Grundwissen Klasse 5

Marie Kilders
Grundwissen Klasse 5
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Inhaltsverzeichnis
1. Natürliche und ganze Zahlen ......................................................................... 3
1.1 Dezimalsystem (Zehnersystem) ................................................................. 4
1.2 Rechnen mit natürlichen Zahlen ................................................................ 5
1.3 Diagramme................................................................................................ 8
1.4 Primfaktorzerlegung und Potenzen ......................................................... 10
1.5 Rechnen mit ganzen Zahlen .................................................................... 11
1.6 Rechengesetze ........................................................................................ 13
2. Baumdiagramme und Zählprinzip................................................................. 15
3. Geometrische Grundbegriffe ........................................................................ 16
3.1 Umfang, Flächeninhalt und Oberflächeninhalt ........................................ 21
3.2 Größen .................................................................................................... 23
3.3 Maßstab .................................................................................................. 24
4. Literaturverzeichnis ...................................................................................... 25
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1. Natürliche und ganze Zahlen
=
0
Z=
=
1; 2; 3; 4; 5; ....
Menge der natürlichen Zahlen
0; 1; 2; 3; 4; 5; ....
Menge der natürlichen Zahlen mit Null
....; -3 ; -2 ; -1 ; 0 ; 1; 2 ; 3; ....
Menge der ganzen Zahlen
Jede Menge besteht aus Elementen, z.B.: 1
Man schreibt: 1
∊

; -3
 Z;
und sagt: 1 ist Element der Menge
-3

.
Die Menge der natürlichen Zahlen ist in der Menge der ganzen Zahlen enthalten:
⊂ Z, d.h.
ist Teilmenge von
Z
-1
-100
-57
0 4
50
Z
0
(Graphik selbst erstellt)
Natürliche und ganze Zahlen können auch auf einer Zahlengeraden dargestellt werden:
(Graphik selbst erstellt)
Eine Zahl, die weiter links von einer anderen Zahl liegt, ist die kleinere der beiden Zahlen.
Beispiel:
-3 ˂ -1
;
-1 ˂ 0
;
1 ˂ 4
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1.1 Dezimalsystem (Zehnersystem)
In unserem Zahlensystem können alle Zahlen mit Hilfe der Ziffern 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9
dargestellt werden, es heißt Dezimalsystem (=Zehnersystem).
Zahlen können in einer Stellenwerttafel eingetragen werden:
(Quelle: http://wiki.hermann-stubbe.de/images/1/15/Stellenwerttabelle.png)
1 258 = 1 ∙ 1000 + 2 ∙ 100 + 5 ∙ 10 + 8 ∙ 1
Die Zahlen 1; 10; 100; 1000; 10000; ... heißen Stufenzahlen.
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1.2 Rechnen mit natürlichen Zahlen
Addieren:
Subtrahieren:
Ergänzungsverfahren:
Abziehverfahren (neu):
Abziehverfahren:
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Multiplizieren:
Dividieren:
Die vier Grundrechenarten und ihre Fachbegriffe:
Rechenart
Rechnung
Termname
1. Zahl
2. Zahl
Addition
12 + 3
Summe
1. Summand
2. Summand
Subtraktion
12 - 3
Differenz
Minuend
Subtrahend
Multiplikation
12 ∙ 3
Produkt
1. Faktor
2. Faktor
Division
12 : 3
Quotient
Dividend
Divisor
ACHTUNG: durch 0 darf nicht dividiert werden!
Runden von Zahlen
Beim Runden von Zahlen gelten folgende Regeln:
Beim Runden auf Zehner, Hunderter, Tausender ... betrachtet man die rechts von dieser
Stelle stehende Ziffer.
Ist diese Ziffer eine 0; 1; 2; 3; oder 4, so wird abgerundet.
Ist diese Ziffer eine 5; 6; 7; 8 oder 9, so wird aufgerundet.
Statt des Gleichheitszeichens (=) verwendet man das Zeichen  (sprich: ist ungefähr gleich).
Beispiel:
Runde 6374 auf Zehner:
6374  6370
Runde 6374 auf Hunderter: 6374  6400
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(4 bedeutet abrunden)
(7 bedeutet aufrunden)
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Überschlag
Mit einer Überschlagsrechnung kann man Rechenergebnisse ungefähr bestimmen und somit
überprüfen, ob das genaue Ergebnis einer Rechnung richtig sein kann.
Für eine Überschlagsrechnung benutzt man gerundete Zahlen.
Beispiel: 5995 - 3466 - 97 = 2432
Überschlag: 6000 - 3500 - 100 = 2400
2731 + 1243 + 87 = 4061
Überschlag: 3000 + 1000 + 100 = 4100
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1.3 Diagramme
Sachverhalte lassen sich oft durch Diagramme veranschaulichen. Es gibt Säulendiagramme,
Balkendiagramme, Kreisdiagramme.
Beispiel Säulendiagramm:
(Quelle: http://de.bettermarks.com/wp-content/uploads/media/kem_StochDDuH_StochDDuHGLD_2.jpg)
Kreisdiagramm:
Balkendiagramm:
(Quelle:
http://www.17zwei19.de/Inhalte/Schule/Diagramme%2020
09%202010/Klasse%205b.gif)
(Quelle: http://www.matheonline.at/materialien/tanja.hauptmann/files/Balkendiagramm.png)
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Figurendiagramm:
Kurvendiagramm:
Anzahl der gewonnen Spiele
der letzten 10 Spieltage
(Quelle:
http://blog5.fussballkompetenz.de/files/all_uploaded_images/
armania1.gif)
(Quelle: http://media.4teachers.de/images/thumbs/
image_thumb.15565.jpg)
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1.4 Primfaktorzerlegung und Potenzen
Primzahlen
Eine Primzahl ist eine Zahl, die durch keine andere Zahl außer durch sich selbst und durch
1 teilbar ist. Die Zahl 1 selbst ist keine Primzahl.
Die ersten Primzahlen lauten: 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19;
Jede natürliche Zahl kann man in Faktoren (vgl. S. 5) zerlegen. Kommen in der Zerlegung
nur Primzahlen vor, so nennt man diese Zerlegung Primfaktorzerlegung.
Beispiel: 90 = 2 ∙ 32 ∙ 5
Potenzieren
Man potenziert eine Zahl, indem man sie mehrfach mit sich selber multipliziert:
a ∙ a ∙ a ∙ a = a4
Dabei ist a die Grundzahl (Basis) und 4 die Hochzahl (Exponent).
Beispiel:
2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 = 24
Der Exponent gibt dabei an, wie oft die Basis mit sich selber multipliziert wird.
Auch die Stufenzahlen lassen sich auf diese Weise kürzer schreiben:
100
= 10 ∙ 10
1000 = 10 ∙ 10 ∙ 10
10000 = 10 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10
= 102
= 103
= 104
Diese Zahlen heißen Zehnerpotenzen
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1.5 Rechnen mit ganzen Zahlen
Betrag einer Zahl
Anschaulich versteht man unter dem Betrag einer Zahl den Abstand der Zahl zur Null auf der
Zahlengerade.
geschrieben: |a|
gesprochen: Betrag von a
3 und -3 nennt man auch Zahl und Gegenzahl. Sie haben auf der Zahlengeraden den
gleichen Abstand zur Null, und somit den gleichen Betrag.
(Quelle: http://www.mathematik-wissen.de/ganze_zahlen2.jpg)
|-3| = |3| = 3
Addition:
Man addiert zwei ganze Zahlen mit gleichem Vorzeichen, indem man ihre Beträge addiert.
Das Ergebnis erhält das gemeinsame Vorzeichen.
Beispiel:
(+23) + (+37) = +60
(−23) + (−37) = −60
Man addiert zwei ganze Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen, indem man den
kleineren Betrag vom größeren subtrahiert. Das Ergebnis erhält das Vorzeichen der Zahl mit
dem größeren Betrag.
Beispiel:
(+23) + (−37) = − ( |37| − |+23| ) = − (37 – 23) = −14 , denn: |−37| ˃ |+23|
(−23) + (+37) = + ( |37| − |−23| ) = + (37 − 23) = +14 , denn: |+37| ˃ |−23|
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Subtraktion:
Man subtrahiert eine ganze Zahl, indem man ihre Gegenzahl addiert.
Beispiel:
(+23) − (+37) = (+23) + (−37) = 23 – 37 = −14
(+23) − (−37) = (+23) + (+37) = 50
(−23) − (−37) = (−23) + (+37) = 14
Multiplikation und Division:
Zwei ganze Zahlen werden multipliziert bzw. dividiert, indem man ihre Beträge multipliziert
bzw. dividiert. Anschließend erhält das Ergebnis als Vorzeichen ein

Pluszeichen, falls beide Zahlen das gleiche Vorzeichen haben
Beispiel:

(+3) ∙ (+4) =
(-3) ∙ (-4) =
(+12) : (+4) =
(-12) : (-4) =
(+12)
(+12)
(+3)
(+3)
Merke: "Plus mal plus ergibt plus"
Merke: "Minus mal minus ergibt plus"
Merke: "Plus geteilt durch plus ergibt plus"
Merke: "Minus geteilt durch minus ergibt plus"
Minuszeichen, falls beide Zahlen unterschiedliche Vorzeichen haben
Beispiel:
(+3) ∙ (−4) = (−12)
(−3) ∙ (+4) = (−12)
Merke: "Plus mal minus ergibt minus"
(+12) : (−4) = (−3)
Merke: "Plus geteilt durch minus ergibt
minus"
(−12) : (+4) = (−3)
Verbindung der vier Grundrechenarten:




Klammern werden immer als erstes beachtet. Bei mehreren Klammern diese von
innen nach außen auflösen.
Potenz vor Punkt vor Strich
Kommt in einer Aufgabe nur Punktrechnung oder nur Strichrechnung vor, so rechnet
man von links nach rechts
Die zuletzt ausgeführte Rechenart legt fest, ob der Term eine Summe, Differenz,
Produkt oder ein Quotient ist
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1.6 Rechengesetze
Wie in
gelten auch in
Z das Kommutativgesetz, das Assoziativgesetz und das
Distributivgesetz.
Kommutativgesetz
( = Vertauschungsgesetz)
der Addition:
der Multiplikation:
a+b=b+a
a∙b=b∙a
8+4=4+8
8∙4=4∙8
Assoziativgesetz
( = Verbindungsgesetz)
der Addition:
der Multiplikation:
(a + b) + c = a + (b + c)
(a ∙ b) ∙ c = a ∙ (b ∙ c)
(8 + 4) + 2 = 8 + (4 + 2)
(8 ∙ 4) ∙ 2 = 8 ∙ (4 ∙ 2)
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Distributivgesetz der Multiplikation
( = Verteilungsgesetz)
(a + b) ∙ c = a ∙ c + b ∙ c
(a − b) ∙ c = a ∙ c − a ∙ c
(8 + 4) ∙ 2 = 8 ∙ 2 + 4 ∙ 2
(8 − 4) ∙ 2 = 8 ∙ 2 − 4 ∙ 2
a ∙ c + b ∙ c = (a + b) ∙ c
a ∙ c − a ∙ c = (a − b) ∙ c
8 ∙ 2 + 4 ∙ 2 = (8 + 4) ∙ 2
8 ∙ 2 − 4 ∙ 2 = (8 − 4) ∙ 2
Distributivgesetz der Division
( = Verteilungsgesetz)
(a + b) : c = a : c + b : c
(a − b) : c = a : c − a : c
(8 + 4) : 2 = 8 : 2 + 4 : 2
(8 − 4) : 2 = 8 : 2 − 4 : 2
a : c + b : c = (a + b) : c
a : c − a : c = (a − b) : c
8 : 2 + 4 : 2 = (8 + 4) : 2
8 : 2 − 4 : 2 = (8 − 4) : 2
ACHTUNG: Kommutativ- und Assoziativgesetz gelten auch in
und Division!
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Z NICHT für die Subtraktion
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2. Baumdiagramme und Zählprinzip
In Situationen oder Vorgängen, bei denen man zwischen mehreren Dingen auswählen und
diese miteinander kombinieren kann, ist es hilfreich, die verschiedenen
Kombinationsmöglichkeiten in einem Baumdiagramm darzustellen.
Nach dem Zählprinzip ergibt sich die Gesamtzahl der Möglichkeiten, indem man die Anzahl
der Möglichkeiten der einzelnen Stufen miteinander multipliziert. Dieses Produkt entspricht
auch der Anzahl der Baumenden.
Beispiel: Wähle je ein Kleidungsstück aus zwei Hosen, drei T-Shirts und zwei Paar
Strümpfen aus!
O
H1
T1
S1
S2
S2
H2
T2
T3
T1
T2
T3
S1 S2
S1 S2
S1 S2
S1 S2
S1
(Graphik selbst erstellt)
Zuerst hat man zwei Möglichkeiten, eine Hose zu wählen. Anschließend gibt es drei
Möglichkeiten, ein T-Shirt zu wählen und zum Schluss hat man zwei Möglichkeiten, ein Paar
Socken auszuwählen. Damit ergeben sich nach dem Zählprinzip insgesamt 2 ∙ 3 ∙ 2 = 12
Möglichkeiten.
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3. Geometrische Grundbegriffe
Geometrische Grundkörper
Würfel
sechsseitiges
Quader
dreiseitiges
Prisma
vierseitige
Pyramide
dreiseitige
Pyramide
Zylinder
Prisma
Kegel
Kugel
Quellen:
Würfel: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/ec/Schr%C3%A4gbild_eines_W%C3%BCrfels.svg/463pxSchr%C3%A4gbild_eines_W%C3%BCrfels.svg.png
Quader: http://media.4teachers.de/images/thumbs/image_thumb.1607.png
dreiseitiges Prisma: http://rmg.zum.de/images/3/3e/L%C3%B6sung_Prisma_Schr%C3%A4gbild.jpg
sechsseitiges Prisma: http://media.4teachers.de/images/thumbs/image_thumb.1609.png
vierseitige Pyramide: www.schuelerhilfe.de/online-lernen/fileadmin/wikis/228_2.jpg
dreiseitige Pyramide: http://media.4teachers.de/images/thumbs/image_thumb.1632.png
Zylinder: upload.wikimedia.org/wikipedia/de/1/14/Schrägbild_Zylinder.png
Kegel: http://media.4teachers.de/images/thumbs/image_thumb.1679.png
Kugel: http://www.die-online-schule.de/sparpics/images/geometrie/kugel.png
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Besondere Figuren
Quadrat
Raute
Rechteck
Parallelogramm
Jeder Kreis ist durch einen Mittelpunkt M und
durch
seinen Radius r eindeutig festgelegt.
Quellen:
Quadrat: http://lernpfad-hamertinger.weebly.com/uploads/2/7/0/0/27000891/8129063.png
Rechteck: http://lernpfad-hamertinger.weebly.com/uploads/2/7/0/0/27000891/4555419.png
Parallelogramm: http://www.didmath.ewf.uni-erlangen.de/vhb/geometrie/vierecke/images/viart_t03_600.gif
Raute: http://www.didmath.ewf.uni-erlangen.de/vhb/geometrie/vierecke/images/viart_t04_180.gif
Kreis: http://grund-wissen.de/mathematik/_images/kreis.png
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Strecken, Geraden, Winkel
A
B
B
a
A
Strecke a oder [AB]
B
a
A
Halbgerade h oder [AB
a
a
Gerade a oder AB
b
•
a
b
a parallel zu b oder a || b
a senkrecht zu b oder a ┴ b
B
A
erster Schenkel
A
zweiter Schenkel
B
S
S
Scheitel
Scheitel
B
Scheitel
erster Schenkel
zweiter Schenkel
Winkel  = ∢ASB
Winkel  = ∢BSA
•
S
S
S
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α
Nullwinkel
 = 00
spitzer Winkel
00 ˂  ˂ 900
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rechter Winkel
 = 900
stumpfer Winkel
900 ˂  ˂ 1800
α
α
α
S
gestreckter Winkel
 = 1800
überstumpfer Winkel
1800 ˂  ˂ 3600
Vollwinkel
 = 3600
Symmetrie
Die Figur ist achsensymmetrisch.
Der Bildpunkt Aˡ hat denselben Abstand zur
der Symmetrieachse wie der Punkt A.
Die Strecke [A Aˡ ] ist senkrecht zur
Symmetrieachse.
Symmetrieachse
(Quelle: https://learnattack.de/sites/default/files/Achsensymmetrie%20(3)_400_0.png)
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Koordinatensystem
Ein Koordinatensystem besteht aus zwei zueinander senkrechten Achsen, der x-Achse
und der y-Achse. Es ist in vier Quadranten eingeteilt. Der Schnittpunkt der Achsen heißt
Ursprung. Jeder Punkt P (x|y) ist durch seine Koordinaten festgelegt: P (5 | 3)
Dabei ist 5 die x-Koordinate
P (5/3)
Q (-4/2)
+2
2
-4
+3
3+
+5
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und 3 die y-Koordinate
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3.1 Umfang, Flächeninhalt und Oberflächeninhalt
UQ = 4 ∙ a
UR = 2 ∙ l + 2 ∙ b
AQ = a ∙ a = a2
b
AR = l ∙ b
a
l
a
(Graphik selbst erstellt)
Der Umfang UR des Rechtecks berechnet sich aus der Summe der einzelnen Seiten: UR=
2∙l+2∙b. Der Flächeninhalt AR berechnet sich, indem man Länge l mal Breite b nimmt:
AR=l∙b.
Für das Quadrat ergibt sich damit speziell: UQ = 4∙a und AQ = a2
Flächeneinheiten:
(Quelle: http://de.bettermarks.com/wp-content/uploads/media/kem_FuVl_FuVlFlaeUmfUmg_11.jpg)
a = Ar, ha = Hektar
Die Umrechnungszahl für alle Flächeneinheiten ist 100.
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Netz eines Körpers
Das Netz eines Körpers erhält man, indem man den geometrischen Körper aufschneidet und
alle Begrenzungsflächen aufklappt. So erhält man ein Netz (sieht aus wie eine
Bauanleitung).
Netz eines Quaders:
(Quelle: http://www.mathematische-basteleien.de/quader03.gif)
Netz eines Würfels:
(Quelle: http://www.blikk.it/angebote/primarmathe/bilder/ma1710b.gif)
Oberflächen:
Der Oberflächeninhalt O eines Quaders
errechnet sich durch die Summe der
einzelnen Flächeninhalte des Netzes:
O = 2∙a∙b + 2∙a∙c + 2∙b∙c
= 2 ∙ (a∙b + a∙c + b∙c)
Für den Würfel gilt entsprechend:
O = 6∙a∙a
= 6∙a2
(Quelle: http://de.bettermarks.com/wpcontent/uploads/media/kem_FuVll_FuVllFuKEuBvK_35.jpg)
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3.2 Größen
Längen:
(Quelle: http://de.bettermarks.com/wp-content/uploads/media/kem_Gr_GrLaeUmw_2.jpg)
Masse/Gewichte:
(Quelle: http://de.bettermarks.com/wp-content/uploads/media/kem_Gr_GrMasUmw_2.jpg)
Geld:
(Quelle: http://de.bettermarks.com/wp-content/uploads/media/kem_DZ_DZGruAnwGr_17.jpg)
Zeit:
(Quelle: http://de.bettermarks.com/wp-content/uploads/website/images/zeit.PNG)
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3.3 Maßstab
Beispiel 1:
Die Angabe Maßstab 1:300 000 auf einer Landkarte bedeutet:
1:300 000 bedeutet, dass alles 300 000-mal so lang ist.
Anders ausgedrückt: 1cm auf der Karte entspricht also 300 000cm in der Wirklichkeit
Maßstab 1:300 000
1cm auf der Karte ≙ 300 000cm in Wirklichkeit
11cm ≙ ?
11cm • 300 000 = 3 300 000cm = 33km (in
Wirklichkeit)
(Grafik selbst erstellt)
Beispiel 2:
Der Stuhl ist in Wirklichkeit 1m (=100cm) hoch. Die Sitzfläche ist 50cm vom Boden entfernt.
Maßstab 1:20:
100cm : 20 = 5cm (100cm in Wirklichkeit ≙ 5cm auf dem Papier)
50cm: 20 = 2,5cm (50cm in Wirklichkeit ≙ 2,5cm auf dem Papier)
--> Also: Gezeichnet wird der Stuhl mit einer Höhe von 5cm . Die Sitzfläche ist 2,5cm hoch.
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4. Literaturverzeichnis
Brunnermeier, A., Herz, A.,Kammermeyer, F., Kilian, H.,Sauer, J. & Zechel, J. (2008). Fokus
Mathematik 5. Berlin: Cornelsen.
Schmid, A. & Weidig, I. (2003). Lambacher Schweizer Mathematik 5. Stuttgart: Ernst Klett.
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