Kurvendiskussionen - Praktische Anwendungen D9

Kurvendiskussionen - Praktische Anwendungen
D9
1. Eine Wäscheleine ist an zwei gleich hohen, 6 m voneinander entfernten Punkten aufgehängt.
In der Mitte hängt sie 15 cm durch. Die Form der Leine kann durch eine quadratische
Funktion beschrieben werden.
a. Ermittle die Gleichung der Funktion (Koordinatenursprung im linken Endpunkt, Maße in m).
b. Wie groß ist die Neigung der Wäscheleine in ihren Endpunkten?
2. Ein Drahtseil überspannt einen Graben von 30 m Breite bei einem Höhenunterschied von
24 m. Das durchhängende Seil hat ungefähr die Form einer Parabel. Im oberen Stützpunkt
(B) besitzt es eine Neigung von 45°.
a. Lege den Koordinatenursprung in den unteren Stützpunkt (A) und ermittle die Gleichung der
Parabel (quadratische Funktion).
b. Wie groß ist die Neigung des Seils im unteren Stützpunkt?
c. In welchem Punkt der Kurve ist die Tangente parallel zur Strecke AB?
Ermittle die Gleichung der Tangente in diesem Punkt und den Durchhang f des Seil
(d.h. den vertikalen Abstand zwischen der Tangente und der Strecke AB).
3. Eine Eisenbahnkurve wird durch einen Kreisbogen vom Radius r gebildet. Damit keine
plötzlichen Fliehkräfte auftreten, schaltet man zwischen Gerade und Kreisbogen eine
"Übergangskurve". Diese kann durch die Funktion y = x³/6c dargestellt werden.
Dabei gilt für den Endpunkt: x = c/r.
a. Es sei c = 12000, r = 200 m.
Gib die Gleichung der Kurve an und berechne die Koordinaten des Endpunkts.
b. Ermittle die Gleichung der Tangente im Endpunkt und die Richtungsänderung,
d.h. den Winkel zwischen Tangente und x-Achse.
Schräger Wurf
Ein Körper wird vom Punkt(0/y0) mit der Anfangsgeschwindigkeit v0 unter dem Winkel α schräg
nach oben geworfen. Die Wurfbahn kann durch die Gleichungen
x = v0 cos(α)·t
y = y0 + v0 sin(α)·t - g/2·t² beschrieben werden
(g: Erdbeschleunigung ~ 10 m/s²; der Luftwiderstand wird dabei vernachlässigt).
Wenn man t eliminiert, erhält man daraus die Gleichung der Wurfbahn.
4. Eine Kugel wird aus Bodenhöhe (y0 = 0) unter α = 45° nach oben geworfen,
Anfangsgeschwindigkeit 20 m/s.
An welcher Stelle befindet sich der höchste Punkt der Bahn?
Wo trifft die Kugel am Boden auf
a. in horizontalem Gelände
b. auf einem unter 20% ansteigendem Hang (d.h. k = 0,2)
c. auf einem unter 15% abfallenden Hang (k = -0,15)?
5. Ein Ball wird von einem 45 m hohen Turm mit 5 m/s waagrecht weggeworfen.
Wo trifft er auf dem Boden auf
a. in waagrechtem Gelände
b. auf einem unter einem Winkel von 15° ansteigenden Hang?
6. Zwei 100 m hohe Hochhäuser stehen 90 m voneinander entfernt. Vom Dach des einen
wird eine Kugel mit 25 m/s unter einem Winkel von 36,87° schräg nach oben geschossen.
a. Wo erreicht die Kugel ihren höchsten Punkt?
b. In welcher Höhe trifft sie die Fassade des anderen Hochhauses?
7. Das Dach eines Hauses ist unter 36,87° geneigt. Ein Dachziegel hat sich gelockert und
rutscht ab. Als er die Dachkante in 15 m Höhe erreicht, hat er eine Geschwindigkeit von
5 m/s. In welcher Entfernung schlägt er auf dem Boden auf?
Biegelinien
Wenn ein Träger belastet wird, nimmt er eine Form an, die durch eine Polynomfunktion
beschrieben werden kann. Dabei gilt:
 In einem waagrecht eingespannten Ende hat die Kurve einen Hochpunkt.
 In einem freien Ende hat die Kurve einen Wendepunkt.
Nimm bei den folgenden Beispielen den Koordinatenursprung immmer im linken Endpunkt an.
8. Ein 5 m langer Balken wird am linken Ende eingespannt und am rechten Ende belastet.
Dadurch senkt sich das Ende um 10 cm.
a. Ermittle die Gleichung der Biegelinie (Funktion 3. Grades, Maße in m).
b. Wie groß ist die Neigung im rechten Endpunkt?
9. Ein 2 m langes Regalbrett liegt an beiden Enden frei auf. Wenn es auf der ganzen Länge
gleichmäßig belastet wird, biegt es sich in der Mitte um 6 cm durch.
a. Ermittle die Gleichung der Biegelinie (Funktion 4. Grades, Maße in m).
b. Wie groß ist die Neigung in den Endpunkten?
10. Wenn das Brett aus dem vorigen Beispiel an beiden Enden eingespannt wird, beträgt die
Durchbiegung (bei gleicher Belastung) nur mehr 2 cm.
a. Auch hier ist die Kettenlinie eine Kurve 4. Grades - ermittle ihre Gleichung.
b. Berechne außerdem die Koordinaten der Wendepunkte und die Steigung sowie den
Neigungswinkel der Wendetangenten.
Ergebnisse
1.
a. y = x²/60 - x/10
b. k = -0,1, α = 5,71°
2.
a. y = x²/150 + 3x/5
b. k = 3/5, α ~ 31°
c. P(15/10,5); t: y = 4x/5 - 3/2; f = 1,5 m
3.
a. y = x³/72000; P(60/3)
b. t: y = 0,15x - 6; α = 8,5°
4. y = x - 0,025x²; H(20/10)
a. (40/0)
b. (32/6,4)
c. (46/-6,9)
5. y = 45 - 0,2x²
a. (15/0)
b. (14,3/3,8)
6. y = 100 + 0,75x - 0,0125x²
a. (30/111,25)
b. 66,25 m
7. y = 15 - 0,75x - 0,3125x²; ~ 5,8 m
8.
a. y = 0,0004x³ - 0,006x²
b. k = -0,03, α = -1,72°
9.
a. y = 0,012(-x4 + 4x³ - 8x)
b. k = ±0,096, α = ±5,48°
10.
a. y = 0,02(-x4 + 4x³ - 4x²)
b. W1(0,42/-0,01), W 2(1,58/-0,01), k = ±0,03, α = ±1,76°