1 0 1 1 0 1 1 - Stefan Bartz

Ziel
Gegenständen mit Hilfe von Punktkoordinaten so exakt wie möglich vermessen können.
Unterkapitel
 Punkte, Vektoren, Geraden, Ebenen mit Hilfe von Punktkoordinaten ermitteln
 Lagebeziehung zw. Punkten, Geraden und Ebenen ermitteln
 Winkel, Fläche, Volumen, Abstand ermitteln
 Kugelgleichungen und Lagebeziehungen bei Kugeln ermitteln
 Punkte mit Hilfe von Matrizen abbilden können
Kernidee Aus den Punktkoordinaten werden die relevanten Vektoren ermittelt und damit alle gesuchten Größen berechnet.
Rechnen mit Vektoren
Rechnung
1
2
3
geom. Bedeutung
0
-4
3
1
-2
6
0
1
+  +   =  
1
– 2 - -4  = 6 
3
3
0
∙
:
1
2
3
 ∙3 =  


4
2
 6 :2 =  3 
-2 
-1 
1
○
Beispiel a) Bestimmen Sie die Punktkoordinaten von A und B.
3
6
9
hängt V. rückwärts an
verlängert 3-fach
halbiert
0
2 ○ -4  = 1
3   3 
1
hängt Vektor an
0
liefert Zwischenwinkel
18
2  -4  =  -3 
3   3   -4 
b) Bestimmen Sie mit Hilfe von A die Punktkoordinaten von D.
liefert 
n und Fläche
⃗⃗⃗⃗⃗ und 𝐷𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗ , sowie deren Länge.
c) Bestimmen Sie rechnerisch: 𝐴𝐷
d) Geben Sie eine Gleichung an, mit der man alle Punkte der Gerade gAD bestimmen kann.
e) Geben Sie eine Gleichung an, mit der man alle Punkte der Ebene EABD bestimmen kann.
f) Geben Sie eine parameterfreie Gleichung an, mit der man alle Punkte der Ebene EABD bestimmen kann.
Merke
 Formal: Die 3 Vektor-Koordinaten stehen unter- und nicht nebeneinander.
Ein Vektor beschreibt einen Weg, er kann überall im Koordinatensystem liegen;
ein Punkt beschreibt dagegen einen festen Ort im Koordinatensystem.
Der Ort eines Vektors ist nicht eindeutig festgelegt, der eines Punktes schon.
Ein Vektor hat eine Länge, ein Punkt nicht.
 Ein Vektor wird mit 3 Zahlen beschrieben, seine Länge nur mit einer.
Vektor –––––– Länge
Vektor- –––––Skalarprodukt  Das Vektorprodukt liefert einen senkrechten Vektor, der zur Fläche führt;
„Kreuz-“
„Kringelprodukt“
das Skalarprodukt liefert dagegen nur eine Zahl, die zum Winkel führt.
 Man startet im Ursprung (0|0|0) und addiert bekannte „Umwege“ so, dass man
Punkte und Vektoren
den zu bestimmenden Punkt erreicht (s. Beispiel b).
bestimmen
 Man startet im Anfangspunkt des gesuchten Vektors und addiert bekannte „Umwege“ so, dass man die Pfeilspitze erreicht. (s. Beispiel c).
Vektorlänge |𝑎|
 |𝑎| = √𝑎12 + 𝑎22 + 𝑎32
Pythagoras
bestimmen
Unterscheide
Vektor –––––– Punkt
Gerade und Ebene
bestimmen
Parameter r, s; Stütz-,
Richtungs-, Spannvektor
©www.stefanbartz.de v 1.03
⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
𝑔𝐴𝐵 : 𝑂𝑋
𝑂𝐴 + 𝑟 ∙ 𝐴𝐵
𝐸𝐴𝐵𝐶 ∶ ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑋 = ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐴 + 𝑟 ∙ ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 + 𝑠 ∙ ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐶
∶ [𝑥 − ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐴] ∘ 𝑛⃗ = 0
: 𝑛1 𝑥1 + 𝑛2 𝑥2 + 𝑛3 𝑥3 = ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐴 ∘ 𝑛⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ und 𝐴𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ addieDie Parameter r und s geben an, wie oft man die Spannvektoren 𝐴𝐵
ren muss, um zum Ebenenpunkt X zu gelangen.
Übung
11 Der sehr hohe, unten abgebildete Raum wurde durch ein
1 Wie bestimmt man in der Koordinatengeometrie
dreieckiges Segeltuch, das an den Stellen A, B und C befestigt
wurde, wohnlicher gestaltet.
a) Punkte, Vektoren, Winkel und Flächen?
b) senkrechte Vektoren und die Länge eines Vektors?
2 Berechnen Sie die Koordinaten des resultierenden Vektors.
14
−2
1
1
⋅ ( 49) + (−7) + (1)
7
3
−21
1
−20
40
−0,5
b) ( 15) + 0,5 ⋅ ( 7) − (−1,2)
5
−20
−7
a)
3 Berechnen Sie.
1
−2
1
3
8
5
a) (2) ∘ ( 3)
b) ( 0) ∘ (2)
c) (−2) ∘ ( 9)
5
7
5
−2
2
−2
1
−2
1
3
8
5
d) (2) ( 3)
e) ( 0) (2)
f) (−2) ( 9)
5
7
5
−2
2
−2
g) Berechnen Sie jeweils die Längen der 6 Vektoren in a)-c).
h) Wie prüfen Sie, ob 2 geg. Vektoren orthogonal sind?
i) Wie bestimmen Sie einen orthog. Vektor zu 2 gegebenen?
4 Der Punkt M ist der Mittelpunkt der Strecke AB. Bestimmen
a) Geben Sie eine Parameter- und Koordinatengleichung der
entsprechenden Ebenen an. Leben Sie hierzu ein geeignetes Koordinatensystem fest.
b) Bestimmen Sie die Kantenlängen des Tuches.
c) Weist das Tuch bei B oder C einen rechten Winkel auf?
12 Überprüfen Sie rechnerisch, ob das Viereck ein Rechteck ist.
a) A(3|5|0), B(5|3|0), C(8|6|0), D(6|8|0)
b) A(5|5|-1), B(6|4|-1), C(8|7|-1), D(7|8|-1)
Sie die Koordinaten des fehlenden Punktes.
a) A(3|2|5), B(-4|5|-4)
b) A(2|2|3), M(4|-4|7)
c) M(1|-1|0), B(0|-1|1)
13 Bestimmen Sie einen Vektor, der sowohl zu 𝑎, als auch zu 𝑏⃗
5 Beschreiben die Eckpunkte ein Parallelogramm?
14 Liegen die Punkte A, B, C und D in einer gemeinsamen
a) A(-2|2|3), B(5|5|5), C(9|6|5), D(2|3|3)
b) A(2|-2|7), B(6|51|), C(1|-1|1), D(8|0|8)
4
orthogonal ist. Führen Sie anschließend die Kontrolle durch.
1
4
1
4
a) 𝑎 = (0) ; 𝑏⃗ = (−1)
b) ⃗⃗⃗𝑎 = (2) ; 𝑏⃗ = (−1)
2
5
5
4
Ebene? Prüfen Sie mit der Koordinatengleichung.
a) A(0|1|-1), B(2|3|5), C(-1|3|-1), D(2|2|2)
b) A(3|0|2), B(5|1|9), C(6|2|7), D(8|3|14)
c) A(5|0|5), B(6|3|2), C(2|9|0), D(3|12|-3)
−3
6 Gegeben sei 𝑔: 𝑥 = (−3) + 𝑟 ∙ ( 2) .
5
−9
a) Bestimmen Sie 2 Punkte auf g.
b) Liegen A(1|0|-7), B(7|-5|14) auf g?
15 Geben Sie zuerst eine Koordinaten- und dann eine Parame-
7 Geben Sie die Gleichung der Geraden gAB an.
a) A(1|2|3), B(3|-1|1)
b) A(7|-2|7), B(11|-8|3)
c) Verlaufen die obigen Geraden parallel?
8 Geben Sie die Gleichungen der 4 Geraden an, die durch die
Mittelpunkte der Kanten (g, h, i) bzw. Flächen (j) verlaufen.
tergleichung der Ebene mit dem Normalenvektor 𝑛⃗ und dem
Punkt P an.
3
0
a) 𝑛⃗ = (−2) P(-1|2|1)
b) 𝑛⃗ = (8) P(9|1|-2)
7
3
16 Die Ebene E ist parallel zur x2x3-Ebene und hat vom Ursprung die Abstand 3. Wie lautet ihre Koordinatengleichung?
Geben Sie auch eine Parametergleichung an.
Lagebeziehungen
17 Bestimmen Sie jeweils die Lagebeziehung von g und h in
den ersten drei Körpern.
3
2
3
9 Gegeben sei 𝐸: 𝑥 = (0) + 𝑟 ∙ (1) + 𝑠 ∙ (2) .
7
5
2
a) Bestimmen Sie 2 Punkte in E.
b) Liegen A(8|3|14), B(1|1|0), C(4|0|11) in E?
c) Bestimmen Sie die Koordinatengleichung zu E und führen Sie
die 3 Punktproben von b) auch damit durch.
10 Geben Sie die Gleichung der Ebene EABC in Parameter- und
Koordinatenform an.
a) A(1|1|1), B(2|2|2), C(-2|3|5)
b) A(2|5|7), B(7|5|2), C(-1|-2|-3)
c) Lieben die obigen Ebenen parallel zueinander?
d) Geben Sie für a) eine alternative Parametergleichung an, bei
der weder Stütz- noch Spannvektor übereinstimmen.
2
18 Bestimmen Sie im vierten Körper
a) die Lagebeziehung zwischen ECDF und gBH.
b) die Koordinaten von S1 und S2.
Lagebeziehungen
Ziel
Die Lagebeziehungen zwischen Punkten, Geraden und Ebenen ermitteln können.
Beispiel*
L g,P L E,P
LE1, (8|7,5|11) :
P in g bzw. in E einsetzen (Punktprobe)
32
A  g*?
g  g*
 8   0
gleichsetzen
g || g*
S(||)
g∙\g*
 
n || n* ?
L E, E*
A  E* ?
E  E*
gS: 
x = ....
 
n ◦ v* = 0 ?
L E, g*
A* E ?
g  E*
Merke
g || E*
8
0
LAB, HG: ■ 
v ∦
v*  g /| g* oder g ·\ g*
16
-1
■
-r 0 =-24

 r = 24 
 = 2    0 = 2
 r* = 8 
 r* = 8 
 g ∙\ g*
LE1, E2: ■ 
n1 ∦ 
n2  E1 /| E2
gleichsetzen
E || E*
-1
   
   
Mit H(8|14|16) gilt gAB : 
x =12+ r  0  ; g*HG : 
x =14+ r* 0 
 
v || v* ?
L g, g*
2∙7,5 + 3∙11 = 48   (8|7,5|11)  E1
gleichsetzen


2x2+3x3 =48
+3x3 =48
■ 2x1
   xx =24-1,5x

24 -3
x =24+r-3
  =24-1,5x   gS:
  x =2r

 0  2
=-3 ≠ 0
L E2,HG: ■ 
n ◦v*
2
3
1
3
3
 gHG /| E2
■ 2∙8+3∙(16- r)=48  r =5,33  G(8|14|10,66)
S( | | )
Wie können 2 Geraden bzw.
2 Ebenen zueinander liegen?
Wann sind 3 bzw. 4 Punkte
linear abhängig und wie
prüft man das?
2 Geraden: aufeinander , echt parallel ||, schneidend /|, windschief ∙\
2 Ebenen: aufeinander , echt parallel ||, schneidend /|
3 Punkte, wenn sie auf einer Geraden, 4 Punkte wenn sie in einer Ebenen liegen.
 Geradengleichung mit 2 Punkten aufstellen, 3. dort einsetzen.
 Ebenengleichung mit 3 Punkten aufstellen, 4. dort einsetzen.
Der allgemeine Geradenpunkt lässt sich in die Koordinatengleichung leichter
Tipp: Ebenen immer in
einsetzen (man erhält nur 1 Gleichung mit 1 Unbekannten).
Koordinatenform umwandeln
2 Ebenen lassen sich in Koordinatenform besser gleichsetzen (2x3 statt 3x4 LGS).
Die Stützpunkte und Parameter der 2. betrachteten Ebene (bzw. Gerade) am
Tipp: Namensgebung mit *
besten immer mit einem * kennzeichnen.
Wann dürfen Spannvektoren Nur beim Aufstellen der Ebenengleichung, nicht, wenn der Flächeninhalt zwi„gekürzt“ werden?
schen den Spannvektoren berechnen werden soll.
die 3 Spurpunkte einer Ebene Schnittpunkt mit der x1-Achse: allgemein. Geradenpunkt (r|0|0) in E einsetzen.
Übung
19 Der Würfel hat die Eckpunkte
22 Bestimmen Sie die Lagebeziehung von E1 und E2.
A(0|0|0), B(0|8|0), C(-8|8|0), D(0|0|8).
Wo schneidet die Diagonale CE die
Ebenen E1 und E2?
a) E1: 2x1 +x2 +3x3 = 5; E2: -4x1 -2x2 -6x3 = 18
b) E1: 2x1 +x2 - 2x3 = 5; E2: 5x1 -2x2 + x3 = 1
c) E1: 2x1 +x2 - 2x3 = 2; E2: x1 -2x2
=1
20 Bestimmen Sie die Lagebeziehung
23 Geben Sie jeweils die Gleichung einer Geraden und einer
der beiden Ebenen a) in Fig.1 und b) in
Fig.2. Berechnen Sie ggf. die Gleichung
der Schnittgeraden.
Ebene an,
a) die sich schneiden.
b) die zueinander echt parallel sind.
21 Zeigen Sie, dass in Fig.3 die Punkte ABEF sowie CDGH jeweils
24 Bestimmen Sie Lg,E und Lh,E. Berechnen Sie ggf. den Schnitt-
in einer Ebenen liegen und bestimme Sie deren Lagebeziehung.
punkt und prüfen Sie auf Orthogonalität.
−2
3
𝑔: 𝑥 = ( 0) + 𝑟 ∙ ( 0)
−5
1
2
6
ℎ: 𝑥 = (4) + 𝑟 ∙ ( 3)
6
12
a) E: 2x1 +x2 +4x3 = 5
b) E: 9x1 +7x3 = 1
d) E: 4x1+2x2+8x3 =-15 e) E: 2x1 - 1x3 = 6
c) E: 3x2 = -10
f) E: x1 = 4
25 Bestimmen Sie die Spurpunkte der Ebenen a)- f) der vorherigen Aufgabe und skizziere Sie E im Koordinatensystem.
*
Die Beispielaufgaben beziehen sich auf das Haus von Seite 1.
3
Winkel, Fläche, Volumen, Abstand
Ziel
Winkel, Fläche, Volumen und Abstand mit Hilfe von Vektoren berechnen können.
Beispiel
Winkel
αg,g*= cos–1
Fläche
AABC =
Volumen
Abstand
Merke

| v ◦v*|
 
| v |∙|v*|

| AB

AC|

VABCD = | AB
dg,P =
|v⃗ |

| n ◦v*|
 
| n |∙|v*|
Parallelogrammfläche
 
AC ∘ AD |
v⃗ |
⃗⃗⃗⃗⃗
|AP
αE,g*= 90°– cos–1
dE,P =
Wieso entspricht die Winkelformel
von E,g* nicht der von g,g*?
Wieso liefern die beiden Abstandsformeln den richtigen Wert?
Abstand bei parallelen und windschiefen Geraden bestimmen.
VPyramide
ATrapez
Spatvolumen
⃗⃗⃗⃗⃗ ∘ n
⃗|
|AP
|n
⃗|
Weisen Sie folgende Größen beim Haus auf S. 1 nach:
αBE,BA = 129,76°
AABDE =
αE1,E2 = 46,19°
1  
|(AB+DE)
2
αBE,Boden = 25,24°

AD| = 187,49 m2
32
0
0
VErdgeschoss = | 0  12 ∘ 0| = 3.072 m3
 0   0  8
dBE,H ≈ 7,87 m
dE2,H ≈ 4,44 m
dAD,CF ≈ 5,82 m
2. Formel, da gAD ∙\ gCF ; 
n AD,CF = 2
2
3
Eine Skizze zeigt, dass der berechnete Winkel zwischen 𝑛⃗ und 𝑣 ∗ nicht dem
gesuchten Winkel zwischen Ebene E und Gerade g* entspricht.
dg,P =
𝑃𝑎𝑟𝑎𝑙𝑙𝑒𝑙𝑜𝑔𝑟𝑎𝑚𝑚𝑓𝑙ä𝑐ℎ𝑒
𝐺𝑟𝑢𝑛𝑑𝑠𝑒𝑖𝑡𝑒
= 𝐻öℎ𝑒
dE,P =
𝑆𝑝𝑎𝑡𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛
𝐺𝑟𝑢𝑛𝑑𝑓𝑙ä𝑐ℎ𝑒
= 𝐻öℎ𝑒
Parallele Geraden spannen ein Parallelogramm auf  1. Abstandsformel.
Windschiefe Geraden spannen einen Spat auf
 2. Abstandsformel.
1
1
VRechteckspyramide = ∙ VSpat
VDreieckspyramide = ∙ VSpat
warum?
3
6
 

ATrapez = ½ AParallelogramm = ½|(AB+DC) AD)|
warum?
Achtung bei A und V… …die 2 bzw. 3 aufspannenden Vektoren müssen in einem gemeins. Punkt beginnen!
Betragsstriche im Zähler weglassen
Lotfußpunkt von g bzgl. P
(i) wenn der Winkel zw. Vektoren bestimmt wird (kann über 90° betragen).
(ii) wenn beim Abstand die Orientierung von 𝑛⃗ interessiert. s. nächstes Kapitel
Der Lotfußpunkt ist der Schnittpunkt zwischen g und der Hilfsebenen H,
mit Stützpunkt P und Normalenvektor 𝑣.
Übung
26 A, B, C und D spannen einen Spat auf. Berechnen Sie jeweils
Grundfläche, Volumen und Neigungswinkel.
a) A(0|0|0), B(-1|5|6), C(9|-3|5), D(-1|-5|-1)
b) A(3|8|-4), B(-1|5|-3), C(2|10|-2), D(1|10|2)
2
𝑠 = (1)
5
27 A, B, C und D sind die Eckpunkte einer Dreieckspyramide.
Bestimmen Sie jeweils: αABC, BD | dABC, D | dBD, C | VPyramide
a) A(0|0|0), B(1|7|7), C(2|-3|4), D(6|1|10)
b) A(1|-2|12), B(11|3|5), C(3|5|8), D(19|4|4)
28 Welcher der Punkte A(3|2|-1|), B(4|4|0), C(7|3|2) ist am weitesten von E: 3x1 + 5x2 - x3 = 20 bzw. von F: x1 = 4 entfernt?
29 Welcher der Punkte A(3|2|-1|), B(4|4|0), C(7|3|2) ist am wei−2
3
1
−5
testen von 𝑔: 𝑥 = ( 0) + 𝑟 ∙ ( 1) entfernt?
30 Bestimme Sie bei dem nachfolgend skizzierten Haus
a) die 4 Wandebenen sowie die beiden schrägen Dachebenen E1
(rechts) und E2 (links) in Koordinatenform.
b) den Winkel zwischen E1 und E2, sowie den Winkel zwischen
der Antenne und E1.
c) das Volumen des Hauses.
d) die Länge der Antenne von M bis zum Dach.
e) den Abstand von M zur Fläche E1
f) den Abstand von gDC zu P(3|1|0).
g) Ist die Antennenspitze von P(3|1|0) aus sichtbar?
h) Die Sonne scheint aus Richtung 𝑠. M‘ ist der Schattenpunkt
von M. Bestimmen Sie seine Koordinaten.
4
31 Ein Trapez ist gegeben durch A(1|1|2|), B(3|5|-2), C(2|3|2) und
D(-4|-9|14). Bestimmen Sie
a) die Vektoren der beiden parallelen Seiten.
b) den Flächeninhalt ATrapez .
c) die Höhe (mit elementar- und vektorgeometrischen Mitteln).
d) alle Innenwinkel.
e) den Lotfußpunkt von gAB bzgl. C.
f) C‘ beim Spiegeln von C an gAB (nutzen Sie dazu Aufgabe e)).
32 Untersuchen Sie die Lagebeziehung zwischen gAB und hCD
und bestimmen Sie deren Abstand.
a) A(2|5|5), B(3|6|8), C(0|0|0), D(-1|-1|-3)
b) A(0|1|2), B(0|2|3), C(0|1|2), D(4|4|0)
Kugelgleichungen
Ziel
Kugelgleichungen aufstellen und mit ihnen Lagebeziehungen bestimmen können.
Beispiel
Kugel
LK,g
K : [x – ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
OM] 2 = r 2
: (x1–m1)2+(x2–m2)2+(x3–m3)2 = r 2
LK,E
LK,K*
■
gleichsetzen
rS =
2
dE,M  r?
r2
–
d2
MS = ⋂E,g
rS Radius Schnittkreis
⃗
mit 𝑔𝑆 : x = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
OM + t∙n
gleichsetzen  ESchnittebene
Kreise
Parameter r, s, t
−7
1
3
weiter wie LK,E
2 2
𝐾: [𝑥 − (4)] = 25
4
■ 𝐸: 2𝑥1 − 𝑥2 + 𝑥3 = 16
■
0 2
𝐾 ∗: [𝑥 − (−2)] = 32
1
K: (x1 -2)2 +(x2 -4)2 +(x3 -4)2 =25 ;
P(12-7t|-4+4t|1+3t)
⇒ t=1 oder t=2
⇒ S1=(5|0|4); S2=(-2|4|7)
■ dE,M =−√6 ≤ 5
■ rS = √25 − 6 ≈ 4,36
■
2
2
𝑔𝑆 : 𝑥 = (4) + 𝑡 (−1)
4
1
(x1 -2)2 +(x2 -4)2 +(x3 -4)2 =25
)
(x1 -0)2 +(x2 +2)2 +(x3 -1)2 =32
■ t=2 ⇒ MS(6|2|6)
■(
⇒ 𝐸: 2𝑥1 + 6𝑥2 + 3𝑥3 = 19
■ dE,M = 3 ≤ 5
■ rS = 4
■
Merke
12
geg.: ■ 𝑔: 𝑥 = (−4) + 𝑡 ( 4)
2
2
𝑔𝑆 : 𝑥 = (4) + 𝑡 (6)
4
3
■ t=− 7 ⇒ MS( 7 |
3
8
10
7
9
| )
7
Kreise können im Raum nicht durch eine einzelne Gleichung beschrieben werden, sondern
nur als Schnitt zwischen Kugel und Ebene. Es genügt dann, den Schnittkreismittelpunkt
und –radius (MS und rS) zu nennen.
r und s bezeichnen in der Regel die Parameter von Geraden und Ebenen. Da „r“ ebenfalls
für den Radius benötigt wird, wird „t“ als weiteren Parameterbezeichner eingeführt.
Achtung, handschriftlich nicht mit „+“ verwechseln.
dE,M statt
dM,E
Bestimmt man immer
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∘ 𝑛
⃗
𝐴𝑀
|𝑛
⃗|
statt
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∘ 𝑛
⃗
𝑀𝐴
|𝑛
⃗|
, so lässt sich mit dem Abstand direkt die Ori-
entierung von 𝑛⃗ ablesen: dE,M > 0 ⇒ α < 90° ⇒ 𝑛⃗ zeigt in den Halbraum in dem M liegt.
Übung
33 Prüfen Sie, ob die Punkte A(5|5|6), B(3|6|10) und C(7|1|-2) innerhalb, auf oder außerhalb der Kugel mit dem Mittelpunkt M(1|2|3) und dem Radius r=9 liegen.
34 Untersuchen Sie, ob folgende Gleichung eine Kugel beschreibt und geben Sie ggf. Mittelpunkt und Radius an.
a) x12 + x22 + x32 – 4x1 – 8x2 + 12 = 0
b) x12 + x22 + x32 – 6x1 -10x2 + 14x3 – 25 = 0
2
2
5
1
38 Untersuchen Sie die Lagebeziehung zwischen K und K*.
1 2
7 2
𝐾: [𝑥 − ( 7)] = 36; 𝐾 ∗ : [𝑥 − (13)] = 9
1
−2
39 Untersuchen Sie die Lage der Kugel K mit M(2|0|0) und r=√2
jeweils zu folgenden Geraden:
1
1
a) 𝑔: 𝑥 = t ( 0) b) 𝑔: 𝑥 = t (0)
0
−1
1
c) 𝑔: 𝑥 = t ( 0)
−2
35 Sei 𝐾: [𝑥 − (−1)] = 9 und 𝑔: 𝑥 = (−1) + 𝑟 (−1) .
40 Gegeben sind die Punkte A(6|-2|1), B(3|0|3) und C(5|-2|2).
−3
3
4
a) Bestimmen Sie die Schnittpunkte zwischen K und g.
b) Bestimmen Sie eine zu g parallele Tangentialgerade g1.
c) Bestimmen Sie eine zu g parallele Passantengerade g2.
a) Zeigen Sie, dass C nicht auf gAB liegt.
b) Geben Sie EABC in Parameter- und Koordinatenform an.
c) Spiegelt man O(0|0|0) an EABC, so erhält man M. Bestimmen
Sie die Kugelgleichung von K, die M als Mittelpunkt hat und die
Ebene berührt. Berechnen Sie auch die Koordinaten des Berührpunkts D.
d) Bestimmen Sie die Gleichung der Tangentialebene von K, die
parallel zur Ebene EABC verläuft.
e) Untersuchen Sie, welche Koordinatenebenen die Kugel K
schneiden. Berechnen Sie ggf. Mittelpunkt und Radius des
Schnittkreises.
36 Zeigen Sie, dass der Punkt B(–3|1|1) auf der Kugel mit
M(3|-1|4) und r = 7 liegt. Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung der Tangentialebene durch B.
37 Untersuchen Sie die Lagebeziehung zwischen Ebene E und
Kugel K. Geben Sie ggf. Berühr- bzw. Schnittpunkte an.
a) K: (x1-2)2 + (x2–1)2 + (x3+3)2 = 25; E: 2x1+2x2+2x3 = 19
b) K: (x1-4)2 + (x2+2)2 + (x3–3)2 = 46; E: -6x1+3x2 – x3 = 13
c) K: (x1-1)2 + (x2+1)2 + (x3–5)2 = 64; E: 2x1 – x2 – x3 = 0
5
Matrizen
Ziel
Matrizen in unterschiedlichen Anwendungsgebieten einsetzen können.
Beispiel
A + B
elementweise
A  B
Zeile ∙ Spalte
A–1
Gauß-Jordan
3
2 5
)=(
)
9
9 13
6 −1
1 2 3
12
(
) ∙ (3 2 ) = (
4 5 6
39
0 −3
1 2 0 1 0 0
1
(2 3 0| 0 1 0) ⟺ (0
3 4 1 0 0 1
0
(
1 2 2
 Codieren Sie Text mit A=( 4 5 1).
−1 2 7
 Decodiere Sie den Code anschließend.
1 2
1
)+(
3 4
6
Excelformel:
−6
)
−12
0 0 −3
1 0| 2
0 1 1
{=A+B}
{=MMULT(A;B)}
2 0
−1 0)
−2 1
{=MINV(A)}
 „ZEILE X SPALTE“  „26 5 9 12 5 0 24 0 19 16 1 12 20 5“
26 12 24 16 20
1 2 2
54 22 62 42 30
( 4 5 1) ∙ ( 5
5
0
1
5 ) = (138 73 115 81 105 )
−1 2 7
9
0 19 12 0
47 −2 109 70 −10
33 −10 −8
26 12 24 16 20
54 22 62 42 30
Erläutern Sie jeweils, wie die Zahlen zustande kom-  (−29
9
7 ) ∙ (138 73 115 81 105 ) = ( 5
5
0
1
5)
13
−4 −3
9
0 19 12 0
47 −2 109 70 −10
men und die Umsetzung in Excel.
1 0 0
4
1 0 0
Wie bestimmt man den Bildpunkt P‘ bei einer
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (0 1 0) ∙ 𝑂𝑃
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (0 1 0 ) ∙ 𝑂𝑃
⃗⃗⃗⃗⃗ + (3)
⃗⃗⃗⃗⃗
a) 𝑂𝑃′
d) 𝑂𝑃′
- Verschiebung um (4|3|6)?
0 0 1
6
0 0 −1
- Zentr. Streckung von (3|2|3) aus um 2?
2 0 0
3
3
⃗⃗⃗⃗⃗ − (2)) + (2)
b) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑃′ = (0 2 0) ∙ (𝑂𝑃
- Drehung um (3|2|3) || zur x1x2-Ebene?
0 0 2
3
3
- Spiegelung an der x1x2-Ebene?
Stellen Sie die Abbildungen dar in der Form
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑋 ′ = 𝐴 ∙ ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑋 + 𝑏⃗ . Geradentreue Abbildungen
cos 
c) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑃′ = ( sin 
0
− sin 
cos 
0
0
3
3
⃗⃗⃗⃗⃗ − (2)) + (2)
0) ∙ (𝑂𝑃
1
3
3
Eine Insektenpopulation umfasst zu Beginn
0
0 8 𝑥 120
120 Eier, 40 Larven und 24 Insekten. Pro Mo- (a) 𝑓 (𝑥) = (0,25 0 0) ∙ ( 40 )
0
0,5 0
24
nat werden aus 25% der Eier Larven, aus 50%
der Larven Insekten und jedes Insekt legt kurz
vor seinem Tod 8 Eier. (a) Bestimmen Sie die
Fkt.-Gleichung der Populationsentwicklung.
(b) Wann würde die Population aussterben?
Merke
Was sind Matrizen?
Wie bestimmt man in Excel:
A+B, A∙B und A-1
Welche Rechengesetze gelten?
Stabile Verteilung finden.
Tabellenartige Zahlenfelder, die auf bestimmte Weise addiert und multipliziert werden. Viele Themen der Mathematik lassen sich damit übersichtlicher ausdrücken.
1.) Entsprechende Anzahl von Zielfeldern markieren. 2.) Obige Formel ohne geschweifte Klammern eingeben und 3.) Eingabe mit STRG++RETURN abschließen.
Kommutativgesetz nicht: 𝐴 ∙ 𝐵 ≠ 𝐵 ∙ 𝐴
D.h. A-1 also immer von links multiplizieren!
Assoziativ- u. Distributivgesetz schon: 𝐴 ∙ (𝐴 ∙ (𝐴 ∙ 𝑏⃗)) = (𝐴 ∙ 𝐴 ∙ 𝐴) ∙ 𝑣 = 𝐴3 ∙ 𝑏⃗
näherungsweise: 𝐴∞ ∙ 𝑏⃗ z.B. mit Excel;
exakt: 𝐴 ∙ 𝑥 = 𝑥 ⇒ Grenzmatrix G ⇒ 𝐺 ∙ 𝑏⃗
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = 0
1
(4𝑥1 + 2𝑥2 + 𝑥 3 = 1) ⇔ (4
9𝑥1 + 3𝑥2 + 𝑥 3 = 3
9
Wie wird ein LGS
mit Matrizen gelöst?
Herleitung der Drehungsmatix.
(b) Wenn wegen Nahrungsmangel z.B. nur 45% der Larven zu
Insekten werden (ca. 60 Tage).
1
2
3
𝑥1
𝑥1
1
0
0
0,5 −1 0,5
1) ∙ (𝑥2 ) = (1) ⇔ (𝑥2 ) = (−2,5 4 −1,5) ∙ (1)
𝑥
𝑥
1
3
3
3
3
3
−3
1
𝐴 ∙ 𝑥 = 𝑏⃗
⇔
𝑥 = 𝐴−1 ∙ 𝑏⃗
1
0
Am Einheitskreis untersuchen, wohin die Vektoren ( ) und ( ) abgebildet werden.
0
1
Übung
41 Bestimmen Sie A-1, B-1, C-1 und A∙B von Hand.
4 1
A =( 1 2
0 −1
−1
−5)
2
2 3
B =(1 −2
2 2
−1
4)
−4
3 −2
C =(2 −5
1 2
4
2)
−5
42 Gegeben Sie die Codierungsmatrix. 𝐴 = (−1 −2)
2
1
a) Codieren Sie das Wort „ABITUR“.
b) Bestimmen Sie M-1 von Hand und decodieren Sie.
43 In einer Stadt gibt es die Möglichkeit
𝐻 𝑅
𝑍
Fahrräder am Hbf H, am Rathaus R und am 𝐻 0,7 0,2 0,6
𝑅 (0,1 0,6 0,4)
Zoo Z auszuleihen und an einem der drei
𝑍 0,2 0,2 0
Orte wieder abzugeben. Für den beobachteten täglichen Wechsel gilt die Übergangsmatrix.
a) Interpretieren Sie die Einträge der Matrix.
b) Wie sind die Fahrräder nach 2 Tagen verteilt, wenn anfangs
50 bei H, 30 bei R und 20 bei Z standen?
c) Ermitteln Sie, ob irgendwann eine stabile Verteilung erreicht
werden kann.
6
44 In einer Stadt gibt es 3 Cafés. Das Wechselverhalten der Gäste
wird mit dem abgebildeten
Zustandsdiagramm beschrieben. Wie sähe die langfristige Verteilung aus, wenn
anfangs die 100 „Cafégänger“ der Stadt alle zu Café A
gehen würden?
45 Abbildungsmatrix herleiten.
a) Welche Matrix spiegelt die Punkte P an der Ebene
⃗⃗⃗⃗⃗ − 2 ∙ 𝑑𝐸,𝑃 ∙ 𝑛
E: 2x1 – x2 + 2x3 = 0?
(𝑇𝑖𝑝𝑝: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑃′ = 𝑂𝑃
⃗⃗⃗⃗0 )
b) Welche Matrix kann die Spiegelung rückgängig machen?