Steigungswinkel einer Geraden

Mathematikunterricht am Gymnasium
Förderung mathematischer Kompetenzen
Anregungen und Materialien
Anregungen zur Erstellung von Aufgaben
Steigungswinkel einer Geraden
Aufgaben für den Unterricht
Im Rahmen der Behandlung des Lehrplanabschnitts „M 9.5.2 Trigonometrie am rechtwinkligen Dreieck“ lässt sich ein Zusammenhang zwischen der Steigung einer Geraden und dem
zugehörigen Steigungswinkel herstellen. Anhand von Aufgaben, die sich auf diesen Aspekt
beziehen, wird gezeigt, wie sich zu einem inhaltlich eng gefassten Thema je nach Formulierung der Aufgabenstellung die unterschiedlichen allgemeinen mathematischen Kompetenzen
in verschiedenen Anforderungsbereichen ansprechen lassen.
(K 1) Argumentieren
Die Gerade g ist durch die Gleichung y  mx  t mit m,t  IR und m  0 gegeben. Begründe,
dass für den Schnittwinkel α von g und der x-Achse tanα  m gilt.
Kommentar: Die Begründung erfordert die Kompetenz „Argumentieren“. Die Entwicklung der
Begründung anhand einer geeigneten Zeichnung setzt die Kompetenz „Darstellungen verwenden“ voraus; diese steht jedoch nicht im Vordergrund.
(K 2) Probleme lösen
Gegeben sind die Gerade g mit der Gleichung y  2x  2 und die Gerade h mit der Gleichung y  x . Berechne die Größe des Schnittwinkels von g und h und ermittle die Gleichung
einer dritten Geraden k so, dass sich g und k unter einem Winkel der Größe 30° schneiden.
Kommentar: Unter der Voraussetzung, dass die Aufgabe im Unterricht nicht bereits in ähnlicher Form bearbeitet wurde, steht bei der Entwicklung des mehrschrittigen Lösungswegs die
Kompetenz „Probleme lösen“ im Vordergrund. Um eine geeignete Zeichnung anzufertigen,
wird die Kompetenz „Darstellungen verwenden“ benötigt; diese spielt jedoch wie die Kompetenz „Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen“
eine weniger bedeutende Rolle.
(K 3) Modellieren
Die Abbildung zeigt die technischen Daten einer
Gondelbahn im Engadin.
Berechne die mittlere Steigung des Seils gegenüber der Horizontalen in Prozent sowie den zugehörigen Steigungswinkel.
Kommentar: Um den Sachzusammenhang in ein
mathematisches Modell zu übertragen, ist die
Kompetenz „Modellieren“ erforderlich. Zum Lösen
der Aufgabe im Modell bedarf es der Kompetenz
„Mit symbolischen, formalen und technischen
Elementen der Mathematik umgehen“; diese steht
jedoch nicht im Vordergrund.
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Förderung mathematischer Kompetenzen
Anregungen und Materialien
(K 4) Darstellungen verwenden
Die Abbildung zeigt eine Gerade g.
a) Gib eine Gleichung von g an.
b) Bestimme die Gleichung einer Geraden h, die g im Punkt
P  2 | 1 unter einem Winkel der Größe 15° schneidet.
Kommentar: Der Wechsel zwischen unterschiedlichen Darstellungsformen einer Geraden (z. B. zwischen Graph und
Gleichung) erfordert die Kompetenz „Mathematische Darstellungen verwenden“. Das Aufstellen der Gleichung von h
setzt außerdem die Kompetenz „Mit symbolischen, formalen
und technischen Elementen der Mathematik umgehen“ voraus; diese spielt jedoch eine weniger bedeutende Rolle.
(K 5) Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen
Eine Gerade verläuft durch die Punkte A  8 | 6  und B 12 | 3  . Berechne jeweils die Größe
der Winkel, unter denen die Gerade die Koordinatenachsen schneidet.
Kommentar: Im Rahmen der Bearbeitung der Aufgabe müssen ausschließlich bekannte Verfahren angewandt werden; dazu bedarf es der Kompetenz „Mit symbolischen, formalen und
technischen Elementen der Mathematik umgehen“.
(K 6) Kommunizieren
Die Steigung einer Bergstraße wird mit 100 % angegeben. Erläutere die Bedeutung dieser
Angabe.
Kommentar: Die geforderte Erläuterung setzt die Kompetenz „Kommunizieren“ voraus.
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