11312 - Mathe-CD

Geometrie
e-C
D
Klassenstufe 9
Ma
th
Kathetensatz
mo
:
mit ausführlichen Lösungen
De
Datei Nr. 11312
Friedrich Buckel
Stand 22. April 2008
INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK
www.mathe-cd.de
Inhalt
Datei Nr. 11311
Der Satz des Pythagoras
1.1
Inhalt des Satzes von Pythagoras
Umkehrung dieses Satzes
1
2
1.2
Ein einfacher Beweis dieses Satzes
3
1.3
Einfache Aufgaben dazu
4
1.4
Aufgaben zu Dreiecken und Vierecken
(1)
Das gleichschenklige Dreieck
(2)
Das gleichseitige Dreieck
(3)
Diagonale eines Rechtecks bzw. Quadrats
(4)
Höhe eines symmetrischen Trapezes
(5)
Abstand einer Sehne vom Kreismittelpunkt
5
6
7
8
8
1.5
De
mo
: M
ath
e-C
D
§1
Aufgaben zur Raumgeometrie
(1)
Raumdiagonale eines Quaders
(2)
Raumdiagonale eines Würfels
(3)
Regelmäßige quadratische Pyramiden
(4)
Tetraeder
9
9
10
11
1.6
Längenmessung im Achsenkreuz
13
1.7
Lösungen der Aufgaben 1 bis 11
17 – 27
Datei Nr. 11312
§2
Die Scherung als Abbildung
31
§3
Der Kathetensatz
38
3.1
3.2
3.3
3,4
38
38
39
47
Was sagt er aus?
Einfache Rechenübungen dazu
Konstruktionen mit dem Kathetensatz
Lösungen zu § 3
Datei Nr. 11313
§4
Der Höhensatz
51
4.1
4.2
4.3
51
52
54
Inhalt und Beweis des Höhensatzes
Einfache Anwendungen des Höhensatzes
Konstruktionen mit dem Höhensatz
Hinweise:
Ich beginne mein Manuskript mit der Einführung der Scherungen als einer Abbildung,
die man zum Beweis des Kathetensatzes verwenden kann.
Wer als Schüler daran nicht interessiert ist und auch den Beweis des Kathetensatzes
nicht nachlesen möchte, sondern nur an dessen Anwendungen interessiert ist, kann
die Abschnitte 2 und 3.3 überspringen.
De
mo
:
Ma
th
e-C
D
Die Lösungen befinden sich alle auf der Mathematik-CD.
11312
Kathetensatz
41
TEXTBEISPIEL:
3.4 Konstruktionen zum Kathetensatz
(1)
Konstruiere ein Quadrat mit dem Inhalt 15 cm2.
Lösung
Verwendet man die Kathetensatz-Gleichung a2 = c ⋅ p , dann soll also
a2 = 15 cm2 sein, was man z.B. mit c = 5 cm und p = 3 cm erreicht.
D
Konstruktion:
e-C
Zeichne die Strecke AB = c = 5 cm und markiere von rechts her die
Teilstrecke q = BD = 3 cm .
Im Teilungspunkt D errichte das Lot auf c. (Auf ihm muss die Ecke C
liegen.)
Ma
th
Nun halbiere AB in M und zeichne um M durch A und B einen Halbkreis.
(Sein Radius ist natürlich r = 21 c = 2,5 cm ).
Dieser Halbkreis schneidet das Lot in C, und nach dem Satz des Thales
entsteht dort ein rechter Winkel.
mo
:
Die Strecke BC = a ist die Seite des gesuchten Quadrates.
De
C
A
Friedrich Buckel
a
M
D
q
B
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11312
Kathetensatz
41
Eine Variante dieser Aufgabe lautet so:
(2)
Verwandle ein Rechteck aus den Seiten 3 cm und 5 cm in ein
flächengleiches Quadrat.
Lösung
Man beginnt jetzt mit dem Rechteck aus c und q und trägt dann die zunächst vertikale
Strecke c horizontal ab, damit entsteht die Ausgangssituation der Aufgabe 1.
e-C
D
Und alle weiteren Schritte verlaufen wie dort geschildert.
Ma
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C
a
M
A
D
q
B
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Friedrich Buckel
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