Grundwissen Mathematik 6 - Gymnasium Schrobenhausen

Gymsob
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Grundwissen Mathematik 6.Klasse
Gymnasium SOB
1.Weiterentwicklung der Zahlvorstellung
1.1.Bruchteile und Bruchzahlen
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des Kreises ist rot,
des Kreises ist blau gefärbt. Über dem Bruchstrich steht der
4
4
Zähler, unter dem Bruchstrich der Nenner. Dieser gibt an, in wie viele Teile das Ganze
(hier der Kreis) zerlegt wird.
3
1
Beispiel:
von 1000g = ( von 1000g) · 3 = (1000g : 4) · 3 = 250g · 3 = 750g
4
4
Beim Kürzen werden Zähler und Nenner durch die gleiche Zahl geteilt. Der Wert des
Bruches ändert sich dabei nicht. Beispiel:
6 6:2 3
=
=
8 8:2 4
Erweitern bedeutet Zähler und Nenner mit der
gleichen Zahl zu multiplizieren, wobei der Wert des
3 5 ⋅ 3 15
=
Bruches erhalten bleibt. =
4 5 ⋅ 4 20
Bruchzahlen werden oft in Prozent angegeben, dabei
8
= 8%
bedeutet Prozent Hundertstel:
100
Viele Bruchzahlen haben trotz verschiedener Gestalt (Erweitern und Kürzen) den
gleichen Wert.
Darstellung am Zahlenstrahl:
-6/8
-1
•
•
•
•
•
-1/4
-1/2
1/4
0
3/4
4/8
Jeder Bruch kann als Quotient geschrieben werden:
5/4
1
3
= 3 : 4 .Der Nenner eines
4
Bruchs darf nie Null sein!
Die Menge Q der rationalen Zahlen besteht aus allen positiven und negativen Brüchen
und der Null: Q beinhaltet Z und Z wiederum beinhaltet N.
Echte Brüche: der Zähler ist kleiner als der Nenner
Unechte Brüche: der Zähler ist größer als der
Q
Nenner. Hier ist eine Darstellung als gemischte
Z
N
Zahl möglich.
5
1
Beispiel: = 1
4
4
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1.2.Dezimalzahlen
• Erweiterte Stellenwerttafel: Beispiel 37, 254
Hunderter Zehner
Einer
Zehntel
0
3
7
2
,
•
-1
•
Tausendstel
4
Darstellung am Zahlenstrahl:
-0,75
•
Hundertstel
5
-0,25
-0,5
1,25
0
0,5
1
Zur Umwandlung Brüchen in Dezimalbrüche erweitert man falls möglich den Bruch
3 25 ⋅ 3 75
=
= 0,75 . Dies ist
so, dass im Nenner eine Stufenzahl entsteht: =
4 25 ⋅ 4 100
möglich, wenn der Nenner des vollständig gekürzten Bruches in der
Primfaktorzerlegung nur aus den Primfaktoren 2 und 5 besteht. Anderenfalls dividiert
man schriftlich Zähler durch Nenner. Beispiel 1: 8 = 0,125 (endlicher Dezimalbruch),
1:3 = 0,33333...(unendlich periodischer Dezimalbruch).
Die Rundung von Dezimalbrüchen funktioniert wie bei den ganzen Zahlen. 23,768 auf
Zehntel gerundet ergibt 23,8 da wegen der 6 aufgerundet wird.
1.3.Relative Häufigkeit
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Bei einem Zufallsexperiment tritt genau ein Ergebnis von mehreren möglichen
Ergebnissen ein, dabei lässt sich nicht vorhersagen welches es ist.
Die absolute Häufigkeit gibt an wie oft ein bestimmtes Ergebnis eingetreten ist.
Die relative Häufigkeit gibt an wie groß der Anteil der absoluten Häufigkeit an der
Gesamtzahl der Versuche ist.
Beispiel: Beim 100 – maligen Werfen eines Würfels trat die 6 16 – mal auf. Die
16
4
=
= 16% .
absolute Häufigkeit ist also 16, die relative Häufigkeit
100 25
Wiederholt man ein Zufallsexperiment sehr oft, so pendelt sich die relative Häufigkeit
für jedes Ergebnis um einen bestimmten Wert ein (Empirisches Gesetz der großen
Zahlen).
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2.Rechnen mit nicht-negativen rationalen Zahlen
2.1.Addition und Subtraktion
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Brüche: Falls die Nenner nicht gleich sind, die Brüche nicht gleichnamig sind, müssen
sie erst gleichnamig gemacht werden. Anschließend werden die Zähler addiert bzw.
subtrahiert und der Nenner beibehalten. Der kleinstmögliche gemeinsame Nenner, das
kgV der beiden Nenner wird Hauptnenner genannt.
6 2 18 8 10 5
−
=
=
Beispiel: − =
8 6 24 24 24 12
Gemischte Zahlen schreibt man erst als Summe und addiert bzw. subtrahiert dann.
6 2
18 
8 
18
8
10
5
−  1+
− 1−
=1 =1
 = 2+
Beispiel: 2 − 1 = 2 +
8 6
24 
24 
24
24
24
12
Dezimalbrüche werden wie ganze Zahlen stellenweise addiert bzw. subtrahiert.
Beispiel:
3,567
+0,025
3,592
2.2.Multiplikation und Division
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•
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Bruchmultiplikation: „Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner“
6 2 6 • 2 12 1
=
=
Beispiel: • =
8 6 8 • 6 48 4
Bruchdivision: Ein Bruch1 wird durch einen Bruch2 dividiert, in dem man den Bruch1
mit dem Kehrbruch von Bruch2 multipliziert.
6 2 6 6 36 9
1
= = 2 = 2,25
Beispiel: ÷ = • =
8 6 8 2 16 4
4
Gemischte Zahlen wandelt man vor der Multiplikation bzw. Division in unechte
Brüche um.
6 2 22 8 22
4
2
• =
= 3 = 3 = 3, 3
Beispiel: 2 • 1 =
8 6 8 6 6
6
3
Zwei Dezimalzahlen werden ohne Rücksicht auf das Komma ausmultipliziert,
anschließend wird im Produktergebnis das Komma so gesetzt, dass es so viele
Kommastellen wie beide Faktoren zusammen hat.
Beispiel: 0,02 · 0,43 = 0,0086
Bei der Division durch einen Dezimalbruch verschiebt man im Dividenden und im
Divisor das Komma so weit nach rechts, bis der Divisor eine natürliche Zahl ist. Dann
wird die Division ausgeführt.
Beispiel: 0,3 : 0,75 = 30 : 75 = 0,4
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3.Flächen und Rauminhalt
3.1.Flächeninhalt
•
Parallelogramm: Grundseite mal zugehörige Höhe
AP = a · ha = b · hb
•
Dreieck: Grundseite mal zugehörige Höhe geteilt durch 2
AD = ½ · a · ha = ½ · b · hb= ½ · c · hc
•
Trapez: Summe der parallelen Seiten mal Höhe geteilt durch 2
AD = ½ · (a + c) · h
c
ha
h
hc
a
a
c
•
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Im Schrägbild eines Körpers bleiben parallele Seiten parallel, rechte Winkel können
durch das räumliche Bild verändert werden.
Der Oberflächeninhalt eines Körpers ergibt sich als Flächinhalt seines Netzes.
b
h
l
3.2.Volumen
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Volumeneinheit: Ein Würfel mit der Seitenlänge 1cm hat das Volumen 1cm3.
Volumenumrechnung: 1000mm3 = 1cm3; 1000cm3 = 1dm3; 1000dm3 = 1m3;
1000000000m3 = 109m3 = 1km3
Quadervolumen: V = l · b · h
Würfelvolumen: V = a · a · a = a3
Weitere Volumenberechnungen sind möglich, wenn der Körper in Quader zerlegt
werden kann.
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4.Rechnen mit rationalen Zahlen
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Von zwei rationalen Zahlen ist diejenige größer, die auf dem Zahlenstrahl weiter
rechts liegt. Bei Dezimalzahlen ist dies sofort ersichtlich.
In der Bruchdarstellung bringt man die Brüche vor dem Größenvergleich auf gleiche
Nenner oder gleiche Zähler.
5 3 3
Beispiel: < <
7 7 9
Zusätzlich zu den Rechenregeln für die nicht-negativen rationalen Zahlen muss jetzt
das Vorzeichen wie bei den ganzen Zahlen im Grundwissen der 5.Klasse genannt,
beachtet werden. Kommutativgesetz, Assoziativgesetz und Distributivgesetz gelten
wie bei den ganzen Zahlen. Beispiel:
4+
4 
1
4  7
5
 16 
:  − 0,75 +  = 4 + :  −
 = 4+  −
=1
3 
6
3  12 
7
 7
5.Prozentrechnung
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Grundgleichung der Prozentrechnung: Prozentsatz · Grundwert = Prozentwert
Beispiel: 5% von 20€ = 5/100 · 20€ = 20€ : 100 · 5 = 1€
Berechnung des Prozentsatzes: Prozentsatz = Prozentwert / Grundwert
Beispiel: Wie viel Prozent sind 5€ von 20€? 5€/20€ = ¼ = 25%
Berechnung des Grundwertes: Grundwert = Prozentwert / Prozentsatz
Beispiel: 30% vom Gesamtkapital sind 60000€. Wie hoch ist das Kapital?
60000€ : 30% = 60000€ : 0,3 = 600000€ : 3 = 200000€
oder mittels Schlussrechnung:
60000€ entsprechen 30%
20000€ entsprechen 10%
200000€ entsprechen 100%
Diagramme