∑ ∑ ∑ = ∫

Berechnung von Wechselstromschaltungen mit komplexen Zahlen
Berechnung von Wechselstromschaltungen mit komplexen
Zahlen
Gesetze bei Induktivität (Spule) und Kapazität (Kondensator)
•
Induktivität:
Roger Burkhardt (FHNW)
I
•
I
Ohmsches Gesetz:
R
U
•
R2
Rn
U1
U2
Un
U q1
•
Fliesst durch einen ohmschen
Widerstand der Strom I, so misst
man über dem Widerstand eine zum
Strom proportionale Spannung U.
Der Proportionalitätsfaktor R nennt
man Widerstand.
U = RI
[U ] = V
[R] = Ω
In einer geschlossenen Masche ist
die Summe der Spannungsabfälle
gleich der Summe der
Quellspannungen.
U 1 + U 2 + ... + U n = U q1 + U q2 + ... + U qm
[I ] = A
Der Spannungsabfall an einem
Kondensator ist proportional zur
gespeicherten Ladung Q. Die
gespeicherte Ladung ist gleich dem
Integral des Stromes nach der Zeit.
Der Proportionalitätsfaktor nennt
man Kapazität C des Kondensators.
U C = C ∫ I (t )dt
d
I (t )
dt
[L ] = H = Ωs
k =1
k
= ∑ U qk
k =1
n
m
k =1
k =1
I ∑ Rk = ∑ U qk
[C ] = F = Ω
s
Berechnung mit Differentialgleichungen (universelle Methode, Zeitbereich)
Berechnung von Einschaltvorgängen
m
n
∑U
C
UC
Maschenregel (Kirchhoff):
R1
UL = L
Kapazität:
Gesetze der Gleichstromtechnik
I
Der Spannungsabfall an einer Spule
ist proportional zur Stromänderung.
Der Proportionalitätsfaktor nennt
man Induktivität L der Spule.
UL
Elektrotechnische Grundkenntnisse
•
L
Beispiel: Wir wollen eine Spule und einen ohmschen Widerstand in Serie an eine Gleichspannungsquelle
anschliessen und den Strom und die Spannungsabfälle an den beiden Bauteilen bestimmen.
I
U qm
U q2
Knotenregel (Kirchhoff):
Summe aller Ströme (inklusive
Vorzeichen) in einem Knoten ist
gleich Null.
n
∑I
k =1
k
=0
UL
Uq
I1 + I 2 + ... + I n = 0
UR
Da die Spule ein zeitabhängiges Verhalten aufweist, führt dieses Problem auf eine Differentialgleichung. Die
Differentialgleichung erhalten wir direkt mit der Maschenregel:
UL +UR = Uq
•
L
Widerstandsschaltungen (Serie):
I
R1
Rn
R2
I
R ersatz
•
In Serie (Reihe) geschaltete
Widerstände können durch einen
Ersatzwiderstand ersetzt werden.
Dabei ist der Widerstand des
Ersatzwiderstandes gleich der
Summe der einzelnen Widerstände.
Rersatz = R1 + R2 + ... + Rn
Summe aller Ströme (inklusive
Vorzeichen) in einem Knoten ist
gleich Null.
I1 + I 2 + ... + I n = 0
n
Rersatz = ∑ Rk
Dies ist eine lineare Differentialgleichung erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten. Die Lösung dieser
Differentialgleichung liefert uns den Einschaltstrom der Schaltung (um die Lösung zu berechnen kann z.B.
MATLAB verwendet werden
k =1
>> syms L R Uq I
>> dgl='L*DI+R*I=Uq'
dgl =
L*DI+R*I=Uq
>> lsg=dsolve(dgl)
lsg =
Uq/R+exp(-1/L*R*t)*C1
>> lsg_part=dsolve(dgl,'I(0)=0')
lsg_part =
Uq/R-exp(-1/L*R*t)*Uq/R
Widerstandsschaltungen (Parallel):
U R1
R2
Rn
U
R ersatz
d
I (t ) + RI (t ) = U q
dt
n
∑I
k =1
k
=0
):
Berechnung von Wechselstromschaltungen mit komplexen Zahlen
2
Berechnung von Wechselstromschaltungen mit komplexen Zahlen
Berechnung von Wechselstromschaltungen mit komplexen Zahlen
R
− t ⎞
Uq ⎛
⎜1 − e L ⎟
I (t ) =
⎟
R ⎜⎝
⎠
I (t ) = Uˆ
L
L3
L
ω + 3 ω3
ω cos(ωt )
R
− t
R
R
R
L
ˆ
+ Ue
2
⎛
L2 ⎞
⎛
L2 ⎞
R⎜⎜1 + ω 2 2 ⎟⎟
R⎜⎜1 + ω 2 2 ⎟⎟
R ⎠
R ⎠
⎝
⎝
sin (ωt ) −
Nun lassen sich die Spannungsabfälle berechnen:
Spannungen:
L
L2
ω cos(ωt ) + 2 ω 2 sin (ωt )
R
− t
R
R
ˆ
U L (t ) = U
− Uˆe L
2
⎛
2 L ⎞
⎜⎜1 + ω
⎟
R 2 ⎟⎠
⎝
R
− t
d
I (t ) = U q e L
dt
R
− t ⎞
⎛
U R = RI (t ) = U q ⎜⎜1 − e L ⎟⎟
⎠
⎝
UL = L
U R (t ) = Uˆ
Bemerkungen:
• Liegt eine Gleichspannung an einer Schaltung, so berechnen wir mit der Differentialgleichung das
Einschaltverhalten, d.h. den Übergang von einem stationären Zustand zu einem neuen stationären Zustand.
So haben wir vor dem Einschalten keinen Stromfluss und nachdem Einschalten steigt der Strom und nähert
sich einem Endwert und ist nachher wieder konstant. Analoges Verhalten zeigen die Spannungen. Der
eigentliche Einschaltvorgang nennt man auch das transiente Verhalten (Zustandsübergang).
Beispiel: Wir wollen an die obige Schaltung eine Wechselspannung anschliessen. Die Differentialgleichung ist
dieselbe:
UL +UR = Uq
L
d
I (t ) + RI (t ) = Uˆ sin (ωt )
dt
Die Lösung lautet nun:
(MATLAB:
sin (ωt ) −
L
ω cos(ωt )
R
− t
R
+ Uˆe L
2
⎛
2 L ⎞
⎜⎜1 + ω R 2 ⎟⎟
⎠
⎝
L
L3
ω + 3 ω3
R
R
2
⎛
L2 ⎞
⎜⎜1 + ω 2 2 ⎟⎟
R ⎠
⎝
L
L3
ω + 3 ω3
R
R
2
⎛
L2 ⎞
⎜⎜1 + ω 2 2 ⎟⎟
R
⎝
⎠
Bemerkungen:
• Auch hier erkennt man einen Einschaltvorgang. Betrachten wir z.B. den Strom in der Schaltung, so haben
wir zwei Summanden. Der erste Summand beschreibt eine harmonische Schwingung und der zweite
Summand zeigt exponentielles Verhalten. Die Schwingung ist nicht zeitabhängig (Amplitude und
Kreisfrequenz sind konstant) und beschreibt das Verhalten der Schaltung nachdem der Einschaltvorgang
abgeschlossen ist (partikuläre Lösung der inhomogenen DGL). Diese Schwingung nennt man auch das
stationäre Verhalten der Schaltung. Das zweite Signal ist zeitabhängig und beschreibt den Übergang
zwischen den stationären Zuständen (transientes Verhalten der Schaltung – partikuläre Lösung der
homogenen DGL).
• Weiter unten interessieren wir uns nur noch für das stationäre Verhalten – daher wollen wir kurz dass
stationäre Verhalten der beiden Bauteile Kondensator und Spule untersuchen:
• Spule: Wir legen an eine Spule eine Wechselspannung an und wollen den Stromfluss in der Spule
untersuchen:
I
>> syms L R U I w t
>> dgl='L*DI+R*I=U*sin(w*t)'
dgl =
L*DI+R*I=U*sin(w*t)
>> lsg=dsolve(dgl)
lsg =
(-L*U*w*cos(w*t)+U*R*sin(w*t)+exp(-1/L*R*t)*C1*R^2+exp(1/L*R*t)*C1*w^2*L^2)/(R^2+w^2*L^2)
>> lsg_part=dsolve(dgl,'I(0)=0')
lsg_part =
(-L*U*w*cos(w*t)+U*R*sin(w*t)+exp(1/L*R*t)/(R^2+w^2*L^2)*L*U*w*R^2+exp(1/L*R*t)/(R^2+w^2*L^2)*L^3*U*w^3)/(R^2+w^2*L^2)
U
U L (t ) = L
i (t ) =
L
d
i (t )
dt
1
1
1
Uˆ
Uˆ
cos(ω 0 t ) = −
cos(ω 0 t )
U L (t )dt = ∫ U (t )dt = ∫ Uˆ sin (ω 0 t )dt = −
∫
ω0 L
ω0 L
L
L
L
):
Berechnung von Wechselstromschaltungen mit komplexen Zahlen
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Berechnung von Wechselstromschaltungen mit komplexen Zahlen
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Berechnung von Wechselstromschaltungen mit komplexen Zahlen
Berechnung von Wechselstromschaltungen mit komplexen Zahlen
Berechnung mit komplexen Zahlen (Bildbereich)
In diesem Abschnitt betrachten wir nur die stationären Signale (Vernachlässigung des Einschaltverhaltens
(transienter Vorgang)) bei Schaltungen die an einer Wechselspannung angeschlossen sind. Anstelle der
Berechnung mittels Differentialgleichungen arbeiten wir mit einer Modellwelt für die Grössen und Signale. Da
wir wissen, dass alle Signale (Ströme und Spannungen) ebenfalls Wechselgrössen (mit der gleichen
Kreisfrequenz wie die Quelle) sind, können wir in einer Modellwelt arbeiten, in der die Zeit nicht mehr
vorkommt. Um eine Wechselgrösse (harmonische Schwingung) zu beschreiben sind drei Angaben von
Bedeutung. Dies sind:
• Amplitude der Schwingung,
• Kreisfrequenz der Schwingung und
• Anfangsphase der Schwingung.
Da die Kreisfrequenz aller Signale gleich ist, müssen wir diese Grösse nicht in der Modellwelt mitführen. Um
die restlichen beiden Grössen zu beschreiben wählen wir nun komplexe Zahlen für die Modellwelt. Eine
komplexe Zahl in goniometrischer (oder exponentieller) Darstellung beinhaltet die beiden Informationen
BETRAG und ARGUMENT. Nun können wir ein Signal wie folgt durch eine komplexe Zahl beschreiben:
Bildbereich (Modellwelt):
Zeitbereich:
Wir stellen zwei Ergebnisse in den Vordergrund:
• Der Strom eilt der Spannung um eine Viertel-Periode nach.
• Das Verhältnis der Amplituden zwischen Spannung und Strom ist konstant und gleich
X L = ω0L .
•
f (t ) = Aˆ sin (ω 0 t + ϕ )
F=
Aˆ
Aˆ iϕ
cis(ϕ ) =
e
2
2
Bemerkung: Die Elektrotechniker Arbeiten meist nicht mit den Amplituden sondern mit den Effektivwerten.
Bei harmonischen Signalen ist die Amplitude des Signals um den Faktor
2 grösser als der Effektivwert.
Kondensator:
Weiter oben haben wir für stationäre Signale auch folgendes gesehen:
I
Impedanz eines Widerstandes
C
Strom und Spannung an einem Widerstand sind in Phase und das Verhältnis zwischen Strom und Spannung ist
durch den Widerstandswert gegeben. Daher definieren wir die Impedanz (Widerstand in der Modellwelt) wie
folgt:
U
ZR = R
UR = ZRIR
1
U C (t ) = ∫ I C (t )dt
C
d
d
d
I C (t ) = C U C (t ) = C U (t ) = C Uˆ sin (ω 0 t ) = ω 0 CUˆ cos(ω 0 t )
dt
dt
dt
Impedanz einer Spule
Die Spannung eilt in einer Spule dem Strom um eine Viertel-Periode vor und das Verhältnis zwischen Strom und
Spannung ist durch X L = ω 0 L gegeben. Daher definieren wir die Impedanz wie folgt:
Z L = iω 0 L
UL = ZLIL
Impedanz eines Kondensators
Die Spannung eilt in einem Kondensator dem Strom um eine Viertel-Periode nach und das Verhältnis zwischen
Strom und Spannung ist durch X C =
1
ω 0C
gegeben. Daher definieren wir die Impedanz wie folgt:
Z C = −i
1
ω 0C
U C = ZC IC
Wir stellen zwei Ergebnisse in den Vordergrund:
• Der Strom eilt der Spannung um eine Viertel-Periode vor.
• Das Verhältnis der Amplituden zwischen Spannung und Strom ist konstant und gleich
XC =
1
.
ω 0C
Berechnung von Wechselstromschaltungen mit komplexen Zahlen
Nun können Wechselstromschaltungen in der Modellwelt analog zu Gleichspannungsschaltungen berechnet
werden!
Beispiel
Wir untersuchen noch einmal die Serieschaltung einer Spule mit einem Widerstand, welche an eine
Wechselquelle angeschlossen sind.
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Berechnung von Wechselstromschaltungen mit komplexen Zahlen
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Berechnung von Wechselstromschaltungen mit komplexen Zahlen
Berechnung von Wechselstromschaltungen mit komplexen Zahlen
Zeitbereich
Bildbereich
U q (t ) = Uˆ sin (ωt )
→
Uq =
Übung
= 10μF ):
Uˆ
cis(0 )
2
Gegeben sei das folgende Tiefbassfilter ( R = 10Ω, C
i()
t
ZR = R
Z L = iωL
uein()
t
Z ser = Z R + Z L = R + iωL
Im
Impedanzdiagramm
Re
ZR
I (t ) = 2 I sin (ωt + arg(I ))
U R (t ) = 2 U R sin (ωt + arg(U R ))
←
U L (t ) = 2 U L sin (ωt + arg(U L ))
(
)
(
)
(
)
uaus()
t
Bestimme die Differentialgleichung für den Strom im Tiefbassfilter bei der Eingangsspannung:
•
1 ⎞
⎛
u ein (t ) = 10V sin ⎜1000 t ⎟
s ⎠
⎝
Bestimme mit MATLAB die exakte Lösung ( i (0s ) = 0 A ) für den Strom im Tiefbassfilter und
•
Uˆ
cis(0 )
Uq
= 2
I=
Z ser
R + i ωL
ˆ
U
(R − iωL )
=
2 R 2 + ω 2 L2
UˆR
( R − i ωL )
U R = IZ R =
2 R 2 + ω 2 L2
Uˆ
(ωL + iR )
U L = IZ L =
2 R 2 + ω 2 L2
C
•
Z ser
ZL
R
Skizziere die Graphen von Strom, Ein- und Ausgangsspannung.
Bestimme die (komplexe) Gesamtimpedanz des Tiefbassfilters und bestimme den komplexen Strom
und das Verhältnis von Ein- und Ausgangsspannung bei der Eingangsspannung:
u ein (t ) = uˆ sin (ωt ) ⇒ U ein =
•
uˆ
cis (0)
2
Bestimme den Betrag (Amplitudengang) und das Argument (Phasengang) vom Verhältnis aus
Ausgangs- zu Eingangsspannung. Skizziere die Graphen der gefundenen Funktionen (beschreibt das
frequenzabhängige Verhalten der Schaltung). Bei welcher Frequenz (Grenzfrequenz des Tiefbassfilters)
eilt der Strom der Eingangsspannung um 45 Grad vor?
Im
Uq
Re
↔
UL
UR
I
Es ergibt sich somit folgendes Verfahren für die komplexe Rechnung:
Zeitbereich
Bildbereich
→
Gegebene Signale und Grössen
Komplexe Beschreibung der gegebenen
Signale und Grössen
↓
Problem
kann
Differentialgleichungen
werden!
Gesuchte Lösung!
↓
direkt
mittels
gelöst
Problem kann mittels Algebra
komplexen Zahlen gelöst werden!
←
Berechnung von Wechselstromschaltungen mit komplexen Zahlen
der
Lösung im Bildbereich!
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Berechnung von Wechselstromschaltungen mit komplexen Zahlen
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