Seminar vom 09. 01. 2008. Lösungsblatt 10

Lösungsblatt 10
Mechanik (Physik, Wirtschaftsphysik, Physik Lehramt) (WS07/08)
Wolfgang v. Soden ([email protected])
08. 01. 2008
66 Optische Sphärenklänge (2P)
Aufgabe
Die Raumfahrergilde bietet als Extraservice an, von Ihren Raumschien unterwegs Lichtstrahlen zur Erde zu senden. Zu Ehren von Weihnachten und eines besonders verdienstvollen OptoAkustik-Künstlers vereinbarten vier der Raumfahrer, mit solchen Geschwindigkeiten relativ
zur Erde zu fahren, dass ihre bei der Sendung gleichfrequenten Signale auf der Erde in einem
optischem Dur-Drei-Klang empfangen werden, also mit einer Grundfrequenz, der groÿen Terz
(Frequenzverhältnis 5/4) und der Quint (Frequenzverhältnis 3/2) dazu, sowie der Oktave (Doppelte Frequenz). Mit welchen Geschwindigkeiten müssen die Raumpiloten iegen, um dies zu
erreichen, wenn der Langsamste mit v=c/4 unterwegs ist?
Mit welcher Frequenz müssen sie senden, wenn die geforderte Oktave genau in den sichtbaren
Bereich des Lichtes fallen soll (ν = 3,85 − 7,7 · 1014 Hz)?
Lösung
Frequenzveränderung ν 0 beim Empfang trotz gleicher Frequenz ν beim Senden gelingt über den
Dopplereekt, bei dem es auf die Relativgeschwindigkeiten v ankommt. Die dafür zuständige
Formel lautet:
2
s
0
ν =ν
1−
1+
v
c
v
c
ν0
ν
1−
v
bzw. umgekehrt =
c
1+
(66.1)
ν0 2
ν
Alle Raumschie senden mit der Frequenz ν0 . Der Grundton beim Empfang sei somit
s
ν1 = ν0
1−
1+
v1
c
v1
c
v
bzw. umgekehrt 1 =
c
1−
1+
2
ν1
ν0
(66.2)
2
ν1
ν0
die Terz dazu entsprechend
5
ν2 = ν1 = ν0
4
s
3
ν3 = ν1 = ν0
2
s
1−
1+
v2
c
v2
c
1−
1+
v3
c
v3
c
bzw. umgekehrt
v2
=
c
1−
5ν1
4ν0
1+
5ν1
4ν0
v3
=
c
1−
3ν1
2ν0
1+
3ν1
2ν0
2
2
(66.3)
und die Quint
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bzw. umgekehrt
1
c 2007-2008
2
2
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(66.4)
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und die Oktav
s
ν4 = 2ν1 = ν0
1−
1+
v4
c
v4
c
bzw. umgekehrt
v4
=
c
1−
2ν1
ν0
1+
2ν1
ν0
2
(66.5)
2
Nun gibt es zwei Möglichkeiten:
a) die Geschwindigkeiten v sind alle positiv, d.h. die Raumschie entfernen sich von der
Erde: hier
ist v4 die kleinste Geschwindigkeit, die 4c sein soll. Damit ergibt sich
q
53
49
ν0 = 2ν1 53 = 9,94 · 1014 Hz und somit vc3 = 108
= 0,491, vc2 = 79
= 0,620 und
v1
c
17
23
=
= 0,739
b) die Geschwindigkeiten v sind alle negativ, die Raumschie nähern sich der Erde: hier ist
v1 die (betragsmäÿig) kleinste Geschwindigkeit, die −c
4 sein soll. Damit ergibt sich
q
77
11
ν0 = ν1 35 = 2,98 · 1014 Hz und somit vc2 = − 173
= −0,445, vc3 = − 19
= −0,579 und
v4
c
= − 17
23 = −0,739
67 Frequenzverschiebung (1P)
Aufgabe
Sie schauen von oben auf einen Spiralnebel und messen im Randbereich der Galaxie gegenüber
der Mitte eine relative Frequenz-Verschiebung der He-Linien von 2,8 · 10−7 . Was folgern Sie
daraus?
(Ein ferner Beobachter unserer Milchstraÿe würde diese Verschiebung für unsere Sonne feststellen.)
Lösung
Da hier zusätzlich zur Verschiebung der charakteristischen Linien durch Doppler-Eekt infolge
der Bewegung der Gesamtgalaxie gegenüber dem Beobachter eine weitere Verschiebung auftritt und senkrecht auf eine insgesamt ache Galaxie geschaut wird, handelt es sich um eine
Verschiebung infolge des transversalen Dopplereekts. Diese tritt auf bei Bewegungen mit Geschwindigkeitskomponenten senkrecht zur Beobachtungsrichtung und berechnet sich zu
r
0
ν =ν
1−
Dies umgeschrieben und mit ν 0 = ν − ∆ν ergibt für
v
=
c
r
ν0
1 − ( )2 =
ν
r
ν − ∆ν 2
1−(
) =
ν
v2
c2
(67.1)
v
c
r
∆ν 2
1 − (1 −
) ≈
ν
Mit dem gegebenen Zahlenwert für die relative Verschiebung
225km/s.
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2
r
∆ν
1 − (1 − 2
)=
ν
∆ν
ν
c 2007-2008
r
2
∆ν
ν
(67.2)
= 2,8 · 10−7 ergibt sich v ≈
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68 Erde, Rakete, Meteor (2P)
Aufgabe
Die Erde, eine bemannte Rakete und ein Meteor bewegen sich zufällig in die gleiche Richtung.
1. An der Erde iegt die Rakete vorbei mit einer von der Erde beobachteten Geschwindigkeit
von ve,r = 43 c.
2. An der Rakete iegt der Meteor vorbei mit einer von der Raketenmannschaft beobachteten
Geschwindigkeit von vr,m = 12 c.
3. Welche Geschwindigkeit hat der Meteor von der Erde aus beobachtet?
4. Zeichnen Sie je ein Minkowski-Diagramm für diese Situation aus der Sicht eines Erdbewohners und der Raketenbesatzung. Sind die Winkel zwischen den r-Achsen von Erde
und Meteor in beiden Diagrammen gleich?
Lösung
Die Geschwindigkeiten ve,r und vr,m müssen (relativistisch) addiert werden, da die jeweiligen
Beobachter positive Geschwindigkeiten sehen, also
w=
ve,r + vr,m
10
ve,r · vrm = 11 c = 0,9091c
1+
c2
(68.1)
Abbildung 1: Minkowski-Diagramm: 1=Erde Referenz=2=Rakete 3=Meteor
Die Winkel in den Minkowski-Diagrammen ergeben sich aus α = arctan( vc )
Mit den Zahlenwerten aus der Aufgabe ergibt sich α1 = 26,6◦ , α2 = 36,9◦ und α12 = 42◦ . Damit
können die Winkel zwischen den Ortsachsen gleicher Systempaare im Minkowski-Diagramm von
dem gewählten Inertialsystem abhängen.
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c 2007-2008
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Mechanik WS 2007-2008
Abbildung 2: Minkowski-Diagramm: Referenz=1=Erde 2=Rakete 3=Meteor
69 Radioaktiver Zerfall (1P)
Aufgabe
Ein ruhendes 238 U Atom zerfällt in ein 234 Th Atom und ein 4 He Atom, wobei 4,2MeV freiwerden, die zur Beschleunigung der Zerfallsprodukte verwendet werden.
Welcher relativer Massenanteil des Urans geht bei diesem Vorfall in Bewegungsenergie über?
Wie steht es aber dann mit der Erhaltung der Energie, wenn die Masse vor dem Zerfall (238
Nukleonen) gleich der Masse hinterher (234+4 Nukleonen) ist, aber hinterher noch Masse in
Form von Kinetischer Energie auftritt?
(Die Zahlen vor den Elementen geben die Anzahl der Nukleonen im betreenden Atom an. Ein
Nukleon habe die Masse u. 1 u = 1,66 · 10−27 kg ; 1eV = 1,6 · 10−19 J)
Lösung
Das Massenäquivalent zu einer Energie erhält man über
E = m c2 oder m =
E
c2
(69.2)
·
1,6 10−19 J
1eV
(3 108 m/s)2
238 1,66 10−27 kg
4,2MeV
Also ist hier die Relative Masse des Urans, die beim Zerfall frei wird,
1,9 · 10−5
∆m
238u
=
·
·
·
=
Zur Frage: woher kommt die Kinetische Energie der Zerfallsprodukte?
Die Massen der Nukleonen oder die Energien der Nukleonen in den Atomen hängen von der Bindungsenergie der Nukleonen ab, die von Atom zu Atom verschieden ist (siehe Bethe-WeizsäckerFormel aus der Kernphysik). Deshalb liefert die Rechnung mit der reinen Nukleonenanzahl
Ergebnisse, die mit der Natur nicht übereinstimmen.
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