PARABELN KREISE TANGENTEN NORMALEN

PARABELN
KREISE
TANGENTEN
UND
NORMALEN
y
Leitgerade
l
L
8
6
Scheiteltangente
S
4
p = 6 cm
2
Normale n
Brennpunkt F
5
5
10
15
M
B = Berührpunkt
2
4
Scheitelkreis
Tangente t
6
8
Achse a
11. Klasse, 2013
© Jens Möller
Owingen
Tel 07551-68289
[email protected]
x
FÜR INHALT
UND PERSÖNLICHE NOTIZEN
DIE PARABEL ALS GEOMETRISCHE ORTSLINIE
y
Leitgerade l
L
8
6
Scheiteltangente
S
4
p = 6 cm
2
Brennpunkt F
Normale n
5
5
10
15
x
M
B = Berührpunkt
2
4
Scheitelkreis
Tangente t
6
8
Achse a
EIGENSCHAFTEN UND GESETZE
Die Parabel ist der geometrische Ort aller Punkte, die von einer festen Geraden (Leitgerade)
und einem festen Punkt F (Brennpunkt) gleichen Abstand haben. Der Abstand des
Brennpunktes von der Leitgeraden heißt Parameter p, dieser ist bestimmend für die Form der
Parabel.
Man kann beliebige Punkte der Parabel konstruieren, indem man den Brennpunkt F mit einem
beliebigen Punkt L (auf der Leitgeraden) verbindet, dann auf der Strecke FL das Mittellot t
errichtet und dieses anschließend mit einem achsenparallelen Strahl durch L schneidet. So
erhält man einen Parabelpunkt B, der gleichzeitig Berührpunkt für die Tangente t ist.
Errichtet man in B das Lot auf der Tangente t, so erhält man die sogenannte Normale n. Diese
verläuft parallel zur Strecke FL. Die Steigung der Normale kann man erhalten, indem man die
Steigung der Strecke FL bestimmt.
Der Scheitelkreis berührt die Parabel im Scheitelpunkt S, sein Mittelpunkt M liegt auf der
Parabel-Achse und sein Radius ist so groß wie der Parameter:
rp .
Parallel zur Parabel-Achse einfallende Lichtstrahlen werden so reflektiert, dass diese sich im
Brennpunkt F treffen. Mit einem Parabolspiegel und Sonnenlicht kann man ein Feuer
entzünden.
-1-
AUFGABE A
Gegeben ist eine Parabel durch die Leitgerade y = 6 und den Brennpunkt F(0/0). Der
Parameter ist also p = 6.
Bestimme den Scheitelpunkt der Parabel, finde die beiden Punkte (Quadratecken), die von F
und der Leitgeraden  den Abstand p haben. Konstruiere den Parabelpunkt B(8/...) und die
entsprechende Parabeltagente t. Konstruiere auch die NORMALE n in B.
Mache eine Zeichnung mit 1LE = 1cm.
Bestimme die Gleichung der Parabel.
[Ansatz:
y  a  x²  c , setze zwei Punkte mit bekannten Koordinaten ein.]
Bestimme die Gleichung der Normale n in B.
[Suche in der Zeichnung ein geeignetes Steigungsdreieck, dann verwende: y  y1  m  ( x  x1 ) .]
Bestimme die Gleichung der Tangente t in B.
[Steigung der Tangente:
mt  
1
]
mn
Die Tangente t, die Normale n und die y-Achse spannen ein Dreieck auf. Bestimme den
Flächeninhalt des Dreiecks mithilfe der Formel A  
gh
2
Wie lautet die Gleichung des Scheitelkreises?
[Die allgemeine Kreisgleichung lautet:
( x  x M )²  ( y  y M )²  r ² ]
Bestimme die Schnittpunkte des Scheitelkreises mit der x-Achse.
[Setze y  0 in die Kreisgleichung ein, benutze die binomischen Formeln und löse die
quadratische Gleichung.]
Bestimme die Schnittpunkte der Parabel mit der Geraden 7 x  24 y  0 .
Bestimme die Schnittpunkte des Scheitelkreises mit der Geraden y  x  3  0 .
-2-
LÖSUNGEN A
y
8
Leitgerade
L
6
4
Scheiteltangente
S
2
Normale n
p = 6 cm
x
F
-5
R
5
10
15
-2
B
M
Scheitelkreis
-4
Tangente t
-6
a = Achse
-8
Gleichung der Parabel:
Ansatz [wegen Symmetrie]
Scheitelpunkt S(0/3)
y  ax ²  c
→ 3  0a  c  c  3
Spezieller Punkt Q(6/0) → 0  36a  3  a   121
[Q = Quadratecke]
P : y   121 x ²  3
Die Parabelgleichung lautet:
Gleichung der Normale n in B(8/...):
Aus dem Dreieck FLR mit R(8/0) erhält man: mn  86 
3
4
Aus der Parabelgleichung erhält man:
y B   121  64  3   2 13
Mit y  y1  m ( x  x 1 ) ergibt sich:
y  2 13  34 ( x  8) →
n:
y  34 x  8 13
Gleichung der Tangente t in B:
Steigung der Tangente: m t  
1
1
  3   43
mn
4
Mit y  y1  m ( x  x 1 ) ergibt sich:
y  2 13   43 ( x  8)
-3-
→
t:
y   43 x  8 13
Flächeninhalt des Dreiecks aus t, n und y-Achse:
A 
g  h (8 13  8 13 )  8

 16 23  4  66 23 FE
2
2
Gleichung des Scheitelkreises?
Ansatz:
( x  x M )²  ( y  y M )²  r ²
| mit M(0/-3) und r = 6
( x  0)²  ( y  3)²  6²
K:
x ²  ( y  3)²  36
Schnittpunkte des Scheitelkreises mit der x-Achse:
Setze y = 0 in die Kreisgleichung ein:
x²  (0  3)²  36  x²  9  36  x²  27  x1/ 2   27   5, 2
N1 (5, 2 / 0) und
N 2 ( 5, 2 / 0)
Schnittpunkte der Parabel mit der Geraden 7x + 24y = 0:
y   247 x und
y   121 x ²  3 gleichsetzen:  247 x   121 x ²  3  2x ²  7 x  72  0
B1 (8 /  2 13 ) und B2 (4,5 / 1 165 )
Schnittpunkte des Scheitelkreises mit der Geraden y + x – 3 = 0:
y  x  3 einsetzen in die Kreisgleichung:
x ²  ( y  3)²  36  x ²  (x  6)²  36  x ²  x ²  12x  36  36  2x ²  12x  0
2x  ( x  6 )  0  x1  0 und x2  6
A1 (0 / 3) und A2 (6 / 3)
-4-
AUFGABE B [WIEDERHOLUNG]
Gegeben ist eine Parabel durch die Leitgerade y = 6 und den Brennpunkt F(0/2).
Der Parameter ist also p = 4.
Bestimme den Scheitelpunkt der Parabel, finde die beiden Punkte Q (Quadratecken), die von
F und der Leitgeraden  den Abstand p haben. Konstruiere den Parabelpunkt B(6/...) und die
entsprechende Parabeltagente t. Konstruiere auch die NORMALE n in B.
a)
Mache eine Zeichnung mit 1LE = 1cm.
b)
Bestimme die Gleichung der Parabel.
[Ansatz:
c)
y  a  x²  c , setze zwei Punkte mit bekannten Koordinaten ein.]
Bestimme die Gleichung der Normale n in B.
[Suche in der Zeichnung ein geeignetes Steigungsdreieck, dann verwende:
y  y1  m  ( x  x1 ) ]
d)
Bestimme die Gleichung der Tangente t in B.
[Steigung der Tangente:
e)
mt  
1
]
mn
Die Tangente t, die Normale n und die y-Achse spannen ein Dreieck auf. Bestimme den
Flächeninhalt des Dreiecks mithilfe der Formel
f)
gh
2
Wie lautet die Gleichung des Scheitelkreises?
[Die allgemeine Kreisgleichung lautet:
g)
A 
( x  x M )²  ( y  y M )²  r ² ]
Bestimme die Schnittpunkte des Scheitelkreises mit der x-Achse.
[Setze y  0 in die Kreisgleichung ein, benutze die binomischen Formeln und löse die
quadratische Gleichung.]
h)
Bestimme die Schnittpunkte der Parabel mit der Geraden
i)
Bestimme die Schnittpunkte des Scheitelkreises mit der Geraden
-5-
y  32 x  4 .
y  32 x  4 .
LÖSUNGEN B
y
a)
L
S
F
n
Q
1
x
1
B
t
y  ax ²  c 
y   18 x ²  4
b)
F (0 / 2) S (0 / 4) Q (4 / 2)
c)
yB   18  6²  4   0,5  B(6 /  0,5) und mFL   64   23
y  y B  m( x  x B ) 
n : y  0,5  23 ( x  6) 
y  23 x  4,5
d)
t : y   32 x  8,5
e)
A  12  (8,5  4,5)  6  39 FE
f)
K : x²  y ²  16
g)
y  0  x ²  16  N1/ 2 (4 / 0)
h)
 18 x ²  4  32 x  4 | 8   x ²  32  12 x  32  x ²  12 x  64  0
S1 (4 / 2)  Q und
i)
S 2 (16 / 28)
x ²  ( 32 x  4)²  16  x ²  94 x ²  12 x  16  16 0 
13
4
x ²  12 x  0 | 4
48
13x ²  48 x  0 | ausklammern  x  (13x  48)  0  x1  0 x2  13
S1 (0 /  4) und
S 2 (3, 692../1,538..)
[Zur Kontrolle zeichne die Gerade ein.]
-6-
AUFGABE C-1
Gegeben ist eine Parabel durch die Leitgerade y   4 und den Brennpunkt F(0/1). Der
Parameter ist also p = 5.
Bestimme den Scheitelpunkt der Parabel, finde die beiden Punkte Q (Quadratecken), die von
F und der Leitgeraden  den Abstand p haben. Konstruiere den Parabelpunkt B(10/...) und die
entsprechende Parabeltagente t. Konstruiere auch die NORMALE n in B.
a)
Mache eine Zeichnung mit 1LE = 1cm.
b)
Bestimme die Gleichung der Parabel.
y  a  x²  c , setze zwei Punkte mit bekannten Koordinaten ein.]
[Ansatz:
c)
Bestimme die Gleichung der Normale n in B.
[Suche
in
der
Zeichnung
ein
geeignetes
Steigungsdreieck,
dann
verwende:
y  y1  m ( x  x 1 ) ]
d)
Bestimme die Gleichung der Tangente t in B.
[Steigung der Tangente:
e)
mt  
1
]
mn
Die Tangente t, die Normale n und die y-Achse spannen ein Dreieck auf. Bestimme den
Flächeninhalt des Dreiecks mit Hilfe der Formel A  
f)
Wie lautet die Gleichung des Scheitelkreises?
[Die allgemeine Kreisgleichung lautet:
g)
gh
2
( x  x M )²  ( y  y M )²  r ² ]
Bestimme die Schnittpunkte des Scheitelkreises mit der x-Achse.
[Setze y  0 in die Kreisgleichung ein, benutze die binomischen Formeln und löse die
quadratische Gleichung.]
h)
Bestimme die Schnittpunkte der Parabel mit der Geraden
i)
Bestimme die Schnittpunkte des Scheitelkreises mit der Geraden
-7-
y  12 x  3,5 .
y  43 x  3,5 .
LÖSUNGEN C-1
y
n
a)
B
C
M
A
Q
F
t
x
1
D
S
L
b)
F (0 / 1) S (0 / 1,5) Q (5 / 1)
c)
B(10 / 8,5) und
mn   105   12
d)
B(10 / 8,5) und
mt   2 
e)
A  12  (13,5  11,5) 10  125 FE
f)
K : x ²  ( y  3,5)2  25
g)
y  0  x ²  12, 25  25  N1/2 (  3,57 / 0)
h)
 101 x ²  1,5  12 x  3,5 | 10  x ²  15  5 x  35  x ²  5 x  50  0
 S1 (5 /1)  A und
i)
y  ax ²  c 

y   101 x ²  1, 5 ( nach oben geöffnet )
y  y B  m ( x  xB ) 
y  y B  m ( x  xB ) 
n : y   12 x  13,5
t : y  2 x  11,5
S2 (10 / 8,5)  B
x²  ( 43 x 3,5  3,5 )2  25  x²  169 x²  25 | 9  9 x²  16 x²  225  x²  9 | 
S1 (3 / 0,5)  D und
S 2 (3 / 7,5)  C
-8-
[Zur Kontrolle zeichne die Gerade ein.]
AUFGABE C-2
Gegeben ist eine Parabel durch die Leitgerade y   3 und den Brennpunkt F(0/1). Der
Parameter ist also p = 4.
Bestimme den Scheitelpunkt der Parabel, finde die beiden Punkte Q (Quadratecken), die von
F und der Leitgeraden  den Abstand p haben. Konstruiere den Parabelpunkt B(6/...) und die
entsprechende Parabeltagente t. Konstruiere auch die Normale n in B.
a)
Mache eine Zeichnung mit 1LE = 1cm.
b)
Bestimme die Gleichung der Parabel.
[Ansatz:
c)
y  a  x²  c , setze zwei Punkte mit bekannten Koordinaten ein.]
Bestimme die Gleichung der Normale n in B.
[Suche in der Zeichnung ein geeignetes Steigungsdreieck, dann verwende:
y  y1  m ( x  x 1 ) ]
d)
Bestimme die Gleichung der Tangente t in B.
[Steigung der Tangente:
e)
mt  
1
]
mn
Die Tangente t, die Normale n und die y-Achse spannen ein Dreieck auf. Bestimme den
Flächeninhalt des Dreiecks mithilfe der Formel A  
f)
Wie lautet die Gleichung des Scheitelkreises?
[Die allgemeine Kreisgleichung lautet:
g)
gh
2
( x  x M )²  ( y  y M )²  r ² ]
Bestimme die Schnittpunkte des Scheitelkreises mit der x-Achse.
[Setze y  0 in die Kreisgleichung ein, benutze die binomischen Formeln und löse die
quadratische Gleichung.]
h)
Bestimme die Schnittpunkte der Parabel mit der Geraden
i)
Bestimme die Schnittpunkte des Scheitelkreises mit der Geraden
-9-
y  12 x  3 .
y  x7 .
y
LÖSUNGEN C-2
a)
C
B
D
A
F
x
1
L
b)
F (0 / 1) S (0 / 1) Q (4 / 1)
c)
B(6 / 3,5) und
mn   64   32

d)
B(6 / 3,5) und
mt   32
y  y B  m ( x  xB ) 
e)
A  12  (7,5  5,5)  6  39 FE
f)
K : x ²  ( y  3)2  16
g)
y  0  x ²  9  16  N1/2 (  2, 65 / 0)
h)
 18 x ²  1  12 x  3 | 8  x ²  8  4 x  24  x ²  4 x  32  0
 S1 (4 /1)  A und
i)
y  ax ²  c 

y   18 x ²  1 ( nach oben geöffnet )
y  y B  m ( x  xB ) 
t : y  32 x  5,5
S2 (8 / 7)
x ²  ( x  7  3) 2  16  x ²  x ²  8 x  16  16
S1 (0 / 7)  C und
n : y   23 x  7,5
S 2 ( 4 / 3)  D
 2 x ²  8 x  0  x  (2 x  8)  0
[Zur Kontrolle zeichne die Gerade ein.]
- 10 -
AUFGABE D [WIEDERHOLUNG DREIECK UND PARABEL]
Ein Dreieck ist gegeben durch die drei Punkte A(-2/0), B(8/2) und C(2/8).
a)
Zeichne das Dreieck (1LE = 1cm) mit allen drei Höhen und dem Höhenschnittpunkt H.
b)
Bestimme die Gleichungen der Höhen ha und hb.
c)
Berechne den Höhenschnittpunkt.
d)
Stelle die Gleichung der Parabel auf, die durch die Punkte A, B und C geht.
e)
Zeichne die Parabel mit der Gleichung
y   0,3x²  2 x  5, 2
in das vorhandene
Koordinatensystem ein.
WERTETABELLE
x
-2
y
0
-1
Ergänze die fehlenden y-Werte
0
1
2
8
3
4
5
6
7
8
2
f)
Wo schneidet die Parabel die x-Achse?
g)
In welchen Punkten schneidet die Gerade g mit der Gleichung y = 2x + 4 die Parabel?
- 11 -
LÖSUNGEN D
y
a)
C
H
B
1
A
x
1
b)
ha : y  x  2
hb : y   12 x  6
c)
H (2 23 / 4 23 )
d)
PARABELGLEICHUNG
hc : y  5 x  18
ax²  bx  c  y
ANSATZ
4a  2 b  c  0
A →
B → 64a  8b  c  2
4a  2 b  c  8
C →
(zweimal)
y   0,3 x ²  2 x  5, 2
Ergebnis:
e)
lasse zuerst c herausfallen
Wertetabelle:
x
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
y
0
2,9
5,2
6,9
8
8,5
8,4
7,7
6,4
4,5
2
Zeichnung der Parabel
 b  b ²  4ac
2a
Mitternachtsformel:
x1 / 2 
f)
Nullstellen:
N1 (2 / 0) und
g)
Schnittpunkte:
S1 ( 2 / 0)
N 2 (8 23 / 0)
und S2 ( 2 / 8)
- 12 -
PARABEL UND BRENNPUNKT
Kann man aus einer Parabelgleichung auf die Größe des Parameters p und auf die Lage des
Brennpunktes F schließen?
Zunächst soll eine Parabel untersucht werden, deren Brennpunkt F im Koordinatenursprung
und dessen Scheitel S auf der y-Achse liegt. So eine Parabel hat die Gleichung y  ax ²  c ,
wobei die Koeffizienten a und c sowohl positive als auch negative Werte haben können.
y
4
2
x
F
-10
-5
5
Q(p/0)
10
-2
p
p = 6 cm
S
-4
L
-6
Folgende Angaben sind bekannt
Brennpunkt:
F(0/0)
Scheitelpunkt:
S(0/- p2 ),
die Parabel soll nach oben geöffnet sein.
Spezieller Punkt auf der x-Achse: Q(p/0) hat gleichen Abstand zur Leitgeraden  und zu F.
Daraus ergibt sich
S(0/- p2 ) einsetzen:
→
y  ax ²  c
→
 p2  0  c
→
c   p2
Q(p/0) einsetzen:
→
y  ax ²  p2
→
0  ap²  p2
→
a
→
y
für nach oben geöffnete Parabeln.
Entsprechend
→
y   21p x ² 
MERKE
→
a
1
2p
x ²  p2
p
2
1
2p
- 13 -
1
2p
für nach unten geöffnete Parabeln.
Beispiel
Untersuche die Parabel mit der Gleichung
y   121 x ²  3 . Bestimme den Parameter p, den
Scheitelpunkt S und den Brennpunkt F.
Lösung
Aus a 
1
2p
 121 
folgt:
1
2p
Aus c = 3 folgt:
Aus c = 3 und
p
2
 3 folgt:
→
p = -6
→
S(0/3)
→
F(0/0)
nach unten geöffnet
Beispiel
Untersuche die Parabel mit der Gleichung
y  18 x ²  6 . Bestimme den Parameter p, den
Scheitelpunkt S und den Brennpunkt F.
Lösung

1
2p
→
p=4
c = -6
→
S(0/-6)
→
F(0/-4)
1
8
c = -6 und
p
2
 2
nach oben geöffnet
Beispiel
Untersuche die Parabel mit der Gleichung
y  52 x ²  3 . Bestimme den Parameter p, den
Scheitelpunkt S und den Brennpunkt F.
Lösung
1
2p
→
p  54  1,25
c = -3
→
S(0/-3)
→
F(0 /  2 83 )
2
5

c = -3 und
p
2

5
8
- 14 -
nach oben geöffnet
AUFGABE E
Gegeben ist eine Parabel mit der Gleichung y  18 x ²  3 .

Bestimme den Parameter p, den Scheitelpunkt S und den Brennpunkt F.

Zeichne die Parabel im Bereich  6  x  6 mithilfe einer Wertetabelle.
Wertetabelle:
x
0
Ergänze die fehlenden y-Werte
±1
±2
±3
±4
±5
±6
y

Bestimme in B(6/...) die Gleichung der Normale n.

Bestimme in B(6/...) die Gleichung der Tangente t.

Die Tangente t, die Normale n und die y-Achse spannen ein Dreieck auf. Bestimme den
Flächeninhalt des Dreiecks mithilfe der Formel A  

gh
2
.
Stelle die Gleichung der Geraden g auf, die durch F und B geht. In welchem Punkt
schneidet die Gerade FB die Parabel noch einmal?

Bestimme einen Kreis, der die y-Achse, den nach oben verlängerten Brennstrahl BL
und den Strahl BF berührt. Wo liegt sein Mittelpunkt, wie groß ist sein Radius, wie
lautet die Kreisgleichung?

Bestimme im Dreieck FBL auf einfache Weise den Höhenschnittpunkt (Sonderfall).
- 15 -
LÖSUNGEN E
Aus a 
1
2p
folgt:
1
8

1
2p
Aus c = -3 folgt:
p
2
Aus c = -3 und
 2 folgt:

→
p = +4
→
S(0/-3)
→
F(0/-1)
Die Parabel ist nach oben geöffnet.
Wertetabelle
x
0
±1
±2
±3
±4
±5
±6
y
-3
-2,875
-2,5
-1,875
-1
0,125
1,5
Parabel zeichnen, Tangente und Normale zeichnen
y
8
6
4
2
B
x
-5
5
n
F
H
C
p = 4 cm
-2
y B  18  36  3  1,5
S
-4
B (6 / 1, 5)
L
n: y   23 x  5,5
-6
t: y  32 x  7,5
A 
gh
2
= 39 FE
g: y  125 x  1
mit der Parabel gleichsetzen
Mittelparallele:
x = 3 geschnitten mit n (Winkelhalb.) ergibt:
Kreisgleichung:
K: ( x  3)²  ( y  3,5)²  9
Höhenschnittpunkt:
Schneide t mit y  1
- 16 -
→
→
C(2 23 /  2 19 )
M(3/3,5)
H(4 13 /-1)
AUFGABE F
Gegeben ist eine Parabel mit der Gleichung y  121 x ²  2 .

Bestimme den Parameter p, den Scheitelpunkt S und den Brennpunkt F.

Zeichne die Parabel im Bereich  6  x  12 mithilfe einer Wertetabelle. Wähle fürs
Zeichnen 1LE = 1cm.
Wertetabelle:
x
0
Ergänze die fehlenden y-Werte
±2
±4
±6
8
10
12
y

Bestimme in B(10/...) die Gleichung der Normale n.

Bestimme in B(10/...) die Gleichung der Tangente t.

Die Tangente t, die Normale n und die y-Achse spannen ein Dreieck auf. Bestimme den
Flächeninhalt des Dreiecks mithilfe der Formel A  

gh
2
.
Stelle die Gleichung der Geraden g auf, die durch F und B geht. In welchem Punkt C
schneidet die Gerade FB die Parabel noch einmal?

Bestimme einen Kreis, der die y-Achse, den nach oben verlängerten Brennstrahl BL
und den reflektierten Strahl BF berührt. Wo liegt sein Mittelpunkt, wie groß ist sein
Radius, wie lautet die Kreisgleichung?

Bestimme einen Kreis, der die y-Achse, den nach unten verlängerten Brennstrahl BL
und den Strahl BF berührt. Wo liegt sein Mittelpunkt, wie groß ist sein Radius, wie
lautet die Kreisgleichung?

Bestimme im Dreieck FBL auf einfache Weise den Höhenschnittpunkt (Sonderfall).

Bestimme den Flächeninhalt des Dreieckes FBL (Sonderfall).

Bestimme die Nullstellen der Parabel.

Wo schneidet der untere Kreis die x-Achse?

Wo schneidet der untere Kreis die Leitgerade der Parabel?

Welchen Abstand haben die beiden Kreise voneinander? Die Lösung ergibt sich aus der
Zeichnung.

Der untere Kreis schneidet die Parabel in zwei Punkten. Bestimme einen dieser beiden
Punkte durch Rechnung, der andere Schnittpunkt ist durch elementares Rechnen
zunächst nicht bestimmbar.

Bitte unbedingt alle Ergebnisse an der Zeichnung überprüfen!!
MITTERNACHTSFORMEL x1 / 2 
 b  b ²  4ac
2a
- 17 -
LÖSUNGEN F
Parabel: y  121 x ²  2
Aus a 
1
2p
folgt:
1
12

1
2p
Aus c = -2 folgt:
Aus c = -2 und
p
2
 3 folgt:
→
p = +6 → Die Parabel ist nach oben geöffnet
→
S(0/-2)
→
F(0/1)
Wertetabelle
x
0
±2
±4
±6
8
y
-2
-1,67
-0,67
1
3,33
10
12
6,33
10
Die Parabel, Tangente und Normale zeichnen.
y B  121  100  2  6 13 → B(10/6 13 )
n: y   53 x  12 13
t: y  53 x  10 13
A 
gh
2
= 113,3 FE
Die Steigung von g erhält man aus den Punkten F und B mithilfe der Formel: m 
g: y  158 x  1
mit der Parabel gleichsetzen
y 2  y1
x 2  x1
→ C(3,6 /  0,92)
Mittelparallele: x = 5 geschnitten mit n (Winkelhalb.) ergibt: → M1(5/9 13 ) und r = 5
K1: ( x  5)²  ( y  9 13 )²  25
Kreisgleichung
Mittelparallele: x = 5 geschnitten mit t (Winkelhalb.) ergibt:
Kreisgleichung
K2: ( x  5)²  ( y  2)²  25
Höhenschnittpunkt:
Schneide t mit y = 1
Flächeninhalt: A  
gh
2
→ M2(5/-2) und r = 5
→ H(6,8/1)
 56 23 FE
Nullstellen der Parabel: setze y = 0
N1(-4,9/0) und N2(4,9/0)
Schnittstellen des Kreises mit der x-Achse:
(x  5)²  2²  25
x1 / 2  5  21
Schnittpunkte mit der Leitgeraden:
S1(1/-5) und S2(9/-5)
Abstand der beiden Kreise: d = 1 13
Schnitt Parabel / Kreis:
- 18 -
( x  5)²  ( 121 x ²  2  2)²  25
( x  5)²  ( 121 x ²)²  25
1
x ²  10x  25  144
x 4  25
1
x ²  10x  144
x4  0
| x ausklammern
1
x  ( x  10  144
x3 )  0
Nullprodukt  x  0
Daraus ergibt sich S(0/-2).
y
12
t
10
n
8
B
6
4
D
2
F
H
-5
5
C
x
10
-2
S
-4
L
-6
- 19 -
PARABEL UND STEIGUNG DER TANGENTE
Um die Tangente an irgendeinem Parabelpunkt bestimmen zu können, benötigt man die
Koordinaten des Berührpunktes und die Steigung der Parabel am Berührpunkt.
Zunächst soll die Steigung an einer Parabel untersucht werden, die symmetrisch zur y-Achse
liegt und die Gleichung y  ax² + c hat.
Zur Veranschaulichung kann man c = 0 wählen, da die Konstante c die Kurve nur verschiebt,
nicht aber ihre Steigung ändert.
14
y
12
t
10
8
B(x /...)
6
n
4
F
2
x
-5
5
p
10
15
p = 6 cm
-2
x
L
-4
a
-6
Aus dem markierten Steigungsdreieck bekommt man die Steigung der Normale:
1
1
 p 
mn
x
Durch Kehrwertbildung erhält man die Steigung der Tangente:
mt  
Aus a 
m t  xp  2ax
1
2p
folgt,
1
p
 2a . Damit ergibt sich die Tangentensteigung:
m n   xp
x
p
MERKE
Die Tangentensteigung am Parabelpunkt B(x /...) beträgt:
- 20 -
mt  2a x
.
Beispiel:
y  121 x ²  2
Gegeben ist die Parabelgleichung:
und der Parabelpunkt B(9/4,75)
Gesucht ist die Tangentengleichung in B.
a  121 und xB = 9 und yB = 4,75
18
m t  2ax  2  121  9  12
 1,5
→
Tangentengleichung: y  y B  m ( x  x B )
→
t: y  4,75  1,5( x  9)
→
t: y  1,5x  8,75
AUFGABE G-1
Gegeben ist eine Parabel mit der Gleichung y   161 x ²  4 .

Bestimme den Parameter p, den Scheitel S und den Brennpunkt F der Parabel. Wie ist
die Parabel geöffnet?

Berechne die beiden Nullstellen der Parabel.

Bestimme die Gleichung der Tangente in B(8/...) nach dem neuen Verfahren (siehe
vorige Seite). Zeichne die Tangente.

Bestimme die Gleichung der Tangente in A(-4/...) nach dem neuen Verfahren (siehe
vorige Seite). Zeichne die Tangente.

Ergänze die fehlenden y-Werte und zeichne die Parabel für  8  x  8 :
x
0
±2
±4
±6
±8
y

Die Tangenten schneiden sich in einem Punkt C. Bestimme die Koordinaten von C.

Verbindet man die Punkte A und B miteinander, so erhält man die Gerade c. Bestimme
die Gleichung von c.

Bestimme den Flächeninhalt vom Dreieck ABC. (Formel: siehe Formelsammlung)

Konstruiert man eine Parallele zur y-Achse durch A, so erhält man einen Brennstrahl,
verbindet man A mit F, so erhält man den reflektierten Brennstrahl. Konstruiere die
Winkelhalbierende w zwischen den beiden Strahlen und bestimme ihre Gleichung.

Es gibt einen Kreis K1, der die x-Achse und den Brennstrahl parallel zur y-Achse
berührt und dessen Mittelpunkt auf der Winkelhalbierenden w liegt. Wie lautet seine
Gleichung?

Wie lautet die Gleichung des Kreises, dessen Mittelpunkt M(-1/-3) ist und die Parabel
im Punkt A berührt? Wie groß ist der Radius?

In welchen 4 Punkten schneidet der Kreis K2 die Koordinatenachsen?
- 21 -
LÖSUNGEN G-1
y
Leitgerade
C
S
A
c
tA
B
F
x
tB
M
Parabel: y   161 x ²  4
Aus a 
1
2p
 161 
folgt:
Aus c = +4 folgt:
Aus c = +4 und
p
2
 4 folgt:
1
2p
→
p = - 8 → Die Parabel ist nach unten geöffnet.
→
S(0/+4)
→
F(0/0)
Nullstellen:
Gleichung der x-Achse: y = 0 → 0   161 x ²  4 → N1/2(  8/0)
Tangentensteigung:
a   161 und xB = 8 und yB = 0
→
m B  2a  x B  2  ( 161 )  8   16
16   1
Tangentengleichung:
Tangentensteigung:
y  y B  m(x  x B )
→
t: y  1  ( x  8)
→
t: y  x  8
a   161 und xA = -4 und yB = 3
m A  2a  x A  2  (  161 )  ( 4)  168 
Tangentengleichung:
y  y A  m  ( x  xA ) 
- 22 -
→
1
2
y  3  21  ( x  4 ) 
y  21 x  5
Wertetabelle
x
0
±2
±4
±6
±8
y
4
3,75
3
1,75
0
Schnittpunkt C:
 x  8  21 x  5  C (2 / 6 )
Steigung c:
m
Verbindungsgerade c:
y  y1  m  ( x  x1 )  c : y   41 x  2
Dreiecksfläche:
A  21   xA ( yB  yC )  xB ( yC  y A )  xC ( y A  yB )  .......  27 FE
y2  y1
1

x2  x1
4
Winkelhalbierende konstruieren:
Die Normale zur Tangente t ist die Winkelhalbierende. Die Steigung der Normale erhält man
durch Kehrwertbildung:
m  2 und
A( 4 / 3) 
y  y1  m  ( x  x1 )  w : y  2x  5
Kreis K1 :
Der Mittelpunkt muss einerseits auf der Geraden g : y   x  4 (Winkelhalbierende
zwischen x-Achse und Brennstrahl) andererseits auf der Geraden w : y  2x  5 liegen.
Der Schnittpunkt der beiden Geraden ist M(-1/-3). Der Abstand zur x-Achse ist r = 3.
Damit ergibt sich die Kreisgleichung
K1 : ( x  1)²  ( y  3)²  9 .
Kreis K 2 :
Radius = Abstand von M nach A:
r 2  45
K 2 : ( x  1)²  ( y  3)²  45 mit
r  45
Schnitt mit der x-Achse,
setze y  0  ( x  1)²  3²  45 x²  2x  1  9  45  x²  2x  35  0
N1 (7 / 0 ) und
N 2 (5 / 0 )
Schnitt mit der y-Achse,
setze x = 0:
rechne ebenso
 S1  0 / 3, 63  und
- 23 -
S 2  0 / 9, 63 
AUFGABE G-2 [WIEDERHOLUNG]
Gegeben ist eine Parabel mit der Gleichung y  18 x ²  4 .

Bestimme den Parameter p, den Scheitel S und den Brennpunkt F der Parabel. Wie ist
die Parabel geöffnet?

Berechne die beiden Nullstellen der Parabel.

Bestimme die Gleichung der Tangente in B(4/...) nach dem neuen Verfahren (siehe
Musteraufgabe). Zeichne die Tangente.

Bestimme die Gleichung der Tangente in A(-8/...) nach dem neuen Verfahren (siehe
Musteraufgabe). Zeichne die Tangente.

Ergänze die fehlenden y-Werte und zeichne die Parabel für  8  x  8 :
x
0
±2
±4
±6
±8
y

Die Tangenten schneiden sich in einem Punkt C. Bestimme die Koordinaten von C.

Bestimme im Punkt B die Gleichung der Normale n.

Es gibt einen Kreis K1, der die Parabel im Punkt B berührt und dessen Mittelpunkt M
auf der x-Achse liegt. Wie lautet die Kreisgleichung?

Bestimme die Schnittpunkte dieses Kreises mit der y-Achse.

Es gibt einen zweiten Kreis K2, der die Parabel im Punkt A berührt und außerdem durch
die Punkte P (8 / 8) und Q(0 / 8) geht. Bestimme den Mittelpunkt. Wie lautet die
Kreisgleichung?
Bitte alle Ergebnisse an der Zeichnung prüfen.
- 24 -
LÖSUNGEN G-2
K2
P
y
10
8
Q
6
M2
A
4
K1
2
M1
-10
-5
5
-2
10
B
-4
n
-6
C
-8
 K1 : ( x  2)²  y ²  8

 K : ( x  4)²  ( y  6)²  20 
 2

- 25 -
x
DIE STEIGUNG EINER BELIEBIGEN PARABEL
y  a x2  b x  c
Die allgemeine Parabelgleichung lautet:
Die Gleichung besteht aus folgenden Teilen:
(1)
dem quadratischen Teil:
y  a x2
(2)
dem linearen Teil:
yb x
(3)
dem konstanten Teil:
yc
Jedem Teil kann man seine spezielle Steigung m zuordnen:
(1)
Der quadratische Teil besitzt die Steigung einer Parabel:
m  2a  x
(2)
Der lineare Teil besitzt die Steigung einer Geraden:
mb
(3)
Der konstante Teil besitzt die Steigung einer Waagerechten:
m0
ZUSAMMENFASSUNG
Die allgemeine Parabel
y  a x2  b x  c
besitzt die Steigung
m  2a  x  b  0
Beispiel 1:
y
1
x²  3 x  5
4
m
2
1
x3  m  x3
4
2
Beispiel 2:
Gegeben ist die Parabel mit der Gleichung
y
1
x ²  1, 5x  2 .
10
Bestimme die Tangenten in den Punkten A(5/...) und B(15/...) durch Rechnung.
Anschließend zeichne die Tangenten und die Parabel. Wo liegt der Scheitelpunkt?
- 26 -
LÖSUNG
1
 5²  1, 5  5  2  7  A(5 / 7 )
10
Funktionswert
yA  
Steigung
1
m   x  1, 5
5
1
m( A)    5  1, 5  1  1, 5  0, 5
5
y  y A  m ( x  xA ) 
y  7  0, 5  ( x  5)
t A : y  0, 5 x  4, 5
Ebenso erhält man für
B(15/2) die Tangente: tB : y  1, 5 x  24, 5
BESTIMMUNG DES PARABELSCHEITELS
MERKE
Am Scheitel ist die Steigung m = 0, weil die Scheiteltangente waagerecht verläuft.
m  0   51 x  1, 5  0   x  7 , 5  x  7 , 5  S (7 , 5 / 7 , 625)
12
y
10
8
S
A
6
4
B
2
5
10
-2
- 27 -
15
x
AUFGABE H
1
Gegeben ist die Parabel mit der Gleichung y   x ²  2, 5 x  3 .
4

Bestimme die Tangentengleichung im Punkt A(2/...). Zeichne die Tangente.

Bestimme die Tangentengleichung im Punkt B(6/...). Zeichne die Tangente.

Bestimme den Scheitelpunkt der Parabel. (siehe Musteraufgabe auf der vorigen Seite).

Bestimme die Nullstellen der Parabel.

In welchem Punkt schneidet die Parabel die y-Achse?

Zeichne die Parabel im Bereich 0  x  10 . Mache eine Wertetabelle
x
0
1
2
3
4
.......... 10
y

Berechne den Schnittpunkt C der beiden Tangenten.

Bestimme die Geradengleichung von AB = c.

Bestimme die Gleichung des Lotes von C auf die gegenüberliegende Seite c.

Wo schneidet dieses Lot die x-Achse?

Die Gerade c, die Tangente in B und die y-Achse schließen eine dreieckige Fläche ein.
Bestimme die Größe der Dreiecksfläche.

Ein Kreis K berührt die Gerade c im Punkt Q(3/1,5). Der Mittelpunkt M des Kreises
liegt auf der x-Achse. Bestimme die Koordinaten von M. Bestimme den Radius. Wie
lautet die Kreisgleichung?

Wo schneidet der Kreis die x-Achse?

Wo liegt der Brennpunkt der Parabel?

Wie lautet die Gleichung des Scheitelkreises?
- 28 -
LÖSUNGEN H
7
y
6
5
C
4
S
3
2
Q
1
B
tB
F
c
M
A
x
2
-1
4
6
tA
-2
t A : y  32 x  2
t B: y   21 x  6
S(5/3,25)
N1(1,4/0) und N2(8,6/0)
Y(0/-3)
C(4/4)
c : y  21 x
Lot : y  2x  12
Lotfußpunkt auf der x  Achse 
A 
y  0  L(6 / 0 )
g h
 18 FE
2
Lot in Q : y  2x  7 , 5
Lotfußpunkt auf der x  Achse 
y  0  M (3, 75 / 0 )
Radius = MQ = 1,677..
K1 : ( x  3,75)²  y ²  2, 8125
N1(3,75-1,677/0) = (2,073/0) und N2(3,75+1,677/0) = (5,427/0)
Parameter p = -2, F(5/2,25),
K 2 : ( x  5)²  ( y  1, 25)²  4
- 29 -
8
10
AUFGABE I [WIEDERHOLUNG]
Gegeben ist die Parabel mit der Gleichung y 
1
x²  x  2 .
12

Bestimme die Steigung der Parabel: m = . . . .

Bestimme die Tangentengleichung im Punkt A(0/...). Zeichne die Tangente.

Bestimme die Tangentengleichung im Punkt B(10/...). Zeichne die Tangente.

Bestimme den Scheitelpunkt der Parabel. (siehe Musteraufgabe).

Wo liegt der Brennpunkt F der Parabel? Zeichne F ein.

Bestimme die Nullstellen der Parabel.

Zeichne die Parabel im Bereich 0  x  12 . Mache eine Wertetabelle
x
0
1
2
3
4
5
6
..........
12
y

Berechne den Schnittpunkt C der beiden Tangenten.

Bestimme die Geradengleichung von AB = c.

Die Gerade c, die Tangente in B und die y-Achse schließen eine dreieckige Fläche ein.
Bestimme die Größe der Dreiecksfläche.

Bestimme die Gleichung der Normale in B.

Ein Kreis K1 berührt die beiden Brennstrahlen (FB und den Parallelstrahl zur y-Achse)
und die Parabelachse a. Bestimme die Kreisgleichung.

Ein zweiter Kreis K2 hat denselben Mittelpunkt wie K1 und berührt die Parabel im
Punkt B. Bestimme den Radius. Wie lautet die Kreisgleichung?

Wo schneidet K2 die x-Achse?
- 30 -
LÖSUNGEN I
Steigung:
m
1
x 1
6
tB: y 
tA : y  x  2
2
x  6 31
3
Scheitelpunkt:
Setze
m=0
→
S(6/-1)
Parameter:
p=6
→
F(6/2)
Nullstellen:
N1(2,54/0) und N2(9,46/0)
Schnittpunkt:
C(5/-3)
1
c: y   x2
6
A 
g h
 41 23 FE
2
Normale:
3
y   x  15 31
2
1. Kreis:
Normale geschnitten mit x = 8 → M(8/3 13 )
K1 : ( x  8)²  ( y  3 31 )²  4
r = MB = 13
2. Kreis:
K2: K 2 : ( x  8)²  ( y  3 31 )²  13
Schnittpunkte:
S1(6,63/0) und S2(9,37/0)
9
y
8
a
7
6
K2
K1
5
4
M
3
2
A
t
F
c
1
B
-2
2
4
6
8
x
10
12
-1
S
n
-2
- 31 -
PARABEL AUS DREI PUNKTEN
Gegeben ist eine Parabel durch die drei Punkte A(-2/0), B(8/2) und C(2/8). Bestimme die
Parabelgleichung. Wo schneidet die Parabel die x-Achse? Wie lautet die Tangentengleichung
im Punkt A?
ax²  bx  c  y
Ansatz:
(I)
A(-2/0) einsetzen:
4a  2b  c  0
(II)
B(8/2) einsetzen:
64a  8b  c  2
(III) C(2/8) einsetzen:
4a  2 b  c  8 |·(-1)
y
Kombiniere (I) mit (III):
(I)
zuerst lasse c herausfallen.
10
4a  2b  c  0
C
8
(III)  4a  2b  c  8
 4b
 8 | :(-4)
6
b=2
4
Ebenso kombiniere (II) mit (III):
(II):
B
2
64a  8b  c  2
A
x
5
(III)  4a  2b  c  8
60a  6b
10a  b
-2
 6 |: 6
 1
b = 2 einsetzen in 10a  b  1 : → 10a  2  1  a   103   0,3
a und b einsetzen in Gleichung (I) oder (II) oder (III):
(I):
4  (0,3)  2  2  c  0  c  5,2
Die Gleichung der Parabel lautet: y  0,3x ²  2x  5,2
Nullstellen:
N1 (2 / 0) und
Tangente in A:
y  3,2x  6,4
- 32 -
N 2 (8 23 / 0)
10
AUFGABE J-1
Gegeben ist eine Parabel durch die drei Punkte A(2/1,25), B(4/0) und C(8/-1). Bestimme die
Parabelgleichung.
1
x²  x  3 ]
16

[Rechnung auf der folgenden Seite. Zwischenergebnis:
y

Bestimme die Steigung der Parabel:
m=....

Bestimme die Nullstellen der Parabel.

Bestimme den Scheitelpunkt der Parabel.

Bestimme den Brennpunkt F der Parabel?

Bestimme die Gleichung des Scheitelkreises.

Bestimme die Gleichungen der Parabeltangenten in den beiden Nullstellen.
LÖSUNGEN J-1
Steigung:
m  18 x  1
Nullstellen:
N1 ( 4 / 0)
und
N 2 (12 / 0)
Scheitel:
m=0
→
S(8/-1)
Brennpunkt:
p=8
Scheitelkreis:
(x  8)²  ( y  7)²  64
Tangenten:
y  12 x  6
→ F(8/3) und M(8/7)
y   12 x  2
15
y
14
13
12
11
10
9
8
M
7
6
5
4
F
3
2
A
1
x
B
2
4
6
8
-1
S
-2
-3
- 33 -
10
12
14
16
18
PARABELGLEICHUNG BESTIMMEN
ax²  bx  c  y
Ansatz:
(I)
A(2/1,25) einsetzen:
(II)
B(4/0) einsetzen:
(III) C(8/-1) einsetzen:
4a  2b  c  1,25
16a  4b  c  0
|·(-1)
64 a  8b  c  1
zuerst lasse c herausfallen.
Kombiniere (I) mit (II):
(I)
(II)
4a  2b  c  1,25
 16a  4b  c  0
 12a  2b
 1,25
(*)
Ebenso kombiniere (II) mit (III):
(II):
(III)
 16a  4b  c  0
64a  8b  c  1
48a  4b
24a  2b
 1 |: 2
 0,5
(**)
Man hat zwei neue Gleichungen (*) und (**) erhalten und lässt nun b herausfallen:
 12a  2b  1,25
24a  2b  0,5
12a
24
16
 0,75  a  161
einsetzen in (**) →
 2b  0,5  1,5  2b  0,5  2b  2  b  1
a und b einsetzen in Gleichung (I) oder (II) oder (III):
(I):
4  161  2  (1)  c  1,25  c  1,25  2  0,25  3
Die Gleichung der Parabel lautet: y  161 x ²  x  3
- 34 -
AUFGABE J-2
Ein Parabolspiegel ist nach oben geöffnet und besitzt den Parameter p = 10. In den Punkten
A(2/2,8) und B(10/1,2) ist der Spiegel befestigt. Wie lautet die Gleichung der Parabel?
1
x ²  0, 8 x  4, 2 ]
20
[Rechnung auf der folgenden Seite. Zwischenergebnis:
y

Bestimme die Steigung der Parabel:
m=....

Bestimme den Scheitelpunkt der Parabel.

Wo liegt der Brennpunkt F der Parabel?

Bestimme den Scheitelkreis der Parabel.

Bestimme die Schnittpunkte P und Q des Scheitelkreises mit der y-Achse?

Bestimme den Mittelpunktswinkel PMQ.

Welchen Flächeninhalt besitzt das Dreieck PMQ?

Bestimme die Parabeltangenten in A und B.

Wo schneiden sich die Tangenten?
- 35 -
LÖSUNGEN J-2
1
x ²  bx  c
20
Ansatz wegen p = 10:
y
A(2/2,8)
→
0, 2  2b  c  2, 8
B(10/1,2)
→
5  10b  c  1, 2
Zuerst lasse c herausfallen,
man erhält
b   0, 8 ,
dann setze b ein, man erhält
c  4, 2
Steigung:
S(8/1)
F(8/6)
y
1
x ²  0, 8 x  4, 2
20
m
1
x  0, 8
10
Kreis: K : ( x  8)²  ( y  11)²  100
M(8/11)
P(0/5) und Q(0/17)
Fläche = 48 FE
 3

2 4

 36 , 869...    73,74
2

Winkel:
tan
Tangenten:
3
y   x4
5
y
1
x  0, 8
5
C(6/0,4)
18
y
17
Q
16
15
14
13
12
M
11
10
9
8
7
F
6
5
P
4
3
c
A
2
S
1
B
x
-2
2
4
6
8
10
1
- 36 -
12
14
16
1. VORÜBUNG ZUR KLASSENARBEIT
1
8
x²  x  4
10
5
Gegeben ist die Parabel mit der Gleichung
y
1.
Bestimme die Steigung der Parabel:
m=....
2.
Bestimme den Parameter p.
1P
3.
Wo hat die Parabel ihren Scheitelpunkt?
2P
4.
Bestimme die Nullstellen der Parabel.
2P
5.
Wie lautet die Gleichung der Tangente in A(2/1,2) ?
2P
6.
Wie lautet die Gleichung der Tangente in B(16/4) ?
2P
7.
In welchem Punkt C schneiden sich die beiden Tangenten?
2P
8.
Welche Gleichung hat die Verbindungsgerade AB = c?
2P
9.
Bestimme die Gleichung des Scheitelkreises K1.
2P
10.
Bestimme die Nullstellen des Scheitelkreises.
2P
11.
Welchen Flächeninhalt besitzt der Scheitelkreis?
1P
12.
Welchen Umfang besitzt der Scheitelkreis?
1P
13.
Wie groß ist die Fläche vom Dreieck ABC?
2P
14.
Zeichne die bekannten Punkte A, B, S, Nullstellen, Tangenten und den Scheitelkreis in
1P
ein Koordinatensystem ein. Skizziere den Verlauf der Parabel möglichst genau im
Bereich 0  x  16 . Wähle 1LE = 1cm.
15.
2P
Ein zweiter Kreis K2 hat den Mittelpunkt M(2/-4) und geht durch den Ursprung.
Bestimme die Kreisgleichung.
2P
16.
In welchen Punkten schneidet K2 die y-Achse?
2P
17.
Welchen Winkel bildet die Tangente in B mit der Waagerechten?
2P
= 30 P
- 37 -
ZUSATZAUFGABE
Der Bogen einer Brücke ist parabelförmig. Die Punkte D(0/1), E(2/3) und F(6/3) sind
bekannt.
[Kontrolle: y   16 x ²  ............ ]
18.
Stelle die Parabelgleichung auf.
6P
19.
Bestimme den Scheitel der Parabel. Bestimme die Nullstellen.
3P
20.
Welchen Winkel bildet der Parabelbogen mit der y-Achse?
1P
y
8
6
4
B
M
A
2
1
x
1
5
10
-2
S
-4
-6
C
-8
- 38 -
15
LÖSUNGEN
Parabelgleichung:
y  101 x ²  85 x  4
Steigung der Parabel: m  15 x  85
Parameter:
p = +5
Scheitelpunkt:
m=0
Nullstellen:
1
10
→
1
5
x  85  0
x ²  85 x  4  0 →
→ x=8
→
x ²  16 x  40  0
→
S(8/-2,4)
x1/2  8  64  40
N1(3,1/0) und N2(12,9/0)
Tang. in A und B:
tA: y   65 x  3, 6
tB: y  85 x  21, 6
Schnittpunkt:
 65 x  3, 6  85 x  21, 6 | 5
→
Verb.gerade c:
m
Mittelpunkt:
M(8/-2,4 + 5)
Scheitelkreis:
K1 : ( x  8)²  ( y  2, 6)²  25
Nullstellen:
( x  8)²  6,76  25 → x1/ 2  8  18, 24
Fläche:
A    r 2  25 
Umfang:
U  2   r  10 
Dreiecksfläche:
A  68, 6 FE
Zeichnung:
darf nicht fehlen
Radius:
r ²  (2  0)²  (4  0)²  20
r  4, 47
Zweiter Kreis :
K 2 : ( x  2)²  ( y  4)²  20
P(0/0) und Q(0/-8)
Winkel:
tan   85  1, 6 | tan 1    58
Zusatzaufgabe:
y   16 x ²  43 x  1
m ( 0 )   43
 tan  
4
3
4 1,2
16  2
1
  2,8
14   0, 2   5
14 x  126 →
C(9/-7,2)
c : y   15 x  0,8
→ M(8/2,6) und r = p = 5
S (4 / 3 23 )
N1(3,73/0) N2(12,27/0)
N1(-0,7/0)
N2(8,7/0)
   53,13 → Winkel mit der y-Achse:   90    36,87
- 39 -
BESTIMMUNG EINER WURFPARABEL
Ein Mann steht an der Stelle x = 2 auf dem Erdboden und stößt eine Kugel unter der Richtung
m = 0,5 so weit, dass diese bei B(8/0) auf dem Boden auftrifft. Der Abstoßpunkt ist A(2/1,5).
Bestimme die Gleichung der Wurfparabel. Wo hat diese ihren Scheitelpunkt?
Wie lautet die Gleichung der Tangente in A?
y ( x )  ax ²  bx  c
Ansatz:
m ( x )  2ax  b
(I)
A(2/1,5)
→
(II)
B(8/0)
→
(III) m(2) = 0,5
→
4a  2b  c  1,5 |·(-1)
64a  8b  c  0
4a  b
 0,5
zuerst lasse c herausfallen.
Kombiniere (I) mit (II):
(I)
 4a  2b  c  1,5
(II)
64a  8b  c  0
y
4
3
60a  6b
 1,5
|: (6)
S
2
(*)
 10a  b
 0,25
A
1
x
Kombiniere (*) mit (III):
(*)
 10a  b
4a  b
(III)
 6a
a
a   18
2
 0,25
4
6
8
-1
 0,5
 0,75 |: (6)
  18
einsetzen in (III):  18  4  b  0,5  b  1
a und b einsetzen in Gleichung (I) oder (II):
(I):
4  ( 18 )  2 1  c  1,5  c  0
Gleichung der Parabel:
y   18 x ²  x
Steigung der Parabel:
m   14 x  1
Scheitelpunkt:
m=0
Tangente in A:
y  12 x  0,5
→
- 40 -
0   14 x  1  x  4  S(4 / 2)
AUFGABE K
Ein Feuerwehrmann spritzt mit einem Wasserstrahl unter der Richtung m = 2 so weit, dass
dieser bei B(12/8) auf ein brennendes Haus trifft. Der Anfangspunkt des Wasserstrahles ist
A(0/2).

Bestimme die Gleichung der Wasserparabel.

Wo hat diese ihren Scheitelpunkt?

Wie lautet die Gleichung der Tangente in A?

Wie lautet die Gleichung der Tangente in B?

In welchem Punkt C schneiden sich die beiden Tangenten?

Welche Gleichung hat die Verbindungsgerade AB = c?

Wo trifft der Wasserstrahl die x-Achse?

Bestimme die Gleichung des Scheitelkreises K1.

Liegt M1 auf der Geraden c? Mache die Punktprobe.

Ein zweiter Kreis K2 berührt die Parabel im Punkt A und hat seinen Mittelpunkt auf der
x-Achse. Bestimme M2 und r2 und die Kreisgleichung.

In welchen Punkten schneidet K2 die Parabelachse?

Welchen Winkel bildet die Tangente
in A mit der Waagerechten?
Rechne mit: tan   m .
14
y
C
12
S
10
B
8
6
M
4
A
2
5
-2
-4
- 41 -
10
15
x
LÖSUNGEN K
y ( x )  ax ²  bx  c
Ansatz:
m ( x )  2ax  b
(I)
A(0/2)
→
c2
(II)
B(12/8)
→
144a  12b  c  8
(III) m(0) = 2
→
b2
c und b in (II) einsetzen:
144a  24  2  8
144a  18  a   18
Gleichung der Parabel:
y   18 x ²  2x  2
Steigung der Parabel:
m   14 x  2
Scheitelpunkt:
m=0
Tangenten in A und B:
y  2x  2
Gerade c:
y  12 x  2
Nullstelle:
N(16,94/0)
Scheitelkreis:
K1: ( x  8)²  ( y  6)²  16
Punktprobe für M(8/6):
M in c einsetzen:
Normale in A:
y   12 x  2
→
0   14 x  2  x  8  S(8 / 10)
y  x  20
→
6  12  8  2
6  6 stimmt
Normale geschnitten mit der x-Achse ergibt:
Radius:
r ²  (4  0)²  (0  2)²  20
Kreis :
K2: ( x  4)²  y²  20
Winkel:
tan   2 | tan 1
  63,4
- 42 -
C(6/14)
M2(4/0)
P(8/2) und Q(8/-2)
2. VORÜBUNG ZUR KLASSENARBEIT
Ein Stein wird vom Punkt A(-2/4) aus mit der Richtung m = 1 geworfen, so dass dieser
im Punkt B(16/1,75) auf einem Betonklotz landet.

Bestimme die Gleichung der Wurfparabel.
[Kontrolle: y   161 x ²  34 x  5, 75 ]

Wo hat diese ihren Scheitelpunkt?

Bestimme die Nullstellen der Parabel.

Wie lautet die Gleichung der Tangente in A?

Wie lautet die Gleichung der Tangente in B?

In welchem Punkt C schneiden sich die beiden Tangenten?

Welche Gleichung hat die Verbindungsgerade AB = c?

Bestimme die Gleichung des Scheitelkreises K1.

Wo schneidet der Scheitelkreis die y-Achse?

Zeichne die bekannten Punkte A, B, S, Nullstellen, Tangenten und den Scheitelkreis in
ein Koordinatensystem ein. Skizziere den Verlauf der Parabel möglichst genau im
Bereich 6  x  18 . Wähle 1LE = 0,5cm.

Welchen Winkel bildet die Tangente in B mit der Waagerechten?

Die Punkte A(-2/4), B(16/1,75), D(16/0) und E(-2/0) bilden ein Viereck. Bestimme den
Flächeninhalt des Vierecks ABDE.

Ein zweiter Kreis K2 berührt die Parabel im Punkt A und hat seinen Mittelpunkt auf der
y-Achse. Bestimme M2 und r2 und die Kreisgleichung.

In welchen Punkten schneidet K2 die y-Achse?
ZUSATZAUFGABE

Der Bogen einer Brücke ist parabelförmig. Die Punkte A(0/- 0,9), B(4/3,9) und C(5/4,6)
sind bekannt.

Stelle die Parabelgleichung auf.
[Kontrolle: y   101 x ²  ............ ]

Bestimme den Scheitel der Parabel. Bestimme die Nullstellen.

Welchen Winkel bildet der Parabelbogen mit der y-Achse?
- 43 -
LÖSUNGEN
y
C
S
S
A
1
E
B
K2
x
1
D
K1
Parabel:
y   161 x ²  34 x  5, 75
Steigung:
m   18 x  34
Scheitel:
m  0  S (6 / 8)
Nullstellen:
y  0  N1 (5,31/ 0) und
Tangenten:
tA : y  x  6
Schnittpkt:
C(7/13)
Gerade:
c : y   18 x  3, 75
Scheitelkreis:
K1 : ( x  6)²  y ²  64
Schnittstellen:
x  0  S1 (0 / 5, 29) und
Winkel mit x-Achse:
tan    54    51,34
Trapez:
A
Kreis:
K 2 : x ²  ( y  2)²  8
Schnittstellen:
x  0  S1 (0 / 4,82) und
N 2 (17,31/ 0)
und tB : y   54 x  21, 75
S2 (0 /  5, 29)
4  1, 75
18  51, 75 FE
2
- 44 -
S2 (0 / 0,82)
LÖSUNG ZUSATZAUFGABE
Parabel:
y   101 x ²  85 x  109
Nullstellen:
y  0  N1 (0,58 / 0) und
Winkel mit y-Achse:
m(0)  2  ( 15 )  0  85  tan   1, 6    58    32
S (8 / 5,5)
N 2 (15, 42 / 0)
3. VORÜBUNG ZUR KLASSENARBEIT
Ein Stein wird vom Punkt A(2/8) aus mit der Richtung m = 1 geworfen, so dass dieser
im Punkt B(14/2) auf einem Misthaufen landet.
1.
Bestimme die Gleichung der Wurfparabel.
6P
[Kontrolle: y   18 x ²  1,5 x  5,5 ]
2.
Wo hat diese ihren Scheitelpunkt?
2P
3.
Bestimme die Nullstellen der Parabel.
2P
4.
Wie lautet die Gleichung der Tangente in A?
2P
5.
Wie lautet die Gleichung der Tangente in B?
2P
6.
In welchem Punkt C schneiden sich die beiden Tangenten?
2P
7.
Welche Gleichung hat die Verbindungsgerade AB = c?
2P
8.
Bestimme die Gleichung des Scheitelkreises K1.
2P
9.
Liegt M 1 auf der Geraden c? Mache die Punktprobe.
2P
10.
Zeichne die bekannten Punkte A, B, S, Nullstellen, Tangenten und den Scheitelkreis in
ein Koordinatensystem ein. Skizziere den Verlauf der Parabel möglichst genau im
Bereich 0  x  16 . Wähle 1LE = 1cm.
11.
2P
Ein zweiter Kreis K2 berührt die Parabel im Punkt A und hat seinen Mittelpunkt auf der
y-Achse. Bestimme M2 und r2 und die Kreisgleichung.
2P
12.
In welchen Punkten schneidet K2 die y-Achse?
2P
13.
Welchen Winkel bildet die Tangente in B mit der Waagerechten?
2P
….= 30 P
- 45 -
ZUSATZAUFGABE
Der Bogen einer Brücke ist parabelförmig. Die Punkte A(0/ 2 ), B(4/2 ) und C(5/2 127 ) sind
bekannt.
[Kontrolle: y   121 x ²  ............ ]
14.
Stelle die Parabelgleichung auf.
15.
Bestimme den Scheitel der Parabel. Bestimme die Nullstellen.
3P
16.
Welchen Winkel bildet der Parabelbogen mit der y-Achse?
1P
y
C
14
12
S
10
A
8
6
M
4
c
B
2
1
x
1
5
10
-2
LÖSUNGEN
1.
ax²  bx  c  y
Ansatz:
2a x  b  m
(I)
A(2/8)
→
(II)
B(14/2)
→
4a  2b  c  8 |  (1)
196 a  14b  c  2
192a  12b
(II) minus (I):
(III) m(2) = 1
4a  b
→
Kombiniere (*) mit (III):
→
6
1
192a  12b
6
 48a  12b
 12
144a
 36
36
a   144
  18
Die Größen b und c ergeben sich durch Einsetzen.
- 46 -
|  (12)
15
6P
Parabelgleichung:
y   18 x ²  1, 5 x  5, 5
Steigung der Parabel:
m   14 x  1, 5
2.
Scheitelpunkt:
m=0
3.
Nullstellen:
N1 ( 2,94 / 0) und
4.
Tangente in A:
tA : y  x  6
5.
Tangente in B:
t B : y  2 x  30
6.
Schnittpunkt:
C(8/14)
7.
Verb.gerade:
c : y   12 x  9
8.
Scheitelkreis:
K1: ( x  6)²  ( y  6)²  16
9.
Punktprobe für M(6/6):
M in c einsetzen:
10.
Zeichung:
11.
Normale in A:
nA : y   x  10
nA  y  Achse :
M 2 (0 /10)
Radius:
r ²  (10  8)²  (0  2)²  8
Kreis:
K 2 : x ²  ( y  10)²  8
Schnittpunkte:
P(0/12,83) und Q(0/7,17)
Winkel:
tan   2 | tan 1
   63, 43
12.
13.
→
mit
p4
S(6/10)
N 2 (14,94 / 0)
6   12  6  9
6  6 stimmt.
100%
LÖSUNGEN ZUSATZAUFGABE
y   121 x ²  43 x  2
m ( 0 )   43
S(8/3 13 )
 tan  
4
3
N1(1,67 / 0)
N2(14,33 / 0)
   53,13 → Winkel mit der y-Achse:   90    36,87
33%
- 47 -
AUFGABE L-1
Der Bogen einer Brücke ist parabelförmig. Die Punkte A(0/0), B(2/1,75) und C(4/3)
bestimmen die Parabel (Angaben jeweils in Metern).

Stelle die Parabelgleichung auf.
[Kontrolle: y   161 x ²  x ]

Bestimme den Scheitel der Parabel.

Eine Autostraße führt in 5m Höhe parallel zur x-Achse über die Brücke. Wie lautet ihre
Gleichung? Wie groß ist der Abstand zwischen dem Scheitelpunkt und dieser Geraden?

In welchen Punkten schneidet die Parabel die x-Achse?
LÖSUNGEN L-1
y   161 x ²  x
m   18 x  1
m=0
Abstand:
d = 1m
S(8/4)
A(0/0) und N(16/0)
y
6
Brücke
d
4
S
C
2
B
N
A
5
10
2
- 48 -
15
x
AUFGABE L-2
Gegeben ist eine Parabel mit der Gleichung
y  161 x ²  34 x  54 .

Bestimme die Steigung der Parabel
m=......

Wo hat die Parabel ihren Scheitelpunkt?

Bestimme die Nullstellen der Parabel.

Wie lautet die Gleichung der Tangente in A(-2/...)?

Wie lautet die Gleichung der Tangente in B(12/...)?

In welchem Punkt C schneiden sich die beiden Tangenten?

Welche Gleichung hat die Verbindungsgerade AB = c?

Bestimme die Gleichung des Scheitelkreises K.

Zeichne die Parabel mithilfe der bekannten Punkte A, B, S, Nullstellen, Tangenten und
Scheitelkreis.

In welchen Punkten schneidet K die y-Achse?

Die beiden Tangenten tA und tB und die y-Achse bestimmen ein Dreieck. Wie groß ist
der Flächeninhalt?
12
LÖSUNGEN L-2
y
11
y  161 x ²  34 x  54
m  18 x  34
Nullstellen:
10
9
m=0
8
S(6/-1)
6
M
7
5
N1(2/0) und
4
F
3
N2(10/0)
Tangenten:
y  x  1
c
A
2
1
B
x
-4
-2
2
4
6
-1
y  34 x  7,75
S
-2
-3
Schnittpunkt:
C(5/-4)
Gerade c:
y   18 x  2,75
Scheitelkreis:
K : ( x  6 )²  ( y  7 )²  64
-4
C
Zeichnung:
Schnitt
mit y-Achse:
Fläche:
P(0/1,7..) und Q(0/12,3)
A = 21,875 FE
- 49 -
8
10
12
14
AUFGABE L-3
Ein Stein wird vom Punkt A(2/6) aus mit der Richtung m = 1 so weit geworfen, dass dieser
bei B(14/0) auf den Boden trifft.

Bestimme die Gleichung der Wurfparabel.
[Kontrolle: y   18 x ²  1,5x  3,5 ]

Wo hat diese ihren Scheitelpunkt?

Bestimme die Nullstellen der Parabel.

Wie lautet die Gleichung der Tangente in A?

Wie lautet die Gleichung der Tangente in B?

In welchem Punkt C schneiden sich die beiden Tangenten?

Welche Gleichung hat die Verbindungsgerade AB = c?

Bestimme die Gleichung des Scheitelkreises K1.

Liegt M1 auf der Geraden c? Mache die Punktprobe.

Ein zweiter Kreis K2 berührt die Parabel im Punkt A und hat seinen Mittelpunkt auf der
x-Achse. Bestimme M2 und r2 und die Kreisgleichung.

In welchen Punkten schneidet K2 die y-Achse?

Welchen Winkel bildet die Tangente in A mit der Waagerechten? Rechne mit:
tan   m .
y
C
12
11
10
9
S
8
7
6
A
F
5
M
4
3
c
2
1
x
2
4
6
8
-1
- 50 -
10
12
B
14
LÖSUNGEN L-3
ax²  bx  c  y
Ansatz:
2ax  b  m
(I)
A(2/6)
→
4a  2b  c  6
(II)
B(14/0)
→
196a  14b  c  0
(III) m(2) = 1
→
Rechne (II) minus (I): →
Kombiniere (*) mit (III):
4a  b
1
192a  12b
 6 |: (6)
 32a  2b
1
 24a
3
(*)
a   243   18
→
Die Größen b und c ergeben sich durch Einsetzen:
y   18 x ²  1,5x  3,5
Parabelgleichung:
p = -4
Steigung der Parabel: m   14 x  1,5
Scheitelpunkt:
m=0
→
Nullstellen:
N(-2/0) und B(14/0)
Tangenten in A und B: y  x  4
S(6/8)
y  2x  28
Gerade c:
y   12 x  7
Scheitelkreis:
K1: ( x  6)²  ( y  4)²  16
Punktprobe für M(6/4):
Normale in A:
M in c einsetzen:
→
4   12  6  7
4  4 stimmt
y  x  8 Normale geschnitten mit der x-Achse ergibt:
Radius:
r ²  (8  2)²  (0  6)²  72
Kreis :
K2: ( x  8)²  y²  72
Winkel:
C(8/12)
tan   1 | tan 1
  45
- 51 -
M2(8/0)
P(0/2,8) und Q(0/-2,8)
AUFGABE M
[LOOPINGBAHN]
Eine Kugel rollt eine parabelförmige Loopingbahn hinunter. Sie durchläuft dabei die
Punkte B(4 /12, 4) und C (2 / 8) , wobei die Tangente in C die Richtung m  2 hat.

Bestimme die Gleichung der Parabelbahn.
[Kontrolle: y  0,1x 2  1, 6 x  4, 4 ]

In welchem Punkt durchstößt die Parabel die y-Achse?

In welchen Punkten durchstößt die Parabel die x-Achse?

Bestimme den Scheitelpunkt der Parabel?

Bestimme die Gleichung der Parabeltangente im Punkt C?

Die Parabelbahn hat ihren Anfang im Punkt A auf der Höhe y = 17,6. Bestimme die
Koordinaten von A.

Bestimme die Gleichung des Scheitelkreises K1 .

Bestimme die Nullstellen des Scheitelkreises.

Der Scheitelkreis hat im Punkt
D(12 / 0) eine Tangente t D . Bestimme die
Tangentengleichung des Kreises.

Bestimme den Schnittpunkt der Tangenten tC und t D .

Bestimme die Gleichung der Verbindungsgerade CD = c.

Welchen Winkel bildet t D mit der x-Achse.

Ein zweiter Kreis K 2 berührt die Parabel im Punkt C und hat seinen Mittelpunkt auf der
y-Achse. Bestimme die Kreisgleichung. Wo schneidet K 2 die y-Achse?

Zeichne die bekannten Punkte A, B, C, S, Nullstellen, die Tangenten in C und D und
den Scheitelkreis der Parabel in ein Koordinatensystem ein. Skizziere den Verlauf der
Parabel möglichst genau im Bereich 6  x  12 .
* * *

Nachdem die Kugel im Scheitelpunkt der Parabel angekommen ist, durchläuft sie
einmal den Scheitelkreis, macht also einen Looping und verlässt danach im Punkt
D(12 / 0) tangential die Loopingbahn, fliegt auf einer Wurfparabel weiter und landet
schließlich auf einem Heuhaufen im Punkt H (18 / 2) .
[Kontrolle: y   16 x 2  163 x  40 ]
Bestimme die Parabelgleichung.
- 52 -
freiwillig

Eine Parabel mit Scheitelpunkt bei x   9 geht durch den Punkt P(3/ 3) und hat dort
die Steigung m  83 . Bestimme die Parabelgleichung. Welche Koordinaten besitzt der
Brennpunkt?
y
A
B
n
K2
K1
C
H
1
D
1
tC
S
tD
E
- 53 -
x
LÖSUNGEN M
GLEICHUNG DER PARABELBAHN
y  ax 2  bx  c  m  2ax  b

B (4 /12, 4)

C ( 2 / 8)
m( 2)  2


16a  4b  c  12, 4
4a  2b  c  8 | ( ) 
4a  b  2
12a  2b  4, 4
4a  b  2
| 2
4a  0, 4  a  0,1
4  0,1  b  2  b  1,6 .........  c  4, 4

S y (0 / 4, 4)

N1 (3,528 / 0) und

m  0, 2 x  1, 6  m  0  S (8 /  2)

tC : y  2 x  4

y  17,6 einsetzen in Parabel gleichung  x  6  A(6 /17,6)

a  101

Nullstellen:

t D : y  43 x  16

c : y   74 x  6 76

tan   43    53,13
[Kontrolle durch Nachmessen]

K 2 : x 2  ( y  9) 2  5
x  0  S1 (0 / 9  5) und

Bedingungen:
D(12 / 0) und
m(12) 

freiwillig:
y  19 x 2  2 x  4

Die Gleichung der y-Achse lautet: x = 0
N 2 (12, 472 / 0)
Die Gleichung der x-Achse lautet: y = 0
p  5  M (8 / 3)  K1 : ( x  8) 2  ( y  3) 2  25
N 1 (4 / 0) und
N 2 (12 / 0)  D
tC  t D  E (6 /  8)
4
3
und
H (18 / 2)
F (9 / 10,75)
- 54 -
S 2 (0 / 9  5)
EXTRAAUFGABEN
AUFGABE 1

Eine Parabel besitzt die Tangenten t A : y  3x und tB : y  2 x  15 und die
Scheiteltangente y   3 . Bestimme die Gleichung der Parabel.
[Hinweis: Nimm die Grundkonstruktion auf Seite 1 zur Hilfe und beachte, dass jede
schräg verlaufende Tangente die Gerade FL auf der Scheiteltangente senkrecht
schneidet. So findet man den Brennpunkt F. Alles Weitere ergibt sich dann.]

Bestimme die Koordinaten des Scheitelpunktes.

Bestimme die Koordinaten der Berührpunkte A und B:

Bestimme die Gleichung der Geraden c = AB.

Bestimme den Schnittpunkt C der beiden Tangenten.

Die Parabel und die Gerade c schließen eine Fläche ein. Diese beträgt 2/3 der Fläche
des Dreieckes ABC. Bestimme die Fläche zwischen Parabelbogen und der Geraden c.

Bestimme die Gleichung der Tangente im Parabelpunkt D(0 / … ).

Ein Strahl mit der Richtung m = 3 wird im Punkt D an der Parabel reflektiert. Welche
Gleichung hat der einfallende Strahl?

Welche Gleichung hat das Lot in D?

Bestimme die Richtung des reflektierten Strahles in D mit Hilfe der Formel
tan  
m2  m1
. Dazu berechne zunächst den Tangenswert zwischen dem
1  m2  m1
einfallendem Strahl und dem Lot. Dann verwende die Formel nochmals, um die neue
Richtung zu bestimmen. Wie lautet die Gleichung des reflektierten Strahles?

Der Strahl wird im Punkt E nochmals an der Parabel reflektiert. Welche Koordinaten
hat der Punkt E?

Wie lautet die Gleichung des in E reflektierten Strahles?

Der ursprünglich einfallende Strahl und der zuletzt reflektierte Strahl kreuzen sich in
einem Punkt G. Welche Koordinaten hat G?
- 55 -
LÖSUNGEN 1
y
A
G
c
1
D
B
x
1
F

P : y  14 x ²  2 x  1  m  12  x  2

m  12  x  2  0  S (4 /  3)

p  2 

P  tA
 A(2 / 6)

P  tB
 B(8 /1)

c : y   12 x  5

A  62,5 FE  APar  41 23 FE

t D : y  2 x  1

Strahl : y  3x  1

1

Reflektierter Strahl in D:

P  Strahl  E (6 23 /  1 92 )

Reflektierter Strahl in E:

 139 x  8 11
G (1 23 / 6)
27  3 x  1 
m
1  12  m
1
2
p
2
 1  F (4 /  2)
t A  tB
 C (3 /  9)
Lot D : y  12 x  1
 m   13
y   13 x  1
y   139 x  8 11
27
- 56 -
E
AUFGABE 2

Gegeben ist eine Parabel mit der Gleichung y  18 x 2 . Bestimme den Brennpunkt F.

Die Gerade c : y   34 x  2 schneidet die Parabel in den beiden Punkten A und B.
Bestimme die Koordinaten von A und B.

Bestimme die Tangenten in A und B.

Bestimme den Schnittpunkt C der beiden Tangenten.

Zeige, dass sich die Tangenten senkrecht schneiden.

Bestimme den Abstand, den die Gerade g : y   x  8 von der Parabel hat.

Ein Kreis mit Mittelpunkt M(0/2) berührt die x-Achse. Bestimme die Gleichung.

Ein weiterer Kreis berührt den ersten Kreis und die x-Achse. Bestimme den
geometrischen Ort, auf dem alle Mittelpunkte des zweiten Kreises liegen.

Wie lautet die Gleichung der Parabel, die im Punkt D(-4/2) zur gegebenen Parabel den
Abstand 18 hat? Es gibt zwei Lösungen.

Verlaufen die drei Parabeln parallel zueinander? Begründung?
WEITERE AUFGABEN

Gegeben ist die Parabel y 
1
32
x ² . Gesucht ist die Tangente im Punkt P(x > 0 / 8 ).
t :

Gegeben ist die Parabel y   15
32 x ² . Gesucht ist die Tangente im Punkt P(3,2 / .. ).
t :

y  x  8
y  3 x  4,8
Gegeben ist die Parabel y  1   201 ( x  3) 2 . Wo liegt der Scheitelpunkt? Wie lautet die
Tangentengleichung im Punkt P(5 / .. ).
1
S (3 /  1) ; t : y   5 x  0, 2

Gegeben ist die Parabel 5 x²  40 x  12 y  40  0 . Tangente im Punkt P( 2 / .. ) ?
t : y   53 x  5
- 57 -
LÖSUNGEN 2
F (0 / 2)
Kürzester Abstand = 3  2  18
y
A
G
D
F
B
1
x
1
E
C
Geometrischer Ort aller KREISMITTELPUNKTE M ( x / y) :
y  ( y  2) 2  x 2  2
| 2 , die Wurzel isolieren
y  2  ( y  2) 2  x 2
| (...)2
y 2  2 y  4  ( y  2)2  x 2
y2  4 y  4  y2  4 y  4  x2
8 y  x2
|: 8
y  18 x ²
Zwei neue Parabeln:
Ansatz:
y  ax 2  c und
Bedingungen:
y( 7)  1 und
m  2ax
m( 7)  1 , wegen Punkt E(-7/-1) mit Steigung m = -1
y  141  x 2  4,5 und
y  12 x 2  4,5
Die Parabeln sind nicht parallel zueinander, weil der Abstand am Scheitel größer ist.
- 58 -
AUFGABE 3
DER SKISPRINGER

Für einen Skispringer soll eine parabelförmige Schanze gebaut werden, die folgende
Bedingungen erfüllt:
a) Die Absprungstelle liegt bei x = 8 auf der Tangente t B mit der Gleichung
y  0,5 x  3 .
b) Der Startpunkt liegt bei A(0 /9).
Bestimme die Parabelgleichung.

Wo hat die Parabel ihren tiefsten Punkt?

Am Absprungpunkt folgt der Springer einer Flugparabel so, dass er am Punkt C(10/-2)
am Hang auftrifft. Bestimme die Gleichung der Flugparabel.

Wo hat die Flugparabel ihren höchsten Punkt?

Wie lautet die Tangentengleichung im Punkt C?

Wie lautet die Gleichung der Hangparabel, die die Flugparabel in C berührt und den
Parameter p = 20 hat?

Wo hat die Hangparabel ihren tiefsten Punkt?

Bestimme den Schnittpunkt der Tangente t B mit der Tangente tC .

Zwischen den beiden Tangenten gibt es eine Winkelhalbierende mit positiver Steigung.
Bestimme die Steigung mit Hilfe der Tangensformel.

Wie lautet die Gleichung der Winkelhalbierende?

Bestimme einen Kreis, der den Radius
32 besitzt und beide Tangenten berührt.
- 59 -
LÖSUNGEN 3

y  163 x ²  2,5 x  9

TP(6 23 / 23 )
y
1
x
1
M
M: (12,88, -2,88)
y   161 x 2  1,5 x  7

Flugparabel:

HP(12 / 2)

tC : y   x  18

Hangparabel:

TP(40 /  12)

D(14 / 4)

m2  m
m  m1

1  m2  m 1  m  m1

Winkelhalbierende:

Parallele zu tC mit Abstand

p  w  M (12,88 /  2,88)

K : ( x  2,88)²  ( y  12,88)²  32
y
1
40
x ²  2 x  28
 m  3  10


y  3  10  ( x  4)  14
32 :
p : y   x  10
- 60 -
FORMELSAMMLUNG

x1  x2
2

y1  y2
2
MITTELPUNKT einer Strecke:
M
SCHWERPUNKT eines Dreieckes:
S
LÄNGE einer Strecke:
AB   2 x   2 y  ( x2  x1 ) 2  ( y2  y1 ) 2
STEIGUNG einer Geraden:
m

x1  x2  x3
3
y1  y2  y3
3

y y2  y1

x x2  x1
GERADENGLEICHUNGEN
Allgemeine Geradengleichung:
Ax  By  C  0
Achsenabschnittsform:
x y
 1
a b
Zwei-Punkte-Form:
y  y1 y2  y1

x  x1 x2  x1
Punkt-Richtungs-Form:
y  y1  m  ( x  x1 )
y
6
Steigung =
Normalform
2
5
2
4
y  m xb
b=3
m  Steigung
5
2
b  Schnittstelle mit der y  Achse
1
Gerade durch den Ursprung:
y  m x
Gleichung der x-Achse:
y0
Parallele zur x-Achse:
y b
Gleichung der y-Achse:
x0
Parallele zur y-Achse:
xa
SENKRECHT STEHEN (orthogonal sein):
m1  m2  1
WINKEL
Gerade mit Gerade
tan  
Gerade mit der x-Achse
tan   m
- 61 -
3
m2  m1
1  m2  m1
5
x
oder m2  
1
m1
DREIECKSFLÄCHE
A  12  [ x1  ( y2  y3 )  x2  ( y3  y1 )  x3  ( y1  y2 )]
A 
g h
2
[Sonderfall]
MITTELPUNKT DES UMKREISES
Schnittpunkt der Mittellote
SCHERUNG EINES DREIECKES
Die
Dreiecksspitze
wird
parallel
zur
Basis
verschoben, der Flächeninhalt bleibt dabei gleich
groß.
ROTATIONSVOLUMEN
Vx  A  2  yS
und
Vy  A  2  xS
ROTATIONSOBERFLÄCHE
Ox    2  yS
und
Oy    2  xS
PUNKTPROBE
Punkt in Geradengleichung einsetzen und prüfen,
ob die Gleichung erfüllt ist.
NORMALPARABELN
nach oben geöffnet
y   x²  p x  q mit Faktor  1
nach unten geöffnet
y   x²  p x  q mit
Faktor  1
y  yS   ( x  xS )2
SCHEITELFORM
Scheitel bei S  xS / y S  .
oder
y   ( x  xS ) 2  yS
ALLGEMEINE PARABELN
Scheitel ist nicht ablesbar.
y  a x²  b x  c
Scheitel bei S (0 / c) .
y  a x²  c mit Scheitel auf der y  Achse
KREISGLEICHUNG
 x  xM    y  y M 
BINOMISCHE FORMELN
 a  b   a 2  2ab  b2
 a  b    a  b   a 2  b2
2
2
r2
2
2
p
 p
     q
2
2
P-Q-FORMEL
x1/2
MITTERNACHTSFORMEL
x1/2 
 b  b 2  4ac
2a
- 62 -
PARABEL - GESETZMÄSSIGKEITEN
PARABELGLEICHUNG
y  a x²  b x  c
PARABELSTEIGUNG
m ( x )  2a x  b
SCHEITELPUNKT S
m0
PARAMETER =
ABSTAND BRENNPUNKT – LEITGERADE
p
ABSTAND VON S NACH F
SF 
FORMFAKTOR DER PARABEL
a
ZUSAMMENHANG p und a
2p  a  a 
RADIUS DES SCHEITELKREISES
MS  p  r
NULLSTELLEN
y  0 setzen
SCHEITELPUNKT
m  0 setzen
NULLPRODUKTE
p
2
1
2p
A  B  0 
A  0 oder B  0
Durch Ausklammern kann man eine Summe / Differenz in ein Produkt verwandeln.
Beispiele
Bei quadratischen Gleichungen ohne konstantes Glied kann man x ausklammern:
2x 2  8x  0  x 2  x  0 
x  ( x  4)  0
x1  0 oder
x4 0 
Im folgenden Beispiel kann man (sin x) ausklammern:
sin 2 x  sin x  0  sin x  ( sin x  1)  0
sin x  0 oder
sin x  1  x1  0 oder
x2 
- 63 -
π
2
x2  4