+ y - GWDG

19 Oligopoltheorie
Der Gewinn eines Unternehmens hängt von den
Entscheidungen der anderen Unternehmen ab.
Die optimale Entscheidung eines Unternehmens
hängt von seiner Erwartung über die
Entscheidungen der anderen Unternehmen ab.
Im Gleichgewicht werden diese Erwartungen
bestätigt: jedes Unternehmen verhält sich
optimalerweise so, wie es die anderen erwartet
haben.
Jedes Oligopol-Modell ist ein Spiel
→ Nash-Gleichgewicht.
Unterscheidung der Modelle nach den
möglichen Strategien (Outputmengen, Preise)
und der Reihenfolge der Entscheidungen
(gleichzeitig, nacheinander).
Mikroökonomik II: 19 Oligopoltheorie
1
Oligopol mit Mengenwettbewerb:
Das Cournot-Gleichgewicht
Zur Vereinfachung: Dyopol
•
Zwei Unternehmen i = 1, 2
•
Outputmengen y1, y2
•
Kostenfunktionen ci(yi).
Der Preis richtet sich nach dem
Gesamtoutput:
y = y1 + y2.
p (y) = p (y1 + y2 ) inverse Nachfragefunktion.
Mikroökonomik II: 19 Oligopoltheorie
2
Bestimmung der besten Antworten
des Unternehmens 1:
(
)
(
)
( )
max π1 y1, y2 = p y1 + y2 ⋅ y1 − c1 y1
y1
Notwendige Bedingung für eine
gewinnmaximierende Angebotsmenge y1>0
(
∂π y1, y2
1
∂y
1
)
(
) (
)
( )
= p y + y + p' y + y ⋅ y − c ' y = 0
1
2
1
2 1 1 1
Diese Gleichung definiert die Reaktionsfunktion des
Unternehmens 1:
y1 = f1 ( y2 )
gibt den Output an, den Unternehmen 1 wählt,
wenn es glaubt, dass Unternehmen 2 die Menge y2
verkauft.
Entsprechend für Unternehmen 2:
max
y2
π
(
) (
)
( )
2 y1,y2 = p y1 + y2 ⋅ y2 − c2 y2
Mikroökonomik II: 19 Oligopoltheorie
3
liefert
∂π
(
y ,y
2 1 2
∂y
2
)
(
)
(
)
( )
= p y1 + y2 + p' y1 + y2 y2 − c2' y2 = 0
Die Lösung y2 dieser Gleichung ist die
Reaktionsfunktion y2= f2 ( y1 ) des
Unternehmens 2.
Gleichgewicht
* *
Im Cournot-Nash-Gleichgewicht  y1 , y2 


gilt
f1 ( y2* ) = y1*
und
f2 ( y1* ) = y2*
also:
f1 ( f2 ( y1* ) ) = y1*.
Jeder verhält sich optimal, gegeben die
Entscheidung des anderen.
Mikroökonomik II: 19 Oligopoltheorie
4
y2
f1(y2)
y
M
2
y*2
f2(y1)
y1*
y1M
y1
y1M , y2M ... Menge die Unternehmen 1 (bzw. 2)
als Monopolist wählen würde.
Mikroökonomik II: 19 Oligopoltheorie
5
Kartell
Die beiden Unternehmen kooperieren, um die
Summe der Gewinne zu maximieren.
max p (y1 + y2) · [y1 + y2 ] - c1 (y1) - c2 (y2)
y1 ,y2
Notwendige Bedingungen:
(
(
p yˆ1 +
p yˆ1 +
) (
) (
yˆ 2 + p' yˆ1 +
yˆ 2 + p' yˆ1 +
)![yˆ1 + yˆ 2 ] = c1' (yˆ1 )
yˆ 2 )![yˆ1 + yˆ 2 ] = c ' (yˆ 2 )
2
yˆ 2
Es gilt im Kartell-Optimum:
Grenzkosten des Unternehmens 1
= Grenzkosten des Unternehmens 2
= Grenzerlös (der Gesamtmenge)
Das Kartell verhält sich wie ein Monopolist mit
zwei Betriebsstätten.
Mikroökonomik II: 19 Oligopoltheorie
6
Die Kartell-Lösung ist kein NashGleichgewicht
Wenn Unternehmen 1 annimmt, dass sich
Unternehmen 2 an die Kartellvereinbarung hält
(dh. ŷ2 anbietet), dann hat Unternehmen 1 einen
Anreiz, selbst von der Vereinbarung abzuweichen.
(
) (
∂π yˆ ,yˆ
1 1 2 = p yˆ + yˆ + p' yˆ + yˆ ⋅ yˆ − c ' yˆ
1
2
1
2 1 1 1
∂y
1
) (
(
)
( )
)
= − p' yˆ1 + yˆ 2 ⋅ yˆ > 0
2
wegen der notwendigen
Bedingung für die
Kartell-Lösung
weil die inverse
Nachfragefunktion
fallend ist.
Folgerung: Kartelle sind schwer aufrecht zu
erhalten (vgl. OPEC).
Mikroökonomik II: 19 Oligopoltheorie
7
Cournot-Oligopol mit mehr als
zwei Unternehmen
Unternehmen i = 1, 2, ..., m
Output Unternehme n i
y
i
m
∑ yi
y =
i =1
p ( y ) = a − by
c ( y ) = cy
i
i
i
Marktangebot
inverse Nachfragef unktion
Kostenfunk tion Unternehme n i
π = p ( y )⋅ y − c ( yi )
i
i i
Bestimmung der Reaktionsf unktion :
∂πi
= p ( y ) + p' ( y ) ⋅ y − c ' ( yi ) = 0 ,
i i
∂yi
also
a − by − by = c.
i
In einem symmetrischen Cournot-NashGleichgewicht gilt yi = yj für alle i, j.
⇒ y = myi
⇒ a - bmyi - byi = c.
Mikroökonomik II: 19 Oligopoltheorie
8
⇒ yi =
a−c
b(m + 1)
(a − c )
m
⋅
m + 1
b
m
⇒ p = a − by = a −
⋅ (a − c )
m + 1
m +1− m
m
⇒ p = a⋅
+c⋅
m +1
m +1
1
a
⇒ p=
+c⋅
1
m + 1
1+
m
⇒y=
lim
p = c.
m→∞
Das Cournot-Gleichgewicht nähert sich dem
Gleichgewicht bei vollkommener Konkurrenz an,
wenn die Zahl der Unternehmen unbegrenzt
steigt.
Mikroökonomik II: 19 Oligopoltheorie
9
Sequenzielle Entscheidungen:
Das Stackelberg-Modell
inverse Nachfragefunktion p(y) = p(y1 + y2).
Unternehmen 1 wählt zuerst sein Angebot y1.
Unternehmen 2 erfährt dies und wählt dann sein
Angebot y2.
Unternehmen 1
(„Führer“, leader)
y1
Unt. 2
(„Nachfolger“,
follower)
Unt. 2
y2
y2
(
= p (y
)
+ y )! y
( )
- c (y )
π1 = p y1 + y 2 ! y1 - c1 y1
π2
1
2
2
2
Mikroökonomik II: 19 Oligopoltheorie
2
10
Teilspielperfektes Nash-Gleichgewicht:
Lösung durch Rückwärts-Induktion
Angenommen, Unternehmen 1 habe eine Menge
y1 gewählt. Die optimale Menge für Unternehmen
2 erfüllt die notwendige Bedingung
p(y1 + y2) + p' (y1 + y2) · y2 = c2' (y2).
Unternehmen 2 entscheidet sich gemäß der aus
dem Cournot-Modell bekannten Reaktionsfunktion
f2 (y1).
Unternehmen 1 sieht das voraus. Sein Gewinn ist
dann
p y1 + f 2 ( y1) ⋅ y − c ( y ) .
(
)
1
1 1
Im Gewinn-Maximum gilt
(
)
(
)[
]
p y1 + y2 + y ⋅ p' y1 + y2 ⋅ 1 + f2 ' ( y1) = c ' ( y ) .
1
1 1
Unternehmen 1 bezieht die Reaktion des
Unternehmens 2 auf eine Änderung von y1 mit ein.
Mikroökonomik II: 19 Oligopoltheorie
11
y2
( )
f1 y2
Cournot-Gleichgewicht
StackelbergGleichgewicht
( )
f 2 y1
y1
Grün: Isogewinnlinien des Unternehmen1, d.h.
Paare von (y1, y2), die denselben Gewinn für
Unternehmen 1 bringen.
Weiter unten verlaufende Isogewinnlinien
bedeuten höheren Gewinn.
Die Isogewinnlinien des Unternehmens 1 haben
auf der Reaktionsfunktion des Unternehmens 1 ein
Maximum.
Das Stackelberg-Gleichgewicht ist durch die
höchste Isogewinnlinie bestimmt, die mit der
Reaktionsfunktion des Unternehmens 2 noch einen
Punkt gemeinsam hat.
Mikroökonomik II: 19 Oligopoltheorie
12
Es ist willkürlich festgelegt worden, dass
Unternehmen 1 Führer ist und Unternehmen 2
Nachfolger.
Die umgekehrte Festlegung ergibt ebenfalls ein
Stackelberg-Gleichgewicht.
Ist Unternehmen 1 lieber Führer oder
Nachfolger?
Stackelberg-Gleichgewicht mit Unternehmen 2
als Führer:
y2
f1
S2F
C
Für Unt. 1 gilt:
Gewinn (S1F)
> Gewinn (C)
> Gewinn (S2F).
S1F
f2
Mikroökonomik II: 19 Oligopoltheorie
y1
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Oligopolistischer Preiswettbewerb:
Das Bertrand-Modell
Zwei Unternehmen bieten ein homogenes Gut an.
Jedes Unternehmen entscheidet über seinen
Verkaufspreis.
D (p)
Marktnachfrage
d1(p1 , p2)
Nachfrage nach dem Output von
Unternehmen 1
 D ( p1 )
falls p1 < p2
 1
falls p = p
d p1 , p 2 =  D ( p1 )
1 2
1
2

0
falls p1 > p2

(
)

Annahme: Konstante, identische Grenzkosten c.
Gewinne:
π1 (p1 , p2) = p1 · d1 (p1 , p2) - c·d1 (p1 , p2)
π2 (p1 , p2) = p2 · d2 (p1 , p2) - c·d2 (p1 , p2)
Mikroökonomik II: 19 Oligopoltheorie
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Bertrand-Nash-Gleichgewicht:
Jedes Unternehmen maximiert seinen Gewinn
für gegebenen Preis des anderen.
p1 = p2 = c ist ein Bertrand-NashGleichgewicht.
Beweis:
Angenommen, p2 = c .
Mögliche Strategien des Unternehmens 1:
a) p > c ⇒ d = 0 ⇒ π = 0
1
1
1
b) p < c ⇒ d > 0, aber π < 0
1
1
1
D
D
c) p = c ⇒ d =
und π = ( p − c ) = 0.
1
1 2
1 2
p1 = c ist mindestens so gut wie p1 ≠ c.
Deshalb ist p1 = c beste Antwort auf p2 = c.
Symmetrie ⇒ (p1 , p2 ) = (c , c) ist ein
Bertrand-Nash-Gleichgewicht.
Beim Preiswettbewerb genügen zwei
Unternehmen, um zur Konkurrenzlösung zu
gelangen.
Mikroökonomik II: 19 Oligopoltheorie
15
Zusammenfassung
• In der Marktform des Oligopols beachtet jedes
Unternehmen die Entscheidungen der anderen
Unternehmen.
• Die Reaktionsfunktion eines Unternehmens gibt
seine beste Antwort in Abhängigkeit der
Entscheidungen der anderen Unternehmen an.
• Das Cournot-Gleichgewicht ist ein NashGleichgewicht eines Spiels zwischen Unternehmen,
die simultan ihre Verkaufsmenge festsetzen.
• Wenn sehr viele identische Unternehmen auf
dem Markt sind, nähert sich das CournotGleichgewicht dem Wettbewerbsgewicht an.
• Ein Kartell ist nicht stabil, da jedes Unternehmen
einen Anreiz hat, von sich aus die Menge zu
erhöhen.
Mikroökonomik II: 19 Oligopoltheorie
16
• Das Stackelberg-Gleichgewicht ist ein
teilspielperfektes Gleichgewicht eines Spiels, in dem
zwei Unternehmen nacheinander ihre
Verkaufsmenge festsetzen.
• Das Bertrand-Gleichgewicht ist ein NashGleichgewicht eines Spiels zwischen Unternehmen,
die simultan ihre Preise festsetzen.
• Im Bertrand-Gleichgewicht setzt jedes
Unternehmen den Preis so hoch wie die
Grenzkosten.
Mikroökonomik II: 19 Oligopoltheorie
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