1 Übungsbeispiele: Kreis 1) Ermittle die Gleichung des Kreises mit
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Dr. Arnulf Schönlieb, Übungsbeispiele zur Wiederholung und Maturavorbereitung, 2005 Übungsbeispiele: Kreis 1) Ermittle die Gleichung des Kreises mit dem Mittelpunkt M(1/5), der durch den Punkt P(5/3) geht! 2) Ein Kreis hat die allgemeine Gleichung k: x² + y² - 6x + 4y = 12 Bestimme Mittelpunkt und Radius! 3) Gegeben ist der Kreis k: (x - 2)² + (y - 2)² = 10 und die Gerade g: x - 2y = -7 a. Berechne die Koordinaten der Schnittpunkte S1, S2 von k und g. b. Bestimme die Gleichungen der Tangenten in S1 und S2 sowie den Schnittpunkt der Tangenten. c. Unter welchem Winkel schneiden einander k und g? [Ergebnisse: 1) k: (x - 1)² + (y - 5)² = 20 bzw. x² + y² - 2x - 10y + 6 = 0 2) M(3/-2), r = 5 3) a) S1(-1/3), S2(3/5) b) t1: 3x - y = -6 t2: x + 3y = 18 S(0/6) ] Übungsbeispiele: Ellipse 1) Eine Ellipse hat die Brennpunkte F1(-5/0), F2(5/0) und geht durch den Punkt P(3/4). Ermittle die Gleichung der Ellipse! 2) Eine Ellipse in 1. Hauptlage hat die Hauptachse 2a = 8 und geht durch den Punkt P(2/-3). Ermittle die Gleichung der Ellipse! 3) Eine Ellipse hat die Gleichung ell: 9x² + 4y² = 144. Berechne a, b und e! 4) Ermittle die Gleichung der Tangente an die Ellipse aus Beispiel 1. im Punkt P. Wie groß ist der Flächeninhalt des Dreiecks, das von der Tangente und den Koordinatenachsen begrenzt wird? [ Ergebnisse: 1) x²/45 + y²/20 = 1 bzw. 4x² + 9y² = 180 2) x²/16 + y²/12 = 1 bzw. 3x² + 4y² = 48 3) a = 6, b = 4, e = 2 ⋅ 5 (2. Hauptlage!) t: x + 3y = 15 Sx(15, 0), Sy(0, 5) , A = 37,5 ] Übungsbeispiele Hyperbel 1) Eine Hyperbel hat die Halbachse a = 6 und geht durch den Punkt P(10/12). Ermittle die Gleichung der Hyperbel und ihrer Asymptoten! 1 Dr. Arnulf Schönlieb, Übungsbeispiele zur Wiederholung und Maturavorbereitung, 2005 2) Ein Wasserturm hat die Form eines Drehhyperboloides. Der Boden hat einen Durchmesser von 6 ⋅ 5 m, in der Höhe von 12 m ist der kleinste Durchmesser 6 m. Die Gesamthöhe beträgt 18 m. Zeichne die Hyperbel so in ein Koordinatensystem ein, dass sie in 1. Hauptlage liegt! Ermittle die Gleichung der Hyperbel und den Durchmesser an der Spitze. 3) Von einer Hyperbel sind die Gleichungen der Asymptoten und ein Brennpunkt bekannt: y = x ⋅ 3 , F2(2/0). Ermittle die Gleichung der Hyperbel! 4) An die Hyperbel aus Beispiel 1. wird in P die Tangente gelegt. Ermittle die Gleichung der Tangente und berechne den Flächeninhalt des Dreiecks, das von der Tangente und den Asymptoten begrenzt wird! Ergebnisse: 1. x²/36 - y²/81 = 1 bzw. 9x² - 4y² = 324 Asymptoten: y = ± 3x/2 2. a = 3, P1( 3 ⋅ 5 /-12), b = 6 Gleichung der Hyperbel: x²/9 - y²/36 = 1 bzw. 4x² - y² = 36 Durchmesser = 8,5 m 3. 3x² - y² = 3 4. t: 15x - 8y = 54 S1(18/27), S2(2/-3), A = 54 Weitere Beispiele: 1) Ermitteln Sie die Gleichung der Ellipse b²x² + a²y² = a²b², die durch P(2/2) geht und den Punkt A(3/0) als Hauptscheitel besitzt. Durch P geht auch eine Parabel von der Form y² = 2px. Ein gleichschenkeliges Dreieck besitzt seine Spitze in A und die Basispunkte auf dem Parabelbogen innerhalb der Ellipsenfläche so, dass das Dreieck bei Rotation um die x-Achse einen Kegel mit dem größten Rauminhalt ergibt. Wie groß ist dieses Volumen? Die von Parabel und Ellipse im 1. und 4. Quadranten umschlossene Fläche rotiert um die x-Achse. Wie groß ist dieses Volumen? 2) Von einer Hyperbel in 1. Hauptlage kennt man den Punkte P ( 13 / 4) und die Asymptoten 2x – y = 0. Die Gerade x = 13 schneidet von der Hyperbel ein Segment ab, das um die x-Achse rotiert. Dem entstehenden Hyperboloid ist ein Zylinder mit größtem Volumen einzuschreiben. Berechnen Sie: a) Die Gleichung der Hyperbel (Zeigen Sie: 4x² - y² = 36) b) Das Hyperboloidvolumen c) Das Volumen des Zylinders Stellen Sie den Sachverhalt in einer Zeichnung dar! 3) Durch den Punkt P(2/6) geht eine Parabel von der Form y² = 2px. a) Bestimmen Sie die Gleichung der Parabel und der Tangente in P. b) Wie groß ist die Fläche, die von der Tangente, der y-Achse und der Parabel eingeschlossen wird? c) Dieses gemeinsame Fläche dreht sich um die x-Achse und um die y-Achse. Berechnen Sie die Volumina der entstehenden Drehkörper. 2 Dr. Arnulf Schönlieb, Übungsbeispiele zur Wiederholung und Maturavorbereitung, 2005 4) Gegeben ist die Parabel y² = 2px. Das Flächenstück , das von der y-Achse, der Parabel und der Parabeltangente t im Punkt P(2p/ y>0) der Parabel begrenzt wird, rotiert um die x-Achse und um die y-Achse. Berechnen Sie die Volumina der entstehenden Drehkörper. 5) Durch den Punkt P(1/3) geht eine Parabel von der Form y² = 2px. a) Bestimmen Sie die Gleichung der Parabel und die Gleichung der Tangente in P. b) Wie groß ist der Inhalt des Flächenstückes, das von t, der y-Achse und der Parabel eingeschlossen wird? Kurvendiskussion und Flächenberechnung x 1) Gegeben ist die Funktion y = (5 − x)e 5 . Bestimmen Sie Nullstelle, Extremwert, Wendepunkt und Wendetangente der Funktion. Berechnen Sie den Flächeninhalt des von der Kurve und den Koordinatenachsen begrenzten Flächenstückes. Zeichnen Sie die Kurve in –6<x<6 mit LE = 1cm. x 2) Gegeben ist die Funktion f ( x) = (3 − x)e 3 . Berechnen Sie Nullstellen, Extremwerte, Wendepunkte und Wendetangente und zeichnen Sie die Kurve im Intervall -4≤ x ≤ 4. Berechnen Sie im 1. Quadranten den Flächeninhalt zwischen der Kurve und der x-Achse. 3) Bestimmen Sie in der Funktion f ( x) = 4(e x − e 2 x ) Nullstelle und Extremwerte und zeigen Sie, dass in W (-ln4/ 0,75) ein Wendepunkt vorliegt. Zeichnen Sie die Funktion für -3≤ x ≤ 0,5. Der Graph der Funktion, die x-Achse und die Ordinate im Wendepunkt begrenzen ein Flächenstück. Berechnen Sie den Inhalt dieses Flächenstücks. 4) Gegeben ist die Funktion f ( x) = ( x − 2)² e x . Bestimmen Sie Nullstellen, Extremwerte und Wendepunkte der Funktion. Zeichnen Sie den Graphen der Funktion f für –4 < x < 2,5. Bestimmen Sie die Fläche, die die Kurve mit den Koordinatenachsen einschließt. 5) Die Funktion f ( x) = (a + bx)e x hat den Hochpunkt H (1/e). Bestimmen Sie a und b. Untersuchen Sie weiters ob Nullstellen, Extrema und Wendepunkte vorliegen und zeichnen Sie den Graph in [-4;3]. Berechnen Sie außerdem die Fläche, welche die Kurve mit der xAchse im 1 Quadranten einschließt. 6) Eine ganz rationale Funktion 3. Grades f(x) = ax³ + bx² + cx +d geht durch den Punkt P(2/0), hat einen Extremwert E(1/y) und den Wendepunkt W(0/2). Beweisen Sie die Funktionsgleichung lautet: f(x) = -x³ + 3x + 2. Bestimmen Sie für diese Kurve Nullstellen und Extremwerte. Zeichnen Sie die Funktion für –2 < x < 2,4. Berechnen Sie den Flächeninhalt, den der Graph der Funktion mit der Sehne WP einschließt. 7) Von einer Funktion f(x) kennt man y´´ = 6x – 6. Der Graph der Funktion geht durch P(1/2) und hat in diesem Punkt den Anstieg k = -3. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der Kurve und zeigen Sie die Übereinstimmung mit f(x) = x³ -3x² +4. Bestimmen Sie die Nullstellen, Extremwerte, Wendepunkt und Wendetangente und zeichnen Sie die Kurve für –1,5 < x <3. Berechnen Sie die Fläche, die die Kurve mit der x-Achse einschließt. 3 Dr. Arnulf Schönlieb, Übungsbeispiele zur Wiederholung und Maturavorbereitung, 2005 Vektorrechnung 7 2 1) Gegeben sind die Punkte A(4/3/-2), B(2/2/0) und C(4/0/1) sowie die Gerade g: X = 3 + t ⋅ 1 . − 2 − 1 a) b) c) d) Die Ebene ε enthält die Punkte A, B und C. Gib eine Gleichung für ε an. Berechne die Koordinaten des Schnittpunktes P von ε mit g. Zeige, daß das Dreieck ABC gleichschenkelig und rechtwinkelig ist. Der Punkt D bildet mit A, B und C ein Quadrat. Bestimme die Koordinaten von D. Zeige, daß P der Mittelpunkt dieses Quadrates ist. Berechne das Volumen des Tetraeders ABCS mit S(5/4/1). Eine Kugel berührt die Ebene ε in A und geht durch Q(7/6/2). Bestimme den Radius und den Mittelpunkt dieser Kugel. Gib die Gleichung dieser Kugel an. [ Lösungen: a) ε: x + 2y + 2z = 6 P(4/1,5/-0,5) b) AB = BC = 3 D(6/1/-1) c) V = 4,5 d) (x5)2 + (y-5)2 + z2 = 9 ] 2) Das Dreieck ABC [A(1/2/3), B(5/-2/1), C(3/6/-1)] ist Grundfläche einer dreiseitigen Pyramide ABCS, deren Mantelkanten AS, BS und CS gleich lang sind. Die Höhe beträgt 6. a) b) c) Berechne eine Spitze der Pyramide. Berechne das Volumen der Pyramide und den Winkel der Seitenkanten zur Basisebene. Berechne die Gleichung der Umkugel der Pyramide. [ Lösungen: a) M(4/2/0) S(8/4/4) b) V = 36 c) (x-5)2 + (y-2,5)2 + (z-1)2 = 20,25 ] 3) Ein Kreis k hat den Mittelpunkt M(7/0) und den Radius r = 5⋅ a) b) 5. Bestimme die Gleichungen der Kreistangenten t1 und t2, welche parallel zur Geraden g: 2x + y = 8 verlaufen. Bestimme ferner die Gleichung der Tangente t3, die den Kreis in T(9/y>0) berührt. Die Tangente t3 schneidet t1 im Punkt S1 und t2 im Punkt S2. Zeige, dass gilt: ∠S1MS2 = 90°. [ Lösungen: a) t1: X= 17 −1 −3 −1 9 −11 + s ⋅ t2: X = + t ⋅ t3: X = + r ⋅ b) S1 (14,5/10) S2 ( 5 2 −5 2 11 2 13/15) 4) Ermittle die Gleichung des Umkreises des Dreiecks ABC [A(4/-12), B(-2/6), C(-12/-4)], gib die Gleichung der Tangente t im Punkt A an und zeige, daß sich der Inhalt des gegebenen Dreiecks zum Inhalt des Dreiecks 0YX, das t mit den Koordinatenachsen begrenzt, wie 4 : 5 verhält. Berechne weiters die Gleichung des Inkreises des Dreiecks 0YX und gib das Verhältnis der beiden Kreisinhalte an. [ Lösungen: ku: (x+2)2 + (y+4)2 = 100 tA: y = 3 4 x − 15 Y(0/-15) X(20/0) AABC = 120 A0YX = 150 AABC : A0YX = 4 : 5 5) Gegeben ist das Dreieck ABC [A(-8/0), B(2/2), C(2/-10)]. a) b) Ermittle die Gleichung des Kreises k durch die Seitenmittelpunkte MAB, MAC, MBC. Auf diesem Kreis k liegen weitere sechs Punkte, und zwar die Höhenfußpunkte Fa, Fb, Fc des Dreiecks ABC und die Streckenmittelpunkte Pa, Pb, Pc, die man erhält, wenn man den Höhenschnittpunkt H des Dreiecks ABC mit den einzelnen Eckpunkten verbindet und die so erhaltenen Strecken halbiert. Zeige diesen Sachverhalt für die Punkte Fa und Pa (große Skizze). [ Lösungen: a) (x+1)2 + (y+2)2 = 13 b) Fa (2/0) Pa (-4/0) ] 4
