Didaktik der Bruchrechnung
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Didaktik der Bruchrechnung Die Addition und Multiplikation und ihre Probleme Addition • Anschauliche Wege zur Addition 1 m 7 P90-93 2 m 7 1 2 3 m+ m = m 7 7 7 2 Addition • Kästchenmethode P90-93 3 Addition • Systematisches Vorgehen - Das Aufsuchen einer gemeinsamen Unterteilung auf der Ebene der Repräsentanten entspricht auf der Ebene der konkreten Brüche dem Gleichnamig machen. - Finden der gröbsten gemeinsamen Unterteilung dient der Vorbereitung des kgV. - Übergang von den Konkreten Brüchen zu Brüchen ohne m p m + p Maßeinheit n P90-93 E + n ↓ E = m p m + p + = n n n n E 4 Addition • Gemischte Zahlen • These: Gemischte Zahlen erleichtern die Addition von Brüchen größer als eins und machen die Rechnung übersichtlicher ?! • These: Gemischte Zahlen gefährden das Verständnis in späteren Schuljahren. P90-93 5 Addition • Probleme a c a+b + = b d c+d Problembereiche (richtige Lösungen) 2 1 3 + = 5 3 8 Klassenstufe 6/7 8-10 Addition gleichnamiger Brüche Gleichnamig machen Gemischte Zahlen Umwandelbarkeit Kürzbarkeit 90% 80% 90% 80% 60% 90% 90% 90% 80% 70% nach Löcher: vgl.: P100 P90-93 6 Addition / Multiplikation Problembereiche der Addition und Multiplikation P102,116 7 Multiplikation • Bsp: Wie viel sind zwei Drittel von 36 Äpfeln? F: Also da rechne ich die Hälfte von 36 Äpfeln [...] F: Da würde ich von 18 nochmal durchteilen, und da kommt dann 3 mal 6 raus. Dann mein ich, dann hätt' ich das Drittel von 36. I: Warum teilst du erst mal 36 : 2? Vielleicht schreibst du es noch mal hin, dann können wir das noch mal sehen. F: Weil dann hab ich schon die Hälfte. I: Hm, dann hast du die Hälfte. Und dann? F: 36 : 2 I: Ja F: Und dann teile ich 18 durch 3, und dann meine ich, ich hätte dann – also die 6 sind zwei Drittel von 36. 8 Multiplikation 9 Multiplikation • Nat. Zahl mal Bruch n − mal p p p p p + p + ... + p n ⋅ p n ⋅ = + + ... + = = q q q q q q n − mal • Bruch mal Nat. Zahl p p n⋅ p p⋅ n ⋅ n = n⋅ = = q q q q 4 von 5 5 10 Multiplikation • Probleme Multiplikation gleichnamiger Brüche a c a⋅c ⋅ = b b b a c a⋅c ⋅ = b b b+b Multiplikation ungleichnamiger Brüche a c a⋅c ⋅ = b d b a c a⋅c ⋅ = b d b+d 11 Multiplikation • Probleme Multiplikation Bruch mit nat. Zahl a n⋅c n⋅ = b n ⋅b a a⋅n ⋅n = b b⋅n 12 Didaktik der Bruchrechnung Dezimalbruch und gemeiner Bruch im Vergleich Dezimalbruchrechnung • Vergleich von Gemeinen Brüchen und Dezimalbrüchen • Vor- und Nachteile für Schüler (Schülervorstellungen) • Typische Schülerfehler 14 Dezimalbruchrechnung • Pro Gemeiner Bruch – G. Brüche lassen sich leichter erstellen und veranschaulich – Brüche wie 1/3 und 1/6 sind leichter verständlich als die gleichwertige Dezimalzahl – Problem der unendlichen Dezimalbrüche wird verschoben – mit den Rechenregeln für g. Brüche lassen sich die der Dezimalbrüche anschaulich begründen – stets exaktes Rechnen, keine Notwendigkeit von Rundungen – kleiner Rechenaufwand bei Multiplikation und Division P187-ff • Pro Dezimalbruch – im Alltag werden beim Rechnen ausschließlich Dezimalbrüche verwendet – großer Erfahrungsschatz der Schüler – natürliche Erweiterung der bekannten Stellenwertschreibweise – eindeutige Schreibweise für Bruchzahlen – die Rechenregeln stimmen mit denen der nat. Zahlen überein – kein „künstlich“ eingeführtes Schreibund Begriffssystem 15 Dezimalbruchrechnung Gemeiner Bruch Dezimalbruch 1. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. Größenvergleich durch Hauptnennerbestimmung Kürzen Erweitern Addition Subtraktion Multiplikation Division 2. 3. 4. 5. 6. 7. Keine Rechnung nötig für Ordnung nach Größe 0,750 = 0,75 0,75 = 0,750 0,875 + 0,4 = 1,275 0,875 – 0,4 = 0,475 höherer Rechenaufwand 16 Dezimalbruchrechnung Ist 3,45 = drei Komma fünfundvierzig ?? • Unbedingt vermeiden, da es zu Fehlvorstellungen führt – Größenvergleich – Erweitern – Addieren und Subtrahieren – Den Stellen rechts vom Komma wird je Anzahl der Dezimalen ein anderer „Scheinstellenwert“ gegeben • 0,5 Null Komma fünf • 0,51 Null Komma Einundfünfzig • 0,521 Null Komma Fünfhunderteinundzwanzig • Daher ziffernweise Sprechweise 17 Dezimalbruchrechnung • Komma-Trennt-Vorstellung (KT) – Komma trennt zwei verschiedene Größeneinheiten – Bsp. 12,45m =12m und 45cm – Verfestigung zur Teilung durch das Komma in zwei Zahlen ⇒ Problem beim Rechnen und Größenvergleich Bsp.2,3·4,5=8,15 oder 2,7+3,14=5,21 2,2 < 2,13 oder 5,41 < 5,117 18 Dezimalbruchrechnung • Kein-Komma-Vorstellung (KK) – Schüler lassen das Komma weg und fassen den Dezimalbruch als eine natürliche Zahl auf • Fehlerhafter Transfer bei der Übertragung der dezimalen Stellenschreibweise von den natürlichen Zahlen auf Dezimalbrüche – In N stehen die Zehner an 2., die hunderter an 3.Stelle.. – Bei Dezimalbrüchen dagegen die Zehntel an 1., usw... 19
