Mathematik für Biologen - Universität Düsseldorf

Mathematik für Biologen
Prof. Dr. Rüdiger W. Braun
http://blog.ruediger-braun.net
Heinrich-Heine-Universität Düsseldorf
14. Januar 2015
Binomialtests
1
Binomialtests
Allgemeines
Einseitiger unterer Binomialtest
Einseitiger oberer Binomialtest
Zweiseitiger Binomialtest
Binomialtests
Testverfahren: Fehler erster und zweiter Art
Ein Test besteht aus einer Vorschrift, die zu jedem möglichen Versuchsausgang
festlegt, ob die Nullhypothese H0 angenommen oder abgelehnt wird.
Dabei kann es zu zwei verschiedenen Fehlentscheidungen kommen:
H0 trifft zu
H1 trifft zu
H0 wird angenommen
richtige Entscheidung
Fehler 2. Art
H0 wird abgelehnt
Fehler 1. Art
richtige Entscheidung
Binomialtests
Signifikanztests
Für den Fall, dass H0 zutrifft, bezeichnet man die Wahrscheinlichkeit, dass H0
trotzdem abgelehnt wird, als Fehlerwahrscheinlichkeit erster Art
Ein Test heißt Signifikanztest zum Niveau α, wenn alle Fehlerwahrscheinlichkeiten
erster Art ≤ α sind
Das übliche Niveau ist 0.05
Für den Fall, dass H0 nicht zutrifft, bezeichnet man die Wahrscheinlichkeit,
dass H0 trotzdem nicht abgelehnt wird, als Fehlerwahrscheinlichkeit zweiter Art
Binomialtests
Ein- und zweiseitige Tests für Erfolgswahrscheinlichkeiten
Ein ja/nein-Experiment mit unbekannter Erfolgswahrscheinlichkeit p wird n-mal
wiederholt
Ziel: Aussage über p relativ zu einem Referenzwert p0
verschiedene Nullhypothesen sind denkbar
H0 : p ≥ p0 einseitiger unterer Test
H0 : p ≤ p0 einseitiger oberer Test
H0 : p = p 0
zweiseitiger Test
Die Nullhypothese H0 : p 6= p0 macht keinen Sinn
Binomialtests
Einseitiger unterer Binomialtest zum Niveau α
Gegeben sind unabhängige B(1, p)-verteilte Zufallsvariable X1 , . . . , Xn mit
unbekanntem p sowie ein Signifikanzniveau α
Verglichen werden soll mit einem Referenzwert p0
Getestet wird die Nullhypothese H0 = {p ≥ p0 } gegen die Alternative
H1 = {p < p0 }
Der Wert c ist so zu wählen, dass
c−1 X
n
· p0k · (1 − p0 )n−k ≤ α
k
k=0
c X
n
· p0k · (1 − p0 )n−k > α
k
k=0
c heißt kritischer Wert
Binomialtests
Einseitiger unterer Binomialtest zum Niveau α
Entscheidungsregel:
Die Nullhypothese wird abgelehnt, falls die Anzahl der Erfolge echt kleiner als c ist
Die Nullhypothese wird beibehalten, falls die Anzahl der Erfolge mindestens c ist
Binomialtests
Beispiel L-Bakterien
Letztes Mal war die Frage
Schädigt das Pestizid L-Bakterien mehr als R-Bakterien?
zum Signifikanzniveau α = 0.05 zu beantworten
In unbelastetem Boden waren 75% aller Bakterien L-Bakterien
Die Nullhypothese ist, dass der Anteil in belastetem Boden mindestens genauso
groß ist
Also H0 : p ≥ p0 für p0 = 0.75
Tabelle: kritischer Wert c = 16
Bei 15 oder weniger Erfolgen wird die Nullhypothese abgelehnt
Binomialtests
Tabelle der Werte
Pr
r
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
k=0 Bn, p (k)
p
0.
0.75
00001
00003
00016
00067
00245
00778
02162
05278
11325
21405
35729
52917
70105
84168
93340
97926
99577
99958
für n = 27
0.76
0.77
0.78
0.79
00002
00010
00042
00161
00538
01573
04031
09067
17927
31217
48050
65819
81165
91729
97305
99423
99939
00001
00006
00026
00103
00364
01119
03016
07126
14769
26889
43120
61232
77770
89806
96521
99219
99914
00001
00003
00015
00065
00240
00777
02208
05488
11951
22804
38195
56385
73973
87530
95540
98948
99878
00002
00009
00039
00153
00526
01577
04136
09483
19012
33350
51330
69777
84864
94322
98592
99828
Binomialtests
Einseitiger oberer Binomialtest zum Niveau α
Gegeben sind unabhängige B(1, p)-verteilte Zufallsvariable X1 , . . . , Xn mit
unbekanntem p sowie ein Signifikanzniveau α
Verglichen werden soll mit einem Referenzwert p0
Getestet wird die Nullhypothese H0 = {p ≤ p0 } gegen die Alternative
H1 = {p > p0 }
Der kritische Wert c ist so zu wählen, dass
c X
n
· p0k · (1 − p0 )n−k ≥ 1 − α
k
k=0
c−1 X
n
· p0k · (1 − p0 )n−k < 1 − α
k
k=0
Entscheidungsregel:
Die Nullhypothese wird abgelehnt, falls die Anzahl der Erfolge echt größer als c ist
Die Nullhypothese wird beibehalten, falls die Anzahl der Erfolge höchstens c ist
Binomialtests
Beispiel zum oberen Binomialtest
Zuchtlachsen wird Fischabfall und vegetarisches Futter zur Auswahl angboten
11% aller Lachse bevorzugen das Gemüse
Die Lachse werden stufenweise an vegetarische Kost gewöhnt
Die Frage
Bevorzugen sie das Gemüse nach der Umgewöhnung mit höherer
Wahrscheinlichkeit als vorher?
soll zum Signifikanzniveau α = 0.05 beantwortet werden
Einseitiger, oberer Binomialtest mit Nullhypothese H0 = {p ≤ 0.11}
Stichprobenumfang n = 38
Binomialtests
Tabelle der Werte
r
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
Pr
k=0 Bn, p (k)
p
0.
0.10
01825
09530
25367
46484
67014
82525
92005
96819
98893
99660
99908
99978
99995
99999
für n = 38
0.11
01193
06799
19616
38625
59183
76460
88205
94841
98020
99329
99798
99946
99987
99997
99999
0.12
00777
04802
14958
31576
51404
69790
83579
92175
96717
98782
99599
99882
99969
99993
99998
0.13
00503
03360
11259
25421
43938
62753
78216
88779
94895
97941
99261
99763
99932
99982
99996
99999
0.14
00324
02330
08372
20174
36986
55596
72258
84658
92480
96724
98728
99558
99862
99962
99990
99998
0.15
00208
01602
06154
15794
30680
48542
65879
79865
89428
95054
97933
99227
99740
99922
99979
99995
99999
Binomialtests
Beispiel Lachse, Fortsetzung
die Tabelle zeigt c = 8
die Nullhypothese wird abgelehnt, wenn die Zahl der Erfolge mindestens 9 beträgt
bei 8 oder weniger Erfolgen wird sie beibehalten
Binomialtests
Beispiel Lachs: Power des Tests
Was ist die Power des Tests, wenn tatsächlich nach der Umgewöhnungsphase 15%
der Lachse vegetarische Kost bevorzugen?
Die Power ist die Wahrscheinlichkeit, bei Vorliegen der Alternative die
Nullhypothese auch tatsächlich abzulehnen
Die Power hängt davon ab, wie kleine Abweichungen von der Nullhypothese man
entdecken will: kleine Abweichungen ⇒ kleine Power
H0 wird abgelehnt bei mindestens 9 Erfolgen
Im Beispiel p = 0.15
Also ist die Power gleich
38
X
k=9
B38,0.15 (k) = 1 −
8
X
B38,0.15 (k) = 1 − 0.89428 = 0.10572
k=0
Die Power beträgt nur ungefähr 10%
Binomialtests
B38, 0.15(k)
B38, 0.11(k)
Power, Fortsetzung
0.25
0.20
0.15
0.10
0.05
0.00
0
0.25
0.20
0.15
0.10
0.05
0.00
0
5
10
15
20
25
5
10
15
20
25
Rote Balken zeigen Fehlentscheidungen
k
Binomialtests
Zweiseitiger Binomialtest zum Niveau α
Gegeben sind unabhängige B(1, p)-verteilte Zufallsvariable X1 , . . . , Xn mit
unbekanntem p sowie ein Signifikanzniveau α
Verglichen werden soll mit einem Referenzwert p0
Getestet wird die Nullhypothese H0 = {p = p0 } gegen die Alternative
H1 = {p 6= p0 }
Idee: Man testet {p ≤ p0 } zum Signifikanzniveau
Signifikanzniveau α2
α
2
und dann {p ≥ p0 } zum
H0 wird abgelehnt, wenn einer der beiden Tests zur Ablehnung führt
Binomialtests
Zweiseitiger Binomialtest zum Niveau α
Die kritischen Werte c1 und c2 sind so zu wählen, dass
cX
1 −1 α
n
· p0k · (1 − p0 )n−k ≤
k
2
k=0
c1
X
α
n
· p0k · (1 − p0 )n−k >
k
2
k=0
c2 X
α
n
· p0k · (1 − p0 )n−k ≥ 1 −
k
2
k=0
cX
2 −1 α
n
· p0k · (1 − p0 )n−k < 1 −
k
2
k=0
Binomialtests
Entscheidungsregel:
Die Nullhypothese wird abgelehnt, wenn die Anzahl der Erfolge echt kleiner als c1
oder echt größer als c2 ist
Die Nullhypothese wird beibehalten, wenn die Anzahl der Erfolge c1 nicht unterund c2 nicht überschreitet
Binomialtests
Zweiseitiger Binomialtest, Beispiel
Bei 250 Würfen eines Würfels fiel 55 mal eine Sechs. Kann man zu 95% sicher
sein, dass der Würfel gezinkt ist?
Sei p die unbekannte Wahrscheinlichkeit des Würfels für eine Sechs
Zweiseitiger Binomialtest mit
Nullhypothese: H0 = p = 61
Alternative: H1 = p 6= 16
Signifikanzniveau ist α = 0.05
Binomialtests
Tabelle von
Pn
k=0 B250, 1/6 (k)
r
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
p
0.
1
6
00005
00011
00024
00050
00100
00189
00343
00598
01005
01628
02546
03849
05632
07989
10997
14709
19143
24273
30023
36275
r
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
p
0.
1
6
42870
49627
56351
62856
68977
74581
79576
83912
87579
90603
93034
94941
96400
97491
98286
98853
99248
99517
99696
99812
Binomialtests
Beispiel, Fortsetzung
c1 = 30 und c2 = 54
Die Nullhypothese kann zum Niveau α = 0.05 abgelehnt werden, wenn
höchstens 29 oder mindestens 55 Sechsen fallen
Bei 55 Sechsen kann die Nullhypothese also abgelehnt werden
Wir können mit 95% Sicherheit sagen, dass der Würfel gezinkt ist
Binomialtests
B250,1/6(k)
Beispiel, Fortsetzung
0.07
0.06
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
0.00
0
20
Rote Balken zeigen Fehlentscheidungen
40
k
60
80