Arbeitsblatt Mathematik 2 (Vektoren)
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Fachhochschule Nordwestschweiz (FHNW) Hochschule für Technik Institut für Mathematik und Naturwissenschaften Arbeitsblatt Mathematik 2 (Vektoren) Modul: Physik Datum: 2016 Dozent: Brückenkurs Mathematik / Physik 2016 1. Aufgabe → − 2 1 → − Gegeben seien die Vektoren a = und b = in der Ebene. Bestimmen 1 3 → − → − − − Sie 2→ a + b und 2→ a − b rechnerisch und zeichnerisch. 2. Aufgabe Untersuchen Sie die folgenden Vektorsysteme auf lineare Abhängigkeit: (a) → − v1 = 1 1 − , → v2 = 2 −1 (b) 1 1 0 → − − − v1 = 0 , → v2 = 2 , → v3 = 5 1 0 3 (c) → − v1 = 1 1 − , → v2 = 1 2 − , → v3 = 3 5 3. Aufgabe → − − −c (a) Schreiben Sie den Vektor → a als Linearkombination der Vektoren b und → (grafisch und rechnerisch): → − 3 5 0 → − → − a = , b = , c = −2 −2 4 (b) Gegeben sind die Punkte A (3, 2) und B (−1, 2) sowie der Vektor 4 → − v = −1 −→ i. Bestimmen Sie die Komponenten des Vektors AB. ii. Welchen Abstand haben die Punkte A und B voneinander? − iii. Welchen Winkel schliesst der Vektor → v mit der positiven x-Achse ein? −→ − iv. Welchen Winkel schliessen die beiden Vektoren → v und AB ein? (c) Wo durchstösst die Gerade x 2 3 → − y 3 2 g : rg = = +t· z 1 1 die xz-Ebene? Physik Arbeitsblatt Mathematik 2 (Vektoren) 2016 (d) Gegeben sind die Punkte A (−2, 1, 3) und B (2, −1, −2). Wieviele Prozent der Strecke AB liegt oberhalb der xy-Ebene? 4. Aufgabe 6 − hat die Länge |→ v | = 52. Welchen Wert muss damit a die y-Komponente annehmen? − → (b) Der Ortsvektor − r→ A des Punktes A (2, 3, zA ) hat den Betrag |rA | = 14. Wie lautet die fehlende dritte Koordinate des Punktes A? − (a) Ein Vektor → v = 5. Aufgabe Gegeben sind die Vektoren 10 −5 8 → − → − −c = 10 a = 5 , b = 3 , → 8 4 4 (a) Berechnen Sie den Vektor → → − − → 1→ − −c − → − → − − a) d = b − a + 2 a + c − 3 (→ 2 (b) Berechnen Sie den Betrag und die Richtungswinkel dieses Vektors. 6. Aufgabe (a) Berechnen Sie die Resultierende der Kräfte 10 −5 8 − → − → − → F1 = 15 N, F2 = −10 N, F3 = 10 N 25 −20 −10 (b) Berechnen Sie den Betrag und die Richtungswinkel dieser Resultierenden. 7. Aufgabe 1 2 → − − Berechnen Sie von den Vektoren → a = −1 und b = −3 5 3 → − → − (a) die Beträge | a | und b → − 2 2 − (b) |→ a | = a2 und b = b2 → − → − 2 − − (c) → a ◦ b und → a◦b Seite 2 / 6 Physik Arbeitsblatt Mathematik 2 (Vektoren) 2016 → − − (d) → a2· b2 8. Aufgabe → → − − − − Gegeben seien die Vektoren → a , b mit den Eigenschaften |→ a | = 2, b = 4 und → − → − → → − − ◦ 6 a , b = 30 . Bestimmen Sie a + b grafisch und rechnerisch. 9. Aufgabe → − − Unter welchen Bedingungen ist das Skalarprodukt → a ◦ b negativ? 10. Aufgabe → − − −c gelte: Für die Vektoren → a , b und → → − → −c ◦ → − b ◦− a =→ a → − −c ? Was folgt daraus für b und → 11. Aufgabe (a) Gegeben sind die Vektoren 1 2 t → − −c = 1 + t → − a = −1 , b = 1 , → s −3 1−t i. Berechnen Sie: − −c ) ◦ (→ − −c ) =? (→ a −→ a +→ → − → − −c =? a × b ◦→ → − − − ii. Für welchen Wert des Parameters s hat der Vektor → v = → a − 2 b die Länge 10? → − −c normal iii. Für welchen Wert des Parameters t stehen die Vektoren b und → zueinander? (b) Gegeben sind die drei Vektoren 5 12 6 → − → − −c = −2 a = −12 , b = 3 , → 0 −4 3 → − − −c . i. Bestimmen Sie die Beträge der Vektoren → a , b und → −c in eine Summe, so dass der eine Summand ii. Zerlegen Sie den Vektor → → − − normal zur linearen Hülle von → a und b steht. 12. Aufgabe −→ −→ Ein Parallelogramm wird durch die Vektoren AB und AC mit A (2, 4, 6), B (1, 5, 2) und C (6, 7, 8) aufgespannt. (a) Berechnen Sie die vierte Ecke des Parallelogramms. Seite 3 / 6 Physik Arbeitsblatt Mathematik 2 (Vektoren) 2016 (b) Berechnen Sie den Umfang und den Flächeninhalt des Parallelogramms. 13. Aufgabe Gegeben ist der Vektor → − a = 3 −5 → → − − − (a) Berechnen Sie den zu → a gleichgerichteten Vektor b mit der Länge b = 4. (b) Bestimmen Sie einen Einheitsvektor, welcher orthogonal (rechtwinklig) zum − Vektor → a steht. 14. Aufgabe Zerlegen Sie den Vektor 4 → − v = −1 18 → − −−→ in Komponenten parallel und normal (rechtwinklig) zu b = CD mit C (1, −2, 1) und D (3, 2, 4). 15. Aufgabe Die Vektoren 2 → − a = −1 5 1 → − b = −3 7 spannen ein räumliches Dreieck auf. → − − (a) Berechnen Sie den bei senkrechter Projektion des Vektors b auf → a entstehen→ − den Bildvektor ba . (b) Berechnen Sie den Flächeninhalt des räumlichen Dreiecks. (c) Berechnen Sie den Flächeninhalt mit Hilfe des Vektorprodukts. 16. Aufgabe Eine konstante Kraft −10 → − F = 2 5 verschiebe einen Massepunkt von P (1m, −5m, 3m) aus geradlinig in den Punkt Q (0m, 1m, 4m). Welche Arbeit wird dabei verrichtet? Wie groß ist der Winkel α → − zwischen dem Kraftvektor F und dem Verschiebungsvektor? Seite 4 / 6 Physik Arbeitsblatt Mathematik 2 (Vektoren) 2016 17. Aufgabe Eine 5m lange Fahnenstange mit einem Eigengewicht von 12kN ist im Anfangspunkt O an einer Hauswand drehbar gelagert und im Endpunkt A, welcher 3m höher als O ist, wird eine Last von 10kN angehängt. Im Mittelpunkt B der Fahnenstange ist ein Halteseil befestigt, welches an der Hauswand im Punkt C in einer Höhe von 2.5m senkrecht über O verankert ist. − → (a) Wie gross ist der Betrag der Zugkraft FS , die im Halteseil von B nach C wirkt? (Hinweis: Das Eigengewicht der Fahnenstange können wir als ein im Schwerpunkt B der Fahnenstange angebrachtes Gewicht von 12kN beschreiben.) (b) Wie groß ist der Betrag der Zugkraft im Halteseil, wenn dieses im Punkt A befestigt wird y s 10kN 12kN x 18. Aufgabe Gegeben sind die Punkte A (1, −1, 0), B (3, 0, 4) und C (0, 5, 12). (a) Bestimmen Sie die Gleichung der Geraden g, welche die beiden Punkte A und B enthält. (b) Bestimmen Sie die Durchstosspunkte (Schnittpunkte) der Geraden g mit den Koordinatenebenen. (c) Welcher Punkt auf der Geraden g hat vom Punkt C den kürzesten Abstand? Wie gross ist dieser Abstand? Seite 5 / 6 Physik Arbeitsblatt Mathematik 2 (Vektoren) 2016 19. Aufgabe (a) Gegeben ist das Dreieck mit den Eckpunkten A (1, 1), B (−1, 2) und C (4, −3). −→ −−→ −→ i. Bestimmen Sie die Seitenvektoren AB, BC und CA. ii. Bestimmen Sie die Seitenlängen, die Fläche und die Innenwinkel des Dreiecks ABC. iii. Bestimmen Sie die Seitenhalbierendenvektoren. iv. Bestimmen Sie die Höhenvektoren. v. Bestimmen Sie den Umkreismittelpunkt. (b) Gegeben sind die Punkte A (1, 2, 2) und B (−1, −2, 6). Bestimmen Sie den Punkt C auf der Geraden 1+t → − rg = 2 − t 4 so dass i. das Dreieck ABC gleichschenklig mit Basis AB ist, ii. das Dreieck ABC bei C einen rechten Winkel aufweist. Seite 6 / 6
