Sozialwissenschaftliche Methoden und Statistik I

Sozialwissenschaftliche Methoden und Statistik I
Universität Duisburg – Essen
Standort Duisburg
Integrierter Diplomstudiengang Sozialwissenschaften
Skript zum SMS I Tutorium
Von
Mark Lutter
Stand: April 2004
Teil II
„Wahrscheinlichkeitsrechnung und Inferenzstatistik“
Mark Lutter
SMS I Tutorium
Teil II „Inferenzstatistik“
Inhaltsverzeichnis
Seite 2 von 52
Seite
1. Wahrscheinlichkeitstheorie .............................................................. 04
1.1 Grundbegriffe ..................................................................................................... 04
• Zufallsexperiment
• Wahrscheinlichkeit
• Stichprobenraum Ω
• Elementarereignis ω
• Ereignis
• Spezielle Ereignisse: das leere & das sichere Ereignis
• Komplementäres Ereignis
1.2 Verknüpfung von Ereignissen ........................................................................... 06
• Durchschnittsbildung (A ∩ B)
• Vereinigung (A ∪ B)
• Unvereinbarkeit von Ereignissen
• Differenz von Ereignissen
1.3 Empirischer Wahrscheinlichkeitsbegriff: Bernoulli Theorem ....................... 07
1.4 Theoretischer Wahrscheinlichkeitsbegriff: Laplace Experiment ................... 08
1.5 Axiome der Wahrscheinlichkeitstheorie ......................................................... 09
1.6 Wahrscheinlichkeitsrechnung: .......................................................................... 10
1.6.1 Additionssatz: ................................................................................................ 10
• Additionstheorem A
• Additionstheorem B
1.6.2
•
•
•
1.6.3
1.6.4
Bedingte Wahrscheinlichkeit ........................................................................ 11
Stochastische Unabhängigkeit
Multiplikationstheorem für abhängige Ereignisse
Multiplikationstheorem für unabhängige Ereignisse
Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit ..................................................... 13
Theorem von Bayes ....................................................................................... 15
2. Kombinatorik .................................................................................... 16
2.1 Permutationen ..................................................................................................... 16
2.2 Kombinationen .................................................................................................... 17
2.3 Das Urnenmodell ................................................................................................. 20
3. Zufallsvariablen & Wahrscheinlichkeitsverteilungen ................... 21
•
•
•
•
Definition Zufallsvariable
Diskrete vs. Stetige Zufallsvariablen
Wahrscheinlichkeitsfunktion
Verteilungsfunktion
Mark Lutter
SMS I Tutorium
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3.1 diskrete vs. stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen ...................................... 24
3.1.1 diskrete Verteilungsformen ........................................................................... 24
• diskrete Gleichverteilung
• Binomialverteilung
• Hypergeometrische Verteilung
• Poissonverteilung
3.1.2
•
•
stetige Verteilungsformen ............................................................................. 27
Normalverteilung
Standardnormalverteilung
4. Stichprobe & Grundgesamtheit ....................................................... 32
•
•
Die Stichprobenkennwerteverteilung
Zentraler Grenzwertsatz
Wichtige Begriffe
• Statistik
• Schätzer
• Erwartungswert
• Erwartungstreue
• Standardfehler (des Mittelwertes)
4.1 Bestimmung von Konfidenzintervallen .............................................................. 35
5. Die Überprüfung statistischer Hypothesen / Testverfahren ......... 37
•
•
•
•
•
•
•
•
6.
Hypothesenarten
Fehlerarten
Signifikanz
z-Test
t-Test
F-Test
Chi-Quadrat-Test
Interpretation der SPSS-Outputs
Literaturverzeichnis .......................................................................... 52
Mark Lutter
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1. Wahrscheinlichkeitstheorie
1.1 Grundbegriffe
Zufallsexperiment (auch: zufälliger Versuch)
• Ist ein beliebig oft wiederholbarer Vorgang
• Wird nach einer genau festgelegten Vorschrift durchgeführt
• Führt zu genau einem Ergebnis aus einer Menge möglicher Ergebnisse
• die Menge aller möglichen Ergebnisse lässt sich genau angeben
• Welches Ergebnis aber eintritt, hängt vom Zufall ab
• Daher: Das Ergebnis eines Zufallsexperiments lässt sich nicht mit
Sicherheit vorherbestimmen, stattdessen lässt sich angeben, mit welcher
Wahrscheinlichkeit jedes mögliche Ergebnis eintreten wird
Beispiele für Zufallsexperimente sind
• Das Werfen einer Münze
• Das Werfen eines Würfels
• Das Roulettespiel
• Die zufällige Entnahme eines Produkts aus einer laufenden Produktion und die
Kontrolle auf Fehlerhaftigkeit
Ebenso sind die folgenden Vorgänge Beispiele für Zufallsexperimente (und hier findet sich
der Knüpfpunkt zur empirischen Sozialforschung):
• Die Befragung einer zufällig ausgewählten Person nach dem Lebensalter, nach dem
Geschlecht, nach dem Einkommen usw.
Wahrscheinlichkeit (engl.: probability)
• Eine Wahrscheinlichkeit gibt die Chance des Auftretens eines zufälligen
Ereignisses (oder: Ergebnis eines Zufallsexperiment) an
• Eine Wahrscheinlichkeitsangabe wird immer mit einem Zahlenwert
zwischen 0 und 1 (bzw. als Prozentangabe zwischen 0% und 100%)
angegeben
Stichprobenraum Ω [lies: „Omega“] (auch: Ergebnismenge, Ereignisraum)
• Die Menge aller möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments heißt
Stichprobenraum und wird mit Ω bezeichnet
Bsp.:
Werfen eines Würfels: Ω = {1,2,3,4,5,6}
Werfen einer Münze: Ω = {Wappen, Zahl}
Werfen zweier Münzen: Ω = {WW, ZZ, WZ, ZW}
Mark Lutter
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Elementarereignisse ω [lies: „klein Omega“]
• Die einzelnen Elemente ω aus Ω werden Elementarereignisse genannt
Bsp.:
Zufallsexperiment: „Werfen eines Würfels“
Mögliche Elementarereignisse: 1, 2, 3, 4, 5, 6
Zufallsexperiment: „Werfen einer Münze“
Mögliche Elementarereignisse: „Wappen“, „Zahl“
(zufälliges) Ereignis
• Eine Teilmenge A des Stichprobenraumes Ω heißt (zufälliges) Ereignis
• Ist das Ergebnis eines Zufallsexperiments ein Element von A, dann sagt
man: „das (zufällige) Ereignis A ist eingetreten.“
• Ein Ereignis A tritt also genau dann ein, wenn ein Element ω aus Ω zur
Teilmenge A gehört
• Ereignisse werden mit Großbuchstaben bezeichnet
Bsp.:
Beim Zufallsexperiment „Werfen mit einem Würfel“ ist die Teilmenge
{2,4,6} das Ereignis A „gerade Augenzahl“ und die Teilmenge {1,3,5}
das Ereignis B „ungerade Augenzahl“
Spezielle Ereignisse
• Besondere Teilmengen von Ω sind a) das sichere Ereignis und b) das
unmögliche Ereignis:
Das sichere Ereignis E = {Ω} enthält die Menge aller
Elementarereignisse (= Ω) und tritt daher immer ein
Das unmögliche Ereignis E = {φ} enthält die leere Menge (= φ)
und tritt daher niemals ein
Komplementäres Ereignis
• Ein Ereignis A, welches aus nicht zu A gehörenden Elementarereignissen
besteht, sondern aus allen anderen Elementen ω aus Ω, heißt das zu A
komplementäre Ereignis A .
• Im obigem Beispiel ist Ereignis A „gerade Augenzahl“ das
komplementäre Ereignis zu B „ungerade Augenzahl“ (und umgekehrt)
• Oder: das zum leeren Ereignis komplementäre Ereignis ist das sichere
Ereignis
• Die Menge A ist also das Genaue Gegenteil von A
Mark Lutter
1.2
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Verknüpfung von Ereignissen
1. Durchschnittsbildung
• A ∩ B („A und / geschnitten B“)
• A und B treten gleichzeitig ein, d.h. das nach Durchführung eines
Zufallsexperiment eingetretene Ergebnis ω aus Ω gehört gleichzeitig sowohl in die Teilmenge A als auch in die Teilmenge B
2. Vereinigung
• A ∪ B („A oder / vereinigt B“)
• A oder B tritt ein, d.h. das Element ω kann zur Teilmenge A oder
zur Teilmenge B gehören
Bsp.:
Zwei Ereignisse A und B haben die folgenden Teilmengen:
A = {1,2,3,6}
B = {1,4,5,6}
Dann ist:
A ∩ B = { 1,6 }
A ∪ B = { 1,2,3,4,5,6 }
Unvereinbarkeit (auch: Unverträglichkeit) von Ereignissen
• Zwei Ereignisse heißen unvereinbar, wenn gilt: A ∩ B = φ
• D.h. die Mengen A und B enthalten keine gleichen Elemente
• Bsp.: Die Ereignisse A: „gerade Augenzahl“ und B: „ungerade Augenzahl“ sind unvereinbar
• Bei Unvereinbarkeit kann immer nur ein Ereignis auftreten, niemals beide
gleichzeitig!
Differenz von Ereignissen
• Die Differenz A \ B („A ohne B“; auch: „A minus B“) tritt dann ein, wenn
A, aber nicht B eintritt
Mark Lutter
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Graphisch dargestellt (die schraffierte Fläche zeigt jeweils den Bereich, in dem
das Element ω liegt):
1.3
Empirische Wahrscheinlichkeit: Bernoulli Theorem (auch: Gesetz der
großen Zahl)
• Nach dem Bernoulli Theorem lassen sich Wahrscheinlichkeiten für
zufällige Ereignisse empirisch anhand ihrer Auftretenshäufigkeit (bei
hinreichend großer Anzahl von Wiederholungen des Zufallsexperiments)
ermitteln
• Merke: die relative Häufigkeit eines Ereignisses stellt (für eine
hinreichend große Anzahl von Versuchen) einen Schätzwert für die
Wahrscheinlichkeit des Ereignisses dar.1
•
1
Die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten eines Ereignisses A wird mit
P(A) bezeichnet. P steht für das englische Wort probability =
Wahrscheinlichkeit
vgl. dazu die Ausführungen in Dürr/Mayer, a.a.O., Kap.: 2.5 (S.26ff.) oder die entsprechenden Ausführungen
im Faulbaum-Skript
Mark Lutter
1.4
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Theoretische (klassische) Wahrscheinlichkeit: Laplace – Experiment
• Nach Laplace kann die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis a priori
bestimmt werden, d.h. ohne empirische Überprüfung der relativen
Häufigkeit eines Ereignis (Bernoulli-Theorem), sondern auf
theoretischem Weg!
Def.: Laplace Experiment:
• Ein Zufallsexperiment mit endlich vielen, gleichwahrscheinlichen
Ergebnissen heißt Laplace – Experiment
Beispiele für Laplace – Experimente sind:
• Das Werfen eines (idealen) Würfels
• Das Werfen einer (idealen) Münze
• Das Ziehen von Kugeln aus einer (idealen) Urne
Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A lässt sich nach Laplace mit
folgender Formel bestimmen:
Anzahl günstiger Fälle
Anzahl der Elemente von A
P(A) =  = 
Anzahl möglicher Fälle
Anzahl der Elemente von Ω
Bsp.:
1. Werfen einer Münze. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für das
Eintreten des Ereignisses E = {„Wappen“} ?
Da:
E = {„Wappen“} => 1 Element
Ω = {W,Z}
=> 2 Elemente
P(„Wappen“) = ½
2. Werfen eines Würfels. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für das
Auftreten des Ereignisses E = {6}?
Da:
E = {6}
=> 1 Element
Ω = {1,2,3,4,5,6} => 6 Elemente
P(Augenzahl = 6) =
1
6
Mark Lutter
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3. Werfen zweier Würfel. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für das
Auftreten des Ereignisses E = {Augensumme ≥ 10}?
Da:
E = {(4,6); (5,5); (5,6); (6,5); (6,4); (6,6)} => 6 Elemente
Ω = {(1,1);(1,2);(1,3);(1,4);(1,5);(1,6);
(2,1);(2,2);(2,3);(2,4);(2,5);(2,6);
(3,1);(3,2);(3,3);(3,4);(3,5);(3,6);
(4,1);(4,2);(4,3);(4,4);(4,5);(4,6);
(5,1);(5,2);(5,3);(5,4);(5,5);(5,6);
(6,1);(6,2);(6,3);(6,4);(6,5);(6,6)}
P(Augensumme ≥ 10) =
Anmerkung:
1.5
=> 36 Elemente
6
36
Bei den obigen Beispielen können die entsprechenden Anzahlen aufgrund der (Noch-)
Überschaubarkeit durch Abzählen leicht bestimmt werden – bei komplexeren Mengen
ist dies nicht mehr möglich. Dann bedient man sich der Kombinatorik (näheres dazu
in Kapitel 2)
Axiome (=Grundsätze) der Wahrscheinlichkeitstheorie
•
•
•
•
P(Ω) = 1
P(φ) = 0
P( A ) = 1 – P(A)
P(A \ B) = P(A) – P(A ∩ B)
vgl. hierzu Beispiel 2.8 in Dürr/Mayer, S. 31
Mark Lutter
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Seite 10 von 52
1.6 Wahrscheinlichkeitsrechnung:
1.6.1 Additionssatz:
Variante 1:
Falls zwei voneinander unabhängige Ereignisse vereinbar sind, d.h.
falls gilt P(A ∩ B) ≠ φ
dann gilt Additionstheorem A:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
Variante 2:
Falls jedoch zwei voneinander unabhängige Ereignisse unvereinbar
sind, d.h. falls gilt: P(A ∩ B) = φ
dann gilt Additionstheorem B:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
Bsp.:
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, aus einem Skatspiel (32 Karten) eine
schwarze Karte oder einen König zu ziehen?
Diese Frage bezieht sich auf Additionstheorem A
Es gibt insgesamt 32 Karten (16 rote, 16 schwarze) mit 4 Königen (2 sind rot, 2
sind schwarz). Auftreten kann eine schwarze Karte (Ereignis A) oder ein
König (Ereignis B). Formal haben wir hier zwei voneinander unabhängige
Ereignisse, die sich nicht gegenseitig voneinander ausschließen (eine schwarze
Karte kann gleichzeitig auch ein König sein und umgekehrt)
Daher:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
Die Wahrscheinlichkeiten können wir mit Laplace ermitteln:
16
4
2
9
P(A ∪ B)
=
+
−
=
32
32
32
16
Anmerkung: Durch die Addition von P(A)+P(B) werden zunächst 2 schwarze Könige doppelt
gezählt, anschließend werden sie mit P(A ∩ B) wieder subtrahiert.
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, beim Würfeln mit einem idealen Würfel
eine 2 oder eine 4 zu würfeln?
Diese Frage bezieht sich auf Additionstheorem B
Hier haben wir zwei voneinander unabhängige Ereignisse, die sich gegenseitig
ausschließen (es gilt: P(A ∩ B ) = φ).
1 1 1
Daher:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) = + =
6 6 3
Mark Lutter
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Seite 11 von 52
1.6.2 Bedingte Wahrscheinlichkeit / stochastische Unabhängigkeit /
Multiplikationstheorem
• Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis A unter der Bedingung, dass
Ereignis B bereits eingetreten ist, heißt bedingte Wahrscheinlichkeit
• Man schreibt: P(AB)
Hierbei geht es um die Frage, ob das Eintreten von B die Wahrscheinlichkeit für
das Auftreten von A
(1) verändert oder
(2) nicht verändert
(1)
Hat das Eintreten von B einen Einfluss auf die Wahrscheinlichkeit für das
Auftreten von A, dann sind beide Ereignisse voneinander abhängig.
In diesem Falle gilt die Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit:
P(AB) =
P( A ∩ B)
P( B)
Aus dieser Formel lässt sich das Multiplikationstheorem für abhängige
Ereignisse ableiten:
P(A ∩ B) = P(AB) ⋅ P(B)
(2)
bzw.
P(A ∩ B) = P(BA) ⋅ P(A)
Hat das Eintreten von B keinen Einfluss auf die Wahrscheinlichkeit für
das Auftreten von A, dann sind A und B voneinander unabhängig.
Zwei Ereignisse sind insbesondere dann unabhängig voneinander, wenn
das Multiplikationstheorem für unabhängige Ereignisse gilt:
P(A ∩ B) = P(A) ⋅ P(B)
bzw. P(A ∩ B ∩ C) = P(A) ⋅ P(B) ⋅ P(C)
Für die bedingte Wahrscheinlichkeit bedeutet dies, dass es keine bedingte
Wahrscheinlichkeit gibt, d.h. es gilt:
P(AB) = P(A)
bzw.
P(BA) = P(B)
Mark Lutter
SMS I Tutorium
Beispielaufgaben:
Teil II „Inferenzstatistik“
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(weitere Aufgaben: Dürr/Mayer, a.a.O., S. 38/39)
- bedingte Wahrscheinlichkeit:
Für eine Untersuchung der Rauchgewohnheiten bei Männern und Frauen hat
eine Zufallsstichprobe von 300 Personen folgende (absolute) Häufigkeiten
ergeben:
Mann
Frau
∑
Raucher
40
60
100
NichtRaucher
∑
100
100 200
140
160 300
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine aus der gleichen Population
zufällig ausgewählte Person männlich ist, unter der Bedingung, dass sie zur
rauchenden Bevölkerung gehört?
Die relativen Häufigkeiten können nach dem Bernoulli-Theorem als Schätzwerte für
die Wahrscheinlichkeiten genommen werden.
Wir definieren folgende Ereignisse: A: Person ist männlich;
B: Person ist Raucher
Gesucht ist:
P(AB) = P( A ∩ B)
P( B)
Es ergeben sich folgende Wahrscheinlichkeiten:
P(A ∩ B) (=„Person ist männlich und Raucher“) = 40/300
P(B) (=„Person ist Raucher“) = 100/300
Dann ist:
P(AB) =
40 100 40
=
= 0,4
/
300 300 100
- Multiplikationstheorem für unabhängige Ereignisse:
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, beim 3maligen Würfeln mit einem
idealen Würfel beim ersten Wurf eine 6, beim zweiten Wurf eine gerade
Augenzahl und beim dritten Wurf eine ungerade Augenzahl zu würfeln?
Da die Ereignisse voneinander unabhängig sind gilt:
P(A ∩ B ∩ C) = P(A) ⋅ P(B) ⋅ P(C) =
1 3 3 1
⋅ ⋅ =
6 6 6 24
Mark Lutter
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- Multiplikationstheorem für abhängige Ereignisse
Eine gutdurchgemischte Urne enthalte 20 rote und 25 weiße Kugeln. Es wird
zweimal jeweils eine Kugel ohne Zurücklegen gezogen. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit, erst eine rote und dann eine weiße Kugel zu ziehen?
Wir definieren folgende Ereignisse: A: die erste Kugel ist rot
B: die zweite Kugel ist weiß
Gesucht ist:
P(A ∩ B). Da wir „ohne Zurücklegen“ ziehen, sind beide Ereignisse
voneinander abhängig, deswegen gilt: P(A ∩ B) = P(A) ⋅ P(BA)
Die Wahrscheinlichkeiten ermitteln wir nach Laplace:
P(A) = 20/45 (20 rote Kugeln von insgesamt 45 beim ersten Zug)
P(BA) = 25/44 (25 weiße Kugeln von nur noch 44 Kugeln beim zweiten Zug)
P(A ∩ B) = 20/45 • 25/44 = 25/99
Demnach:
Dieser Fall kann beliebig erweitert werden:
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die erste Kugel rot, die zweite weiß, die dritte rot
und die vierte wieder weiß ist (jeweils ohne Zurücklegen)?
Wir definieren folgende 4 Ereignisse:
A: erste Kugel rot
C: dritte Kugel rot
Gesucht ist:
P(A ∩ B ∩ C ∩ D)
B: zweite Kugel weiß
D: vierte Kugel weiß
= P(A) · P(B ‌ A) · P(C ‌ A ∩ B) ⋅ P(D ‌ A ∩ B ∩ C)
=
20 25 19 24
⋅ ⋅ ⋅ = 0,063760528
45 44 43 42
1.6.3 Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit
• Der Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit stellt im Prinzip nichts
anderes dar als eine Erweiterung des Multiplikationssatzes für
abhängige Ereignisse.
• Genauer: Es können beliebig viele Multiplikationssätze (für
abhängige Ereignisse) additiv (d.h. nach Additionstheorem B)
miteinander verknüpft werden.
Er ist definiert als:
P(B) = P(B ∩ A1) + P(B ∩ A2) + … + P(B ∩ Ai)
= P(A1) · P(B ‌ A1) + P(A2) · P(B ‌ A2) + … + P(Ai) · P(B ‌ Ai)
n
oder vereinfacht geschrieben:
P(B) =
∑ P( A ) ⋅ P( B ‌ Ai)
i =1
i
Mark Lutter
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Ein Anwendungsbeispiel bietet die Erweiterung obiger Beispielaufgabe (vgl.
S.13):
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, beim zweimaligen Ziehen ohne
Zurücklegen erst eine rote, (und) dann eine weiße Kugel oder erst eine weiße,
(und) dann eine rote Kugel zu ziehen?
Nach dem Satz der totalen Wahrscheinlichkeit ergibt sich:
20 25 25 20
⋅
+
⋅ = 0,5050505
45 44 45 44
Den Unterschied zwischen Satz der totalen Wahrscheinlichkeit und Multiplikationstheorem für abhängige Ereignisse verdeutlicht auch folgende
Aufgabe:
Ein Unternehmen hat insgesamt 3 Produktionsstandorte mit unterschiedlich
großer Anzahl an Arbeitern. An jedem der 3 Standorte müssen Arbeiter
entlassen werden.
Standort:
Anteil der
Arbeiter an
der
Gesamtzahl
Anteil der
Arbeiter, die
am Standort
entlassen
werden
S1
S2
S3
50%
25%
25%
10%
15%
2%
Aus der Gesamtarbeiterschaft wird ein Arbeiter zufällig ausgewählt.
a)
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Arbeiter zu S1 gehört und
nicht entlassen wird?
b)
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Arbeiter nicht entlassen
wird, wobei er zu allen 3 Standorten gehören kann?
Wir definieren zunächst folgende Ereignisse:
A: Arbeiter wird nicht entlassen
A : Arbeiter wird entlassen
Si: Arbeiter stammt aus Standort Si , wobei i = 1, 2, 3.
Aufgabe a) bezieht sich aufs Multiplikationstheorem für abhängige Ereignisse:
Gesucht ist: P(S1 ∩ A) = P(A ‌ S1) · P(S1) = 0,9 · 0,5 = 0,45
Antwort: Mit einer Wahrscheinlichkeit von 45% gehört er zu S1 und wird nicht entlassen.
Aufgabe b) bezieht sich auf den Satz der totalen Wahrscheinlichkeit:
Gesucht ist P(B), wobei B das Ereignis: „Ein Arbeiter, ausgewählt aus der Gesamtarbeiterschaft, wird nicht entlassen“ ist. Dann ergibt sich nach dem Satz der totalen
Wahrscheinlichkeit: P(B) = 0,9 · 0,5 + 0,85 · 0,25 + 0,98 · 0,25 = 0,9075.
Antwort: Ein (zufällig ausgewählter) Arbeiter dieser Firma hat eine 91%tige Chance, nicht
entlassen zu werden.
Mark Lutter
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1.6.4 Theorem von Bayes2
• Das Bayes-Theorem ist nun eine Verknüpfung der bedingten Wahrscheinlichkeit mit dem Multiplikationstheorem für abhängige Ereignisse
und der totalen Wahrscheinlichkeit:
Die Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit lautet:
P(AB) =
P( A ∩ B)
P( B)
P(AiB) =
P( Ai ∩ B)
P( B)
Für P( Ai ∩ B) wird die Formel für das Multiplikationstheorem eingesetzt;
für P(B) wird die Formel für die totale Wahrscheinlichkeit eingesetzt;
daraus ergibt sich das Bayes – Theorem:
P(AiB) =
P( Ai ) ⋅ P( B Ai )
n
∑ P( A ) ⋅ P( B A )
i =1
i
i
• Mit dem Bayes - Theorem lässt sich nun die bedingte Wahrscheinlichkeit
ermitteln, wie groß der Wahrscheinlichkeitsanteil der Schnittmenge
P ( Ai ∩ B) an P(B) ist - wobei P(B) die Gesamt-(totale)-Wahrscheinlichkeit
ist
Bezogen auf obige Beispielaufgabe („Arbeiter“, vgl. S. 14) ist man mit dem
Bayes - Theorem in der Lage, folgende Frage zu klären:
c) Angenommen, der ausgewählte Arbeiter gehört zu denen, die nicht
entlassen werden. Mit welcher Wahrscheinlichkeit stammt er aus
Standort S1?
Gesucht ist also die Wahrscheinlichkeit, mit der ein Arbeiter aus S1 stammt, unter der
Bedingung, dass er zu denen gehört, die nicht entlassen werden.
Dann gilt:
P(S1 ‌ A)
=
=
2
P ( A S 1 ) ⋅ P ( S1 )
P( B)
=
vgl. Teilaufgabe a)
vgl. Teilaufgabe b)
0,45
≈ 0,496
0,9075
Das Theorem von Bayes und der Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit wird im Dürr/Mayer nicht
behandelt. Neben den entsprechenden Ausführungen im Faulbaum Skript sind sie sehr gut erklärt in: Clauß, G.
et al., a.a.O., Kap.3; insbes. Kap.: 3.1.5 sowie Kap.: 3.1.7. Auch sehr gut: Bamberg/Baur, a.a.O., Kap.:
7.3.5ff. Hinweis: Das gesamte Kapitel 3 des Buches von Clauß et. al. ist meiner Meinung nach mit die beste,
weil verständlichste Darstellung der Wahrscheinlichkeitstheorie; daher absolut empfehlenswert!
Mark Lutter
2.
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Kombinatorik
• Mithilfe der Kombinatorik ist es möglich, die Menge der möglichen
Ergebnisse eines Zufallsexperiments, also Ω, zu bestimmen
• genauer formuliert: Es kann die Menge verschiedener Anordnungsmöglichkeiten von Elementen bestimmt werden
Unterschieden wird zwischen Permutationen und Kombinationen:
2.1
Permutation von n Elementen
• Jede Zusammenstellung / Anordnung, die dadurch entsteht, dass man n
gegebene Elemente in irgendeiner Reihenfolge nebeneinander setzt, heißt
Permutation der gegebenen Elemente
• Dabei unterscheidet man (a) ob alle Elemente verschieden sind, oder
(b) ob es Elemente gibt, die in Klassen gleicher
Elemente zerfallen
(a)
Alle n Elemente sind verschieden
Dann gilt: Die Anzahl der Permutation von n verschiedenen Elementen
wird berechnet mit n! (lies: n Fakultät)3
Bsp.: Wie viele verschiedene `Worte´ lassen sich unter Verwendung des Wortes
MAYER bilden?
• Jeder Buchstabe - also jedes Element - des Wortes MAYER ist
verschieden
• Daher: n!
• Hier: 5 Elemente, also 5! = 5⋅4⋅3⋅2⋅1 = 120 verschiedene Anordnungsmöglichkeiten
(b)
Es gibt n Elemente, die in k Klassen von einander gleichen Elementen
zerfallen
Dann gilt: Die Permutation wird berechnet mit
3
n!
n1!n 2 !...n k !
Unter n! versteht man das Produkt der ersten n natürlichen Zahlen. Bsp.: 4! = 1⋅2⋅3⋅4 = 24 oder 8! =
1⋅2⋅3⋅4⋅5⋅6⋅7⋅8 = 40320. Ferner wird definiert: 0! = 1
Mark Lutter
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Bsp.: Wie viele verschiedene `Worte´ lassen sich unter Verwendung des Wortes
MUELLER bilden?
• Insgesamt gibt es 7 Elemente, davon sind 2 Elemente gleich
n!
n 1 ! n 2 !... n
k
!
=
7!
5040
=
1 !1 !1 ! 2 ! 2 !
4
= 1260
• Erläuterung: Im Zähler steht 7! , da es insgesamt 7 Buchstaben gibt. Im
Nenner stehen die Klassen von Elementen: Es gibt drei Klassen von
Buchstaben (M,U,R) mit jeweils einem Element (deswegen dreimal 1!)
Des weiteren gibt es zwei Klassen von Buchstaben (E,L) mit jeweils zwei
Elementen (deswegen zweimal 2!)
2.2
Kombinationen k-ter Ordnung von n Elementen
• Bildet man nun aus einer Menge von n verschiedenen Elementen eine
Zusammenstellung, die aus k Elementen besteht, so nennt man dies
Kombination k-ter Ordnung von n Elementen
• Dabei unterscheidet man 4 Möglichkeiten:
mit / ohne Berücksichtigung der Reihenfolge und mit / ohne Zurücklegen
Die Anzahl der Kombinationen k-ter Ordnung von n Elementen berechet man
mit folgenden vier Formeln:
Mit
Berücksichtigung der
Reihenfolge
Ohne
Berücksichtigung der
Reihenfolge
EXKURS:
n
Es gilt:   =
k 
n
 
k 
Ohne Zurücklegen
Mit Zurücklegen
n!
( n − k )!
nk
n
 
k 
 n + k − 1



k
ist der sog. Binomialkoeffizient (lies: „n über k“).
n!
(für k ≤ n)
k!(n − k )!
Wobei:  n  = n (für n ≥ 0)
1 
 n
  = 1
 n
n
  = 1 (für n ≥ 0)
0
n
  = 0 (für k > n)
k 
Mark Lutter
SMS I Tutorium Teil II „Inferenzstatistik“
Seite 18 von 52
Beispiel für die vier Kombinationsregeln:
Aus 3 Elementen (a, b, c) sollen Kombinationen 2-ter Ordnung erstellt werden:
Ohne Zurücklegen4
Mit Zurücklegen5
Mit
Berücksichtigung der
Reihenfolge
ab ac bc
ba ca cb
ab ac bc
ba ca cb
aa bb cc
(d.h.: es können Dopplungen
auftreten, also ab ≠ ba)6
3!
=6
(3− 2)!
Ohne Berücksichtigung
der Reihenfolge
(d.h.: es treten keine
ab ac bc
Dopplungen auf, also ab =
ba )7
3
  = 3
 2
32 = 9
ab ac bc
aa bb cc
 4
  = 6
 2
Beispielaufgaben (vgl. Dürr/Mayer, a.a.O., S.47f.)
1. Beim Pferderennen sollen jeweils die 3 schnellsten Pferde eines
bestimmten Rennens mit ihrer Reihenfolge des Eintreffens ins Ziel
vorhergesagt werden. Insgesamt gehen 20 Pferde an den Start. Wie viel
verschiedene Tipplisten gibt es?
Kombination 3-ter Ordnung von 20 Elementen
Mit Berücksichtigung der Reihenfolge / Ohne Zurücklegen
20!
n!
Daher:
= 6840 verschiedene Tipplisten.
(n − k )! (20 − 3)!
2. Wie viel verschiedene Tippreihen gibt es beim Lotto (6 aus 49)?
Kombination 6-ter Ordnung von 49 Elementen
Ohne Berücksichtigung der Reihenfolge / Ohne Zurücklegen
 n   49 
Daher:   =   = 13983816 verschiedene Tippreihen
k  6 
4
„Ohne Zurücklegen“ bedeutet, dass ein einmal gezogenes Element nicht nocheinmal gezogen werden kann.
Deswegen sind die drei Kombinationen aa, bb, cc nicht möglich
5
„Mit Zurücklegen“ bedeutet, dass ein einmal gezogenes Element wieder gezogen werden kann, deswegen sind
die Kombinationen aa, bb und cc möglich
6
„Mit Berücksichtigung der Reihenfolge“ bedeutet, das die unterschiedliche Anordnung von Elementen eine
Rolle spielt. Deswegen werden Kombinationen wie ab und ba als ungleich aufgefasst und mitgezählt.
7
Hier spielt die Anordnung der Elemente keine Rolle. Solange also zwei Kombinationen die gleichen Elemente
besitzen, werden sie nur 1mal gezählt.
Mark Lutter
SMS I Tutorium Teil II „Inferenzstatistik“
Seite 19 von 52
3. Ein Zigarettenautomat hat 6 Fächer. Insgesamt hat der Händler 10 Sorten
zur Verfügung. Es können mehrere Fächer mit der gleichen Sorte belegt
werden. Die Reihenfolge der Belegung der 6 Fächer soll keine Bedeutung
haben. Wie viel verschiedene Möglichkeiten gibt es, den Automaten zu
füllen?
Kombination 6-ter Ordnung von 10 Elementen
Ohne Berücksichtigung der Reihenfolge / Mit Zurücklegen
 n + k − 1 15 
 =   = 5005 verschiedene Anordnungsmöglichkeiten
Daher: 
k
 6 
4. Wie viel verschiedene dreistellige Zahlen kann man aus den Ziffern
1,2,3,4,5,6,7,8,9 bilden?
Kombination 3-ter Ordnung von 9 Elementen
Mit Berücksichtigung der Reihenfolge / Mit Zurücklegen
Daher: n k = 93 =729 verschiedene Ziffern
Mithilfe der Kombinatorik können auch Wahrscheinlichkeiten ermittelt
werden:
Bsp.: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit 6 Richtige beim Lotto (6 aus 49) zu
erhalten, wenn man eine Tippreihe abgibt?
Mit Laplace können wir die Wahrscheinlichkeit bestimmen: Das
Ereignis „Eine richtige Tippreihe (6 Richtige)“ hat 1 Element. Der
Stichprobenraum Ω (alle möglichen Tippkombinationen) hat – wie
oben bereits ermittelt – 13983816 Elemente. Damit beträgt nach
Laplace die Wahrscheinlichkeit für eine richtige Tippreihe aus
13983816 möglichen Tippreihen:
P(„6 Richtige“) =
1
= 0,000000075112
13983816
Mark Lutter
2.3
SMS I Tutorium Teil II „Inferenzstatistik“
Seite 20 von 52
Das Urnenmodell
• Das Urnenmodell stellt eine Verallgemeinerung der Kombinationen k-ter
Ordnung von n Elementen ohne Berücksichtigung der Reihenfolge und
ohne Zurücklegen dar.
• Dieses Modell gestattet es, Wahrscheinlichkeiten direkt zu berechnen
Eine Urne enthalte N Kugeln, davon W weiße und S schwarze (W + S = N).
Es werden n Kugeln nacheinander ohne Zurücklegen gezogen. Dann lässt
sich die Wahrscheinlichkeit, dass sich unter den n Kugeln w weiße und s
schwarze Kugeln befinden (Ereignis A), folgendermaßen berechnen:
W  S 
  
w s
P ( A) =   
N
 
n 
Bsp.:
Eine Urne (N = 10) enthalte 4 weiße und 6 schwarze Kugeln. 3 Kugeln
werden nacheinander (ohne Zurücklegen; ohne Berücksichtigung der
Reihenfolge) gezogen.
Dann ergeben sich für die Ereignisse A = {„3 weiße Kugeln werden
gezogen“} und B = {„2 weiße und 1 schwarze werden gezogen“}
folgende Wahrscheinlichkeiten:
W  S   4  6 
     
3 0
w s
1
P( A) =    =    =
30
10 
N
 
 
3 
n 
W  S   4  6 
     
w s
2 1
3
P( B) =    =    =
10
N
10 
 
 
n 
3 
Das Urnenmodell lässt sich auf viele Anwendungsbereiche übertragen.8
Beispielsweise kann die Wahrscheinlichkeit für 6 Richtige im Lotto auch mit
dem Urnenmodell ermittelt werden:
W  S 
  
w s
P(„6 Richtige“) =    =
N
 
n 
8
 6  43 
  
1
 6  0  = 1 ⋅ 1 =
= 0,000000075112
 49 
 49  13983816
 
 
6 
6 
Vgl. dazu Beispiel 3.15 in Dürr/Mayer, a.a.O., S.50.
Mark Lutter
SMS I Tutorium Teil II „Inferenzstatistik“
Erläuterung: Im Nenner steht
 49  ,
 
6 
Seite 21 von 52
da es insgesamt in der „Urne“ 49 Kugeln gibt,
von denen 6 gezogen werden. Das macht
 49  =
 6 
 
13983816
verschiedene Möglichkeiten, 6 Zahlen aus 49 ohne Zurücklegen
und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge anzuordnen. Im Zähler
steht  6  43 , da von den 6 Richtigen genau diese 6 und von den 43
 6  0 
Falschen genau 0 gezogen werden sollen.
Wie groß ist demnach die Wahrscheinlichkeit für 4 Richtige im Lotto?
 6  43 
  
4 2
15 ⋅ 903
P(„4 Richtige“) =    =
= 0,00096862
13983816
 49 
 
6 
Weitere Übungsaufgaben: Dürr/Mayer, a.a.O., S. 51.
3.
Zufallsvariablen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Zufallsvariable (auch: Zufallsgröße)
• Eine Variable, deren Merkmalsausprägungen durch Ergebnisse eines
Zufallsexperiments realisiert werden, heißt Zufallsvariable
• eine Zufallsvariable ist also eine Variable, deren Werte vom Zufall
abhängen
• Eine Zufallsvariable ist dabei eine eindeutige Abbildung (Funktion), die
jedem Ergebnis der Ergebnismenge Ω eines Zufallsexperiments Werte aus
einem Wertebereich, z.B. reelle Zahlen, zuordnet
Eine mögliche diskrete Zufallsvariable, abgeleitet aus dem
Zufallsexperiment „Werfen mit zwei Würfeln“, wäre die
Zufallsvariable „Augensumme“; ihre Werte sind diskret, weil sie
abzählbar und diskontinuierlich sind
Wenn wir Personen aus einer Population zufällig auswählen und
jede ausgewählte Person nach ihrem Geschlecht zuordnen, dann ist
die Variable „Geschlecht“ ebenfalls eine diskrete Zufallsvariable
stetige Zufallsvariablen ergeben sich aus Zufallsexperimenten, in
denen kontinuierliche Größen erfasst werden, wie z.B. ZeitLängen- oder Gewichtsmessungen. Der Ereignisraum besteht hier
aus unendlich vielen möglichen Elementarereignissen.
Mark Lutter
SMS I Tutorium Teil II „Inferenzstatistik“
Seite 22 von 52
Wahrscheinlichkeitsfunktion
• Die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariablen ist durch ihre
Wahrscheinlichkeitsfunktion f(a) definiert. Sie gibt an, wie wahrscheinlich
die einzelnen Ergebnisse eines Zufallsexperiments sind
• Eine eindeutige Zuordnung (Funktion), welche jedem Wert einer
Zufallsvariablen die Wahrscheinlichkeit des Auftretens jeden Wertes
zuordnet, heißt Wahrscheinlichkeitsfunktion: f(ai) = pi
Bsp.:
• Aus dem Zufallsexperiment „Werfen mit zwei Würfeln“ betrachten wir die
diskrete Zufallsvariable „Augensumme“. Der Wertebereich, d.h. die
Werte, die die Variable annehmen kann, liegt zwischen 2 und 12.
• Jetzt ordnen wir jedem Wert – nach Laplace – seine Auftretenswahrscheinlichkeit zu:
Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsvariable „Augensumme“ f(ai) = pi
Augensumme (ai)
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Wahrscheinlichkeit
(pi)
1
36
2
36
3
36
4
36
5
36
6
36
5
36
4
36
3
36
2
36
1
36
•
•
Die Augensumme 2 und 12 hat jeweils die geringste Auftretenswahrscheinlichkeit, da
jeweils nur 1 Ereignis [(1,1) bzw. (6,6)] aus 36 möglichen Ereignissen zutreffen kann.
Mit 6/36 hat Augensumme 7 die höchste Wahrscheinlichkeit, weil genau 6 günstige
Ereignisse aus 36 möglichen zutreffen [(6,1); (1,6); (4,3); (3,4); (5,2); (2,5)]
Graphisch dargestellt:
Verteilungsfunktion
• Aus einer Wahrscheinlichkeitsfunktion f(a) lässt sich durch Summation
der einzelnen Wahrscheinlichkeiten ihre Verteilungsfunktion F(a) =
Σf(pi) bilden: (man beachte: Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten ist immer 1)
Verteilungsfunktion von „Augensumme“
Augensumme (ai) 2
Wahrscheinlichkeit 1
(pi)
36
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
3
36
6
36
10
36
15
36
21
36
26
36
30
36
33
36
35
36
36
=1
36
Mark Lutter
SMS I Tutorium Teil II „Inferenzstatistik“
Seite 23 von 52
Beispielaufgaben zur diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilung
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit beim Werfen zweier Würfel...
1. ...Augensumme 2 oder 12 zu würfeln?
2. ...höchstens Augensumme 4 zu würfeln?
3. ...eine Augensumme kleiner als 5 zu würfeln?
4. ...mindestens Augensumme 4 zu würfeln?
5. ...eine Augensumme größer als 3 zu würfeln?
6. ...eine Augensumme zwischen 4 und 8 zu würfeln?
7. ...eine Augensumme größer als 12 zu würfeln?
8. ...eine Augensumme kleiner als 2 zu würfeln?
Lösung:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
P(AS = 2 ∪ 12) = 1/36 + 1/36 = 1/18
P(AS ≤ 4) = 6/36
P(AS < 5) = P(AS ≤ 4) = 6/36
P(AS ≥ 4) = 1 – P(AS ≤ 3) = 1 – 3/36 = 11/12
P(AS > 3) = 1 – P(AS ≤ 3) = 11/12
P(4 ≤ AS ≤ 8) = P(AS ≤ 8) – P(AS ≤ 3) = 26/36 – 3/36 = 23/36
P(AS > 12) = 0
P(AS < 2) = 0
Unterschied zur stetigen Zufallsvariablen:
• Bei stetigen Zufallsvariablen heißt die Wahrscheinlichkeitsfunktion auch
Dichtefunktion
• Dadurch, dass die stetige Zufallsvariable einen kontinuierlichen
Wertebereich hat, entsteht durch die Dichtefunktion eine Kurve
• Betrachtet werden nicht einzelne Ereignisse, sondern Ereignisintervalle ,
da der Wertebereich stetig ist (also z.B. Körpergröße zwischen 170cm
und 180cm). Der Flächenanteil unter der Kurve eines Intervalls ist dann
die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Wertes aus diesem
Intervall.
• Auch die stetige Verteilungsfunktion hat die Eigenschaft, dass die Summe
aller Wahrscheinlichkeiten immer 1 ergibt.
• Demnach ist die Gesamtfläche unter der Kurve der Dichtefunktion 1
Die wichtigste stetige Wahrscheinlichkeitsdichteverteilung ist die
Normalverteilung (s.u.)
Mark Lutter
3.1
SMS I Tutorium Teil II „Inferenzstatistik“
Seite 24 von 52
Diskrete vs. stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen
3.1.1 Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen
• Basieren auf diskreten Zufallsvariablen (d.h. ihr Wertebereich ist endlich
oder abzählbar unendlich)
• Beispiele für diskrete Zufallsvariablen sind:
Augensumme (s.o.)
Anzahl Wappen
Anzahl der Personen in einem Haushalt
Wichtige diskrete Verteilungsformen:
Diskrete Gleichverteilung
• Alle Werte der Zufallsvariablen treten mit gleicher Wahrscheinlichkeit
auf
Beispiel Münzwurf: Die möglichen Ereignisse „Wappen“ u. „Zahl“
treten beide mit gleicher Wahrscheinlichkeit von ½ auf
Binomialverteilung
• Es liegt ein Zufallsexperiment vor, bei dem immer nur zwischen zwei
Ergebnissen unterschieden wird:
Ereignis A, sowie das zu A komplementäre Ereignis A
Bsp.:
bei einer Qualitätskontrolle von Waren wird unterschieden
zwischen „fehlerhaft“ und „fehlerfrei“
beim Werfen eines Würfels interessiert man sich für die Ereignisse
„Sechs“ und „Nicht-Sechs“
Allgemein formuliert:
• Man interessiert sich für die Wahrscheinlichkeit, dass bei n-maliger
Durchführung eines Zufallsexperiments das Ereignis A
genau / höchstens / mindestens k-mal auftritt
• Die Wahrscheinlichkeit von A ist p
• Die Wahrscheinlichkeit von A ist 1 – p
• Die Formel für die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Binomialverteilung,
kurz B(n;p) – Verteilung, lautet:
n
f (k ) = P( X = k ) =   ⋅ p k ⋅ (1 − p ) n − k
k 
Mark Lutter
SMS I Tutorium Teil II „Inferenzstatistik“
Seite 25 von 52
Bsp.:
1. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem 5-maligen Münzwurf
genau 3-mal Wappen eintritt?
Dann ist die Zufallsvariable X „Anzahl Ereignis Wappen“
binomialverteilt mit n = 5
p = 0,5
k=3
Daraus folgt:
 5
P(X =„3mal Wappen“ = k = 3) =   ⋅ 0,5 3 ⋅ (1 − 0,5) 5−3 = 0,3125
3
 
2. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem 5-maligen Münzwurf
höchstens 3-mal Wappen eintritt?
P(„höchstens 3mal Wappen“ = k ≤ 3)
= P(0mal Wappen) + P(1mal Wappen) + P(2mal Wappen) + P(3malWappen)
= P(k = 0) + P(k = 1) + P(k = 2) + P(k = 3)
5
 5
5
 5
 
 
 
 
=   ⋅ 0,5 0 ⋅ (1 − 0,5) 5−0 +   ⋅ 0,51 ⋅ (1 − 0,5) 5−1 +   ⋅ 0,5 2 ⋅ (1 − 0,5) 5− 2 +   ⋅ 0,5 3 ⋅ (1 − 0,5) 5−3
0
1
2
3
= 0,8125
3. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem 5-maligen Münzwurf
mindestens 3-mal Wappen eintritt?
P(„mindestens 3mal Wappen“ = k ≥ 3)
= 1 – P(„höchstens 2mal Wappen“)
5
 0
 5
1 
= 1 – P(k ≤ 2)
5 
 2
= 1 – (   ⋅ 0,5 0 ⋅ (1 − 0,5) 5−0 +   ⋅ 0,51 ⋅ (1 − 0,5) 5−1 +   ⋅ 0,5 2 ⋅ (1 − 0,5) 5− 2 )
= 0,5
Erwartungswert (Mittelwert) und Varianz der Binomialverteilung:
E(X) = µx = n⋅p
Var(X) = σ2 = n⋅p⋅(1-p)
Dies bedeutet, dass z.B. bei einem 5maligem Münzwurf durchschnittlich mit
einem Erwartungswert von E(X = Anzahl Wappen) = µx = n⋅p = 5 ⋅ 0,5 = 2,5 mal
Wappen gerechnet werden kann.
Mark Lutter
SMS I Tutorium Teil II „Inferenzstatistik“
Seite 26 von 52
Hypergeometrische Verteilung
• Knüpft unmittelbar an das Urnenmodell an (s.o.) – bzw.: es ist nichts
anderes als das Urnenmodell
• Wie bei der Binomialverteilung werden nur die Ereignisse A und A
unterschieden
• Vergleicht man beide Verteilungen mit dem Urnenmodell wäre die
Binomialverteilung das Ziehen mit Zurücklegen und die
Hypergeometrische Verteilung das Ziehen ohne Zurücklegen
• Für die Wahrscheinlichkeitsfunktion f(k) einer H(N;K;n) – verteilten
Zufallsvariablen X gilt:
 K  N − K 
 

k
n
k
−

f (k ) = P ( X = k ) = H ( N ; K ; n) =  
N
 
n 
• Die Übereinstimmung mit dem Urnenmodell wird deutlich, wenn wir uns
obiges Lottobeispiel noch einmal verdeutlichen:9
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit für 4 Richtige im Lotto?
Lösung:
Von den N = 49 Zahlen werden n = 6 gezogen. Gleichzeitig haben
von allen 49 Zahlen K = 6 die Eigenschaft „richtig“ und N – K =
43 die Eigenschaft „falsch“ zu sein.
Von den n = 6 gezogenen Zahlen sollen k = 4 die Eigenschaft
„richtig“ , sowie n – k = 2 die Eigenschaft „falsch“ besitzen.
Demnach ergibt sich die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis k = 4 richtige
Zahlen der H(49;6;6)-verteilten Zufallsvariablen X = Anzahl der richtigen
Zahlen folgendermaßen:
 6  49 − 6 
 

4  6 − 4 
15 ⋅ 903

=
= 0,00096862
P ( X = 4) =
13983816
 49 
 
6 
9
Vgl. S. 17 hier im Skript
Mark Lutter
SMS I Tutorium Teil II „Inferenzstatistik“
Seite 27 von 52
Poissonverteilung
• Allgemein: Ein Ereignis A tritt in einem gegebenen Zeitraum
durchschnittlich µ - mal ein. Man interessiert sich dann für die
Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis E in einem Zeitraum genau /
höchstens / mindestens k – mal eintritt. Die Zufallsvariable X „Anzahl der
pro Zeiteinheit eintretenden Ereignisse A“ ist dann poissonverteilt. Die
Wahrscheinlichkeitsfunktion ist definiert mit:
f (k ) = P( X = k ) =
µk
k!
e −µ
Man kann zeigen, dass bei seltenen Ereignissen (p → 0; n → ∞)
die Binomialverteilung in eine Poissonverteilung übergeht
Erwartungswert und Varianz der Poissonverteilung sind beide gleich µ
E(X) = Var(X) = µ
Die Poissonverteilung findet Anwendung bei Problemen der folgenden Art:
• In einem Callcenter kommen im Durchschnitt 5 Anrufe pro Minute an.
Interessiert ist man an der Wahrscheinlichkeit, dass pro Minute genau /
höchstens / mindestens 7 Anrufe eingehen
• Im Durchschnitt gibt es bundesweit jährlich 10 Neuinfektionen an einer
seltenen Krankheit. Wie hoch ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass sich
in einem Monat genau / höchstens / mindestens eine Person ansteckt?
Aufgabe: Versucht an die Lösung eigenständig zu gelangen,
und/oder:
vgl. Beispiel 5.8 in Dürr/Mayer, a.a.O., S.77
sowie: Übungsaufgaben in Dürr/Mayer, S.78
3.1.2 Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen
• Die wichtigste stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung ist die
Normalverteilung10
• Weitere wichtige stetige Verteilungen sind aus der Normalverteilung
abgeleitet: die Chi-Quadrat-Verteilung, die t-Verteilung, die F-Verteilung
10
Vgl. hierzu die Abhandlung in Bortz, a.a.O., S.72ff. über die Bedeutsamkeit der Normalverteilung (insbes. S.
75f.)
Mark Lutter
SMS I Tutorium Teil II „Inferenzstatistik“
Seite 28 von 52
Normalverteilung (auch: „Gauß´sche Glockenkurve“)
Die Normalverteilung hat folgende Eigenschaften:
•
•
•
•
•
•
Die Verteilung ist symmetrisch und glockenförmig
Modalwert, Median und Mittelwert (=µ) fallen zusammen
Die Verteilung nähert sich asymptotisch der x-Achse
Das Maximum liegt bei µ
Die Wendepunkte liegen bei µ ± 1⋅σ
Die Fläche, die von der Dichtefunktion der Normalverteilung zwischen
x1 = µ + z⋅σ und x1 = µ - z⋅σ eingeschlossen wird ist immer gleich groß:
• Eine Normalverteilung hat einzig und allein die Parameter µ und σ
• Kurzschreibweise: N(µ;σ)
z
1
2
3
Intervallgrenzen Anteil der
Teilfläche
68,27 %
µ ± 1⋅σ
95,44 %
µ ± 2⋅σ
99,73 %
µ ± 3⋅σ
4
1,64
1,96
µ ± 4⋅σ
µ ± 1,64⋅σ
µ ± 1,96⋅σ
99,99 %
90 %
95 %
2,58
2,81
µ ± 2,58⋅σ
µ ± 2,81⋅σ
99 %
99,5 %
Bsp.:
Gegeben sei eine N(100;25) – verteile Zufallsvariable (d.h. sie sei
normalverteilt mit µ = 100 und σ = 25). In welchem Intervall liegen 95%
der Fälle?
µ ± 1,96⋅σ = 0,95
Demnach:
⇔
100 ± 1,96⋅25 = 0,95
Untere Intervallsgrenze = 51
⇔
100 ± 49= 0,95
Obere Intervallsgrenze = 149
95% der Fälle liegen in dem Intervall zwischen 51 und 149.
Mark Lutter
Graphisch dargestellt:
SMS I Tutorium Teil II „Inferenzstatistik“
Seite 29 von 52
Formel für die Dichtefunktion
der Normalverteilung:
Die Verteilungsfunktion zur Normalverteilung sieht folgendermaßen aus:
Mark Lutter
SMS I Tutorium Teil II „Inferenzstatistik“
Seite 30 von 52
Standardnormalverteilung
• Unter den theoretisch unendlich vielen Normalverteilungen ist die
Standardnormalverteilung diejenige, bei der gilt:
µ=0
σ=1
• Die Standardnormalverteilung ist also eine N(0;1) – Verteilung
• Mittels Z-Transformation einzelner Messwerte xi → zi =
xi − µ
σ
lässt sich
jede Normalverteilung in eine Standardnormalverteilung überführen
Tabelle zur Standardnormalverteilung
• Die Verteilungsfunktion zur Standardnormalverteilung liegt in
tabellierter Form vor11
zur
• Es
reicht
aus,
nur
die
Verteilungsfunktion
F0(x)
Standardnormalverteilung zu tabellieren, da man Werte der
Verteilungsfunktion F(x) einer beliebigen Normalverteilung durch
folgende Transformationsregel durch Werte der Verteilungsfunktion der
Standardnormalverteilung ersetzen kann:
x−µ
F ( x) = F0 

 σ 
• Damit lassen sich Wahrscheinlichkeiten dafür ermitteln, dass ein Wert
einer normalverteilten Zufallsvariablen in einem bestimmten Intervall
liegt bzw. dass ein Wert höchstens / mindestens eine bestimmte Größe
annimmt.
Vgl. hierzu die Beispiel 6.1, 6.2 und 6.3 in Dürr/Mayer, a.a.O.,
S.83f.
• Auch können die anhand der Tabelle abgelesenen z-Werte mit der Formel
für die Z-Transformation wieder in ihre ursprünglichen xi – Werte
umgerechnet werden:
zi =
xi − µ
σ
⇔ xi = zi ⋅σ + µ
Damit können Aufgaben der folgenden Art gelöst werden:
11
vgl. Bortz, a.a.O., Tabelle B, S.694ff.
Mark Lutter
SMS I Tutorium Teil II „Inferenzstatistik“
Seite 31 von 52
1. Die Zeit, die Studierende pro Semesterwoche in der Vorlesungszeit für die
Vorbereitung von Seminaren aufwenden sei normalverteilt mit µ = 10 und σ = 6.
Bestimmen Sie, wie viele Stunden sich ein Studierender mindestens vorbereiten
muss, um zu den 5% der Studierenden zu gehören, die sich am längsten
vorbereiten.
Lösung:
Lt. Tabelle zur Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung
ermitteln wir für eine Anteilsfläche von 95% einen z-Wert von 1,65
(genauer: 0,9505 = 1,65). Über diesem z-Wert liegen die eifrigsten 5%
der Studenten. Da wir nun aber einen z-Wert aus der Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung erhalten haben, müssen wir
diesen z-Wert wieder in den ursprünglichen xi - Wert umwandeln:
zi =
xi − µ
σ
⇔ xi = zi ⋅ σ + µ
x i = 1, 65 ⋅ 6 + 10 = 19 ,9
Ein Studierender muss sich also mindestens 19,9 Stunden pro Woche
vorbereiten, um zu den eifrigsten 5% zu gehören.
2. Es sei unterstellt, der Intelligenzquotient sei normalverteilt mit µ = 100; σ = 10.
Wenn man insgesamt 10% der Population mit den extremsten Werten (jeweils
5% an beiden Enden) nicht berücksichtigt, in welchem Bereich wird der IQ dann
noch variieren?
Lösung:
Gesucht sind also zwei xi – Werte, deren Intervall die mittleren 90%
Anteilsfläche markieren. Da wir wiederum nur die Möglichkeit haben,
in der Tabelle zur Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung
nachzusehen, ermitteln wir statt unserer gesuchten xi -Werte zunächst ztransformierte xi – Werte, nämlich z-Werte:
Lt. Tabelle ermitteln wir:
Untere Grenze z = -1,65 (für Fläche 0,0495 ≈ 5%)
Obere Grenze z = + 1,65 (für Fläche 0,9505 ≈ 95%)
Wiederum müssen unsere z-Werte in ihre ursprünglichen xi – Werte
umgewandelt werden mit:
x 1 = − 1, 65 ⋅ 10 + 100 = 83 ,5
x 2 = + 1, 65 ⋅ 10 + 100 = 116 ,5
Demnach variiert der IQ, wenn man nur die mittleren 90% der
Population berücksichtigt, zwischen 83,5 und 116,5.
Zusatzfrage: Wie wahrscheinlich ist das Auftreten eines IQs zwischen 100 und
108?
Lösung:
Zu berechnen ist demnach die Fläche zwischen 100 und 108.
Damit der Flächenanteil und somit die Wahrscheinlichkeit zu ermitteln
ist, müssen die xi – Werte 100 bzw. 108 zunächst in ihre z-Werte
transformiert werden: z1 = 100 − 100 = 0 z = 108 − 100 = 0,8
10
2
10
Lt. Tabelle ergibt sich bis z = 0,8 ein Flächenanteil von 0,7881. Davon
wird die Fläche bis z = 0 (Fläche= 0,5) abgezogen, um den Flächenanteil für das relevante Intervall zu erhalten: 0,7881 – 0,5 = 0,2881.
Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. 28% wird der IQ in diesem
Intervall liegen.
Mark Lutter
SMS I Tutorium Teil II „Inferenzstatistik“
Seite 32 von 52
4.
Stichprobe und Grundgesamtheit12
(a)
Die Stichprobenkennwerteverteilung (engl.: „sampling distribution“)
Die Logik der Stichprobenkennwerteverteilung ist für das Verständnis der
gesamten schließenden Statistik von zentraler Bedeutung.
Diese Logik wird deutlich anhand folgendem Gedankenexperiment:
1. Gegeben sei eine bestimmte Grundgesamtheit
2. Wir ziehen aus dieser Grundgesamtheit eine genügend große Stichprobe
(n>30) und berechnen einen statistischen Kennwert, z.B. den Mittelwert13
eines Merkmals. Anschließend legen wir die für die Stichprobe
ausgewählten Elemente wieder zurück in die Grundgesamtheit.
3. Dann wiederholen wir Schritt 2 sehr oft (z.B. unendlich oft). Jedesmal
notieren wir uns den berechneten (Stichproben-) Mittelwert.
4. aus allen berechneten Mittelwerten erstellen wir eine Häufigkeitsverteilung – dies ist dann die Stichprobenkennwerteverteilung (des
Mittelwertes, in diesem Fall)14
5. berechnen wir dann aus allen einzelnen Stichprobenkennwerten den
Durchschnitt – quasi den Mittelwert aller Mittelwerte – dann ergibt sich
der Erwartungswert (s.u.)
6. berechnen wir nach gleicher Logik aus allen Stichprobenkennwerten die
Standardabweichung, dann ergibt sich der Standardfehler (s.u.)
Eigenschaften der Stichprobenkennwerteverteilung:15
• Diese „Häufigkeitsverteilung der Stichprobenkennwerte“ (hier:
Mittelwerte) wird immer die Form einer Normalverteilung annehmen,
• Denn: nach dem Zentralen Grenzwertsatz (s.u.) konvergiert diese
Verteilung mit wachsender Wiederholung der Ziehung bei genügend
großer Stichprobe (z.B. n>30 für die Mittelwerteverteilung) gegen eine
Normalverteilung – und zwar unabhängig davon, wie das Merkmal sonst
in der Population verteilt ist
Die Stichprobenkennwerteverteilung ist also N( µ ; σ )-verteilt!
12
zum tieferen Verständnis der folgenden Thematik empfehle ich die Lektüre des 3. Kapitels „Stichprobe
und Grundgesamtheit“ in Bortz, a.a.O., S.83ff sowie Dürr/Mayer, a.a.O., Kapitel 9.4, S.109ff.
13
Prinzipiell sind auch andere Kennwerte denkbar, z.B. der Median, die Varianz, die Standardabweichung, etc.
14
Je nachdem, welcher Kennwert zugrundegelegt wird, sind Stichprobenkennwerteverteilungen verschiedener
Kennwerte denkbar, so z.B. die des Medians, der Varianzen, etc. Vgl. dazu näheres z.B. im Faulbaum-Skript.
Generell folgen alle Stichprobenkennwerteverteilungen der gleichen Logik & haben die gleichen Eigenschaften
(wobei die eine schneller, die andere langsamer gegen eine Normalverteilung konvergiert).
15
Die Logik der Stichprobenkennwerteverteilung, sowie die von Konfidenzintervallen wird sehr gut deutlich mit
dem Programm „Sampling-Sim“, einer Simulations-Software, die o. g. „Gedankenexperiment“ anschaulich
simuliert und damit sehr gut zum Verständnis der gesamten schließenden Statistik beiträgt.
Kostenloser Download unter: http://www.gen.umn.edu/research/stat_tools/stat_tools_software.htm
Mark Lutter
SMS I Tutorium Teil II „Inferenzstatistik“
Seite 33 von 52
In diesem Zusammenhang wichtige Begriffe:
Stichprobenkennwert (auch: „Statistik“)
• Ein Stichprobenkennwert ist ein aus einer Stichprobe berechneter
statistischer Kennwert, wie z.B. der Mittelwert, Median, Modus,
Varianz, Standardabweichung, die Differenz zweier Mittelwerte, etc.
Schätzer
• Ein Schätzer ist ein Stichprobenkennwert, der als Schätzer für den
dahinterstehenden, wahren Populationsparameter fungiert.
• In diesem Sinne ist z.B. der Stichprobenmittelwert ein Schätzer für den
tatsächlichen, wahren Populationsmittelwert
Erwartungswert
• Das arithmetische Mittel der Stichprobenkennwerteverteilung heißt
Erwartungswert. Der Erwartungswert des Mittelwertes ist also nichts
anderes als der „Mittelwert aller (Stichproben-)Mittelwerte“
Erwartungstreue (auch: Unverzerrtheit)
• entspricht der Erwartungswert genau dem tatsächlichen, wahren
Populationswert, dann ist der verwendete statistische Kennwert
„erwartungstreu“ bzw. „unverzerrt“ (engl.: unbiased)
• „Erwartungstreue“ heißt also: der statistische Kennwert trifft im Mittel
den tatsächlichen Populationswert
• der verwendete Kennwert ist dann also ein „erwartungstreuer
Schätzer“ des wahren Wertes16
Standardfehler
• Die Standardabweichung der Stichprobenkennwerteverteilung heißt
Standardfehler. So ist z.B. der Standardfehler des Mittelwertes nichts
anderes als die „Standardabweichung aller (Stichproben-)Mittelwerte“
• Der Standardfehler gibt somit Auskunft über die durchschnittliche
Abweichung der Stichprobenkennwerte vom Erwartungswert
• Liegt genau eine Stichprobe und ein Schätzer vor, dann ist er ein
Kriterium für die Güte einer Schätzung, denn er sagt etwas aus über
die (wahrscheinliche) Streuung eines Kennwertes von Stichprobe zu
Stichprobe: Denn ist der Standardfehler eines Schätzers gering, so ist
es wahrscheinlich, dass der Schätzer nur gering vom Erwartungswert
abweicht. Ist er dagegen hoch, so wird ein Schätzer aller Vorrausicht
nach sehr ungenau sein, da eben die „sample-to-sample-variation“
groß ist, und es somit sein kann, dass eine einzelne Schätzung stark
vom tatsächlichen Wert abweicht.
16
In der Statistik sind alle uns bekannten Kennwerte erwartungstreu oder zumindest: annähernd erwartungstreu.
Mark Lutter
SMS I Tutorium Teil II „Inferenzstatistik“
Seite 34 von 52
Der Standardfehler des Mittelwertes (= σ x ) berechnet sich
mit:
σx =
wobei:
σ
n
σ
ist die Standardabweichung des Merkmals in der
Population; dieser Wert ist oft oder fast immer unbekannt.
In diesem Fall gilt: σ wird durch die Standardabweichung
des Merkmals in der Stichprobe (s) geschätzt:
σ as
s=
∑ (x
i
− x)2
n
Daraus ergibt sich der geschätzte Standardfehler des
Mittelwertes (deswegen mit ^ versehen):
σ̂ x =
s
n
(b) Der Zentrale Grenzwertsatz
Der Zentrale Grenzwertsatz besagt, wann eine Zufallsvariable normalverteilt ist!
Definition:
Eine Zufallsvariable X, die sich als Summe von n Zufallsvariablen X1,
X2, ... Xn ergibt, ist näherungsweise normalverteilt, wenn
• die Anzahl n der Zufallsvariablen X1, X2, ... Xn hinreichend groß ist (n>30)
• die Zufallsvariablen X1, X2, ... Xn unabhängig voneinander sind
• nicht eine bzw. einige wenige Zufallsvariablen gegenüber den übrigen
Zufallsvariablen stark dominieren
Der Zentrale Grenzwertsatz besagt im wesentlichen Folgendes:
• eine Normalverteilung liegt genau dann vor, wenn viele einzelne
Zufallseinflüsse additiv und unabhängig voneinander auf eine Variable
einwirken
• Für die Stichprobenkennwerteverteilung bedeutet dies: egal wie eine
Variable in der Population verteilt ist, die Verteilung des
Stichprobenkennwertes wird die Form einer Normalverteilung haben
(unter den entsprechenden Vorraussetzungen, die im Zentralen
Grenzwertsatz formuliert sind, wie z.B. n>30)
Mark Lutter
4.1
SMS I Tutorium Teil II „Inferenzstatistik“
Seite 35 von 52
Bestimmung von Konfidenzintervallen (auch: Vertrauensintervall)
Zunächst die Unterscheidung zweier Begriffe:
Punktschätzung
• es handelt sich um eine Punktschätzung, wenn ein Stichprobenkennwert
als Schätzer (s.o.) für den dahinterstehenden, wahren Populationswert
fungiert
Intervallschätzung
• Eine Schätzung durch Angabe von zwei Zahlen, von denen angenommen
wird, dass der Populationsparameter zwischen ihnen liegt, heißt Intervallschätzung.
• Hierfür konstruiert man Konfidenzintervalle, in die der unbekannte
Parameter mit einer bestimmten Überdeckungs- oder Sicherheitswahrscheinlichkeit (1 - α) fällt. Während 1 - α die Wahrscheinlichkeit
(z.B.: 0,95, also 95%) angibt, mit der der gesuchte Populationsparameter
in dem Intervall liegt, ist α die Irrtumswahrscheinlichkeit (z.B. 0,05, also
5%), die angibt, mit welcher Wahrscheinlichkeit die Intervallschätzung
fehlerbehaftet ist.
Bestimmung von Konfidenzintervallen für den Mittelwert
• Für die Bestimmung von Konfidenzintervallen macht man sich die
Tatsache zunutze, dass die Stichprobenkennwerteverteilung nach dem
Zentralen Grenzwertsatz normalverteilt ist. D.h., wir kennen die
Verteilung aller möglichen Stichproben-Mittelwerte und können
deswegen die Grenzen berechnen, die einen beliebig vorgebbaren (meist
90, 95 oder 99%) Flächenanteil (= 1 - α) unter der Normalverteilungskurve der Stichprobenkennwerteverteilung des Mittelwertes markieren:
Obere Grenze: x + zσ x
Untere Grenze: x − zσ x
Setzten wir für z = 1,96 ein, dann markieren die Grenzen ein 95%
Konfidenzintervall; für z = 1,64 ein 90% Intervall, etc.17
Da 1 - α der entsprechende Flächenanteil ist und σ x der Standardfehler
des Mittelwertes, ergibt sich als Berechnungsformel:
17
Vgl. dazu noch einmal die Ausführungen über die Eigenschaften der Normalverteilung, S. 28 hier im Skript.
Mark Lutter
SMS I Tutorium Teil II „Inferenzstatistik“
P( x − z
σ
n
≤µ≤x+z
σ
n
Seite 36 von 52
) = 1−α
Bzw. falls σ unbekannt, wird σ durch s geschätzt:
P( x − z
s
s
≤µ≤x+z
) = 1−α
n
n
• Haben wir aufgrund einer konkreten Stichprobe einen Stichprobenmittelwert berechnet und möchten ein Konfidenzintervall berechnen, gilt
es zunächst die Fläche festzulegen, die das Intervall einschließen soll.
Legen wir z.B. 95% als Flächenanteil fest, dann entspricht dies jenem
Anteil aller Mittelwerte, die innerhalb dieser Intervallgrenzen liegen
• Ein 95% Konfidenzintervall bedeutet also, dass das Intervall in 95% aller
gezogenen Stichproben zur Überdeckung des wahren Parameters
führt.
• Der durch die Intervallgrenzen markierte Flächenanteil stellt somit die
Überdeckungswahrscheinlichkeit (engl.: „coverage probability“) dar,
mit der das berechnete Intervall den wahren Parameter trifft
Bsp.: (vgl. Dürr/Mayer, a.a.O., Beispiel 10.5, S.129)
Eine Untersuchung von n = 50 Hähnchen auf ihren Kaloriengehalt ergab einen
Stichproben-Mittelwert von x = 215,48, sowie eine Standardabweichung von s =
33,14. Wie lauten die Intervallgrenzen bei 95% Überdeckungswahrscheinlichkeit?
Für ein 95% - Vertrauensintervall erhalten wir z = 1,96:
215,48 − 1,96
⇔
33,14
50
≤ µ ≤ 215,48 + 1,96
33,14
50
206,29 ≤ µ ≤ 224,67
Mit 95%tiger Überdeckungswahrscheinlichkeit wird der wahre Populationswert µ
innerhalb der Grenzen von 206,29 und 224,67 liegen.
Achtung:
Bei kleinen Stichproben (n ≤ 30) sind die Stichprobenmittelwerte nicht mehr
normalverteilt, sodass dann die z-Werte (als t-Werte) in der Tabelle für die tVerteilung für n – 1 Freiheitsgrade (df) ermittelt werden müssen.18
18
Vgl. Tabelle D in Bortz, a.a.O., S.701
Mark Lutter
SMS I Tutorium Teil II „Inferenzstatistik“
Seite 37 von 52
Wichtig:
Konfidenzintervalle können z.B.: auch für Anteilswerte (Prozentwerte)
gebildet werden. Die Vorgehensweise ist dabei ähnlich, vgl. dazu die
Ausführungen in Dürr/Mayer, a.a.O., S.131ff. oder Bortz, a.a.O., S.99f.
Generell gilt:
• Die Länge des Konfidenzintervalls hängt ab von σ, n und 1 - α
• Hat also das untersuchte Merkmal eine große Streuung, so erhält man ein
entsprechend großes Intervall. Wird die Sicherheitswahrscheinlichkeit
erhöht, so verlängert sich auch das Vertrauensintervall. Das bedeutet, es
verringert sich damit die Genauigkeit der Intervallschätzung. Umgekehrt
gilt: je geringer die Sicherheitswahrscheinlichkeit gewählt wird, desto
kleiner wird das Vertrauensintervall und desto größer wird die
Genauigkeit. Jedoch: Durch Verkleinerung der Sicherheitswahrscheinlichkeit 1 - α erhöht sich die Irrtumswahrscheinlichkeit α.
• Soll die Länge des Intervalls verkürzt werden und damit die Genauigkeit
der Intervallschätzung erhöht werden, so muss der Stichprobenumfang
n vergrößert werden. Dabei gilt:
Eine Halbierung der Intervalllänge erfordert eine Vervierfachung des
Stichprobenumfangs
weitere Übungsaufgaben:
5.
Dürr/Mayer, a.a.O., S.140f.
Bortz, a.a.O., S.102f.
Die Überprüfung statistischer Hypothesen / Testverfahren19
Mithilfe von statistischen Testverfahren lassen sich (sozial-)wissenschaftliche
Hypothesen überprüfen.
Beispiele für Hypothesen
• H1: Männer haben eine geringere Lebenserwartung als Frauen
• H2: Je länger die Arbeitslosigkeit einer Person andauert, desto geringer ist
ihre Bereitschaft zur politischen Partizipation
Hypothesen solcher Art lassen sich zunächst auf deskriptiver Basis mit den
bekannten Verfahren überprüfen.20
19
Vgl. zum tieferen Verständnis die Ausführungen in Bortz, a.a.O., Kap. 4, S.104ff., sowie Kap. 5, S. 128ff.
z.B.: H1 durch einen Vergleich der durchschnittlichen Lebenserwartung bei Männern und Frauen, H2 durch
eine Korrelationsrechnung zwischen den Variablen „Dauer der Arbeitslosigkeit“ und „Bereitschaft zur polit.
Partizipation“
20
Mark Lutter
SMS I Tutorium Teil II „Inferenzstatistik“
Seite 38 von 52
(Sozial-)Wissenschaftliche Hypothesen werden zwecks Überprüfung
umformuliert in statistische Hypothesen. Statistische Hypothesen sind Aussagen
über Parameter in der Population.
Die Hypothesenformulierung kann unterschieden werden zwischen
• Zusammenhangshypothesen (z.B.: Chi-Quadrat-Test)
hier wird überprüft, ob ein Zusammenhang zwischen zwei Variablen
signifikant ist
• Unterschiedshypothesen (z.B.: z-Test; t-Test, F-Test)
hier wird überprüft, ob sich Parameter (z.B. Mittelwerte) signifikant
unterscheiden
Statistische Hypothesen:
Alternativhypothese (H1):
• Die Alternativhypothese ist die präzise Formulierung der Vermutung des
Forschers über einen bestimmten Sachverhalt
• Deshalb wird H1 gelegentlich auch wissenschaftliche Hypothese genannt
Nullhypothese (H0):
• Die Nullhypothese ist die Verneinung der Alternativhypothese.
• Damit ist sie die genaue Verneinung der Vermutung des Forschers
Fehlermöglichkeiten:
Fehler 1. Art (auch: α - Fehler)
• Angenommen, die H0 ist in Wirklichkeit wahr, wir lehnen sie dennoch
ab. Dies ist der Fehler 1. Art: Das Ablehnen einer (eigentlich richtigen)
Nullhypothese. Das Signifikanzniveau α ist die Wahrscheinlichkeit für
den Fehler 1. Art (Irrtumswahrscheinlichkeit oder α- Risiko genannt)
Fehler 2. Art (auch β - Fehler)
• Angenommen, die H0 ist in Wirklichkeit nicht wahr, wir nehmen sie
dennoch an. Dies ist der Fehler 2. Art: Das Ablehnen einer (eigentlich
richtigen) Alternativhypothese. Die Wahrscheinlichkeit einen Fehler 2.
Art zu begehen, wird β - Risiko genannt
Mark Lutter
SMS I Tutorium Teil II „Inferenzstatistik“
Seite 39 von 52
Überblick über klausurrelevante Testverfahren
z-Test (auch: „Gauß-Test“ oder bei SPSS: „t-test bei einer Stichprobe“)
• Überprüft, ob sich ein Stichprobenmittelwert signifikant von einem
vorgegebenen (z.B. bekannt aus einer früheren Erhebung) „Populations-“
Mittelwert unterscheidet
t-Test (für abhängige oder unabhängige Stichproben)
• Überprüft, ob sich zwei Stichprobenmittelwerte signifikant unterscheiden
F-Test (wird hier im Einzelnen nicht behandelt, vgl. Bortz, a.a.O., Kap. 5.1.5)
• Überprüft, ob sich zwei Stichprobenvarianzen signifikant unterscheiden
Chi-Quadrat-Test
• Überprüft, ob der Zusammenhang zwischen zwei nominalskalierten
variablen signifikant ist (also ob Chi-Quadrat signifikant von Null
verschieden ist)
Zum Begriff der Signifikanz (= Überzufälligkeit o. Bedeutsamkeit)
• Erweist sich ein Unterschied oder Zusammenhang als signifikant,
bedeutet dies, der Zusammenhang ist so stark oder der Unterschied so
groß, dass er nicht aufgrund von Zufallseinflüssen entstanden sein kann.
Zur Durchführung der Tests
z-Test (bei SPSS: t-test bei einer Stichprobe; sonst auch: Gauss-Test)21
• der z-Test vergleicht einen Stichprobenmittelwert (mit µ bezeichnet) mit
einem (bekannten oder erwarteten) Populationsmittelwert (mit µ0
bezeichnet)
• hierbei wird die Hypothese überprüft, ob sich ein Stichprobenmittelwert
signifikant von einem Populationsmittelwert unterscheidet
Folgende Parameter müssen also gegeben sein: µ ( x ), µ0, σ x ( σ̂ x )
21
Beispielaufgaben zu den Testverfahren finden sich in den Übungsklausuren
Mark Lutter
SMS I Tutorium Teil II „Inferenzstatistik“
Seite 40 von 52
I. Schritt: Hypothesenformulierung
Die Hypothesen werden je nach Fragestellung unterschiedlich formuliert:
1. zweiseitige Fragestellung (d.h. es wird danach gefragt, ob die
Mittelwerte gleich oder ungleich sind)
H0: µ = µ0
H1: µ ≠ µ0
Die Mittelwerte sind gleich
Die Mittelwerte sind nicht gleich
2. einseitige Fragestellung (d.h. es wird danach gefragt, ob der
Stichprobenmittelwert kleiner oder größer geworden ist)
Variante 1: Postuliert wird, dass der Stichprobenmittelwert kleiner
geworden ist:
H0: µ ≥ µ0
H1: µ < µ0
µ ist nicht kleiner geworden
µ ist kleiner geworden
Variante 2: Postuliert wird, dass der Stichprobenmittelwert größer
geworden ist:
H0: µ ≤ µ0
H1: µ > µ0
µ ist nicht größer geworden
µ ist größer geworden
II. Schritt: Berechnung des empirischen z-Wertes:
• Ist die Standardabweichung der Population σ bekannt, dann gilt:
z emp =
x − µ0
σx
=
x − µ0
σ
=
x − µ0
σ
⋅ n
n
• Ist die Standardabweichung der Population σ unbekannt, dann wird sie
durch die der Stichprobe (s) geschätzt. In diesem Fall gilt:
z emp =
x − µ0 x − µ0 x − µ0
=
=
⋅ n
s
s
σˆ x
n
Mark Lutter
SMS I Tutorium Teil II „Inferenzstatistik“
Seite 41 von 52
III. Schritt: Ermitteln des theoretischen z-Wertes anhand der Tabelle:
• Der theoretische z-Wert wird anhand der Tabelle „Verteilungsfunktion der
Standardnormalverteilung“ (Tabelle B in Bortz, a.a.O.) nachgesehen und
ist abhängig vom festgelegtem Signifikanzniveau. Er markiert das
Intervall des Annahmebereichs der Nullhypothese. Berücksichtigt werden
muss hier die zugrundegelegte Fragestellung:
1. bei zweiseitiger Fragestellung nachsehen bei 1 −
α
2
sowie
α
2
2. bei einseitiger Fragestellung nachsehen bei 1 − α für H0: µ ≤ µ0
oder bei α für H0: µ ≥ µ0
Merke:
Für kleine Stichproben (n ≤ 30) sind die Stichprobenmittelwerte nicht
mehr normalverteilt. In diesem Falle muss das Merkmal selber
normalverteilt sein. Dann muss der theoretische z-Wert (als t-Wert) in der
t-Tabelle (Tabelle D in Bortz, a.a.O.) für n-1 Freiheitsgrade abgelesen
werden.
IV. Schritt:
Ergebnisinterpretation
1. bei zweiseitiger Fragestellung
• die Nullhypothese wird angenommen, wenn zemp im Intervall
[±ztheoret.] liegt
• die
Nullhypothese
wird
abgelehnt
zugunsten
der
Alternativhypothese, wenn zemp außerhalb dieses Intervalls liegt
2. bei einseitiger Fragestellung
• die Nullhypothese wird angenommen, wenn der Betrag von zemp
kleiner ist als der Betrag von ztheoret., wenn also gilt: z emp ≤ z theoret
• die Nullhypothese wird abgelehnt, wenn gilt:
z emp > z theoret
Mark Lutter
SMS I Tutorium Teil II „Inferenzstatistik“
Seite 42 von 52
Z- Test mit SPSS
• der z-Test findet sich unter der Prozedur „t-Test für eine Stichprobe“
• dort muss manuell ein Testwert vorgegeben werden, der dem erwarteten
Populationsmittelwert µ0 entspricht. Dieser wird dann mit einem
Stichprobenmittelwert verglichen.
Bsp.:
Man geht davon aus, dass sich bei der ALLBUS - Variable „Politische
Selbsteinstufung /Links; Rechts“ der Populationsmittelwert µ0 genau in der Mitte
befinden wird. Auf einer Skala von 0 = ganz links bis 10 = ganz rechts erwarten
wir also ein µ0 von 5.5. Dies ist der Testwert, der nun mit dem tatsächlichen
Mittelwert der Stichprobe (= 5,02) verglichen werden soll:
Statistik bei einer Stichprobe
N
LINKS-RECHTS-SELBS
TEINSTUFUNG, BEFR.
Mittelwert
Standardab
weichung
Standardfe
hler des
Mittelwertes
5,02
1,63
2,95E-02
3056
Der Stichprobenumfang beträgt N = 3056 Befragte, der Mittelwert der Variable
„Politische Selbsteinstufung“ liegt bei 5,02 mit einer Standardabweichung von 1,63
und einem (geschätzten) Standardfehler des Mittelwertes von
σˆ x =
s
n
=
1,63
3056
= 0,0295 = 2,95E − 02
Nun wird geprüft, ob sich dieser Stichprobenmittelwert von 5,02 signifikant von
dem erwarteten Populationsmittelwert (Testwert = 5,5) unterscheidet. Wie müssten
dazu die Hypothesen formuliert werden?
Test bei einer Sichprobe
Testwert = 5.5
T
LINKS-RECHTS-SELBS
TEINSTUFUNG, BEFR.
-16,213
df
3055
Sig. (2-seitig)
Mittlere
Differenz
,000
-,48
95% Konfidenzintervall
der Differenz
Untere
Obere
-,54
-,42
Sichtbar ist hier zunächst der empirische T-Wert von -16,213, die Freiheitsgrade
df = n - 1 = 3055.
Daneben steht die Signifikanzzahl von 0,000 (Sig. 2-seitig). Dies bedeutet, der
Unterschied zwischen den Mittelwerten ist hochsignifikant.
Mark Lutter
SMS I Tutorium Teil II „Inferenzstatistik“
Seite 43 von 52
D.h. wir können mit fast 100%tiger Sicherheit davon ausgehen,
dass die Mittelwerte in der Grundgesamtheit nicht gleich sind. Die
Nullhypothese: „Die Mittelwerte sind gleich“ kann abgelehnt
werden.
Das Ergebnis ist signifikant, solange die Signifikanzzahl das
zulässige (vorgegebene) Signifikanzniveau (von meist 5%) nicht
überschreitet
Achtung:
• Bei einseitiger Fragestellung muss der Wert der Signifikanz (Sig. 2-seitig)
halbiert werden.
t-Test: Vergleich zweier Stichprobenmittelwerte
• t-Test für unabhängige Stichproben
• t-Test für abhängige Stichproben
Unterschied zwischen abhängigen und unabhängigen Stichproben
Abhängige Stichproben (auch: verbundene o. gepaarte Stichprobe)
• Abhängige Stichproben liegen vor, wenn jedem Wert der einen
Stichprobe auf sinnvolle und eindeutige Weise genau ein Wert der
anderen Stichprobe zugeordnet werden kann
Bsp.: Alkoholtest
Die Reaktionszeit einer Person wird gemessen vor und nach dem
Konsum von Alkohol
Gesundheitstest
Der Gesundheitszustand wird vor und nach einer Behandlung untersucht
• Hier liegen jeweils zwei Messungen vor, die anhand der gleichen
Stichprobe durchgeführt werden, wobei die Elemente beider
Messzeitpunkte jeweils paarweise zugeordnet werden können
Unabhängige Stichproben
• Unabhängige Stichproben liegen vor, wenn zwischen beiden Stichproben
keine eindeutige Wertezuordnung möglich ist
Bsp.: In einer Umfrage sind Personen aus Ost- und Westdeutschland befragt
worden. Dann stellen die Personen aus Ost- sowie Westdeutschland
jeweils zwei unabhängige Stichproben dar.
Mark Lutter
SMS I Tutorium Teil II „Inferenzstatistik“
Seite 44 von 52
t-Test für unabhängige Stichproben
Gegeben sind 2 unabhängige Stichproben des Umfangs n1 und n2; sowie
deren Stichprobenmittelwerte x1 und x 2 eines erhobenen Merkmals X
Der t-Test für unabhängige Stichproben prüft nun die Nullhypothese, dass
beide
Stichproben
aus
Populationen
stammen,
deren
Populationsmittelwerte identisch sind.
I. Schritt: Formulierung der Hypothesen
Auch hier wird wieder nach Fragestellung unterschieden:
1. zweiseitige Fragestellung (Es wird danach gefragt, ob die Mittelwerte
gleich sind)
H0: µ1 = µ2
H1: µ1 ≠ µ2
2. einseitige Fragestellung
Variante 1: Es wird danach gefragt, ob µ1 größer ist
H0: µ1 ≤ µ2
H1: µ1 > µ2
Variante 2: Es wird danach gefragt, ob µ1 kleiner ist
H0: µ1 ≥ µ2
H1: µ1 < µ2
II. Schritt: Berechnung des empirischen t-Wertes
Der empirische t-Wert wird mit folgender Formel berechnet:
x1 − x 2
t emp =
σ x −x
1
2
wobei σ x − x der Standardfehler der Mittelwertsdifferenzen ist und mit
folgender Formel berechnet wird, sofern er nicht vorgegeben ist:
1
2
Mark Lutter
SMS I Tutorium Teil II „Inferenzstatistik“
σ x −x =
1
2
∑ (x
i1
− x1 ) 2 + ∑ ( xi 2 − x 2 ) 2
(n1 − 1) + (n2 − 1)
⋅
Seite 45 von 52
1
1
+
n1 n 2
III. Schritt: Ablesen des theoretischen t-Wertes in der t-Tabelle
Der theoretische t-Wert wird in der t-Tabelle22 anhand der Freiheitsgrade
und des zulässigen Signifikanzniveaus abgelesen.
Das zulässige Signifikanzniveau α wird meistens in der
Aufgabenstellung vorgeben. Falls nicht, muss es selbst festgelegt
werden (z.B. α = 0,05)
Je nach Fragestellung variiert die Vorgehensweise:
1. bei zweiseitiger Fragestellung nachsehen bei:
• df = (n1 − 1) + (n2 − 1) (Freiheitsgrade)
•
α
2
sowie 1 −
α
2
2. bei einseitiger Fragestellung nachsehen bei:
• df = (n1 − 1) + (n2 − 1) (Freiheitsgrade)
• α (für H0: µ1 ≥ µ2)
bzw.
Achtung:
IV. Schritt:
1- α (für H0: µ1 ≤ µ2)
• Für größere Stichproben (n1 + n2 ≥ 50) ist t normalverteilt,
sodass dann der theoretische t-Wert (als z-Wert) in der Tabelle
zur Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung (Tabelle
B) nachgeschlagen werden muss
Ergebnisinterpretation
1. bei zweiseitiger Fragestellung
• die Nullhypothese wird angenommen, wenn temp im Intervall von
–ttheoretisch bis +ttheoretisch (Nullhypothesen-Annahmebereich) liegt
• Andernfalls ist sie zugunsten der Alternativhypothese abzulehnen
22
Vgl. Tabelle D in Bortz, a.a.O., S. 701
Mark Lutter
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2. bei einseitiger Fragestellung
• die Nullhypothese wird angenommen, wenn gilt: t emp ≤ t theoret
• die Nullhypothese wird abgelehnt, wenn gilt:
t emp > t theoret
wird
die
Nullhypothese
verworfen,
dann
sind
die
Populationsmittelwerte signifikant auf dem vorgegebenen Niveau
voneinander verschieden
Statistische Vorraussetzungen für die Durchführung des t-Tests:
• Für kleine Stichproben muss gelten, dass sie aus normalverteilten
Grundgesamtheiten stammen. Falls nicht, findet der Mann-WhitneyU-Test Anwendung
• Die Varianzen beider Grundgesamtheiten sollten in etwa gleich sein
(Varianzhomogenität). Falls nicht, werden für temp entsprechende
Korrekturformeln benutzt (SPSS berücksichtigt diese – s.u.: Test auf
Varianzhomogenität)
t-Test für unabhängige Stichproben mit SPSS
Es soll auf dem 5% - Signifikanzniveau (also mit 95%tiger Sicherheit) überprüft
werden, ob sich die Mittelwerte der Variable „Wichtigkeit: eigene Familie und
Kinder“23 in Ost- und Westdeutschland signifikant voneinander unterscheiden.
Vorliegen haben wir also zwei unabhängige Stichproben: n1 = 2208 Befragte aus
West-, sowie n2 = 1021 Befragte aus Ostdeutschland.
Gruppenstatistiken
WICHTIGKEIT: EIGENE
FAMILIE UND KINDER
ERHEBUNGSGEBIET:
WEST - OST
ALTE BUNDESLAENDER
NEUE
BUNDESLAENDER
N
2208
Mittelwert
6,00
Standardab
weichung
1,69
1021
6,30
1,45
Standardfe
hler des
Mittelwertes
3,59E-02
4,55E-02
Wie anhand der beiden Stichprobenmittelwerte ( x1 = 6,00; x 2 = 6,30) erkennbar,
halten scheinbar ostdeutsche Bundesbürger ihre eigene Familie für wichtiger als
Westdeutsche. Dadurch gelangen wir zu der Vermutung, dass sich die
23
Diese Variable wurde gemessen auf einer Skala von 1 = sehr unwichtig bis 7 = sehr wichtig
Mark Lutter
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Mittelwerte nicht nur in der Stichprobe, sondern auch in der Grundgesamtheit
unterscheiden werden (H1).
An der Standardabweichung ist bereits erkennbar, dass die
Varianzen beider Stichproben nicht gleich sind. Ob sie aber
signifikant nicht gleich sind, entscheidet der „Levene-Test auf
Varianzhomogenität“ (s.u.)
Zuerst aber folgt die Hypothesenformulierung:
Wir formulieren unsere Vermutung in Form der Alternativhypothese, während
die Verneinung dessen in der Nullhypothese benannt wird:
H0: µ1 = µ2
H1: µ1 ≠ µ2
(Mittelwerte unterscheiden sich nicht)
(Mittelwerte unterscheiden sich)
Ob nun ein Mittelwertunterschied tatsächlich (d.h. in der Grundgesamtheit)
existiert, oder ob nur zufällig genau diese beiden Stichproben einen Unterschied
uns „vormachen“, entscheidet der t-Test:
Test bei unabhängigen Stichproben
Levene-Test der
Varianzgleichheit
F
Signifikanz
WICHTIGKEIT: EIGEN Varianzen sind gleic 26,255
,000
FAMILIE UND KINDERVarianzen sind nicht
gleich
T-Test für die Mittelwertgleichheit
T
-4,985
Mittlere Standardfehle
df
Sig. (2-seitig) Differenz r der Differenz
3227
,000
-,30
6,12E-02
-5,261 2274,913
,000
-,30
I. Schritt: Test auf Varianzhomogenität / Levene-Test
• Der „Levene – Test der Varianzgleichheit“ überprüft zunächst, ob die Varianzen
beider Verteilungen signifikant gleich oder ungleich sind.
• Je nachdem ob die Varianzen gleich oder ungleich sind muss entweder
die obere oder die untere Zeile betrachtet werden
• Hier sind die Varianzen signifikant nicht gleich, weil die Signifikanzzahl
(0,000) neben dem F – Wert kleiner ist als 0,05. Mit fast 100%tiger
Sicherheit sind demnach die Varianzen nicht gleich. Das bedeutet, es
muss die untere Zeile betrachtet werden („Varianzen sind nicht gleich“).
Andernfalls (also falls die Signifikanzzahl des Levene - Tests größer wäre
als 0,05) müsste die obere Zeile betrachtet werden.
5,79E-02
Mark Lutter
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II. Schritt Ergebnisinterpretation
• Da wir aufgrund des Levene-Tests die untere Zeile betrachten, erhalten
wir einen empirischen t-Wert von –5,261 sowie Freiheitsgrade von df =
2274,913. Daneben steht die Signifikanzzahl (Sig. 2-seitig), die uns sagt, ob
wir die Nullhypothese ablehnen oder annehmen müssen.
Ist dieser Wert gleich oder kleiner als das vorgegebene
Signifikanzniveau (hier: 0,05), dann ist die Nullhypothese
abzulehnen. Andernfalls ist sie anzunehmen.
• Hier ist sie kleiner (0,000 ≤ 0,05), deswegen ist die gefundene
Mittelwertsdifferenz auf dem 5%-Niveau signifikant. Die Nullhypothese
wird demnach verworfen.
• Zwischen Ost- und Westdeutschen besteht also ein signifikanter
Unterschied der Mittelwerte in der Variable „Wichtigkeit: eigene Familie
und Kinder“
Achtung:
Bei einseitiger Fragestellung muss der Wert der Signifikanz (Sig. 2seitig) halbiert werden.
Chi – Quadrat – Unabhängigkeitstest (kurz: χ2 – Test)
• Der χ2 – Test überprüft, ob ein in der Stichprobe gefundener
Zusammenhang zwischen zwei nominalskalierten Variablen signifikant
ist
I. Schritt: Hypothesenformulierung
H0: χ2 = 0
H1: χ2 ≠ 0
Es besteht kein Zusammenhang
Es besteht ein Zusammenhang
II. Schritt: Festlegung des Signifikanzniveaus
• Falls nicht bereits aus der Aufgabenstellung vorgegeben, wird das
Signifikanzniveau α festgelegt (meist 5%, d.h. α = 0,05)
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SMS I Tutorium Teil II „Inferenzstatistik“
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III. Schritt: Ermittlung von χ2emp. und χ2theor.
• Der empirische χ2 – Wert wird berechnet aus den Daten der Stichprobe
bzw. aus den beobachteten und erwarteten Häufigkeiten der
Kreuztabelle:24
χ 2 emp = ∑
( f
b
− fe )2
fe
• Der theoretische χ2 – Wert wird abgelesen in der χ2 – Tabelle25 anhand
des vorgegebenen Signifikanzniveaus (nachsehen bei 1 - α) und der
Anzahl der Freiheitsgrade df, welche ermittelt werden mit:
df = (r – 1)(c – 1)
wobei:
r = Anzahl der Zeilen der Kreuztabelle („rows“)
c = Anzahl der Spalten der Kreuztabelle („columns“)
Bsp.: Für eine 3x4 Kreuztabelle würden wir Freiheitsgrade von
df = (3-1)(4-1) = 6 erhalten
IV. Schritt: Ergebnisinterpretation
• Anschließend wird der theoretische χ2 – Wert mit dem empirischen χ2 –
Wert verglichen:
Wenn gilt: χ2emp. ≤ χ2theor.
zwischen beiden
Zusammenhang
Wenn gilt: χ2emp. > χ2theor.
zwischen beiden
Zusammenhang
24
25
dann wird H0 angenommen, d.h.
Variablen
besteht
kein
signifikanter
dann wird H0 abgelehnt, d.h.
Variablen
besteht
Vgl. hierzu die Ausführungen zum Chi-Quadrat Konzept im Skript Teil I, S. 27ff.
Vgl. Tabelle C in Bortz, a.a.O., S. 699f.
ein
signifikanter
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χ2 – Test mit SPSS
Es soll überprüft werden, ob der statistische Zusammenhang zwischen den
beiden Variablen „Lohnzufriedenheit“ und „Beschäftigtenstatus“ auf dem 5% Niveau (α = 0,05) signifikant ist.
Lohnzufriedenheit * Beschäftigtenstatus Kreuztabelle
Lohnzufriedenheit
geringe
Lohnzufriedenheit
Anzahl
Erwartete Anzahl
Anzahl
Erwartete Anzahl
Anzahl
Erwartete Anzahl
hohe Lohnzufriedenheit
Gesamt
Beschäftigtenstatus
Arbeiter
Angestellter
40
20
30,0
30,0
10
30
20,0
20,0
50
50
50,0
50,0
Gesamt
60
60,0
40
40,0
100
100,0
In obiger Kreuztabelle sind die beobachteten Häufigkeiten („Anzahl“), sowie die
erwarteten Häufigkeiten („Erwartete Anzahl“) eingetragen.
Daraus berechnet sich der empirische χ2 – Wert:
Chi-Quadrat-Tests
Wert
Chi-Quadrat nach
Pearson
Kontinuitätskorrektur
Likelihood-Quotient
Exakter Test nach Fisher
Zusammenhang
linear-mit-linear
Anzahl der gültigen Fälle
df
16,667
a
Asymptotisch
e Signifikanz
(2-seitig)
15,042
17,261
b
1
,000
1
1
,000
,000
Exakte
Signifikanz
(2-seitig)
,000
16,500
1
Exakte
Signifikanz
(1-seitig)
,000
,000
100
a. Wird nur für eine 2x2-Tabelle berechnet
b. 0 Zellen (,0%) haben eine erwartete Häufigkeit kleiner 5. Die minimale erwartete Häufigkeit
ist 20,00.
• In der Zeile „Chi-Quadrat nach Pearson“ findet sich der empirische χ2 – Wert
mit 16,667. Da dieser Wert größer als 0 ist, besteht - auf Basis der
Stichprobendaten - ein statistischer Zusammenhang zwischen beiden
Variablen
• Ob dieser Zusammenhang signifikant ist, d.h. ob er übertragbar ist auf
die Grundgesamtheit, zeigt die Signifikanzzahl neben dem χ2 – Wert
unter „Asymptotische Signifikanz 2-seitig“ von 0,000. Dies ist die (empirisch
ermittelte) Irrtumswahrscheinlichkeit α. Sie zeigt, dass mit einer
Wahrscheinlichkeit von nahe 0 der gefundene Zusammenhang nicht in
der Grundgesamtheit vorhanden sein wird. Umgekehrt bedeutet dies, dass
Mark Lutter
SMS I Tutorium Teil II „Inferenzstatistik“
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wir mit fast 100%tiger Sicherheit von einem signifikanten
Zusammenhang ausgehen können. Ist die Irrtumswahrscheinlichkeit so
gering wie hier, spricht man auch von einem „hochsignifikanten“
Zusammenhang.
• Ein Ergebnis ist signifikant, solange die Irrtumswahrscheinlichkeit den
Wert des zulässigen (vorgegebenen) Signifikanzniveaus von hier 5%
nicht überschreitet. Die ermittelte Irrtumswahrscheinlichkeit dürfte also
nicht größer sein als 0,05.
• Da also hier die empirisch ermittelte Signifikanzzahl von 0,000 kleiner ist
als das vorgegebene Signifikanzniveau von 0,05 ist die Nullhypothese
„Zwischen beiden Variablen existiert kein signifikanter Zusammenhang“
abzulehnen (zugunsten der Alternativhypothese).
demnach existiert also ein signifikanter Zusammenhang zwischen
beiden Variablen
Mark Lutter
SMS I Tutorium Teil II „Inferenzstatistik“
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6. Literaturverzeichnis
Unverzichtbare Basisliteratur & Exzellente Darstellung des Stoffs:
Bortz, Jürgen: Statistik für Sozialwissenschaftler, 4. Auflage,
Berlin, 1993.
Dürr, Walter / Mayer, Horst: Wahrscheinlichkeitsrechnung und
schließende Statistik, 3. Auflage, München, Wien, 1992.
Alles relevante für die Klausur steht in:
Faulbaum, Frank: Vorlesungs-Skript SMS I/A
Ebenfalls sehr wichtig für die Klausurvorbereitung:
Sämtliche Musterklausuren
Sehr gut zum Selbststudium eignet sich:
Clauß, G.; Finze, F.-R. ; Partzsch, L. : Statistik für Soziologen,
Pädagogen, Psychologen und Mediziner. Band I: Grundlagen, 2.
Auflage, Frankfurt / Main, 1995.
Sehr formal, aber dafür sehr korrekt:
Bamberg, G.; Baur, F.: Statistik, 10. Auflage, München, Wien,
1998.
Darüber hinaus lohnt sich:
Krämer, Walter: So lügt man mit Statistik, Frankfurt / Main, 1991.
Krämer, Walter: Statistik verstehen, Frankfurt / Main, 1992.