Zahlen und Zahlensysteme

Kapitel 1
Zahlen und Zahlensysteme
1.1
Zahlensysteme
Wir beginnen unsere Untersuchungen mit dem elementarsten Dingen, welche die Mathematik kennt: den Zahlen.
1.1.1 Welche Zahlensysteme benutzen wir?
Zahlen sind die Grundbausteine der Mathematik und damit der gesamten mathematischen Naturbeschreibung. Wir unterscheiden folgende fünf Zahlensysteme:
◦ Die Menge N der natürliche Zahlen
Natürliche Zahlen sind die beim Zählen verwendeten Zahlen:
N = {1� 2� 3� 4� . . .} .
Die Zahl 1 ist die kleinste natürliche Zahl; gelegentlich zählt man die Zahl 0
auch zur Menge N hinzu; im Sinne einer einheitlichen Schreibweise benutzen
wir hierzu jedoch das Symbol
N0 = {0� 1� 2� 3� 4� . . .} .
Elemente aus der Menge N0 können wir addieren und multiplizieren, ohne dadurch den Bereich N0 zu verlassen.
◦ Die Menge Z der ganzen Zahlen
Die Menge N0 der natürlichen Zahlen mit Null lässt sich erweitern zur Menge
der ganzen Zahlen, indem man alle additiven Inversen hinzunimmt:
Z = {. . . � −4� −3� −2� −1� 0� 1� 2� 3� 4� . . .} .
Elemente der Menge Z können wir nun ohne Einschränkung subtrahieren, ohne
den Bereich Z dadurch zu verlassen.
1
KAPITEL 1. ZAHLEN UND ZAHLENSYSTEME
2
◦ Die Menge Q der rationalen Zahlen
Darunter fasst man alle Verhältnisse
p
ganzer Zahlen p� q ∈ Z mit q �= 0
q
zusammen. Innerhalb von Q lässt sich nun auch die Multiplikation umkehren zur
Division; dabei ist Division durch 0 jedoch auszuschließen.
◦ Die Menge R der reellen Zahlen
Diese Erweiterung stellt für die Mathematik den vielleicht wichtigsten Zahlenbereich dar:
97
. . . � −3� −2� 0� 1� π �
� ...
7
Eine solche Erweiterung ist notwendig, da, wie wir in Kürze ausführen werden, wichtige geometrische Quantitäten, wie die Diagonale des Einheitsquadrates oder der Umfang eines Kreises vom Radius 1� schon nicht mehr durch rationale Zahlen ausgedrückt werden können.
◦ Die Menge � der komplexen Zahlen
Diese Erweiterung der reellen Zahlen macht insbesondere das Lösung polynomialer Gleichungen möglich. So besitzt die quadratische Gleichung
x2 + 1 = 0
keine reellen Lösungen, jedoch innerhalb des Zahlenbereiches � stellen
x = −i
und x = +i
zwei verschiedene Lösungen dieser Gleichung dar mit der imaginären Einheit
i ∈ � � R. Diese Einheit wird durch i2 = −1 bereits vollständig charakterisiert.
1.1.2
Die reellen Zahlen müssen konstruiert werden
In unserer Aufzählung der fünf Zahlenbereiche bleibt unerwähnt, wie die reellen Zahlen aus der Menge der rationalen Zahlen hervorgehen.
Tatsächlich bedient sich hier die Analysis tiefer liegender Techniken (Dedekindscher
Schnitt, Approximation durch Cauchyfolgen, Methode der Intervallschachtelung), auf
die wir hier nicht eingehen wollen. Essentiell für alle diese Methoden ist aber folgende
Eigenschaft der rationaler Zahlen:
Satz 1.1. Die Menge Q liegt dicht in der Menge R� d.h. zu gegebenem r ∈ R und
beliebigem ε > 0 findet man stets ein p ∈ Q mit |p − r| < ε .
Das bedeutet in anderen Worten: Jedes Intervall der anschaulichen Zahlengeraden, so
klein es auch gewählt sei, enthält stets rationale Zahlen.
Folgerung 1.1. Jede reelle Zahl kann durch eine Folge rationaler Zahlen beliebig
genau approximiert werden.
1.1. ZAHLENSYSTEME
3
Was heißt das aber für die Praxis?
◦ Zum Messen von Strecken, Flächen etc. benötigt man eine Referenzgröße, also
einen irgendwie geeichten Maßstab. Jede in der Praxis messbare Größe ist daher
notwendig kommensurabel (vergleichbar) zu dieser Referenzgröße.
◦ Ganzzahlige Vielfache des Maßstabes können durch natürliche Zahlen ausgedrückt werden, während die rationalen Zahlen für gebrochene Verhältnisse der
zu messenden Strecke zur geeichten Referenzgröße stehen.
◦ Eine praktische Messung, wird sie auch beliebig genau verfeinert, liefert daher
stets rationale Messwerte.
Wir werden also nicht erwarten, in der Praxis, aber auch in der Natur auf nicht-rationale
Zahlen zu stoßen. Für einen lückenlosen Aufbau der Mathematik jedoch benötigen wir
neben den rationalen Zahlen auch die irrationalen Zahlen.
1.1.3 Die Diagonale eines Quadrats
Die Euklidische Geometrie kennt seit mehr als 2500 Jahren inkommensurable Strecken. Bereits
√ genannte Beispiele sind die Länge der Diagonalen des Einheitsquadrats
vom Maß 2 oder der Umfang des Einheitskreises 2π .
√
2
1
1
Abbildung 1.1: Die Länge der Diagonale des Einheitsquadrats ist irrational
√
Der Beweis, dass die Zahl 2 tatsächlich nicht rational ist, kann historisch als erstes
Beispiel eines sogenannten indirekten Beweises angesehen werden.
√
Satz 1.2. Die Zahl 2 ist irrational.
√
√
Beweis. Zunächst ist 2 > 0. Angenommen,
2 ist rational, d.h. mit teilerfremden
√
natürlichen Zahlen p und q gilt 2 = qp . Quadrieren und Umstellen liefert 2q2 = p2 �
d.h. p2 ist eine gerade Zahl. Dann muss aber auch p selbst gerade sein, denn quadrieren
wir eine ungerade Zahl, so erhalten wir auch wieder eine ungerade Zahl zurück:
�2k + 1)�2k + 1) = 4k2 + 4k + 1.
Da also p = 2r mit geeignetem r ∈ N� ist p2 durch 4 teilbar. Mithin schließen wir, dass
q2 gerade, daher auch q gerade sind. Es besitzen also p und q den gemeinsamen Teiler
2 im Widerspruch zur Annahme der Teilerfremdheit.
KAPITEL 1. ZAHLEN UND ZAHLENSYSTEME
4
1.1.4
Dedekinds Verallgemeinerung
Eine direkte Verallgemeinerung dieses Beweises auf andere Nicht-Quadratzahlen erweist sich jedoch als ziemlich umständlich.
Im Jahre 1861 ersann jedoch der Mathematiker
J.W.R. Dedekind eine bestechend ein√
fache Methode, die Irrationalität von k für Nicht-Quadratzahlen k ∈ N zu beweisen.
√
Satz 1.3. Ist k ∈ N keine Quadratzahl, so ist k irrational.
√
Beweis. Wäre nämlich√ k > 0 rational, so gibt es eine kleinste natürliche Zahl n ∈ N�
so dass das Produkt n k > 0 ganzzahlig ist. Bezeichnen wir nun mit dem Symbol [a]
die größte
√ ganze Zahl kleiner oder gleich a� so genügt also die positive Zahl (nehme
√
k − [ k] > 0 an)
√
√
m := � k − [ k])n
der Ungleichung 0 < m < n� und daher ist auch die Zahl
√
√ √
√ √
√
m k = � k − [ k]) k n = kn − [ k] k n
positiv und ganzzahlig im Widerspruch zur Wahl von n.
1.1.5
Literaturnachweis
◦ Paragraph 1.1.1, 1.1.2
Hildebrandt, S.: Analysis 1
◦ Paragraph 1.1.3, 1.1.4
Schöder, H.: Wege zur Analysis
1.2
Der Goldene Schnitt
Der Goldene Schnitt bedeutet ein in der Kunst, wie z.B. der Malerei oder Fotografie, besonders ästhetisches, wohlproportioniertes Streckenverhältnis. Auch in den Naturwissenschaften (Biologie, Kristallografie, Kosmologie) begegnet man erstaunlich häufig
mit diesem Verhältnis verbundene Zahlen.
1.2.1
Was ist der Goldene Schnitt?
Der Goldene Schnitt wird gewöhnlich als ein gewisses Verhältnis zwischen zwei Strecken definiert, um daraus ein sogenanntes, dann aber wirklich quantitatives Goldenes
”
Verhältnis“ abzuleiten. Wir beginnen also mit der
Definition 1.1. Eine Strecke der Länge s > 0 wird im Goldenen Schnitt s = a + b
geteilt, wenn sich die ganze Länge s zum größeren Abschnitt a wie dieser zum kleineren
Abschnitt b verhält, d.h. wenn gilt
s
a
= .
a b
1.2. DER GOLDENE SCHNITT
5
Wir wollen a näher bestimmen. Zunächst ist
a
a
s
= =
a b s−a
bzw.
a2 + sa − s2 = 0.
Die Lösungen dieser quadratischen Gleichung lauten
s s√
a1�2 = − ±
5.
2 2
Aufgabe 1. Beweisen Sie diese Lösungsformel einer quadratischen Gleichung
(i) durch Einsetzen beider Lösungen in die Ausgangsgleichung,
(ii) durch Herleiten der Lösungsformel mittels quadratischer Ergänzung.
Die negative Lösung hierin wollen wir aus geometrischen Gründen nicht betrachten.
So verbleibt zu betrachten
s √
a
a = � 5 − 1) = 0.618 . . . · s bzw.
= 0.618 . . .
2
s
Damit haben wir das in obiger Definition eingeführte Teilungsverhältnis wie folgt bestimmt
s
a
= = 1.618 . . .
b a
Diese Zahl 1.618 . . . heißt das Goldene Verhältnis.
1.2.2 Anwendung auf harmonische Rechtecke
Hierbei handelt es sich um folgende geometrische Figur.
Definition 1.2. Sind die Seiten b < a eines Rechtecks in der Art gewählt, dass gilt
b
a
=
�
a a+b
so heißt das Rechteck harmonisch.
a
b
Abbildung 1.2: Ineinander geschachtelte harmonische Rechtecke
KAPITEL 1. ZAHLEN UND ZAHLENSYSTEME
6
Der Zusammenhang harmonischer Rechtecke zum Goldenen Verhältnis ist Inhalt der
Aufgabe 2. Zeigen Sie, dass für das
a
b
harmonischer Rechtecke gilt
√
a 1+ 5
=
≈ 1.618.
b
2
Zerteilt man zudem ein harmonisches Rechteck in ein Quadrat und ein kleineres Rechteck, dann ist dieses kleinere Rechteck wieder harmonisch.
Aufgabe 3. Beweisen Sie diese Aussage.
Auf solche selbstähnlichen“ Strukturen werden wir im Laufe unserer Vorlesung wie”
derholt zurückkommen.
1.2.3
Literaturnachweis
◦ Paragraph 1.2.1, 1.2.1
Glaeser, G.: Der mathematische Werkzeugkasten
1.3
1.3.1
Die Fibonacci-Zahlen
Was sind Fibonacci-Zahlen
Leonardo da Pisa, auch Fibonacci genannt, stellte folgendes Problem:
Ein Kaninchenpaar wirft vom zweiten Monat an monatlich ein junges
Paar, das seinerseits vom zweiten Monat an monatlich ein Paar zur Welt
bringt usw. Wie viele Kaninchen leben nach n Monaten, wenn zu Beginn
genau ein junges Paar lebte?
Definition 1.3. Unter der Fibonaccifolge {Fn }n=1�2�... verstehen wir folgende, rekursiv
gegebene Zahlenfolge
F1 = 1� F2 = 1 und
Fn = Fn−1 + Fn−2 für n = 3� 4� . . .
Die ersten Elemente der Fibonaccifolge lauten also
1� 1� 2� 3� 5� 8� 13� 21� 34� 55� . . .
Die Rekursionsformel aus der Definition stammt übrigens von J. Kepler.
Aufgabe 4. Beweisen Sie
(i) Die Fibonaccifolge {Fi }i=1�2�... ist monoton wachsend, d.h. es gilt
(ii) Es gilt
Fn ≤ Fn+1
für alle n = 1� 2� . . .
Fn+1
≤2
Fn
für alle n = 1� 2� . . .
1.3. DIE FIBONACCI-ZAHLEN
7
1.3.2 Goldener Schnitt und Fibonacci-Zahlen
Wir wollen Eulers rekursive Darstellung der Fibonaccizahlen in eine explizite Darstellung umrechnen. Dazu führen wir die folgenden Bezeichnungen ein
√
√
1+ 5
1− 5
= −0.618 . . . � Φ :=
= 1.618 . . .
ϕ :=
2
2
Die Zahl Φ ist nichts anderes als das Goldene Verhältnis. Nach Anwendung des Dedekindschen Satzes 1.3 sehen wir ein, dass sowohl ϕ als auch Φ irrational sind.
Zunächst jedoch lösen ϕ und Φ die quadratische Gleichung
x2 − x − 1 = 0
mit den Wurzeln x1/2 =
1 1√
±
5.
2 2
Aufgabe 5. Verifizieren Sie diese Aussage.
Nach sukzessivem Anwenden von ϕ 2 − ϕ − 1 = 0 bzw. 1 + ϕ = ϕ 2 erhalten wir
1 + ϕ = ϕ2 �
1 + 2ϕ = ϕ 3 �
2 + 3ϕ = ϕ 4 �
3 + 5ϕ = ϕ 5 �
5 + 8ϕ = ϕ 6 �
usw.
denn 1 + 2ϕ = 1 + ϕ + ϕ = ϕ + ϕ 2 = �1 + ϕ )ϕ = ϕ 2 · ϕ
denn 2 + 3ϕ = 1 + ϕ + 1 + 2ϕ = ϕ 2 + ϕ 3 = �1 + ϕ )ϕ 2 = ϕ 2 · ϕ 2
denn 3 + 5ϕ = 1 + 2ϕ + 2 + 3ϕ = ϕ 3 + ϕ 4 = �1 + ϕ )ϕ 3 = ϕ 2 · ϕ 3
denn 5 + 8ϕ = 2 + 3ϕ + 3 + 5ϕ = ϕ 4 + ϕ 5 = �1 + ϕ )ϕ 4 = ϕ 2 · ϕ 4
Genau die gleichen Identitäten gelten, wie wir leicht nachprüfen, auch für Φ.
Hierin erkennen wir aber die Fibonaccizahlen wieder! Wir stellen nämlich zunächst
diese Schemata für ϕ und Φ noch einmal nebeneinander in die Form
1 + ϕ = ϕ2
1 + Φ = Φ2
1 + 2ϕ = ϕ 3
1 + 2Φ = Φ3
2 + 3ϕ = ϕ 4
2 + 3Φ = Φ4
3 + 5ϕ = ϕ 5
3 + 5Φ = Φ5
5 + 8ϕ = ϕ 6
5 + 8Φ = Φ6
usw.
Nun subtrahieren wir sukzessive die Gleichungen in den einzelnen Zeilen, also
Φ2 − ϕ 2
= 1�
Φ−ϕ
Φ3 − ϕ 3
= 2�
Φ−ϕ
Φ4 − ϕ 4
= 3�
Φ−ϕ
Φ5 − ϕ 5
= 5�
Φ−ϕ
usw.
Alle Nenner in diesen Gleichungen ersetzen wir schließlich durch
√
√
1+ 5 1− 5 √
Φ−ϕ =
−
= 5�
2
2
womit folgendes, nach A. de Moivre und J.P.M. Binet benanntes Resultat zwar nicht
stichfest bewiesen, aber wenigstens plausibel gemacht ist.
KAPITEL 1. ZAHLEN UND ZAHLENSYSTEME
8
Satz 1.4. Zwischen den Fibonaccizahlen Fn mit F1 = 1� F2 = 1 und den oben eingeführten Goldenen Zahlen ϕ und Φ besteht der Zusammenhang
1
Fn = √ �Φn − ϕ n )�
5
n = 2� 3� . . .
Bemerkenswert ist, dass Fn eine naürliche Zahl ist, während nach Abschnitt 1.1.4 die
Zahlen ϕ und Φ irrationale Zahlen sind.
Wegen |ϕ | < 1 und damit |ϕ |n ≈ 0 für große“ Exponenten n ∈ N gewinnen wir außer”
dem die Näherungsformel
1
Fn ≈ √ Φn
5
für große n ∈ N.
Aufgabe 6. Aus der expliziten Darstellung von de Moivre und Binet sind die Grenzwerte
lim
n→∞
√
Fn+1
1
= Φ = �1 + 5) �
Fn
2
lim
n→∞
√
1
Fn
= −ϕ = − �1 − 5)�
Fn+1
2
abzuleiten.
Fibonacci-Zahlen treten in den verschiedensten Bereichen der Mathematik erstaunlich
häufig auf. Um sich hiervon einen Eindruck zu verschaffen, besuche man unbedingt
die Internetseite der Fibonacci Association. Diese Gesellschaft gibt sogar eine eigene
Zeitschrift heraus: The Fibonacci Quarterly.
1.3.3
Binomischer Lehrsatz und das Pascalsche Dreieck
Mit der bekannten Setzungen
� �
n!
n
:=
�
k
k!�n − k)!
� �
� �
n
n
:= 1�
:= 1�
0
n
für den Binomialkoeffizienten wiederholen wir den
Satz 1.5. Es gilt der binomische Lehrsatz
�a + b)n =
n
� �
n
∑ k an−k bk .
k=0
Den Beweis dieses Satzes führt man gewöhnlich induktiv. Induktionsbeweisen wenden
wir uns im nächsten Abschnitt zu. Wir wollen aber an dieser Stelle aus dem binomischen Lehrsatz drei wichtige Formeln entnehmen:
◦ Der Fall n = 1:
a+b =
� �
� �
1 0 1
1 1 0
a b = a+b
a b +
1
0
1.3. DIE FIBONACCI-ZAHLEN
9
◦ Der Fall n = 2:
�a + b)2 =
� �
� �
� �
2 2 0
2 1 1
2 0 2
a b +
a b +
a b = a2 + 2ab + b2
0
1
2
◦ Der Fall n = 3:
� �
� �
� �
� �
3 3 0
3 2 1
3 1 2
3 0 3
a b +
a b +
a b +
a b
0
1
2
3
�a + b)3 =
= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Die in �a + b)n auftretenden Binomialkoeffizienten müssen wir nicht durch langwierige Berechnungen ermitteln, sondern sie lassen sich sukzessive aus dem sogenannten
Pascalschen Dreiecks ablesen, einer geometrischen Interpretation der Identität
�
� �
� � �
n+1
n
n
=
+
.
k
k−1
k
Aufgabe 7. Beweisen Sie diese Identität.
Erkennen Sie diese diese Regel in dem folgenden Pascalschen Dreieck wieder?
1
..
.
1
1
7
..
.
1
6
1
5
21
..
.
1
4
15
1
3
10
35
..
.
1
2
6
20
1
3
10
35
..
.
1
4
15
1
5
21
..
.
1
6
1
7
..
.
1
1
..
.
1.3.4 Pascal und Fibonacci
Ein erstaunlicher Zusammenhang zu den Fibonacci-Zahlen ergibt sich, wenn wir im
Pascalschen Dreieck erneut entlang der eingezeichneten Pfeile die Summen bilden:
KAPITEL 1. ZAHLEN UND ZAHLENSYSTEME
10
1
1
1
3
1
1
4
1
1
1
usw.
5
6
8
21
28
1
3
6
10
15
7
1
1
2
4
10
20
35
56
1
15
35
70
1
5
1
6
56
1
7
21
28
1
8
1
Können Sie diesen Zusammenhang erklären?
1.3.5
Das Pascalsche Dreieck und Restklassen nach Division
Definition 1.4. Für zwei ganze Zahlen a� b ∈ Z und eine positive natürliche Zahl m ∈ N
schreiben wir abkürzend
a ≡ b mod m
bzw. a − b ≡ 0 mod m
genau dann, wenn a und b nach Division durch m den gleichen ganzzahligen Rest
lassen.
Es sind also beispielsweise
1 ≡ 5 mod 2�
5 ≡ 14 mod3
usw.
Die folgende Skizze veranschaulicht die ersten Binomialkoeffizienten im Pascalschen
Dreieck jeweils nach Division durch 2. Nur dann setzen wir einen Kreis, wenn der
Koeffizient nach Division den Rest 1 lässt, d.h. wenn er ungerade ist.
F1 = 1
F2 = 1
F3 = 2
F4 = 3
F5 = 5
F6 = 8
F7 = 13
F8 = 21
F9 = 35
1.3. DIE FIBONACCI-ZAHLEN
11
Das Ergebnis ist eine geometrische Struktur, die an das sogenannten Sierpinskidreieck
erinnert, welches wir später noch genauer betrachten werden.
Die Division durch 2 aller natürlichen Zahlen teilt die Menge N offenbar in zwei zueinander disjunkte Restklassen ein: In die Restklasse aller ungeraden Zahlen (die Division
lässt den Rest 1) und in die Restklasse der geraden Zahlen (die Division lässt Rest 0).
Wir schreiben
0 = {2� 4� 6� 8� 10� . . .} �
1 = {1� 3� 5� 7� 9� . . .} .
Analog zerlegt die Division durch 5 die Menge N in fünf einander disjunkte Restklassen, deren Elemente durch einen jeweils gemeinsamen Rest 0� 1� 2� 3 oder 4 charakterisiert sind:
0 = {5� 10� 15� 20� 25 . . .} �
1 = {1� 6� 11� 16� 21� . . .} �
2 = {2� 7� 12� 17� 22� . . .} �
3 = {3� 8� 13� 18� 23� . . .} �
4 = {4� 9� 14� 19� 24� . . .} .
Wir wollen die Elemente einer solchen Restklasse als äquivalent ansehen, gekennzeichnet durch das Symbol ∼� schreiben also z.B.
5 ∼ 10�
5 ∼ 15�
10 ∼ 15
usw.
für die Restklasse 0 bei Division durch 5� oder für dieses Beispiel allgemeiner
a∼b
genau dann, wenn
a − b ≡ 0 mod 5.
Die hierdurch eingeführte Relation ∼ zwischen zwei Elementen a und b besitzt für uns
ganz besonders interessante Eigenschaften, die sie als eine sogenannte Äquivalenzrelation im Sinne folgender Definition auszeichnen.
Definition 1.5. Eine Äquivalenzrelation ∼ ist charakterisiert durch folgende Eigenschaften:
Reflexivität, d.h. es gilt stets x ∼ x;
Symmetrie, d.h. gilt x ∼ y� so auch y ∼ x;
Transitivität, d.h. gelten x ∼ y und y ∼ z� dann auch x ∼ z.
Aufgabe 8. Beweisen Sie, dass durch
a∼b
genau dann, wenn
eine Äquivalenzrelation gegeben ist.
a − b ≡ 0 mod m
KAPITEL 1. ZAHLEN UND ZAHLENSYSTEME
12
1.3.6
Fermatsche Primzahlen
Wir wollen die vorigen Ausführungen etwas vertiefen und auf ein berühmtes Problem
aus der Zahlentheorie anwenden.
Seien dazu wieder Zahlen a� b ∈ Z und m ∈ N vorgelegt. Wir stellen zunächst stichpunktartig und ohne Beweis einige Rechenregeln für die Restklassenarthmetik zusammen.
◦
◦
◦
◦
◦
Aus a ≡ b mod m und c ∈ Z folgt a + c ≡ b + c mod m.
Aus a ≡ b mod m und c ≡ d mod m folgt a + c ≡ b + d mod m.
Aus a ≡ b mod m und c ∈ Z folgt ac ≡ bc modm.
Aus a ≡ b mod m und c ≡ d mod m folgt ac ≡ bd mod m.
Aus a ≡ b mod m und n ∈ N folgt an ≡ bn mod m.
Nun zum angekündigten Beispiel: Der französische Mathematiker P. de Fermat vermutete 1637, dass alle Zahlen der Form
n
Fn = 22 + 1
Primzahlen sind, also natürliche Zahlen, die größer als 1 und ausschließlich durch sich
selbst teilbar sind. Wir sprechen hierbei von den Fermatschen Zahlen. So sind beispielsweise
F0 = 3�
F1 = 5�
F2 = 17�
F3 = 257�
F4 = 65537.
L. Euler bewies jedoch, dass F5 keine Primzahl ist, sondern den Teiler 641 besitzt:
5
22 + 1 = 232 + 1 ≡ 0 mod 641.
Zum Beweis verwenden wir stillschweigend obige Rechenregeln. Zunächst ist
641 = 640 + 1 = 5 · 27 + 1�
also auch
5 · 27 ≡ −1 mod641.
Diese Identität potenzieren wir mit 4 und erhalten das Zwischenresultat
54 · 228 = 1 mod 641.
Beachte aber nun andererseits
54 + 24 = 625 + 16 = 641�
so dass gilt
54 ≡ −24 mod641.
Diese Gleichheit multiplizieren wir mit 228 � so dass mit dem Zwischenresultat folgt
−24 · −228 = −232 = 54 · 228 ≡ 1 mod 641.
Umstellen liefert 232 + 1 ≡ 0 mod 641� womit die Behauptung gezeigt ist.
Aufgabe 9. Für welche Primzahlen p ∈ N ist der Ausdruck
p2 + 2
ebenfalls eine Primzahl?
1.4. SUMMENFORMELN
13
1.3.7 Literaturnachweis
◦ Paragraph 1.3.1
Schröder, H.: Wege zur Analysis; Spivak, M.: Calculus
◦ Paragraph 1.3.2
Glaeser, G.: Der mathematische Werkzeugkasten; Spivak, M.: Calculus
◦ Paragraph 1.3.4, 1.3.5
Glaeser, G.; Polthier, K.: Bilder der Mathematik
◦ Paragraph 1.3.6
Gellert, W.; Kästner, H.; Neuber, S.: Lexikon der Mathematik
1.4
Summenformeln
1.4.1 Was sind Summenformeln?
Wir wollen in diesem Abschnitt zunächst explizite Darstellungen für Summen
S p �n) :=
n
∑ kp
k=1
für Potenzen k p mit p ∈ N kennenlernen. An solchen Darstellungen lernt man in der Regel die
Beweismethode der vollständigen Induktion. Diese Methode hat den Nachteil, dass man die
richtige“ Darstellung bereits kennen muss, bevor man sie beweist.
”
Wir wollen daher auch der Frage nachgehen, wie eigentlich explizte Darstellungen für Summen
von Potenzen auf direktem Wege hergeleitet werden können.
Zweitens leiten wir eine explizite Darstellung für die geometrische Summe
Gq �n) :=
n
∑ qk
k=0
ab und diskutieren an einem Beispiel ihre Anwendung im Bereich der Zinsrechnung.
1.4.2 Summe der ersten n Zahlen
Wir beginnen mit dem
Satz 1.6. Es gilt
S1 �n) =
n
∑k=
k=1
n�n + 1)
.
2
Beweis. Die Idee des nachfolgenden Beweises stammt vom neunjährigen C.F. Gauß: Wir schreiben die Summe zweimal untereinander, einmal aufsteigend, einmal absteigend, auf und summieren die Elemente in den einzelnen Spalten:
1
+
2
+
...
+
n
+
�n − 1)
+
...
+
�n + 1)
+
�n + 1)
+
...
+
�n − 1)
+
n
2
+
1
�n + 1)
+
�n + 1)
KAPITEL 1. ZAHLEN UND ZAHLENSYSTEME
14
Es ist also n-mal die Zahl n + 1 zu summieren und schließlich durch 2 zu teilen.
1.4.3
Summe der ersten n Quadratzahlen
Wir wollen nun eine explizite Darstellung für S2 �n) herleiten. Dazu benötigen wir den
Hilfssatz 1.1. Für jedes n ∈ N gilt
1 + 3 + 5 + 7 + . . . + �2n − 1) = n2 .
Erster Beweis. Unter Beachtung des Resultats aus Satz 1.6 betrachten folgendes Schema (diese
Idee, vorige Methode von Gauß zu verallgemeinern, stammt von T. Weißschuh):
0 + 1 + 2 + 3 + 4 + ... + n−1
+
+
+
+
+
+
+
+
+
1 + 1 + 1 + 1 + 1 + ... +
=
+
1
∑
=
=
+
0 + 1 + 2 + 3 + 4 + ... + n−1
+
=
=
=
=
=
=
=
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + . . . + 2n − 1
=
n�n − 1)
2
+
n�n − 1)
2
+
n
Summation der drei Terme in der rechten Spalte bringt
∑=
n�n − 1) n�n − 1)
+
+ n = n2 �
2
2
was zu zeigen war.
Zweiter Beweis. Ein zweiter Beweis ergibt sich unmittelbar aus folgender Skizze:
1.4. SUMMENFORMELN
15
Hierin sind �2n) × �2n) = �2n)2 Bälle in 4 gleiche Teile unterteilt. Wir lesen sofort ab
1 + 3 + 5 + . . . + �2n − 1) =
1
· �2n)2 = n2 �
4
was zu zeigen war.
Satz 1.7. Es gilt
S2 �n) =
n
∑ k2 =
k=1
n�n + 1)�2n + 1)
.
6
Beweis. Wir verwenden die Gaußsche Summenformel aus Satz 1.6 sowie Hilfssatz 1.1, wollen
die allgemeine Vorgehensweise aber nur an dem Beispiel n = 4 veranschaulichen. Betrachte dazu
folgende Zahlenschemata:
3
3
1
1
3
7
1
1
1
+
5
5
3
7
5
7
1
3
5
+
1
3
5
1
3
1
9
5
3
1
=
3
1
9
1
9
9
9
9
9
9
9
9
Die drei linken Schemata werden der Art sortiert, dass sich in den Zeilensummen genau das
rechte Schema ergibt. Jetzt summieren wir die einzelnen Zahlen in den einzelnen Schemata
geeignet.
◦ Für das linke Schema ist beispielsweise
1 + �1 + 3) + �1 + 3 + 5) + �1 + 3 + 5 + 7) = 1 + 22 + 32 + 42 �
wobei wir die rechte Seite dieser Identität vorigem Hilfssatz 1.1 entnehmen mit n = 4.
◦ Wir haben aber auf der linken Seite drei solche Schemata, deren Gesamtsumme sich demnach zu
3 · �12 + 22 + 32 + 42 )
berechnet.
◦ Die Summe der Einträge im rechten Schema ist andererseits
9 · �1 + 2 + 3 + 4) = 9 ·
4 · �4 + 1)
2
nach der Gaußschen Summenformal aus Satz 1.6.
Wir fassen unsere Ergebnisse zusammen:
3 · �12 + 22 + 32 + 42 ) = 9 ·
4 · �4 + 1)
�
2
und wegen 9 = 2 · 4 + 1 erhalten wir nach Division durch 3 mit
12 + 22 + 32 + 42 =
4 · �4 + 1)�2 · 4 + 1)
2·3
die behauptete Summenformel für den Spezialfall n = 4.
Aufgabe 10. Führen Sie diese Beweisidee für den allgemeinen n ∈ N Fall aus.
KAPITEL 1. ZAHLEN UND ZAHLENSYSTEME
16
1.4.4
Summe der ersten n Kubikzahlen - vollständige Induktion
Eine explizite Darstellung für S1 �n) haben wir mittels eines einfachen, auf Gauß zurückgehenden
Schemas gewonnen. Diese Methode konsequent weiter verfolgt, lieferte uns eine Formel für die
Potenzsumme S2 �n).
Eine explizite Darstellung für S3 �n) wollen wir nun mittels vollständiger Induktion verifizieren.
Satz 1.8. Es gilt
S3 �n) =
n
∑ k3 =
k=1
n2 �n + 1)2
.
4
Beweis. Der Beweis ergibt sich aus folgender Tatsache
13 + 23 + 33 + . . . + n3 = �1 + 2 + 3 + . . . + n)2 =
�
n�n + 1)
2
�2
bzw.
S3 �n) = S1 �n)2
für alle n ∈ N�
die wir mittels vollständiger Induktion verifizieren wollen.
◦ Induktionsanfang: Zunächst gilt
S3 �1) = 1�
S1 �1)2 = 1�
also S3 �1) = S1 �1)2 �
d.h. die Behauptung stimmt für den Fall n = 1.
◦ Induktionsschritt: Es sei nun
S3 �k) = S1 �k)2
für alle k = 1� . . . � n
mit einem gewissen n ∈ N bereits gezeigt. Dann berechnen wir
S1 �n + 1)2 =
�
�n + 1)�n + 2)
2
�2
=
= S1 �n)2 + 2 · �n + 1) ·
�
n�n + 1) + 2�n + 1)
2
�2
=
�2
n�n + 1)
+ �n + 1)
2
n�n + 1)
+ �n + 1)2 = S1 �n)2 + n�n + 1)2 + �n + 1)2
2
= S1 �n)2 + �n + 1) · �n + 1)2 = S1 �n)2 + �n + 1)3
= S3 �n) + �n + 1)3 = S3 �n + 1).
Damit ist die Behauptung bewiesen.
�
1.4. SUMMENFORMELN
17
Aufgabe 11. Man verifiziere folgende Summenformeln
S1 �n) =
S2 �n) =
S3 �n) =
S4 �n) =
S5 �n) =
S6 �n) =
S7 �n) =
S8 �n) =
S9 �n) =
S10 �n) =
1 2 1
n + n
2
2
1 3 1 2 1
n + n + n
3
2
6
1 4 1 3 1 2
n + n + n
4
2
4
1 5 1 4 1 3
1
n + n + n −
n
5
2
3
30
1 6 1 5
5 4
1 2
n + n +
n −
n
6
2
12
12
1 7 1 6 1 5 1 3
1
n + n + n − n +
n
7
2
2
6
42
1 8 1 7
7 6
7 4
1 2
n + n +
n −
n +
n
8
2
12
24
12
1 9 1 8 2 7
7 5 2 3
1
n + n + n −
n + n −
n
9
2
3
15
9
30
1 10 1 9 3 8
7 6 1 4
3 2
n + n + n −
n + n −
n
10
2
4
10
2
20
1
5
1 11 1 10 5 9
n + n + n − n7 + n5 − n3 +
n.
11
2
6
2
66
In dieser Auflistung werden sofort deutlich:
◦ Die Koeffizienten von nk+1 in Sk �n) sind stets
◦ Die Koeffizienten von nk in Sk �n) sind stets
1
k+1 .
1.
2
In Kapitel 3 werden wir unter Verwendung der reellen Exponentialfunktion eine explizite Darstellung für die allgemeine Summe S p �n) beweisen.
1.4.5 Die geometrische Reihe
Die geometrische Reihe ist die unendliche Summe der Glieder der sogenannten geometrischen
Folge, d.h. derjenigen Zahlenfolge {ak }k∈N � für welche das Verhältnis benachbarter Folgenglieder stets konstant ist.
Bezeichnet also die Zahl q = aak+1
dieses Verhältnis, so folgt sukzessive ak = a0 qk . Für die n-te
k
Partialsumme Sn über die geometrische Zahlenfolge {ak }k∈N ist daher
Sn =
Satz 1.9. Es sei q �= 1. Dann gilt
n
n
k=0
k=0
∑ ak = a0 ∑ qk .
n
∑ qk =
k=0
1 − qn+1
.
1−q
Ist ferner |q| < 1� so haben wir im Grenzfall n → ∞
∞
1
∑ qk = 1 − q .
k=0
KAPITEL 1. ZAHLEN UND ZAHLENSYSTEME
18
Beweis. Wir schreiben wir die n-te Partialsumme wie folgt aus
n
Sn =
∑ qk = 1 + q + q2 + q3 + . . . + qn �
k=0
woraus sich nach Multiplikation mit q ergibt
qSn = q + q2 + q3 + q4 + . . . + qn+1 .
Jetzt berechnen wir die Differenz Sn − qSn und erhalten
�1 − q)Sn = Sn − qSn
= �1 + q + q2 + . . . + qn ) − �q + q2 + q3 + . . . + qn+1 )
= 1 − qn+1 �
und Umstellen unter der Voraussetzung q �= 1 zeigt die erste Behauptung. Die Grenzwertformel
folgt sofort aus |q|n+1 → 0 für n → ∞.
Die geometrische Reihe findet insbesondere Anwendung in der Zinseszinsrechnung bei Sparananlagen. Folgendes Beispiel haben wir wikipedia entnommen.
Zu Beginn eines jeden Jahres zahlt man 2000 Euro bei einer Bank ein bei einem
Zinssatz von
q = 5% .
Wieviel Geld hat man nach 5 Jahren angespart?
Wir gehen wie folgt vor: Zunächst berechnet sich der Zinsfaktor zu
q
= 1� 05.
1+
100
Nun die einzelnen Posten zur Sparanlage:
→ das im ersten Jahr eingezahlte Geld wird 5 Jahre lang verzinst, so dass nach Ablauf dieser
5 Jahre ein Kapitel von 2000 · 1� 055 Euro angespart wurden;
→ das im zweiten Jahr eingezahlte Geld wird 4 Jahre lang verzinst und bringt ein weiteres
Sparkapitel von 2000 · 1� 054 Euro
usw. Das gesamte angesparte Kapitel ergibt sich also aus folgender Rechnung
2000 · 1� 055 + 2000 · 1� 054 + 2000 · 1� 053 + 2000 · 1� 052 + 2000 · 1� 051
= 2000 · 1� 05 · �1� 054 + 1� 053 + 1� 052 + 1� 051 + 1� 050 )
= 2000 · 1� 05 ·
4
∑ 1� 05k = 2000 · 1� 05 ·
k=0
1 − 1� 055
1 − 1� 05
= 11.603� 826
(nach entsprechender Rundung). Durch Zinsen hat sich also das eingezahlte Kapitel um 1.603� 83
Euro erhöht.
Hätte man allerdings die (im Verlaufe der 5 Jahre eingezahlten) 10.000 Euro sofort eingezahlt
und zu 5% auf 5 Jahre verzinst, so wäre der (wieder aufgerundete) Endbetrag
10.000 · 1� 055 = 12.762� 82�
also ein Gewinn von nun 2.762� 82 Euro!
1.4. SUMMENFORMELN
19
1.4.6 Vollständige Induktion und die binomische Formel
Die Beweismethode der vollständigen Induktion können wir wie folgt zusammenfassen.
Satz 1.10. Für jedes n ∈ N ∪ {0} sei eine Aussage An der Art gegeben, so dass gelten
(i) die Aussage A0 ist richtig, und
(ii) aus der Richtigkeit von An für ein beliebig gewähltes n ∈ N folgt die Richtigkeit von An+1 .
Dann gilt An für alle n ∈ N ∪ {0}.
Den ersten Punkt (i) bezeichnen wir auch als die Induktionsvoraussetzung, der Induktionsschritt
ist dann Inhalt des zweiten Punktes (ii).
Einen Beweis diese Aussage im Rahmen einer axiomatischen Einführung der verschiedenen
Zahlensysteme finden wir z.B. in S. Hildebrandts Lehrbuch Analysis 1.
Als Anwendung der Methode der vollständigen Induktion wollen wir die binomische Formel
n �n �
an−k bk
�a + b)n = ∑
k=0 k
aus Satz 1.5 beweisen.
Beweis. Zunächst verifizieren wir mit dem Induktionsanfang für n = 0
� �
0 �0�
0
a0−k bk =
= 1.
�a + b)0 = 1 sowie ∑
k
0
k=0
Wir kommen nun zum Induktionsschritt: Die Behauptung gelte nun für ein gewisses n ∈ N� und
wir wollen auf deren Richtigkeit für n + 1 schließen:
n �n �
an−k bk �a + b)
�a + b)n+1 = �a + b)n �a + b) = ∑
k=0 k
n �n �
n �n�
an+1−k bk + ∑
an−k bk+1 .
= ∑
k=0 k
k=0 k
Die zweite Summe auf der rechten Seiten ersetzen wir durch
�
n+1 �
n � �
n
n
∑ k an−k bk+1 = ∑ k − 1 an+1−k bk
k=1
k=0
und erhalten unter Verwendung einer aus Abschnitt 1.3.3 bekannten Rechenregel für den Binomialkoeffizienten
� �
� �
n ��n� � n ��
n n+1
n n+1
b
+
an+1−k bk +
a
+∑
�a + b)n+1 =
n
k
k
−
1
0
k=1
�
�
�
�
� �
n
n + 1 n+1−k k
n n+1
n n+1
b
a
+∑
a
b +
=
n
0
k
k=1
n+1 �n + 1�
an+1−k bk .
= ∑
k
k=0
Damit ist der binomische Lehrsatz bewiesen.
KAPITEL 1. ZAHLEN UND ZAHLENSYSTEME
20
1.4.7
Literaturnachweis
Das Beispiel zur Zinsrechnung aus dem Paragraphen 1.4.5 haben wir wikipedia entnommen.
Ferner haben wir benutzt:
◦ Paragraph 1.4.2
Glaeser, G.; Polthier, K.: Bilder der Mathematik
◦ Paragraph 1.4.3
Nelsen, R.B.: Proofs without words
◦ Paragraph 1.4.5
Walter, R.: Analysis 1
◦ Paragraph 1.4.6
Hildebrandt, S.: Analysis 1