Laserlicht mit der Wellenlänge λ = 632nm t

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◮ Abitur 2013 | Aufgabe 2
a)
Lösung (ausführlich)
◮ Darstellungen der Intensitätsverteilung den Beugungsobjekte zuord-
(9P)
nen
Laserlicht mit der Wellenlänge λ = 632 nm trifft senkrecht auf verschiedene Beugungsobjekte. Diese werden im Laufe der Versuchsreihe untereinander ausgewechselt. Es stehen folgenden Objekte zur Verfügung:
ˆ Einzelspalt
ˆ Doppelspalt
ˆ Mehrfachspalt
ˆ Gitter
Im Versuch wird für jedes Beugungsobjekt die Lichtintensität in Abhängigkeit vom
Beugungswinkel gemessen. Hierbei ergeben sich folgende Intensitätsverteilungen:
Diese vier Schaubilder der Intensitätsverteilungen sollst du nun den vier Beugungsobjekten begründet zuordnen.
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◮ Abitur 2013 | Aufgabe 2
Lösung (ausführlich)
Hierzu betrachtest du die Intensität, die Breite und den Abstand der Hauptmaxima
sowie die Anzahl der Minima und das Auftreten von Nebenminima zwischen zwei
Hauptmaxima.
Schaubild a
An diesem Schaubild ist auffällig, dass zwischen den Hauptmaxima eine große
Anzahl Minima liegen und diese eine geringe Breite aufweisen. Dies hat zur Folge,
dass sich ihre Lagen sehr genau ablesen lassen und sie schärfer werden. Darüber
hinaus nimmt die Höhe und damit die Intensität dieser Hauptmaxima nach außen
hin kaum ab.
Auf Grund dieser Tatsachen ist dieses Schaubild dem Gitter zuzuordnen.
Schaubild b
Zwischen den Hauptmaxima lassen sich Nebenmaxima erkennen. Diese treten
auf, wenn Licht durch mehr als zwei Spalte tritt. Die Intensitäten der Hauptmaxima
nehmen nach außen hin deutlich stärker ab als dies im Schaubild a der Fall ist. Die
Kombination dieser Beobachtungen bringen uns zu dem Schluss:
Dieses Schaubild gehört zum Mehrfachspalt.
Schaubild c
Das breite Hauptmaximum ist in diesem Schaubild sehr auffällig. Die weiteren
Maxima sind dagegen kaum zu erkennen, da die Intensität nach außen hin sehr
schnell abnimmt. Das Schaubild wird dem Einzelspalt zugeschrieben.
Schaubild d
In diesem Schaubild sind die Hauptmaxima alle nahezu gleich breit. Zwischen ihnen befinden sich keine Nebenmaxima. Darüber hinaus nimmt die Intensität nach
außen hin zwar ab, aber nicht so schnell wie im Schaubild c. Infolgedessen wird
mehr Licht durchgelassen, was auf die höhere Spaltanzahl zurückzuführen ist. Es
folgt hiermit:
Dieses Schaubild ist dem Doppelspalt zuzuordnen.
◮ Angeben wie viele Spalte der Mehrfachspalt besitzt
Tipp
Du sollst hier die Anzahl Spalte angeben, die der Mehrfachspalt besitzt. Es reicht
also aus diese Zahl ohne Erklärung zu nennen.
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◮ Abitur 2013 | Aufgabe 2
Lösung (ausführlich)
In Interferenzbildern lassen sich Minima zwischen den Maxima finden. Diese stehen in direktem Zusammenhang mit der Spaltenanzahl des Beugungsobjektes.
Intensität
Das Interferenzbild des Doppelspalts beispielsweise
Dreifachspalt
besitzt ein Minimum zwischen zwei Hauptmaxima.
Wie aus nebenstehendem Bild ersichtlich, liegen beim
Dreifachspalt zwei Minima und ein Nebenmaxima zwi-
Hauptmaximum
schen den zwei Hauptmaxima.
Für das Gitter mit n beleuchteten Spalten gilt im Allgemeinen, dass n − 1 Intensitätsminima zwischen den
Maxima liegen. Die Nebenmaxima werden dabei kaum
Nebenmaxima
noch wahrgenommen.
Die Anzahl der Spalte des Beugungsobjektes ist also
immer genau um eins größer als die Anzahl der Minima zwischen zwei Hauptmaxima.
x
Minima
Im Schaubild b ist die Intensitätsverteilung des Mehrfachspaltes zu sehen. Es gilt
also aus diesem Schaubild die Zahl der Minima zwischen zwei Maxima herauszulesen und daraus auf die Anzahl der Spalte zu schließen.
Betrachtest du das Schaubild b, so kannst du aus diesem die Anzahl der Minima
zwischen zwei Hauptmaxima ablesen:
Hauptmaxima
je 3 Minima
Das Schaubild des Mehrfachspalts besitzt drei Minima zwischen zwei Hauptmaxima. Da die Anzahl der Spalte immer genau um eins größer ist als die Anzahl der
Minima, besitzt dieses Beugungsobjekt vier Spalte.
Es handelt sich um einen Vierfachspalt.
◮ Änderung der Intensitätsverteilung des Gitters beschreiben
Im Folgenden wird die Anzahl der beleuchteten Spalte des Gitters erhöht. Dies
zieht eine Änderung der Intensitätsverteilung nach sich, welche du nun beschreiben sollst.
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◮ Abitur 2013 | Aufgabe 2
Lösung (ausführlich)
Erhöhst du etwa den Abstand zwischen dem Gitter und deiner Lichtquelle, so vergrößert sich der auf dem Gitter auftreffende Lichtkreis. Hierdurch werden mehr
Spalte beleuchtet:
Wichtig ist hierbei, dass du dir klar machst, dass wir dasselbe Gitter verwenden.
Das bedeutet, dass lediglich die Anzahl der beleuchteten Spalte erhöht wird und
eben nicht dass die Spalte näher aneinander rücken. Der Spaltmittenabstand verringert sich also nicht.
Da der Spaltmittenabstand nicht verändert wird, verbleiben die Maxima in derselben Lage. Der Abstand zwischen den Maxima wird also ebenfalls nicht verändert.
Hingegen treten aus mehr beleuchteten Spalten mehr Lichtwellen in den Raum
hinter das Gitter ein, wo sie miteinander interferieren. Hierdurch nimmt zum einen
die Helligkeit der Hauptmaxima zu, da mehr Strahlen mit dem Gangunterschied
δ = k · λ konstruktiv interferieren als bei kleinerer Spaltanzahl.
Zum anderen rücken die entstehenden Minima näher an die Hauptmaxima heran.
Dies geschieht dadurch, dass sich bei n Spalten schon für einen Gangunterschied
von δ = k · λ +
1
n
· λ zu jedem Spalt ein zweiter Spalt finden lässt, so dass beide
destruktiv interferieren. Schon kleine Abweichungen von δ = k · λ führen somit zu
destruktiver Interferenz.
Für
beispielsweise
100
beleuchtete
Spal-
ten, also n = 100, löschen sich der 1. und
der 51. Strahl, der 2. und der 52. Strahl,...
aus.
Denn
δ= k·λ+
= k·λ+
ihr
51−1
100
50
100
Gangunterschied
·λ= k·λ+
52−2
100
beträgt:
· λ = ...
·λ
= k · λ + 0, 5 · λ
Dies entspricht gerade dem nötigen Gangunterschied für destruktive Interferenz.
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Licht
1.
2.
3.
4.
51.
52.
53.
54.
Gitter
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◮ Abitur 2013 | Aufgabe 2
Lösung (ausführlich)
Durch die verstärkte Auslöschung werden die Räume zwischen den Hauptmaxima dunkler und rücken näher an die Hauptmaxima heran. Hierdurch nimmt die
Schärfe der Intensitätsverteilung zu.
Das Schaubild d würde sich qualitativ folgendermaßen ändern:
Wenn die Anzahl der beleuchteten Spalte erhöht wird, verändert sich die registrierte Intensitätsverteilung des Gitters dahingehend, dass die Maxima heller und
schärfer werden. Die Lage der Maxima ändert sich hingegen nicht.
◮ Abstand und Breite der Spalte des Beugungsobjekts von Diagramm d
bestimmen
Wie bereits zu Beginn dieser Aufgabe erklärt, zeigt das Diagramm d die Intensitätsverteilung eines Doppelspalts.
Von diesem Beugungsobjekt sollst du nun den Abstand der beiden Spalte und deren Breite bestimmen.
Den Abstand der beiden Spalten berechnet sich über den Spaltmittenabstand g
mittels der Lage der Maxima.
Generell treten solche Maxima auf, wenn sich die Elementarwellen aus den Spaltmitten konstruktiv überlagern. Dies ist dann der Fall, wenn für den Gangunterschied δ der am Detektor zusammenlaufenden Wellen gilt:
δ = n · λ,
n ∈ N0
Der Faktor n steht hierbei für die Ordnung des jeweiligen Maximums. Für das Maximum 2. Ordnung gilt daher: n = 2.
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◮ Abitur 2013 | Aufgabe 2
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Dieser Gangunterschied lässt sich gemometrisch wiederfinden, wenn man den
Weg zweier Elementarwellen zu einem Punkt am Detektor als nahezu parallele
Linien betrachtet:
Pmax
L ic h t
S1
.
g
S2
δ
Zentrum einer Elementarwelle (symbolisch)
Doppelspalt
Du kannst erkennen: Der Winkel, unter dem die Wellen auf dem Schirm eintreffen, lässt sich in einem rechtwinkligen Dreieck wiederfinden. Die Hypotenuse ist
gleich dem gesuchten Spaltmittenabstand g und eine der Katheten ist gerade der
Gangunterschied δ.
Für den Winkel α, unter dem die Wellen auf dem Schirm auftreffen, gilt dann:
sin(α) =
δ
g
Nun wissen wir, dass für Maxima der Gangunterschied δ = n · λ sein muss. Setze
diese Bedingung in die gerade ermittelte Beziehung ein.
Es ergibt sich eine Gleichung, die alle Winkel α liefert, bei denen Maxima zu beobachten sind:
sin(α) =
n·λ
g
Dem Diagramm d kannst du nun die Lage eines Maximums entnehmen:
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◮ Abitur 2013 | Aufgabe 2
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Das 1. Hauptmaximum, für das also n = 1 gilt, tritt laut Diagramm d bei einem
Beugungswinkel von α1 = 1, 0◦ auf.
Weiterhin fällt im Diagramm d auf, dass das Maximum 3. Ordnung, welches unter
dem Beugungswinkel α3 = 3, 0◦ auftreten sollte, fehlt. Diese Tatsache lässt sich
damit erklären, dass dieses Doppelspaltmaximum mit einem Einzelspaltminimum
eines der Spalte zusammenfällt.
Dies ist darauf zurückzuführen, dass die einzelnen Spalte selbst jeweils als Zentren
einer großen Zahl von Elementarwellen wirken. Sie interferieren im Bereich hinter
dem Spalt. Die Wellen interferieren destruktiv, wenn der Gangunterschied von je
zwei Wellen n ·
λ
2
beträgt.
Stellen wir uns vor, dass genau 100 Elementarwellen dem Einzelspalt entspringen
würden, so herrscht ein solcher Gangunterschied von n · 2λ gerade zwischen der 1.
und der 51. Welle, der 2. und der 52. Welle usw.
Der Gangunterschied zwischen der 1. und der 100. Welle liegt damit exakt bei n ·λ.
Diese Skizze kann dir bei der Vorstellung behilflich sein:
Einzelspalt
Licht
1.
2.
3.
4.
51.
52.
53.
54.
100.
δ=n λ2
δ=n λ
Zentrum einer Elementarwelle (symbolisch)
In diesem Fall löschen sich die Wellen gegenseitig aus. Fehlt das Licht aus einem
Spalt, kann in diesem Punkt folglich auch keine Doppelspaltinterferenz stattfinden.
Das zu erwartende Maximum fehlt.
Mit der Tatsache, dass der Gangunterschied zwischen der 1. und der 100. Welle
exakt bei n · λ liegt, folgt für die Breite b der Einzelspalte die folgende Ablenkungsformel:
sin(α) =
=
δ
b
n·λ
b
Mit den hier vorgestellten Formel lassen sich durch Umformen der Abstand und
die Breite der Spalte des Beugungsobjekts von Diagramm d bestimmen.
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◮ Abitur 2013 | Aufgabe 2
Lösung (ausführlich)
1. Schritt: Abstand der Spalte bestimmen
Laut Einleitung treten alle Maxima der Ordnung n des Doppelspaltes unter folgenden Winkeln auf:
sin(α) =
n·λ
g
Das 1. Hauptmaximum, für das also n = 1 gilt, tritt laut Diagramm d bei einem
Beugungswinkel von α1 = 1, 0◦ auf. Darüber hinaus wird der Spalt laut Aufgabenstellung mit Licht der Wellenlänge λ = 632 nm beleuchtet.
Setze diese Beobachtungen in die obige Ablenkungsformel ein und forme nach
dem Spaltmittenabstand g um. Dieser entspricht dem Abstand der beiden Spalten.
sin(α) =
g=
=
=
≈
n·λ
g
| ·g und : sin(α)
n·λ
n und α1 einsetzen
sin(α)
1·λ
sin(1◦ )
λ einsetzen
1 · 632 nm
sin(1◦ )
632 · 10−9 m
0.01745
≈ 3, 6 · 10−5 m
≈ 36 μm
2. Schritt: Breite der Spalte bestimmen
Wie bereits erwähnt, treten alle Einzelspaltminima der Ordnung n unter folgenden
Winkeln auf:
sin(α) =
n·λ
b
Das 1. Einzelspaltminimum, für das also n = 1 gilt, trifft mit dem Doppelspaltmaximum 3. Ordnung zusammen. Laut Diagramm d treten diese bei einem Beugungswinkel von α3 = 3, 0◦ auf.
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◮ Abitur 2013 | Aufgabe 2
Lösung (ausführlich)
Setze diese Beobachtungen in die obige Ablenkungsformel ein und forme nach der
Breite eines Einzelspalts b um.
sin(α) =
b=
=
=
≈
n·λ
b
| ·b und : sin(α)
n·λ
n und α3 einsetzen
sin(α)
1·λ
sin(3◦ )
λ einsetzen
1 · 632 nm
sin(3◦ )
632 · 10−9 m
0.05234
≈ 1, 2 · 10−5 m
≈ 12 μm
Das Beugungsobjekt von Diagramm d besitzt einen Spaltabstand von ungefähr
36 μm und eine Spaltbreite von etwa 12 μm.
◮ Änderung der Intensitätsverteilung eines Einzelspalts erläutern
Im Folgenden sollst du erläutern, wie sich die Intensitätsverteilung eines Einzelspalts ändert, wenn die Spaltbreite b verkleinert wird.
Tipp
Um den Sachverhalt zu erläutern, machst du ihn mit Hilfe vorgegebener oder
selbstgewählter Gesichtspunkte verständlich. Du kannst ihn ebenfalls mit zusätzlichen Informationen veranschaulichen.
Um zu verstehen, was mit der Intensitätsverteilung passiert, wenn die Spaltbreite
b verkleinert wird, betrachten wir die Formel, in welcher der Beugungswinkel α
und die Spaltbreite b vorkommen. Dies ist die Ablenkungsformel für Minima:
sin(α) =
n·λ
b
Setze in diese Formel gedanklich Werte für b ein und überlege dir, ob für kleinere
Werte der Beugungswinkel α größer oder kleiner wird. Anschließend gilt es diese
Überlegung auf die Intensitätsverteilung anzuwenden.
Wird die Breite b eines Einzelspalts verringert, so wird die rechte Seite der Gleichung größer, da b im Nenner steht. Das wiederum bedeutet, dass ebenfalls die
linke Seite der Gleichung, also sin(α) größer wird.
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◮ Abitur 2013 | Aufgabe 2
Lösung (ausführlich)
Doch was geschieht dann mit dem Beugungswinkel α?
Dieser kann im Versuchsaufbau höchstens 90◦ sein, da sonst das Licht nicht in den
Raum zwischen Einzelspalt und Detektor kommen würde. Deshalb betrachten wir
nun den Teil bis α = 90◦ im Graphen der Funktion sin(α):
sin(α)
1
0
π
2
= 90◦
π = 180◦
3·π
2
= 270◦
α
2 · π = 360◦
Dem Graphen kannst du entnehmen, dass für größere sin(α) ebenfalls größere
Beugungswinkel α nötig sind. Dies wiederum sorgt dafür, dass die Minima unter
größeren Winkeln auftreten und damit zwischen sich einen größeren Abstand aufweisen. Dies sorgt für eine Verbreiterung der Intensitätsverteilung.
Aus der Intensitätsverteilung des Einzelspalts in Bild c wird mit größerer Spaltbreite b die Verteilung von c’:
Vergrößerung der
Einzelspaltbreite
In der mit dem Detektor registrierten Intensitätsverteilung nimmt ebenfalls die Gesamtintensität ab, da die Einzelspaltbreite verringert wird und somit weniger Licht
den Spalt passiert. Dies lässt sich allerdings im obigen Schaubild nicht aufzeigen,
da auf der y-Achse die relative und nicht die absolute Intensität aufgetragen ist.
Wird die Spaltbreite b eines Einzelspalts verkleinert, so verbreitert sich die Intensitätsverteilung, die Abstände zwischen den Maxima nehmen zu und die Gesamtintensität nimmt ab.
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◮ Abitur 2013 | Aufgabe 2
b)
Lösung (ausführlich)
◮ Zustandekommen der elektromagnetischen Schwingung erläutern
(8P)
Ein elektrischen Schwingkreis wird aus einer Spule der Induktivität L = 13 mH und
einem Kondensator der Kapazität C = 434 pF zusammengeschaltet. Dieser Versuchsaufbau könnte folgendermaßen aussehen:
(1) (2)
U0
C
L
Hierbei bezeichnet U0 die Spannungsquelle, C den Kondensator, L die Spule sowie
(1) und (2) die zwei möglichen Positionen des Schalters.
Zu Beginn steht der Schalter in der Position (1) und der Kondensator wird aufgeladen. Nach diesem Vorgang, also zum Zeitpunkt t0 = 0 s, beträgt die Spannung
am Kondensator 25 V und es fließt kein Strom mehr. Daher gilt für die Stromstärke
0 = 0 A. Von Dämpfung wird zunächst abgesehen.
Bei Stellung (2) entlädt sich der Kondensator über die Spule.
Erkläre das Zustandekommen der elektromagnetischen Schwingung, indem du dir
überlegst, was passiert, wenn der Schalter geschlossen wird und sich der Kondensator über die Spule entlädt. Dies hat Auswirkungen auf die Spannung UC und die
Ladung Q am Kondensator, die Stromstärke  im Stromkreis sowie auf das Magnetfeld der Spule und die davon induzierte Spannung Und .
Erläutere diese Änderungen am Kondensator, im Stromkreis und am Magnetfeld
möglichst detailliert und strukturiert über die verschiedenen Zeitschritte.
◮◮ t = 0 T: Beginn des Schwingungsvorgangs
Zu Beginn des Schwingungsvorgangs (t = 0 T) besitzt
Ò Demzuder Kondensator noch die gesamte Ladung Q.
- - -
- - -
folge liegt hier auch die maximale Spannung an.
Da es bis dahin noch zu keinem Stromfluss kommt, ist
die gesamte Energie des Systems im elektrischen Feld
des Kondensators gespeichert.
◮◮ 0 < t <
+ + + + + +
T
4
Mit Umlegen des Schalters in Stellung (2) entlädt sich der Kondensator über die
Spule. Der Strom fließt also durch den Stromkreis zum anderen Pol und die Ladung
Q am Kondensator nimmt ab. Damit sinkt ebenfalls die Spannung UC zwischen den
Platten und die im elektrischen Feld gespeicherte Energie We .
Dies geschieht allerdings nicht schlagartig, da ein Ansteigen der Stromstärke ein
magnetisches Feld in der Spule induziert. Hierbei entsteht nach der Lenzschen
Regel eine Gegenspannung U nd, die für einen langsamen Anstieg der Stromstärke
sorgt.
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◮ Abitur 2013 | Aufgabe 2
◮◮ t =
Lösung (ausführlich)
T
4
B
e Fluss
Zu diesem Zeitpunkt ist der Kondensator vollständig
entladen. Es liegt keine Spannung mehr am Kondensator an und die Spule wird mit der maximalen Stromstärke durchflossen. Hierbei ist die gesamte im System enthaltene Energie im magnetischen Feld der
Spule gespeichert.
◮◮
T
4
<t<
T
2
Nun lädt sich der Kondensator mit umgekehrter Polarität auf. Die Ladung am Kondensator steigt also wieder und dementsprechend auch die elektrische Energie
We und die Spannung UC , welche nun ein negatives Vorzeichen besitzt und als
Gegenspannung fungiert.
Hierdurch sinkt die elektrische Stromstärke  langsam. Dadurch werden ebenfalls
das Magnetfeld und die magnetische Energie verringert. Auf Grund dieser Abnahme wird in der Spule eine Spannung induziert, die für eine immer langsamer werdende Abnahme sorgt.
◮◮ t =
T
2
Anschließend ist der Kondensator mit umgekehrter Polarität voll geladen. Für diesen Zustand gelten dieselben Gesetzmäßigkeiten wie beim Anfangszustand: Die
gesamte Energie steckt wieder im elektrischen Feld
des Kondensators.
◮◮ t >
+ + + + + +
- - -
- - -
T
2
Nun strebt das System wieder einen Ladungsausgleich an und die Elektronen wandern zum anderen Pol. Der obige Vorgang wiederholt sich dann erneut, bis der
Kondensator zum Zeitpunkt T wie am Anfang geladen ist.
◮ Maximalwert der Stromstärke berechnen
Der Maximalwert der Stromstärke m wird genau dann erreicht, wenn der Kondensator vollständig entladen ist und die gesamte Energie im Feld der Spule als
magnetische Energie
Wmg =
1
2
2
· L · m
gespeichert ist.
Da der vorliegende Versuchsaufbau ein geschlossenes System darstellt, kann weder Energie ab- noch zugeführt werden. Es gilt daher der Energieerhaltungssatz.
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Lösung (ausführlich)
geg.:
ges.:
L = 13 mH
m
C = 434 pF
t0 = 0 s
UC = 25 V
0 = 0 A
Zu Beginn des Schwingungsvorgangs ist die komplette Energie als elektrische
Energie We im Kondensator gespeichert:
We =
1
2
· C · U2C
Nach dem Entladen ist diese Energie komplett in magnetische Energie umgewandelt. Daher kannst du eine Energiebetrachtung durchführen:
Wmg = We
1
2
2
· L · m
=
2
m
=
1
· C · U2C
2
C · U2C
| ·2 und : L
C, U C und L einsetzen
L
=
434 pF · (25 V)2
=
434 · 10−12 F · 625 V2
13 mH
13 · 10−3 H
= 2, 09 · 10−5 A2
Für den Maximalwert m der Stromstärke ergibt sich damit:
2
m
= 2, 09 · 10−5 A2
Æ
m = 2, 09 · 10−5 A2
| p
|m | ≈ 4, 57 · 10−3 A
≈ 4, 57 mA
Der Maximalwert der Stromstärke m beträgt ungefähr 4, 57 mA.
◮ Funktionsterm der zeitlich veränderlichen Stromstärke (t) bestimmen
Um den Funktionsterm der Stromstärke (t) zu bestimmen, benötigen wir zuerst
dessen allgemeine Form. Da der Funktionsterm von (t) nur von der Zeit t abhängig sein soll, berechnest du als nächstes die Werte der physikalischen Größen, so
dass die einzige übrig bleibende Variable die Zeit t ist.
Die allgemeine Form des Funktionsterms ergibt sich aus dem Schwingungsvorgang, welcher oben bereits beschrieben wurde.
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1. Schritt: Allgemeine Form des Funktionsterms bestimmen
Für den elektrische Strom ergibt sich aus dem Schwingungsvorgang, dass dieser
zuerst solange zunimmt, bis sich der Kondensator vollständig entladen hat und
anschließend auf Grund der ebenfalls oben beschriebenen Gegenspannung wieder
T
abnimmt. Ist der Kondensator zum Zeitpunkt 2 vollständig umgekehrt geladen, so
ist der Wert der elektrischen Stromstärke (t) erneut Null. Anschließend kehrt sich
dieser Vorgang um und der Strom steigt dieses Mal mit umgekehrten Vorzeichen
an und nimmt wieder ab, bis nach der Periode T der Anfangszustand erreicht ist.
Da der elektrische Strom träge ist, geschehen diese Änderungen allerdings nicht
abrupt, sondern verzögert. Hieraus folgt eine sinusförmige Schwingung. Diese
kann folgendermaßen veranschaulicht werden:
(t) in  m
1
t in T
0
0.5
1.0
−1
Die allgemeine Form des Funktionsterms der Stromstärke (t) kann damit folgendermaßen beschrieben werden:
(t) = m · sin(ω · t)
Da der gesuchte Funktionsterm die Stromstärke (t) zeitlich veränderlich darstellen soll, darf in der obigen allgemeinen Form nach Einsetzen aller physikalischen
Größen nur noch die Variable t übrig bleiben.
Die Amplitude m der Schwingung hast du bereits zu m = 4, 57 mA berechnet.
Folglich gilt es nun den Wert von ω zu bestimmen.
2. Schritt: Fehlende Variable bestimmen
Der Wert von ω lässt sich mittels der Definition der Kreisfrequenz ω,
ω=
2π
T
und der Formel der Periodendauer T einer elektromagnetischen Schwingung
p
T = 2 π · L · C berechnen.
Setze hierzu die Formel von T in die Definition von ω ein. Die sich daraus ergebende Formel vervollständigst du mit den in der Aufgabenstellung gegebenen Werten
der physikalischen Größen.
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Es ergibt sich:
ω=
2π
T einsetzen
T
2π
p
2π · L· C
1
= p
13 mH · 434 pF
=
= p
= p
= Ç
≈
L und C einsetzen
1
13 · 10−3 H · 434 · 10−12 F
1
5, 64 · 10−12 H · F
1
5, 64 · 10−12
Vs
A
·
As
V
1
2, 37 · 10−6 s
1
≈ 4, 22 · 105
s
Setzt du nun ω und m in die allgemeine Form des Funktionsterms ein, erhältst
du den Funktionsterm der zeitlich veränderlichen Stromstärke (t):
(t) = m · sin(ω · t)
 m und ω einsetzen
= 4, 57 mA · sin(4, 22 · 105
1
s
· t)
Der Funktionsterm der zeitlich veränderlichen Stromstärke (t) lautet:
(t) = 4, 57 mA · sin(4, 22 · 105
1
s
· t)
◮ Ursache für die Dämpfung der Schwingung nennen
Die oben betrachtete elektromagnetische Schwingung ohne Dämpfung beruht auf
dem Prinzip, dass der Betrag der einmalig zugeführten elektrischen Energie gleich
bleibt und diese sich im Verlauf der Schwingung dauernd zwischen elektrischer
und magnetischer Energie wandelt. Hierdurch wird eine gleich bleibende Amplitude erreicht.
Nun wird im Folgenden die Dämpfung der elektromagnetischen Schwingung berücksichtigt. Diese zeichnet sich durch eine mit der Zeit abnehmende Amplitude
aus. In diesem Fall gilt also, dass Energie während des Schwingungsvorgangs verloren geht bzw. in eine weitere Energieform umgewandelt wird.
Tipp
Die Ursache für diese Dämpfung sollst du nun nennen. Es reicht also aus, die
Energieform und den zugehörigen Vorgang ohne ausführliche Erläuterung anzugeben.
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◮ Abitur 2013 | Aufgabe 2
Lösung (ausführlich)
Im Leiterdraht der Versuchsanordnung stoßen bei Stromfluss die Elektronen als
Ladungsträger gegen einzelne Atome des Leiters, was ihren Fluss behindert. Bei
diesen Zusammenstößen verlieren die Elektronen elektrische Energie, welche in
Wärmeenergie umgewandelt und an die Umgebung abgegeben wird.
Diese Behinderung für die Ladungsträger wird auch elektrischer Widerstand R genannt.
c)
◮ Zwei Argumente nennen, die eine Analogie zwischen m und L nahele-
(6P)
gen
Analog zum elektromagnetischen Schwingkreis kann ein Federpendel betrachtet
werden. Beide Schwingungen sollen als harmonisch, also ohne Dämpfung, angesehen werden.
Bezüglich dieser Betrachtung sollst du die Analogie zwischen der Masse m des
schwingenden Körpers und der Induktivität L der Spule nahelegen. Nenne hierzu
zwei Argumente.
Als solche Argumente kannst du zum Beispiel Gleichungen anführen, aus deren
Verhältnis die Analogie ersichtlich wird.
Nachfolgend werden die Gleichungen des Federpendels links und die des Schwingkreises rechts aufgeführt.
1. Argument: Verhältnis der Energien
Betrachte die Energieformen bei minimaler Auslenkung der Schwingungen. Zu diesem Zeitpunkt ist die Energie beim Federpendel komplett in kinetische Energie
Ekn und beim Schwingkreis in magnetische Energie Emg übergegangen. Stellst
du beiden Formeln gegenüber, kannst du die Analogie erkennen:
Ekn =
1
2
· m · 2
Emg =
1
2
· L · 2
In diese Betrachtung gehen die Masse m und die Induktivität L mit dem Exponenten 1 ein.
2. Argument: Verhältnis der Periodendauern
Die Formeln der Periodendauer T der beiden Schwingungsarten lassen sich vergleichen. In diesen Gleichungen treten ebenfalls m bzw. L auf. Stelle also die beiden folgenden Formeln gegenüber:
v
tm
p
T = 2π ·
T = 2π · L· C
D
Die Energie zu Beginn des Schwingungsvorgangs wird beim Federpendel von der
Auslenkung s und der Federkonstanten D bzw. beim Schwingkreis von der Ladung
Q und der Kapazität C bestimmt. Bleiben diese Anfangsbestimmungen gleich, so
ist die Periodendauer T nur von der Masse m bzw. analog von der Induktivität L
abhängig.
alternativ: weiteres Argument
Laut Aufgabenstellung werden nur zwei Argumente gefordert. Es lässt sich allerdings noch ein drittes finden.
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◮ Abitur 2013 | Aufgabe 2
Lösung (ausführlich)
3. Argument: Verhältnis der Differentialgleichungen
Die Differentialgleichung beim Federpendel ergibt sich aus der Energiebetrachtung der Spann- und der kinetischen Energie, die Differentialgleichung des
Schwingkreises wiederum aus der Relation der in der Spule induzierten Spannung
und der Spannung am Kondensator.
m · s̈(t) = −D · s(t)
L · Q̈(t) = −
1
C
· Q(t)
Beim Betrachten beider Formeln fällt auf, dass m bzw. L der Faktor vor der doppelt
abgeleiteten physikalischen Größe ist. Hierdurch wird ebenfalls die Analogie beider
Größen ersichtlich.
◮ Für zwei mechanische Größen die analogen elektrischen angeben
Benutze die bereits betrachteten Formeln, um weitere Analogien zwischen mechanischen und elektrischen Größen zu finden.
Tipp
Du sollst hier die Analogie zwischen mechanischen und elektrischen Größen
angeben. Es reicht also aus diese ohne Erklärung zu nennen.
1. Argument: Verhältnis der Energien
Aus dem Verhältnis der Energien
Ekn =
1
2
· m · 2
Emg =
1
2
· L · 2
kannst du ebenfalls auf die Analogie zwischen der Geschwindigkeit  und der
Stromstärke  schließen. Beide gehen im Quadrat in die Gleichungen ein.
2. Argument: Verhältnis der Periodendauern
Aus dem Verhältnis der Periodendauern
v
tm
T = 2π ·
D
T = 2π ·
p
L·C
kannst du außerdem auf die Analogie zwischen der Federkonstanten D und dem
1
1
bzw. zwischen
und C schließen.
Kehrwert der Kapazität
C
D
alternativ: weiteres Argument
Laut Aufgabenstellung werden nur zwei Argumente gefordert. Es lässt sich allerdings auch hier noch ein drittes finden.
3. Argument: Verhältnis der Differentialgleichungen
Auch aus dem Verhältnis der Differentialgleichungen
m · s̈(t) = −D · s(t)
L · Q̈(t) = −
1
C
· Q(t)
lässt sich eine weitere Analogie ableiten. Der Auslenkung s(t) entspricht im
Schwingkreis die Ladung Q(t) des Kondensators.
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◮ Abitur 2013 | Aufgabe 2
d)
Lösung (ausführlich)
◮ Abstand zweier benachbarter Hauptmaxima berechnen
(7P)
Elektronen werden aus der Ruhe heraus durch eine Spannung U von 1, 70 kV beschleunigt und treffen senkrecht auf einen Dreifachspalt mit einem Spaltmittenabstand g von 200 nm, an welchem sie gebeugt werden. Durch ihre geringe Breite
wirken diese Spaltöffnungen als Zentren von Elementarwellen. Hinter diesem Beugungsobjekt treffen die Elektronen auf einen Detektor, welcher in einem Abstand
 von 20, 0 cm parallel zum Dreifachspalt ausgerichtet ist.
Der Versuchsaufbau sieht also vereinfacht folgendermaßen aus:
e-
.
a
Detektor
g
-
+
Dreifachspalt
U
Der Elektronendetektor zeichnet eine für den Dreifachspalt charakteristische Häufigkeitsverteilung auf. Diese zeichnet sich dadurch aus, dass bei einer großen Anzahl an Elektronen sich diese an bestimmten Stellen am Detektor besonders häufen. Dies sind die sogenannten Intensitätsmaxima.
Diese treten genau dann auf, wenn zwischen benachbarten Elementarwellen, die
den Spaltöffnungen entspringen, ein Gangunterschied
δ = n · λ,
n ∈ N0
vorliegt. Der Faktor n bezeichnet hierbei die Ordnung des Maximums.
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◮ Abitur 2013 | Aufgabe 2
Lösung (ausführlich)
Dieser Gangunterschied δ lässt sich geometrisch wiederfinden, wenn man den
Weg der Elementarwellen zu einem Punkt am Detektor als nahezu parallele Linien
betrachtet.
e-
dn
.
.
g
δ
Dreifachspalt
Hauptmaxima n-ter Ordnung treten also unter den Winkeln αn auf. Für diese gilt
laut den kleinen Dreiecken folgende Beziehung, welche mit dem für Maxima nötigen, oben beschriebenen Gangunterschied δ vervollständigt wird:
sin(αn ) =
δ
g
=
n·λ
g
,
n ∈ N0
Außerdem gilt laut dem rechten Dreieck folgende Beziehung für den Abstand dn
des n-ten Hauptmaximums von der optischen Achse:
tn(αn ) =
dn

Um den Abstand zweier benachbarter Hauptmaxima zu berechnen, reicht es aus
den Abstand d1 des ersten Hauptmaximums von der optischen Achse bzw. dem
hier vorliegenden Hauptmaximum 0-ter Ordnung zu bestimmen.
Zur Berechnung benötigst du allerdings zuerst die Wellenlänge λ. Diese ergibt sich
für Elektronen als sogenannte „De-Broglie-Wellenlänge“:
λ=
h
p
=
h
me · 
Die Größe h bezeichnet hierbei das Plancksche Wirkungsquantum und me die Masse der Elektronen. Beide kannst du dem Aufgabenblatt entnehmen. Die Geschwindigkeit  hingegen berechnet sich aus einer Energiebetrachtung beim Beschleunigen der Elektronen, wo elektrische Energie in kinetische Energie umgewandelt
wird.
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◮ Abitur 2013 | Aufgabe 2
Lösung (ausführlich)
geg.:
ges.:
U = 1, 70 kV

g = 200 nm
λ
 = 20, 0 cm
d1
n= 1
1. Schritt: Geschwindigkeit  der Elektronen bestimmen
Die Elektronen werden aus der Ruhe, also von der Anfangsgeschwindigkeit 0 =
, auf die Endgeschwindigkeit  beschleunigt. Diese Beschleunigung ist auf die
0m
s
Anziehung der Elektronen zur positiv geladenen Kathode zurückzuführen. Der Kathode steht die elektrische Energie
We = e · U
zur Verfügung, um die Elektronen zu beschleunigen. Diese Energie wird bei der
Beschleunigung in die kinetische Energie
Wkn =
1
2
· me ·  2
umgewandelt.
Aus folgender Energiebetrachtung erhältst du durch Umformen eine Gleichung für
die Geschwindigkeit  der Elektronen beim Auftreffen auf den Dreifachspalt.
Wkn = We
1
2
· me ·  2 = e · U
| ·2
me ·  2 = 2 · e · U
2 =
2·e·U
= ±
me
v
u2 · e · U
t
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| : me
| p
me
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Lösung (ausführlich)
2. Schritt: „De-Broglie-Wellenlänge“der Elektronen berechnen
Wir betrachten im Folgenden nur den Betrag dieser Gleichung. Diese setzen wir in
die Formel der „De-Broglie-Wellenlänge“ein:
h
λ=
 einsetzen
me · 
h
=
r
me · 2·e·U
m
e
h
= r
me 2 ·
= p
2 · e · me · U
= Æ
2·e·U
me
h
h, e, m e und U einsetzen
6, 63 · 10−34 J s
2 · 1, 60 · 10−19 C · 9, 11 · 10−31 kg · 1.700 V
≈ 2, 98 · 10−11 m
3. Schritt: Beugungswinkel α1 , unter dem das Maximum 1. Ordnung auftritt, bestimmen
Die Berechnung des Beugungswinkels α1 , unter dem das Maximum 1. Ordnung
auftritt, erfolgt mit der bereits oben aufgeführten Beziehung:
sin(α1 ) =
δ
g
=
1·λ
g
Für den Winkel α1 ergibt sich nach Umformen:
sin(α1 ) =
1·λ
g
α1 = sin−1
= sin
−1
= sin
−1
λ
‚
‚
= sin−1
λ und g einsetzen
g
2, 98 · 10−11 m
200 nm
2, 98 · 10−11 m
200 · 10−9 m
1, 49 · 10−4
Œ
auf die gleiche Einheit umrechnen
Œ
≈ 0, 00854◦
4. Schritt: Abstand d1 zwischen dem Hauptmaximum 0-ter und 1. Ordnung berechnen
Der Abstand d1 der beiden benachbarten Hauptmaxima 0-ter bzw. 1. Ordnung
berechnet sich nach Umstellen mit folgender Gleichung:
tn(α1 ) =
d1

| ·
tn(α1 ) ·  = d1
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◮ Abitur 2013 | Aufgabe 2
Lösung (ausführlich)
Es ergibt sich damit für d1 :
d1 = tn (α1 ) · 
α1 und  einsetzen
= tn (0, 00854◦ ) · 20, 0 cm
≈ 1, 49 · 10−4 · 20, 0 · 10−2 m
≈ 2, 98 · 10−5 m
Der Abstand zweier benachbarter Hauptmaxima beträgt ungefähr 2, 98 · 10−5 m.
◮ Häufigkeitsverteilung skizzieren
Tipp
Du sollst die Häufigkeitsverteilung des Dreifachspalts skizzieren. Das bedeutet,
dass du den Sachverhalt übersichtlich und auf das Wesentliche reduziert graphisch darstellen sollst.
Der Dreifachspalt ist ein Mehrfachspalt mit 3 Spalten. Daher ähnelt dessen Häufigkeitsverteilung der Verteilung eines Mehrfachspalts.
Diese zeichnet sich, wie in Teilaufgabe a beschrieben, durch Nebenmaxima zwischen den Hauptmaxima aus. Generell gilt, dass zwischen den Hauptmaxima bei
k beleuchteten Spalten k − 1 Intensitätsminima auftreten. An der Stelle zwischen
den Intensitätsmaxima, wo keine Hauptmaxima vorliegen, sind Nebenmaxima auffindbar.
Dies bedeutet, dass der Dreifachspalt mit seinen k = 3 Spalten zwischen den
Hauptmaxima k − 1 = 2 Intensitätsminima besitzt. Zwischen diesen zwei Minima
wiederum liegt damit entsprechend ein Nebenmaxima.
Beachte, dass bei der Häufigkeitsverteilung des Dreifachspalts auch einzelne
Hauptmaxima durch Überlagerung mit einem Einzelspaltmaximum fehlen können.
Da allerdings die Breite der Spalten nicht angegeben ist, kann dies nicht genauer
bestimmt werden.
Die Häufigkeitsverteilung des Dreifachspalts könnte ohne eine Überlagerung mit
einem Einzelspaltmaximum folgendermaßen aussehen:
Häufigkeit
d3
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d2
d1
0
2,98*10-5
d2
d3
Abstand zur
optischen Achse [in m]
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◮ Veränderungen der Häufigkeitsverteilung beschreiben und begründen
Im Folgenden soll durch eine geeignete Apparatur zuverlässig nachgewiesen werden, ob eines der Elektronen den mittleren Spalt passiert. Dieser Spalt wird also überwacht, die anderen beiden bleiben unverändert. Dies hat Auswirkungen
auf die im Detektor registrierte Häufigkeitsverteilung. Diese Veränderungen gilt
es nun zu beschreiben und zu begründen.
Nutze hierzu zuerst die Überlegung, dass die Wahrscheinlichkeitsfunktionen der
Elektronen, die den mittleren Spalt passieren, nur noch mit sich selbst und nicht
mehr mit denen der Elektronen, die die zwei äußeren Spalte passieren, interferieren können. Dies führt zu zwei sich überlagernden Häufigkeitsverteilungen.
Die Veränderungen der Häufigkeitsverteilung lassen sich mit den Quanteneigenschaften der Elektronen erklären, denn beim Mehrfachspaltphänomen ist es relevant, ob bekannt ist, welchen Weg ein Elektron auswählt. Denn man kann ihm
nur dann eine Wahrscheinlichkeitsfunktion zuordnen, wenn der Weg unbestimmt
bleibt. Ist der Weg hingegen bestimmt, erlangen die Elektronen eine „WelcherWeg-Information“, wodurch die dem mittleren Spalt entspringende Elementarwelle nicht mehr mit den Wellen der anderen Spalten interferieren kann. Manche
Physiker sprechen dabei gar vom „Kollaps der Wellenfunktion“.
Die Elementarwellen der beiden äußeren Spalte interferieren weiterhin, wodurch
am Detektor zum einen die Häufigkeitsverteilung eines Doppelspalts auftritt. Der
Abstand der Spaltmitten hat sich allerdings verdoppelt. Da für kleine Winkel (< 5◦ )
gilt, dass sin(α) ≈ tn(α) ist, folgt aus den obigen Ablenkungsfunktionen:
sin(α) =
n·λ
g
n·λ
g
≈
dn

= tn(α)
| ·
·  ≈ dn
Aus dieser Gleichung folgt, dass sich bei einer Verdopplung des Spaltmittenabstandes g der Abstand dn zwischen den Hauptmaxima antiproportional verhält,
sich also halbiert.
Nebenmaxima sind nun in der Häufigkeitsverteilung nicht mehr vorhanden, da
sich die effektive Spaltanzahl auf zwei verringert hat.
Allerdings ist die Häufigkeitsverteilung noch nicht vollständig beschrieben, da die
Elektronen, die den mittleren Spalt passieren, mit sich selbst interferieren, da
der Detektor nicht feststellen kann, wo genau das Elektron durch den Spalt tritt.
Die Häufigkeitsverteilung des Doppelspalts, mit den halbierten Abständen zwischen den Maxima, wird von dem breiten Hauptmaximum der Einzelspaltverteilung überlagert bzw. wird der zugehörige Graph „angehoben“.
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Die Häufigkeitsverteilung des geänderten Versuchsaufbaus sieht folgendermaßen
aus:
Häufigkeit
2,98*10
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-5
0
Abstand zur
optischen Achse [in m]
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