Lösungsblatt 01

Lösungsblatt 01
Mechanik (Physik, Wirtschaftsphysik, Physik Lehramt)
Wolfgang v. Soden ([email protected])
23. 10. 2007
1 Mathematische Aufgaben (3P)
1.
a)
−1
dq(k)
5(2−k) ln (5)
= 12 k 3 −
dk
(2 − k)2
b)
∂v(r,k)
r2 k
2
= −v0 sin r arcsin (kr) 2 r arcsin (kr) + √
∂r
1 − k2 r2
v0 sin r2 arcsin (kr) r3
∂v(r,k)
√
=−
∂k
1 − k2 r2
dv(r,k) =
∂v(r,k)
∂v(r,k)
dr +
dk
∂r
∂k
r2 k
dv(r,k) = − v0 sin r arcsin (kr) 2 r arcsin (kr) + √
dr
1 − k2 r2
v0 sin r2 arcsin (kr) r3
√
−
dk
1 − k2 r2
2
2.
a)
−2 K sin (τ0 ω) + ln τ0 2 + t0 2 ω − 2 K sin (ω τ ) − ln τ 2 + t0 2 ω
f (τ ) = −1/2
ω
b)
−i eixπ − 1 e−iπ x
q=
x
3.
a)
r 1 · r 2 = ad + be + cf
b)

bf − ce




cd
−
af
r1 × r2 = 


ae − bd
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c)

ce − bf




r2 × r1 = 
 af − cd  = −r 1 × r 2
bd − ae
d)
(r 1 × r 2 ) · r 3 = aep − af h + bf g − bdp + cdh − ceg
2 Messwerte (simuliert) (2P)
Formeln:
1. Mittelwert
PN
y=
i=1 yi
N
2. Standardabweichung des Messwertes
v
u
u
σ=t
N
1 X
(yi − y)2
N −1
i=1
3. Standardabweichung des Mittelwertes
σm
v
u
u
=t
N
X
σ
1
(yi − y)2 = √
(N − 1) · N
N
i=1
Vorbemerkung: Die Messwerte sind aus einer Simulation mit Mittelwert 50 und
σ = 10
gewonnen.
Berechnungen:
1. 5 Werte:
d5 = 48
2. 20 Werte:
σ5 = 7, 6
d20 = 50,6
3. 100 Werte:
d100 = 49, 76
σm, 5 = 3, 4
σ20 = 8, 0
σm, 20 = 1, 8
σ100 = 10, 3
σm, 100 = 1, 03
Diskussion:
Die Genauigkeit (Standardabweichung) der Einzelmessungen ist annähernd unabhängig von
der Anzahl der Messungen, hingegen die Standardabweichung des Mittelwertes verbessert sich
durch viele Messungen: genauere Abhängigkeit siehe Formel (Wurzel der Messanzahl).
3 Fahrplan-Betrachtungen (3P)
Die Bewegung der Züge wird als eindimensional idealisiert. Da hier auch keine Kräfte berechnet
werden müssen, wird die Reibung weggelassen. Somit bleiben Weg (s), Zeit (t) und die daraus
gebildeten Gröÿen Geschwindigkeit
v(t) =
s(t)
dt
d
= ṡ
und Beschleunigung
a=
d
v
t
d
= v̇ = s̈
betrachten.
Vorüberlegungen:
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1. Während der Haltezeiten auf den Bahnhöfen gibt es keine Fortbewegung des Zuges, weshalb diese von der Gesamt(fahr)zeit abzuziehen sind.
2. Der Ort zu einer Zeit t1 wird aus der Geschwindigkeit bzw. der Beschleunigung berechnet
zu
Z
t1
Z
t1
v(τ ) · dτ = s(t0 ) +
s(t1 ) = s(t0 ) +
Z
τ
a(τ̂ ) · dτ̂
v(t0 ) +
t0
dτ
t0
t0
und die Geschwindigkeit entsprechend:
Z
t1
a(τ ) · dτ
v(t1 ) = v(t0 ) +
t0
Dabei sind die jeweiligen Anfangswerte
s0 = s(t0 )
und
v0 = v(t0 )
zum Zeitpunkt
t0
einzusetzen.
3. Beim gleichmäÿigen Beschleunigen mit der Beschleunigung
geschwindigkeit
vend
innerhalb eines Zeitintervalls
vend = a+ · ∆t+
oder
∆t+
a+
vom Stand auf eine End-
gilt:
a+ = vend /∆t+
Der dabei zurückgelegte Weg ist
1
1
s+ = a+ · ∆t+ 2 = vend · ∆t+
2
2
4. Beim gleichmäÿigen Abbremsen mit der Beschleunigung
keit
vanf
bis zum Stillstand
vend = 0
a−
von der Anfangsgeschwindig-
innerhalb eines Zeitintervalls
vend = 0 = vanf + a− · ∆t−
oder
∆t−
gilt:
a− = −vanf /∆t−
und damit ist der dabei zurückgelegte Weg
1
1
1
s− = vanf ∗ ∆t− + a− · ∆t− 2 = vanf ∗ ∆t− − vanf ∗ ∆t− = vanf ∗ ∆t−
2
2
2
also ein sehr ähnlicher Ausdruck wie beim Beschleunigungsweg (dies sind ja auch gleichartige Vorgänge).
Wenn nun, wie in dieser Aufgabe, die Endgeschwindigkeit (aus Überlegung 3) gleich der Anfangsgeschwindigkeit (aus Überlegung 4) ist und die betreenden Zeitintervalle auch gleich sind,
a+ = −a− = a
s+ = s− = s+− jeweils für beide Züge.
Der ICE fährt die ganze Strecke sg ohne Anhalten durch in der Zeit TICE . Nach der Beschleunigungsphase mit aICE innerhalb der Zeit ∆tICE folgt die Phase mit konstanter Geschwindigkeit
vICE während TICE − 2 · ∆tICE und danach die Bremsphase mit −aICE , wieder innerhalb der
Zeit ∆tICE . Der Gesamtweg ist also
so gilt hier
und
1
1
sges = vICE · ∆tICE + vICE · (TICE − 2 · ∆tICE ) + vICE · ∆tICE = vICE · (TICE − ∆tICE )
2
2
Beim Regionalexpress (RE) gilt entsprechendes: Die Gesamtfahrtdauer des RE
die Wartezeiten
Twart
TRE
ist um
auf den 9 Bahnhöfen zu vermindern. Auÿerdem gibt es 10 Phasen mit
Beschleunigungen und Bremsen (statt 1 wie beim ICE) während jeweils
∆tRE .
Der Gesamtweg
ist also - entsprechend dem beim ICE mit Modikationen:
sges =
10
10
vRE ·∆tRE +vRE ·(TRE −9·Twart −20·∆tRE )+ vRE ·∆tRE = vRE ·(TRE −9·Twart −10·∆tRE )
2
2
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TICE = 56min, TRE = 74min, Twart = 1min und ∆tICE =
∆tRE = 60s ergibt sich die Zeitklammer in der Gesamtwegberechnung bei beiden Zugarten zu 55
min. Somit haben beide die gleiche maximale Geschwindigkeit. Diese berechnet sich zu vmax =
99km
km
55min = 108 h . Brems- und Beschleunigungswege beider Zugarten und auch der Betrag aller
Beschleunigungen sind jeweils gleich. Aus vmax = a · ∆t folgt der Betrag der Beschleunigungen
1
2
zu a = 0, 5m/s und mit s+− = a · ∆t der dazugehörige Weg zu s+− = 0, 9km.
2
Mit den Angaben in der Aufgabe:
4 Entfernungen im All (2P)
1. Erdumfang
=⇒
2.
D
U
am Äquator mit Radius
Umläufe pro s
=
c
U
≈
R
= 6377 km :
= Abstand zur Sonne = 497 Lichtsekunden =
= 1,575 · 10−5 a · c = 1,575 ·
00
km
497s · c
497s·c
=
365,25 da ·24 h
·3600 hs
d
−5
11
10 Lichtjahre = 1 AE ≈ 1,5 · 10 m
Umrechnung von Sekunde (s) in Jahr (a):
3. 1 pc = 1 AE /
U = 2πR ≈ 40000
7,5s−1
(2 · tan 12 ) = 206265
D=
AE =
3,1 · 1016
m =
3,1 · 1013 km ≈ 3,3
Lichtjahre.
Der nächste Stern, eigentlich ein Doppelstern und ein kleiner dunkler Begleitstern, ist das
Alpha Centauri System im Abstand 4,4 Lichtjahre bzw. 1,33 pc
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