Dynamik geradliniger Bewegungen

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Dynamik der geradlinigen Bewegungen: Kraft und Masse
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Dynamik der geradlinigen Bewegungen: Kraft und Masse
Physik
I. Mechanik
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In der Kinematik werden Bewegungen durch die Größen Ort, Geschwindigkeit und Beschleunigung in Abhängigkeit von der Zeit durch Bewegungsgleichungen genannte Funktionen beschrieben.
In der Dynamik (dynamis, griech.: Kraft) wird untersucht, wie die verschiedenen Bewegungsformen zustande kommen. Dazu werden die Kräfte als Wechselwirkung der Umgebung
mit dem bewegten Körper und der Masse des Körpers als seine die Bewegung beeinflussende
Eigenschaft betrachtet.
Sir Isaac Newton (1643-1727) fasste die Erfahrungen und Erkenntnisse in drei als Axiome bezeichneten Grundsätze zusammen.
5.1
Erstes Newtonsches Gesetz
5.1.1
Trägheitsprinzip
Alle Körper sind träge: Jeder Körper behält genau dann seinen Bewegungszustand der gleichförmigen geradlinigen Bewegung bei, wenn keine äußeren Kräfte auf ihn einwirken oder wenn
die resultierende Gesamtkraft als Summe der auf ihn einwirkenden äußeren Kräfte gleich Null
ist.
v = konstant ⇔ ( a = 0 ) ⇔ F = 0
Also gilt auch:
v ≠ konstant ⇔ a ≠ 0 ⇔ F ≠ 0
Somit: Um die Geschwindigkeit eines Körpers zu ändern, ist eine Kraft erforderlich. Die Ursache einer beschleunigenden Bewegung ist eine Kraft. Zur Aufrechterhaltung einer geradlinigen
gleichförmigen Bewegung ist keine Kraft notwendig.
Kräfte ändern den Bewegungszustand eines Körpers (dynamische Kraftwirkung) oder verformen einen Körper (statische Kraftwirkung).
5.1.2
Sonderfall der Ruhe
Ein ruhender Körper bleibt im Zustand der Ruhe mit v = 0 , solange auf ihn keine äußeren
Kräfte einwirken oder die resultierende Gesamtkraft als Summe der auf ihn einwirkenden äußeren Kräfte gleich Null ist.
5.2
Zweites Newtonsches Gesetz
5.2.1
Vorkenntnis
Eine konstante beschleunigende Kraft bewirkt bei einem Körper mit gleichbleibender Masse
eine konstante Beschleunigung.
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Folge: In diesem Fall genügt zur Bestimmung der Beschleunigung eine Orts- und zugehörige
Zeitmessung.
Beispiele: Schiefe Ebene (Fahrbahnversuch), Fall- und Wurfbewegungen
5.2.2
Versuchsaufbau
Um den Zusammenhang zwischen einer beschleunigenden Kraft F , der durch sie hervorgerufenen Beschleunigung a und der beschleunigten Masse m zu untersuchen, verwendet man
eine horizontale Luftkissenfahrbahn.
F
G
K
(Spannungsquelle)
In Schalterstellung I wird der Fahrbahngleiter G durch den Elektromagneten am Startpunkt
festgehalten. Wird der Schalter in die Stellung II gebracht, starten gleichzeitig Gleiter G, angehängte Massestücke K und Uhr. Fährt der Gleiter durch die Lichtschranke, dann wird die
Uhr gestoppt. Die Uhr zeigt somit die Zeit t an, welche der Gleiter für den vom Start bis zur
Lichtschranke zurückgelegten Weg x benötigt hat.
Der Gleiter G wird durch die Schwerkraft (Gewichtskraft, Erdanziehungskraft, Gravitationskraft) der am Ende eines Fadens hängenden Massestücke K beschleunigt. Diese Gewichtskraft liefert nach Umlenkung mit Hilfe einer nahezu reibungsfreien Rolle die beschleunigende
Kraft F parallel zur Luftkissenfahrbahn. Die Reibung zwischen Gleiter und Fahrbahn ist vernachlässigbar klein.
Zu beachten ist, dass der beschleunigte Körper sich aus Gleiters G und Massestücke K zusammensetzt. Einflüsse durch den auch mit beschleunigten Faden und durch die rotierende Rolle
können vernachlässigt werden.
5.2.3
Grundgleichung der Mechanik: Kraftgesetz als Zusammenhang zwischen Beschleunigung, beschleunigender Kraft und beschleunigter Masse
Ein und derselbe Körper wird von verschiedenen Kräften beschleunigt.
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Messung Nr.
Kraft F
Ort x in m
Zeit t in s
2x m
a = 2 in 2
t
s
1
einfach
Im Rahmen der Messgenauigkeit gilt:
2
doppelt
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3
vierfach
F
= konstant
a
⇒ F~a
⇒ F = m ⋅ a mit m = konstant
Die Proportionalitätskonstante m ist vom beschleunigten Körper abhängig und heißt Masse.
Die Einheiten sind so festgelegt, dass gilt: N = kg ⋅
5.2.4
m
s2
Kraftgesetz als Grundgleichung der Mechanik
F = m⋅a
Vektorielle Schreibweise:
5.2.5
F = m⋅a
Trägheitssatz als Sonderfall der Grundgleichung
F = m⋅a
F = 0 ⇔ a = 0 ⇔ v = konstant
5.3
Drittes Newtonsches Gesetz
5.3.1
Wechselwirkungsprinzip
Reaktionsprinzip: actio = reactio
Eine Kraft, die auf einen Körper wirkt, geht immer von einem anderen Körpern aus.
Kräfte treten immer paarweise als Wechselwirkung zwischen zwei Körpern auf: Wirkt auf einen Körper A eine durch einen Körper B hervorgerufene Kraft FA , so wirkt der Körper A auf
den Körper B mit einer betragsmäßig gleichgroßen, aber entgegengesetzt gerichteten Gegenkraft FB = − FA .
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FB←A = − FA←B
FA←B
A
5.3.2
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B
Kräftegleichgewicht
Zu beachten ist, dass Kraft und Gegenkraft stets an zwei verschiedenen Körpern angreifen. Sie
dürfen deshalb begrifflich nicht verwechselt werden mit zwei betragsmäßig gleichgroßen, entgegengesetzt gerichteten Kräften, die am selben Körper K angreifen und sich gegenseitig aufheben: Kräftegleichgewicht mit Kraft und Kompensationskraft.
Kraft und Gegenkraft greifen an zwei verschiedenen Körpern an. Sie halten sich also nicht das
Gleichgewicht. Nur Kräfte, die am gleichen Körper angreifen, können sich das Gleichgewicht
halten.
F2 = − F1
F1
K
5.4
Anwendungen des Kraftgesetzes
5.4.1
Gewichtskraft und Fallbeschleunigung
Die beim freien Fall eines Körpers der Masse m auftretende Fallbeschleunigung g wird verursacht durch die auf den Körpers einwirkende Gewichtskraft (Erdanziehungskraft, Schwerkraft,
Gravitationskraft) FG .
Gewichtskraft = Masse × Fallbeschleunigung
vektoriell:
FG = m ⋅ g
Betrag:
FG = m ⋅ g
In Mitteleuropa erfährt ein Körper der Masse m = 1,00 kg die Gewichtskraft vom Betrag
m
FG = mg = 1,00 kg ⋅ 9,81 2 = 9,81 N . Ein Körper vom Gewicht FG = 1,00 N besitzt die Masse
s
FG 1,00 N
m=
=
= 0,102 kg = 102 g .
m
g
9,81 2
s
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5.4.2
Physik und Geometrie der schiefen Ebene ohne und mit Reibung
Eine Körper der Masse m gleitet ohne Anfangsgeschwindigkeit und ohne Eigenantrieb eine
schiefe Ebene hinab.
m
h
b
Vektorgleichung:
FH = FG + FN
Gewichtskraft:
FG = m ⋅ g
Betragsgleichungen:
sin α =
FH
FG
FH = FG ⋅ sin α = m ⋅ g ⋅ sin α = m ⋅ g ⋅
cos α =
h
ℓ
FN
FG
FN = FG ⋅ cos α = m ⋅ g ⋅ cos α = m ⋅ g ⋅
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b
ℓ
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Zusammenhang zwischen Steigung und Neigungswinkel:
Steigung = tan α =
Pythagoras:
h2 + b2 = ℓ2
Reibungskraft:
FR ∼ FN
h
b
b
ℓ
µ = Reibungszahl; [ µ ] = 1
FR = µ ⋅ FN = µ ⋅ FG ⋅ cos α = µ ⋅ m ⋅ g ⋅ cos α = µ ⋅ m ⋅ g ⋅
(1) Betrachtung ohne Reibung: Mathematisch-theoretische Berechnung der Beschleunigung
ohne Berücksichtigung der Reibung:
Kraftansatz ohne Reibung:
FH = m ⋅ aT
Beschleunigung:
h

 m⋅ g ⋅ ℓ
h
= g⋅
FH FG ⋅ sin α m ⋅ g ⋅ sin α 
aT =
=
=
= 
m
ℓ
m
m
m

h
 g ⋅ sin α = g ⋅

ℓ
(2) Betrachtung mit Reibung:
Experimentelle Bestimmung der Beschleunigung mit Berücksichtigung der Reibung:
Kraftansatz mit Reibung:
FH + FR = m ⋅ aE
Beschleunigung:
aE =
(3) Aussagen zur Reibung:
Vergleich von reibungsfreier Rechnung und experimentell
untersuchter Bewegung:
Berechnung der Reibungskraft:
FH + FR = m ⋅ aE
2x
x = Beschleunigungstrecke
t2
t = Beschleunigungszeit
FR = m ⋅ aE − FH = m ⋅ aE − m ⋅ aT = m ⋅ ( aE − aT ) < 0
<0
 2 x gh 
FR = m ⋅  2 − 
ℓ 
t
Betrag der Reibungskraft:
FR = m⋅ | aE − aT |= m ⋅ ( aT − aE ) > 0
<0
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FR
m ⋅ ( aT − aE )
b
m⋅ g ⋅
ℓ
h 2x
g⋅ − 2
a − aE
ℓ t
= T
=
b
b
g⋅
g⋅
ℓ
ℓ
Reibungszahl:
µ=
Folgerungen:
h 2x
h 2x
g⋅ − 2
g⋅ − 2
ℓ t
µ= ℓ t =
b
ℓ2 − h2
g⋅
g
⋅
ℓ
ℓ
5.4.3
FN
=
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Reibungskraft bei schiefer und horizontaler Ebene
ALLGEMEINER FALL: SCHIEFE EBENE
FR ~ FN
FR = µ ⋅ FN = µ ⋅ FG ⋅ cos α = µ ⋅ m ⋅ g ⋅ cos α = µ ⋅ m ⋅ g ⋅
b
ℓ
SONDERFALL: HORIZONTALE EBENE
α = 0° ⇒ cos 0° = 1 ⇒ FR = µ ⋅ FG ⋅ 1 = µ ⋅ FG = µ ⋅ m ⋅ g
5.4.4
Aufgabe: Bewegung längs einer schiefen Ebene
Die bei der beschleunigten Bewegung eines Körpers der Masse m = 0,48 kg auf einer schiefen
Ebene auftretende Reibung soll durch den Vergleich zwischen einer mathematisch-theoretischen Berechnung und einer experimentellen Messung untersucht werden.
Für die Abmessungen der schiefen Ebene gilt: die Höhe beläuft sich auf h = 10 cm , die Länge
der Hangstrecke von A nach B beträgt ℓ = 1,96 m .
Der betrachtete Körper besitzt keinen Eigenantrieb und startet im Punkt A mit der Ortskoordinate x = 0 m zum Zeitpunkt t = 0 s aus der Ruhe heraus.
1.0
Vernachlässigen Sie bei der folgenden mathematisch-theoretischen Betrachtung des
Bewegungsablaufs die Reibung.
1.1
Fertigen Sie für die auf den Körper einwirkenden Kräfte einen beschrifteten Kräfteplan
an.
1.2
Berechnen Sie den Betrag a1 der bei der reibungsfrei angenommenen Bewegung auftretende theoretische Beschleunigung.
m 

 Ergebnis : a1 = 0,50 2 
s 

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2.0
Bei der Versuchsdurchführung wird nun die Reibung berücksichtigt. Die experimentell
ermittelten Daten sind in folgender Messwertetabelle zusammengefasst:
Messung Nr.
Ort x in m
Zeit t in s
0
0
0
1
0,50
2,4
2
1,00
3,3
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3
1,50
4,1
4
1,96
4,7
2.1
Zeigen Sie durch eine geeignete rechnerische Auswertung der Messwertetabelle, dass
der Körper eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung ausführt. Berechnen Sie den
Betrag a2 der bei der Versuchsdurchführung tatsächlich auftretenden Beschleunigung
des Körpers.
m 

 Ergebnis : a2 = 0,18 2 
s 

2.2
Begründen Sie allgemein, dass die betrachtete Bewegung des Körpers genau dann
gleichmäßig beschleunigt ist, wenn man die während des Bewegungsablaufs auftretende Reibung als konstant annimmt.
2.3
Berechnen Sie die Koordinate FR der während der Bewegung auf den Körper einwirkenden Reibungskraft.
2.4
Ermitteln Sie die Reibungszahl µ .
LÖSUNG:
1.1
Kräfteplan
1.2
Mathematisch-theoretische Berechnung der Beschleunigung ohne Berücksichtigung
der Reibung:
FH = m ⋅ a1
FG ⋅ sin α = m ⋅ a1
m ⋅ g ⋅ sin α = m ⋅ a1
h
m ⋅ g ⋅ = m ⋅ a1
ℓ
h
m 0,10 m
m
a1 = g ⋅ = 9,81 2 ⋅
= 0,50 2
ℓ
s 1,96 m
s
2.1
Experimentelle Ermittlung der Beschleunigung mit Berücksichtigung der Reibung:
a2 = 2 ⋅
2.2
x
m
= 0,18 2
2
t
s
Die bewegungsverursachende resultierende Gesamtkraft aus konstanter Hangabtriebskraft und konstanter Reibungskraft sowie die Masse des bewegten Körpers sind konstant. Damit ist auch die Beschleunigung als Quotient aus bewegungsverursachender
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Gesamtkraft und Masse konstant. Eine Bewegung mit konstanter Beschleunigung
nennt man gleichmäßig beschleunigt.
2.3
Reibungskraft
FH + FR = m ⋅ a2
FR = m ⋅ a2 − FH = m ⋅ a 2 − m ⋅ a1 = m ⋅ (a2 − a1 ) = 0,48 kg ⋅ (0,18 − 0,50)
2.4
m
= − 0,15 N
s2
Reibungszahl
FR
µ=
FR
5.4.5
=
FR ⋅ ℓ
=
b m ⋅ g ⋅ ℓ2 − h2
ℓ
0,15 N ⋅ 1,96 m
=
= 0, 032
m
0, 48 kg ⋅ 9,81 2 ⋅ (1,96 m) 2 − (0,10 m)2
s
FN
=
m⋅ g ⋅
Horizontale Fahrbahn
m1
R
A
B
x
m2
h=x
Boden
m1 = 0,088 kg
m2 = 0, 012 kg
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Mathematisch-theoretische Betrachtung ohne Berücksichtigung der Reibung:
FoR = m ⋅ aoR
m2 ⋅ g = (m1 + m2 ) ⋅ aoR
m
m ⋅g
s 2 = 1,18 m
= 2
=
m1 + m2 0,088 kg + 0,012 kg
s2
0,012 kg ⋅ 9,81
aoR
Experimentelle Durchführung mit Berücksichtigung der Reibung:
x in m
t in s
x
m
in 2
2
t
s
0
0
0,250
0,684
0,500
0,967
0,750
1,18
1,000
1,37
---
0,534
0,535
0,539
0,533
Im Rahmen der Messgenauigkeit gilt:
⇒ amR = konstant mit a mR =
2x
=
t2
x
= konstant
t2
2 ⋅ (0,534 + 0,535 + 0,539 + 0,533)
4
m
s 2 = 1,07 m
s2
FmR = m ⋅ amR
FoR + FR = m ⋅ amR
m2 ⋅ g − µ ⋅ m1 ⋅ g = (m1 + m2 ) ⋅ amR
µ ⋅ m1 ⋅ g = m2 ⋅ g − (m1 + m2 ) ⋅ amR
m ⋅ g − (m1 + m2 ) ⋅ amR
µ= 2
=
m1 ⋅ g
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0, 012 kg ⋅ 9,81
m
m
− (0, 088 kg + 0, 012 kg) ⋅ 1, 07 2
2
s
s = 0, 012
m
0,088 kg ⋅ 9,81 2
s
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5.4.6
Atwood-Fallmaschine
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x
F = m⋅a
Wenn man die Reibung vernachlässigt, ergibt sich:
m * ⋅g = (2 ⋅ M + m*) ⋅ a
(m1 − m2 ) ⋅ g = (m1 + m2 ) ⋅ a
oder:
(1) Bestimmung der Fallbeschleunigung:
g=
2⋅ M + m*
⋅a
m*
oder:
Experimentelle Bestimmung liefert: a =
g=
m1 + m2
⋅a
m1 − m2
g=
m1 + m2 2 x
⋅
m1 − m2 t 2
2x
t2
Fallbeschleunigung als Folgerung:
g=
2 ⋅ M + m * 2x
⋅ 2
m*
t
oder:
(2) Vergleich der reibungsfreien Berechnung der Beschleunigung mit der experimentell bestimmten Beschleunigung:
Berechnung:
aRechnung =
m*
⋅g
2⋅ M + m*
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oder:
aRechnung =
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m1 − m2
⋅g
m1 + m2
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Experiment: aExperiment =
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2x
t2
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