Gemeine Brüche 1. Bruchkonzepte Vorbemerkung: Unterscheide

Gemeine Brüche
1. Bruchkonzepte
Vorbemerkung: Unterscheide zwischen Bruch“ und Bruchzahl“. Ein Bruch ist ein Paar natürlicher
”
”
Zahlen, während eine Bruchzahl eine Klasse wertgleicher Brüche (z.B. 2/3, 4/6, 6/9, etc.) ist.
1.1 Größenkonzept
1.1.1 Konkrete Brüche: Bruchteile von Einheiten oder von konkreten Dingen, z.B. 1/2 Liter, 2/3 Pizza.
1.1.2 Brüche und Bruchzahlen entstehen durch Abstraktion von der Bezugsgröße.
1.1.3 Wichtige Vorstellungen zu konkreten Brüchen sind: Bruch als Teil eines Ganzen; Bruch als Teil
mehrerer Ganzer.
1.2 Operatorkonzept: Das Op. betont die mit Brüchen verbundene Handlungsanweisung. Erst teilen, dann vervielfachen oder erst vervielfachen, dann teilen; z.B. entspricht der Bruch 2/3 folgender
Operatorkette:
·2
:3
:3
·2
−→ −→ oder −→ −→ Bis auf wenige Ausnahmen liegt heute das Größenkonzept dem Unterricht im Bruchrechnen zugrunde.
1.3 Gleichungskonzept: Brüche als Lösungen von linearen Gleichungen mit natürlichen Koeffizienten,
äquivalente (wertgleiche) Brüche entsprechen äquivalenten Gleichungen.
1.4. Paarkonzept: Die Menge N0 × N wird als Menge aller Brüche aufgefaßt. Auf N0 × N wird die
folgende Klassenbildung vorgenommen:
(a, b) und (a1 , b1 ) gehören genau dann zurselben Klasse, wenn ab1 = a1 b. Jede dieser disjunkten (!)
Klassen heißt Bruchzahl“.
”
2. Erweitern, Kürzen, Größenvergleich
2.1 Größenkonzept: Erweitern als Verfeinerung, Kürzen als Vergröberung der Unterteilung.
2.2 Operatorkonzept: Erweitern und Kürzen als Dazwischenschalten sich gegenseitig aufhebender Operatoren.
2.3 Standardmethoden zum Größenvergleich von Brüchen: Herstellen gleicher Zähler oder gleicher
Nenner.
2.4 Größenvergleich beim Paarkonzept:
(a, b) < (c, d) ⇔ ad < bc.
Bei Bruchzahlen: Die eine Bruchzahl ist kleiner als die andere, wenn irgendein Repräsentant der einen
kleiner als irgendeiner der zweiten ist.
3. Addition und Subtraktion von Brüchen
3.1 Im Größenkonzept
3.1.1 Add./Subtrakt. von gleichnamigen konkreten Brüchen
3.1.2 Hauptnenner entspricht einem der beiden Nenner
3.1.3 beide Nenner teilerfremd
3.1.4 allgemeiner Fall
3.1.5 Addition gemischter Zahlen: Rechnung nach Umwandlung in unechte Brüche oder nach dem
Schema ganze Zahl + ganze Zahl + Bruch + Bruch“.
”
3.1.6 Subtraktion gemischter Zahlen: Rechnung nach Umwandlung in unechte Brüche (bis auf einfache
Ausnahmen, in denen g.Z. - g.Z + Bruch - Bruch“ leicht zugänglich ist).
”
3.2 Bruchoperatoren sind ihrem Wesen nach multiplikativ angelegt und eignen sich daher erst nach
erheblichen Verrenkungen zur Einführung der Add./Subtrakt.
3.3 Paarkonzept:
(a, b) ± (c, d) := (ad ± bc, bd).
1
Addition/Subtraktion von Bruchzahlen:
(a, b) ± (c, d) := (ad ± bc, bd).
Dabei ist etwa (a, b) diejenige Bruchzahl mit dem Repräsentanten (a, b). Es ist dann noch zu begründen,
daß diese Festlegung unabhängig von der Wahl der speziellen Repräsentanten ist.
4. Multiplikation
4.1 Größenkonzept
4.1.1 Standardmethode:
(i) Natürliche Zahl mal Bruch durch wiederholte Addition.
(ii) Bruch mal natürliche Zahl: Anwendung des Kommutativgesetzes führ auf (i).
(iii) Von-Ansatz“: Gemäß (ii) wird an konkreten, ganzzahligen Größen plausibel gemacht, daß Bruch
”
”
von“ gleich Bruch mal“.
”
(iv) Bruch mal Bruch durch Übertragen des von-Ansatzes“.
”
(v) Multiplikation gemischter Zahlen nach Umwandlung in unechte Brüche (außer in Spezialfällen, wie
2 23 · 3, in denen das Distributiv-Gesetz zu einfacheren Möglichkeiten führt).
4.1.2 Alternativ:
Das Ergebnis von Bruch mal Bruch“ wird als Flächeninhalt eines Rechtecks mit den beiden Brüchen
”
als Länge und Breite aufgefaßt (setzt Flächeninhaltslehre voraus, die freilich i.a. erst nach der Bruchrechnung in der 6. Klasse behandelt wird).
4.2 Operatorkonzept: Die Multiplikation zweier Brüche wird als Hintereinanderausführung der zugehörigen Operatoren aufgefaßt. Elegant, aber (zu) abstrakt.
4.3 Paarkonzept: Wird wie bei der Add./Subtr. repräsentantenweise festgelegt:
(a, b) · (c, d) := (ac, bd).
Es ist auch hier zu beweisen, daß diese Festlegung unabhängig von der Wahl der speziellen Repräsentanten ist.
5. Division
5.1 Größenkonzept:
5.1.1 Bruch durch natürliche Zahl
Zuerst Zähler (u.U. durch Erweitern) als Vielfaches der nat. Zahl.
5.1.2 Bruch durch Bruch:
Vorgang des Abmessens“, z.B. wie oft paßt 1/4 l in einen 1/2 Liter“.
”
”
5.2 Operatorkonzept:
·a
:b
: ab als Umkehroperator zum Bruchoperator −→ −→ .
U.U. hier auch Mischung“ aus Größenkonzept und Operatorkonzept im Unterricht sinnvoll.
”
5.3 Paarkonzept:
(a, b) : (c, d) := (ad, bc).
Es ist auch hier zu beweisen, daß diese Festlegung unabhängig von der Wahl der speziellen Repräsentanten ist.
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Dezimalbrüche
1.) Fachliches:
Ein Ausdruck der Form
an · 10n + an−1 · 10n−1 + · · · + a1 · 101 + a0 +
∞
X
bk · 10−k ,
k=1
wobei 0 ≤ ai ≤ 9 und 0 ≤ bk ≤ 9 und ai , bk ∈ N heißt Dezimalbruch. Der Dezimalbruch heißt
endlich“, wenn die bk bis auf endlich viele gleich 0 sind; er heißt unendlich periodisch“, wenn es ein
”
”
k0 ∈ N und eine natürliche Zahl m (die Periodenlänge) gibt, sodaß für alle i ≥ k0 gilt, daß bi+m = bi
(falls k0 > 1, so heißt die Folge der Ziffern b1 , b2 , . . . , bk0 −1 die Vorperiode“). Ansonsten heißt der
”
Dezimalbruch unendlich nichtperiodisch“ (und ist strenggenommen gar kein Bruch). In der HS be”
trachtet man nur endliche Dezimalbrüche.
Umwandlung von Brüchen in Dezimalbrüche durch Division; Umwandlung von Dezimalbrüchen nur
problematisch bei periodischen Dezimalbrüchen:
Günstigstes Verfahren: Multiplikation mit einer Stufenzahl, sodaß Vorperiode und eine Periode vor
das Komma rückt, Multiplikation mit einer Stufenz., sodaß die Vorperiode vor das Komma rückt,
Abziehen der beiden Dezimalbrüche.
Beispiel: x = 11, 235757575757 . . ..
10000x = 112357, 57575757 . . ., 100x = 1123, 57575757 . . .,
2334
10000x − 100x = 9900x = 111234, also x = 111234
9900 = 11 9900 .
Bei diesem Vorgehen wird manchmal eingewendet, daß Kommaverschiebungsregel (bei Mult. mit Stufenzahl) und Subtraktion zunächst nur für endliche Dezimalbrüche gültig sind.
Alternativ (aber nicht prinzipiell anders): Auffassen der Periode als unendliche geometrische Reihe:
P
1 i
11, 2357575757 . . . = 11, 23 + 57 · ( 1014 + 1016 + 1018 + · · ·) = 11, 23 + 57 · ∞
i=2 100 . Aus der Formelsammlung entnimmt man:
∞
X
q
qi =
.
1−q
i=1
Also ist mit q = 1/100:
∞
X
(1/100)i = 1/99.
i=1
Wendet man dieses Resulat auf obigen Fall an, so ergibt sich:
11, 235757575757 . . . = 11, 23 + 57 ·
∞
X
(1/100)i −
i=1
57
23
57
57
2334
= 11 +
+
−
= 11
.
100
100 99 100
9900
2.) Didaktisches:
Grundsätzlich stehen zur Einführung der Dez. und Behandlung der Rechenregeln bei (endlichen) Dez.
3 Aspekte der Dezimalbrüche zur Verfügung:
1.) Dezimalbrüche als andere Schreibweisen für gewöhnliche Brüche mit Zehnerpotenzen im Nenner
(z.B. 3, 14 = 3 Ganze, 14 Hundertstel bzw. 3, 14 = 3 Ganze, 1 Zehntel, 4 Hundertstel)
2.) Dezimalbrüche als Maßzahlen von Größen (am besten eignen sich Längen)
3.) Dezimalbrüche als Erweiterung der Stellenwerttafel ( quasikardinaler Aspekt“).
”
Der Größenaspekt“ ist dabei bereits aus der Grundschule bekannt und sollte (ergänzt durch die Dar”
stellung in der Stellentafel) bevorzugt eingesetzt werden. Diese Darstellung entspricht einer Sichtweise
der Dezimalbrüche als Summe von Zehnteln, Hundertsteln, . . . , während der Größenaspekt“ wie auch
”
der Bruchaspekt“ sowohl der Sichtweise mit einer Zehnerpotenz im Nenner als auch der Summen”
”
betrachtung“ entsprechen.
Bsp: 3, 14 m = 3 m 14 cm (entsprechend 3 14/100) oder 3, 14 m = 3 m 1 dm 4 cm (entsprechend 3
+ 1/10 + 4/100).
3
Zur Addition/Subtraktion: Hierzu stehen 3 (u.U. sich ergänzende!) Zugänge zur Verfügung:
1.) Rückgriff auf gemeine Brüche, z.B. 0,4 + 0, 26 = 4/10 + 26/100 = 40/100 + 26/100 = 66/100 =
0,66
2.) Rechnen in der Stellentafel (führt auch sofort auf das schriftliche Rechnen)
3.) Rechnen mit Größen, entweder mit gemischter“ Schreibweise oder bei Umwandlung in die kleinste
”
gemeinsame Größeneinheit.
Zur Multiplikation/Division:
1. Schritt: Mult./Division mit Zehnerpotenz (Kommaverschiebungsregeln!):
Es stehen wieder die 3 Aspekte zur Verfügung:
1.) Gewöhnliche Brüche im Zusammenhang mit den Regeln für diese bei Mult./Division
2.) Bsp: 100 · 0, 135km = 100 · 135m = 13500m = 13, 5km, also: 100 · 0, 135 = 13, 5
3.) Die Regeln über die Mult./Divis. von Stellenwerten bei nat. Zahlen werden auf die erweiterte
Stellentafel übertragen.
2. Schritt: Mult. eines Dez. mit einer nat. Zahl:
Dabei können wieder die 3 Aspekte zum Tragen kommen, u.U. in Verbindung mit einer Deutung der
Multiplikation als wiederholter Addition.
3. Schritt: Mult. zweier Dezimalbrüche: Hier stehen zwei Wege im Vordergrund:
(a) Rückgriff auf Regeln für gemeine Brüche und beispielsgebundene Einsicht in das Vorgehen Mult.
der reinen“ Zahlen, Abtrennen der Gesamtzahl der Dezimalstellen
”
(b) Rückführung auf die Mult. mit natürlichen Zahlen mit Hilfe der Kommaverschiebungsregeln, z.B.
3, 14 × 0, 5 = 3, 14 × 100 × 0, 5 × 10 : 1000 (in Operatorschreibweise besonders instruktiv!) (c) weitere
Wege sind grundsätzlich möglich, z.B. über den Größenaspekt: Produkt zweier Längen gleich Fläche,
Umrechnen der Einheiten.
4. Schritt: Division eines Dez. durch eine nat. Zahl:
Hier treten in der HS erstmals periodische Dezimalbrüche auf, bei der Einführung ist aber zunächst
darauf zu achten, daß die Division aufgeht“. Am günstigsten ist hier der Rückgriff auf die erweiterte
”
Stellentafel und die schriftliche Division. Dabei ist an Aufgaben, wie 13,7 : 5 das Anhängen zusätzlicher Endnullen einzuführen. Zusätzlich sollte auch klargemacht werden, daß die Division auch durch
Rückführung auf gemeine Brüche möglich ist.
5. Schritt: Division Dez. durch Dez.:
Durch Kommaverschiebung ist eine Rückführung auf die Situation des 4. Schritts möglich: z.B. 3, 14 :
7, 12 = 3, 14 : (7, 12 × 100) × 100 = 314 : 712 (wieder besonders instruktiv in Operatorschreibweise).
Zusätzlich soll wieder die grundsätzliche Möglichkeit des Rückgriffs auf gew. Brüche angesprochen
werden.
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