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ANALYTISCHE GEOMETRIE
und ANALYSIS
PFLICHT- und
y
WAHLBEREICH
5
4
3
2
12. – 13. Klasse
1
x
1
2
1
2
P
4
FHR 2013
2
3
Q
© Jens Möller
Ausarbeitungen nach dem pdf-Skript von
Guenter Rau,
WS Tübingen
Jens Möller
WS Überlingen
[email protected]
tel 07551-68289
PFLICHTEIL ANALYSIS
ABLEITUNGEN
Bilden Sie jeweils die erste Ableitung.
Ganzrationale Funktionen
1 2
x x 
3
1
f ( x) 
2
f ( x)  3x 4 
3
f ( x)  3x 2 
4
f ( x) 
f ( x) 
1
x 
2
2
x 1
3
f ( x)  12x 3 
1
x 
2
f ( x)  6 x 
1 2
x x 
3
f ( x) 
1
2
1
2
2
x 1
3
Gebrochenrationale Funktionen
1
x2

f ( x )  1  x 2
2
x3
f ( x)  1 
6
f ( x) 
x2
x

f ( x) 
x 2
2
  1   1  2  x 1
x x
x
7
f ( x) 
x3
x2

f ( x) 
x 3 1 3
   2  x 1  3  x 2
2
x
x x x
8
f ( x)  x  3 
2
x3

f ( x)  
5
f ( x)  x  3  2  x  3

Exponentialfunktionen
9
f ( x)  2 e  x

f ( x)  2 e  x
10
f ( x) 
1 3x
e
2

f ( x) 
11
f ( x)  3  e x
12
f ( x)  x  1  e  2 x
3 3x
e
2
f ( x)   e  x

f ( x)  1  2 e  2 x

Trigonometrische Funktionen
f ( x)  2 cos x
13
f ( x)  2 sin x 
14
f ( x)  3 sin ( 2x ) 
f ( x)  6 cos (2x)
1


f ( x)  

2
x2
f ( x)  
1 6

x2 x3
f ( x)  1  6  x  4  1 
6
x4
f ( x )   ( 1) sin (  x )  sin (  x )
15
f ( x )  cos (  x ) 
16
1 
f ( x)  2 cos  x  
2 
17
1 
f ( x)  2x  cos  x  
2 
18
f ( x) 
f ( x)  
1 4
x  cos   x  
2
2
1 
1 
sin  x    sin  x 
2
2 
2 
f ( x)  2 
1
1 
sin  x 
2
2 
f ( x)  2 x 3  ( 1) sin   x   2 x 3  sin   x 
Vermischte Funktionen
19
f ( x) 
1
 2 sin x 
x2
20
f ( x) 
1
e3x
2
x
21
1
x
2
2
f ( x)   e
x
22
1 
f ( x)  2 e  x  sin  x  
2 
23
f ( x) 


f ( x)  
f ( x)  
f ( x)  
2
 2 cos x
x3
2
3 e3x
3
x
2 1 21 x
 e
x2 2
1
1 
f ( x)  2 e  x  cos  x 
2
2 
1
1
 x  e  x   x 1  x  e  x
3x
3
1
1
f ( x)    x 2  1  e  x   2  1  e  x
3
3x

2
STAMMFUNKTIONEN
Geben Sie jeweils eine Stammfunktion an.
Ganzrationale Funktionen


1 4 1 3
x  x  3x
4
3
1
f ( x)  x 3  x 2  3  F ( x)   x 3  x 2  3  dx 
2
f ( x) 
3
f ( x)  x   x  3   x 2  3x  F ( x)   x 2  3x  dx 
4
f ( x )  x 2  1   x  2   x 3  2x 2  x  2
1 4
1 5 1 2
1

x  x  F ( x)    x 4  x   dx 
x  x
3
15
2
3




1 3 3 2
x  x
3
2



F ( x)   x 3  2x 2  x  2  dx 
1 4 2 3 1 2
x  x  x  2x
4
3
2
Vermischte Aufgaben
1
1
1
 1

x  sin  2x   F ( x )     x  sin  2x    dx   x 2  cos  2x 
2
4
2
 2

5
f ( x)  
6
f ( x)  3 e 2 x
7
1
f ( x)  sin  2x   3  F ( x)    sin  2x   3   dx   cos  2x   3x
2
8
f ( x) 
9
f ( x)  x  1  cos  0, 5 x   F ( x)    x  1  cos  0, 5 x    dx 
10
1
1
f ( x)  e2 x  x  F ( x)   e2 x  x  dx   e2 x  x 2
2
2


 F ( x )   3 e 2 x  dx 
3 2x
e  1, 5 e 2 x
2
2
2
2
 2

 1  F ( x )    2  1   dx   2  x 2  1  dx 
 x 1  1x    1x
2
x
( 1)
x
x




3

1 2
x  x  2 sin  0, 5 x 
2
Stammfunktionen mit bestimmten Eigenschaften
11
12
1 4 1 2
x  x c
4
2
f ( x )  x 3  x und
F (1)  0  F ( x) 
F (1)  0  0 
1 4 1 2
1
1  1  c  c 
4
2
4
f ( x)  e x  x 2
und
 F ( x) 
F (0 )  3  F ( x)   e  x 
1 4 1 2 1
x  x 
4
2
4
1 3
x c
3
F (0)  3  3   e0  0  c  c  4  F ( x)   e x 
1 3
x 4
3
BESTIMMTE INTEGRALE
Ganzrationale Funktionen
1
13

0
1
1 
1 1
1
1
x  x  dx   x 3  x 2      0  0   
2 0 3 2
6
3

2
1
14
1
19
1 2

1 3

0  2 x  3   dx   6 x  3 x  0  6  3  0  0   6
15
1
1 
 4 1 2


 1  4 x  x  1  dx   x  2 x  x  0  1  2  1   1  2  1   2
1
1
1
3
4
16

4
4
1 
1
x  x  dx   x6  x 4   682 23  64   682 23  64   0
4  4
6
5
3

Gebrochenrationale Funktionen
2
17
2 
2


1  3  x 2   dx  3x  x  1  6  1   3  2   2
18
1
1 1  1
1
 1 x 
 1 1 
 1

1  x3   dx  1  x3  x 2   dx    2x 2  x  1   8  2    2  1    8
2
2
2
2
4
Exponentialfunktionen
1
19
  2  e   dx  2  e
x
x
1
  2  e  2  e 0  2 e  2
0
0
0
20
 2 e
 0 ,5 x
1
1
21
 e
x
  dx   4 e
 0 ,5 x

   4    4 e
1
0
0 ,5

4e
0 ,5
4
 1  dx    e  x  x    e  1  1   1  0   2  e  1
1
0
0
ln 3
22
  e   dx    e
x
x

   e  ln 3   1   e ln 3
0
ln 3
0

1
1
2
1
 1   3  1    1 
3
3
Vermischte Aufgaben
1
23
  2  e   dx  2x  e
x
x
  2  e  1   0  1  1  e  1
0
1
0

24
 1  sin x   dx   x  cos x

0
   cos    0  cos 0      1   0  1    2
0
0
25

1
0
1

 1
 4
x 2  e  x  dx   x 3  e  x   0  1     e    e
3
 1
 3
 3

5
SCHAUBILDER INTERPRETIEREN
1
Welcher Funktionsterm gehört zu dem folgenden Schaubild?
Begründen Sie Ihre Entscheidung.
y
I
II
III
IV
1
 x  1 x  2  x  4 
4
1
f ( x) 
 x  1 x  2  x  4 
2
1
f ( x)    x  1 2  x  x  4 
4
1
f ( x) 
 x  1 x  2  4  x 
4
3
f ( x)  
2
1
2
2
x
4
1
y
2
2
III
1
1
x
1
f ( x)  1 
x
2
f ( x)  x  1
IV
f ( x)  x  1
I
II
1
f ( x) 
2
2
x
4
1
2
3
3
y
I
II
III
IV
f ( x)  2  e  x
f ( x)  e x  1
f ( x)  e  x  1
f ( x)  1  e  x
2
1
2
2
1
2
6
x
4
y
I
2
f ( x)  sin x
II
III
f ( x)  sin  x  1
f ( x)  2 sin x
IV
f ( x)  1  sin x
1
π
2
5
1
π
2
π
3π
2
2π
x
π
2
π
3π
2
2π
x
y
I
2
f ( x)   cos x
II
III
f ( x)  1  cos x
f ( x)  1  cos  2x 
IV
f ( x)  2 cos x
1
π
2
1
6
Die Abbildung zeigt das Schaubild der Ableitungsfunktion f  einer Funktion f.
Begründen Sie, ob die gemachten Aussagen über das Schaubild K der Funktion f richtig oder falsch
sind.
K besitzt Tangenten mit der Steigung 3.
y
Im Schnittpunkt mit der y -Achse hat K
2
f'
einen Hochpunkt.
1
K hat an der Stelle x = 1 einen Wendepunkt
mit der Tangentensteigung 1.
2
1
7
x
7
y
In der Abbildung ist das Schaubild G' der
g'
2
Ableitungsfunktion g' einer Funktion g gegeben.
1
Machen Sie eine Aussage über Hoch-, Tief- und
Wendepunkte des Schaubildes der Funktion g und
2
2
begründen Sie Ihre Antwort.
x
1
2
3
8
Gegeben ist das Schaubild einer Funktion f. Skizzieren Sie das Schaubild der Funktion f  . Geben Sie
einen Näherungswert für f (0 ) an.
4
y
3
2
f
1
2
4
6
1
9
Gegeben ist die Funktion f durch f ( x) 
1 3
x  x 2  3x  1 .
12
Zwei der folgenden Schaubilder können nicht das Schaubild von f sein.
Welche zwei Schaubilder sind das?
Geben Sie jeweils eine Begründung an.
8
x
y
4
3
I
2
1
2
4
6
4
6
x
1
4
II
y
3
2
1
2
x
1
2
3
4
y
III
3
2
1
2
4
6
1
9
x
LÖSUNGEN
1
f ( x)  
2
f ( x) 
1
1
 x  1 2  x  x  4     x  1 x  2  x  4   III
4
4
1
1
 1  1 
x
x
 I
y  1 ist die waagerechte Asymptote
y
y
1
f ( x) 
x
3
Typ 1
2
3
1
f ( x)  2
x
2
Typ 2
1
1
2
x
2
2
1
2
2
3
f ( x)  e  x  1  1  e  x

y  1 ist die waagerechte Asymptote
y
3
Zwei TYPEN
f ( x)  e x
2
1
f ( x)  e  x
2
2
10
x
x
4
f ( x )  1  sin x Die Sinuskurve ist um 1 nach oben verschoben.
y
1
y = sin x
π
2
π
3π
2
2π
x
1
MERKE
5
sin 0  0 sin

3
 1 sin   0 sin
 1 sin 2   0
2
2
f ( x)  1  cos  2x 
Die Cosinuskurve ist um 1 nach oben verschoben und hat eine um den
Faktor 2 verkürzte Periode.
y
1
y = cos x
x
π
2
π
3π
2
2π
1
MERKE
cos 0  1 cos

3
 0 cos   1 cos
 0 cos 2   1
2
2
6
(a)
Die Aussage ist richtig, weil f  zweimal den Wert 3 annimmt.
(b)
Die Aussage ist falsch, weil f  bei x = 0 einen Vorzeichenwechsel von minus nach plus
hat. Für einen HP müsste der Vorzeichenwechsel aber von plus nach minus sein.
(c)
Die Aussage ist richtig, weil f  bei x = 1 einen maximalen Wert hat.
11
7

Das Schaubild von f hat an der Stelle x = 2,5 einen Tiefpunkt, weil die Ableitung dort eine
Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von minus nach plus hat.

Das Schaubild von f hat an der Stelle x = -2 einen Sattelpunkt, weil die Ableitung dort eine
Nullstelle ohne Vorzeichenwechsel hat.

Das Schaubild von f hat an der Stelle x = 1 und an der Stelle x = -2 jeweils einen
Wendepunkt, weil die Ableitung dort ein Extremum hat.
8
f (0 )  4
siehe Tangentensteigung
4
y
3
2
f
1
x
2
1
4
6
f'
9
f ( x) 
1 3
x  x 2  3x  1
12
Das Schaubild muss bei y = 1 die y-Achse schneiden. Daher scheidet das Schaubild II aus.
Der Funktionswert muss für x   gegen   streben. Daher scheiden die Schaubilder II und III aus.
Die Funktion wird also durch das Schaubild I dargestellt.
12
BEZIEHUNGEN zwischen FUNKTION und STAMMFUNKTION
y
14
HP
Stammfunktion F
= Kurvenschar
12
10
8
WP mit größter
negativer Steigung
f
6
TP
4
2
x
-5
5
N(+/-)
N(-/+)
-2
TP
Beispiel:
f( x ) 
3 2 1
6
x  x
20
2
5
F( x )   f ( x )  dx 

1 3 1 2 6
x  x  xc
20
4
5
SCHEMA
Stammfkt F
Funktion f
HP
TP
N.St. mit
N.St. mit
Übergang
Übergang
+/-
-/+
WP mit
WP mit
SP mit
SP mit
negativer
positiver
steigender
fallender
Steigung
Steigung
Umgebung
Umgebung
TP
HP
TP auf der
HP auf der
x-Achse
x-Achse
13
GLEICHUNGEN
Faktorisieren (Ausklammern)
1
x 5  4 x 4  3x 3  0
Bruchgleichungen
2
x
1

x 1 2
3
x2 
4
x2
4
 3
x2
x2
5
1
6
1
1

0
x x2
7
3
7
 2
1
x3 x 9
2
3
x
3x
0
x 2
2
Lösen mit Substitution
8
x 4  x 2  12
9
6
1
 2 1
4
x
x
10
x2  4 
32
x2
LÖSUNGEN
1
x4 / 5  
3
1
x 5  4x 4  3x 3  0  x 3  ( x 2  4x  3)  0  x1/ 2 / 3  0
2
1
x
1

| kreuzweise multipl.  2 x  x 2  1  x 2  2 x  1  0  x1/2  
x 1 2
1
3
x2
2
3
x
3
 x  ( x  2)  3  x 2  2x  3  0  x1/ 2  
1
14
4
1
x2
4
 3
|   x  2   x 2  3   x  2   4  x 2  3 x  2  0  x1/2  
x2
x2
2
Definitionsmenge
=\{2}
Lösungsmenge  =
1
x2  2 entfällt .
Wenn eine Lösung nicht in der Definitionsmenge enthalten ist, dann entfällt diese.
1
3x
 0  x 2  2  3 x  0  x 2  3 x  2  0  x1/ 2  
x 2
2
5
1
6
1
1

 0 | x  x  2   x  2  x  0  2 x  2  0  x  1
x x2
2
MERKE
7

=\{0;2}
Definitionsmenge

Lösungsmenge  = 2  2 ; 2  2 .
Wenn eine Lösung nicht in der Definitionsmenge enthalten ist, dann entfällt diese.
3
7
 2
 1 
x3 x 9
3
7

1
x  3 ( x  3)( x  3)
3  ( x  3)  7  x 2  9  x 2  9  7  3x  9  0
x 2  3x  7  0
1, 5  2, 25  7
x1/ 2  
1, 5  2, 25  7
 keine Lösung
SUBSTITUTION
4
 u 2  u  12  0  u1/ 2  
 3
2
 x 2  4  x1/ 2  
x 2   3 entfällt
2
x 4  x 2  12  SUBSTITUTION
8
RÜCKSUBSTITUTION
9
6
1
 2  1 | x 4
4
x
x
 6  x2  x4
 x4  x2  6  0
 3
2
u 2  u  6  0  u1/ 2  
 x 2  3  x1/ 2  
3
  3
x3  4 x 
10
32
|  x  x 4  4 x 2  32  0  SUBSTITUTION
x
RÜCKSUBSTITUTION
2
 x 2  4  x1/2  
2
15
4
 u1/ 2  
 8
x 2   8 entfällt
PFLICHTAUFGABEN ANALYSIS
Tangenten
1 Zeigen sie, dass die Gerade g : y  2x  2 das Schaubild der Funktion f mit f ( x)  2 e x  3  2
berührt. Geben Sie die Koordinaten des Berührpunktes an.
(mittel)
2 Gegeben ist die Funktion f durch f ( x)  7 e3 x  2  1 . Welche Steigung hat die Tangente an das
Schaubild von f an der Stelle x = 1 ?
(leicht)
 
3 Gegeben ist die Funktion f durch f ( x)  3 sin   x   2 .
2 
(leicht)
Welche Steigung hat die Tangente an das Schaubild von f an der Stelle x = 1?
4 Gegeben ist die Funktion f durch f ( x)  x 2  4 . Das Schaubild ist K.
Die Tangente und die Normale im Punkt N  2 / f ( 2 )  bilden zusammen mit der y -Achse ein
(mittel)
Dreieck. Berechnen Sie den Flächeninhalt dieses Dreiecks.
5 Zeigen Sie rechnerisch, dass die Gerade g : y  2 x  3 das Schaubild der Funktion f mit
f ( x)  2 e x  3  1 berührt. Geben Sie die Koordinaten des Berührpunktes an.
6 Gegeben sind die beiden Funktionen f und g durch f ( x) 
(mittel)
1 2
x  x  1 und g ( x)  2  e x .
2
Zeigen Sie, dass sich die Schaubilder der beiden Funktionen auf der y -Achse orthogonal schneiden.
(mittel)
7 Gegeben sind die beiden Funktionen f und g durch f ( x)  x3  x 2 und g ( x)  x 2  x .
Zeigen Sie, dass sich die Schaubilder der beiden Funktionen bei x = 1 berühren.
(leicht)
8 Die Gerade g geht durch die Punkte A(-1/2) und B(2/-4).
Prüfen Sie, ob g eine Normale an das Schaubild K der Funktion f mit f ( x)  e0 ,5 x  1 ist.
(schwer)
16
9 Gegeben ist die Funktion f durch f ( x) 
1
 x . Ermitteln Sie eine Gleichung der Tangente an
x2
das Schaubild von f an der Stelle x = 1.
(leicht)
10 Gegeben ist die Funktion f durch f ( x)  3x 
1
.
x
(leicht)
Ermitteln Sie eine Gleichung der Tangente an das Schaubild von f an der Stelle x = 1.
11 Gegeben ist die Funktion f durch f ( x) 
1 3 2
x  x  x . Das Schaubild von f hat einen
6
Wendepunkt. Ermitteln Sie eine Gleichung der Wendetangente.
(leicht)
Extrem- und Wendepunkte
1
12 Gegeben ist die Funktion f durch f ( x)   x 4  x 2 . Ihr Schaubild ist K.
8
Ermitteln Sie die Koordinaten der Hoch- und Tiefpunkte von K.
(leicht)
1
13 Gegeben ist die Funktion f durch f ( x)   x4  x 3  1, 25 . Ihr Schaubild ist K.
4
Ermitteln Sie die Koordinaten der Punkte von K, die eine waagrechte Tangente haben.
(leicht)
14 Gegeben ist die Funktion f durch f ( x) 
4
 x . Ihr Schaubild ist K.
x2
Ermitteln Sie die Koordinaten des Extrempunktes von K. Um welche Art von Extrempunkt handelt
es sich?
15 Gegeben ist die Funktion f durch f ( x) 
(leicht)
4
 x . Ihr Schaubild ist K.
x
Ermitteln Sie die Koordinaten der Extrempunkte von K.
Welchen Abstand haben diese Punkte voneinander?
(leicht)
16 Gegeben ist die Funktion f durch f ( x)  1  x  e 0 ,5 x . Ihr Schaubild ist K.
Ermitteln Sie die Koordinaten des Extrempunktes von K.
Zeigen Sie, dass K keine Wendepunkte hat.
(mittel)
17
LÖSUNGEN
1
g : y  2x  2  y  2 und
f ( x)  2
f ( x)  2  2 e x  3  2  e x  3  1  x  3
f (3)  2 e3  3  2  4 und
g (3)  2  3  2  4 
f (3)  g (3)  B  3 / 4 
2
f ( x)  21 e3 x  2
f ( x )  7 e3 x  2  1 

f (1)  m  21 e
3
 
f ( x)  3 sin   x   2 
2 
f ( x) 
3
 
cos   x  
2
2 
f (1) 
3

cos    0
2
2
4
f ( x)  x 2  4 
f ( x)  2x
f (2)  m  4  t : y  0  4  ( x  2)  y  4x  8
mNormale  
1
1
1
 n : y  0    ( x  2)  y    x  0, 5
4
4
4
FLÄCHE
A
8, 5  2
 8, 5 FE
2
5
g : y  2x  3  y  2 und
f ( x)  2
f ( x)  2  2 e x  3  2  e x  3  1  x  3
f (3)  2 e3  3  1  3 und
g (3)  2  3  3  3 
f (3)  g (3)  B  3 / 3 
6
f (0)  0  0  1  1 und
f (0)  0  1  1 und
g (0)  2  e 0  2  1  1 
g (0)  e0  1 
f (0)  g (0)
f (0)  g (0)  1
7
f (1)  1  1  0 und
f (1)  3  2  1 und
g (1)  1  1  0 
g (1)  2  1  1 
f (1)  g (1)
f (1)  g (1)
18
8
mNormale 
2  (4) 6

 2  y  2  2  ( x  1)  y  2x
1  2
3
mTangente  
1
 0, 5 
2
x 0 
f (0)  1  1  0  P  0 / 0  liegt auf K und auf g.
f ( x)  0, 5  e0 ,5 x
 0, 5  e0 ,5 x  0, 5  e0 ,5 x  1  x  0
Also ist die Gerade g eine Normale von der Kurve K.
9
f ( x) 
1
x 
x2
f (1) 
1
 1  0 und
12
f ( x)  
2
1
x3
f (1)  
t : y  0  3   x  1 
2
 1  3
13
y  3x  3
10
f ( x)  3x 
1

x
f ( x)  3 
f (1)  3  1  2 und
1
x2
f (1)  3  1  4
t : y  2  4   x  1 
y  4x  2
11
f ( x) 
1 3 2
x x x 
6
f ( x) 
1 2
x  2x  1 
2
f ( x)  x  2  WP  2 /  23 
f (2)  2  4  1  1  t : y  23  ( x  2)  y   x  1 31
12
1
f ( x)   x 4  x 2
8
f ( x)  0  

1
f ( x)   x3  2x 
2
1 3
x  2x  0  x 3  4 x  0  x  ( x 2  4)  0
2
x1  0 mit
f (0 )  2  TP  0 / 0 
x2  2 mit
f (2 )   4  HP  2 / 2 
x3   2 mit
3
f ( x)   x 2  2
2
f ( 2 )   4  HP  2 / 2 
19
13
1
f ( x)   x4  x3  1, 25 
4
f ( x)   x3  3x 2
f ( x )  0   x 3  3x 2  0 
SP  0 / 1, 25  und

f ( x)  3x 2  6 x
x 2  (  x  3)  0 
x1/ 2  0 und
x3  3
HP  3 / 8 
14
f ( x) 
4
x 
x2
f ( x)  0  
f (2) 
f ( x)  
8
1 
x3
f ( x) 
24
x4
8
 1  0   8  x3  0  x  3 8  2
3
x
24 24 3

  1, 5  0  TP  2 / 3 
24 16 2
15
f ( x) 
4
x 
x
f ( x)  
4
1 
x2
f ( x)  
8
x3
f ( x)  0  
2
4
 1  0   4  x 2  0  x1/ 2  
2
x
2
TP  2 / 4  und
HP  2 /  4  und
d  4 2  8 2  80
16
f ( x)  1  x  e 0 ,5 x

f ( x)  1  0, 5  e 0 ,5 x

f ( x)  0, 25  e 0 ,5 x
f ( x)  0   1  0, 5  e 0 ,5 x  0  e 0 ,5 x  2  x  2  ln 2
f ( x)  0  ex. kein Wendepunkt
TP  2  ln 2 / 1  2  ln 2  2 
y
3
TP  2  ln 2 / 3  2  ln 2   TP  1, 38 / 1, 61
2
T
1
1
20
2
x
17 Gegeben ist die Funktion f durch f ( x)  1  0, 5 x 2  e 0 ,5 x . Ihr Schaubild ist K.
Ermitteln Sie die x-Koordinate des Wendepunktes von K.
Flächenberechnungen
18 Gegeben ist die Funktion f durch f ( x) 
x
2
  x  8  . Ihr Schaubild ist K.
8
Das Schaubild K begrenzt mit der x-Achse eine Fläche mit dem Inhalt A.
Berechnen Sie A.
19 Gegeben ist die Funktion f durch f ( x) 
8
 2 . Ihr Schaubild ist K.
x2
Gegeben ist außerdem die Funktion g durch g ( x)  x 2  5 . Ihr Schaubild ist G.
Zeigen Sie, dass sich K und G bei x = 1 schneiden.
Die Schaubilder K und G begrenzen zusammen mit dem Koordinatenachsen im 1. Quadranten eine
Fläche mit dem Inhalt A. Berechnen Sie A.
20 Gegeben ist die Funktion f durch f ( x)  4 e x  2 e 2 x . Ihr Schaubild ist K.
Das Schaubild K begrenzt zusammen mit den Koordinatenachsen ein Flächenstück mit dem Inhalt
A. Berechnen Sie A.
Steckbriefaufgaben
21 [ungewöhnlich schwer, kann weggelassen werden]
1
Gegeben ist die Funktion f durch f ( x)   x 4  x 2 . Ihr Schaubild ist K.
8
Eine nach unten geöffnete Parabel 2. Ordnung ist symmetrisch zur y-Achse und schneidet K im
Punkt P(-2/2). Die Parabel und K schließen zwischen x = -2 und x = 2 eine Fläche mit dem Inhalt
9,6 ein. Ermitteln Sie eine Gleichung der Parabel.
1
22 Gegeben ist eine Funktion f mit dem Funktionsterm f ( x)   x3  b x 2  c x  1 .
3
Zwei der dargestellten Kurven können nicht das Schaubild von f sein. Begründen Sie, welche dieses
sind.
21
y
y
2
y
3
2
1
2
1
2
2
1
x
1
1
2
1
x
2
4
1
2
4
x
Geben Sie den Term der Funktion an, deren Schaubild mit der mittleren Kurve übereinstimmt.
x
23 Das Schaubild der Funktion f mit f ( x)  a  e a  a  x  b hat den Hochpunkt H(0/2).
Berechnen Sie a und b.
24 Gegeben sind die beiden Funktionen f und g durch
f ( x)  x 3  3 x 2  2 und
g ( x )   x  1   x  2   3
2
Ihre Schaubilder sind K und G.
Zeigen Sie rechnerisch, dass K und G keine gemeinsamen Punkte haben.
Beschreiben Sie die gegenseitige Lage der beiden Schaubilder.
22
LÖSUNGEN
17
f ( x )  1  0, 5 x 2  e 0 ,5 x
f ( x)   x  0, 5 e 0 ,5 x


f ( x)  1  0, 25 e 0 ,5 x
f ( x)  0   1  0, 25 e 0 ,5 x  0  e 0 ,5 x  4  xw  2  ln4
18


x
1
1
2
f ( x)    x  8   x  x 2  16 x  64  x3  2x 2  8x
8
8
8
8
2
1

1

A    x 3  2x 2  8x   dx   x 4  x 3  4x 2   42 23 FE
8
3

 32
0
0
8
FLÄCHE
19
y
f ( x) 
8
 2 und
x2
g ( x)  x 2  5
6
5
f (1)  8  2  6 und
g (1)  1  5  6 
2
f (1)  g (1)
4
Nullstelle
3
f ( x)  0 
8
 2  0  x 2  4  x1/ 2   2
2
x
1
2
0
1
1
A    g ( x )   dx    f ( x )   dx 
FLÄCHE
1
2
1
2
x
2
2
1
1 3

 8

1
 3 x  5x     x  2x   3  5  4  4  8  2  7 3 FE
0
1
y
2
20
f ( x)  4 e x  2 e 2 x  2e x   2  e x 
1
Nullstelle 2  e x  0  x  ln2
FLÄCHE
1
ln2
A
 4 e
x

 2 e 2 x  dx  4 e x  e 2 x 
ln2
0
 4  2  4   4  1  4  3  1 FE
0
23
x
21
1
f ( x)   x 4  x 2
8
und
g ( x)  a  x 2  b wegen Symmetrie
y
P  2 / 2   g ( x)  a  x 2  b  4a  b  2  b  2  4a
4
INTEGRAL
2
3
P
2
1


A    g ( x )  f ( x )   dx    a  x 2  b  x 4  x 2   dx  4, 8
8

0
0 
2
1
2
1 5 1 3
8a
4 8
a 3
 3  x  b x  40 x  3 x   3  2b  5  3  4, 8
0
1
2
2
x
8a
4 8
8a
8
 2   2  4a     4, 8 
 4  8a  0, 8   4, 8
3
5 3
3
3
8a  12  24a  2, 4  8  14, 4   16 a  8  a   0, 5
1
g ( x)   x 2  4
2
b  2  4 a  2  4   0, 5   2  2  b  4 
22
Die 1. Kurve schneidet die y-Achse bei y = 0 und kann daher nicht die Funktion f darstellen.
Die dritte Kurve strebt für immer größer werdendes x gegen +  , also nach oben. Die gesuchte
Kurve muss aber wegen des Minuszeichens vor der höchsten Potenz nach unten streben. Die
mittlere Kurve hat folgenden Funktionsterm


f ( x)  
1
1
2
 x  1   x  3    x2  2x  1   x  3 
3
3
f ( x)  
1 3
1
1
5
x  2x 2  1x  3x 2  6 x  3    x 3  x 2  x  1

3
3
3
3
23
x
a
f ( x)  a  e  a  x  b 
x
f ( x)  e a  a
y
f (0 )  0  1  a  0  a  1
2
f (0)  2  a  b  2   1  b  2
1
b3 
f ( x)   e  x  x  3
1
2
1
24
2
x
24
g ( x )   x  1   x  2   3 
2
 x  1   x 2  4x  4   3  x 3  3 x 2  7
f g
x3  3 x2  2  x3  3 x2  7
2  7 Widerspruch
Also gibt es keine Schnittpunkte, K und G sind in y-Richtung parallel verschoben.
y
2
1
1
2
1
K
2
3
G
4
5
6
7
25
2
x
PFLICHTAUFGABEN VEKTOREN
Geraden
1 Gegeben sind die zweiPunkte A(3/-2/-1) und B(5/1/-2). Die Gerade g geht durch A und B. Geben
Sie eine Gleichung der Geraden g an.
2 Die Gerade g geht durch die Punkte A(9/7/3) und B(5/3/1). In welchem Punkt schneidet g die
x1 x2 Ebene ?
 1 
 1
4
3
  
  
 
 
3 Gegeben sind die beiden Geraden g : x   0   s   1  und h : x   5   t   3  .
3
0 
3
0 
 
 
 
 
Welche besondere Lage haben die beiden Geraden?
Welchen Punkt haben beide Geraden gemeinsam?
4 Die Gerade g geht durch die Punkte A(-1/3/-2) und B(1/2/1). Die Gerade h geht durch den
Ursprung des Koordinatensystems und ist parallel zu g.
Geben Sie eine Gleichung der Geraden h an.
3
 2 
1
2
  
  
 
 
5 Gegeben sind die beiden Geraden g : x   3   s   2  und h : x   5   t   1  .
0 
 2
 1 
 1
 
 
 
 
Zeigen Sie, dass sich die beiden Geraden rechtwinklig schneiden und geben Sie die Koordinaten
des Schnittpunktes an.
 3 
 1
  
 
6 Gegeben ist die Gerade g : x   1   t   1  .
4
2
 
 
Ermitteln Sie die Koordinaten der beiden Punkte auf g,
die von A(-3/1/4) den Abstand
24 haben.
26
2
4
  
 
7 Zeigen Sie, dass die Gerade g : x   3   t   u  für jedes u  R die x2 Achse schneidet.
5
 10 
 
 
2
3
  
 
8 Gegeben ist die Gerade g : x   6   t   2  mit u  R .
5
u 
 
 
Bestimmen Sie u, so dass g durch den Punkt P(8/10/3) geht.
2
 1
  
 
9 Gegeben sind die beiden Geraden g : x   7   s   2  und
8
2
 
 
4
 4
  


h : x   2  t  1  .
3
 1 
 


Zeigen Sie, dass sich die beiden Geraden in der x2 x3 Ebene senkrecht schneiden.
Geben Sie Koordinaten des Schnittpunktes an.
10 Die Gerade g enthält die Punkte A(-1/5/3) und B(1/6/2).
Die Gerade h scheidet die x3 Achse bei 3 und ist parallel zu g.
In welchem Punkt schneidet h die x1 x2 Ebene ?
Ebenen und Geraden
11 Die Gerade g geht durch den Punkt P(2/-1/5) und verläuft orthogonal zur Ebene E : x1  2 x3  5
. Geben Sie eine Gleichung der Geraden g an.
 11 
 2
  
 
12 Die Gerade g : x   10   t   2  und die Ebene E : x1  x2  x3  8 haben einen Punkt
 5 
 2 
 
 
gemeinsam. Berechnen Sie die Koordinaten dieses Punktes.
Welche besondere Lage haben g und E?
2
4
  
 
13 Zeigen Sie, dass die Gerade g : x   3   t   u  für jedes u  R die x2 Achse schneidet.
5
 10 
 
 
27
2
4
  
 
14 Gegeben ist die Gerade g : x   3   t   u  .
5
 10 
 
 
Wie muss u gewählt werden, damit die Gerade g keine Punkte mit der Ebene
E : 2 x1  4 x2  x3  12 gemeinsam hat?
Kann g zu E orthogonal sein?
15 Gegeben ist die Ebene E : 6 x1  2 x2  3 x3  12 .
Fällen Sie das Lot vom Punkt P(13/4/8) auf E und berechnen Sie die Koordinaten des
Lotfußpunktes F.
Wie weit ist P von E entfernt?
Vermischtes
16 Gegeben ist das Spurdreieck einer Ebene. Geben Sie eine Gleichung dieser Ebene an.
x3
5
1
1
6
x2
1
4
x1
17 Welche besondere Lage hat die Ebene E : x1  x3  0 ?
4
4
  
 
18 Gegeben ist die Gerade g : x   1   t   0  .
1
3
 
 
Prüfen Sie, ob es einen Punkt in der x2 x3 Ebene gibt, der auf g liegt und zum Punkt A(4/-1/1) den
Abstand d = 5 hat.
Geben Sie gegebenenfalls die Koordinaten des Punktes an.
28
LÖSUNGEN
1
 3
2
  
 
g : x   2   t   3 
 1 
 1 
 
 
2
9
4
  
 
g : x   7   t   4   x3  0  3  2 t  0  t  1, 5  S12  3 / 1 / 0 
3
2
 
 
3
3  1 
   
 1    3   0  die Geraden stehen senkrecht aufeinander.
0   0 
   
Da die x3 Komponente von beiden Richtungsvektoren jeweils gleich Null ist, verlaufen beide
Geraden parallel zur x1 x2 Ebene .
EBENENGLEICHUNG
(= Parallelebene mit Abstand 3)
x3  3
SCHNITTPUNKT
4  3 s  1  1 t
0  1s  5  3t
3  0  3  0



12  9 s  3  3 t
0  1s  5  3t |
3  3
stimmt
12  10 s  2  s  1
 t2
S  1 / 1 / 3 
 1 
2
2
  

 
 
g : x   3   t   1   h : x  t   1 
 2 
3
3
 
 
 
4
 2   2 
   
5  2    1   0  die Geraden stehen senkrecht aufeinander.
 1  2 
   
I
II
III
1  2s  3  2t
3  2 s  5  1t
1  1 s  0  2 t
I  III
 3 s  3  s  1 einsetzen in III
Kontrolle für die II. Zeile:
5  5 stimmt
SCHNITTPUNKT
S 3 / 5 / 0
29
 11  2 t
 t 0
6 BEWEGLICHER PUNKT
 3 
 1
  
 
g : x   1   t   1   P  3  1 t / 1  1 t / 4  2 t  und
4
2
 
 
ABSTAND
1 t 2  1 t 2  4 t 2  24
 6 t 2  24  t 2  4 | 
t   2  P1  1 / 3 / 8  und
7
A  3 / 1 / 4 
P2  5 / 1 / 0 
2
4
  
 
g : x   3  t  u 
5
 10 
 
 
Die x2 Achse liegt in der x1 x2 Ebene mit der Gleichung x3  0 .
g  x3  0  5  10 t  0  t   0, 5  S  0 / 3  0, 5u / 0 
Da beim Schnittpunkt die x1 und x3 Koordinaten gleich Null sind, liegt S auf der x2 Achse .
Für jedes beliebige u erhält man daher einen Punkt auf der x2 Achse .
8
8  23t
 8  2
3
   
 
P in g einsetzen   10    6   t   2   10  6  2  2
   
 
352u
 3  5
u 
ERGEBNIS


t2
10  10

u  1
2
3
  
 
g : x  6   t  2 
5
 1 
 
 
9 SCHNITTPUNKT
2  1s  4  4t
3 6 9t  t 1
7  2 s  2  1t 
() 1  1 stimmt
8  2 s  3  1t

S 0 / 3 / 4 
Da die x1 Komponente gleich Null ist, liegt der Schnittpunkt in der x2 x3 Ebene .
 1  4
  

 2    1   0  senkrechter Schnitt.
2  1 
  

30
10
 1 
2
  
 
g : x   5   s   1  und
 
 
3
 1 
0 
2
  
 
h : x  0   t  1 
 
 
3
 1 
0 
2
  
 
h : x   0   t   1   x3  0  3  t  0  t  3  S12  6 / 3 / 0 
3
 1 
 
 
11
2
 1
  
 
g : x   1   t   0 
5
2
 
 
12
11  2 t  10  2 t  (5  2 t )  8  6 t  18  t  3  D  5 / 4 / 1
13
2
4
  
 
g : x   3  t  u 
5
 10 
 
 
Die x2 Achse liegt in der x1 x2 Ebene mit der Gleichung x3  0 .
g  x3  0  5  10 t  0  t   0, 5  S  0 / 3  0, 5u / 0 
Da beim Schnittpunkt die x1 und x3 Koordinaten gleich Null sind, liegt S auf der x2 Achse .
Für jedes beliebige u erhält man daher einen Punkt auf der x2 Achse .
14
4 2
   
 u    4   8  4u  10  0  4u  2  u  0, 5
 10   1 
   
ORTHOGONALITÄT (die Vektoren müssen parallel sein)
k 2
4
2
 
 
 u   k  4   u  8
 10 
 1 
10  2
 
 
 Widerspruch
Es gibt keine Gerade g, die zur Ebene E orthogonal ist.
15
 13 
6 
  
 
Lot : x   4   t   2   E
8
3
 
 
6  (13  6t )  2  (4  2t )  3  (8  3t )  12  t  2  F  1 / 0 / 2   d  14 LE
31
16
x1 x2 x3
   1  E : 15 x1  10 x2  12 x3  60
4 6
5
17
Die Ebene verläuft parallel zur x2 Achse und geht durch den Ursprung.
18
4
 4
  
 
g : x   1  t   0   x1  0  t  1  P  0 / 1/ 2 
1
3
 
 
ABSTAND
d  AP  4 2  0 2  32  25  5 LE 
32
P ist der gesucht Punkt.
WAHLBEREICH ANALYTISCHE GEOMETRIE
VEKTORRECHNUNG
Aufgaben mit kleinem Umfang
2
1
  
1 Gegeben ist die Gerade g : x   3   t   2  und der Punkt P(-1/6/2).
 1 
2
 
 
Welcher Punkt auf g hat von P den geringsten Abstand?
Wir groß ist dieser Abstand?
2 Gegeben sind die drei Punkte A(8/0/3), B(14/8/3) und C(6/14/3).
Zeigen Sie, dass das Dreieck ABC gleichschenklig ist.
Durch den Punkt D wird das Dreieck ABC zu einem Quadrat ergänzt.
Das Quadrat ABCD ist die Grundfläche einer Pyramide mit der Spitze S(7/7/15).
Berechnen Sie das Volumen und die Oberfläche der Pyramide.
Machen Sie eine Zeichnung.
 10 
2
  
3 Auf der Geraden g : x   8   t   1  gibt es zwei Punkte, die vom Ursprung den Abstand 21
 23 
 1
 
 
haben. Berechnen Sie die Koordinaten dieser Punkte.
4 Gegeben sind die drei Punkte A(10/1/0), B(2/5/0) und C(0/1/0).
Zeigen Sie, dass ABC ein rechtwinkliges Dreieck ist.
Ergänzen Sie das Dreieck durch den Punkt D zu einem Rechteck.
Das Rechteck ABCD ist die Grundfläche eines schiefen Prismas mit der Deckfläche
A  8 / 1 / 6  B C  D .
Geben Sie die Koordinaten der fehlenden Eckpunkte der Deckfläche an.
Berechnen Sie das Volumen des Prismas.
Berechnen Sie den Flächeninhalt der Seitenfläche A B BA .
Zeichnen Sie das Prisma.
33
5 Das Spurdreieck der Ebene E : 3x1  4x2  2x3  24 bildet zusammen mit dem
Koordinatenursprung eine dreiseitige Pyramide.
Berechnen Sie das Volumen dieser Pyramide.
Wie weit ist der Ursprung von E entfernt?
Welchen Flächeninhalt hat das Spurdreieck?
8 
4 
  
6 Gegeben ist die Gerade g : x   4   t   1  .
 3 
 3 
 
 
Berechnen Sie die Koordinaten der Spurpunkte dieser Geraden.
Welchen Winkel bildet die Gerade mit der x1 x2 Ebene ?
5
2
  
7 Gegeben ist die Gerade g : x   6   t   2  .
7 
 1
 
 
Zeigen Sie, dass der Punkt P(10/11/5) nicht auf g liegt.
Welche beiden Punkte auf g haben von P den Abstand
27 ?
 2 
6 
  
8 Gegeben ist die Gerade g : x   1   t   3  .
 
 
 3
 2 
Zeigen Sie, dass der Punkt P(28/16/-7) auf g liegt.
Welche beiden Punkte auf g haben von P den Abstand 14?
9 Gegeben sind die drei Punkte A (2/3/2), B(3/3/0) und C(6/-12/4).
Zeigen Sie, dass ABC ein rechtwinkliges Dreieck ist.
Das Dreieck ABC liegt in der Ebene E. Ermitteln Sie eine Gleichung dieser Ebene.
Der Punkt S(14/7/8) bildet zusammen mit dem Dreieck ABC eine dreiseitige Pyramide.
Berechnen Sie das Volumen dieser Pyramide.
a
Die Gerade g geht durch S und verläuft in Richtung  3  . Alle Punkte auf g bilden zusammen mit
2
 
dem Dreieck ABC eine dreiseitige Pyramide mit dem gleichen Volumen.
Berechnen Sie a.
34
10 Die Gerade g geht durch die Punkte A(3/7/4) und B(-6/-5/16).
In welchen Punkten schneidet g die x2 x3 Ebene und die x1 x2 Ebene ?
Welchen Abstand haben diese beiden Punkte?
Lösungen 1
 1   1 
   
H : x1  2x2  2x3   2    6   15
2  2 
   
HILFSEBENE
H  g 2  t  2   3  2 t   2   1  2 t   15  9 t  9  t  1
F  3 / 5 / 1  d  PF  4 2  12  12  18
Lösungen 2
AB  6 2  8 2  0 2  10 und
BC  8 2  6 2  0 2  10  gleichschenklig
8  8 0 

    
  
xD  x A  BC   0    6    6   D  0 / 6 / 3 
3  0  3
  
  
QUADRATECKE
VOLUMEN
Das Quadrat liegt parallel zur x3 Ebene , die Pyramidenhöhe ist senkrecht dazu.
1
hPyr  15  3  12 LE  V   100  12  400 VE
3
OBERFLÄCHE
Die Mitte des Quadrates ist M 7 / 7 / 3  
alle Seitendreiecke sind gleichschenklig.
Seitenmitte von AB ist F  11 / 4 / 3   FS  4 2  32  12 2  13 LE
A 
x3
10  13
 65 FE
2
S
Oberfl  Grundfl  4  A  100  4  65  360 FE
h
D
1
C
1
A
1
M
F
B
x1
35
x2
Lösungen 3
 10 
2
  
BEWEGLICHER PUNKT auf g : x   8   t   1  
 23 
1
 
 
P  10  2 t / 8  1 t / 23  1 t 
ABSTAND VOM URSPRUNG
d
10  2t    8  1 t    23  1 t 
2
2
10  2t    8  1 t    23  1 t 
2
2
2
2
 21 | quadrieren
 441
100  40t  4t 2  64  16t  1t 2  529  46t  1t 2  441
 3
252  102t  6t 2  0  t 2  17t  42  0  t1/ 2  
14
P1  4 / 5 / 20  und
P2  18 / 6 / 9 
Lösungen 4
RECHTWINKLIGKEIT
 8
 

BA   4  und
 0 


 2
 8  2
 


 

BC    4    4     4   0    90
 0 
 0   0 



 

VIERTE ECKE
 10    2   8 

    
 

xD  x A  BC   1     4     3   D  8 / 3 / 0 
0  0   0 
  
 

A  8 / 1 / 6 
C   2 / 1 / 6 
B  0 / 5 / 6 
gehe jeweils zwei nach hinten und 6 nach oben.
x3
D  6 / 3 / 6 
C'
B'
VOLUMEN
D'
A'
V  G  h  8 2  4 2  22  4 2  6 
1
80  20  6  6  1600  6  40  240 VE
1
C
x2
1
B
D
36
x1
A
FLÄCHE
A  80  40  sin 73, 57  54, 3 FE
[Bestimme den Winkel zuvor mit der Cosinus-Formel.]
Lösungen 5
E : 3x1  4x2  2x3  24 
x1 x2 x3
 
1
8 6 12
VOLUMEN
V
Gh
8 6
und G 
 24 FE
3
2
V
24  12
 96 VE
3
ABSTAND VOM URSPRUNG
d
|D|
A2  B 2  C 2

| 24 |
32  4 2  2 2

24
32  4 2  2 2

24
29
FLÄCHE DES SPURGERADENDREIECKS
V
A  d
3

A 
3  V 3  96  29

 64.62 FE
d
24
Lösungen 6
8 
4 
  
 
g : x   4   t  1  .
 3 
 3 
 
 
SPURPUNKTE
g  x1  0  8  4 t  0  t  2  S1  0 / 2 / 3 
g  x2  0  4  1 t  0  t   4  S2   8 / 0 / 9 
g  x3  0   3  3 t  0  t  1  S3  4 / 3 / 0 
WINKEL ZWISCHEN GERADE UND EBENE
sin  
 4  0 
   
 1 0 
 3   1 
   
4 2  12  32  1

3
26
   36 , 04
37
Lösungen 7
5
2
  
 
g : x  6   t  2 .
7 
 1
 
 
PUNKTPROBE für P  10 / 11 / 5 
t  2, 5
 10   5 
2
   
 
 11    6   t   2   t  2, 5  Widerspruch  P  g
 5  7 
 1
t  2
   
 
5
2
  
BEWEGLICHER PUNKT auf g : x   6   t   2  
7 
 1
 
 
P 5  2 t / 6  2 t / 7  1 t 
ABSTAND VOM PUNKT P0  10 / 11 / 5 
d
 5  2t    5  2 t    2  1 t 
2
2
 5  2t    5  2 t    2  1 t 
2
2
2
2
 27
| quadrieren
 27
25  20 t  4 t 2  25  20 t  4 t 2  4  4 t  1 t 2  27
1
27  36 t  9 t 2  0  t 2  4 t  3  0  t1/ 2  
3
P1 7 / 8 / 8  und
P2  11 / 12 / 10 
Lösungen 8
 2 
6 
  
 
g : x   1   t  3  .
 3
 2 
 
 
PUNKTPROBE für P  28 / 16 / 7 
t 5
 28   2 
6 

  
 
 16    1   t   3   t  5  stimmt  P  g
7  3 
 2 
t 5

  
 
38
 2 
6 
  
BEWEGLICHER PUNKT auf g : x   1   t   3  
 3
 2 
 
 
P  2  6 t / 1  3 t / 3  2 t 
ABSTAND VOM PUNKT P  28 / 16 / 7 
d
 30  6t    15  3 t   10  2 t 
2
2
 30  6t    15  3 t   10  2 t 
2
2
2
2
 14 | quadrieren
 196
900  360 t  36 t 2  225  90 t  9 t 2  100  40 t  4 t 2  196
3
1029  490 t  49 t 2  0  t 2  10 t  21  0  t1/ 2  
7
P1  16 / 10 / 3  und
P2  40 / 22 / 11
Lösungen 9
A (2/3/2), B(3/3/0) und C(6/-12/4).
 1
  
AB   0  und
 2 
 
 4 
 1  4 
 

  

AC   15    0    15   0    90
 2 
 2   2 


  

EBENENGLEICHUNG
2
 1
 4 
 1   4   30 
6 
   
  
 


 

 
E : x   3   s   0   t   15   n   0    15    10    2 
 
 


  
 

 
2
 2 
 2 
 2   2   15 
3
6   2
   
E : 6 x1  2x2  3x3   2    3   12  6  6  24
3 2
   
ABSTAND
d
VOLUMEN
V
| Ax1  Bx2  Cx3  D |
A  B C
2
2
2

| 6  14  2 7  3  8  24 |
6 2 3
2
2
2

98
 14 LE
7
Gh
12  2 2  4 2  15 2  2 2  14
5  245 35  14



 81, 67 VE
3
23
6
6
39
Alle Punkte auf g bilden zusammen mit dem Dreieck ABC eine dreiseitige Pyramide mit dem
gleichen Volumen, d.h. g muss parallel zur Ebene ABC verlaufen (SCHERUNG). Das wiederum
heißt, dass der Richtungsvektor von g und der Normalenvektor von E senkrecht aufeinander stehen
müssen.
 14 
a
 a  6 
  


GERADE g : x   7   t   3    3    2   0  6 a  6  6  0 
8
2
2 3
 
 
   
Lösung 10
3
 3 
  
 
g : x   7   t   4  
4
 4 
 
 
ABSTAND
x1  0

t 1
 S 23  0 / 3 / 8 
x3  0

t  1
 S12  6 / 11 / 0 
d  6 2  8 2  8 2  164  12, 8 LE
40
a  2
WAHLBEREICH ANALYTISCHE GEOMETRIE
Umfangreichere Aufgaben
AUFGABE 1
1) Die Punkte A(0/1/0), B (4/4/-1), C(3/6/1) und D(-1/3/2) sind die Ecken der Grundfläche eines
schiefen Prismas.
Die Punkte A  0/1/4  , B, C  3/6/5  und D sind die Ecken der Deckfläche des Prismas.
Geben Sie die Koordinaten der Punkte B und D an.
2) Zeichnen Sie das Prisma in ein Koordinatensystem ein.
3) Weisen Sie nach, dass die Grundfläche ABCD des Prismas ein Rechteck ist.
4) In welchem Punkt durchstößt die Kante BC die x1 x2 Ebene ?
Die Grundfläche ABCD wird durch die x1 x2 Ebene in zwei Teilflächen zerteilt.
Eine Teilfläche ist ein Dreieck. Berechnen Sie den Flächeninhalt dieses Dreiecks.
5) Ermitteln Sie eine Koordinatengleichung der Ebene, in der die Grundfläche ABCD liegt.
41
LÖSUNGEN 1
1)
A  0/1/4  , B  4 / 4 / 3  , C  3/6/5  und D  1 / 3 / 6 
REZEPT
x3
Gehe jeweils 4 nach oben.
D'
A'
2)
C'
ZEICHNUNG
D
1
1
B'
A
C
x2
S12
3)
RECHTECK
4
   
AB  DC   3  und
 1 
 
B
x1
 1 
   
BC  AD   2  und
2
 
 4   1 
   
 3    2   0  90 Winkel
 1   2 
   
Aus der Parallelität von gegenüberliegenden Seiten und dem rechten Winkel folgt, dass ABCD ein
Rechteck ist.
4)
4
 1 
  
 
BC : x   4   t   2   x3  0   1  2 t  0  t  0, 5  S12  3, 5 / 5 / 0 
 1 
2
 
 
FLÄCHE VON ABS12 (Das Dreieck ist Teil des Rechtecks, also rechtwinklig.)
A 
4 2  32  12  0, 5 2  12  12
26  2, 25

 3, 82 FE
2
2
5)
E :  8x1  7 x2  11x3  7 Die Rechnung bitte selbst durchführen.
42
AUFGABE 2
 4, 5 
 3 
 

1) Gegeben ist die Gerade g : x   0   t   0  .
 1 
 2


 
Die Punkte A(3/4/2), B(6/6/0) und C(0/0/4) liegen in der Ebene E.
Die Gerade h geht durch A und B.
Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes S und den Schnittwinkel α der Geraden g und
h.
2) Welche besondere Lage hat die Gerade g im Koordinatensystem?
Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes S12 von g mit der x1 x2 Ebene .
3) Ermitteln Sie eine Koordinatengleichung der Ebene E.
Veranschaulichen Sie die Ebene E in einem Koordinatensystem,
zeichnen Sie außerdem die Geraden g und h ein.
4) Der Punkt Q (-3/0/6) liegt auf g.
Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks AQC.
LÖSUNGEN 2
1)
GERADEN
 4, 5 
 3 
 

 
g : x   0   t  0 
 1 
 2


 
3
 3
  
 
h : x  4   s  2 
 
 
2
 2 
und
SCHITTPUNKT
4, 5  3 t  3  3 s
0  0  4  2s  2s4
1  2t  2  2s
KONTROLLE

s2
einsetzen
1  2t  2  4 
4, 5  3  2, 5  3  3  (2)  3  3 stimmt
S  3 / 0 / 6 
43
t  2, 5
WINKEL
 3   3 
   
 0  2 
 2   2 
| 9  4 |
13
13
   



cos  
13  17
13  17
13  17
17
   29, 02
2)
BESONDER LAGE
Da beim Richtungsvektor von g die x2 Koordinate gleich Null ist, verläuft g parallel zur
Koordinatenebene mit der Gleichung x2  0 .
Da der Stützpunkt von g in der x1 x3 Ebene liegt, liegt die ganze Gerade in der x1 x3 Ebene .
 4, 5 
 3 
 

 
g : x   0   t   0   x3  0  1  2 t  0  t  0, 5  S12  6 / 0 / 0 
 1 
 2


 
x3
3)
Q
KOORDINATENGLEICHUNG DER EBENE
3
 3
 3
  
 
 
E : x   4   s  2   t  4 
2
 2 
 2 
 
 
 
C
4
E : 2x1  3x3  12 |: 12
E:
h
g
x1 x3
 1
6 4
1
ZEICHNUNG
h=4
A
x2
1
1
4)
x1
B
6
C und Q liegen in der x2 Ebene .
Wähle CQ als Basis des Dreiecks.
Dann ist A die Spitze des Dreiecks. h  x2 Komponente von A  h  4 LE
4  CQ 4  32  0 2  2 2
A 

 2  13  7 , 21 FE
2
2
44
AUFGABE 3
1) Die Ebene E enthält die Punkte A(2/2/3), B(0/1/5) und C(6/2/1).
Ermitteln Sie eine Koordinatengleichung der Ebene E.
2) Veranschaulichen Sie E mithilfe ihrer Spurgeraden in einem Koordinatensystem.
3) Die Gerade g geht durch A und B. In welchem Punkt schneidet g die x1 x2 Ebene ?
Unter welchem Winkel schneidet g die x1 x2 Ebene ?
4) Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks ABC.
5) Der Punkt Q liegt in der x1 x2 Ebene . Ermitteln Sie die Koordinaten des
Punktes Q so, dass die Winkel  BAQ und  CAQ rechte Winkel sind.
LÖSUNGEN 3
1)
EBENENGLEICHUNG
E : x1  2x2  2x3  12
Die Rechnung bitte selbst durchführen.
2)
E:
x1 x2 x3
   1  ZEICHNUNG
12 6 6
3)
 2
 2
  
 
g : x   2   t   1   x3  0  3  2t  0  t  1,5  S12  5 / 3,5 / 0 
 3
 2 
 
 
 2  0 
   
 1 0 
 2   1 
    2

WINKEL sin  
3
9 1
   41, 84
4)
45
FLÄCHE
A(2/2/3), B(0/1/5) und C(6/2/1)
 2   4 
2
1   1   1   
 1  
A  | a  b |  | AB  AC |    1    0     4 
2
2
2   
 2 4
 2   2
 
A 
nicht kürzen!!
22  4 2  4 2
36 6

  3 FE
2
2
2
5)
Setze
Q  a / b / 0
 2   a  2 
    

BAQ  90  AB  AQ   1    b  2   0   2a  4  b  2  6  0   2a  b  0
 2   03
  

 4   a  2
  
 

CAQ  90  AC  AQ   0    b  2   0  4a  8  6  0  4a  2  a  0,5
  2  0  3

 

2a  b  0 | a  0,5 einsetzen   1  b  0  b  1 
Q  0,5 / 1/ 0 
x3
B
A
1
Q
1
x2
1
C
S12
x1
46
AUFGABE 4
1) Gegeben sind die drei Punkte A(10/6/1,5), B(2/8/0) und C(2/4/3).
Berechnen Sie den Umfang und den Winkel β des Dreiecks ABC.
Das Dreieck ABC wird durch den Punkt D zu einem Parallelogramm ergänzt.
Berechnen Sie die Koordinaten von D.
2) Das Dreieck ABC liegt in der Ebene E.
Ermitteln Sie eine Koordinatengleichung der Ebene und veranschaulichen
Sie diese durch Spurgeraden in einem Koordinatensystem.
3) Berechnen Sie den Flächeninhalt des Vierecks ABCD.
4) Das Viereck ABCD ist die Grundfläche eines geraden Prismas mit der
Deckfläche A'B'C'D' mit A'(10/9/5,5).
Geben Sie die Koordinaten der fehlenden Punkte der Deckfläche an.
Zeichnen Sie das Prisma und berechnen Sie dessen Volumen.
LÖSUNGEN 4
1)
UMFANG
U  8 2  22  1, 5 2  0 2  4 2  32  8 2  2 2  1, 5 2  21,76 LE
WINKEL
cos  
 8  0 

  
 2    4 

  
 1, 5   3 
8  2  1, 5  0  4  3
2
2
2
2
2
2

| 8  4, 5 |
 0, 8351    85, 2
70, 25  25
VIERTE ECKE
 10   0   10 

  
 
 

xD  x A  BC   6     4    2   D  10 / 2 / 4, 5 
 1, 5   3   4, 5 

 
 

2)
47
EBENE
 8  0   0 
0 
 
   

 
n   2    4    24    3 
 1, 5   3   32 
4

   

 
 0   10 
  

E : 3x2  4 x3   3    6   18  6  24 |: 24
 4   1, 5 
  

E:
x2 x3
  1  ZEICHNUNG
8 6
3)
FLÄCHE PARALLELOGRAMM
 8   0 
 8   0   0 
  

 

 
 

2
2
 2     4  A  a  b   2     4    24   24  32  1600  40 FE
 1, 5   3 
 1, 5   3   32 

 


 
 

4)
A  10 / 9 / 5, 5  B  2 / 11 / 4  C   2 / 7 / 7  D  10 / 5 / 8, 5 
REZEPT
3 nach rechts und 4 nach oben gehen.
x3
VOLUMEN
  
V  (a  b )  c 
C'
6
 0  0 

  
 24    3  
 32   4 

  
D'
B'
C
72  128 
A'
1
200  200 VE
D
1
1
8
B
A
x1
48
x2
ANALYTISCHE GEOMETRIE
VEKTORAUFGABE 5
1.
Gegeben sind die Punkte A(4/2/3), B(0/6/3), C(1/3/6) und S(10/12/12)
2
 1 
  
sowie die Gerade g : x   6   t   3  .
0
 6 
 
 
Die Gerade h geht durch C und S.
Die Geraden g und h schneiden sich in einem Punkt.
Berechnen Sie die Koordinaten dieses Schnittpunktes und den Schnittwinkel von g und h.
Zeichnen Sie beide Geraden in das vorgegebene Koordinatensystem ein.
(9 P)
2.
Zeigen Sie, dass das Dreieck ABC gleichschenklig ist.
Berechnen Sie dessen Flächeninhalt.
(5 P)
3.
Das Dreieck ABC liegt in der Ebene E.
Ermitteln Sie eine Koordinatengleichung dieser Ebene und veranschaulichen Sie die Ebene mithilfe
ihrer Spurgeraden.
(6 P)
4.
Das Dreieck ABC ist die Grundfläche einer Pyramide mit der Spitze S.
Berechnen Sie das Volumen der Pyramide.
(4 P)
5.
 10 
a
  
Zeigen Sie, dass die Gerade k : x   12   t   1  mit t  R für jedes a  R die x1 Achse
 12 
1
 
 
schneidet. Wie muss a gewählt werden, damit die Gerade k keine Punkte mit der Ebene
E : 3x1  3x2  2x3  24 gemeinsam hat?
(6 P)
49
LÖSUNGEN 5
1.
 1
9
 1
3
  
  
 
 
h : x   3   s  9   x   3   s  3
6 
6 
6 
2
 
 
 
 
Gerade
SCHNITT
I
2  1t  1  3 s
g  h  II 6
III 0
I  II
 3t  3  3s
 6t  6  2s
  4  2t  2   2t  2  t  1
t  1 einsetzen in I
2 1  1 3 s  3 s  0  s  0
Kontrolle für die nicht benutzte Zeile: 0  6  6  0  6  6
SCHNITTPUNKT
C 1 / 3 / 6 
cos  
WINKEL
stimmt
 1  3
   
 3  3
 6   2 
   
12  32  6 2  32  32  2 2

| 3  9  12 |
0
46  22
  90
2.
DREIECK A(4/2/3), B(0/6/3), C(1/3/6)
 3
  
CA   1 
 3 
 
 3   1 
   
 1    3 
 1 
 3   3 
  
   
CB   3   cos  
19  19
 3 
 
CA  32  12  32  19
FLÄCHE
A 
   80, 92
und CB  12  32  32  19
 gleichschenklig
1
 19  19  sin 80, 92  9, 38 FE
2
3. EBENENGLEICHUNG
 3
  
CA   1 
 3 
 
 1 
 3   1   12 
3
  
      
 
CB   3   n   1    3    12    3 
 3 
 3    3   8 
2
 
     
 
50
3 4
   
E : 3x1  3x2  2x3   3    2   12  6  6  24 |: 24
2 3
   
E:
x1 x2 x3
 
1 
8 8 12
ZEICHNUNG
4.
ABSTAND
d
S(10/12/12) zur Ebene ABC
| Ax1  Bx2  Cx3  D |
A2  B 2  C 2
VOLUMEN
 Höhe 
| 3  10  3  12  2  12  24 |
3 2  32  2 2

66
22
1
1
66
V   A  h   9, 38 
 44 VE
3
3
22
5.
 10 
a
  
 
k : x   12   t   1  . Die x1 Achse liegt in der x1 x2 Ebene mit der Gleichung x3  0 .
 12 
 1
 
 
k  x3  0  12  t  0
t   12  T  2 / 0 / 0 
Da beim Schnittpunkt die x2 und x3 -Koordinaten
gleich Null sind, liegt T auf der x1 Achse . Für jedes
x3
12
beliebige a erhält man daher einen Punkt auf der
x1 Achse .
S
h
Die Gerade k soll parallel zur Ebene E sein. Das
C
bedeutet, dass die Richtungsvektoren aufeinander
senkrecht stehen müssen.
g
3 a
     
n  a   3 1  0
2 1
   
3a  3  2  3a  5  a  
1
1
1
5
3
x1
51
8
8
(2/6/0)
x2
WAHLTEIL ANALYSIS
Aufgaben mit kleinem Umfang
1 Die Parabel p geht durch die Punkte P1 (0/4), P2 (2/0) und P3 (-2/0).
Ermitteln Sie eine Gleichung der Parabel p.
Begründen Sie, weshalb das Schaubild K der Funktion f mit f ( x)  e 2  1 und die Parabel p nicht
1
x
mehr als zwei gemeinsame Punkte haben können.
Berechnen Sie die Koordinaten der beiden gemeinsamen Punkte zwischen K und p auf zwei
Dezimalen genau.
2 Gegeben ist die Funktion f durch f ( x)  e  x  1 mit dem Schaubild K.
Das Schaubild G der Funktion g mit g ( x)  a  x  x  4  schneidet K im Ursprung orthogonal.
Berechnen Sie den Wert von a.
3 Gegeben ist die Funktion f durch f ( x)  e 2  1 . Das Schaubild ist K.
1
x
Die Parabel P mit der Gleichung y  a x 2  b x schneidet die x-Achse bei 8 und berührt K auf der y
-Achse. Berechnen Sie a und b.
4 Gegeben ist die Funktion f durch f ( x)  1  x  e 0 ,2 x . Das Schaubild ist K.
Die Funktion p mit p ( x)  a x 2  b x  c hat das Schaubild H.
Das Schaubild H berührt K auf der y -Achse und geht durch den Punkt Q (8/-2).
Ermitteln Sie a, b und c.
Zeichnen Sie K und H.
Das Schaubild H ist im Bereich 0 < x < 8 eine Näherung für K. An welcher Stelle weicht H am
stärksten von K ab? Wie groß ist diese Abweichung?
52
5 Gegeben ist die Funktion f durch f ( x) 
256 ( x  2)
. Das Schaubild ist K.
x4
Untersuchen Sie K auf Extrem- und Wendepunkte.
Das Schaubild K, die x-Achse und die Gerade mit der Gleichung x = u (mit u > 2) begrenzen eine
Fläche mit dem Inhalt A(u). Berechnen Sie A(8) und geben Sie den Term A(u) an.
Ermitteln Sie lim A(u ) .
u 
6 Gegeben ist die Funktion f durch f ( x) 
256 ( x  2)
. Das Schaubild ist K.
x4
Die Punkte A(2/0), B(u/0) und C(u/f(u)) sind Eckpunkte eines Dreiecks mit dem Flächeninhalt
A(u). Geben Sie einen Term für A(u) an.
Für welchen Wert von u ist A(u) maximal? Wie groß ist dieser maximale Wert?
7 Gegeben sind die Funktion f durch
f ( x)  
1
2
x  x  6  und die Funktion g durch
24
g ( x)  a  a  e  x . Die Schaubilder sind K und G. Ermitteln Sie a so, dass sich K und G im
Ursprung orthogonal schneiden.
8 Gegeben ist die Funktion f durch f ( x)  2 e
 2x
 2x  4 .
In welchem Punkt hat das Schaubild von f eine waagrechte Tangente?
Um welche Art von Extrempunkt handelt es sich?
Zeigen Sie, dass das Schaubild keine Wendepunkte hat.
53
LÖSUNGEN
1
Bei bekannten Nullstellen Ansatz mit Produktform machen
g ( x)  a  x  2  x  2  | P(0 / 4) einsetzen  a  1 
f ( x)  e
 21 x
g ( x)   x 2  4
1
y
SCHNITTPUNKTE
Drehsinn
g ( x)  2  Rechtskrümmung
4
f ( x)  0, 25  e 2  0  Linkskrümmung
1
x
2
Da sich die Krümmungen bei beiden Kurven nicht
S2
1
ändern, gibt es maximal 2 Schnittpunkte.
x
1
S1
SCHNITTPUNKTE MIT HILFE DES TRs
g ( x)  f ( x)   x 2  4  e 2  1   x 2  e 2  5  0  5  x 2  e 2  0
1
1
x
1
x
x
Mit dem CASIO-RECHNER fx-991DE PLUS ist jede Gleichung mithilfe des SOLVERs lösbar.
Dazu geht man folgendermaßen vor:
Die Gleichung 5  x 2  e 2  0 wird zunächst im Display eingegeben, dann wird shift solve
1
x
gedrückt und anschließend ein geeigneter Schätzwert eingegeben.
Solve for X = -2,5 (Schätzwert)   S1  2, 16 /  0, 66 
Ebenso erhält man den rechten Schnittpunkt bei S2  1, 65 / 1, 28  .
y
2
g ( x)  a  x  x  4   a  x 2  4a x  g ( x)  2a  x  4a
f ( x)  e  x  1 
f ( x)   e  x
4
2
1
Bedingung für senkrecht schneiden
1
1
g (0 )  
 2a  0  4a   0
f (0 )
e
a 1  a 
1

4
1
1
g ( x)   x 2  x
4
54
x
3
y
y  2a x  b
y  a x2  b x 
f ( x)  e 2  1 
1
6
x
f ( x)  21  e 2
1
x
4
Bedingungen
2
y (0)  f (0)
1
x
0  e 0  1  0  0 erfüllt
y(0)  f (0)  b 
y  a x2  b x 
1
5
1
2
y  a x 2  21 x | N (8 / 0) einsetzen  a  
1
16
4
Berührpunkt auf der y-Achse
y
6
p( x)  2a x  b
p ( x)  a x 2  b x  c 
f ( x)  1  x  e 0 , 2 x

f ( x)  1  0, 2 e 0 ,2 x
4
H
2
1
Bedingungen
1
5
p(0)  f (0)  c  1  0  1  2
x
10
K
2
p(0 )  f (0 )  b  1  0, 2   0, 8
Zwischenerg. p ( x)  a x 2  0, 8 x  2 | Q(8 / 2) eins.
64 a  6 , 4  2  2  64 a  2, 4  a 
2, 4 3

64 80
Mini-Max-Aufgabe
Das Schaubild H ist im Bereich 0 < x < 8 eine Näherung für K. An welcher Stelle weicht H am
stärksten von K ab? Wie groß ist diese Abweichung?
d ( x)  g ( x)  f ( x) 
3
80


x 2  0, 8 x  2  1  x  e 0 , 2 x 
d ( x)  403 x  0, 2  0, 2 e 0,2 x
d ( x)  0 
3
40
x  0, 2  0, 2 e 0 , 2 x  0
Lösung mit dem SOLVER
 Max  5,74 / 0, 23) 
55
3
80
x 2  0, 2 x  1  e 0 , 2 x
5
f ( x) 
256 ( x  2) 256 512
 3  4 
x4
x
x
f ( x)  
768 2048 768x  2048
 5 
x4
x
x5
Extrempunkt
768x  2048  0  x 
f ( x) 
8
3
 HP  83 / 278  Nachweis : f   83   0
4 768 5  2048 3072x  10240


x5
x6
x5
y
Wendepunkt
4
3072x  10240  0  x  103
 WP  103 / 1728
625 
2
1
Fläche
1
5
10
x
10
x
8
A(8 )   f ( x )  dx   mit TR   9 FE
2
u
512 
512 128 128 512
 256 512 
 256
A(u )   f ( x )  dx    3  4   dx  


 2 

2
3
3
x
x 
u
4
38
 2  x 3  x  2 3  u
2
2
u
A(u ) 
u
512 3  128 u 128 512 512  384 u 32





3  u3
3  u3
4
38
3  u3
3
lim A(u ) 
u
32
 10, 67 FE .
3
y
4
6
2
256 ( x  2)
f ( x) 
x4
C
1
1
A
5
B
Mini-Max-Aufgabe
A(u ) 
g  h (u  2)  f ( u ) (u  2)  256 (u  2) 128 (u  2)  (u  2)



2
2
2  u4
u4
128 (u 2  4u  4 ) 128 512 512
A(u ) 
 2  3  4
u4
u
u
u
A(u )  
256 1536 2048 256u 2  1536u  2048
 4  5 
u3
u
u
u5
A(u )  0   256u 2  1536u  2048  0  u 2  6u  8  0  umax  4
Nachweis für Maximum ist sehr aufwendig.
Amax (4) 
128 (4  2)  (4  2)
 2 FE
44
56
7
f ( x)  
1
1
1
1
2
x  x  6    x  x 2  12x  36    x3  x 2  1, 5x
24
24
24
2
1
f ( x)   x 2  x  1, 5
8
y
4
 g ( x)   a  e  x
g ( x)  a  a  e  x
2
Ermitteln Sie a so, dass sich die Kurven im
1
Ursprung orthogonal (senkrecht) schneiden.
1
Bedingungen:
x
5
2
g (0)  f (0)  a  a  0  0  0 ist erfüllt.
g (0)  
1
f (0)
 a
1
(1, 5)
 a
2
3
8
f ( x)  2 e
 2x
 2x  4 
f ( x)  e
 2x
2 
f ( x)   0, 5  e
 2x
.
In welchem Punkt hat das Schaubild von f eine waagrechte Tangente?
f ( x)  0  e
 2x
2  
x
 ln 2  x  2  ln 2  1, 39
2
Um welche Art von Extrempunkt handelt es sich?
f ( x)   0, 5  e

f ( x)   0, 5  e
 2x
x
2
 0  HP  1, 39 / 2, 77 
 0  es kann keinen Wendepunkt geben.
y
4
2
1
1
2
57
x
Aufgaben mit größerem Umfang
AUFGABE 1
1) Gegeben ist die Funktion f durch f ( x) 
x
 x  4   8  x  . Das Schaubild ist K.
16
Ermitteln Sie rechnerisch die Koordinaten der Extrempunkte und des
Wendepunktes von K.
2) Zeichnen Sie K.
3) Das Schaubild G der Funktion g mit g ( x)  e k x  b schneidet K im Ursprung orthogonal.
Ermitteln Sie die Parameter k und b.
(Teilergebnis: k = 0,5 und b = -1 )
4) Zeichnen Sie G.
Die Gerade mit der Gleichung x = 4 und die Schaubilder K und G begrenzen eine Fläche.
Berechnen Sie deren Inhalt.
5) Das Schaubild G wird parallel zur y -Achse verschoben, so dass sich das verschobene
Schaubild und K bei x = 4 schneiden.
Berechnen Sie den Schnittwinkel der beiden Schaubilder in diesem gemeinsamen Punkt.
58
LÖSUNGEN 1
1)
f ( x) 
Funktion
x
1
3
 x  4   8  x    x3  x 2  2x
16
16
4
f ( x)  
Extrempunkte
3 2 3
x  x2
16
2
f ( x)  0  
3
3
f ( x)   x 
8
2
3 2 3
x  x  2  0  3x 2  24x  32  0
16
2
HP  6 , 31 / 1, 54  TP  1, 69 / 1, 54 
Wendepunkte
Nachweis mit f "
3
3
f ( x)  0   x   0  x  4  WP  4 / 0 
8
2
y
2) ZEICHNUNG
8
6
3) orthogonal schneiden im Ursprung
g ( x)  e k x  b  g ( x)  k e k x
4
Bedingungen
2
1
g (0)  f (0)  1  b  0  b  1
1
g (0)  
1
f (0)
 k 
1
(2)
 k
1
2
5
2
g ( x )  e 0 ,5 x  1
4
6
4) FLÄCHE

3
1 3 3 2
 1



A    e 0 ,5 x  1    x 3  x 2  2x    dx    e 0 ,5 x 
x  x  2x  1   dx  12, 78 FE
4
16
4
 16


0
0
4
4
5) Kurve nach unten verschieben um g (4)  (e0 ,5  4  1)   (e0 ,5  4  1)
g *( x)  e 0 ,5 x  1  (e0 ,5  4  1)  g *( x)  e 0 ,5 x  e 2
WINKEL
tan  
m2  m1
0, 5  e 2  1

 0, 5740    29, 85
1  m1  m2 1  0, 5  e 2
g (4)  0, 5  e 2  m2
f (4)  3  6  2  1  m1
59
x
AUFGABE 2
1.
Das Schaubild der Funktion g mit g ( x )  a  e k x geht durch die beiden Punkte A (0/-5)
und B (5/0). Ermitteln Sie den Funktionsterm von g.
2.
Gegeben ist die Funktion f mit f ( x)  21 e 2 x  3 e x . Ihr Schaubild ist K.
Untersuchen Sie K auf Achsenschnittpunkte und Extrempunkte.
3.
Zeichnen Sie K.
4.
Gegeben ist eine weitere Funktion h durch h( x)  e x  3, 5 . Ihr Schaubild ist H.
Zeichnen Sie H in das vorhandene Koordinatensystem ein.
Die Schaubilder K und H schließen zwischen x = 0 und x = ln(7) eine Fläche ein.
Berechnen Sie deren Inhalt exakt.
5.
Die Gerade  ist parallel zur Geraden mit der Gleichung y = 2x + 1.
Die Gerade  berührt das Schaubild H in einem Punkt P.
Wie lautet die Gleichung der Normalen n im Punkt P von H?
60
y
LÖSUNGEN 2
4
3
1.
g ( x)  a  e k x
2
A  0 / 5    5  a  1  a   6
1
B 5 / 0 

B
0   6  e 5k
1
2
e 5 k  6 | ln  5 k  ln 6 | : 5
2
4
1
P
1
k   ln 6  0, 358
5
2
3
g ( x)  e 0 ,358 x  6
4
5
2.
f ( x)  21 e 2 x  3 e x
f ( x)  0 
1
2
1
2

f ( x)  e 2 x  3 e x
e 2 x  3 e x  0  ex 

1
2
A
f ( x)  2 e 2 x  3 e x


e x  3  0 Nullprodukt
e x  3  0  x  ln 6  N  ln 6 / 0  und Y  0 / 2, 5 
EXTREMPUNKT
e 2 x  3 e x  0  e x   e x  3   0  x  ln 3  TP  ln 3 /  4, 5 
f ( x)  0 
3. ZEICHNUNG
4.
h( x)  e x  3, 5  h( x)  e x
ln 7
FLÄCHE
A
 e
ln 7
x
 3, 5  e
0
1
2
2x
3e
x
  dx    4 e
x
 3, 5  21 e 2 x   dx  5, 19 FE
0
5.
h( x)  2  e x  2  x  ln 2  P  ln 2 / 1, 5 
NORMALE im Punkt P
1
1
y  1, 5    ( x  ln 2)  n : y    x  1, 15
2
2
61
x
AUFGABE 3
1) Gegeben ist eine Funktion durch f ( x )  a  b  e b x . Für welche Werte von a und b
schneidet das zugehörige Schaubild die y-Achse bei -2 und hat in diesem Schnittpunkt eine
Tangente, die parallel zur Geraden g mit der Gleichung y = -x ist?
2) Gegeben ist die Funktion f durch f ( x )   3  e  x . Ihr Schaubild ist K.
Zeichnen Sie K.
Das Schaubild K schließt mit den Koordinatenachsen eine Fläche ein.
Berechnen Sie deren Inhalt.
3) Die Gerade mit der Gleichung x = u schneidet g mit y = -x in P und K in Q.
Für welches u ist die Strecke PQ am längsten, wenn vorausgesetzt wird, dass
P höher liegt als Q?
4) Gegeben ist die Funktion h durch h( x)  
1
2
 x  4    x  1 . Ihr Schaubild ist H.
8
Zeichnen Sie H in das vorhandene Koordinatensystem ein.
Das Schaubild H begrenzt unterhalb der x-Achse mit der x-Achse eine Fläche.
Berechnen Sie deren Inhalt.
5) Zeigen Sie, dass sich K und H in einem Punkt auf der y-Achse berühren.
62
LÖSUNGEN 3
1)
h( x )  a  b  e b x
 h( x)   b 2  e b x
Y  0 / 2    2  a  b
h(0)  1   b 2  1  b1  1 und
b2  1
2  a  b  a  b  2  a1  1 und
a2  3
h1 ( x )  1  1  e x
h2 ( x )  3  1  e  x
oder
6
2)
5
f ( x)   3  e
x

f ( x)  0   3  e
f ( x)   e
x
x
4
 0  N  ln 3 / 0 
y
3
FLÄCHE
2
0
A
   3  e   dx  1, 296 FE
x
1
 ln 3
1
2
3)
1
Mini-Max-Aufgabe
3
 d (u )   e  u
d (u )  0   1  e  u  0  u  0 und
P
2
d (u )  y (u )  f (u )  u  3  e  u
d (u )  1  e  u
2
Q
d (0)   1  0  umax  0
4)
h( x )  
1
1
1
2
 x  4    x  1    x 2  8x  16    x  1    x3  7 x 2  8 x  16 
8
8
8
4
1
2
A      x  4   x  1  dx  6 , 51 FE
8 1
5)
f (0)  2 und
h(0)  2
f (0)  1 und
1
h(0)     0  8   1  Berührpunkt B(0 / 2)
8
63
4
x
AUFGABE 4
1
1) Das Schaubild der Funktion p mit p( x)   x 2  b x  c hat den Hochpunkt H(2/2,5).
8
Ermitteln Sie die Parameter b und c.
1
2) Das Schaubild der Funktion g mit g ( x)   x 2  0,5 x  5 berührt das Schaubild K der
8
Funktion f mit f ( x)  a  e k x in einem Punkt auf der y-Achse.
Berechnen Sie die Parameter a und k.
3) Zeichnen Sie K.
4) Die Normale an K im Punkt Q(0/yQ), das Schaubild K und die x-Achse begrenzen ein
Flächenstück. Berechnen Sie dessen Inhalt.
5) Die Gerade mit der Gleichung y = 6, das Schaubild K, die y-Achse und die Gerade mit der
Gleichung x = u begrenzen eine Fläche mit dem Inhalt A(u).
Ermitteln Sie A(u) und geben Sie den Grenzwert lim A(u ) an.
u
64
LÖSUNGEN 4
1)
1
p( x)   x 2  b x  c 
8
1
p( x)   x  b
4
H  2 / 2, 5   2, 5   0, 5  2 b  c und
0   0, 5  b  b  0, 5
b  0 , 5  2, 5   0 , 5  1  c  c  2
1
1
p ( x)   x 2  x  2
8
2
2)
1
g ( x)   x 2  0,5 x  5
8
f ( x)  a  e k x
g (0)  5 

1
 g ( x)   x  0,5
4
f ( x)  k e k x
f (0)  5  a  1  a  6
g (0)  0,5 
f (0)  0,5   k
y
k   0,5
f ( x)  6  e
6
y=6
K
x=u
 0,5 x
5
4
3)
3
H
ZEICHNUNG
2
4)
1
NORMALE
1
2
2
y  2x  5
0
A
 6  e
3 ,58
2 ,5
0 , 5 x
  dx    2x  5   dx  17,75 FE
0
5)
u


A(u )   6  6  e  0 ,5 x  dx   2  e 0 ,5 x   2  e  0 ,5 u  2  2  2  e  0 ,5 u
u
0
0
lim A(u )  2
u 
65
4
6
x
AUFGABE 5
1) Gegeben ist die Funktion f mit f ( x)  4  e
 12 x
. Ihr Schaubild ist K.
Berechnen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte von K mit den Koordinatenachsen.
Zeigen Sie, dass K keine Extrem- und Wendepunkte hat.
Zeichnen Sie K.
2) Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die begrenzt wird von K, der x-Achse und der
Geraden h : y   x  3 .
3) Das Schaubild der Funktion g mit g ( x)  a x 2  b x  c schneidet die x-Achse bei x = 3
und x = 5. Außerdem schneidet das Schaubild von g das Schaubild K auf der y-Achse.
Ermitteln Sie den Funktionsterm g(x).
Zeichnen Sie das Schaubild von g.
4) Das Schaubild K und das Schaubild von g begrenzen eine Fläche.
Berechnen Sie deren Inhalt.
5) Die Gerade mit der Gleichung x = u (mit 0  x  3 ) schneidet die Gerade h im Punkt P und
das Schaubild von g im Punkt R.
Berechnen Sie u so, dass der Abstand zwischen P und R maximal wird.
Berechnen Sie den maximalen Abstand.
LÖSUNGEN 5
1)
f ( x)  4  e
 12 x

f ( x)  0  4  e
f ( x)  0,5 e
 12 x
f ( x)   0, 25 e
f ( x)  0,5 e
 12 x
 12 x

f ( x)   0, 25 e
 0  x  2  ln 4  N (2, 77 / 0) und Y (0 / 3)
 0  keine Extrempunkte
 12 x
 12 x
 0  keine Wendepunkte
66
y
2)
K
4
3
2
h
1
g
1
2
0
A
FLÄCHE

f ( x )  dx 
2 ,77
2
4
6
x
33
 9, 59 FE
2
3)
g ( x )  a x 2  b x  c  a   x  3   x  5 
Y (0 / 3)  3  a   0  3   0  5   3  15 a  a 
1
5
1
1
8
g ( x )    x  3   x  5   x 2  x  3
5
5
5
4)
Die obere Grenze findet man als Näherung durch 1  e
8 ,58
A
 f
( x)
 12 x
1
8
 x 2  x  0  x  8,575
5
5
 g( x )   dx  23, 4 FE
0
5)
Mini-Max-Aufgabe
1
8
1
3
d (u )  h(u )  g (u )  u  3  u 2  u  3   u 2  u
5
5
5
5
2
3
2
d (u )   u 
 d (u )  
5
5
5
2
3
d (u )  0   u   0  u  1, 5 und
5
5
d max  d (1, 5)  0, 45 LE
67
2
d (1, 5)    0  umax  1, 5
5
AUFGABE 6
1) Gegeben ist die Funktion f mit f ( x)  4  e
 41 x
 2 . Ihr Schaubild ist K.
Berechnen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte von K mit den Koordinatenachsen.
Zeigen Sie, dass K keine Extrem- und Wendepunkte hat.
Zeichnen Sie K.
2) Zeigen Sie, dass die Gerade t : y   x  2 das Schaubild K im Schnittpunkt mit der
y-Achse berührt.
Zeichnen Sie t in das vorhandene Koordinatensystem ein.
Begründen Sie, dass t und K keine weiteren gemeinsamen Punkte haben.
3) Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die begrenzt wird von K, der x-Achse und der
Geraden t.
1
4) Gegeben ist die Funktion g durch g ( x)   x 3  x  2 . Ihr Schaubild ist G.
3
Untersuchen Sie G auf Extrem- und Wendepunkte.
Zeichnen Sie das Schaubild G.
Zeigen Sie, dass sich K und G auf der y-Achse rechtwinklig schneiden.
5) Die Gerade mit der Gleichung x = u (mit 0 < x < 2) schneidet G im Punkt P und
K im Punkt R.
Berechnen Sie u so, dass der Abstand zwischen P und R maximal wird.
Berechnen Sie den maximalen Abstand.
LÖSUNGEN 6
1)
f ( x)  4  e
 41 x
2 
f ( x)  0  4  e
f ( x)   e
 14 x
f ( x)   14  e
 14 x
f ( x)   e
 41 x

f ( x)   41  e
 2  x   4  ln 0,5  N (2, 77 / 0) und Y (0 / 2)
 0  keine Extrempunkte
 14 x
 41 x
 0  keine Wendepunkte
68
y
4
G
3
2
K
1
x
1
2
2
t
1
2)
y(0 )  2 und
f ( x)   41  e
y(0 )  1 und
f (0 )  2
 41 x
f (0 )   1 
Berührpunkt
 0  Linkskurve  keine weiteren Schnittpunkte mit Tangente.
3)
2
2 ,77
0
2
A    f ( x )  y( x )   dx 

f ( x )  dx  0, 455 FE
4)
1
g ( x)   x 3  x  2  g  ( x)   x 2  1
3
TP  1 / 43  ; HP  1 / 83  ; WP  0 / 2 
g  (0)  1 und
f (0)   1  g  (0)  f (0)   1 ist erfüllt.
5)
Mini-Max-Aufgabe
1
1
1u
1u
d (u )  g (u )  f (u )   u 3  u  2  4  e 4  2   u 3  u  4  4  e 4
3
3
d (u )  u 2  1  e
 41 u
 d (u )  2 u  41 e
d (u )  0   u 2  1  e
u  1, 31 und
 41 u
 41 u
 0 Lösung mit dem SOLVER.
d (1, 31)  0  umax  1, 31
d max  d (1, 31)  1, 68 LE
69
AUFGABE 7
1.
Gegeben ist die Funktion f durch f ( x)  6  e
 41 x
x .
Das Schaubild ist K.
Zeigen Sie, dass K die x-Achse bei x   4  ln  6  schneidet.
Zeigen Sie, dass K keine Extrem- und Wendepunkte hat.
(8 P)
2.
Zeichnen Sie K in das vorhandene Koordinatensystem ein.
(3 P)
3.
Die Gerade g geht durch die Punkte A(0/5) und B(1/1).
Prüfen Sie rechnerisch, ob g eine Normale an das Schaubild K ist.
Zeichnen Sie g in das vorhandene Koordinatensystem ein.
(7 P)
4.
Das Schaubild K, die Gerade g und die x-Achse begrenzen eine
Fläche mit dem Inhalt A.
Berechnen Sie A.
(5 P)
5.
Die Parabel p geht durch die Punkte P1  0 / 5  , P2  2 / 0  und P3  5 / 0  .
Ermitteln Sie eine Gleichung der Parabel p.
Begründen Sie, weshalb das Schaubild K und die Parabel p nicht mehr als
zwei gemeinsame Punkte haben können.
Berechnen Sie die Koordinaten der beiden gemeinsamen Punkte zwischen K
und p auf zwei Dezimalen genau.
(7 P)
70
LÖSUNGEN 7
1.
 41 x
Funktion
f ( x)  6  e
Ableitrungen
1  1x
f ( x)   e 4
4
Nullstelle
f ( x)  0  6  e

f ( x)  
 41 x
1  41 x
e
16
0  e
 41 x
 6 | ln
1
 x  ln  6   x   4  ln  6   7 , 17
4
Extrempunkte
1  1x
f ( x)   e 4  0 
4
Wendepunkte
f ( x)  
1  41 x
e  0 
16
es gibt keine Wendepunkte.
Krümmung
f ( x)  
1  41 x
e  0 
16
die Kurve hat eine Rechtskrümmung.
es gibt keine Extrempunkte.
2.
y
ZEICHNUNG
p
8
6
S
A
K
4
2
1
N
B
1
5
2
71
5
x
3.
GERADE
4
y  y1  m  ( x  x1 )  y  5    ( x  0)  g : y   4x  5
1
Kurvensteigung
1  1 0 1
f (0)   e 4 
4
4
Bedingungen für NORMALE
1
g (0)  5 und
 2
g (0)  f (0)  1   4 
f (0)  4  1  5  g (0)  f (0)  5 ist erfüllt.
1
 1 ist erfüllt.
4
Aus (1) und (2) folgt, dass g eine Normale von K ist.
4.
FLÄCHE
0
A

7 ,17
6  e   dx  5  12, 25  23, 002  3, 125  26, 127 FE
 41 x
5.
ANSATZ
p  x   a   x  x1    x  x2  , wobei x1 und x2 die Nullstellen sind.
p  x   a   x  2    x  5  | P1  0 / 5  einsetzen
5  a   0  2    0  5   10a  5  a 
p  x 
1
2
1
  x  2    x  5  oder ausmultipliziert
2
p  x 
1 2
x  3, 5x  5
2
K ist eine Rechtskurve mit f (x )  0 und die Parabel ist eine Linkskurve mit p(x )  0 .
Daher kann es höchstens zwei Schnittpunkte geben.
SCHNITTPUNKTE (mit dem Solver bestimmen)
S1  0 / 5  und
S2 7 , 23 / 5, 84 
72