Physikalisch-elektrotechnische Grundbegriffe zur

Physikalisch-elektrotechnische Grundbegriffe zur
Vorlesung Einführung in die Angewandte
”
Informationstechnik“
Dipl.-Inform. Ulrich Fieseler
1. April 2004
1
Hinweis
Die folgenden Seiten sollen Studierenden der Angewandten Medienwissenschaften den Zugang
zu einigen wesentlichen Grundlagen aus der Physik und Elektrotechnik vermitteln, die für die
Lehrveranstaltung Einführung in die Angewandte Informationstechnik“ benötigt werden. Die”
se Grundlagen sollten aus der Schule bekannt sein, doch hat die Erfahrung gezeigt, daß dies
nicht immer im erforderlichen Umfang der Fall ist. Daher wird hier die Gelegenheit benutzt,
diesen Stoff nicht nur knapp wiederholend darzustellen, sondern ihn in einer hochschuladäquaten Form auszubauen.
Nachdem im Sommersemester 2001 diese Grundlagen im Rahmen eines zusätzlichen einstündigen, fakultativen Seminars, das als vorläufige Lösung implementiert worden war, ausführlich
behandelt werden konnten, muß ab dem Sommersemester 2002 eine Lösung gefunden werden,
diesen Stoff im regulären Seminarbetrieb aufzubereiten. Der daraus entstehende Zeitdruck in
den Seminaren macht eine sorgfältige Vor- und Nachbereitung der behandelten Themen durch
die Studierenden unumgänglich. Mit den folgenden Seiten sowie mit gegenüber früheren Jahren deutlich umfangreicheren Materialien, die zum Seminar zur Verfügung gestellt werden,
soll ermöglicht werden, daß in den Seminaren anstelle einer zu bevorzugenden Entwicklung
des Stoffes an der Tafel auf Folien zurückgegriffen werden kann. Damit entfällt (teilweise!)
die Notwendigkeit einer Mitschrift, dafür steigt der Aufwand, der sich aus einer ausführlichen
Beschäftigung mit dem Material ergibt, und die Notwendigkeit eines persönlichen Engagements
beim Selbststudium.
Der nachfolgende Text wurde erstmals im Sommersemester 2002 bereitgestellt und für das
Sommersemester 2003 ohne nennenswerte Änderungen übernommen. Zum Sommersemester 2004 wurden in Abschnitt 1.1 die Erläuterungen zu Präfixen für binäre Vielfache überarbeitet und Kapitel 6 eingefügt.
Die Startseite für die Übungen zur Vorlesung Einführung in die Angewandte Informationstech”
nik“ ist http://zack1.e-technik.tu-ilmenau.de/˜fieseler/ait/.
2
Inhaltsverzeichnis
1 Größen, Einheiten, Gleichungen zur Beschreibung von Zusammenhängen
5
1.1
Physikalische Größen und Einheiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.2
Elektrische Größen und Einheiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.2.1
Ladung, Stromstärke und Stromdichte . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.2.2
Spannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.2.3
O HMscher Widerstand und Leitfähigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.2.4
Bemessungsgleichungen für Widerstand und Leitfähigkeit . . . . . . .
9
Zugeschnittene Größengleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
1.3
2 Schaltungen, Schaltbilder
11
2.1
Ideale Bauelemente, Symbole, Zählpfeile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
2.2
Meßgeräte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
2.2.1
Spannungsmessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
2.2.2
Stromstärkemessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
Einfache Schaltungen mit Widerständen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
2.3.1
Reihenschaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
2.3.2
Spannungsteiler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
2.3.3
Parallelschaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
2.3.4
Stromteiler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
Die K IRCHHOFF schen Gesetze und ihre Anwendung . . . . . . . . . . . . . .
15
2.3
2.4
3 Zeitlich veränderliche Größen, weitere Bauelemente
17
3.1
Zeitlich veränderliche Größen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
3.2
Kondensator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
3.3
Spule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
3.3.1
Stromstärke und magnetischer Fluß . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
3.3.2
Magnetischer Fluß und induktive Spannung, Induktionsgesetz . . . . .
21
3.4
Kapazität und Induktivität als Bauelemente, einfache Schaltungen . . . . . . .
22
3.5
Sinusförmige Größen an O HMschen Widerständen, Kapazitäten und Induktivitäten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
Symbolische Methode zur Netzwerkberechnung . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
3.6.1
Komplexe Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
3.6.2
Exponentialfunktion und symbolische Methode . . . . . . . . . . . . .
27
3.6
4 Leistung, Dämpfung und Verstärkung
29
3
5 Das Griechische Alphabet
30
6 Zusammenfassung: Physikalische Größen und Einheiten
31
A Übungsaufgaben
33
A.1 Einheiten und Vorsätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
A.2 Widerstand eines Drahtes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
A.3 Materialbedarf für einen Vorschaltwiderstand . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
A.4 Innenwiderstand einer Spannungsquelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
A.5 Spannungsteiler, Stromteiler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
A.6 K IRCHHOFFsche Sätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
A.7 Symbolische Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
A.8 Symbolische Methode (Vertiefung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
A.9 Nicht sinusförmiger Spannungsverlauf an L- und C-Gliedern . . . . . . . . . .
34
B Lösungsskizzen
35
B.1 Einheiten und Vorsätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
B.2 Widerstand eines Drahtes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
B.3 Materialbedarf für einen Vorschaltwiderstand . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
B.4 Innenwiderstand einer Spannungsquelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
B.5 Spannungsteiler, Stromteiler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
B.6 Kirchhoffsche Sätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
B.7 Symbolische Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
B.8 Symbolische Methode (Vertiefung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
B.9 Nicht sinusförmiger Spannungsverlauf an L- und C-Gliedern . . . . . . . . . .
40
C Wiederholungsaufgaben zur Mathematik (ohne Lösungen)
41
C.1 Differentialrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
C.2 Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
C.3 Logarithmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
4
1 Gr¨
oßen, Einheiten, Gleichungen zur Beschreibung von Zusammenh¨
angen
1.1 Physikalische Gr¨
oßen und Einheiten
Aus dem Alltag bekannt sind Größen wie die Länge (z. B. eines Weges), die Zeit (die z. B. zum
Zurücklegen eines bestimmten Weges benötigt wird), oder die Masse eines Objektes (oft falsch
als Gewicht bezeichnet). Jede dieser Größen wird durch ein Formelzeichen symbolisiert und ist
mit einer bestimmten Einheit verbunden, z. B. l = 5m (für eine Länge von fünf Metern), t = 3s
(für eine Zeit von drei Sekunden) oder m = 20kg (für eine Masse von zwanzig Kilogramm).
Was letztendlich ein Meter“, eine Sekunde“ oder ein Kilogramm“ ist, ist in internationalen
”
”
”
Standards festgelegt. Im Wesentlichen ist dabei ein Vergleich zu einem gewissen Referenzob”
jekt“ vorgeschrieben: Eine frühere, heute nicht mehr gültige Definition der Einheit Meter“ sah
”
so aus, daß ein Meter die Länge eines gewissen Meter-Prototyps war (sozusagen eines Lineals,
nach dem sich alle anderen zu richten hatten). Der Vergleich mit einem Referenzobjekt“ ist
”
letztendlich das, was das Messen einer Größe ausmacht.
Neben solchen Basisgrößen und -einheiten kennt man abgeleitete Größen und Einheiten wie
z. B. die Geschwindigkeit, die sich als Division einer Länge (etwa eines Weges) durch eine
Zeit (die, die zum Zurücklegen des Weges benötigt wurde) ergibt, in Formelzeichen v = tl . Die
Einheit der Geschwindigkeit ergibt sich entsprechend durch Division der Einheiten von Länge
und Zeit, ist also ms . Eine weiteres Beispiel für eine abgeleitete Größe ist die Fläche A, die sich
als Produkt zweier Längen ergibt und entsprechend die Einheit m 2 , gelesen Quadratmeter, hat.
Hat man es mit besonders großen oder kleinen Zahlenwerten zu tun, modifiziert man Einheiten
durch Vorsilben und die Kurzzeichen der Einheiten durch vorangestellte Buchstaben, geht also
z. B. von Meter zu Zentimeter und von m zu cm über. Die Vorsilben symbolisieren Faktoren,
üblicherweise Potenzen von 10, mit denen die vor den modifizierten Einheiten stehenden Zahlenwerte zu multiplizieren sind, um die Größe in der Basiseinheit anzugeben, z. B. l = 1cm heißt
nichts anderes als l = 1 ⋅ 10−2 m oder l = 0, 01m.
Einheiten wie Minute und Stunde stellen einen Sonderfall dar, da sie zwar auch Einheiten für
die Größe Zeit sind, aber nicht durch Vorsilben von Sekunden abgeleitet sind. Aber auch hier
gibt es feststehende Umrechnungsfaktoren“: 1min = 60s und 1h = 3600s.
”
Auch die Einheit Kilogramm stellt eine gewisse Ausnahme dar, da sie schon eine modifizierende Silbe in sich trägt: Kleinere“ Einheiten werden durch Ableitung von Gramm (kurz g)
”
gebildet, wobei natürlich 1kg = 1000g gilt. Größere“ Einheiten werden üblicherweise von Ton”
nen (kurz t) abgeleitet, wobei 1t = 1000kg. Einheiten wie Zentner (als Abkürzung für 50kg)
oder Pfund (als Abkürzung für 500g oder noch weniger im anglo-amerikanischen Sprachraum)
spielen in technischen Fragestellungen keine Rolle.
In der Rechentechnik sind Potenzen von 2 als Vielfache oft weitaus sinnvoller zu nutzen als Potenzen von 10. Vor allem ist dies bei der Einheit Byte (kurz B) zur Bezeichnung einer gewissen
Informationsmenge“ zu beobachten. Aus der Erkenntnis, daß 2 10 = 1024 sich nur wenig von
” 3
10 = 1000 unterscheidet, hat sich ein gewisser Mißbrauch der Vorsilben ergeben. Während sich
für 1024B noch 1KB mit einem vorangestellten Großbuchstaben als Abkürzung eingebürgert
hat, ist eine solche Unterscheidung bei den größeren Vielfachen 2 20 B = 1MB, 230 B = 1GB etc.
nicht mehr erkennbar. Auch wenn man nicht Kilobyte“, Megabyte“, Gigabyte“ etc. sagen
”
”
”
5
sollte, sondern K-Byte“, M-Byte“, G-Byte“ etc., so wird die Verwirrung groß, wenn man
”
”
”
Kapazitätsangaben von Datenträgern betrachtet: Für Festplattenkapazitäten werden aus Marketinggründen Potenzen von 10 verwendet werden, einfach, um die Kapazität größer erscheinen
zu lassen. Und für die üblichen 3 12 Zoll-Disketten (mit den oben eingeführten Einheiten müßte
man richtigerweise von 90mm-Disketten sprechen) ist bei der Kapazitätsangabe 1, 44MB“ die
”
Einheit als 1.024.000B = 210 ⋅ 103 B zu verstehen.
Um die beschriebene Verwirrung zu reduzieren, wurden bereits Ende 1998 Präfixe für die Vielfachen auf Basis von Potenzen von 2 standardisiert, die sich allerdings bislang nicht allgemein
durchgesetzt haben. Der Ansatz ist dabei, aus den jeweils ersten Silben der bewährten Präfixe
und der ersten Silbe eines Zusatzes binär“ (oder binary“ im Englischen), also bi“, neue Präfi”
”
”
xe zu schaffen, die damit Kibi“, Mebi“, Gibi“ etc. heißen. Bei den Kurzzeichen wird nach
”
”
”
dem üblichen Buchstaben ein i“ (der letzte Buchtstabe aus den neuen Präfixen) eingefügt.
”
Neben den Basiseinheiten werden für gewisse abgeleitete Größen neue Einheitenbezeichnungen
und -kurzzeichen eingeführt (dazu folgen noch zahlreiche Beispiele).
Die nachfolgenden Tabellen fassen die modifizierenden Vorsilben sowie die Basisgrößen, von
denen ausgehend alle anderen Größen abgeleitet werden können, mit ihren Einheiten zusammen.
Vielfache und Teile von Einheiten
Potenzen von 10
VorsatzName zeichen Faktor
Yotta
Y
1024
Zetta
Z
1021
Exa
E
1018
Peta
P
1015
Tera
T
1012
Giga
G
109
Mega
M
106 = 1.000.000
Kilo
k
103 = 1.000
Hekto
h
102 = 100
Deka
da
101 = 10
1
Dezi
d
10−1 = 0, 1 = 10
1
Zenti
c
10−2 = 0, 01 = 100
1
Milli
m
10−3 = 0, 001 = 1000
Mikro
µ
10−6
Nano
n
10−9
Pico
p
10−12
Femto
f
10−15
Atto
a
10−18
Zepto
z
10−21
Yocto
y
10−24
Name
Exbi
Pebi
Tebi
Gibi
Mebi
Kibi
6
Potenzen von 2
Vorsatzzeichen Faktor
Ei
Pi
Ti
Gi
Mi
Ki
260
250
240 = 1.099.511.627.776
230 = 1.073.741.824
220 = 1.048.576
210 = 1.024
Basisgr¨
oßen und SI-Einheiten
Basisgröße
Länge
Masse
Zeit
elektrische Stromstärke
Symbol Einheit
Kurzzeichen
l
Meter
m
m
Kilogramm
kg
t
Sekunde
s
I
Ampere
A
1.2 Elektrische Gr¨
oßen und Einheiten
1.2.1 Ladung, Stromstärke und Stromdichte
Elektrischer Strom in einem Leiter (z. B. einem Kabel) ist (im Wesentlichen) die Bewegung
von Ladungsträgern (Elektronen) in diesem. Zum Verständnis bietet sich hier eine Analogie
zu einem Schlauch an, in dem Wasser fließt. Nun kann man sich dafür interessieren, wieviele
Ladungsträger in einer bestimmten Zeit an einer bestimmten Stelle des Leiters vorbeikom”
men“ (wie man sich auch dafür interessieren kann, wieviel Wasser in einer bestimmten Zeit
durch eine bestimmte Stelle des Schlauches fließt). Dies führt zur Definition der elektrischen
Stromstärke. Diese ist nicht mit der Geschwindigkeit der Bewegung zu verwechseln: Es geht (in
der Analogie) nicht darum, welche Zeit ein bestimmtes Wassermolekül für einen bestimmten
Weg im Schlauch benötigt (oder umgekehrt: welche Länge es in einer bestimmten Zeit zurücklegt), sondern darum, wieviele Moleküle (oder Liter) in einer bestimmten Zeit eine gewisse
Stelle passieren.
Ein jeder Ladungsträger (also jedes Elektron) hat eine gewisse Ladung. Dies ist eine physikalische Größe, die (wenn auch nicht so einfach wie eine Länge) gemessen werden kann. Für die
Ladung (nicht nur die eines einzelnen Ladungsträgers, sondern auch die, die eine Ansammlung
von Ladungsträgern in einem größeren Objekt in der Summe hat) verwendet man das Formelzeichen Q, die Einheit der Ladung ist Coulomb, abgekürzt C.
Wenn man nun eine gewisse Zeit festlegt, z. B. eine Sekunde, und (mit welcher Methode auch
immer) ermittelt, welche Ladung an einer bestimmten Stelle des Leiters vorbeikommt, so kann
man dies als Maß für die elektrische Stromstärke nehmen. Wenn man ab einem beliebigen
Zeitpunkt in der gleichen Zeitspanne immer die gleiche Ladungsmenge ermittelt, so ist die
Stromstärke zeitlich unveränderlich und man spricht von Gleichstrom. Aus dem beschriebenen
Meßverfahren“ für die elektrische Stromstärke, für die man das Formelzeichen I verwendet,
”
ergibt sich dann der Zusammenhang
Q
I= .
t
Die Einheit der Stromstärke muß sich dann natürlich als Cs ergeben, dafür verwendet man jedoch
als Abkürzung die Bezeichnung Ampere (kurz A), es gilt also der Zusammenhang
C
1A = 1 .
s
Tatsächlich wird, wie man in der Tabelle oben sehen kann, die Stromstärke als Basisgröße
definiert, wobei diese Definition eher wenig mit der hier gegebenen Erklärung zu tun hat, dafür
7
aber wohl auch weniger anschaulich ist. Will man jedoch einen Aufbau in dieser Form wählen,
so erhält man die Ladung Q und ihre Einheit C als abgeleitete Größen in der Form
Q = I ⋅t
und
1C = 1As.
Die elektrische Stromstärke in einem Leiter kann nicht beliebig groß werden, wie auch nicht
beliebig viel Wasser (pro Zeiteinheit) durch einen Schlauch fließen kann. Wieviel tatsächlich
fließen kann, wird besonders vom Querschnitt beeinflußt. Deshalb interessiert man sich für
die elektrische Stromstärke bezogen auf die Fläche, durch die der Strom fließt. Dies ist die
Stromdichte mit dem Zeichen J. Sie ergibt sich als
J=
und hat entsprechend die Einheit
I
A
A
.
m2
1.2.2 Spannung
Was veranlaßt Ladungsträger dazu, sich in ein bestimmte Richtung zu bewegen? Wasser in einem Schlauch bewegt sich durch den Druck, unter dem es am Anfang des Schlauches steht,
das ist letztendlich nichts anderes als ein Überschuß an Materie“, der durch das Wegfließen
”
von Wasser ausgeglichen wird. Ähnlich verhält es sich beim Strom: Ein Überschuß an Ladung
am einen Ende des Leiters (und ein Mangel am anderen) soll ausgeglichen werden, die Ladungsträger bewegen sich. Als Maß für diesen Überschuß wird die elektrische Spannung mit
dem Zeichen U definiert. Sie hat die Einheit Volt, abgekürzt V. Obwohl diese Größe mit Hilfe
der genannten Basisgrößen definiert und ihre Einheit entsprechend mit Hilfe der Basiseinheiten
ausgedrückt werden kann, soll sie hier zur Vereinfachung wie eine weitere Basisgröße behandelt
werden.
1.2.3
O HMscher Widerstand und Leitfähigkeit
Wenn man an einen bestimmten Leiter unterschiedliche Spannungen anlegt und jeweils die dann in ihm entstehende
Stromstärke ermittelt, stellt man fest, daß diese proportional
zu der Spannung ist, wie in der nebenstehenden Graphik dargestellt ist. Dieser Zusammenhang läßt sich mathematisch als
I = G ⋅U
I
1A
1V
U
mit einer nur von dem verwendeten Leiter abhängigen Konstante G beschreiben. Diese läßt sich
aus einer einzigen Messung der Stromstärke I bei einer vorgegebenen Spannung U bestimmen:
G=
I
.
U
A
, für die man als Abkürzung das Symbol S
G heißt Leitfähigkeit und hat offenbar die Einheit V
für Siemens verwendet, also
A
1S = 1 .
V
8
Man kann die Leitfähigkeit bezeichnen als die Stromstärke, die von einer Spannung in einem
Leiter erzeugt wird, bezogen auf diese Spannung.
Den Zusammenhang oben kann man auch etwas anders darstellen, indem man anstelle von G
eine Konstante R verwendet, die mit G im Zusammenhang R = G1 steht. Damit erhält man dann
das O HMsche Gesetz:
U = R ⋅ I.
R ist wieder eine nur von dem verwendeten Leiter abhängige Konstante, die sich wieder aus
einer einzigen Messung der Stromstärke I bei einer vorgegebenen Spannung U bestimmen läßt:
R=
U
.
I
R heißt Ohmscher Widerstand und hat offenbar die Einheit V
A , für die man als Abkürzung das
Symbol Ω für O HM verwendet, also
V
1Ω = 1 .
A
Man kann den O HMschen Widerstand bezeichnen als die Spannung, die benötigt wird, eine
Stromstärke in einem Leiter zu verursachen, bezogen auf diese Stromstärke. Weniger formal
könnte man von einem Maß für die Schwierigkeit sprechen, die Strom hat, wenn er in einem
Leiter fließen will.
Weiß man, welche Stromstärke in einem Leiter mit einem gewissen O HMschen Widerstand
(oder kurz: in einem O HMschen Widerstand) fließt, und kennt man den Widerstand R, so kann
man nach dem O HMschen Gesetz die Spannung ermitteln, die, wie man sagt, an diesem Widerstand abfällt. Gemeint ist damit aber auch nichts anderes als die Spannung, die benötigt wird,
um die entsprechende Stromstärke zu verursachen.
1.2.4 Bemessungsgleichungen für Widerstand und Leitfähigkeit
Der O HMsche Widerstand bzw. die Leitfähigkeit eines Leiters sind, wie man in Experimenten
feststellen kann, abhängig vom Material und seinen Ausdehnungen. Hat man einen linienhaf”
ten Leiter“ (z. B. ein Stück Draht), so hat dieser eine gewisse Länge l und eine gewisse (überall
gleiche) Querschnittsfläche A. Im Experiment sieht man, daß der Widerstand
• bei gleichbleibendem Material und gleichbleibender Querschnittsfläche proportional zur
Länge und
• bei gleichbleibendem Material und gleichbleibender Länge umgekehrt proportional zur
Querschnittsfläche ist.
Dies läßt sich zusammenfassen in der Bemessungsgleichung für den Widerstand eines linienhaften Leiters
l
R = ρ⋅ .
A
ρ ist eine vom Material abhängige Konstante und heißt spezifischer Widerstand des Materials.
9
Daraus ergibt sich für die Leitfähigkeit mit dem Zusammenhang G =
gleichung
A
G = κ⋅
l
1
R
sofort die Bemessungs-
mit κ = ρ1 . κ heißt spezifische Leitfähigkeit des Materials.
1.3 Zugeschnittene Gr¨
oßengleichungen
Auf den vorangehenden Seiten sind schon diverse Gleichungen aufgetreten, die eines gemeinsam haben: Jedes Symbol steht für eine Zahl in Verbindung mit einer Einheit. Dies kann
hilfreich sein, wenn man Gleichungen, zu denen man bei der Lösung einer Aufgabe gekommen ist, kontrollieren will, zum Beispiel: UR = I ist zumindest von den Einheiten her richtig,
V
denn Ω
= VV = A (tatsächlich gilt diese Gleichung, man erhält sie durch Umformung aus dem
A
O HMschen Gesetz). Vorsicht: Eine Gleichung kann falsch sein, obwohl die Einheiten dies nicht
erkennen lassen.
Gelegentlich muß man sich aber mit unterschiedlich modifizierten Einheiten beschäftigen, etwa
bei der Frage, wie groß die Geschwindigkeit v, in der Einheit km
h angegeben, ist, wenn in einer
Zeit t = 3s eine Länge l = 9m zurückgelegt wurde. Man kann dies so lösen:
9
1000 km
3
3600 h
l 9m
=
v= =
t 3s
= 10, 8
km
.
h
Einfacher wird diese Rechnung, wenn man sie immer wieder mit anderen Zahlenwerten, aber
den gleichen Einheiten auszuführen hat, wenn man zugeschnittene Gr ößengleichungen verwendet. Diese Gleichungen entstehen aus gültigen Gleichungen für physikalische Größen (wie z. B.
v = tl ), indem die Größen einzeln durch die jeweils gewünschten Einheiten dividiert werden und
der dabei entstehende Fehler“ in einen Korrekturfaktor zusammengefaßt wird, zum Beispiel
”
wird aus v = tl für den oben beschriebenen Fall
v
km
h
= k⋅
l
m
t
s
mit einer geeignet zu wählenden Konstante k. Diese kann man berechnen, indem man zunächst
alle Größen einzeln durch die jeweils gewünschte Einheit teilt und sofort wieder damit multipliziert, sie also mit einer konstruktiven Eins“ multipliziert (auch bekannt als Zweiter Funda”
”
mentaltrick der Algebra“), und die sich ergebende Gleichung in die gewünschte Form umstellt.
Im Beispiel erhält man also aus v = tl zunächst
km
h
v km
=
h
m
lm
,
t ss
was sich dann umstellen läßt zu
v
km
h
1 m
= km ⋅
s
h
10
l
m
t .
s
Damit hat man k =
1 m
s,
km
h
was sich aber vereinfachen läßt:
k=
1 m h ⋅ m 3600s ⋅ m
=
=
= 3, 6.
s km ⋅ s 1000m ⋅ s
km
h
k muß am Ende einheitenlos, also nur eine Zahl, sein, denn
v
km
h
,
l
m
und st , also die anderen
Komponenten der zugeschnittenen Größengleichung, sind es auch, und damit hat die linke Seite
dieser Gleichung keine Einheit, was für die rechte nur gelten kann, wenn auch k einheitenlos
ist.
Hat man es nicht mit Ausnahmefällen wie Stunden zu tun, wo der Umrechnungsfaktor in die
Basiseinheit keine Potenz von 10 ist, so wird die Konstante in der Regel eine Potenz von 10
sein.
Wie man sieht, läßt sich mit Einheiten rechnen, wie man es aus der Algebra mit Variablen
gewohnt ist.
2 Schaltungen, Schaltbilder
2.1 Ideale Bauelemente, Symbole, Z¨
ahlpfeile
Bisher wurden lediglich elektrische Leiter mit einem gewissen O HMschen Widerstand als real
existierende Bauelemente betrachtet. Wie aber entsteht eine Spannung? Ein bekanntes Beispiel
für eine Spannungsquelle ist eine Batterie (eine Steckdose oder der Dynamo an einem Fahrrad
stellt eine andere Art von Spannungsquelle dar, die erst später betrachtet wird). Für die in einem
PKW eingebaute Batterie ist eine Spannung von 12V üblich, bei einer Batterie, wie sie z. B.
in Taschenlampen oder Fernbedienungen Verwendung findet, eine Spannung von 1, 5V oder
manchmal auch 9V. Diese Spannungsquellen sorgen durch chemische Reaktionen dafür, daß
an einem ihrer Pole ein Überschuß an Ladungsträgern herrscht und am anderen ein Mangel.
Für theoretische Untersuchungen ist eine Batterie als Spannungsquelle nicht gut geeignet, da
ihre Spannung, wenn man einen Verbraucher“ (zum Beispiel eine Glühlampe) anschließt, deut”
lichen Schwankungen unterworfen ist. Im Extremfall, wenn man nämlich einen Kurzschluß“
”
verursacht, indem man die Pole der Batterie mit einem Leiter verbindet (nicht ausprobieren!),
sinkt die Spannung auf 0V. Daher geht man von idealen Spannungsquellen aus und modelliert
eine jede real existierende Spannungsquelle durch die Reihenschaltung einer solchen idealen
Quelle mit einem O HMschen Widerstand, der dann als Innenwiderstand der Spannungsquelle bezeichnet wird. Bei einer so modellierbaren realen Quelle spricht man davon, daß sie eine lineare U -I-Kennlinie besitzt. Prinzipiell sind auch andere Quellen denkbar, bei denen der
Zusammenhang zwischen Spannung und Strom nicht durch eine (affin) lineare Funktion beschreibbar ist (und die damit nicht wie oben beschrieben modellierbar sind), diese werden hier
aber nicht betrachtet.
Auch für die Widerstände abstrahiert man von deren konkreter Bauform. Für theoretische Untersuchungen denkt man sich diese in gewissen Bauelementen konzentriert, die über ideale
Leiter miteinander und mit Spannungsquellen verbunden sind.
11
Für Schaltbilder verwendet man dann die folgenden Symbole:
U =
Ideale Spannungsquelle
mit Spannung U
U
R
O HMscher Widerstand R,
an dem Spannung U abfällt
I
Idealer Leiter, in dem
Strom der Stärke I fließt
Die Pfeile (sogenannte Zählpfeile) geben jeweils die Richtung an, in der die Größen positiv gemessen werden sollen. Hat man in einem Zweig eines Schaltbildes (also einer Reihenschaltung
ohne Verzweigungen dazwischen) mehrere Elemente, so legt man diese Richtung üblicherweise
für alle Widerstände gleich fest und entgegen der Richtung etwa vorhandener Spannungsquellen. Für den durch den Zweig fließenden Strom wählt man die Richtung so, wie für die Spannungen an den Widerständen (und damit entgegen den Spannungen der Quellen). Beispiele
folgen in den nächsten Abschnitten.
2.2 Meßger¨
ate
Meßgeräte für die Stromstärke heißen Amperemeter, solche für die Spannung Voltmeter. Es
gibt auch Geräte, die durch einen Schalter zwischen Spannungs- und Stromstärkemessung (und
eventuell weiteren Funktionen) umgeschaltet werden können, diese nennt man Vielfachmesser
oder Multimeter.
Im Idealfall sollte die Messung die gemessene Größe nicht beeinflussen, dies ist bei der
Stromstärke- und Spannungsmessung jedoch (anders als etwa einer Längenmessung) nur mit
extrem hohem Aufwand (und entsprechenden Kosten) möglich. Übliche Meßgeräte haben einen
Innenwiderstand, der bei Voltmetern möglichst groß und bei Amperemetern möglichst klein
sein sollte, wenn die gemessene Größe möglichst wenig beeinflußt werden soll. Bei der Analyse
einer Schaltung muß man den Innenwiderstand eines Meßgerätes berücksichtigen, entsprechend
wird man im Schaltbild an geeigneter Stelle den Innenwiderstand einzeichnen.
2.2.1 Spannungsmessung
Bei der Messung einer Spannung interessiert man sich für den Überschuß an Ladung an einem Punkt verglichen mit einem anderen
Uq =
Punkt, also etwa an einem Pol einer Spannungsquelle verglichen mit
dem anderen. Entsprechend muß man bei der Messung das VoltmeRiV U
ter parallel zu dem Bauelement schalten, an dem man die Spannung
feststellen will. Ein Schaltbild für eine Messung der Spannung eiUi Ri
ner (realen) Spannungsquelle kann dann zum Beispiel so aussehen
wie nebenstehend dargestellt. Der linke Zweig dieses Schaltbildes
modelliert die reale Quelle durch eine ideale Quelle mit der Spannung Uq und einen Innenwiderstand Ri , an dem während der Messung eine Spannung Ui abfällt. Der Innenwiderstand des
Voltmeters ist RiV , die von dem Meßgerät angezeigte Spannung ist U und gerade die, die an
dem Innenwiderstand abfällt.
12
2.2.2 Stromstärkemessung
Bei der Messung einer Stromstärke interessiert man sich dafür,
I
welche Ladung an einem bestimmten Punkt pro Sekunde vorbei”
kommt“. Entsprechend muß man zur Messung das Amperemeter in
Uq =
R U
den Leiter einfügen, in dem man die Stromstärke feststellen will,
bzw. es mit dem Bauelement in Reihe schalten, für das man die
I
Stromstärke, die durch es fließt, messen will. Zur Messung der
Stromstärke durch einen Verbraucher (z. B. eine Glühlampe), der an
Ui Ri
RiA UA
eine (reale) Spannungsquelle angeschlossen ist, kommt man dann
I
zum Beispiel zu einem Schaltbild wie dem nebenstehend dargestellten. Der linke Zweig dieses Schaltbildes modelliert wieder die reale Quelle wie bei der Spannungsmessung oben. Im rechten Zweig ist der Verbraucher durch seinen Widerstand R modelliert, an dem eine Spannung U abfällt. Das Amperemeter ist durch seinen Innenwiderstand R iA
modelliert, an dem bei der Messung eine Spannung UA abfällt. Der Strom der Stärke I, die das
Meßgerät anzeigt, ist in diesem Stromkreis überall gleich, da es keine Verzweigungen gibt und
sich auch in den Bauelementen die Stromstärke nicht verändert, wenn der Strom sie durchfließt.
2.3 Einfache Schaltungen mit Widerst¨
anden
2.3.1 Reihenschaltung
Schaltet man zwei Widerstände in Reihe, so kann man diese Kombination durch einen einzelnen
Widerstand ersetzen, dessen Größe sich als Summe der beiden einzelnen Widerstände ergibt.
Intuitiv findet man dies bestätigt durch die Bemessungsgleichung für den Widerstand eines
linienhaften Leiters: Realisiert man die beiden Widerstände durch Leiter aus gleichem Material
und mit gleicher Querschnittsfläche, so haben diese gewisse Längen l 1 und l2 . Schaltet man
diese hintereinander (verbindet also ein Ende des einen mit einem Ende des anderen), so erhält
man einen Leiter der Länge l1 + l2 , dessen Widerstand sich aus der Bemessungsgleichung ergibt
und offenbar die Summe der einzelnen Widerstände ist.
I
U1
U2
R1
R2
⇐⇒
I
U
R = R 1 + R2
Fließt jeweils die gleiche Stromstärke I, so ergeben sich nach dem O HMschen Gesetz die Spannungen U1 = R1 ⋅ I, U2 = R2 ⋅ I und U = R ⋅ I und wegen R = R1 + R2 gilt damit
U = U1 +U2 .
Hat man analog n Widerständ R1 , … , Rn , so ist der Gesamtwiderstand einer Reihenschaltung
n
n
k=1
k=1
dieser Widerstände R = ∑ Rk und die Spannung, die daran abfällt, U = ∑ Uk .
13
2.3.2 Spannungsteiler
Hat man wie in der Darstellung oben eine Spannung U gegeben, die an der Reihenschaltung
zweier Widerstände abfällt, so kann man sich für die Größe der Spannung an einem der Widerstände interessieren. Für Ui (i ∈ {1; 2}) erhält man, wenn man die Gleichung U = R ⋅ I nach
I auflöst und dies sowie R = R1 + R2 in die Gleichung Ui = Ri ⋅ I einsetzt, die
Spannungsteilerregel:
Ui =
Ri
⋅U .
R1 + R 2
Diese Regel läßt sich verallgemeinern für eine Reihenschaltung von n Widerständen R 1 , … , Rn ,
die einen Gesamtwiderstand R haben:
Ui =
Ri
⋅U .
R
2.3.3 Parallelschaltung
Schaltet man zwei Widerstände parallel, so kann man diese Kombination durch einen einzelnen
Widerstand ersetzen. Für die Größe dieses Ersatzwiderstandes gilt, daß ihr Kehrwert die Summe
der Kehrwerte der einzelnen Widerstände ist. Zur intuitiven Bestätigung stelle man sich die
beiden Widerstände durch Leiter aus gleichem Material und mit gleicher Länge realisiert vor,
die dann gewisse Querschnittsflächen A1 und A2 haben. Für die Parallelschaltung kann man
sich diese beiden Leiter zu einem mit der Querschnittsfläche A1 + A2 verschmolzen vorstellen.
Mit Hilfe der Bemessungsgleichung für den Widerstand eines linienhaften Leiters erkennt man
dann, daß hier
1
1
1
=
+
R R1 R2
gilt. Daraus läßt sich R ermitteln als
R=
1
R1
R ⋅R
1
= 1 2.
1
R1 + R 2
+R
2
I2 R2
I
U
⇐⇒
U
I
R=
I1 R1
R1 ⋅R2
R1 +R2
Die Spannung an R1 und R2 muß offenbar gleich sein, und damit auch die an R. Für die
Stromstärken I, I1 und I2 erhält man nach dem O HMschen Gesetz I = UR , I1 = RU und I2 = RU . Mit
1
2
1
1
1
=
+
folgt
daraus
R
R1 R2
I = I1 + I2 .
Hat man analog n Widerständ R1 , … , Rn , so gilt für den Gesamtwiderstand R einer Parallelschaltung dieser Widerstände
1
R
n
=∑
k=1
1
Rk
n
und für die Stromstärken in den Zweigen I = ∑ Ik .
k=1
14
2.3.4 Stromteiler
Hat man wie in der Darstellung oben eine Stromstärke I gegeben, die sich auf eine Parallelschaltung zweier Widerstände aufteilt, so kann man sich für die Größe der Stromstärken in den
Zweigen interessieren. Für I1 erhält man, wenn man die Gleichung U = R1 ⋅ I1 nach I1 auflöst
⋅R2
und U = R ⋅ I sowie R = RR1+R
in diese Gleichung für I1 einsetzt, zunächst
1
2
I1 =
R
R1 ⋅ R 2
R2
U
=
⋅I =
⋅I =
⋅ I.
R1 R1
(R1 + R2 ) R1
R1 + R 2
Verfährt man für I2 analog, so ergibt sich zusammengefaßt die
Stromteilerregel:
I1 =
R2
⋅I
R1 + R 2
und I2 =
R1
⋅ I.
R1 + R 2
Man beachte, daß die Vorfaktoren die gleichen sind, wie sie bei der Spannungsteilerregel auftreten, jedoch vertauscht, d. h. die Faktoren bei I1 und U2 stimmen überein sowie die bei I2
und U1 .
Diese Regel läßt sich verallgemeinern für eine Parallelschaltung von n Widerständen R 1 , … , Rn ,
die einen Gesamtwiderstand R hat:
R
Ii = ⋅ I.
Ri
Dies hat nur eine geringe Ähnlichkeit mit der Form, die für den Fall n = 2 oben durch geschickte
Umformung gefunden wurde, ist aber, wie man bei den Umformungen erkennen kann, äquivalent dazu.
2.4 Die K IRCHHOFFschen Gesetze und ihre Anwendung
Bisher wurde nur der Fall betrachtet, daß in einer Schaltung genau eine Spannungsquelle auftritt. Zur Analyse aufwendigerer Schaltungen, in denen mehr als eine solche Quelle auftritt,
verwendet man die K IRCHHOFF schen Gesetze, die hier abstrakt formuliert werden, bevor sie
an einem Beispiel erläutert werden.
Knotenregel Die Summe aller auf einen Knoten zufließenden Ströme ist gleich der Summe
aller von diesem Knoten abfließenden Ströme.
Maschenregel Die Summe aller Spannungen bei einem vollständigen Umlauf in einer Masche
ist Null.
Nun ist zunächst zu klären, was unter einem Knoten bzw. einer Masche zu verstehen ist.
Ein Zweig eines Netzwerkes (also einer Schaltung) ist eine in dem Netzwerk enthaltene Reihenschaltung maximaler Länge von Bauelementen, wobei es in dem Netzwerk keine Punkte
innerhalb dieser Reihenschaltung gibt, an denen eine Verbindung zu einem weiteren Bauelement führt.
Ein Knoten ist ein Anfangs- oder Endpunkt eines Zweiges.
Eine Masche ist eine geschlossene Verbindung von Zweigen, das heißt das Ende des ersten
Zweiges ist der Anfang des zweiten, dessen Ende Anfang des dritten ist und so weiter, bis
15
man beim letzten Zweig angelangt ist, dessen Ende dann der Anfang des ersten ist. Man kann
zusätzlich fordern, daß kein Knoten des Netzwerkes zu mehr als zwei Zweigen der Masche
gehören darf.
Eine sich aus der Knotenregel ergebende Gleichung heißt Knotengleichung, eine sich aus der
Maschenregel ergebende Gleichung Maschengleichung. Offenbar sind sowohl Knoten- als auch
Maschengleichungen lineare Gleichungen für die Stromstärken und Spannungen, die in ihnen
auftreten.
Hier soll das folgende Beispiel eines Netzwerkes betrachtet werden:
I1
Uq1
=
Uq2
=
U2
A
I2 R2
R3
B
I3
U3
Die mit A und B markierten Punkte sind Knoten. Es gibt drei Zweige, deren Anfangs- und
Endpunkte jeweils die mit A bzw. B bezeichneten Punkte sind. Der erste Zweig enthält nur die
Spannungsquelle Uq1 , der zweite besteht aus der Spannungsquelle Uq2 und dem Widerstand R2 ,
und der dritte schließlich besteht nur aus dem Widerstand R3 . Keine Zweige sind zum Beispiel
• die Reihenschaltung aus der Spannungsquelle Uq1 und dem Widerstand R3 über den mit
A bezeichneten Punkt, weil es dazwischen im Netzwerk eine Verbindung zu R 2 gibt,
• die Reihenschaltung aus den Widerständen R2 und R3 , weil es dazwischen im Netzwerk
eine Verbindung zu Uq1 gibt, oder
• der nur aus R2 bestehende Teil des Netzwerkes, weil er nicht die maximal mögliche Länge
besitzt (man kann Uq2 hinzufügen, ohne sich dabei eine Verbindung zu einem weiteren
Bauelement einzuhandeln“).
”
Die Maschen in dem betrachteten Netzwerk sehen wie folgt aus:
Uq1
I1
I1
=
Uq2
Uq2
U2
U2
=
=
A
B
A
B
A
I2 R2
I2 R2
R3
I3
U3
Uq1
=
B
R3
I3
U3
Für das Beispielnetzwerk kommt man zu folgenden Knotengleichungen:
I3 = I1 + I2
I1 + I2 = I3 .
Wie man sieht, sind diese Gleichungen äquivalent. Tatsächlich ist bei beliebigen Netzwerken
mit k Knoten stets eine Knotengleichung aus den übrigen k − 1 Gleichungen herleitbar, eine
16
beliebige Auswahl von k − 1 Knotengleichungen ist aber stets linear unabh ängig, d. h. keine
von diesen k − 1 Gleichungen ist aus den übrigen k − 2 Gleichungen herleitbar.
Für das Beispielnetzwerk kommt man zu folgenden Maschengleichungen:
U2 −Uq2 +Uq1 = 0V
−U3 +Uq2 −U2 = 0V
−U3 +Uq1 = 0V
Man beachte, daß hier jeweils ein Umlauf entgegen dem Uhrzeigersinn beginnend bei dem mit
A markierten Punkt gewählt wurde. Man kann auch die umgekehrte Umlaufrichtung wählen,
was einer Multiplikation der Gleichung mit −1 entspricht, oder einen anderen Anfangspunkt,
was einer Vertauschung der Reihenfolge der Summanden entspricht. An diesem Beispiel kann
man auch erkennen, daß bei der Summenbildung die Richtung der Z ählpfeile zu berücksichtigen
ist, d. h. eine Spannung ist mit negativem Vorzeichen aufzusummieren, wenn ihr Zählpfeil der
Umlaufrichtung entgegengesetzt ist.
Auch hier sieht man, daß eine der Gleichungen aus den übrigen herzuleiten ist. Für beliebige
Netzwerken mit z Zweigen und k Knoten kann man zeigen, daß es stets genau z − k + 1 linear
unabhängige Maschengleichungen gibt.
Für jeden Widerstand eines Netzwerkes gilt das O HMsche Gesetz, so daß man bei r Widerständen zu r weiteren linearen Gleichungen kommt, in denen die z Stromstärken in den
Zweigen und die r Spannungen an den Widerständen auftreten. Man erkennt leicht, daß die
r Gleichungen aus dem O HMschen Gesetz zusammen mit den k − 1 Knotengleichungen und
z − k + 1 Maschengleichungen ein System von z + r linear unabhängigen Gleichungen für die
z + r Unbekannten bilden (die bekannten Größen sind die r Widerstände und die Spannungsquellen). Dieses besitzt dann bekanntlich eine eindeutig bestimmte Lösung (Verfahren zur Berechnung dieser Lösung stellt die Mathematik, genauer die Lineare Algebra, bereit; sie werden
hier nicht betrachtet).
3 Zeitlich ver¨
anderliche Gr¨
oßen, weitere Bauelemente
3.1 Zeitlich ver¨
anderliche Gr¨
oßen
Bislang wurde bei allen Größen davon ausgegangen, daß sie (bei einer vorgegebenen Anordnung) im zeitlichen Verlauf unverändert bleiben. Dieser Fall spielt zwar durchaus auch eine
Rolle, interessanter wird aber die Untersuchung von Größen, die sich im zeitlichen Verlauf
ändern.
Als Beispiel wird die Geschwindigkeit eines Autos betrachtet. Bisher wurde die Definition v = tl
verwendet, die allerdings nur für gleichförmige Bewegungen zutrifft, bei denen in der gleichen
Zeit immer der gleiche Weg zurückgelegt wird. Nun weiß man aber, daß die Geschwindigkeit
eines Autos sich immer wieder ändert, angepaßt an die Verkehrslage und die Absicht des Fahrers. Die Geschwindigkeit ist also eine Funktion der Zeit, sie beträgt zum Beispiel zu einem
km
Zeitpunkt, der 5min nach der Abfahrt liegt, 35 km
h , was man dann als v(5min) = 35 h schreibt.
Allgemein wird für die Geschwindigkeit zu einem gewissen Zeitpunkt t (also nach einer Zeit t,
die ab einem gewissen mit 0s bezeichneten Anfang vergangen ist), v(t) geschrieben.
17
Wie kann man nun allgemein v(t) ermitteln? Geht man davon aus, daß in einem kleinen Zeitraum ∆t um den Zeitpunkt t“ die Bewegung gleichförmig ist und in der Zeit ∆t ein Weg der
”
∆l
Länge ∆l zurückgelegt wird, so kann man die Geschwindigkeit in diesem Zeitraum als v(t) = ∆t
berechnen. Man kann nun durchaus davon ausgehen, daß man ∆t so gewählt hat, daß dieser Zeitraum mit dem Zeitpunkt t beginnt (wenn er damit endet, sind die nachfolgenden Überlegungen
analog gültig). ∆t läßt sich dann als ∆t = t1 − t berechnen, wobei t1 der Zeitpunkt ist, zu dem
der Zeitraum endet. Die Länge des zurückgelegten Weges ∆l kann man dann als ∆l = l(t 1 ) − l(t)
berechnen, wobei man mit l(t) die Länge des zu einem bestimmten Zeitpunkt t seit dem Anfang
(also seit t = 0s) zurückgelegten Weges bezeichnet. Man hat also
v(t) =
l(t1 ) − l(t)
.
t1 − t
Durch diesen Differenzenquotienten ist die Geschwindigkeit bei einer nicht gleichförmigen
Bewegung natürlich nur näherungsweise beschrieben, aber wenn man t 1 beliebig nahe an t
annähert, wird man das Ergebnis immer genauer machen können. Das bedeutet, man geht vom
Differenzenquotienten über zum Differentialquotienten, auch bekannt als Ableitung (hier in allen üblichen Schreibweisen nebst der Definition angegeben):
l(t1 ) − l(t) dl(t) dl
=
= (t) = l′(t).
t1 →t
t1 − t
dt
dt
v(t) = lim
Mit der Ableitung im Punkt t wird bekanntlich die Steigung des Graphen der Abbildung t 7→ l(t)
im Punkt t beschrieben.
Wie in den vorangegangenen Betrachtungen kann man für eine zeitlich veränderliche
Stromstärke, ausgehend von dem Zusammenhang I = Qt , die folgende Darstellung finden:
i(t) =
dQ
(t) = Q′(t).
dt
Man beachte, daß für eine zeitlich veränderliche Stromstärke das Symbol i verwendet wird.
Nun stellt sich die Frage, wie man bei gegebenem Verlauf i(t) der Stromstärke die in einem
gewissen Zeitraum vom Zeitpunkt t0 bis zum Zeitpunkt t an einer Stelle eines Leiters vorbeigekommene Ladung ermitteln kann (das entspricht bei dem oben diskutierten Beispiel der Frage,
welche Länge der Weg hat, den man bei gegebenem Verlauf v(t) der Geschwindigkeit in einem
gewissen Zeitraum zurückgelegt hat). Da die Stromstärke auch negativ sein kann (die Ladungen
bewegen sich dann in die entgegengesetzte Richtung), muß man genauer fragen, wie groß die
Ladung ist, die sich auf die andere Seite der betrachteten Stelle bewegt hat. Dazu geht man von
dem Zusammenhang Q = I ⋅ t aus und stellt sich den Zeitraum von t 0 bis t in kleine Abschnitte
t−t0
(für eine natürliche Zahl N) aufgeteilt vor, deren Randpunkte tn = t0 + n ⋅ ∆t
der Breite ∆t = N+1
(n ∈ {0, … , N + 1}) sind. Nimmt man nun an, daß die Stromstärke innerhalb eines Abschnittes
von tn bis tn+1 gleichbleibend i(tn ) ist, so ist die gesamte Ladungsmenge näherungsweise durch
N
Q=
i(tn ) ⋅ ∆t
∑
n=0
gegeben. Läßt man N beliebig wachsen (und damit ∆t beliebig klein werden), so erhält man
t
Q(t) = ⌠ i(τ)dτ.
⌡t0
18
Das Integral beschreibt bekanntlich die Fläche unter dem Graphen der Abbildung t 7→ i(t). Da
Q in dieser Form eine Stammfunktion von i beschreibt, findet man auch die abkürzende Schreibweise
Q(t) = ⌠ i(t)dt.
⌡
3.2 Kondensator
Ein Kondensator (genauer: ein Plattenkondensator) besteht aus zwei paral+Q −Q
lel einander gegenüber angeordneten Platten gleicher Größe und Form aus
einem leitenden Material. Die nebenstehende Skizze zeigt diese Anordnung
in der Seitenansicht. Legt man nun eine Spannung U an, so werden LadunU
gen Q auf die Platten gegeben; die eine wird positiv geladen und die andere
negativ. Entfernt man die Spannungsquelle, so wird der Kondensator selbst zur Spannungsquelle: Die auf seinen Platten befindlichen Ladungen verursachen eine Spannung, die genau so groß
ist wie die zuvor angelegte.
Im Experiment kann man feststellen, daß die Ladung Q auf den Platten proportional zu der
Spannung ist, daß also gilt
Q = C ⋅U .
Die Proportionalitätskonstante C heißt Kapazität. Sie läßt sich durch eine Messung der Ladung Q bei gegebener Spannung U aus der Gleichung oben ermitteln als
C=
Ihre Einheit ist offenbar
gilt also
As
V,
Q
.
U
wofür man als Ankürzung das Symbol F für Farad verwendet. Es
1F = 1
As
.
V
Die Kapazität eines Plattenkondensators läßt sich aus dessen Bauform mit Hilfe einer Bemessungsgleichung bestimmen. Im Experiment sieht man, daß die Kapazität
• bei gleichbleibendem Material und Abstand zwischen den Platten proportional zur Fläche
der Platten und
• bei gleichbleibendem Material zwischen den Platten und gleichbleibender Fläche der
Platten umgekehrt proportional zum Abstand zwischen den Platten ist.
Zusammengefaßt liefert das
A
C = ε⋅ ,
d
wobei A die Fläche der Platten und d deren Abstand bezeichnet. ε heißt Dielektrizit ätskonstante
und ist abhängig vom Material zwischen den Platten. Wenn sich zwischen den Platten kein
Material (also Vakuum) befindet, ist ε nicht 1!
19
Um ähnlich dem O HMschen Gesetz einen Zusammenhang zwischen der Spannung am Kondensator und der Stärke des in ihn fließenden Stroms zu bekommen, verwendet man den im vorigen
Abschnitt hergeleiteten Zusammenhang zwischen Ladung und Stromstärke. Daraus ergibt sich,
wenn man zum Zeitpunkt t0 eine Ladung Q(t0 ) = 0As voraussetzt,
u(t) =
1 ⌠t
i(τ)dτ
C ⌡t0
u(t) =
1⌠
i(t)dt.
C⌡
oder kurz
3.3 Spule
3.3.1 Stromstärke und magnetischer Fluß
Ein stromdurchflossener Leiter ist von einem Magnetfeld umgeben. Legt
I
man ihn wie nebenstehend dargestellt schleifenförmig, so entsteht der einfachste Fall einer Spule. Die Stärke“ des Magnetfeldes in der umschlosse”
nen Fläche wird durch eine physikalische Größe beschrieben, die magneΦ
tischer Fluß heißt und mit dem Symbol Φ bezeichnet wird. Die Richtung
des magnetischen Flusses ergibt sich aus der Richtung der Stromes in der Spule. Die Einheit
des magnetischen Flusses ist Vs, also Volt mal Sekunden. Hierfür verwendet man das (nicht
wirklich abkürzende) Symbol Wb für Weber, es gilt also
1Wb = 1Vs.
Hat man eine Spule mit N Windungen (man stelle sich den Leiter etwa um
eine Papprolle gewickelt vor), so spricht man von verkettetem Fluß. Für den
verketteten Fluß verwendet man das Symbol Ψ. Er ist N mal so groß wie
der Fluß einer einzelnen Windung:
Ψ = N ⋅ Φ.
I
Ψ
Die Einheit ist natürlich ebenfalls Wb.
Der (verkettete) magnetische Fluß ist, wie man im Experiment messen kann, proportional zur
Stromstärke, man hat also den Zusammenhang
Φ = L⋅I
bzw.
Ψ = L ⋅ I.
Die Proportionalitätskonstante L heißt Induktivität. Sie läßt sich durch eine Messung des magnetischen Flusses Φ (bzw. des verketteten Flusses Ψ) bei einer vorgegebenen Stromstärke I
aus der Gleichung oben ermitteln als
L=
Ihre Einheit muß demnach
gilt also
Wb
A
oder
Φ
I
Vs
A
bzw.
L=
Ψ
.
I
sein, was man mit dem Symbol H für Henry abkürzt. Es
Vs
Wb
=1 .
A
A
Die Induktivität einer Spule läßt sich aus ihrer Bauform mit Hilfe einer Bemessungsgleichung
bestimmen. Im Experiment sieht man, daß die Induktivität
1H = 1
20
• bei gleichbleibendem umschlossenen Material, gleichbleibender Anzahl Windungen und
gleichbleibendem Abstand zwischen der ersten und letzten Windung proportional zur
umschlossenen Querschnittsfläche,
• bei gleichbleibendem umschlossenen Material, gleichbleibender Anzahl Windungen und
gleichbleibender umschlossener Querschnittsfläche umgekehrt proportional zum Abstand
zwischen der ersten und letzten Windung und
• bei gleichbleibendem umschlossenen Material, gleichbleibendem Abstand zwischen der
ersten und letzten Windung und gleichbleibender umschlossener Querschnittsfläche proportional zum Quadrat der Anzahl der Windungen ist.
Zusammengefaßt liefert das
N2 ⋅ A
,
l
wobei N die Anzahl der Windungen, A die umschlossene Querschnittsfläche und l den Abstand
zwischen der ersten und letzten Windung (sozusagen die Höhe“ oder Dicke“ der Spule) be”
”
zeichnet. µ heißt Permeabilität und ist vom umschlossenen Material abhängig. Ist kein Material
umschlossen (also Vakuum), so ist µ nicht 1!
L = µ⋅
3.3.2 Magnetischer Fluß und induktive Spannung, Induktionsgesetz
An einer Spule, durch die sich wie nebenstehend dargestellt ein Magnetfeld
mit einem gewissen Fluß Φ erstreckt, gilt das Induktionsgesetz:
dΦ
(t)
ui (t) = −
dt
dΦ
oder kurz: ui = −
.
dt
ui
Φ
Dies ist das Prinzip, mit dem man zum Beispiel beim Dynamo am Fahrrad eine elektrische Spannung erzeugt: Ein Magnet wird über eine Spule bewegt; die sich daraus ergebende
Veränderung des magnetischen Flusses führt zu einer Spannung zwischen den Anschlüssen der
Spule.
Ist das Magnetfeld nun von einem in dem Leiter fließenden Strom verursacht, definiert man
u(t) = −ui (t)
oder kurz: u = −ui
und bezeichnet u als (selbst-)induktive Spannung. Durch Zusammenfassung der beschriebenen
Beziehungen zwischen (nun als zeitlich veränderlich angenommener) Stromstärke und magnetischem Fluß einerseits und magnetischem Fluß und induktiver Spannung andererseits erhält
man
di
di
oder kurz: u = L ⋅ .
u(t) = L ⋅ (t)
dt
dt
Der Leiter, aus dem eine Spule gefertigt ist, hat in der Praxis natürlich immer auch einen
O HMschen Widerstand. Dieser wird hier vernachlässigt (der Leiter also als ideal betrachtet),
da sein Einfluß auf den Zusammenhang zwischen Stromstärke und Spannung an einer Spule
deutlich geringer ist als der der Induktivität.
21
3.4 Kapazit¨
at und Induktivit¨
at als Bauelemente, einfache Schaltungen
Wie für O HMsche Widerstände führt man Symbole für Bauelemente ein, die man Kapazit ät und
Induktivität nennt und die zum Beispiel in der in den vorigen Abschnitten beschriebenen Form
realisiert werden können. Speziell Kapazitäten werden jedoch in der Praxis üblicherweise nicht
als Plattenkondensatoren realisiert, sondern in anderen Bauformen.
Die Bauelemente werden wie folgt dargestellt:
i
C
i
u
u
L
Kapazität C, an der Spannung u abfällt
und in die Strom der Stärke i fließt
Induktivität L, an der Spannung u abfällt
und durch die Strom der Stärke i fließt
Wie bei O HMschen Widerständen interessiert man sich auch bei Kapazitäten und Induktivitäten
dafür, ob man Reihen- und Parallelschaltung von zwei gleichartigen dieser Elemente durch ein
einzelnes ersetzen kann und wie groß dieses zu wählen ist. Dies ist tatsächlich möglich, und
die Berechnung der Größe erfolgt sogar ähnlich wie bei den O HMschen Widerständen. Die
Gesetzmäßigkeiten sind nachfolgend zusammengestellt.
2 gleichartige Bauelemente
u1
u2
u = u 1 + u2
i
⇐⇒
⋅C2
C1
C2
C = CC1+C
i
1
Allgemein: n Bauelemente
1
=
C
2
i2 C2
i
u
i1 C
1
u1
i
L1
⇐⇒
i
⇐⇒
C=
u = u 1 + u2
u
L=
L = L 1 + L2
i1 L1
⇐⇒
u
i
L=
L1 ⋅L2
L1 +L2
n
u=
Ck
∑
k=1
1
=
L
Lk
∑
k=1
n
∑
k=1
1
Lk
uk
∑
k=1
n
i=
n
i2 L2
i
∑
k=1
1
Ck
n
C = C1 +C2
u2
L2
u
i
n
ik
∑
k=1
n
u=
uk
∑
k=1
n
i=
ik
∑
k=1
Die Zusammenhänge an den Kapazitäten kann man sich mit Hilfe der für Plattenkondensatoren
angegebenen Bemessungsgleichung noch verdeutlichen (wenn auch nicht so einfach wie bei
O HMschen Widerständen), für Induktivitäten gelingt dies schon für die Reihenschaltung nur
mit Mühe, für die Parallelschaltung erscheint es unmöglich.
22
3.5 Sinusf¨
ormige Gr¨
oßen an O HMschen Widerst¨
anden, Kapazit¨
aten und
Induktivit¨
aten
Eine zeitlich veränderliche Größe, deren Verlauf im wesentlichen durch die Sinus-Funktion bestimmt ist, die also in der
Form
x(t) = X̂ ⋅ sin(ω ⋅ t + ϕx )
X̂
T − ϕωx
− ϕωx
gegeben ist, heißt sinusförmig. Man bezeichnet sie auch
als (sinusförmige) Schwingung. Der Verlauf einer solchen
Größe x ist nebenstehend für t im Bereich von − ϕωx bis T − ϕωx dargestellt. Die Kenngrößen einer
sinusförmigen Größe sind ihre Amplitude X̂, die Kreisfrequenz ω und der Nullphasenwinkel ϕx .
Daneben verwendet man noch die Frequenz f und die Periodendauer oder kurz Periode T .
Letztere ist die Zeit, innerhalb derer die Sinusfunktion eine Periode durchlaufen hat, in dem
Beispiel oben also gerade die Länge des dargestellten Bereiches. Für Periode T , Frequenz f
und Kreisfrequenz ω einer sinusförmigen Größe gelten die Zusammenhänge
f=
1
T
ω = 2π f =
und
2π
.
T
Die Einheit der Amplitude X̂ ist die der physikalischen Größe, deren Verlauf durch x(t) beschrieben wird. Der Nullphasenwinkel ist eine einheitenlose Größe, die Einheit von Kreisfrequenz und Frequenz ist 1s , was man mit Hz für Hertz abkürzt. Die Frequenz f gibt an, wie häufig
(pro Sekunde) eine Periode der Sinusfunktion durchlaufen wird.
Gegeben seien sinusförmige Verläufe der Stromstärke an den bekannten Bauelementen
O HMscher Widerstand, Kapazität und Induktivität, also
iR (t) = IˆR ⋅ sin(ωt + ϕiR ),
iC (t) = IˆC ⋅ sin(ωt + ϕiC ) und iL (t) = IˆL ⋅ sin(ωt + ϕiL ).
Die Frage ist nun, wie die zugehörigen Spannungsverläufe an den Bauelementen aussehen. Man
kann zunächst einmal vermuten, daß diese ebenfalls sinusförmig sind und sogar die gleiche
Kreisfrequenz benutzen, d. h. man wählt den Ansatz
uR (t) = ÛR ⋅ sin(ωt + ϕuR ),
uC (t) = ÛC ⋅ sin(ωt + ϕuC )
und uL (t) = ÛL ⋅ sin(ωt + ϕuL )
mit unbekannten Größen ÛR , ϕuR , ÛC , ϕuC , ÛL und ϕuL . Kann man diese nun so bestimmen,
daß die an den Bauelementen gültigen Gleichungen erfüllt sind, so findet man die Vermutung bestätigt und hat zugleich ein Verfahren, die Spannungsverläufe in Abhängigkeit von den
Stromstärkeverläufen anzugeben.
Nachfolgend werden nun die drei Bauelemente einzeln untersucht.
O HMscher Widerstand
Es gilt uR = R ⋅ iR , also muß gelten
ÛR ⋅ sin(ωt + ϕuR ) = R ⋅ IˆR ⋅ sin(ωt + ϕiR ).
Diese Gleichung ist offenbar erfüllt, wenn man ÛR = R ⋅ IˆR und ϕuR = ϕiR wählt. Man hat also
eine Amplitudenänderung um R und keine Phasenänderung.
23
Induktivität Hier gilt uL = L ⋅ didtL , es muß also, wie man durch Differentiation der gegebenen
Funktion iL sieht, gelten
ÛL ⋅ sin(ωt + ϕuL ) = L ⋅ dtd (IˆL ⋅ sin(ωt + ϕiL )) = ωLIˆL ⋅ cos(ωt + ϕiL )
= ωLIˆL ⋅ sin (ωt + ϕiL + π ) .
2
Wählt man ÛL = ωL ⋅ IˆL und ϕuL = ϕiL + π2 , so ist diese Gleichung offenbar erfüllt. Man hat also
eine Amplitudenänderung um ωL und die Spannung eilt dem Strom um 90 ° voraus. Hierzu gibt
es die Merkregel bei Induktivitäten die Ströme sich verspäten“.
”
Kapazität Es gilt uC =
on iC sieht, gelten
1
C ∫ iC dt,
also muß, wie man durch Integration der gegebenen Funkti-
ÛC ⋅ sin(ωt + ϕuC ) = C1 ⋅ ⌠ IˆC ⋅ sin(ωt + ϕiC )dt =
⌡
=
1 ˆ
ωC IC ⋅ sin
1
ωC
⋅ IˆC ⋅ (− cos(ωt + ϕiC ))
(ωt + ϕiC − π2 ) .
1 ˆ
Wenn man also ÛC = ωC
⋅ IC und ϕuC = ϕiC − π2 wählt, ist diese Gleichung offenbar erfüllt. Hier
1
hat man also eine Amplitudenänderung um ωC
und die Spannung eilt dem Strom um 90° nach.
3.6 Symbolische Methode zur Netzwerkberechnung
Hat man ein beliebiges Netzwerk gegeben, in dem neben den bisher betrachteten Gleichspannungsquellen und O HMschen Widerständen auch Quellen, die z. B. sinusförmige Spannungsverläufe (sogenannte Wechselspannung) liefern, Kapazitäten oder Induktivitäten auftreten, so
führt die Anwendung der K IRCHHOFFschen Sätze und das Einsetzen der Zusammenhänge an
den Bauelementen zu Integro-Differentialgleichungen. Daher sucht man nach einer Möglichkeit zur Vereinfachung. Zur Vorbereitung benötigt man dafür die komplexen Zahlen, deren
Konstruktion ausgehend von den bekannten reellen Zahlen im folgenden Abschnitt zunächst
erläutert wird.
3.6.1 Komplexe Zahlen
Die Konstruktion der bekannten Zahlensysteme beginnt mit den nat ürlichen Zahlen, die
mit Hilfe der P EANO-Axiome definiert werden. Die Menge (oder genauer: die Halbgruppe
bezüglich +) der natürlichen Zahlen wird mit N bezeichnet. Ausgehend von N wird die Menge Z der ganzen Zahlen (als Gruppe bezüglich +) durch Paar- und Äquivalenzklassenbildung
konstruiert, davon ausgehend kommt man dann zur Menge Q der rationalen Zahlen als K örper
mit den Operationen + und ⋅ wieder durch Paar- und Äquivalenzklassenbildung. Das Vorgehen
dabei sieht so aus, daß man zunächst zwei ganze Zahlen x und y zu einem Paar (x, y) zusammenfaßt und dann mit yx alle Paare (x′, y′) bezeichnet, für die x ⋅ y′ = x′ ⋅ y (eine Gleichung in Z!) gilt,
also die Äquivalenzklasse von (x, y) bezüglich der durch die Gleichung beschriebenen Äquivalenzrelation.1 Für zwei so konstruierte rationale Zahlen xy1 und xy2 wird dann z. B. die Addition
1
2
2 y1
(daß diese Definition sinnvoll ist, muß man allerdings erst noch
definiert durch xy11 + xy22 = x1 yy21+x
y2
1 Weil
2 ⋅ 6 = 4 ⋅ 3 gilt, bezeichnen
2
3
und
4
6
dieselbe rationale Zahl. Das ist die Rechtfertigung des Kürzens“.
”
24
beweisen). Trotz der Konstruktion durch Paarbildung findet man bekanntlich N als Teilmenge
von Z und Z (und damit auch N) als Teilmenge von Q wieder. Genauer muß man aber formulieren, daß z. B. Z in Q eingebettet ist, indem jeder ganzen Zahl x die rationale Zahl 1x zugeordnet
wird und rationale Zahlen dieser Art letztendlich mit den ganzen Zahlen identifiziert werden.
Der Schritt von Q zu den reellen Zahlen, die einen ordnungsvollst ändigen Körper R bilden,
soll hier nicht näher betrachtet werden, von Interesse ist hier erst wieder die Konstruktion des
Körpers C der komplexen Zahlen. Dazu wird zunächst definiert:
C = R × R,
C ist also die Menge aller Paare reeller Zahlen. Zur Veranschaulichung kann man sich C als die
Ebene R2 vorstellen, jeder Punkt der Ebene ist eine komplexe Zahl. Für Elemente der Menge C
sind nun Operationen Addition“ + und Multiplikation“ ⋅ (sowie Subtraktion“ − und Divisi”
”
”
”
on“ ÷) zu definieren, die C zu einem Körper machen. Das Ziel ist dabei, daß die Gleichung
z2 + 1 = 0
eine Lösung in diesem neuen Körper hat. Außerdem möchte man R durch die Zuordnung
x 7→ (x, 0) für jedes x ∈ R
in C einbetten, die eben erwähnte Gleichung lautet also eigentlich
z ⋅ z + (1, 0) = (0, 0).
Addition und Subtraktion werden für komplexe Zahlen zunächst so definiert, daß man sie durch die Vektoraddition in R2 graphisch veranschaulichen kann, also
und
(p1 , q1 ) + (p2 , q2 ) = (p1 + p2 , q1 + q2 )
(p1 , q1 ) − (p2 , q2 ) = (p1 − p2 , q1 − q2 )
(p1 , q1 ) + (p2, q2 )
(p2 , q2 )
(p1 , q1 )
für beliebige reelle Zahlen p1 , q1 , p2 , q2 . Diese Definition ist, wie man leicht sieht, mit der beabsichtigten Einbettung von R in C verträglich. Das bedeutet insbesondere, daß man die erwähnte
Gleichung zu
z2 = −1
bzw.
z ⋅ z = (−1, 0)
umformen darf.
Nimmt man nun an, das Ziel, daß die genannte Gleichung erfüllt ist, wäre bereits erreicht, so
kann man definieren:
Sei j eine Lösung von z2 + 1 = 0 in C. j heißt imaginäre Einheit.
Nach Wahl von j gilt (unter Beachtung der Einbettung von R in C) natürlich j 2 = −1 und,
wenn C ein Körper sein soll, auch (− j)2 = −1. Offenbar kann j nicht zur Einbettung von R in
C gehören2 , muß also von der Form j = (p0 , q0 ) mit reellen Zahlen p0 , q0 sein, wobei q0 ≠ 0.
2 sonst
gäbe es eine reelle Zahl mit negativem Quadrat
25
Damit sind3 j und (1, 0) linear unabhängig, bilden also eine Basis des R2 . Das bedeutet, daß
jedes Element z von C eine Darstellung der Form4
z = x ⋅ (1, 0) + y ⋅ j
mit reellen Zahlen x und y besitzt, wofür man abkürzend
z = x + jy
schreibt. x heißt Realteil von z, geschrieben x = Re(z), und y heißt Imagin ärteil von z, geschrieben y = Im(z).
Man beachte, daß es nun zwei Arten gibt, eine komplexe Zahl darzustellen, und zwar einerseits
als Paar reeller Zahlen z = (p, q) und andererseits durch Real- und Imaginärteil als z = x + jy,
wobei nicht zwingend p = x oder q = y gilt!
Hat man zwei komplexe Zahlen in der Form z1 = x1 + jy1 und z2 = x2 + jy2 , so gilt für die
Addition und Subtraktion nach deren Definition, wie man leicht sieht,
z1 + z2 = (x1 + x2 ) + j(y1 + y2 )
und
z1 − z2 = (x1 − x2 ) + j(y1 − y2 ).
Insbesondere hat man, wenn x, y ∈ R, für die komplexen Zahlen z 1 = x (also z1 = x + j0) und
z2 = jy (also z2 = 0 + jy) die Summe z1 + z2 = x + jy, womit die Verwendung des + in der Schreibweise z = x + jy gerechtfertigt ist.
Für die Multiplikation zweier komplexer Zahlen z1 = x1 + jy1 und z2 = x2 + jy2 ergibt sich nun
zwangsläufig, wenn man will, daß die von den reellen Zahlen bekannten Rechenregeln gelten
sollen5 ,
z1 ⋅ z2 = (x1 + jy1 ) ⋅ (x2 + jy2 ) = x1 x2 + x1 jy2 + jy1 x2 + jy1 jy2
= x1 x2 + j(x1 y2 + y1 x2 ) + j2 y1 y2 = x1 x2 + j(x1 y2 + y1 x2 ) + (−1)y1 y2
= x1 x2 − y1 y2 + j(x1 y2 + y1 x2 ).
Definiert man nun für z1 = (p1 , q1 ) und z2 = (p2 , q2 ) deren Produkt durch
z1 ⋅ z2 = (p1 , q1 ) ⋅ (p2 , q2 ) = (p1 p2 − q1 q2 , p1 q2 + q1 p2 ),
so wird klar, daß j = (0, 1) eine Lösung der Gleichung z2 +1 = 0 ist ( j = (0, −1) wäre eine weitere).
Mit dieser Definition der Multiplikation und der Wahl j = (0, 1) gilt dann auch für z = x + jy, daß
z = (x, y) ist (und umgekehrt).
Die Division zweier komplexer Zahlen z1 = x1 + jy1 und z2 = x2 + jy2 definiert man entsprechend
durch passende“ Erweiterung:
”
z1 x1 + jy1 (x1 + jy1 )(x2 − jy2 ) x1 x2 − x1 jy2 + jy1 x2 − jy1 jy2
= 2
=
=
z2 x2 + jy2 (x2 + jy2 )(x2 − jy2 )
x2 − x2 jy2 + jy2 x2 − jy2 jy2
x1 x2 + j(y1 x2 − x1 y2 ) − j2 y1 y2 x1 x2 + j(y1 x2 − x1 y2 ) − (−1)y1 y2
=
x22 − j2 y22
x22 − (−1)y22
y x −x y
x x +y y
= 1 22 12 2 + j 1 22 12 2
x2 + y2
x2 + y2
=
3 im
Sinne der linearen Algebra im R-Vektorraum R2 , also in C als R-Vektorraum aufgefaßt
bezeichnet + die Vektoraddition in R2 , die ja identisch mit der für C eingeführten ist, und ⋅ die Multiplikation eines Skalars, also einer reellen Zahl, mit einem Vektor des R 2 nach der Vorschrift λ ⋅ (p, q) = (λp, λq)
5 hier wird zunächst nur rein symbolisch gerechnet, die eigentliche Rechtfertigung dieser Rechnung ergibt sich
erst aus der nachfolgenden Definition der Multiplikation
4 hier
26
(x1 , y1 ) ⋅ (x2, y2 )
Eine graphische Veranschaulichung der Multiplikation erhält man
mit Hilfe von Polarkoordinaten: (x, y) ∈ R2 wird beschrieben durch
r = √x2 + y2 und α = arctan xy bzw. genauer α mit cos α = xr und sin α = yr
(sonst, d. h. in der arctan-Form, ist der Quadrant nicht eindeutig bzw.
in bestimmten Fällen falsch). r heißt Betrag von z = x + jy, geschrieben
r = |z|, und α heißt Argument von z, geschrieben α = arg z.
j
(x2 , y2 )
(x1 , y1 )
α
α2 α1
1
Bei der Multiplikation von z1 = x1 + jy1 und z2 = x2 + jy2 erhält man ausgehend von
r1 =
√
x21 + y21 , cos α1 =
y
x1
, sin α1 = 1 und r2 =
r1
r1
√
x22 + y22 , cos α2 =
y
x2
, sin α2 = 2
r2
r2
für das Produkt
r = √(x1 x2 − y1 y2 )2 + (x1 y2 + y1 x2 )2
√x x − 2x x y y + y y + x y + 2x y y x + y x = √x x + y y + x y + y x
= √x (x + y ) + y (y + x ) = √(x + y )(x + y ) = √r r = r r
x x y y
=
2 2
1 2
1 2 1 2
2
1
2
2
2
2
2
1
2 2
1 2
2
2
2 2
1 2
2
2
2 2
1 2
1 2 1 2
2
1
2
1
2
2
2
2
2 2
1 2
2 2
1 2
2 2
1 2
2 2
1 2
2 2
1 2
1 2
x1 x2 − y1 y2
= 1 ⋅ 2 − 1 ⋅ 2 = cos α1 cos α2 − sin α1 sin α2 = cos(α1 + α2 )
r1 r2
r1 r2 r1 r2
x1 y2 + y1 x2 x1 y2 y1 x2
= ⋅ + ⋅ = cos α1 sin α2 + sin α1 cos α2 = sin(α1 + α2 ),
r1 r2
r1 r2 r1 r2
die Beträge sind also zu multiplizieren und die Argumente addieren sich.
In dem so konstruierten Körper der komplexen Zahlen C kann man nun alle wesentlichen Rechnungen ausführen, die man aus den reellen Zahlen kennt, lediglich eine Ordnungsrelation ≤ läßt
sich auf C nicht definieren.
Abschließend soll noch eine komplexe Zahl berechnet werden, die man gelegentlich braucht:
j
j
j
1
=
= 2=
= − j.
j j⋅ j j
−1
Bemerkung In der Mathematik ist es üblich, die imaginäre Einheit mit i zu bezeichnen. Da
dieses Symbol in der Elektrotechnik für die Stromstärke verwendet wird, wird zur Vermeidung
von Mißverständnissen auf das Symbol j ausgewichen.
3.6.2 Exponentialfunktion und symbolische Methode
Zur nachfolgenden Einführung der symbolischen Methode wird die Exponentialfunktion z 7→ e z
für komplexe Zahlen z benötigt. Diese wird, wie dies auch für reelle Zahlen üblich ist, mit Hilfe
einer Potenzreihe definiert:
∞
z
e =
1 n
n! z ,
∑
n=0
wobei n! = 1 ⋅ 2 ⋅ ⋅ ⋅ n. Die (reellen) Funktionen sin und cos sind ebenfalls durch Potenzreihen
definiert:
∞
∞
sin x =
(−1)
∑
n=0
n
2n+1
1
(2n+1)! x
und
27
cos x =
1 2n
(−1)n (2n)!
x .
∑
n=0
Daraus ergibt sich die sogenannte E ULER-Formel
e jα = cos α + j sin α
für α ∈ R,
also cos α = Re (e jα ) und sin α = Im (e jα ) für α ∈ R. Speziell erhält man
π
ej2 = j
π
e− j 2 = − j = 1j .
und
Die E ULER-Formel liefert für jede komplexe Zahl z eine Darstellung der Form z = r ⋅ e jα mit
reellen Zahlen r und α. Genauer gilt r = |z| und α = arg z, also
z = |z| ⋅ e j arg z .
Wie man leicht sieht, gilt6 für reelle Zahlen r und α
Re (r ⋅ e jα ) = r ⋅ Re (e jα )
und
Im (r ⋅ e jα ) = r ⋅ Im (e jα ) .
Für die Exponentialfunktion im Komplexen gilt wie im Reellen
ea+b = ea ⋅ eb ,
also ist insbesondere
sin (ωt + ϕ) = Im e j(ωt+ϕ) = Im (e jϕ e jωt ) .
Damit erhält man für die bereits betrachteten sinusförmigen Verläufe von Stromstärken und
Spannungen
und u(t) = Û ⋅ sin(ωt + ϕu ) = Im (Û ⋅ e jϕu ⋅ e jωt ) .
i(t) = Iˆ ⋅ sin(ωt + ϕi ) = Im (Iˆ ⋅ e jϕi ⋅ e jωt )
Die Funktionen u(t) und i(t) sind also eindeutig beschrieben durch die komplexen Zahlen
U = Û ⋅ e jϕu bzw. I = Iˆ ⋅ e jϕi . Dies sind Konstanten, sie hängen nicht von t ab.
Bei gegebenem I R , I L und IC (also IˆR , ϕiR , IˆL , ϕiL , IˆC und ϕiC ) erhält man an den Bauelementen
R, L bzw. C nach den Ergebnissen aus Abschnitt 3.5 dann
U R = RIˆR ⋅ e jϕiR = RI R
U L = ωLIˆL ⋅ e
UC =
j ϕiL + π2
j ϕiC − π2
1 ˆ
ωC IC ⋅ e
π
= ωLIˆL ⋅ e jϕiL ⋅ e j 2 = jωLIˆL ⋅ e jϕiL = jωLI L
=
jϕiC
1 ˆ
ωC IC ⋅ e
π
⋅ e− j 2 =
−j ˆ
jϕiC
ωC IC ⋅ e
=
jϕiC
1 ˆ
jωC IC ⋅ e
=
−j
ωC IC
=
1
jωC IC .
Es gilt also an jedem Bauelement ein dem O HMschen Gesetz ähnlicher Zusammenhang der
Form
U = Z ⋅I
mit einem zum Bauelement passenden komplexen Widerstand Z, nämlich R für einen
−j
1
O HMschen Widerstand, jωL für eine Induktivität und jωC
(oder nach Belieben auch ωC
, was
6 Tatsächlich
läßt sich das sogar verallgemeinern für beliebige komplexe Zahlen z anstelle vonjαe .
28
dasselbe ist) für eine Kapazität. Man beachte, daß die Induktivitäten und Kapazitäten zugeordneten komplexen Widerstände von der Kreisfrequenz ω abhängig sind.
Zur Berechnung von Wechselstromnetzen (also Netzwerken mit Quellen für sinusförmige Spannungen sowie Induktivitäten und Kapazitäten) kann man nun das Vorgehen von den früher betrachteten Gleichstromnetzen übernehmen und alle Elemente nach dem gleichen Verfahren behandeln. Dieses Vorgehen bezeichnet man als symbolische Methode.
Hat man mehrere Quellen mit unterschiedlichen Frequenzen (damit lassen sich Spannungen
darstellen, die sich als Summe sinusförmiger Verläufe ergeben), so führt man die Berechnung
einzeln für jede Frequenz durch und addiert die Ergebnisse jeder dieser Berechnungen. Dieses
Verfahren der Überlagerung wird auch als Superposition bezeichnet.
4 Leistung, D¨
ampfung und Verst¨
arkung
Die in einem Widerstand umgesetzte Leistung ist definiert als das Produkt der abfallenden Spannung U und der fließenden Stromstärke I. Für die Leistung verwendet man das Symbol P, es
gilt also
P = U ⋅ I.
Die Einheit der Leistung muß offenbar VA sein, man verwendet dafür als Abkürzung W für
Watt, es gilt also
1W = 1VA.
Gegeben seien nun die folgenden zwei Schaltbilder:
R1
U1 =
R
U1
U1 =
U2
R
Wie man mit Hilfe der Spannungsteilerregel leicht sieht, gilt
U2 =
R
⋅U1 .
R + R1
Vergleicht man die Leistung, die in den beiden Fällen umgesetzt wird, so erhält man mit Hilfe
des O HMschen Gestzes
U1 1 2
und
= U
R R 1
U
R
P2 = U2 ⋅ 2 =
⋅U 2 ,
R (R + R1 )2 1
P1 = U1 ⋅
für das Verhältnis
P2
P1
gilt also
P2
=
P1
R
⋅U12
(R+R1 )2
1 2
R U1
R2
=
=
(R + R1 )2
29
R
R + R1
2
=
U2
U1
2
.
Das Verhältnis PP21 heißt Verstärkungsfaktor des oben gestrichelt umrahmten Teils der Schaltung.
Für den Verstärkungsfaktor verwendet man das Symbol v, er ist eine einheitenlose Größe. Hier
liegt v offenbar zwischen 0 und 1. Ersetzt man den oben gestrichelt umrahmten Teil der Schaltung durch eine andere Teilschaltung mit je zwei Anschlüssen auf der Ein- und Ausgangsseite
(sog. Vierpol), so kann v auch größer als 1 werden.
Üblicherweise gibt man Verstärkungsfaktoren mit Hilfe der (Pseudo-)Einheit dB für Dezibel an,
indem man definiert
vdB = 10 ⋅ log10
P2
.
P1
Der Vorfaktor 10 entspricht dabei der Vorsilbe Dezi“. vdB heißt Verstärkungsmaß oder kurz
”
Verstärkung in Dezibel. Liegt wie im hier betrachteten Beispiel v zwischen 0 und 1, so ist v dB
negativ. Man kann vdB ausgehend von gemessenen Spannungen U1 und U2 , aus denen sich P1
und P2 wie oben beschrieben ergeben, berechnen als
2
U2
P2
U
vdB = 10 ⋅ log10
= 10 ⋅ log10
= 20 ⋅ log10 2 .
P1
U1
U1
Der Kehrwert des Verstärkungsfaktors heißt Dämpfungsfaktor, wofür man das Symbvol a verwendet. Auch er kann mit Hilfe der (Pseudo-)Einheit Dezibel als Dämfungsmaß oder kurz
Dämpfung in Dezibel angegeben werden:
a=
1
v
und
adB = −vdB .
Zum Abschluß sei in der Schaltung oben R = 19 R1 , dann ist U2 =
1
9 R1
10
9 R1
1
1
U1 = 10
U1 und damit v = 10
,
vdB = −20dB, a = 10 und schließlich die Dämpfung adB = 20dB.
5 Das Griechische Alphabet
Α α
Β β
Γ γ
∆ δ
Ε , ε
Ζ ζ
Alpha
Η
η
Beta
Θ θ, ϑ
Gamma Ι
ι
Delta
Κ κ, κ
Epsilon Λ
λ
Zeta
Μ
µ
Eta
Ν
ν
Theta
Ξ
ξ
Iota
Ο
ο
Kappa
Π π
Lambda Ρ ρ, %
My
Σ σ, ς
30
Ny
Τ
Xi
ϒ
Omikron Φ
Pi
Χ
Rho
Ψ
Sigma
Ω
τ
υ
φ, ϕ
χ
ψ
ω
Tau
Ypsilon
Phi
Chi
Psi
Omega
6 Zusammenfassung: Physikalische Gro¨ßen und Einheiten
Basisgröße
Länge
Masse
Zeit
elektrische Stromstärke
abgeleitete Größe
Fläche
elektrische Ladung
Stromdichte
elektrische Spannung
Symbol
l
m
t
I
Symbol und Berechnung
A = l ⋅l
Q = I ⋅t
J = AI
U
Leitfähigkeit
G=
O HMscher Widerstand
R=
Kapazität
C=
magnetischer Fluß
Weber
Wb = V ⋅ s
Siemens
O HM
Φ
I
1
T
Wb
A
=
Hertz
Hz =
ω = 2⋅π⋅ f
Hertz
Hz =
1
s
1
s
P =U ⋅I
Watt
L=
Frequenz
f=
Leistung
Farad
A
m2
2
V = kg⋅m
3
A⋅s
S= A
V
V
Ω= A
F = A⋅s
V
Volt
I
U
U
I
Q
U
Φ
Induktivität
Kreisfrequenz
Einheit
Kurzzeichen
Meter
m
Kilogramm
kg
Sekunde
s
Ampere
A
Einheit
Kurzzeichen
Quadratmeter
m2
Coulomb
C = A⋅s
Henry
H=
V⋅s
A
W = V⋅A
Literatur
[1] Rainer Ansorge und Hans Joachim Oberle: Mathematik für Ingenieure — Band 1: Lineare
Algebra und analytische Geometrie, Differential- und Integralrechnung einer Variablen.
Akademie Verlag, Berlin, 2. Auflage 1997.
[2] H. Claussnitzer: Einführung in die Elektrotechnik. VEB Verlag Technik, Berlin, 8., durchgesehene Auflage 1982.
[3] Gerd Fischer: Lineare Algebra. Reihe Vieweg Studium — Grundkurs Mathematik. Vieweg, Braunschweig, 11., verbesserte Auflage 1997.
[4] Otto Forster: Analysis — Band 1: Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen. Reihe Vieweg Studium — Grundkurs Mathematik. Vieweg, Braunschweig, 5., überarbeitete Auflage 1999.
[5] IEC 60027-2, Second edition, 2000-11: Letter symbols to be used in electrical technology
— Part 2: Telecommunications and electronics.
[6] Helmut Lindner: Elektro-Aufgaben — Band I bis III. Fachbuchverlag Leipzig im Carl
Hanser Verlag, München, Wien, unterschiedliche Auflagen 1992–1996.
[7] Klaus Lunze: Berechnung elektrischer Stromkreise — Arbeitsbuch. Hüthig, Heidelberg,
Verlag Technik, Berlin. 15., durchgesehene Auflage 1990.
31
[8] Physikalisch-Technische Bundesanstalt (Hrsg.): Die gesetzlichen Einheiten in Deutschland. http://www.ptb.de/de/publikationen/download/pdf/sid.pdf
[9] Schulwissen Mathematik: ein Überblick; was ein Studienanfänger von der Mathematik
wissen sollte. Reihe Vorkurs Mathematik. Vieweg, Braunschweig, 2., duchgesehene Auflage 1995.
[10] Heinz Ulrich Seidel und Edwin Wagner: Allgemeine Elektrotechnik Band 1. Carl Hanser
Verlag, München, Wien, 1992.
32
A Übungsaufgaben
A.1
Einheiten und Vors¨
atze
Die Bemessungsgleichung für den Widerstand eines linienhaften Leiters lautet
l
R=ρ .
A
Ermitteln Sie den Faktor k in der zugeschnittenen Größengleichung
ρ
R
=k
mΩ
Ωcm
A.2
l
m
A
mm2
.
Widerstand eines Drahtes
Wie groß ist der Widerstand eines Kupferdrahtes von 10m Länge und 1mm Durchmesser? Die
m
Leitfähigkeit des Kupfers beträgt κCu = 58 Ωmm
2.
Wie groß wird der Widerstand, wenn der Kupferdraht durch Aluminiumdraht gleicher Länge
m
und Stärke ersetzt wird? Die Leitfähigkeit des Aluminiums beträgt κAl = 36 Ωmm
2.
Welcher Querschnitt müßte bei Aluminium gewählt werden, um bei gleicher Länge den Widerstand des Kupfers nicht zu überschreiten?
A.3
Materialbedarf f ¨ur einen Vorschaltwiderstand
An einem Vorschaltwiderstand soll bei einem vorgegebenen Strom I = 6A ein Spannungsabfall
U = 1, 5V auftreten. Der Widerstand wird aus Konstantandraht mit dem spezifischen Widerstand
2
A
ρ = 0, 5 Ωmm
m hergestellt. Die zulässige Stromdichte im Draht beträgt J = 3 mm2 .
Berechnen Sie allgemein und für die gegebenen Zahlenwerte den Mindestdurchmesser des
Drahtes und die erforderliche Drahtlänge.
A.4
Innenwiderstand einer Spannungsquelle
Die Messung der Klemmenspannung einer Spannungsquelle mit
Hilfe eines Vielfachmessers (Innenwiderstand des Meßgerätes
RiV = 20kΩ) ergab einen Wert von 10V. Durch Parallelschalten eines Widerstandes von 5kΩ zu den Klemmen der Spannungsquelle
sank die Spannung auf 8V. Wie groß sind Quellenspannung, Innenwiderstand und Kurzschlußstrom der Spannungsquelle, wenn diese
eine lineare U -I-Kennlinie hat?
33
Uq =
R
Ri
U
A.5
Spannungsteiler, Stromteiler
Berechnen Sie den Strom I3 durch R3 in der angegebenen
Schaltung mit Hilfe
I1
Uq =
1. der Spannungsteilerregel
R1
2. der Stromteilerregel.
Uq = 12V
R1 = 9Ω
A.6
I3
Ri
Ri = 1Ω
R2 = 8Ω
U3 R3
R3 = 2Ω
K IRCHHOFFsche S¨
atze
Berechnen Sie mit Hilfe der Kirchhoffschen Sätze in dem angegebenen Netzwerk alle Zweigströme und die Spannung UAB .
I1
Uq1 = Uq2 = 60V
I2
Symbolische Methode
B
R4
Uq2
=
R2
R3 = R4 = 10Ω
R3
I3
A
Gegeben ist die nebenstehende Schaltung.
R = 100Ω
f = 50Hz
Uq1
=
R1
R1 = R2 = 3Ω
A.7
R2
u
i(t)
L = 1, 2H
C = 10µF
u = 24V ⋅ sin(ωt + 15° )
R
L
C
Berechnen Sie den Strom i(t) mit Hilfe der symbolischen
Methode.
A.8
Symbolische Methode (Vertiefung)
Bestimmen Sie mit Hilfe der symbolischen Methode die Ströme
i1 , i2 und i3 für eine anliegende Spannung u = 311V ⋅ sin(ωt) mit
f = 50Hz.
R = 100Ω
A.9
L = 1H
i1
C
u
i2
i3
R
L
C = 30µF
Nicht sinusf¨
ormiger Spannungsverlauf an L- und C-Gliedern
Gegeben sei die nebenstehende Schaltung.
L = 1, 2H
C = 10µF
u(t) = 2V + 9V ⋅ cos(2π ⋅ 10Hz ⋅ t) + 6V ⋅ sin(2π ⋅ 20Hz ⋅ t)
+ 3V ⋅ cos(2π ⋅ 25Hz ⋅ t) + 3V ⋅ sin(2π ⋅ 25Hz ⋅ t)
u
uL
uC
L
C i
Berechnen Sie den Strom i(t) und die Spannungen uL (t) und uC (t) mit Hilfe der symbolischen
Methode!
34
B L¨
osungsskizzen
B.1 Einheiten und Vors¨
atze
Ansatz: Multiplikation aller Größen jeweils mit einer konstruktiven Eins“ (Zweiter Fundamen”
taltrick der Algebra)
mΩ
Ωcm l m
R
=ρ
⋅ m2
mΩ
Ωcm A mm2
mm
⇔
ρ
R
=
mΩ Ωcm
⇒
k=1
l
m
A
mm2
⋅
Ωcm ⋅ m
mΩ ⋅ mm2
10−2 ⋅ m2
Ωcm ⋅ m
Ω ⋅ 10−2 m ⋅ m
1
=
=
1
= −1
= 107
2
2
−3
−6
2
−6
−3
−3
mΩ ⋅ mm
10
⋅
10
m
10
⋅
10
10 Ω ⋅ (10 m)
B.2 Widerstand eines Drahtes
2
Bemessungsgleichung R = ρ Al , spezifischer Leitwert κ = ρ1 , Querschnitt A = π d4 , damit:
l⋅4
10m ⋅ 4
= 0, 22Ω
=
m
2
κCu ⋅ A κCu ⋅ πd
58 Ωmm2 ⋅ π ⋅ 1mm2
l
l ⋅4
10m ⋅ 4
RAl =
= 0, 35Ω
=
=
m
2
κAl ⋅ A κAl ⋅ πd
36 Ωmm2 ⋅ π ⋅ 1mm2
l
RCu =
=
Aus der Forderung RAl ≤ RCu = 0, 22Ω ergibt sich
l
κAl ⋅ A
≤ RCu
l
10m
= 1, 265mm2
=
m
κAl ⋅ RCu 36 Ωmm2 ⋅ 0, 22Ω
r
4A
bzw. d =
= 1, 269mm
π
⇐⇒ A ≥
B.3 Materialbedarf f ¨ur einen Vorschaltwiderstand
Zunächst R = UI =
Aus J =
I
A
1,5V
6A
= 0, 25Ω.
ergibt sich A =
I
J
=
6A
3
A
mm2
= 2mm2 , also d =
√
4A
π
= 1, 596mm
Aus R = ρ Al ergibt sich für diesen Mindestquerschnitt bzw. -durchmesser
l=
RA 0, 25Ω ⋅ 2mm2
=
= 1m
2
ρ
0, 5 Ωmm
m
35
B.4 Innenwiderstand einer Spannungsquelle
Ersatzschaltbilder für Messung ohne zusätzlichen parallelen Widerstand, Messung mit zusätzlichem parallelen Widerstand, paralleler Widerstand und Innenwiderstand des Meßgerätes zusammengefaßt:
RiV
U1
Uq =
RiV
R
U2
Uq =
Ri
R2
U2
Ri
Ui2
Uq =
Ui1
Ri
Ui2
Im ersten Fall gilt:
Uq = U1 + Ri ⋅ I1 (Addition der Spannungen, O HMsches Gesetz)
U
10V
I1 = 1 =
= 0, 5mA (O HMsches Gesetz)
RiV 20kΩ
Für den zweiten Fall ist zunächst R2 =
1
1
1
R + RiV
=
1
1
1
5kΩ + 20kΩ
(1)
(2)
= 4kΩ. Weiter gilt:
Uq = U2 + Ri ⋅ I2 (Addition der Spannungen, O HMsches Gesetz)
U
8V
I2 = 2 =
= 2mA (O HMsches Gesetz)
R2 4kΩ
(3)
(4)
Einsetzen von I1 , I2 , U1 , U2 und Gleichsetzen der rechten Seiten von (1) und (3) liefert
10V + Ri ⋅ 0, 5mA = 8V + Ri ⋅ 2mA
=⇒
Ri =
2V
= 1, 33kΩ
1, 5mA
Daraus folgt zum Beispiel mit (1)
Uq = 10V + 1, 33kΩ ⋅ 0, 5mA = 10, 67V
Der Kurzschlußstrom ergibt sich, wenn man RiV im ersten Versuch durch einen Widerstand von
0Ω ersetzt, aus Uq = Ri ⋅ IK ergibt sich dann
IK =
Uq 10, 67V
= 8mA
=
Ri 1, 33kΩ
Graphische Lösung
Berechne I1 und I2 wie vor, zeichne Gerade durch die Punkte (I1 ,U1 ) und (I2 ,U2 ) in einem I-U Koordinatensystem. Schnittpunkte mit den Achsen sind IK und Uq , Ri ergibt sich aus Steigung
der Geraden.
36
B.5 Spannungsteiler, Stromteiler
1. Anwendung der Spannungsteilerregel:
U3 =
R2 ⋅R3
R2 +R3
⋅R3
R1 + RR2+R
2
3
Daraus folgt I3 = UR3 =
3
+ Ri
1,655V
2Ω
Uq =
9Ω +
2Ω⋅8Ω
2Ω+8Ω
2Ω⋅8Ω
2Ω+8Ω
+ 1Ω
12V =
1, 6
12V = 1, 655V
11, 6
= 0, 828A
2. Anwendung der Stromteilerregel:
I3 =
Uq
R2
8Ω
12V
=
⋅
⋅
= 0, 828A
R2 + R3 R1 + R2 ⋅R3 + Ri 8Ω + 2Ω 11, 6Ω
R2 +R3
B.6 Kirchhoffsche S¨
atze
Die Zählpfeile für die Spannungen an den Widerständen werden wie folgt gewählt:
I1
U1
Uq1
=
R1
R4
Uq2
=
U2
I2 R2
A
B
R3
U4
I3
U3
Gesucht sind I1 , I2 , I3 sowie UAB = −U3 −U4 = −R3 I3 − R4 I1 .
Aus Knotenregel folgt
I3 = I1 + I2
(5)
U1 −Uq1 +U4 +Uq2 −U2 = 0V
U2 −Uq2 +U3 = 0V
(6)
(7)
U1 = R1 ⋅ I1
U2 = R2 ⋅ I2
U3 = R3 ⋅ I3
U4 = R4 ⋅ I1
(8)
(9)
(10)
(11)
Machensatz liefert
Das O HMsche Gesetz liefert
Insgesamt hat man also ein lineares Gleichungssystem mit sieben Gleichungen und sieben Unbekannten (I1 , I2 , I3 , U1 , U2 , U3 und U4 ).
37
Vereinfachung: U1 , U2 , U3 und U4 sind nicht gefragt, deshalb werden (8) bis (11) in (6) und (7)
eingesetzt.
R1 ⋅ I1 + R4 ⋅ I1 − R2 ⋅ I2 = Uq1 −Uq2
R2 ⋅ I2 + R3 ⋅ I3 = Uq2
(12)
(13)
Einsetzen von (5) in (13) liefert
R2 ⋅ I2 + R3 ⋅ (I1 + I2 ) = Uq2
(14)
(R1 + R4 ) ⋅ I1 − R2 ⋅ I2 = Uq1 −Uq2
R3 ⋅ I1 + (R2 + R3 ) ⋅ I2 = Uq2
(15)
(16)
zusammengefaßt also
Mit den vorgegebenen Zahlenwerten ergibt sich
(3Ω + 10Ω) ⋅ I1 − 3Ω ⋅ I2 = 0V
10Ω ⋅ I1 + (3Ω + 10Ω) ⋅ I2 = 60V
(17)
(18)
(169Ω + 30Ω) ⋅ I2 = 780V
(19)
(18) ⋅ 13 − (17) ⋅ 10 liefert
also I2 =
780V
199Ω
= 3, 92A.
Aus (17) folgt nun I1 =
3Ω⋅I2
13Ω
= 0, 9A, somit wegen (5) I3 = 4, 82A.
Somit ist UAB = −R3 I3 − R4 I1 = −10Ω ⋅ (4, 82A + 0, 9A) = −57, 29V.
B.7 Symbolische Methode
ω = 2π f = 314Hz
1. Transformation ins Komplexe:
°
U = 24V ⋅ e j15 ,
1
Vs
jωL = j314 ⋅ 1, 2
= j376, 8Ω,
s
A
−j
−j
=
= − j318, 5Ω
1
ωC 314 s ⋅ 10 ⋅ 10−6 As
V
2. Rechnung im Komplexen:
I=
U
,
Z
Z = R + jωL −
I=
j
°
= 100Ω + j376, 8Ω − j318, 5Ω = (100 + j58, 3)Ω = 115, 8Ω ⋅ e j30,3 ,
ωC
24V ⋅ e j15°
°
= 0, 2A ⋅ e− j15,3
115, 8Ω ⋅ e j30,3°
3. Rücktransformation: i1 = 0, 2A ⋅ sin(ωt − 15, 3° )
38
B.8 Symbolische Methode (Vertiefung)
ω = 2π f = 314Hz
1. Transformation ins Komplexe:
°
U = 311V ⋅ e j0 ,
1 Vs
= j314Ω,
jωL = j314 ⋅ 1
s A
−j
−j
= − j106, 2Ω
=
ωC 314 1s ⋅ 30 ⋅ 10−6 As
V
2. Rechnung im Komplexen:
I1 =
U
,
Z
Z=
−j
+
ωC
1
R
−j
1
=
+
1
+ jωL ωC
= − j106, 2Ω +
1
1
R
−
j
ωL
= − j106, 2Ω +
103
1
Ω
0, 01 − j0, 0032
°
√102 + 3, 22 ⋅ e− j arctan
3,2
10
Ω = − j106, 2Ω + 95, 24 ⋅ e j17,7 Ω
°
= − j106, 2Ω + 90, 7Ω + j28, 96Ω = (90, 7 + j77, 24)Ω = 119, 13 ⋅ e − j40,4 Ω,
I1 =
311V
°
= 2, 61A ⋅ e j40,4
°
−
j40,4
119, 13Ω ⋅ e
R
100
100
°
°
⋅ 2, 61A ⋅ e j40,4
I1 =
⋅ 2, 61A ⋅ e j40,4 =
°
j72,3
R + jωL
100 + j314
329, 5 ⋅ e
− j72,3°
j40,4°
− j31,9°
= 0, 3 ⋅ e
⋅ 2, 61A ⋅ e
= 0, 79A ⋅ e
I3 =
jωL
314 ⋅ e j90°
°
°
°
⋅ 2, 61A ⋅ e j40,4 = 0, 95 ⋅ e j17,7 ⋅ 2, 61A ⋅ e j40,4
I1 =
R + jωL
329, 5 ⋅ e j72,3°
°
= 2, 48A ⋅ e j58,1
I2 =
3. Rücktransformation:
i1 = 2, 61A ⋅ sin(ωt + 40, 4° ),
i2 = 2, 48A ⋅ sin(ωt + 58, 1° ),
i3 = 0, 79A ⋅ sin(ωt − 31, 9° )
39
B.9 Nicht sinusf¨
ormiger Spannungsverlauf an L- und C-Gliedern
Einzelne Berechnungen für die verschiedenen spektralen Anteile von u:
U 0 = 2V ⋅ e j⋅0 = 2V
ω0 = 0Hz
U 2 = 9V ⋅ e
j⋅ π2
= j ⋅ 9V
ω2 = 62, 8Hz
U 4 = 6V ⋅ e
j⋅0
= 6V
ω4 = 125, 7Hz
U 5,cos = 3V ⋅ e
j⋅ π2
= j ⋅ 3V
U 5,sin = 3V ⋅ e
j⋅0
= 3V
U 5 = (1 + j) ⋅ 3V = 3V ⋅ √2e
ω5,cos = 157, 1Hz
ω5,sin = 157, 1Hz
j⋅ π4
= 4, 24V ⋅ e
j⋅ 4π
ω5 = 157, 1Hz
U 5 durch Zusammenfassung von U 5,cos und U 5,sin , die zur gleichen Frequenz ω5 = ω5,cos = ω5,sin
gehören.
Dann ist
= 0A
I2 =
U0
Z0
U2
Z2
I4 =
U4
Z4
= j ⋅ 9, 30mA = 9, 30mA ⋅ e j 2
I5 =
U5
Z5
= 9, 46mA ⋅ e j( 4 + 2 ) = 9, 46mA ⋅ e j 4
Z 0 = jω0 L − j ω1C = − j∞Ω
I0 =
Z 2 = jω2 L − j ω1C = j(75, 36 − 159235, 67)Ω
0
2
= −56, 55µA
= − j ⋅ 159160, 31Ω
Z 4 = jω4 L − j ω1C = j(150, 79 − 795, 78)Ω
4
π
= − j ⋅ 644, 99Ω
Z 5 = jω5 L − j ω1C = j(188, 50 − 636, 62)Ω
5
π
π
3π
= − j ⋅ 448, 12Ω
Daraus ergibt sich i(t) = −56, 55µA ⋅ sin(2π ⋅ 10Hz ⋅ t) + 9, 30mA ⋅ sin(2π ⋅ 20Hz ⋅ t + 90 ° )
+9, 46mA ⋅ sin(2π ⋅ 25Hz ⋅ t + 135° )
uL und uC aus der Spannungsteilerregel: U L,k =
k ∈ {0, 2, 4, 5}.
U L,0 = 0V
jωk L
Zk
⋅ U k , U C,k =
1
jωkC⋅Zk
⋅ U k = U k − U L,k für
U C,0 = 2V
j ⋅ 75, 36Ω
⋅ j ⋅ 9V = − j ⋅ 4, 26mV
U C,2 = j ⋅ 9V + j ⋅ 4, 26mV = j ⋅ 9, 00426V
− j ⋅ 159160, 31Ω
j ⋅ 150, 79Ω
⋅ 6V = −1, 40V
U C,4 = 6V + 1, 40V = 7, 40V
U L,4 =
− j ⋅ 644, 99Ω
5π
π
5π
π
j ⋅ 188, 50Ω
U L,5 =
⋅ 4, 24V ⋅ e j⋅ 4 = 1, 78V ⋅ e j⋅ 4 U C,5 = 4, 24V ⋅ e j⋅ 4 − 1, 78V ⋅ e j⋅ 4
− j ⋅ 448, 12Ω
U L,2 =
π
π
= 4, 24V ⋅ e j⋅ 4 + 1, 78V ⋅ e j⋅ 4
π
= 6, 02V ⋅ e j⋅ 4
Daraus ergeben sich
uL (t) = −4, 26mV ⋅ cos(2π ⋅ 10Hz ⋅ t) − 1, 40V ⋅ sin(2π ⋅ 20Hz ⋅ t) − 1, 78V ⋅ sin(2π ⋅ 25Hz ⋅ t + 45 ° )
uC (t) = 9, 00426V ⋅ cos(2π ⋅ 10Hz ⋅ t) + 7, 40V ⋅ sin(2π ⋅ 20Hz ⋅ t) + 6, 02V ⋅ sin(2π ⋅ 25Hz ⋅ t + 45 ° )
40
C Wiederholungsaufgaben zur Mathematik (ohne Lo¨sungen)
C.1
Differentialrechnung
1. Wie ist der Grenzwert lim g(x) definiert?
x→x0
2. Wie ist die Ableitung f ′(x0 ) einer Funktion f : R → R in einem Punkt x0 definiert?
3. Zeigen Sie mit Hilfe der Definitionen, daß für die Funktion f mit f (x) = x 2 in jedem Punkt
x0 ∈ R gilt f ′(x0 ) = 2x0 .
4. Wie lauten die wichtigsten Rechenregeln für die Ableitung: Wie ergeben sich ( f + g)′,
(c ⋅ f )′, ( f ⋅ g)′ und ( f ° g)′ für f , g : R → R und c ∈ R?
C.2
Integralrechnung
b
1. Wie ist das bestimmte Integral ∫a f (x)dx einer Funktion f : R → R in den Grenzen von
a ∈ R bis b ∈ R definiert?
2. Wie lautet der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung?
3. Was bezeichnet das unbestimmte Integral ∫ f (x)dx? Wie läßt es sich zur Berechnung eines
bestimmten Integrals anwenden?
π
4. Berechnen Sie ∫0 cos xdx!
5. Wie lauten die wichtigsten Rechenregeln für Integrale: Wie ergeben sich ∫( f + g)(x)dx
b
b
(bzw. ∫a ( f + g)(x)dx) und ∫(c ⋅ f )(x)dx (bzw. ∫a (c ⋅ f )(x)dx) für f , g : R → R und c ∈ R?
C.3
Logarithmen
1. Wie ist logb a definiert?
2. Wie läßt sich logb a berechnen, wenn logc x für alle x bekannt ist?
3. Wie lassen sich logb (a1 ⋅ a2 ), logb (az1 ) und logb aa12 mit Hilfe von logb a1 und logb a2 berechnen?
41