Eine quadratische Ungleichung

Konkretes Beispiel:
(bearbeitet von Eleonore
Riedl, Jänner, 2004)
Löse x ² − 2 x < 2 − x in
G = R;
Beim gegebenen Beispiel handelt es sich um eine quadratische
Ungleichung. Die Aufgabenstellung besteht also darin, all jene
reellen Zahlen (vgl. G = R !) zu finden, welche beim Einsetzen
anstelle von x in die Ungleichung eine wahre Aussage ergeben.
Mathematische Kompetenzen:
Die Aufgabenstellung bei Ungleichungen verstehen; den Begriff der
Grundmenge kennen und anwenden können;
x2 –2x < 2 – x
/+x
x2 – x < 2
/-2
x2 – x – 2 < 0
Erläuterungen und mathematische Kompetenzen
Wie kann man nun diese Zahlen finden ? Einfach durch
Probieren ?! Oder können wir systematisch nach einem
bestimmten Plan vorgehen ? Wenn ja, woran können wir uns
orientieren ?
Es gibt ein solches planvolles Vorgehen und dabei orientieren
wir uns an folgender Idee: Im Gegensatz zu Additionen und
Subtraktionen können wir bei Multiplikationen klare Kriterien
dafür angeben, wann das Ergebnis positiv bzw. negativ ist.
Bekanntlich gelten folgende „Vorzeichenregeln“: Haben die
beiden Faktoren gleiches Vorzeichen, ist das Produkt positiv
(„+⋅+ = +“; „- ⋅ - = +“), haben sie hingegen verschiedenes
Vorzeichen, ist ihr Produkt negativ („+⋅ - = -“; „- ⋅ + = -“).
An diesem Fakt orientieren wir uns und versuchen deshalb, die
Ungleichung so umzuformen, dass auf einer Seite ein Produkt
und auf der anderen die Zahl Null steht !
In diesem Sinne beginnen wir damit, die Ungleichung mit Hilfe
von Äquivalenzumformungen so umzuformen, dass auf einer
Seite die Zahl 0 steht.
Mathematische Kompetenzen:
Zugrunde liegende Idee beim Lösen quadratischer Ungleichung
kennen; Vorzeichenregeln beim Multiplizieren von Zahlen kennen;
Äquivalenzumformungen kennen und anwenden können;
2
x –x–2<0
Als Produkt ?!
Jetzt liegt die quadratische Ungleichung in der
sogenannten „allgemeinen Form“ vor. Gemäß oben
angeführter Überlegungen müssen wir jetzt nur mehr
versuchen, die linke Seite der Ungleichung in Form eines
Produktes anzuschreiben. Wie geht das ? Hier benötigen
wir spezielles Wissen ! Weißt Du welches ? Zugegeben,
ich konnte mich nicht daran erinnern, aber dann habe ich
mich informiert: Es handelt sich um den (3.) Satz von
VIETA. Dieser Satz besagt, dass wir einen (quadratischen)
Ausdruck der Art x ² + px + q mit Hilfe jener Zahlen x1 und
x2, welche beim Einsetzen in den Ausdruck Null ergeben,
als Produkt zweier Linearfaktoren schreiben können. Das
heißt:
x2 + p⋅x+q = (x-x1)⋅(x-x2)
Mathematische Kompetenzen:
Satz von VIETA kennen und bei der Zerlegung eines Terms in
Linearfaktoren anwenden können;
Nebenrechnung:
x1 / 2
1
=
±
2
x1 / 2 =
1
±
2
1
+ 2
4
9
4
Die Zahlen x1 und x2 müssen also die Gleichung
x2 – x – 2 = 0
erfüllen, also den Lösungen dieser quadratischen
Gleichung entsprechen. Im Rahmen einer Nebenrechnung
können wir sie mit Hilfe der bekannten pq – Formel
bestimmen:
2
p
 p
±   −q
x1 / 2
2
2
also: x1 = 2 und x2 = -1 Die dafür benötigten Zahlen p und q entsprechen den
Koeffizienten bei x (Æ p = -1) sowie der alleine stehenden
konstanten Zahl q (Æ q = -2).
1 3
= ±
2 2
x1 / 2 = −
Mathematische Kompetenzen:
Die Lösungen einer quadratischen Gleichung mit Hilfe der
pq – Formel berechnen können; Grundlagen des Rechnens mit
Brüchen beherrschen; Begriff der Wurzel kennen und anwenden
können; Wurzel eines Bruchs gemäß der Formel
a
=
b
a
b
berechnen können;
x2 – x – 2 < 0
(x-2) ⋅ (x- (-1)) <0
(x-2) ⋅ (x + 1) < 0
Gemäß des Satzes von VIETA können wir den Ausdruck
x2 – x – 2 in der Form (x-2)⋅(x+1) schreiben. Das stimmt
wirklich ! Wenn Du es nicht glaubst, kannst Du ja die
Probe machen: (x-2)⋅(x+1) = x2 – 2x + x – 2 = x2 –x – 2 !!
Im Sinne der eingangs erläuterten Grundidee können wir
jetzt also anstelle der Frage
„wann ist x2 – x – 2 kleiner als Null ?“
die Frage
„wann ist (x-2) ⋅ (x+1) kleiner als Null ?“
beantworten. Und diese Frage ist wesentlich leichter zu
beantworten. Denn jetzt handelt es sich ja um ein Produkt,
welches kleiner als Null (also negativ) sein soll. Und im
Sinne der bekannten Vorzeichenregeln ist das eben dann
der Fall, wenn die beiden Faktoren [also (x-2) und (x+1)]
verschiedenes Vorzeichen haben. In diesem Sinne müssen
wir jetzt zwei Fälle unterscheiden. Entweder der erste
Faktor (x-2) ist positiv und der andere (x+1) ist negativ,
oder aber umgekehrt.
Mathematische Kompetenzen:
Notwendigkeit der Fallunterscheidung verstehen und entsprechend
umsetzen können;
x-2 > 0 ∧ x+1 < 0
x-2>0⇒x>2
x + 1 < 0 ⇒ x < -1
Im ersten Fall, nehmen wir an, dass der erste Faktor (x-2 )
positiv (also „>0“) ist und der zweite (x+1) eben negativ.
Zahlen, welche beide Bedingungen erfüllen, sind Lösungen
und bilden in ihrer Gesamtheit L1.
Um diese Zahlen bestimmen zu können, empfiehlt sich
eine graphische Darstellung der beiden Bedingungen auf
der Zahlengeraden ! Offensichtlich müssen die in Frage
kommenden Zahlen
größer als 2 und gleichzeitig kleiner als –1
sein. Diese beiden Bedingungen schließen nun aber
einander aus. Keine Zahl kann gleichzeitig größer als 2 und
gleichzeitig kleiner als –1 sein. Also ist L1 die leere
Menge: L1 = {} !
Mathematische Kompetenzen:
Ein System von Ungleichungen durch „Und – Verknüpfung“ lösen
können; Die Lösungsmenge von Ungleichungen auf der Zahlengeraden
einzeichnen können;
x-2 < 0 ∧ x+1 > 0
x-2<0⇒x<2
x + 1 > 0 ⇒ x > -1
Vielleicht haben wir im zweiten Fall mehr Glück ?! In
diesem nehmen wir die andere Möglichkeit an, eben dass
der erste Faktor kleiner als 0 und der zweite Faktor größer
als 0 ist.
Diese beiden Bedingungen können nun aber tatsächlich
von Zahlen erfüllt werden, und zwar von allen Zahlen,
welche größer als –1 und kleiner als 2 sind !
All diese Zahlen können wir zur Menge L2 = ]-1 ; 2 [
zusammenfassen (beachte: da die Randstellen selber keine
Lösungen sind, zeigen die Klammern bei der
Intervallschreibweise nach außen).
Zur Gesamtlösungsmenge Lges gehören nun alle Zahlen,
welche entweder zu L1 oder L2 gehören. Da im
vorliegenden Beispiel L1 leer ist, gilt Lges = L2 !
Überlege was wir somit herausgefunden haben: Alle Zahlen zwischen
–1 und 2 ergeben beim Einsetzen in die Ungleichung eine wahre
Aussage, alle Zahlen außerhalb dieser Grenzen ergeben hingegen eine
falsche Aussage. Mir persönlich hat es geholfen, hier wirklich die
Probe zu machen. Vielleicht solltest Du das auch tun. ?! Setze eine
Zahl zwischen –1 und 2 für x ein, etwa 1: das Ergebnis ist die wahre
Aussage –1 < 1 ! Setzt Du hingegen eine beliebige Zahl links von –1
oder rechts von 2 ein, resultiert eine falsche Aussage: für x = 3 ergibt
sich etwa die falsche Aussage 3 < - 1 !!
Mathematische Kompetenzen:
Eine Gesamtlösungsmenge durch Vereinigung von einzelnen
Lösungsmengen bestimmen können;
die Probe für die gefundenen Lösungen einer Ungleichung machen
können;