3
4
3
3.
Vereinfache so weit wie möglich:
8
8
+
1 + cos α 1 − cos α
4.
Führe tan 215° auf einen spitzen Winkel zurück (tan 215° = tan . . . °).
5.
Bestimme die Lösungsmenge von sin y = - 0,3173 für y ∈ [0; 2π] .
6.
Rechne den Punkt A −3,5 5 | −7 in Polarkoordinaten um.
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(
)
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3. Mathematikschulaufgabe
Klasse 10
1.
Eine Pyramide mit quadratischer Grundfläche hat das Volumen 216 cm3
und die Höhe h = 8 cm.
Berechne die Länge der Grundkanten der Pyramide.
2.
a) Berechne den Flächeninhalt
und den Umfang der
schraffierten Fläche.
3.
Berechne den Mittelpunktswinkel α eines Kreisausschnitts (Radius r), dessen
Flächeninhalt gleich dem Flächeninhalt eines gleichseitigen Dreiecks mit der
Seitenlänge r ist. Gib α auch im Bogenmaß an.
4.
Schneidet man einen Kegelmantel längs seiner Mantellinie auf und rollt den Mantel
auf die Ebene ab, dann erhält man einen Kreisausschnitt mit dem Mittelpunktswinkel α.
Berechne α für einen Kegel, dessen Grundkreisradius 4 cm ist und der eine Höhe
von 3 cm hat.
5.
Schreibe als Potenz mit einem Exponenten:
a)
6.
b)
5
a a
Vereinfache, mache den Nenner rational:
a)
7.
b2 b−1
b) Berechne den Flächeninhalt und den
Umfang der schraffierten Fläche für
α = 60°.
7
3
343 ⋅ 10−6
b)
4a
8a + 2a
Beweise: Die Funktion f : x 6 0,92x mit x ∈ \ ist streng monoton fallend.
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1 (1)
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3. Mathematikschulaufgabe
Klasse 10
1. Beseitigen Sie die Wurzelzeichen und vereinfachen Sie:
a)
3
x2 y2 4 ⎛ x y ⎞
: ⎜ 2 ⎟
z3
⎝z ⎠
b)
6
64 63 6
2. Vereinfachen Sie
a)
1
2
1
2
1
1
x −y
x4 + y4
b)
(a
2
3
2
) ⋅ ( a − 1)
−1
1
( a + 1) 2
1
( a + 1) 2
3
⎛ a − 1⎞2
⋅⎜
⎟
⎝ a + 1⎠
c) Berechnen Sie den folgenden Quotienten:
(x
3
)
+ 3x 2 − 4x − 12 : ( − x + 2 )
3. Ein Quadrat mit der Seite s = 4 cm rotiert mit seinem Um- und Inkreis um eine Diagonale.
a) Fertigen Sie einen Querschnitt des Rotationskörpers !
b) Berechnen Sie die Rauminhalte der entstehenden Rotationskörper !
4. Eine Kugel mit dem Radius r = 3 cm werde durch eine Ebene E in zwei Teile zerlegt.
Die Ebene E habe vom Mittelpunkt M den Abstand d = 1,5 cm. In welchem Verhältnis
wird die Kugel durch die Ebene E geteilt (Kugelsegment : Kugelrest) ?
h2 π
(Volumenformel für Kugelsegmente: VKugelsegment =
(3r − h) )
3
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3. Mathematikschulaufgabe
Klasse 10
1.
Der Punkt  5 4  liegt auf dem Graphen einer Funktion der Form y  1,2  a x 2  2 .
Bestimme die genaue Funktionsgleichung.
2.
Die Zwillinge Emma und Sophie bekamen bei Ihrer Geburt vor zwanzig Jahren von
ihrer reichen Oma ein Sparguthaben zu einem supergünstigen festen Zinssatz über die
gesamte Laufzeit. Heute besitzen sie als Guthaben aus dieser Spareinlage 67275,00
EUR. Vor fünf Jahren waren es erst 41772,50 EUR. „Und in weiteren fünf Jahren
werden es dann 1 Million sein. Stimmt das mit der Million ? Begründung durch
Rechnung !
3.
Rechne   100 ins Bogenmaß um.
4.
Ein gleichschenkliges Dreieck hat die Basis 6 cm und den Flächeninhalt 90 cm².
Berechne den Winkel an seiner Spitze.
5.
Ein Turm der Höhe h = 38,5 m steht in einer Entfernung d = 8,5 m vom Flussufer
entfernt. Von der Turmspitze aus erscheint die Flussbreite unter einem
Betrachtungswinkel von 19°.
Wie breit ist der Fluss ? (Skizze ! Berechnung !)
GM_A1079 **** Lösungen 2 Seiten (GM_L1079)
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3. Mathematikschulaufgabe
Klasse 10
1.
2.
Welche Symmetrie-, Monotonieeigenschaften und welche Wertemenge haben
Parabeln ungerader Ordnung y  xn ?
Wie geht der Graph von y    x  3 
Funktion x  x
n
2
aus dem Graphen der entsprechenden
hervor? Skizziere ihn und gib die Gleichungen der Asymptoten an.
3.
Von einer Algenart sind nach 3 (5; 8) Tagen 976 (1526; 2980) g vorhanden.
Ermittle mit den Daten für 3 und 5 Tage die Zuordnungsvorschrift.
Erstelle eine Wertetabelle für 0 bis 8 Tage und Zeichne den Graphen.
Ermittle mithilfe des Graphen die Verdopplungszeit.
4.
In einem rechtwinkligen Dreieck ABC ist die Hypotenuse c dreimal so lang wie die
Kathete b.
Ermittle sin  , cos  , tan  , sin  , cos  und tan  . (2 g. Z.)
5.
Wie hoch ist ein Turm, wenn sein Schatten s = 27,5 m lang ist, und die Sonnenstrahlen
unter dem Winkel   42,5 einfallen?
6.
Ein Straßenstück steigt um den Winkel 6,0° an und ist auf einer Karte 3,5 mm lang.
(Kartenmaßstab 1: 10 000 ).
Wie groß ist die Steigung in %?
Wie lang ist das Straßenstück in Wirklichkeit?
GM_A1080 **** Lösungen 2 Seiten (GM_L1080)
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3. Mathematikschulaufgabe
Klasse 10
   0; 90  . Bestimmen Sie cos  ohne TR!
1.
Gegeben ist sin   32
9
2.
Bestimmen Sie alle Winkel   0; 360 mit cos    1 3 .
2
3.
sin 
1  cos2 

Vereinfachen Sie:
sin   cos 
1  sin2 
   0 ; 90 
4.
Der griechische Astronom Aristarchos von Samos ging davon aus, dass Halbmond
genau dann ist, wenn der Winkel Erde – Mond – Sonne 90° beträgt. Er bestimmte zu
diesem Zeitpunkt den Winkel  Sonne – Erde – Mond mit 89,8°. Welche Entfernung
haben Erde und Sonne, wenn der Abstand Erde – Mond 384  103 km beträgt?
5.
In einem Dreieck gilt: b = 7,15 cm; hb  5,38 cm , sb  6,05 cm .
Berechnen Sie die Länge der Seite a.
Verwenden Sie für die Überlegungsfigur: a = 7 cm; b = 6 cm; c = 5 cm.
6.


Gegeben ist die Funktion f (x)   2  sin 2x    2 ;
2
x
a) Geben Sie die Periode und den Wertebereich von f an.
b) Berechnen Sie eine Nullstelle von f.
c) Skizzieren Sie den Graphen von f für x     ; 2   .
GM_A1081 **** Lösungen 2 Seiten (GM_L1081)
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3. Mathematikschulaufgabe
Klasse 10
1.
Trigonometrische Fragen
a) Berechnen Sie das Bogenmaß zu   125 .
b) Für welche Winkel    0; 360  gilt cos    0,6 ?
c) Welche spitzen Winkel hat ein rechtwinkliges Dreieck, in dem gilt:
Die Hypotenuse ist viermal so lang wie die Gegenkathete.
d) Vereinfachen Sie:
2.
cos3   tan 
1  sin2 
Gegeben ist die Funktion f (x)   x  1 ; x  Df .
4
a) Bestimmen Sie Df und fertigen Sie eine Skizze von Gf an.
b) Bestimmen Sie die Symmetrie und die Monotonie von Gf .
3.
Gegeben ist die Gerade g und die Funktion f mit
g(x)   0,8x  1,5; Dg    1; 3 
f (x)  cos 4 x ; Df    1; 3 
3
 
a) Berechnen Sie den Neigungswinkel der Geraden g (2 DZ) und zeichnen Sie diese
in ein Koordinatensystem.
b) Bestimmen Sie die Periodenlänge der Funktion f und zeichnen Sie den Graph Gf
ebenfalls in das Koordinatensystem.
c) Bestimmen Sie eine Lösung der Gleichung
cos 4 x   0,8x  1,5; D    1; 3 
3
Wie viele Lösungen hat die Gleichung insgesamt?
 
d) Eine weitere Gerade ht : x  y   6x  1,5; t    hat den gleichen y - Achsen abschnitt wie g.
Bestimmen Sie t so, dass die Gleichung cos 4 x   t x  1,5; D    1; 3  nur
3
eine Lösung hat (Lösung nicht eindeutig !).
 
4.
Wie viel Benzin verbraucht ein Auto auf 100 km, wenn nach einer 565 km langen Fahrt
42 Liter nachgetankt werden müssen?
GM_A1082 **** Lösungen 2 Seiten (GM_L1082)
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3. Mathematikschulaufgabe
Klasse 10 / (G9)
2
1.
1
Gegeben ist folgende Gleichung: x 5 − 2x 5 − 3 = 0
a) Bestimmen Sie die Definitions- und die Lösungsmenge obiger Gleichung.
b) Geben Sie nun – ohne weitere Rechnung – die Lösungsmenge folgender
Gleichung an.
x
2.
52
5
= 2x
51
5
+ 3x 5
Die Klasse 10 A untersucht den Zerfall von Bierschaum. Dabei stellen die Schülerinnen
und Schüler fest, dass bei einer anfänglichen Schaumhöhe von y 0
(in cm) die nach x Minuten noch verbleibende Schaumhöhe y (in cm) durch eine
Gleichung der Form y = y 0 ⋅ a x (mit x ∈ \ + und a ∈ \ + ) beschrieben werden kann.
Beim Einschenken der Biersorte „Jambo“ ergibt sich die Schaumhöhe y 0 = 5,0 (in cm).
a) Nach 1,5 Minuten ist der Schaum nur noch halb so hoch. Bestimmen Sie den
zugehörigen Wert von a auf 2 Stellen nach dem Komma gerundet.
[Ergebnis: a = 0,63 ]
b) Legen Sie eine Wertetabelle mit der Schrittweite 1 an und zeichnen Sie die
Funktion der Gleichung y = 0,63 x im Intervall [ − 2; 5 ] .
[x - Achse: 1LE 1cm , y - Achse: 1LE 2 cm ]
c) Ermitteln Sie graphisch, nach welcher Zeit die Schaumhöhe bei der Biersorte
„Jambo“ nur noch 3,75 cm beträgt. Geben Sie das Ergebnis in Minuten und
Sekunden an.
Bei der Biersorte „Krügli“ nimmt die Schaumhöhe in jeder Minute um 20% ab.
d) Nach 2,5 Minuten beträgt sie 2,0 cm. Berechnen Sie die anfängliche Schaumhöhe
y 0 auf mm genau.
3.
4.
Vereinfachen Sie für 0 ≤ α ≤ 90° : sin ( 90° − α ) ⋅
( tan α )
2
+1
Gegeben ist ein Dreieck ABC mit dem Umkreisradius r = 5 cm und den Winkeln
α = β = 40° . Berechnen Sie die Seitenlängen (auf Millimeter genau !) und den
Flächeninhalt des Dreiecks ABC.
Zeichnen Sie zuerst eine vollständig beschriftete Planfigur! Verwenden Sie
anschließend nur die in der Planfigur eingeführten Bezeichnungen.
GM_A1083 **** Lösungen 3 Seiten (GM_L1083)
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3. Mathematikschulaufgabe
Klasse 10 / (G9)
( 3x
3
)
− 5x 2 + 6x − 4 : ( x − 1)
1.
Berechne:
2.
Skizziere den Verlauf des Graphen der Funktion f : x 6 log 2,5 x mit D = \ + unter
Verwendung von genau drei geeigneten Punkten. Gib deren Koordinaten an.
3.
Carlos bekommt von seinem Onkel 500 € geschenkt. Er legt das Geld für 4,8%
Jahreszins an, die Zinsen werden mit verzinst.
a) Stelle eine Funktion auf, die den Wert des angelegten Geldes in Abhängigkeit von
der Zeit beschreibt.
b) Berechne, nach welcher Zeit sich das Geld verdoppelt hat!
4.
Löse die Gleichung für x ∈ Dmax : log3 ( x ) + log3 ( x − 6 ) = 3
5.
Eine Bergstraße hat eine (mittlere) Steigung von 11% und ist 2,74 km lang.
Berechne den (mittleren) Steigungswinkel und damit die Höhendifferenz, die man
mit dieser Bergstraße überwindet.
6.
c = 5,0 cm , α = 70° , β = 40° , δ = 35°
Berechne x.
7.
Sei α ∈ [0° ; 720°] \ {90°; 270°; 450°; 630°}
Für welche α gilt: tan α = − 3 .
Runde die Winkel auf ganze Grad.
GM_A1084 **** Lösungen 4 Seiten (GM_L1084)
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3. Mathematikschulaufgabe
Klasse 10 / (G9)
1.
a) Forme um in die Potenzschreibweise, fasse zusammen und schreibe das Ergebnis
ohne gebrochene Exponenten:
4
16x 3 ⋅ 8x 2
3
b) Vereinfache und schreibe dann unter eine Wurzel:
2
(a − b)3
(
2.
a2 − b2
)
1
3
Berechne mit dem Taschenrechner. Runde das Ergebnis sinnvoll.
5,2 ⋅ 2,7 ⋅ 102 + 3,3 + 4 8,2 ⋅ 10 4
3.
Drei gleiche Bleikugeln mit dem Durchmesser 26 mm werden zu einer einzigen Kugel
zusammengeschmolzen.
a) Welchen Radius hat die große Kugel ?
b) Vergleiche die Oberfläche der großen Kugel mit der Gesamtoberfläche der drei
kleineren Kugeln. (Bilde den Quotient aus den Oberflächen.)
4.
Bei den folgenden Körpern wird nur der Radius halbiert. Wie ändert sich dabei das
Volumen der folgenden Körper ? Antwort genügt.
a) Kugel
b) Zylinder
c) Kegel
GM_A1085 **** Lösungen 2 Seiten (GM_L1085)
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3. Mathematikschulaufgabe
Klasse 10
1.
Gegeben ist ein Dreieck mit a  8 cm , b  12 cm und c  16 cm .
a) Zeigen Sie durch Rechnung, dass   29 (gerundet).
b) Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks ABC unter Verwendung von  .
2.
Gegeben ist die Funktion f (x)  3 8 x 2 mit D    3;  3  .
a) Legen Sie eine Wertetabelle an und zeichnen Sie den Graphen von f.
b) Begründen Sie, warum f in D'    3; 0  umkehrbar ist und berechnen Sie den
Funktionsterm von f 1 .
3.
Gegeben ist die Gleichung 2 cos x  3 tan x  0 mit G   0; 360  .
a) Bestimmen Sie die Definitionsmenge D der Gleichung und führen Sie diese
schrittweise in folgende Gleichung über:
2 sin2 x  3 sin x  2  0
b) Lösen Sie nun die Gleichung aus Teilaufgabe a) unter Beachtung der
Definitionsmenge.
4.
Vereinfachen Sie die folgenden Terme soweit wie möglich. Sinnvolle Zwischenschritte
sind anzugeben.
a)
1
2
1
1
a2
b2
a b
1
2

1
2
a b
1
2
GM_A1086 **** Lösungen 2 Seiten (GM_L1086)
b)

9 x x  3 8 x2
3

1
x
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3. Mathematikschulaufgabe
Klasse 10 / G8
1.
a) Vereinfachen Sie mit Hilfe der Logarithmensätze:
log b2  log b 
log z3  2 log 1 
z
b) Berechnen Sie:
log  5  4x   log 1  4x 
c) Eine Exponentialfunktion nimmt nach einer bestimmten Zeit t1 den Funktionswert
f (t 1 )  4,2 an. Berechnen Sie dieses t 1 , wenn allgemein gilt: f (t)  1,2  1,6 t
2.
a) Der nebenstehende Graph zeigt den Verlauf
einer ganzrationalen Funktion 3. Grades.
Bestimmen Sie eine zugehörige Funktionsgleichung und bringen Sie diese in die Form
f (x)  a x 3  b x 2  c x  d .
y
2
1
x
-2
Entnehmen Sie die notwendigen Angaben
dem Schaubild. Die Nullstellen sind ganzzahlig.
Weitere Nullstellen existieren nicht.
-1
0
1
2
3
-1
-2
-3
b) Geben Sie die Gleichung einer ganzrationalen
Funktion an, deren Grad 4 ist. Der Graph von f
liegt symmetrisch zur y - Achse. Die Punkte P1   1,5 0  und P2 1,5 0  sind
Hochpunkte des Graphen. Skizzieren Sie einen geeigneten Graphen.
3.
Gegeben sei der Funktionsterm f (x)   2 x 5  4 x 3 , G   .
a) Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktion und geben Sie jeweils ihre
Vielfachheit an.
b) Untersuchen Sie das Grenzverhalten für betragsmäßig große x - Werte
( x    und x    ).
c) Untersuchen Sie Gf auf Symmetrie (Begründung durch Rechnung!)
d) Skizzieren Sie den Graph der Funktion f im Intervall  1,5  x  1,5 .
4.
Im Jahr 1900 hat ein vorausschauender Anleger bei einer amerikanischen Privatbank
1 Million Dollar für 100 Jahre zu einem festen Zinssatz von 3% angelegt.
Die jährlichen Zinsen sollten jeweils dem Kapital zugeschlagen werden.
a) Auf welchen Betrag wäre das Kapital im Jahre 2000 angewachsen?
b) Nach wie vielen Jahren war das Kapital auf 5 Millionen Dollar angewachsen?
c) Welchen Zinssatz hätte die Bank aushandeln müssen, um nach 100 Jahren
nur 10 Mio. Dollar auszuzahlen?
GM_A1087 **** Lösungen 3 Seiten (GM_L1087)
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3. Mathematikschulaufgabe
Klasse 10 / G8
1.
Berechnen Sie den Term log3 6  x .
Zwischen welchen natürlichen Zahlen liegt x ?
2.
Lösen Sie folgende Gleichung:
3.
Trigonometrische Funktionen
I)
cos2 x  1
5
D   0; 2 
Das nebenstehende Riesenrad hat einen
Radius von 10 m, die Höhe des
Drehpunktes vom Boden beträgt 13 m.
1. Durch welche Funktion wird die Höhe h
der Gondel (in der Skizze als schwarzer
Punkt dargestellt) in Abhängigkeit vom
Winkel beschrieben ?
2. Zeichnen Sie den Graphen dieser Funktion
im Maßstab 1 : 500 (10 m entsprechen
also 2 cm). Beachten Sie die Verschiebung
in positiver y - Richtung. 0 ; 360
II) Entwickeln Sie den Graphen der Funktion f (x)  1  2  sin 2x in D   0; 2  .
Berechnen Sie auch die Nullstellen der Funktion in diesem Bereich !
4.
Bestimmen Sie anhand des nebenstehend
abgebildeten Graphen die Gleichung einer
ganzrationalen Funktion vom Grad 6.
Die Schnittpunkte des Graphen mit den
Koordinatenachsen sind ganzzahlig.
Weitere Nullstellen existieren nicht.
y
5
4
3
2
5.
Das 2. Glied einer geometrischen Folge
ist  3 , das 4. Glied lautet  27 .
32
2
a) Welche Möglichkeiten für a und q für
eine geometrische Folge gibt es?
b) Berechnen Sie für eine Ihrer Lösungen
von a) die Summe S10 .
1
x
-3
-2
-1
0
1
2
-1
-2
-3
c) Welcher Summenwert ergibt sich,
wenn Sie unendlich viele Glieder Ihrer
Folge addieren?
GM_A1088 **** Lösungen 3 Seiten (GM_L1088)
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3. Mathematikschulaufgabe
Klasse 10 / G8
Geben Sie alle wichtigen Zwischenschritte an, so dass Ihre Arbeit nachvollziehbar ist.
Wenn möglich, sind die Ergebnisse exakt anzugeben.
1.
Bestimmen Sie die Definitionsmenge des Terms und vereinfachen Sie ihn
so weit wie möglich:
5x
5x
−
x −5 5+ x
2.
3.
Ermitteln Sie die Lösung der Gleichung: 5 ⋅ log2 ( 4x ) = 25
Ordnen Sie die Potenzen der Größe nach (beginnend mit dem kleinsten Wert)
und begründen Sie Ihre Entscheidungen:
0,62 ; 0,63 ; − 0,43 ; − 0,83 ; 0,6 4 ; − 0,66
4.
Gegeben ist die Funktion f(x) = ( x 2 − 6x + 9 ) ( x + 2 ) x 2
a) Geben Sie die Definitions- und Wertemenge und das Verhalten des Graphen für
x → + ∞ sowie x → − ∞ an.
Bestimmen Sie auch die Nullstellen der Funktion, und geben Sie deren
Vielfachheit an.
b) Skizzieren Sie den qualitativen Verlauf des Graphen der Funktion.
Maxima der Funktion: ( − 1,4 22,9 ) und (1,6 18,1) .
(Qualitativen Verlauf des Graphen skizzieren bedeutet, den Graph ohne Wertetabelle, aber evtl. mit
markanten Punkten wie Nullstellen, Maxima, Minima usw. skizzieren)
5.
Ein Präparat enthält Ra-223 ( 223 Ra ) mit ca. 2,5 ⋅ 1018 Atomen. Ra-223 ist radioaktiv.
Nach einem Tag sind etwa 6% der Atome zerfallen. Die zerfallenen Atome sind
gasförmig und verlassen das Präparat.
Stellen Sie die Zerfallsgleichung auf, und bestimmen Sie die Halbwertszeit des
Ra-223.
Hinweis: Die Halbwertszeit ist hier diejenige Zeitspanne, in der die Masse eines bestimmten radioaktiven Stoffs auf die Hälfte gesunken ist; die andere Hälfte ist nicht verschwunden, sondern hat sich in
ein anderes Nuklid umgewandelt, das seinerseits ebenfalls radioaktiv oder aber stabil sein kann.
6.
Aus einer Mine werden Edelsteine gefördert. Nach den Erfahrungen der Betreiber
sind etwa 85% der geförderten Steine wertlos. Eine Sortiermaschine kann 95% aller
wertlosen Steine aussortieren, jedoch sind auch 8% der wertvollen Steine dabei.
a) Erstellen Sie ein übersichtliches Diagramm, aus dem alle Fälle hervorgehen, wie
die vorausgesetzten Zufallsereignisse zusammenwirken können.
b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, mit der ein Stein, der nicht aussortiert
wurde, wertlos ist, sowohl nur unter nicht aussortierten als auch unter allen
Steinen.
c) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein Edelstein aussortiert wird, sowohl
nur unter aussortierten als auch unter allen Steinen.
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3. Mathematikschulaufgabe
Klasse 10 / (G8)
1.
2.
Ermitteln Sie die Koordinaten der gemeinsamen Punkte der beiden ganzrationalen
Funktionen f ( x ) = − x 2 + 2x − 1 und g ( x ) = x 3 − 2x 2 + x !
1
Gegeben ist die ganzrationale Funktion f ( x ) = − x 5 + x 4 + 3x 3 − 9x 2 mit D = \ .
3
a) Bestimmen Sie rechnerisch die Nullstellen von f(x) und geben Sie die Funktion
vollständig faktorisiert an!
b) Beschreiben Sie das Verhalten der Funktion an den Rändern des
Definitionsbereichs !
c) Skizzieren Sie den Verlauf des Graphen Gf im Bereich − 4 ≤ x ≤ 4 in
einem Koordinatensystem Längeneinheiten x - Achse: 1 cm, y - Achse: 5 cm.
3.
a) Nennen Sie eine ganzrationale Funktion dritten Grades, die die y - Achse bei 3
schneidet und folgende Werte der Nullstellen besitzt: x1 = 0,5 , x 2 = 2,5 , x 3 = − 2
b) Geben Sie eine ganzrationale Funktion 4. Grades an, die nur eine Nullstelle bei
x = 1 aufweist !
4.
Ordnen Sie die Graphen A, B, C und D den zugehörigen Funktionstermen zu !
f 1 ( x ) = x2 − 4
f 2 ( x ) = ( x − 1)
3
f 3 ( x ) = x 4 − 5x 2 + 4
f 4 ( x ) = − x3 − 1
f 5 ( x ) = x 3 − 3x 2 + 4
f 6 ( x ) = x ( x − 2)
3
A)
B)
Blatt 2 beachten !
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1 (2)
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3. Mathematikschulaufgabe
Klasse 10 / (G8)
C)
5.
D)
Bei einer Alkoholkontrolle der Polizei zeigt der Alkomat das Testergebnis positiv an,
wenn Alkohol (A) getrunken wurde. Auch bei Fahrern, die nichts getrunken haben,
kann es passieren, dass das Gerät fälschlicherweise Alkohol anzeigt. Wenn ein
Fahrer, der nichts getrunken hat, kontrolliert wird, zeigt der Alkomat erfahrungsgemäß
in 0,1% aller Fälle ein positives Ergebnis an. Hat ein Fahrer Alkohol konsumiert, so
zeigt der Alkomat mit 98% Wahrscheinlichkeit ein positives Ergebnis an.
Der Anteil der alkoholisierten Fahrer (B) unter allen Fahrzeugfahrern beträgt
erfahrungsgemäß 1%.
Vorsicht: Nicht mit gerundeten Werten rechnen!!! (bis zu 5 Dezimalen)
a) Stellen Sie den Sachverhalt in einer Vierfeldertafel dar.
b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der Alkomat ein positives Ergebnis
anzeigt !
c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit trifft die Polizei an einem Tag auf einen alkoholisierten Fahrer oder erhält sie ein positives Testergebnis ?
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2 (2)
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3. Mathematikschulaufgabe
Klasse 10 / (G8)
1.
Finden Sie die Lösung der Terme durch Polynomdivision:
( 2x − 3x − x + 3x − 1) : ( x − 1)
( x − 9x + 27x − 27 ) : ( 9 + x − 6x )
( 3x − 3 ) : ( x + 1) − ( x − x ) : 21 x
4
3
2
2
2
2
2.
3
2
3
2
2
Gegeben ist die Funktion f ( x ) = 0,1x 4 − 0,3x 3 − 0,3x 2 + 1,1x − 0,6
a) Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktion und geben Sie den Funktionsterm in
vollständig faktorisierter Form an !
b) Bestimmen Sie den Schnittpunkt mit der y - Achse !
c) Untersuchen Sie das Verhalten der Funktion im Unendlichen !
d) Skizzieren Sie den Graphen durch Felderabstreichen !
3.
Die Funktion f(x) ist eine Funktion 3. Grades mit Df = \ . Sie schneidet die y - Achse
im Punkt T ( 0 / 8 ).
Wie lautet die Funktion, wenn sie die Nullstellen x1 = − 1, x 2 = 1 und x 3 = 2 besitzt ?
4.
In der von Louis Braille entwickelten Blindenschrift werden Buchstaben oder Ziffern
aus sechs Punkten in einer festgelegten Anordnung gebildet. Die Punkte sind vom
Untergrund hervorgehoben und so mit den Fingerspitzen tastbar.
Jedes Zeichen wird aus 3 ⋅ 2 = 6 Punkten bzw. Leerstellen dargestellt.
Wie groß ist die Anzahl der möglichen Zeichen die auf diese Weise dargestellt werden
können ?
GM_A1091 **** Lösungen 4 Seiten (GM_L1091)
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3. Mathematikschulaufgabe
Klasse 10 / (G8)
1.
Lösen Sie den Term durch Polynomdivision !
( 4x
2.
3
)
+ 6x 2 − 2 : ( 2x − 1)
Gegeben ist die Funktion g ( x ) = x 4 − x 3 − 2x 2
a) Geben Sie die Nullstellen der Funktion an !
b) Geben Sie an, wann die Funktion das Vorzeichen wechselt !
c) Geben Sie die Grenzwerte der Funktion an !
d) Skizzieren Sie den Graphen der Funktion in einem Koordinatensystem !
3.
Untersuchen Sie rechnerisch, ob die Funktion f ( x ) = 3x 3 − 2x + 1 ein
Symmetrieverhalten aufweist !
4.
Gegeben ist die Funktion f ( x ) = x 2 + 2x . Wie lautet der Funktionsterm der Funktion
h(x), welcher aus f(x) durch Verschiebung um 2 Längeneinheiten nach rechts und
Streckung in y - Richtung mit dem Faktor 0,5 entstanden ist ?
5.
0,1% aller Personen in einer Bevölkerung sind an Schweinegrippe erkrankt.
Ein medizinischer Test zur Erkennung dieser Krankheit zeigt bei 95% aller GrippeErkrankten eine vorliegende Krankheit an. In 4% aller Fälle wird bei Gesunden
irrtümlich die Krankheit angezeigt.
Bei einer zufällig ausgewählten Person wird die Schweinegrippe angezeigt.
Zeichnen Sie ein Baumdiagramm, mit dessen Hilfe Sie die Wahrscheinlichkeit
berechnen, mit der diese Person wirklich an Schweinegrippe erkrankt ist.
GM_A1092 **** Lösungen 4 Seiten (GM_L1092)
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3. Mathematikschulaufgabe
Klasse 10 / (G8)
1.
Lösen Sie den Term durch Polynomdivision:
( 3x
2.
3
)
+ 4x 2 − 23x + 16 : ( x − 1)
1 3 4
x − x.
9
3
a) Zeigen Sie, dass dieser Graph punktsymmetrisch zum Ursprung U ( 0 0 ) ist.
Gegeben ist die Funktion f ( x ) =
1
b) Berechnen Sie die Schnittpunkte der Funktion mit der Geraden g ( x ) = − x .
3
c) Geben Sie den Funktionsterm h(x) an, welchen man erhält, wenn man f(x) an
der y - Achse spiegelt.
3.
a)
b)
c)
d)
e)
4.
1 − 2x
.
x
Geben Sie an von welcher Art diese Funktion und von welcher Art der Graph ist.
Geben Sie die Definitionsmenge an.
Berechnen Sie die Nullstelle(n) der Funktion.
Berechnen Sie die senkrechte und die waagrechte Asymptote.
Geben Sie die Grenzwerte der Funktion an.
Gegeben ist die Funktion f ( x ) =
Zwei Kontrolleure prüfen Handys auf ihre Funktionstüchtigkeit. Der Kontrolleur K1
prüft 55% und der Kontrolleur K2 prüft 45% der Handys.
Man weiß, dass beim Kontrolleur K1 ein fehlerhaftes Handy mit einer Wahrscheinlichkeit von 25% „durchrutscht“, beim Kontrolleur K2 hingegen nur mit einer
Wahrscheinlichkeit von 15%.
a) Zeichnen Sie ein Baumdiagramm.
b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit rutscht ein fehlerhaftes Handy durch ?
c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit wurde ein bei der Kontrolle nicht erkanntes
fehlerhaftes Handy vom Kontrolleur K2 geprüft ?
GM_A1093 **** Lösungen 4 Seiten (GM_L1093)
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3. Mathematikschulaufgabe
Klasse 10 / (G8)
1.
Führen Sie die Polynomdivision durch !
(x
2.
3
)
+ 2x 2 + x + 2 : ( x + 2 )
Lösen Sie die Gleichung und geben Sie die Lösungsmenge an !
2x 4 − 5x 2 − 12 = 0
3.
Es ist der Graph f gegeben, dessen Nullstellen alle ganzzahlig sind und dessen
Funktionsterm ein Term 5.Grades ist. Außerdem liegt der Punkt P ( − 2 − 1,92 ) auf
dem Graphen. Berechnen Sie den Funktionsterm des Graphen !
4.
5.
5x
.
x2 + 1
Finde heraus, ob diese Funktion ein bestimmtes Symmetrieverhalten zeigt.
Gegeben ist die Funktion f ( x ) =
Ein Korb mit insgesamt n1 = 8 Tennisbällen, enthält g1 = 3 gelbe Tennisbälle. Ein
zweiter Korb mit insgesamt n2 = 7 Tennisbällen, enthält g2 = 5 gelbe Tennisbälle und
ein dritter Korb mit insgesamt n3 = 10 Tennisbällen, enthält g3 = 5 gelbe Tennisbälle.
Jedoch werden die Tennisbälle der Körbe 1 und 2 in den Korb 3 gelegt und dessen
Inhalt wird vermischt. Danach wird „blind“ ein Ball gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Ball aus Korb 1 kommt, wenn er gelb ist ?
GM_A1094 **** Lösungen 3 Seiten (GM_L1094)
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3. Mathematikschulaufgabe
Klasse 10 / (G8)
1.
Gegeben ist der Funktionsterm der Funktion f ( x ) = x 3 − 6x 2 + 11x − 6 .
Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktion und geben sie den vollständig
faktorisierten Funktionsterm an!
2.
Verschieben Sie den Graphen f ( x ) = 2x um 2 Einheiten nach rechts und um
3 Einheiten nach unten.
Wie lautet der neue Funktionsterm ?
3.
Bestimmen Sie die Grenzwerte der Funktion f ( x ) = cos ( x ) !
4.
Bestimme mit Hilfe der angegebenen Informationen den Funktionsterm des Graphen:
Die Funktion f ist eine ganzrationale Funktion 3. Grades und hat die Nullstellen
x1 = − 2; x 2 = 1; x 3 = 3 . Der Graph schneidet die y - Achse im Punkt P(0 / 1,5).
5.
In einer Urne befinden sich 20 rote und 20 weiße Kugeln. Außerdem befinden sich in
einer zweiten Urne 15 rote und 25 weiße Kugeln. Danach wählt Markus mit verschlossenen Augen eine der Urnen und zieht, auch mit verschlossenen Augen, eine Kugel.
Die Kugel ist rot.
a) Zeichnen Sie ein Baumdiagramm.
b) Zeichnen Sie eine Vierfeldertafel.
c) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass Lucas rote Kugel aus der zweiten Urne
stammt ?
GM_A1095 **** Lösungen 4 Seiten (GM_L1095)
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3. Mathematikschulaufgabe
Klasse 10 / G8
Geben Sie alle wichtigen Zwischenschritte an, so dass Ihre Arbeit nachvollziehbar ist.
Wenn möglich, sind die Ergebnisse exakt angeben.
1.
Für welche Basis a ( a ∈ ℝ
+
) gilt:
log a
()
2
5
− 0,25
=1 ?
4
Der eTR ist nicht erlaubt.
2.
Bestimmen Sie die Lösungsmengen folgender Gleichungen
a) 16 x − 4 ⋅ 4 x = − 3
2
b) log 5 ( x + 2 )  − log 5 x = log 5  x ( x + 2 )  ; x > 0


3.
Ein neu auf den Markt gekommener HIV-Test zeigt bei 99,8% der infizierten Personen
ein positives Testergebnis. Allerdings reagiert der Test auch bei 0,5% der Gesunden
positiv. Man schätzt, dass von 1 Million Personen etwa 1.000 tatsächlich mit dem
HIV-Virus infiziert sind.
a) Erstellen Sie eine Vierfeldertafel mit folgenden Ereignissen:
HIV: Person ist mit HIV infiziert
POS: HIV-Test zeigt positives Testergebnis an
b) Berechnen Sie den Anteil der tatsächlich Infizierten unter allen Personen mit
einem positiven Testergebnis, sowie den Anteil der Gesunden in dieser Gruppe.
Erläutern Sie, was demnach ein positives Testergebnis darüber aussagt,
tatsächlich an HIV erkrankt zu sein.
4.
In einer Stadt mit 20.000 Einwohnern bricht an einer Stelle die Grippe aus.
Die Tabelle gibt die Anzahl der Erkrankten am Ende der n-ten Woche an:
Ende der n-ten Woche
1
2
Zahl der Erkrankten
30
89
3
4
264 783
5
6
2276
6490
a) Stellen Sie die Funktion auf: f: Zahl der Wochen ֏ Zahl der Erkrankten
aus den Werten der Wochen 1 und 2.
b) Berechnen Sie die Zahl der Erkrankten nach der 5. und nach der 6. Woche.
c) Vergleichen Sie Ihre berechneten Werte mit den Tabellenwerten.
Nennen Sie einen möglichen Grund für die Abweichungen ab der 5. Woche.
Welche Bedeutung hat dies für den Wachstumsfaktor a ?
d) Es gibt einen Notfallplan für eine Grippeepidemie. Er geht davon aus, dass
alle Maßnahmen zur Bewältigung der Epidemie vorbereitet wurden, wenn 5%
der Bevölkerung erkrankt sind. Berechnen Sie die Zeit, die dem Notfallteam zur
Vorbereitung bleibt.
GM_A1096 **** Lösungen 3 Seiten (GM_L1096)
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3. Mathematikschulaufgabe
Klasse 10 / G8
Geben Sie alle wichtigen Zwischenschritte an, so dass Ihre Arbeit nachvollziehbar ist.
Wenn möglich, sind die Ergebnisse exakt anzugeben.
1.
Lösen Sie nach x auf: log a x 2  log a x  2  0
2.
Es wird der radioaktive Zerfall einer Probe untersucht. Man schätzt, dass sie aus
4  1022 Atomen besteht, von denen pro Tag 8% zerfallen. Die Zerfallsprodukte sind
gasförmig und verlassen die Probe.
a) Stellen Sie die Zerfallsgleichung auf.
b) Berechnen Sie nun die Halbwertszeit (also die Zeit, innerhalb derer die Hälfte der
ursprünglich vorhandenen Atome zerfallen sind).
c) Bestimmen Sie die Zeit in Tagen, nach der nur noch 10% der ursprünglich
vorhandenen Atome nicht zerfallen sind.
3.
An einem großen Schachturnier in Moskau nehmen 180 Herren und 125 Damen teil.
Aus Moskau selbst stammen 65% der Herren und 28% der Damen (der Rest ist aus
anderen Städten angereist). Aus allen Teilnehmern und Teilnehmerinnen wird am
Ende des Turniers durch Los bestimmt, wer einen Sonderpreis erhält.
a) Stellen Sie die Situation durch eine geeignete Vierfeldertafel dar.
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Gewinner des Sonderpreises
aus der Stadt Moskau stammt ?
c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Herr den Sonderpreis gewinnt,
der nicht aus Moskau stammt ?
4.
Geben Sie die größtmögliche Definitionsmenge des Terms an.
Vereinfachen Sie ihn so weit wie möglich:
3x  6  6  3x  x 2 
x 3 3 x x9
5.
Bestimmen Sie den einfachsten
Funktionsterm zu nebenstehendem
Schaubild.
Es handelt sich um eine ganzrationale
Funktion.
Alle Nullstellen sind ganzzahlig.
x   2 ist eine mehrfache NST.
Der Punkt A   4  19,2  ist Element
des Graphen.
Zur Kontrolle überprüfen Sie den
ermittelten Funktionsterm an der
Stelle x   3 graphisch.
GM_A1097 **** Lösungen 2 Seiten (GM_L1097)
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3. Mathematikschulaufgabe
Klasse 10 / G8
1.
Geben Sie die Definitionsmenge an und berechnen Sie die Grenzwerte
lim f (x) sowie lim f (x) ; ( G = ¡ ).
x® + ¥
a)
2.
f (x) =
x® - ¥
- 5x 2 + 12x
2 - 6x
b)
g(x) =
8x 2
2x 2 + 5
c)
h(x) = sin x
Bestimmen Sie die Lösungsmenge ( G = ¡ ).
a) 32x + 3 - 4 × 3 x + 1 = - 1
b)
3.
27 × 34x = 91 - x
Gegeben sei die Funktion f (x) = - x 3 + 2x 2 + 5x - 6 ( G = ¡ ).
a) Berechnen Sie alle Nullstellen der Funktion. Geben Sie den Funktionsterm in
vollständig faktorisierter Form an.
b) Untersuchen Sie das Grenzwertverhalten für x ® + ¥ und x ® - ¥ .
c) Berechnen Sie f ( - 1) , f (0) und f (2) . Zeichnen Sie den Graph der Funktion
im Intervall - 2,5 £ x £ 3,5 .
d) Der Graph der Funktion g(x) = - x 3 + x 2 + 9x - 10 hat genau einen Punkt mit
dem Graphen von f (x) gemeinsam. Berechnen Sie dessen Koordinaten.
Entscheiden und begründen Sie, ob es sich dabei um einen Schnittpunkt oder
um einen Berührpunkt handelt.
4.
In einem verschmutzten Brunnenwasser vermehrten sich Cholera-Erreger so, dass
sich ihre Anzahl stündlich verfünffachte. Zu Beginn waren es etwa 800 Bakterien.
a) Finden Sie eine Funktion f (x) , welche die Gesamtzahl der Bakterien nach
x Stunden angibt und bestimmen Sie die Verdoppelungszeit der Erreger.
b) Nach wie viel Stunden entwickelten sich etwa 1 Million Erreger?
c) Geben Sie die Grenzwerte lim f (x) sowie lim f (x) an und begründen Sie,
x® + ¥
x® - ¥
warum die tatsächliche Entwicklung der Bakterien nicht diesen Grenzwerten
zustreben kann.
GM_A1098 **** Lösungen 3 Seiten (GM_L1098)
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