Folien zur 9. Vorlesung

Experimentalphysik III
Experimentelle Grundlagen der Quantenphysik
Frank Cichos
Vorlesung 9
Linienspektren - Balmer Serie
1.5.3. Bohr‘s model
Emission spectrum of a hydrogen atom
Balmer‘s formula
m2
" = 364.6nm 2
m #4
Brackett
Pfund
!
more common form:
Rydberg - Ritz formula (1908)
= Ry
1
m2
1
n2
Balmer
n=1
n=2
n=3
n=4
⇥
n, m are principle numbers
n defines the series
Lyman
wavelength
Lyman
Balmer
Paschen
Brackett
excitation energy in eV
Paschen
Bohrsches Atommodell
1.5.3. Bohr‘s model
Nils Bohr (1913)
• electron is in circular orbit around positive charge
electron
Coulomb
centrifugal
v
Ze2
r=
4⇥ µv 2
in principle any radius is allowed
proton
• Bohr‘s hypothesis
• angular momentum is quantized
|L| = µrv = n
• orbits are stable, no radiation
(we‘ll see later that this corresponds to the idea of a standing
electron wave and to de Broglie‘s idea)
Bohrsches Atommodell
1.5.3. Bohr‘s model
summary of Bohrs model of the hydrogen atom
• electron moves on circles around the nucleus with quantized radii
n2
rn = 2 a0
Z
with
a0 =
0h
2
⇥µe2
• radii increase quadratically with n
• possible values are inversely proportional to Ze,
He+ is smaller than H
• each state has a well defined total energy (approaches 0 for r"!)
energies are negative, since bound
En =
Z2
Ry 2
n
Epot = +2En
Ekin =
En
• the energy E1 is needed to ionize the atom
• by absorption of h#, the atom can be excited from Ei to Ek
Bohrsches Atommodell
Schwächen
1.5.3. Bohr‘s model
weaknesses of Bohr‘s model
• accelerated charges do radiate light
this means they lose energy and will finally
crash into the positive charge, not
compatible with classical electrodynamics
• lowest orbit has |L|=$ but experimentally
one observes |L|=0
• orbital momentum is actually
|L| =
l(l + 1)
• Zeeman effect, fine structure, hyperfine
structure (but we do not know about this, yet)
Franck Hertz Versuch (1911-1914)
1.5.3. Bohr‘s model
Franck-Hertz experiment
electrons loose energy in collisions
e (Ekin ) + Hg ⇥ Hg ⇥ (Ea ) + e (Ekin
• atoms can acquire only discrete
energy quanta
• the magnitude depends on the
specific atom
Ea )
electron current as function of the
acc. voltage for mercury vapor
Franck-Hertz Versuch
Bessere Auflösung
Linienspektren
1.5.3. Bohr‘s model
atomic spectra (1859/1885, Balmer, Kirchhoff, Bunsen)
• elements emit light of certain frequencies only
• each element has a characteristic emission and absorption spectrum
• spectral lines are not completely narrow
emission spectrum of magnesium
emission spectrum of silicon
Bohr Sommerfeld Modell
n … Hauptquantenzahl
l … Drehimpulsquantenzahl
2. Einführung in die Quantenmechanik
2.1. Die Schrödingergleichung
2.2. Anwendungen der Schrödingergleichung
Potentialstufe
ur dort von null
edingung
genauer zu deWellen (4.11)
Ep(x)
D ⋅ eikx
Ekin > E0
E0
A ⋅ eikx
Ep = E 0
B ⋅ e−ikx
Ekin < E0
I
II
0
x
Abb. 4.3. Eindimensionale Potentialbarriere
Grenzfläche Vakuum-Materie (z. B. eine Glasoberflä-
Potentialstufe
4.2. Anwendungsbeispiele der stationären Schrödingergleichung
enzierbar sein, weil sonst die zweite
x 2 nicht definiert und damit die
ng nicht anwendbar wäre. Dies erd (4.14) die Randbedingungen für
(x = 0)
+ B = C+ D,
"
ψII
x 0
(A − B) = α (C − D) .
E0−Ekin
e
(4.15a)
(4.15b)
nun die beiden Fälle, dass die Enerinlaufenden Teilchens kleiner oder
ntialstufe ist (Abb. 4.3):
– αx
E0
A
B
Ekin
128
127
A =B
x
0
4.Abb.
Grundlagen
der Quantenmechanik
4.4. Wellenfunktion
ψ(x) bei vollständiger Reflexion
der einlaufenden Welle für E kin < E 0 trotz Eindringens in das
Gebiet mit
2π
2π E 0 > E kin
λ=
λ' =
k
k'
Die Wahrscheinlichkeit W(x), ein Teilchen am Ort
x > 0 zu finden, ist
2
#
#
4k
2 −2α x
|A|
W(x) = |ψII | 2 = # D · e−α x # 2 = 2
e
2
2
2
α
+
k
v⋅ A
v'⋅ D
2
4k
2 −2α x
,
(4.19)
E > E0 = 2 |A| e
E0
k0
2
v⋅B
α reell, und der Koeffizient C in wobei k 2 = 2m E /!2 ist. Nach einer Strecke x =
0
0
in, weil sonst ψII (x) für x → +∞ 1/(2α) ist
die Eindringwahrscheinlichkeit auf 1/ex
d damit nicht mehr normierbar. Aus ihres Wertes bei x = 0 abgesunken.
0
dann
Abb. Dies
4.5. Transmission
Reflexion
für E >wohlvertraut.
E0
ist uns ausundder
Wellenoptik
in das Reflexionsvermögen
$
$
$ n 1 − n 2 $2
$
R = $$
n1 + n2 $
einer Lichtwelle umformen, die
fläche zwischen zwei Medien m
trifft (siehe Bd. 2, Abschn. 8.4.4
Um den Bruchteil aller pro
tierten Teilchen (d. h. die Zah
durch die Fläche x = x 0 > 0 g
teilt durch die pro Zeiteinhe
rgie auf E kin = E − E 0
ieht das im Wellenmob) ist nun rein imaginär,
le Größe
nis der Wellenzahlen bestimmt. Deshalb wird der
Transmissionskoeffizient
v′ |D|2
4k · k ′
T=
=
.
2
′
2
v|A|
(k + k )
Reflexion an einer Potentialstufe
(4.20)
(4.24b)
ebiet II heißen dann:
(4.21)
R 1
R
ie −x-Richtung fließen,
ik′ x
lten ψII = D · e . Aus
olgt:
2k
A
′
k+k
on
#
· e−ikx ,
0,8
(4.22)
1,0
0,6
0,4
0,5
0,2
(4.23)
d. h. der Bruchteil aldann analog zur Optik
4.4)
–40
a)
(4.24a)
–30
–20
E 0/ E
0,5
0
b)
–10
E 0/ E
0
0
0
1
Energie E pot (x) = E 0 ist.
Das gesamte x-Gebiet wird nun in drei Bereiche I,
II und III aufgeteilt, für die wir, aus den Überlegungen
des vorigen Abschnitts, die Wellenfunktionen
Tunneleffekt
ψI = A eikx + B e−ikx ,
ψII = C eα x + D e−α x ,
ψIII = A′ eikx
λ=
(4.25)
2π
k
λ=
E0
a
I
II
0
2π
k
III
a
x
Abb. 4.7. Zum Tunneleffekt durch eine rechteckige Potentialbarriere
16E
T ≈ 2 (E
E0
Die Transmissio
durch sie darge
albarriere hängt
rierehöhe E 0 , v
Differenz ∆E =
Im klassisch
riere für E < E
Durchdringung
mechanischen B
weil die Teilch
diagramm auf
Tunnel den Pot
Potentialbarriere
E pot (x) haben (
spielen jedoch d
sie einfacher zu
und Transmissiosvermögen T als Funktion des Verhältnisses E/E 0 dargestellt für den speziellen Fall einer
rechteckigen
Barriere
mit der Breite a = 3λD (E 0 ), die
Tunneln
durch eine
Potentialbarriere
1,0
R und T
T
ferenzersch
den beiden
tierten Ant
von de Bro
Teilchens o
riere ab. Mi
aus (4.27c)
⇒ λ′ = 2a/
1
0,5
E − E0
R
E20
(E −E0 ) + 4 ⋅E
0
0
1
5
10 E / E 0
0
Teilchens oberhalb der Barriere
zur Dicke a der Bar√
riere ab. Mit k ′ = 2π/λ′ = 2m(E − E 0 )/! erhält man
aus (4.27c) Maxima der Transmission für k ′ · a = n · π
Streuung
an
einer
Potentialbarriere
′
⇒ λ = 2a/n (Abb. 4.10). Dann ist der Wegunterschied
T
1
E − E0
E20
(E −E0 ) + 4 ⋅E
E/E0
nsverBreite
sener-
0
0,5
1
a/λ'
Abb. 4.10. Transmissionsvermögen T als Funktion des Verhältnisses a/λ′ von Potentialbarrierenbreite a und de Broglie′
s Tunneleffektes ist das Tunnelmikroskop.
Abstand
G. Binnig
H. Rohrer
kroskop
rekten Anwendungen des Tunneleffektes ist das Tunnelmikroskop.
1986
durch Vakuum
itze und leitender Fläche
Prinzipieller Aufbau eines STM
s Tunnelstroms auf den Abstand
(scanning tunneling microscope)
brasterung einer Probe
G.Leiden
Binnig Univ.] H. Rohrer
[Interf. Phys. Group,
STM
scope)
en Univ.]
Energiebänder für Spitze und Pr
(rechts) angelegter Spannung [In
Univ.]
Energiebänder für Spitze und Probe ohne (links) und mit
(rechts) angelegter Spannung [Interf. Phys. Group, Leiden
Univ.]
Bei einem typischen Wert von V=4eV folgt eine
Erhöhung des Tunnelstroms um einen Faktor 1000
bei einer Abstandsänderung von nur 0.3 nm! Dies
macht STM so empfindlich!
Strom-Abstands-Kennlinie
STM erfordert eine genaue Positionierung
der STM-Spitze (Å-Präzision). Zu diesem
Zweck werden piezoelektische Elemente
eingesetzt.
Feedback-Loop im STM
Piezoelektrika: Prinzip und 3D-Scanner
[alle Bilder: Interf. Phys. Group, Leiden Univ.]
2
Scanning
Tunnelin
Microscopy
(STM)
Bilder
Beispiel einiger STM Bilder:
Atomic Corral [IBM Gallery]
Linescan und Bild von Graphit
[Interf. Phys. Group, Leiden Univ.]
243
2.4.2. Der -Zerfall
Beim -Zerfalls ergibt sich das Gesamtpotential aus der sehr kurzreichweitigen
Tunneln
beim α-Zerfall
attraktiven Kernkraft und der repulsiven Coulombkraft zwischen den positiv geladenen
-Teilchen, d.h He-Kernen (Rutherford 1908).
E
VCoulomb
r
starke
Kernkraft
Tunneleffekt
0
2.4.2. Der -Zerfall
Atomkern
Ladung
Ze
r
VKern ergibt sich das Gesamtpotential aus der sehr kurzreichweitigen
Beim -Zerfalls
Vtot Coulombkraft zwischen den positiv geladenen
attraktiven Kernkraft und der repulsiven
-Teilchen, d.h He-Kernen (Rutherford 1908).
E
VCoulomb
r
starke
Kernkraft
Tunneleffekt
Atomkern
Ladung
Ze