Versuch

€
€
Zusammenfassung:
  
Drehimpuls: L = r x p


 

L = 0, wenn p = 0 , r = 0 oder r || p
für
Zentralkräfte
ist der Drehimpuls konstant:
 €


FG || r ⇒ L = const.
€
€
€

dL   
=r xF=T
Drehimpulssatz:
dt
  
L
= LM + LS
Gesamtdrehimpuls:
heißt Drehmoment
€
Bahndrehimpuls des Massenmittelpunktes – abhängig
von Bezugssystem
€
Drehimpuls in Bezug auf Massenmittelpunkt, Spin
Drehachse
ω : ω1 + ω 2 ≠ ω 2 + ω1
Trägheitsmoment:
€
J=
2
∫ r dm
allgemein:
€
€
Rotationsenergie:
Satz von Steiner:
JM ' = JM + Mz2
Verschiebung der Rotationsachse um Strecke z
€
Drehimpuls eines starren Körpers:
98
€


L = JMω
I.10. Statik und Dynamik starrer Körper
I.10.1 Der Drehimpulssatz für starre Körper
Oben:
- Newton II beschreibt Translationsbewegung von
Massenpunkten.
- Verallgemeinerung auf Translationsbewegung des
Massenmittelpunktes im Schwerpunktsystem
Jetzt Gleichung für Rotation von System von Massenpunkten:
Drehimpulssatz
Nur äußere Kräfte können Drehimpuls ändern.
Beispiel:

 
An M greift Fäuß = F1 + F2 =
 
= F − F = 0 an,
€
d. h. M bewegt sich nicht.
€
Aber:
⇒ Zylinder rotiert
⇒
Bewegung mit konstanter Winkelbeschleunigung
99
Beispiel:
1
3
2
Stab hat Masse M, Länge L, J = ML
€
1. Wie groß ist die Winkelbeschleunigung?
L
dω
T = Mg sinΘ = J
2
dt
=
€
1 2 dω
ML
3
dt
dω 3 g
=
sinΘ
2L
€ dt
2. Wie groß ist die Winkelbeschleunigung für die horizontale
Lage?
€
Θ=
€
π
,sin Θ = 1
2
dω 3 g
=
dt
2L
€
100
Gegenüberstellung von Translation und Rotation:
Translation
Rotation
Geschwindigkeit
vi
Winkelgeschwindigkeit
ωi
Masse
mi
Trägheitsmoment
J i = m i ri2
Einzelimpuls
pi = mi vi Einzeldrehimpuls
Li = Ji ωi
N
N
p = ∑ pi
Gesamtimpuls
Gesamtdrehimpuls
i=1
Kraft
L = ∑ Li
i=1
Fi
Drehmoment
Ti
€
€
N
N
F = ∑ Fi
Gesamtkraft
Gesamtdrehmoment
T = ∑ Ti
i=1
i=1
€
€
I.10.2 Arbeit, Energie und Leistung rotierender starrer Körper


Arbeit der äußeren Kraft F längs Weg d r
 
dW = F⋅ d r = F⊥rdα = Tdα
€
F⊥
€
M’
€
€

F
F||
€
€
101
€
Allgemein:
W=
=
∫
 
T⋅ edα
∫
 
 
T⋅ ωdt = JM' ∫ ωdω
€
von außen angelegtes Drehmoment
€
Einheitsvektor in Richtung der Drehachse
W>0
für beschleunigte Rotationsbewegung,
d. h. F┴ und dα gleiche Richtung
W<0
für abgebremste Rotationsbewegung,
d. h. F┴ und dα entgegengesetzte Richtung
Momentane Leistung:
(analog: P = F v)
Allgemein:
Man kann hohe Leistung mit hohem T oder hohem ω erzielen.
Beispiel: Getriebe
d.h.
Versuch: Getriebe
102
wenn
I.10.3 Statisches Gleichgewicht an starren Körpern, Stabilität
Translationsbewegung eines starren Körpers:
⇒
⇒
Massenschwerpunkt ruht.
Er könnte noch eine Rotation um Achse durch M ausführen.
aber:
Bedingungen für statisches Gleichgewicht:
und
⇒
N


Fäuß = ∑ Fäuß i = 0
i=1
€
,
N


T = ∑ Ti
i=1
Beispiel für statisches
€
Gleichgewicht:
N
 
∑ rxF = 0
i
i
i=1
N

∑F = 0
i
€
i=1
für jede Drehachse
€
103
Spezielles Beispiel im Scherefeld:

r1
€
M

r2
€

FG1
€

FG 2
  
 
T
=
r
x
F
+
∑ i 1 G1 r2 xFG2 = 0
€
r1m1g = r2m2g
€
€
r1 m2
=
r2 m1
Beliebiges System im Schwerefeld:
N



T = ∑ ri xΔmig =
€

ri
Δmi
i=1

rS
N
 
= ∑ Δmi ri xg =
i=1
 
= M rSxg = 0
€
€
€
€

Δmig
 
rSxg = 0
Folgerung:
€
€
€
104
€
€
 
rS || g
3 Gleichgewichtsfälle
a) Schwerpunkt liegt über D (S=M)
Instabilität, Labilität
b) D liegt im Schwerpunkt
Indifferentes
Gleichgewicht
c) D liegt über Schwerpunkt
Stabilität
Versuch:
Klotz drehbar
Versuch:
Uhrenglas, Standapparat
I.10.4 Erhaltung des Drehimpulses bei starren Körpern
sei 0, dann
105
Spezialfall: statisches Gleichgewicht



L = JMω = 0 ⇒ ω = 0
Kein äußeres Drehmoment, aber innere Kräfte:
€ 

L = const. = JMω
€
Versuch:
Drehstuhl Rudern
€
Drehstuhl ruht, rudern vorher und


nachher: L = 0 , ⇒ ω = 0
€
Versuch:
€
Drehstuhl Hanteln


L = JM1ω1
Massen außen:
ist groß.
€
Massen nach innen:
ist klein
106
€


L = JM2 ω 2
ω1 JM2
=
⇒ ω 2 > ω1
ω 2 JM1
wenn man die Hanteln nach innen nimmt.
€
Vektorielle Zusammensetzung von Drehimpulsen:
Versuch:
Drehstuhl Fahrradkreisel Drehimpulsübergabe

1. Übergabe von LK
an Person auf Drehstuhl,Änderung
der Rotationsachse von LK versetzt
Person in Rotation. 

L
=
L
Gesamtdrehimpuls: K
0
€
€
€
Versuch:
Drehstuhl Fahrradkreisel Vektor
2. Kreisel wird um 90° gekippt.
bleibt erhalten
  
L0 = LK + LM
⇒
€
107
jetzt dreht sich Stuhl.
3. Kreisel wird um 180° gekippt.
bleibt erhalten
  
L0 = LK + LM


LM = 2L0
dreht sich doppelt so schnell wie
€
unter 2.
€
Versuch:
Doppelhantel

Weitere Beispiele für L = const.
1. Kardanisch gelagerter Kreisel (Gyroskop):
Versuch: € kardanisch gelagerter Kreisel
Folie:

L = const.
€
Alle 3 Achsen gehen durch Massenmittelpunkt. Bei
Beschleunigung der Gesamtanordnung behält der Kreisel
seinen Drehimpuls bei; kein Drehmoment im Massenmittelpunktsystem:
108



dL dLM dLs
=
+
dt
dt
dt
N
 
 
= rMxFäuß + ∑ ri ’ xFäuß i
€
i=1
€


' 
dLS
= ∑ ri xFäuß i = TM
dt
i
Drehimpulssatz in Bezug auf Massenmittelpunkt
€
Wegen der Konstruktion des Kreisels gehen alle äußeren Kräfte
durch M, d. h. es gibt kein Drehmoment ⇒ TM = 0 .
daher:

LS = const.
€
Eine äußere Bewegung beeinflusst die Richtung von
nicht.
€
3 Kreisel können (x, y, z) Koordinatensystem definieren, werden
in Lenksystemen von Flugzeugen und Schiffen verwendet.
2. Erde:
Folie:
Erde
Eigendrehimpuls ist gegen
Ebene der Erdbahn (sog.
Ekliptik) um 23,5° geneigt.
Durch Kräfte von Sonne und Mond wird
im Laufe der Zeit
etwas geändert.
beschreibt in 26000 Jahren (Platonisches
Jahr) einen vollen Umlauf.
109
Versuch:
Kreiselkompaß
3. Kräftefreier Kreisel:
Versuch:
im Massenmittelpunkt unterstützter Kreisel
Folie:
Kreisel

L
auch hier = const.,
da
 kein Drehmoment
T =0
€
jetzt Stoß außerhalb vom €
Schwerpunkt auf den Kreisel
Versuch:
Kreisel erhält einen Stoß außerhalb von M
nach dem Stoß:
Nutation der Kreiselachse auf Kegelmantel
Stoß erzeugt Drehimpulsänderung
 
dL = Tdt
 
L = LS = const.
vor dem Stoß:
  
L' = LS + LStoß = const.
€
Nach dem Stoß:
€
ändert nach dem€Stoß permanent die Richtung, Kreisel-

oder Figurenachse läuft um L' herum und bildet den
sogenannten Nutationskegel.
110
€
Folie:
Kreisel
Die momentane Drehachse bewegt sich auf dem Mantel eines
Kegels, dem sogenannten Rastpolkegel, um die raumfeste
Impulsachse.
Die Figurenachse bewegt sich ebenfalls auf dem Mantel eines
Kegels, dem Nutationskegel, um die Impulsachse. Dabei rollt
auf dem raumfesten Rastpolkegel ein mit der Figurenachse
starr verbundener Kegel, der Gangpolkegel, ab. Die Spitzen
sämtlicher Kegel liegen in demselben Punkt.
I.10.5 Freie Achsen
Jetzt keine Unterstützung im Massenmittelpunkt. Um welche
Achse rotiert Körper, dessen Massenmittelpunkt sich unter
Einfluss einer äußeren Kraft bewegt?
Bewegung des Massenmittelpunktes aus:

dvM 
M
= Fäuß
dt
Folgerung:
€
Der Massenmittelpunkt nimmt nicht an
Rotationsbewegung teil. Alle möglichen
Drehachsen gehen daher durch M.
Beweis durch Versuch:
Versuch:
Bierdeckel mit und ohne Zusatzgewicht
111
Beachte:
Achsen mit größtem 1) und kleinsten 2) Trägheitsmoment
stehen senkrecht zueinander
mittleres 3) Trägheitsmoment steht senkrecht zu 1) und 2).
Sie heißen Hauptträgheitsachsen.
Die Trägheitsmomente um diese Achsen heißen
Hauptträgheitsmomente.
„Ausgewuchtete“ Maschinen rotieren um Hauptträgheitsachsen,
nennt man auch freie Achsen. Um diese kann ein Körper
torkelfrei rotieren.
Nur Rotation um Achse 1) und 2) stabil.
Versuch:
Quader
A ist die Achse des größten,
C des kleinsten und B die
des mittleren
Trägheitsmomentes.
Sind die drei
Hauptträgheitsachsen.
Rotation durch den Schwerpunkt der Zigarrenkiste:
Kiste rotiert ruhig um A und C,
aber um B schwankt der Quader hin und her.
112
Versuch:
Rotation um größtes Trägheitsmoment, Scheibe,
Kette
Wenn
ω 2 > ω1
kleinstes €
Trägheitsmoment
größtes Trägheitsmoment
Mittleres und kleinstes Trägheitsmoment fallen zusammen.
Sport:
Zirkus:
Turmspringen, Saltos, Eiskunstlaufen
Teller unterstützt mit Stab
113