Mathematik IV (HAK)

Prof. Dipl.-Ing. Edgar Neuherz
4
MATHEMATIK
Mathematik und angewandte Mathematik
HAK
lizensiert für:
DI Edgar Neuherz
Arbeitsblätter
Mathematik 4
(2013-05-23 0:22)
Schuljahr 2012/13
Verantwortlich für den Inhalt
Dipl.-Ing. Edgar Neuherz
Graz, 2013
Wir weisen darauf hin, dass das Kopieren zum Schulgebrauch verboten ist - § 42 Absatz(6) der
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„Die Befugnis zur Vervielfältigung zum eigenen Schulgebrauch gilt nicht für Werke, die ihrer
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ISBN
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hak.neo-lernhilfen.at
E-Mail an [email protected]
Inhaltsverzeichnis
IV. Analysis
1
1. Grundbegriffe der Differentialrechnung
1.1. Differenzenquotient und Differentialquotient . . . . . .
1.1.1. Einführendes Beispiel . . . . . . . . . . . . .
1.2. Differenzenquotienten . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1. Differenzenquotienten als Sekantensteigung . .
1.2.2. Vorzeichen Differenzenquotienten . . . . . . .
1.3. Differentialquotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1. Differenzialquotient als Tangentensteigung . .
1.3.2. Neigungswinkel einer Tangente . . . . . . . .
1.4. Ableitungsregeln für Polynomfunktionen . . . . . . .
1.4.1. Ableitung einer konstanten Funktion (c ∈ R) .
1.4.2. Potenzregel für natürliche Exponenten (n ∈ N∗ )
1.4.3. Regel vom konstanten Faktor (c = konstant) . .
1.4.4. Summenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.5. Allgemeine Summenregel . . . . . . . . . . .
1.5. Höhere Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
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2. Untersuchung von Polynomfunktionen
2.1. Monotonie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1. Monotonie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2. Umgebung U der Stelle p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Extremstellen von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1. Extremstellen von f in M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2. Lokale Extremstellen von f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.3. Globale Extremstellen von f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3. Funktionsverlauf und erste Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1. Einführendes Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2. Monotoniesatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.3. Notwendige und hinreichende Bedingungen für lokale Extremstellen
2.3.4. Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4. Untersuchung mit Hilfe höherer Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1. Krümmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.2. Eine weitere hinreichende Bedingung für lokale Extremstellen . . . .
2.4.3. Symmetrie von Polynomfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.4. Verhalten einer Funktion fur x → ±∞ . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.5. Tyische Formen der Graphen von Polynomfunktionen . . . . . . . .
2.5. Vermischte Aufgaben zur Untersuchung von Polynomfunktionen . . . . . . .
2.6. Aufsuchen von Polynomfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.1. Umkehraufgabe zur Untersuchung von Polynomfunktionen . . . . . .
2.6.2. Herleitung der Bedingungen (Gleichungssystem) . . . . . . . . . . .
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4
6
6
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9
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21
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21
21
21
22
23
23
23
i
2.7. Extremwertaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7.1. Einführendes Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7.2. Vorgehen bei der Lösung einer Extremwertaufgabe . . .
2.7.3. Vereinfachen durch Weglassen eines konstanten Faktors
2.7.4. Vereinfachen der Zielfunktion durch Quadrieren . . . .
2.7.5. Extremstellen am Rand eines Intervalls . . . . . . . . .
2.7.6. Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3. Untersuchung weiterer Funktionen
29
3.1. Summen- und Faktorregel . . . . . . . . . . . .
3.1.1. Summenregel . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2. Faktorregel . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2. Produktregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3. Quotientenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4. Untersuchung rationaler Funktionen . . . . . . .
3.4.1. Definition . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.2. Polstelle . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5. Ableitung elementarer Funktionen . . . . . . . .
3.5.1. Ableitung von Exponentialfunktionen . .
3.5.2. Ableitung der Sinus- und Cosinusfunktion
3.5.3. Ableitung der Quadratwurzelfunktion . .
3.6. Die Kettenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.1. Einleitendes Beispiel . . . . . . . . . . .
3.6.2. Ableitung einer Verkettung . . . . . . . .
3.7. Ableitung von Umkehrfunktionen . . . . . . . .
3.7.1. Umkehrregel . . . . . . . . . . . . . . .
3.7.2. Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4. Kosten- und Preistheorie
4.1. Bezeichnungen . . . . . . . . . . . . . . .
4.2. Preistheorie . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1. Angebotsfunktion . . . . . . . . . .
4.2.2. Nachfragefunktion . . . . . . . . .
4.2.3. Marktpreis . . . . . . . . . . . . .
4.3. Erlös . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.1. Erlösfunktion . . . . . . . . . . . .
4.3.2. Verlauf der Erlösfunktion . . . . . .
4.3.3. Erlösmaximierung . . . . . . . . .
4.4. Kostenrechnung . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.1. Bezeichnungen . . . . . . . . . . .
4.4.2. Gesamtkosten . . . . . . . . . . . .
4.4.3. Stückkosten (Durchschnittskosten) .
4.4.4. Variable Kosten . . . . . . . . . . .
4.4.5. Variable Stückkosten . . . . . . . .
4.5. Gewinnmaximierung . . . . . . . . . . . .
4.5.1. Gewinnmaximierung . . . . . . . .
4.5.2. Deckungsbeitragmaximierung . . .
24
24
26
27
27
27
27
30
30
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5. Grundbegriffe der Integralrechnung
5.1. Stammfunktion und unbestimmtes Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.1. Einführendes Beispiel I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ii
34
34
34
35
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36
36
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36
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39
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40
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42
42
43
44
44
5.2. Unter-, Ober- und Zwischensummen . . . . . . .
5.2.1. Untersummen . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.2. Obersummen . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.3. Zwischensummen . . . . . . . . . . . .
5.3. Flächeninhalt und bestimmtes Integral . . . . . .
5.3.1. Flächeninhalt . . . . . . . . . . . . . . .
5.4. Berechnung von Integralen mit Stammfunktionen
5.5. Flächen- und Volumsberechnungen . . . . . . . .
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Teil IV.
Analysis
1. Grundbegriffe der Differentialrechnung
Die Schülerinnen und Schüler ...
können den Differenzenquotient (die mittlere Änderungsrate) erklären und interpretieren
können den Differentialquotient (die Änderungsrate) erklären und interpretieren
kennen die Leibniz’sche Schreibweise für den Differenzen- und Differentialquotient
können die Begriffe Tangente und Sekante erklären
können den Begriff der Tangente als Grenzlage von Sekanten erklären
können Steigungen in Funktionsgraphen interpretieren
kennen die Ableitungsregeln für Polynomfunktionen und können diese auch anwenden
können höhere Ableitungen für Polynomfunktionen berechnen
Seite:
MAM
Mathematik und angewandte Mathematik
IV. Finanzmathematik
Datum:
–4–
2013-05-23
1.1. Differenzenquotient und Differentialquotient
Beispiel
1.1.1. Einführendes Beispiel
Beispiel 1.1: Einführendes Beispiel I
Beim Bungee-Jumping befindet sich der Springer im freien Fall (Luftwiderstand vernachlässigt). Für den Weg s(t), den ein Körper beim
freien Fall zurücklegt, gilt näherungsweise s(t) = 5t 2 (t in Sekunden,
s in Meter).
a
Berechne die mittlere Geschwindigkeit des Springers im Zeitintervall [1; 4]!
b
Gib eine Formel für die mittlere Geschwindigkeit des Springers
im Zeitintervall [t; z] an!
c
Wie groß ist die Geschwindigkeit des Springers zum Zeitpunkt 3?
Beispiel
DI Edgar Neuherz
a
BHAK/BHAS Liezen 8940 Liezen
Differenzen- und Differentialquotient
Mittlere Geschwindigkeit im Zeitintervall [1; 4]!
s
[m]
125
s(t) = 5t 2
100
75
50
25
5
0
DI Edgar Neuherz
!
1
2
3
BHAK/BHAS Liezen 8940 Liezen
4
t
5 [sec]
Differenzen- und Differentialquotient
im Zeitintervall [t1; t2] berechnet man mit
Die
s(t2 ) − s(t1 )
v(t1; t2) =
t2 − t1
Dipl.-Ing. Edgar Neuherz | E-Mail: [email protected]
Wer etwas will, findet Möglichkeiten - Wer etwas nicht will, findet Gründe.
Seite:
Mathematik und angewandte Mathematik
MAM
Beispiel
b
IV. Finanzmathematik
Datum:
–5–
2013-05-23
Gib eine Formel für die mittlere Geschwindigkeit des Springers
im Zeitintervall [t; z] an!
s
[m]
125
s(t) = 5t 2
100
75
50
25
5
0
DI Edgar Neuherz
1
2
3
BHAK/BHAS Liezen 8940 Liezen
4
t
5 [sec]
Differenzen- und Differentialquotient
Beispiel
c
Wie groß ist die Geschwindigkeit des Springers zum Zeitpunkt 3?
s
[m]
s(t) = 5t 2
125
100
75
50
25
5
0
DI Edgar Neuherz
1
BHAK/BHAS Liezen 8940 Liezen
2
3
4
t
5 [sec]
Differenzen- und Differentialquotient
zum Zeitpunkt t0 berechnet man mit
Die
v(t) = lim v(t; z) = lim
z→t
Diese wird auch als
z→t
s(z) − s(t)
z−t
zum Zeitpunkt t0 bezeichnet.
Dipl.-Ing. Edgar Neuherz | E-Mail: [email protected]
Wer etwas will, findet Möglichkeiten - Wer etwas nicht will, findet Gründe.
!
Seite:
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Mathematik und angewandte Mathematik
Datum:
IV. Finanzmathematik
–6–
2013-05-23
1.2. Differenzenquotienten
1.2.1. Differenzenquotienten als Sekantensteigung
!
Es sei f :A → R eine reelle Funktion und [a; b] ⊆ A. Die Zahl
f(b)−f(a)
b−a
heißt
von f in [a; b]
oder
Di↵erenzenquotient
Lineare Funktion
f (x)
x
a
DI Edgar Neuherz
!
Der
b
BHAK/BHAS Liezen 8940 Liezen
einer
ist in jedem Intervall [a; b] gleich der
Dipl.-Ing. Edgar Neuherz | E-Mail: [email protected]
Wer etwas will, findet Möglichkeiten - Wer etwas nicht will, findet Gründe.
Di↵erenzenquotient
mit f(x) = k · x + d
Seite:
MAM
Di↵erenzenquotient
Mathematik und angewandte Mathematik
IV. Finanzmathematik
Datum:
–7–
2013-05-23
Funktion (allgemein)
f (x)
x
a
DI Edgar Neuherz
Der
b
BHAK/BHAS Liezen 8940 Liezen
einer
Di↵erenzenquotient
im Intervall [a; b] ist gleich der
von f in [a; b] .
Ist die Funktion nicht linear in [a; b], so nennen wir die lineare Funktion s mit s(a) = f(a) und
s(b) = f(b) die Sekantenfunktion von f in [a; b]. Die Steigung k der Sekantenfunktion bezeichnet man auch als mittlere Steigung von f in [a; b].
Im Intervall [a; b] kann die Steigung der Funktion f an manchen Stellen kleiner als die Steigung
der Sekantenfunktion s, an anderen Stellen größer sein. Im Mittel hat f jedoch im Intervall die
Steigung k der Sekantenfunktion.
Dipl.-Ing. Edgar Neuherz | E-Mail: [email protected]
Wer etwas will, findet Möglichkeiten - Wer etwas nicht will, findet Gründe.
!
Seite:
IV. Finanzmathematik
Datum:
1.2.2. Vorzeichen Differenzenquotienten
f steigt im Mittel in [a; b]
f (x)
f (b) − f (a) > 0
f (b)
f (a)
b−a
x
a
b
f fällt im Mittel in [a; b]
f (x)
b−a
f (a)
f (b) − f (a) < 0
MAM
Mathematik und angewandte Mathematik
f (b)
x
a
b
f bleibt im Mittel in [a; b] gleich
f (x)
f (a)
b−a
f (b)
x
a
b
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–8–
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Differenzenquotient
1.3. Differentialquotient
DI Edgar Neuherz
BHAK/BHAS Liezen 8940 Liezen
Differentialquotient
Es sei f :A → R eine reelle Funktion und [a; b] ⊆ A. Der Grenzwert
!
f(z) − f(x)
f 0 (x) = lim
z→x
z−x
heißt
f an der Stelle x.
von f an der Stelle x oder
Der
einer
von
mit f(x) = k · x + d
!
bestimm-
!
ist an jeder Stelle x gleich der
1.3.1. Differenzialquotient als Tangentensteigung
Eine
ist eine Gerade, die eine gegebene Kurve in
ten Punkt berührt. Die Tangente ist die beste lineare Annäherung für eine Kurve.
Eine
Kurve geht.
ist eine Gerade, die durch
verschiedene Punkte einer
Eine
ist eine Gerade, die einen gegebenen Kreis in
gen Punkt berührt bzw. schneidet.
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einzi-
!
!
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1.3.2. Neigungswinkel einer Tangente
Wir betrachten eine Funktion f im Intervall [x; z]:
Es sei f eine reelle Funktion und f 0 (x) ihr Differentialquotient an der Stelle x. Die
Gerade druch den Punkt X = (x|f(x)) mit der Steigung f 0 (x) bezeichnet man als
X. Die Steigung f 0 (x) heißt auch
an den Graphen von f
f
x.
Sekante
Tangente
f (x)
f (x)
f (z)
f (z)
f (z) − f (x)
!
f (x)
lim
f (x)
z−x
f (z)− f (x)
z−x
x
x
x
z
x
Steigung der Sekante
kS =
z
Steigung der Grenzgerade (Tangente)
f(z) − f(x)
z−x
f(z) − f(x)
z→x
z−x
f 0(x) = lim
Steigungswinkel der Sekante
Steigungswinkel der Tangente
f (x)
f (x)
f (z)
f (z)
α
f (x)
α
f (x)
x
x
tan α = kS
z
x
x
z
tan α = f 0(x)
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1.4. Ableitungsregeln für Polynomfunktionen
Die Funktion f 0 : x 7→ f 0 (x) nennt man
oder kurz
. Das Berechnen der Ableitungsfunktion nennt man
oder
.
1.4.1. Ableitung einer konstanten Funktion (c ∈ R)
f (x) = c
⇒ f 0(x) = 0
1.4.2. Potenzregel für natürliche Exponenten (n ∈ N∗ )
f (x) = xn
⇒ f 0(x) = n · xn−1
1.4.3. Regel vom konstanten Faktor (c = konstant)
Ein konstanter Faktor bleibt beim Differenzieren erhalten.
f (x) = c · g(x)
⇒ f 0(x) = c · g0(x)
1.4.4. Summenregel
Eine Summe darf gliedweise differenziert werden.
f (x) = g(x) + h(x)
⇒ f 0(x) = g0(x) + h0(x)
1.4.5. Allgemeine Summenregel
Die Summenregel gilt auch für mehr als zwei Summanden.
f (x) = f1(x) + f2(x) + . . . + fn(x)
⇒ f 0(x) = f10(x) + f20(x) + . . . + fn0(x)
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!
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1.5. Höhere Ableitungen
!
Es sei f eine reelle Funktion. Man bezeichnet:
f 0 als
von f
f 00 als
von f mit f 00 = (f 0 )0
f 000 als
von f mit f 000 = (f 00 )0
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2. Untersuchung von Polynomfunktionen
Die Schülerinnen und Schüler ...
kennen ...
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2.1. Monotonie
2.1.1. Monotonie
Es sei f : A → R eine reelle Funktion und M eine Teilmenge von A d.h. M ⊆ A . Die Funktion
f heißt
Streng monoton steigend in M
Streng Monoton fallend in M
f (x)
f (x)
f (x1 )
f (x2 )
f (x2 )
f (x1 )
x
x1
x
x2
x1
wenn für alle x1 , x2 ∈ M
und x1 < x2 gilt:
x2
wenn für alle x1 , x2 ∈ M
und x1 < x2 gilt:
f (x1) < f (x2)
f (x1) > f (x2)
Monoton steigend in M
Monoton fallend in M
wenn für alle x1 , x2 ∈ M
und x1 < x2 gilt:
wenn für alle x1 , x2 ∈ M
und x1 < x2 gilt:
f (x1) ≤ f (x2)
f (x1) ≥ f (x2)
2.1.2. Umgebung U der Stelle p
U(p)
x
p
!
Unter
ein
einer
U(p) der Stelle
p verstehen wir
dabei
, welches p als innere Stelle enthält. p ist
des Intervalls.
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2.2. Extremstellen von Funktionen
2.2.1. Extremstellen von f in M
Es sei f : A → R eine reelle Funktion und M eine Teilmenge von A d.h. M ⊆ A . Eine Stelle
p ∈ M heißt
Minimumstelle von f in M
Maximumstelle von f in M
f (x)
f (x)
f (b)
f (b)
f (a)
f (a)
M⊆A
M⊆A
x
a
x
b
a
wenn für alle x ∈ M gilt:
b
wenn für alle x ∈ M gilt:
2.2.2. Lokale Extremstellen von f
Es sei f : A → R eine reelle Funktion . Eine Stelle p ∈ A heißt
Lokale Maximumstelle von f
Lokale Minimumstelle von f
f (x)
f (x)
U(p)
U(p)
x
p
p
x
wenn es eine Umgebung U(p) ⊆ A gibt, sodass wenn es eine Umgebung U(p) ⊆ A gibt, sodass
p Minimumstelle von f in U(p) ist,
p Maximumstelle von f in U(p) ist,
d.h. wenn für alle x ∈ U gilt:
d.h. wenn für alle x ∈ U gilt:
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2.2.3. Globale Extremstellen von f
Es sei f : A → R eine reelle Funktion . Eine Stelle p ∈ A heißt
Globale Minimumstelle von f
Globale Maximumstelle von f
f (x)
f (x)
gesamter Defintionsbereich
p
gesamter Defintionsbereich
x
p
x
wenn p Minimumstelle von f im gesamten wenn p Maximumstelle von f im gesamten
Definitionsbereich A ist,
Definitionsbereich A ist,
d.h. wenn für alle x ∈ A gilt:
d.h. wenn für alle x ∈ A gilt:
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2.3. Funktionsverlauf und erste Ableitung
Differenzenquotient
Beispiel
2.3.1. Einführendes Beispiel
Beispiel 7.1: Einführendes Beispiel
Es ist eine Polynomfunktion f wie folgt dargestellt und es sind einige
Tangenten eingezeichnet. Untersuche ob zwischen Tangentensteigung
und dem Funktionsverlauf f ein Zusammenhang besteht
a
im Intervall [a; b]
b
im Intervall [b; c]
c
an der Stelle b
d
an der Stelle d
a
Differenzenquotient
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b
c
d
Beispiel
Funktionsverlauf und erste Ableitung
BHAK/BHAS Liezen 8940 Liezen
a im Intervall [a; b]
a
DI Edgar Neuherz
b
BHAK/BHAS Liezen 8940 Liezen
c
d
Funktionsverlauf und erste Ableitung
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Beispiel
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b im Intervall [b; c]
a
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b
c
d
BHAK/BHAS Liezen 8940 Liezen
Funktionsverlauf und erste Ableitung
2.3.2. Monotoniesatz
!
Sei f : A → R eine Polynomfunktion und I ⊆ A ein Intervall. Dann gilt:
für alle innere Stellen x ∈ I ⇒ f streng monoton
Differenzenquotient
für alle innere Stellen x ∈ I ⇒ f streng monotonBeispiel
in I
in I
c an der Stelle b
a
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b
c
d
BHAK/BHAS Liezen 8940 Liezen
Funktionsverlauf und erste Ableitung
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Beispiel
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d an der Stelle d
a
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b
BHAK/BHAS Liezen 8940 Liezen
c
d
Funktionsverlauf und erste Ableitung
2.3.3. Notwendige und hinreichende Bedingungen für lokale Extremstellen
Im Beispiel stellten wir fest, dass an jeder lokalen Extremstelle p von f die Tangente parallel zur
1. Achse (x-Achse) und somit f 0 (p) = 0 sein muss.
!
Ist p eine lokale Extremstelle einer Polynomfunktion f, dann ist
f 0 (p)
= 0.
Anderseit gilt für die Stelle d zwar auch f 0 (p) = 0, trotzdem ist d keine lokale Extremstelle von
f. Diese Bedingung ist zwar notwendig aber noch nicht hinreichend. Ob eine Stelle tatsächlich
eine lokale Extremstelle von f ist kann durch das Monotonieverhalten in seiner Umgebung festgestellt werden.
!
Ändert eine Polynomfunktion f an der Stelle p das Monotonieverhalten, dann ist p eine
lokale Extremstelle von f .
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2.3.4. Aufgaben
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2.4. Untersuchung von Polynomfunktionen mit Hilfe höherer
Ableitungen
2.4.1. Krümmung
2.4.2. Eine weitere hinreichende Bedingung für lokale Extremstellen
2.4.3. Symmetrie von Polynomfunktionen
2.4.4. Verhalten einer Funktion fur x → ±∞
2.4.5. Tyische Formen der Graphen von Polynomfunktionen
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2.5. Vermischte Aufgaben zur Untersuchung von Polynomfunktionen
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2.6. Aufsuchen von Polynomfunktionen
2.6.1. Umkehraufgabe zur Untersuchung von Polynomfunktionen
2.6.2. Herleitung der Bedingungen (Gleichungssystem)
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2.7. Extremwertaufgaben
Einführendes Beispiel
Beispiel
2.7.1. Einführendes Beispiel
Beispiel 10.1: Einführendes Beispiel
Welches Rechteck vom Umfang 100 hat den größten Flächeninhalt?
a
Skizzieren des Problems
b
Lösen durch Probieren
c
Ist exakte Berechnung der Lösung möglich?
Einführendes Beispiel
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BHAK/BHAS Liezen 8940 Liezen
Beispiel
Extremwertaufgaben
a Skizzieren des Problems
Um eine solche Aufgabe zu lösen ist es sinnvoll sich zu überlegen, was variiert
werden kann. In diesem Beispiel wird gefordert, dass der Umfang 100 ist.
Über die Seitenlänge wird keine Aussage getroffen, d.h. diese können variiert
werden.
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BHAK/BHAS Liezen 8940 Liezen
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Extremwertaufgaben
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Einführendes Beispiel
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Beispiel
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b Lösen durch Probieren
Wir probieren einfach verschiedene Seitenlängen für a. Wird die Seite a läger,
wird die Seite b kürzer (Summe 50).
a
b
A
0
10
20
30
40
50
50
40
30
20
10
0
0
400
600
600
400
0
Wir vermuten, die gesuchte
Länge liegt zwischen 20 cm
und 30 cm.
DI Edgar Neuherz
0
10
20
BHAK/BHAS Liezen 8940 Liezen
Einführendes Beispiel
30
40
50
a
Extremwertaufgaben
Beispiel
c Ist exakte Berechnung der Lösung möglich?
Flächeninhalt des Rechtecks
A=a·b
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Extremwertaufgaben
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Einführendes Beispiel
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Beispiel
IV. Finanzmathematik
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d Kurvenuntersuchung (Globale Maximumstelle)
A=−a2 +50a
600
500
400
300
200
100
0
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10
20
30
40
BHAK/BHAS Liezen 8940 Liezen
50
Extremwertaufgaben
2.7.2. Vorgehen bei der Lösung einer Extremwertaufgabe
Eine Aufgabe, in der ein Maximum oder Minimum einer Funktion gesucht wird, nennt man Extremwertaufgabe. Dabei geht es darum, eine bestimmte Größe (Zielgröße) unter vorgegebenen
Bedingungen möglichst groß oder möglichst klein zu machen. Folgende Schritte helfen eine Extremwertaufgabe zu lösen:
1
Welche Zielgröße soll minimal oder maximal werden?
2
Zielgröße als Funktion mehrerer Variablen anschreiben
3
Nebenbedingung(en) suchen und anschreiben
4
Variablen mit Hilfe der Nebenbedingunen eliminieren
5
Zielfunktion als Funktion einer Variable anschreiben
6
1 Ableitung der Zielfunktion herleiten (ev. vereinfachen)
7
Extremstellen berechnen und mit Randstellen vergleichen
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IV. Finanzmathematik
2.7.3. Vereinfachen der Zielfunktion durch Weglassen eines konstanten Faktors
2.7.4. Vereinfachen der Zielfunktion durch Quadrieren
2.7.5. Extremstellen am Rand eines Intervalls
2.7.6. Aufgaben
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3. Untersuchung weiterer Funktionen
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IV. Finanzmathematik
3.1. Summen- und Faktorregel
3.1.1. Summenregel
3.1.2. Faktorregel
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3.2. Produktregel
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IV. Finanzmathematik
3.3. Quotientenregel
3.4. Untersuchung rationaler Funktionen
3.4.1. Definition
3.4.2. Polstelle
3.5. Ableitung elementarer Funktionen
3.5.1. Ableitung von Exponentialfunktionen
3.5.2. Ableitung der Sinus- und Cosinusfunktion
3.5.3. Ableitung der Quadratwurzelfunktion
3.6. Die Kettenregel
3.6.1. Einleitendes Beispiel
3.6.2. Ableitung einer Verkettung
3.7. Ableitung von Umkehrfunktionen
3.7.1. Umkehrregel
3.7.2. Aufgaben
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4. Kosten- und Preistheorie
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IV. Finanzmathematik
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Datum:
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4.1. Bezeichnungen
In der Wirtschaftsmathematik werden folgende Bezeichnungen verwendet:
• ME : Mengeneinheiten (z.B. 1 t, 100 kg, 1 Dutzend, ...)
• GE : Geldeinheiten (z.B. 10 e, 10 CHF, 10 $ , ...)
• ZE : Zeiteinheiten (z.B. 1 Woche, 1 Monat, ...)
4.2. Preistheorie
Der Markt ist jener Ort, in dem ein Gut angeboten und verkauft wird. Anbieter und Nachfrager
eines Gutes verfolgen unterschiedliche Interessen. Die Anbieter wollen einen möglichst großen
Gewinn erzielen, die Nachfrager einen möglichst geringen Preis zahlen.
Durch Zusammentreffen beider Interessen bildet sich der Preis eines Gutes. Je nach Marktformen und anderen Mechanismen der Marktwirtschaft können Modelle für die Preisentwicklung
erstellt werden.
4.2.1. Angebotsfunktion
Der Preis ist Anreiz für den Produzenten, von einem Gut eine größere Menge zu erzeugen. Die
angebotene Menge x eines Produktes ist vom Preis p des Produktes abhängig. Die Angebotsfunktion pA gibt den Zusammenhang zwischen (Markt)preis und angebotener Menge an.
!
Je größer die
werden soll, um so
muss der
einer Ware sein.
pA
p
x1
kleinste Produktionsmenge
xk
x(p)
x in ME
Kapazitätsgrenze
Dadurch ist die Funktion p 7→ x(p) definiert.
Achtung: Es ist üblich, den Preis in Abhängigkeit von der angebotenen Menge x darzustellen,
d.h. x 7→ p(x).
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4.2.2. Nachfragefunktion
Die Absatzmenge eines Gutes hängt vom Verkaufspreis pN ab. Soll eine größere Menge eines
Produktes verkauft werden, so muss der Preis dafür sinken.
Jeder nachgefragten
entspricht ein bestimmter
.
pN
Höchstpreis
p(x)
xh
x
xS
x in ME
Sättigungsmenge
Die Zuordnung nachgefragter Menge x zu einem Preis pN (x 7→ pN (x)) nennen wir Nachfragefunktion, ihren Grafen Nachfragekurve.
4.2.3. Marktpreis
Das Aufeinandertreffen von Anbietern und Nachfragern wird als Markt bezeichnet. Bei freier
Entscheidungsmöglichkeit stellt sich für Angebot und Nachfrage ein Gleichgewichtspreis, der
Marktpreis pG ein.
pA
p0
pG
xG
x in ME
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IV. Finanzmathematik
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4.3. Erlös
4.3.1. Erlösfunktion
!
Die
ergibt sich aus dem Produkt von abgesetzter
und dem zugehörigen
.
E(x) = x · pN (x)
p(x) E(x)
E(x) = x · (8 − 1,2x)
pN (x) = 8 − 1,2x
xh
xS
x in ME
4.3.2. Verlauf der Erlösfunktion
Der Verlauf der Erlösfunktion hängt von der Nachfragefunktion ab:
• Konstanter Nachfragepreis p: : Bei konstantem Preis gilt: E(x) = x · p
• Variabler Nachfragepreis pN (x) : Bei variablen Preis gilt: E(x) = x · pN (x)
4.3.3. Erlösmaximierung
!
ist, gilt: E0 (x) = 0 .
Für die Menge xE , bei welcher der Erlös
E(xE ) = MAX
⇒
E 0(xE ) = 0
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4.4. Kostenrechnung
Aufgabe der Wirtschaftsmathematik ist es, wichtige Zusammenhänge in einer Marktwirtschaft
zu untersuchen.
4.4.1. Bezeichnungen
Die erste Ableitung f 0 (x) einer Funktion f (x) heißt
von f .
!
K 0(x) . . . Grenzkosten!
E 0(x) . . . Grenzerlös!
G0(x) . . . Grenzgewinn!
4.4.2. Gesamtkosten
Die
sind der Gesamtbetrag, der zur Herstellung von
einer Ware erforderlich ist.
K(x) = Kv(x) + K f ix
K(x)
K(x) = x3 − 8x2 + 24x + 50
xh
xk
x in ME
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!
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– 38 –
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Beispiel 1.1: Gesamtkostenfunktion
K(x)
10000
S 134
9000
8000
K(x) = x3 − 30x2 + 400x + 512
7000
6000
5000
4000
3000
2000
1000
0
0
10x0
5
xk
15
20x2
x1
25
x in ME
Gegeben ist eine etragsgesetzliche Gesamtkostenfunktion K(x) = x3 − 30x2 + 400x + 512.
a
Ermittle die Grenzkostenfunktion
Die Gesamtkostenfunktion ist eine kubische Funktion. Beim Ableiten wird der Grad
der Funktion um eins reduziert, d.h. die Grenzkostenfunktion ist eine Quadratische
Funktion.
K(x) = x3 − 30x2 + 400x + 512
K 0 (x) = 3x2 − 60x + 400
b
Welchen Wert hat die Kostenkehre?
Die notwendige Bedingung für die Kostenkehre (Wendepunkt) ist, das die zweite
Ableitung gleich 0 ist.
K 0 (x) = 3x2 − 60x + 400
K 00 (x) = 6xK − 60
0 = 6xK − 60
6xK = 60
xK = 10 ME
c
Welche Kosten verursacht eine zusätzlich produzierte Einheit bei einer Produktion
von 20 Einheiten, wie viel an der Kostenkehre ( xK )?
x1 = 20, x2 = 21
∆K = K(x2 ) − K(x1 ) =
= K(21) − K(20) = 431
xK = 10, x0 = 11
∆K = K(x2 ) − K(xK ) =
= K(11) − K(10) = 101
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IV. Finanzmathematik
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4.4.3. Stückkosten (Durchschnittskosten)
Dividiert man die Gesamtkosten K(x) durch die Produktionsmenge x, erhält man die
!
.
K(x) =
K(x)
x
K(x)
K(x) = x3 − 8x2 + 24x + 50
K(x) = x2 − 8x + 24 + 50
x
xh
xk
x in ME
Diese Stückkosten K(x) geben an, wie viel die Produktion einer einzigen Einheit im Durchschnitt kostet, wenn insgesamt x Mengeneinheiten produziert werden.
Beispiel 1.2: Kostengünstige Produktionsmenge
K(x)
2000
S 135
K(x) = x2 − 30x + 400 +
512
x
1000
langfristige Preisuntergrenze
0
0
5
10
15 xopt
20
25
30
x in ME
Betriebsoptimum
Gegeben ist die Gesamtkostenfunktion K(x) = x3 − 30x2 + 400x + 512.
a
Für welche Produktionsmenge sind die Gesamtkosten pro Stück minimal?
K(x) =
K(x)
x
K 0 (x) = 2x − 30 −
K(x) = x2 − 30x + 400 +
512
x
K 0 (x) = 0
⇒
512
x2
xopt = 16
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4.4.4. Variable Kosten
!
Die
sind die Gesamtkosten ohne Fixkosten
variable Kosten
z}|{
K(x) = Kv(x) +K f ix
K(x)
K(x) = x3 − 8x2 + 24x + 50
Kv (x) = x3 − 8x2 + 24x
xh
xk
x in ME
4.4.5. Variable Stückkosten
!
Dividiert man die variablen Kosten Kv (x) durch die Produktionsmenge x, erhält man die
.
Kv(x) =
Kv(x)
x
K(x)
Kv (x) = x3 − 8x2 + 24x
Kv (x) = x2 − 8x + 24
x in ME
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Beispiel 1.3: Kostengünstige Produktionsmenge ohne Fixkosten
Kv (x)
1000
S 137
900
800
700
600
500
Kv (x) = x2 − 30x + 400
400
kurfristige Preisuntergrenze
300
200
100
0
0
5
10
Betriebsminimum
20
15
25
30
x in ME
xmin
Gegeben ist die Gesamtkostenfunktion K(x) = x3 − 30x2 + 400x + 512.
a
Für welche Produktionsmenge sind die variablen Kosten pro Stück minimal?
Kv (x)
x
Kv (x) = x2 − 30x + 400
Kv (x) =
Kv0 (x) = 2x − 30
Kv0 (x) = 0
⇒
xmin = 15
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4.5. Gewinnmaximierung
Ein Unternehmen ist bestrebt seinen Gewinn zu maximieren. Dies gilt sowohl bei vollständiger
Konkurrenz (Preis von der Konkurrenz vorgegeben, p = const.) als auch bei bei einem Monopol
(monopolistische Konkurrenz, p = f (x)).
Unter besonderen Umständen ist es auch möglich nur die variablen Kosten zu berücksichtigen,
d.h. anstatt mit dem Gewinn mit dem Deckungsbeitrag zu rechnen. Dann ist das Unternehmerziel
fr̈ diesen Zeitraum den Deckungsbeitrag zu maximieren.
4.5.1. Gewinnmaximierung
4.5.2. Deckungsbeitragmaximierung
Erlös
Erlös
E(x) = x · p(x)
E(x) = x · p(x)
Variable Kostetn
Gesamtkosten
K(x) = Kv (x) + K f ix
Kv (x) = K(x) − K f ix
Deckungsbeitrag
Gewinn
G(x) = E(x) − K(x)
Gewinn-Maximum ( xG )
G(x) = MAX
⇒
D(x) = E(x) − Kv (x)
Deckungsbeitrag-Maximum ( xD )
G0 (x) = 0
G0 (x) = E 0 (x) − K 0 (x) = 0
D(x) = MAX
D0 (x) = 0
D0 (x) = E 0 (x) − Kv0 (x) = 0
E 0 (xG ) = K 0 (xG )
Betriebsoptimum
K(x) = MIN
⇒
E 0 (xD ) = Kv0 (xD )
Betriebsminimum
⇒
K 0 (xopt ) = 0
Kv (x) = MIN
K 0 (xopt ) = 0
Langfristige Preisuntergrenze
⇒
Kv0 (xmin ) = 0
Kv0 (xmin ) = 0
Kurzfristige Preisuntergrenze
plang = K(xopt )
pkurz = Kv (xmin )
Cournot’sche Punkt
CP = xG p(xG )
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5. Grundbegriffe der Integralrechnung
Die Schülerinnen und Schüler ...
kennen ...
können ...
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5.1. Stammfunktion und unbestimmtes Integral
5.1.1. Einführendes Beispiel I
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IV. Finanzmathematik
5.2. Unter-, Ober- und Zwischensummen
5.2.1. Untersummen
5.2.2. Obersummen
5.2.3. Zwischensummen
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5.3. Flächeninhalt und bestimmtes Integral
5.3.1. Flächeninhalt
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5.4. Berechnung von Integralen mit Stammfunktionen
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5.5. Flächen- und Volumsberechnungen
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