Aufgabe 1 Aufgabe 2

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◮ Geometrie in der Ebene | Kreis | Geraden und Winkel am Kreis
Lösungsblatt (ausführlich)
Aufgabe 1
◮ Tangenten und Sekanten kennzeichnen
Tangenten sind Geraden, die einen Kreis
an einem Punkt berühren.
Sekanten schneiden einen Kreis genau zweimal.
Tangente
Sekante
Aufgabe 2
◮ Bestimme den Winkel γ
C
Der Peripheriewinkel ist der Winkel, der gegenüber der
Kreissehne s auf dem Kreisbogen liegt. D.h. bei dieser
β
Figur ist das der Winkel β. Er ist halb so groß wie der Mittelpunktswinkel.
Berechne im 1. Schritt β, um anschließend im 2. Schritt
M
γ berechnen zu können. Verwende dafür die Innenwinkelsumme eines Dreiecks.
130°
γ
γ
A
s
B
1. Schritt: β bestimmen
β=
130◦
Mittelpunktswinkel
=
2
2
2. Schritt: γ bestimmen
= 65◦
In einem Dreieck ist die Summe der Innenwinkel immer 180◦ . Weiterhin handelt es sich hier
um ein gleichschenkliges Dreieck, d.h. die zwei Basiswinkel sind identisch.
Somit folgt:
180◦ =β + 2 · γ
|
180◦ =65◦
| −65◦
+2·γ
2 · γ=115◦
|:2
γ=57, 5◦
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Aufgabe 3
◮ Winkel α, β, γ, δund ϵ bestimmen
Bei dieser Figur beträgt der Mittelpunktswinkel 180◦ .
Die Kreissehne ist die Strecke AB. Somit ist der Pe-
C
ripheriewinkel ϵ + 70◦ .
Berechne im 1. Schritt ϵ.
Da sowohl die Strecke AM als auch die Strecke MC
dem Radius des Kreises entsprechen, handelt es
sich bei dem Dreieck AMC um ein gleichschenkliges Dreieck.
A
α
β
γ
180°
δ
B
Berechne damit im 2. Schritt α und β, um im 3.
Schritt γ berechnen zu können.
Im letzten Schritt kannst du jetzt δ mit der Innenwinkelsumme eines Dreiecks bestimmen.
1. Schritt: ϵ bestimmen
Peripheriewinkel:
180◦
Mittelpunktswinkel
= 90◦ .
2
2
Alternativ hättest du den Peripheriewinkel auch mit dem Satz des Thales herleiten können,
ϵ + 70◦ =
=
der besagt, dass alle Winkel in einem Halbkreisbogen rechte Winkel sind.
Daraus ergibt sich für ϵ:
ϵ = 90◦ − 70◦ = 20◦
2. Schritt: α und β bestimmen
Da AM = MC gilt, handelt es sich bei dem Dreieck AMC um ein gleichschenkliges Dreieck
mit den Basiswinkeln α und ϵ.
Somit folgt:
ϵ = α = 20◦ .
Weiterhin beträgt die Summe der Innenwinkel in einem Dreieck immer 180◦ :
α + ϵ + β=180◦
20◦ + 20◦ + β=180◦
| −40◦
β=140◦
3. Schritt: γ berechnen
β und γ ergeben zusammen einen Halbkreis:
β + γ=180◦
140◦ + γ=180◦
| −140◦
γ=40◦
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4. Schritt: δ bestimmen
Mit der Innenwinkelsumme des Dreiecks MBC ergibt sich:
70◦ + γ + δ=180◦
70◦ + 40◦ + δ=180◦
| −110◦
δ=70◦
Zusammengefasst ergibt das:
ϵ = α = 20◦
β = 140◦
γ = 40◦
δ = 70◦
Aufgabe 4
◮ Schaubild anhand bestimmter Angaben zeichnen und die Lage der Geraden
überprüfen
die Gerade g ist eine Tangente, da sie
y
den Kreis an genau einem Punkt berührt.
7
Bei der Geraden f handelt es sich um
6
eine Sekante, da sie zwei Schnittpunkte
mit dem Kreis aufweist.
5
b
4
b
A
b
C
b
3
b
B
g
D
ƒ
M
r
2
1
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