Schriftliche Hausaufgaben

DIFFERENTIALGEOMETRIE
2. Übungsblatt
TU Dresden
Institut f. Geometrie
WS 13/14
Prof. BREHM
Hinweis: Übungsblätter unter www.math.tu-dresden.de/~brehm/lehre !
Die Aufgaben 5 bis 8 sind schriftliche Hausaufgaben, Abgabe am Freitag, den 15.11.13 zu Beginn
der Vorlesung.
Aufgabe 1: Ellipse
Gegeben sei die Ellipse c : IR IR 2 mit c(t ) (a cos t, b sin t ), wobei a b 0.
Berechnen Sie das Frenet-Bein und die Krümmung der Ellipse in jedem ihrer
Punkte. An welchen Stellen wird die Krümmung maximal bzw. minimal?
.
Zusatzfrage: Wie steht dies im Zusammenhang mit der nebenstehenden
Konstruktionszeichnung? (Die Kehrwerte der extremalen Krümmungen treten hier
als Streckenlängen auf. Wo?)
Aufgabe 2: Darboux-Drehvektor δ
Sei c : I
IR 3 , s
c(s), eine nach Bogenlänge parametrisierte Frenet-Kurve. Zeigen Sie:
a) An jeder Stelle s gibt es genau einen Vektor (s) so, dass die Frenet-Gleichungen die folgende
Gestalt haben:
e1
e1, e2
e2 , e3
e3.
(s), angehängt an c(s), liegt dabei in der rektifizierenden Ebene von C an der Stelle s.
b) Bei einer Schraublinie ist δ konstant, und zeigt in Richtung der Zylinderachse des
Trägerzylinders der Schraublinie.
Aufgabe 3: Krümmung der Evolute
Geben Sie eine Formel für die Krümmung der (als regulär vorausgesetzten) Evolute c0 einer ebenen
C 4 -Frenet-Kurve c1 in Abhängigkeit von der Krümmung von c1 und deren Ableitung an.
Aufgabe 4: Evolute einer Zykloide
Berechnen Sie die Evolute der Zykloide c(t ) (t sin t,1 cos t), t (0, 2 ), und zeigen Sie, dass
diese Evolute (im Wesentlichen) aus zwei regulär parametrisierten Teilbögen einer zu c kongruenten Zykloide besteht.
Schriftliche Hausaufgaben:
Aufgabe 5: Natürliche Gleichung einer ebenen Kurve
(3)
s
Sei
: (0, l )
IR, s
(s), eine stetige Funktion. Sei ( s ) :
( )d .
0
Zeigen Sie:
s
c( s )
s
cos ( )d , sin ( )d
0
0
ist eine bogenlängenparametrisierte Frenet-Kurve mit Krümmung .
Aufgabe 6: Böschungslinien
(11)
IR 3 heißt Böschungslinie, wenn alle
Eine Frenet-Kurve c mit Parameterdarstellung c : I
Tangenten von c mit einer festen Bezugsebene einen festen Winkel einschließen. Zeigen Sie, dass
folgende Aussagen für eine Frenet-Kurve c : I
IR 3 äquivalent sind:
a) c ist eine Böschungslinie.
b) Die Hauptnormalenvektoren von c sind parallel zu einer festen Ebene.
c) Es gilt:
const. IR.
Gegeben sei die durch c(t ) (t , 12 t 2 , 16 t 3 ), t
i)
IR, dargestellte kubische Parabel.
Berechnen Sie die Bogenlängenfunktion s
Torsion von c.
s(t ) , begleitendes Frenet-Bein, Krümmung und
ii) Zeigen Sie: c ist eine Böschungslinie.
Aufgabe 7: Äquitangentiale und Satz von Nicolaides
(5)
Trägt man auf den Tangenten einer Frenet-Kurve c im IR 2 mit überall nichtverschwindender Krümmung die Strecke der festen Länge p 0 in Richtung des Tangentenvektors vom Kurvenpunkt aus
ab, so erhält man eine neue Kurve c p , die Äquitangentiale von c im Abstand p.
Zeigen Sie den Satz von Nicolaides:
Der Mittelpunkt des Schmiegkreises der Kurve c an der Stelle s ist der Schnittpunkt sich entsprechender Hauptnormalen von c bzw. c p in c(s) bzw. c p ( s).
Aufgabe 8: Evolute der Traktrix
Sei die Kurve c : (0, )
IR 2 gegeben durch c(t )
(8)
(sin t , cos t ln tan( 2t )).
c heißt Schleppkurve oder Traktrix.
i)
Zeigen Sie: t ist der Winkel zwischen der Tangente von c und der y-Achse.
ii) Zeigen Sie: Die Länge des Segments der Tangente von c zwischen ihrem Berührpunkt und der
y-Achse ist konstant 1.
iii) Berechnen Sie die Evolute von c und zeigen Sie, dass die Evolute die Kettenlinie
c( y) (cosh y, y), y IR, ist.