Zusammenfassung Mathe III

Zusammenfassung Mathe III
Themenschwerpunkt 3: Analytische Geometrie / lineare Algebra (eAN)
1. Rechenregeln mit Vektoren
Definition:
(1) anschaulich: Ein Vektor ist eine direkt gerichtete
Verbindung zweier Punkte
A
B
(2) mathematisch: Ein Vektor ist ein geordnetes Tupel.
x1
 x
x2 = y
 
 
x3
z 
Addition zweier Vektoren: + = Kommutativgesetz: Für alle Vektoren und gilt: + + Assoziativgesetz: Für alle Vektoren , und gilt : ( ) + = + ( + )
Nullvektor: 0 nennt man denjenigen Vektor, der durch die identische Abbildung in der Menge der
= 0
+ = Verschiebung beschrieben wird. Für jeden Vektor gilt: + 0
Entgegengesetzter Vektor: - eines Vektors ist derjenige Vektor, dessen Pfeile im Vergleich zu
denen von gleich lang, parallel, aber entgegengesetzt orientiert sind.
Subtraktion zweier Vektoren: - = + (-)
Vervielfachung r · eines Vektors: mit einer reelen Zahl r multipliziert,
r > 0: gleich gerichtet, r-fache Länge
r < 0: entgegengesetzt gerichtet, | r |-fache Länge
(Für r = 1 erhält man 1 = )
r = 0: 0 = 0
Rechnen mit Vervielfachungen: Für alle reelen Zahlen r und s sowie für alle Vektoren und gilt:
r(s) = (rs) (r + s) = r + s
r( + ) = r + r
Rechnen mit Beträgen von Vektoren: | | ≥ 0
| r | = | r | · | |
| + | = | | + | |
2.Parallelität, Kollinearität und Komplanarität von Vektoren
Parallelität: Ein Vektor ist genau dann zu einem Vektor parallel ( || ), wenn es eine reelle Zahl r
oder eine reelle Zahl s gibt, sodass = r oder = s gilt
kollineare Vektoren: Vektoren, deren Pfeile (Repräsentanten) auf einer Geraden liegen können. Solche
Vektoren sind somit paarweise parallel
komplanare Vektoren: Vektoren, die durch Pfeile ein und derselben Ebene beschrieben werden.
3. Betrag und Länge eines Vektors
4. Lineare Abhängigkeit und lineare
Unabhängigkeit
5. Skalarprodukt
Orthogonalität:
Das Skalarprodukt
zweier Vektoren
ist genau dann 0,
wenn die beiden
Vektoren
aufeinander
stehen.
6. Geraden in der Ebene und im Raum
Punktrichtungsgleichung einer Geraden (Vektorform) : Die Gerade g, die durch den Punkt P0 mit dem
) bestimmt ist, kann durch die Gleichung
und den Richtungsvektor ( 0
Ortsvektor = 0P
= + t (t )
beschrieben werden.
7. Lagebeziehung zweier Geraden im Raum
echt parallel: Die Geraden verlaufen so, dass sie einander nie schneiden würden, egal wie weit man sie
verlängert.
Skizze:
Berechnung: Richtungsvektoren sind
abhängig voneinander. Punktprobe ergibt
keine Lösung.
identisch: Die Geraden verlaufen praktisch übereinander und schneiden sich an jeder Stelle.
Berechnung: Richtungsvektoren sind
abhängig von einander. Punktprobe ergibt
eine Lösung.
Skizze:
Schnittpunkt: Die beiden Geraden schneiden sich in einem Punkt S
Berechnung: Richtungsvektoren sind
unabhängig von einander. Gleichsetzen
der Geradengleichungen führt zu einer
eindeutigen Lösung.
Skizze:
S
orthogonal: Die beiden Geraden schneiden sich in einem rechten Winkel (90°)
Berechnung: Richtungsvektoren sind
unabhängig von einander. Gleichsetzen
der Geradengleichungen führt zu einer
eindeutigen Lösung. Skalarprodukt der
Richtungsvektoren ergibt 0.
Skizze:
·
windschief: Die beiden Geraden verlaufen nicht parallel und haben kein Schnittpunkt, sie laufen hinter
einander im Raum.
Brechnung: Richtungsvektoren sind
unabhängig von einander. Gleichsetzen
der Geradengleichungen führt zu keiner
Lösung.
Skizze:
8. Ebenen im Raum
Punktrichtungsgleichung einer Ebene (Vektorform): Ist P0 ein Punkt des Raumes mit dem zugehörigen
Ortsvektor und sind und zwei nicht parallele Vektoren, so wird die dadurch eindeutig
bestimmte Ebene ε durch die Gleichung:
= + r + s (r, s ) beschrieben.
9. Lagebeziehungen Ebene und Ebene
echt parallel: Die zwei Ebenen liegen so, dass sie einander niemals schneiden würden, egal wie weit
man sie verlängert.
Skizze:
Berechnung: Richtungsvektoren sind
abhängig voneinander. Punktprobe ergibt
keine Lösung.
identisch: Die Ebenen verlaufen praktisch
übereinander und schneiden sich an jeder Stelle.
Berechnung: Richtungsvektoren sind
abhängig von einander. Punktprobe ergibt
eine Lösung.
Skizze:
Schnitgerade: Die Ebenen schneiden sich
in einer Geraden.
Berechnung: Richtungsvektoren sind
unabhängig von einander. Gleichsetzen der
Ebenengleichungen führt zu einer
Geradengleichung, die Schnittgeraden.
Spezialfälle:
Skizze:
10. Lagebeziehungen Gerade und Ebene
echt parallel: Die Gerade und Ebene liegen so, dass sie sich niemals schneiden würden, egal wie weit
man sie verlängert.
Skizze:
Berechnung: Richtungsvektoren sind
abhängig voneinander. Punktprobe ergibt
keine Lösung.
identisch: Die Gerade verläuft praktisch
auf der Ebene und schneidet sie an jeder Stelle.
Berechnung: Richtungsvektoren sind
abhängig von einander. Punktprobe ergibt
eine Lösung.
Skizze:
Schnittpunkt: Die Gerade schneidet die Ebene einem Schnittpunkt S.
Berechnung: Richtungsvektoren sind
unabhängig von einander. Gleichsetzen der
Gleichungen ergibt eine eindeutige Lösung.
Skizze:
S
11. Schnittwinkelberechnung
Schnittwinkel zweier Geraden: Der Schnittwinkel zweier Geraden kann mit Hilfe des Skalarprodukts
ermittelt werden, hierfür benötigt werden die Richtungsvektoren der Geraden, und :
cos = ||·|
|
·
12. Matrizen
Matrix: Eine rechteckige Anordnung von m · n Zahlen aik in m Zeilen und n Spalten wird Matrix vom
Typ (m; n) bzw. (m; n)-Matrix genannt. Man schreibt:
" … $
" … $
&
!
!
!
!
!
% % %" … %$
Die Zahlen aik heißen Elemente (oder Komponenten) von A. Matrizen vom Typ (1; n) heißen
Zeilenvektoren und )m; 1)-Matrizen Spaltenvektoren.
Stimmt die Anzahl der Zeilen und Spalten überein, so nennt man diese Matrix quadratisch,
also ist m = n, eine quadratische Matrix vom Typ (n; n) oder n-reihige Matrix.
Nullmatrix: Bei einer Nullmatrix sind alle
Elemente 0, d.h. aik = 0 für jedes i und k.
Transponierte Matrix: Schreibt man die
Zeilen einer Matrix A vom Typ (m; n) als
Spalten einer Matrix AT, so nennt man AT
die zu A transponierte Matrix.
A
!
%
" … $
" … $
&
!
!
!
!
% %" … %$
+ (
A * " "
!
!
)$ $
…
…
…
!
…
%
%
.
%" !
%$ ,
Eine quadratische Matrix heißt symmetrisch, wenn sie mit ihrer Transponierten übereinstimmt; sie
heißt schiefsymmetrisch, wenn die Elemente ihrer Transponierten entgegengesetzte Vorzeichen haben.
13. Rechnen mit Matrizen
Addition von Matrizen gleichen Typs: A = (aik) und B = (bik) seien (m / n)-Matrizen. dann versteht
man unter ihrer Summe A + B eine Matrix C
A(m / n) + B(m / n) = C(m / n) = cik
aik + bik = cik
Skalare Vervielfachung einer Matrix (Multiplikation mit einer reellen Zahl):
A = (aik) sei eine (m / n)-Matrix und r eine reelle Zahl. Dann versteht man unter dem Vielfachen r A
von Matrix A eine Matrix C vom selben Typ wie A.
r · A(m / n) = C(m / n) = cik
0 · 0 · 0 · " … 0 · $
0 · 0 · 0 · " … 0 · $
r· A
&
!
!
!
!
!
0 · % 0 · % 0 · %" … 0 · %$
Multiplikation von Matrizen:
Verknüpfungsbedingungen für A · B:
Anzahl der Spalten von A ist gleich der Anzahl von Zeilen von B
Bilden Inverser Matrizen:
Sind A und A-1 quadratische Matrizen und
gilt A · A-1 = A-1 · A = E, so heißt A-1 die zu
A inverse Matrix.
Rang einer Matrix: Unter dem Rang r einer
Matrix A versteht man die maximale Anzahl
linear unabhängiger Zeilen- bzw.
Spaltenvektoren. Man schreibt auch:
r = rg(A)
14. lineare Abbildungen
Eine Abbildung f vom Vektorraum $ in den Vektorraum % heißt genau dann linear, wenn für alle
, $ und r gilt:
(1) f( + ) = f() + f(),
d.h., f ist additiv,
(2) F(r) = r f(),
d.h., f ist homogen.
Ist f eine lineare Abbildung vom Vektorraum $ in den Vektorraum % , dann gibt es eine
(m / n)-Matrix A so, dass gilt: f() = A · Die Matrix A heißt Abbildungsmatrix der linearen Abbildung.