Lösungsvorschläge Aufgabe 1 und 2
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Aufgaben zum 07. Mai 2009 - Lösungsvorschläge 1. a) Peter zählt seine Münzen. Es sind vier 2-Euro-Münzen. Die dritte kommt aus Spanien. Jede wiegt 5,7 g. Zusammen wiegen sie 4 · 5,7 g = 22,8 g. Um seinem Freund mitzuteilen, dass er eine spanische Münze hat, ruft er die Telefonnummer 2872316 3-mal an, ohne den Freund zu erreichen. In diesem Satz finden sich verschiedene Zahlaspekte. Ordnen Sie jeder Zahl den zutreffenden Aspekt zu. vier 2 die dritte 5,7 4⋅ 5,7 22,8 2872316 3-mal b) Kardinalzahlaspekt Maßzahlaspekt Ordinalzahlaspekt Maßzahlaspekt Operatoraspekt Maßzahlaspekt Maßzahlaspekt Codierungsaspekt Operatoraspekt Stellen Sie in je zwei Zeichnungen die Subtraktion 8 – 3 mit Materialien dar, die den Kardinalzahlaspekt, den Ordinalzahlaspekt, den Maßzahlaspekt enthalten. Kardinalzahlaspekt: Ordinalzahlaspekt 1 2 3 4 5 Maßzahlaspekt Cuisenaire-Stäbe 6 7 8 2. Die Addition natürlicher Zahlen ist folgendermaßen definiert: Die Summe a + b zweier natürlicher Zahlen wird definiert durch die Rekursion a + 1 = a’ a + b’ = (a + b)’ n’ bedeutet dabei jeweils den Nachfolger von n. Die wichtigsten Rechenregeln in IN sind für die Addition (1) a = b ⇒ a + c = b + c schwaches Monotoniegesetz (2) a + b = b + a Kommutativgesetz (3) a + ( b + c ) = ( a + b ) + c Assoziativgesetz (4) a < b ∧ b < c ⇒ a < c Transitivitätsgesetz (5) a < b ⇒ a + c < b + c starkes Monotoniegesetz (6) a + c = b + c ⇒ a = b Kürzungsregel (7) a + c < b + c ⇒ a < b Kürzungsregel a) Beweisen Sie die Rechenregel 3 durch vollständige Induktion. Ind.Anf.: für c = 1 gilt nach der Nachfolgerbeziehung und der Definition der Addition a + (b + 1) = a + bʼ = (a + b)ʼ = (a + b) + 1 Ind.Vor.: für c = n gilt a + (b + n) = (a + b) + n Ind.Beh.: für c = nʼ gilt a + (b + nʼ) = (a + b) + nʼ Ind.Schluss: a + (b + nʼ) = a + (b + n)ʼ = (a + (b + n))ʼ = ((a + b) + n)ʼ = (a + b) + nʼ b) Beweisen Sie die Rechenregel 7 durch indirekten Beweis (auch unter Verwendung vorhergehender Regeln). Angenommen es gelte a + c < b + c , aber nicht a < b . ⇒ a = b oder a > b wegen der Trichotomie ⇒ oder a+c=b+c wegen des Gesetzes (1) a+c>b+c wegen des Gesetzes (5) im Widerspruch zur Voraussetzung a + c < b + c .
