Wie viel Ableitung braucht der Mensch

Unterrichtsgang Mathematik
im Leistungskurs der Kursstufe
am Gymnasium Papenburg
Schuljahre 2001/2002 und 2002/2003
mit OStR A. Langendörfer und Kurs 13.Ma.1
1
Wie viel Ableitung braucht der
Mensch
oder
KuDi ist – in mutierter Form – wieder
auferstanden.
2
Leitlinien
• Problemorientierte anwendungsbezogene
Aufgaben
• Einsatz eines CAS wo immer möglich
• Keine Diskussion von 5-6 Funktionstypen
• Keine Vernachlässigung elementarer mathematischer Grundkenntnisse und Grundlagen
• Beachtung übergreifender Aspekte
3
Themenfolge
1.
Wie viel Nass passt ins Fass?
1.
2.
3.
2.
3.
Polynomfunktionen und Splines
Flächeninhalte und Rotationsvolumina
Exponentialfunktionen
Im Transrapid von A(msterdam) nach B(erlin)
1.
2.
3.
12.1
Problemlösung über Splines (Längen- und Breitengrade in kart. Koordinaten)
Das Problem der Krümmung - Krümmungskreise
Bogenlänge, Krümmungsfunktion und Gesamtkrümmung
bei Funktionen
Wie viele Bäume müssen fallen?
1.
2.
3.
4.
12.1
12.2
Parametrisierte Kurven - Grundlagen
Parallelkurve
Flatterbandkurve
Evolute, Zykloide, Neilsche Parabel und Rollkurven
4
Themenfolge 2
4.
KuDi ist tot •
•
•
2.
Achsenschnittpunkte auf x- und y-Achse
Extrema (2 an der gleichen Stelle) und Steigung
Singuläre Punkte, Doppelpunkte und Schwenkpunkte
Integration von parametrisierten Kurven
•
•
5.
13.1
Ableitung und „Diskussion“ von parametrisierten Kurven
1.
3.
aber er ist wieder auferstanden
Flächeninhalte zwischen Kurve und den Achsen
Rotationsvolumina
Bogenlänge und Krümmung bei parametrisierten Kurven
Dreh‘ ich oder dreh‘ ich nicht? oder: auch nach oben kann der Platz
beschränkt sein
1.
2.
3.
13.1
Abstand von windschiefen Geraden differentialgeometrisch betrachtet
Hüllkurven <-> Ortskurven
Abstände von Kurven und Geraden
5
Wie viel Nass passt ins Fass
oder
Wie viel Weizen darf‘s denn sein?
Funktion <-> Relation
Umkehrfunktion, Kehrform
6
Wie viel Nass passt ins Fass
oder
Wie viel Weizen darf‘s denn sein?
Untersuchung und Herleitung
der (Rand) Funktion
(A)
Berechnung des Flächeninhaltes
und des Rotationsvolumens
(bei gegebener Randfunktion)
(B)
7
Wie viel Nass passt ins Fass
oder
Wie viel Weizen darf‘s denn sein?(A)
•
•
•
Randfunktion als Polynom 2. oder 4. oder 5. Grades
1.
Über Lösen entsprechender Gleichungssysteme
2.
Über den „Fit“- Befehl (Derive 5)
Randfunktion über Splines definieren
1.
Was ist ein Spline?
2.
Grenzen der Spline-Darstellung
Randfunktion als Exponentialfunktion
8
Wie viel Weizen..... Randfunktion
als Polynom 2. oder 4. oder 5. Grades
Bedingungen festlegen
(Glas vermessen)
Höhe, Radius unten, oben
und Taille
Achtung: Bestimmung von weiteren Punkten des Glases ist möglich. Liefert weitere Bedingungen,
die das Ergebnis aber verschlechtern, da der Graf der Funktion
(z.B. 8./9. Grades )„ausschlägt“
und kein befriedigendes Ergebnis
liefert.
Koordinaten von 3 Punkten
-> 3 Bedingungen
Taillenpunkt als Minimum
liefert 6. Bedingung
g.r.Fu 5. Grades
Steigung am Anfang/Ende = 0
2 zusätzliche Bedingungen
g.r.Fu. 4. Grades
g.r.Fu. 2. Grades
9
Wie viel Weizen..... Randfunktion
über „Fit“-Befehl
Der Derive-Befehl „Fit“ verbindet ein vorher
festgelegtes Polynom n-ten Grades f mit einem n+1
Punkte umfassenden Feld.
z.B. #1 g(x) := ax5 +bx4 +cx3 +dx2 +ex +f
#2 punkte := [[x1,y1],[x2,y2],.....,[x6,y6]]
#3 fit ([x,g(x)], punkte)
oder
#3 fit ([x,g(x)], #2)
oder
#3 fit ([x,g(x)], [[x1,y1],[x2,y2],.....,[x6,y6]])
„Fit“ kann keine Bedingungen wie f‘ = 0 oder f‘‘=0
verarbeiten. Es ist ein eingeschränkter Gleichungslöser
10
Wie viel Weizen..... Randfunktion
über Splines (1)
Es seien x0<x1<....<xn Stützstellen und fi (i=0..n)
zugehörige Stützwerte. Man soll in einem
kartesischen Koordinatensystem durch die
Punkte (xi;fi) ein biegsames Kurvenlineal
möglichst glatt legen. Dann ist die Biegelinie
s festgelegt durch die drei folgenden
Forderungen:
(1) s(xi) = fi für alle i;
(2) s sei in ganz [x0;xn] zweimal stetig
differenzierbar, d.h. in allen Punkten,
insbesondere auch in den Punkten (xi;fi), gehen
die Ableitungen und die Krümmungen stetig
ineinander über;
(3) Die Gesamtkrümmung der Kurve s soll
minimal sein, d.h. unter allen in Frage
kommenden Funktionen ist s ausgezeichnet.
Aus (3) folgt – hier ohne Beweis -, dass gilt:
In jedem Intervall [xi;xi+1] ist s durch ein
Polynom 3. Grades gegeben.
Def.: Ein kubischer Spline s (eine Splinefunktion
dritten Grades) zu den Interpolationspunkten
(xi;fi), i=0(1),...,n, n>=2, mit x0<x1<....<xn ist eine
Funktion s mit den Eigenschaften (1),(2) und (3).
(2) Hat die weitgehendsten Konsequenzen für die
Splinefunktion. Sie bewirkt einen glatten
Anschluss der einzelnen Polynome dritten
Grades an den Stellen xi; dort sind insbesondere
Krümmungsradius und Krümmungskreis gleich.
Beispiel
Gegeben seien die 5 Stützpunkte gemäß #3.
Die Biegefunktion s muss also aus 4 Polynomen
3. Grades bestehen : #4 bis # 7.
Somit ergeben sich 4*4=16 Variablen, also muss
man 16 Bedingungen für s finden. Die 4 gefundenen Polynome ergeben den gesuchten Spline
11
Wie viel Weizen..... Randfunktion
über Splines (2)
#1:"Beispiel zur Bearbeitung von Spline-Funktionen"
#2:"Festlegung der Stützpunkte"
#3:punkte:=[[0,2],[2,4],[5,3],[8,4.5],[10,2]]
#4:sp1(x):=a*x^3+b*x^2+c*x+d
#5:sp2(x):=e*x^3+f*x^2+g*x+h
#6:sp3(x):=i*x^3+j*x^2+k*x+l
#7:sp4(x):=m*x^3+n*x^2+o*x+p
#8:SOLVE([sp1(0)=2,sp1(2)=4,sp2(2)=4,sp2(5)=3,sp3(5)=3,sp3(8)=4.5,sp4(8)=
4.5,sp4(10)=2,sp1''(0)=0,sp4''(10)=0,sp1'(2)=sp2'(2),sp2'(5)=sp3'(5),
sp3'(8)=sp4'(8),sp1''(2)=sp2''(2),sp2''(5)=sp3''(5),sp3''(8)=sp4''(8)],
[a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o,p])
#9:Simp(#8)
[a=-151/1632 AND b=0 AND c=559/408 AND d=2 AND e=875/7344 AND f=-3109/2448
AND g=2393/612 AND h=563/1836 AND i=-977/7344 AND j=6151/2448 AND
k=-4591/306 AND l=29219/918 AND m=185/1632 AND n=-925/272 AND o=3295/102
AND p=-3207/34]
#10:Sub(#4) sp1(x):=(-151/1632)*x^3+0*x^2+559/408*x+2
#11:Sub(#5) sp2(x):=875/7344*x^3+(-3109/2448)*x^2+2393/612*x+563/1836
#12:Sub(#6) sp3(x):=(-977/7344)*x^3+6151/2448*x^2+(-4591/306)*x+29219/918
#13:Sub(#7) sp4(x):=185/1632*x^3+(-925/272)*x^2+3295/102*x+(-3207/34)
#14:drucksp1(x):=IF(x>=0 AND x<=2,sp1(x))
#15:drucksp2(x):=IF(x>=2 AND x<=5,sp2(x))
#16:drucksp3(x):=IF(x>=5 AND x<=8,sp3(x))
#17:drucksp4(x):=IF(x>=8 AND x<=10,sp4(x))
12
Wie viel Nass passt ins Fass
oder
Wie viel Weizen darf‘s denn sein?(B)
•
Berechnung des Rotationsvolumens bei bekannter Randfunktion
1.
Didaktische Reduktion auf Berechnung des Flächeninhaltes.
Untere- und obere Rechtecksfolge bilden
Flächeninhalte aufsummieren
Grenzwerte bilden
Dabei intensive Nutzung eines CAS auf TI oder PC
Flächeninhalte unter Graphen <-> Flächeninhalte zwischen Graphen
Bestimmtes und unbestimmtes Integral
2.
3.
Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
Erweiterung auf Rotationsvolumen bei Drehung um x-Achse
Untere- und obere Zylinderfolge bilden
Volumina aufsummieren
Grenzwertbildung
Nutzung des CAS bei relativ komplexen Randfunktionen
4.
Erweiterung auf Rotation um y-Achse
Umkehrbarkeit, Kehrform, Umkehrfunktion
5.
Erweiterung auf Grenzwertuntersuchungen für x-> bzw. x->0
13
Wie viel Nass passt ins Fass
oder
Wie viel Weizen darf‘s denn sein?(C)
•
Exponentialfunktionen als Randfunktion
1.
Herleitung einer e-Funktion z.B. über natürliche Zerfallsprozesse aus der
Chemie, Biologie oder Physik
2.
Untersuchung von Expo.-funktionen mittels Differenzialrechnung
3.
Kettenregel und Regeln von L‘Hospital
4.
Funktionen des Typs f(x) = k*e-bx^2 als mögliche Randfunktion
5.
Anwendungen für Exponential-Funktionen aus NW (auch mit anderen Basen)
14
Im Transrapid von A(msterdam) nach B(erlin)
1.
4.
Aufstellen einer Splinekurve durch die Städte A(msterdam), G(roningen),
H(ansestadt) B(remen), H(ansestadt) H(amburg) und B(erlin) nach Umrechnung von
geographischen Länge und Breiten in kartesische Koordinaten.
Aufstellen einer zweiten Verbindung, nun über A(msterdam), D(ortmund),
H(annover), M(agdeburg) und B(erlin) in entsprechender Weise
Die Frage nach der optimalen Streckenführung führt auf die Kernbereiche Kosten  Streckenlänge  Bogenlänge und Geschwindigkeit  Krümmung
Herleitung der Formel b =  1  f ' ( x) dx für die Bogenlänge C:\Dokumente und
5.
Krümmung ist nicht f‘‘(x) am Beispiel f(x) = x^2.
2.
3.
b
2
a
Einstellungen\Langendörfer Achim\Eigene Dateien\PowerPoint\Praesenztag\Bogen.ppt
15
b  x 2  y 2
b

b  lim
xi2  y i2

xi2

y i2
 lim

x i2 (1 
b
b

1  f ' ( x ) 2 dx
a
16
y i2
xi2
)
Im Transrapid von A(msterdam) nach B(erlin)
Die Krümmung des Graphen einer Funktion an einer Stelle x 0 entspricht nicht dem Wert der 2. Ableitung der
Funktion an dieser Stelle (z.B. ist f‘‘(x) = 0 für f(x)=x2 der Graph von f ist aber nicht konstant gekrümmt), weil
bei der Krümmung in einem Intervall (anders als bei der Steigung) die Länge des Graphen (also seine
Bogenlänge) berücksichtigt werden muss. Je kürzer der Bogen desto geringer die Krümmung ( also ist die
direkte Verbindung – die Gerade – nicht gekrümmt; k=0 ist somit das einzige Krümmungsmaß, das über die
2. Ableitung ermittelt werden kann).
Die Krümmung von f an der Stelle x0 lässt sich aber über den zugehörigen Krümmungskreis definieren;
k  1/r. Somit liefert der Radius des Krümmungskreises das Krümmungsmaß von f.
k:
(x-xm)2
+
(y-ym)2
=
k(x0) = f(x0)
k‘(x0) = f‘(x0)
k‘‘(x0) = f‘‘(x0)
r2
k‘: x-xm + (y-ym)*y‘= 0
k‘‘: 1 + y‘2 + (y-ym)*y‘‘ = 0
k ( x)  1 
r
(1  f ' ( x ))
Integration von k
über die Teilbögen
liefert die Gesamtkrümmung
3
= r2
2)(x0-xm) + ( f(x0)-ym)*f‘(x0)
=0
aus 3) -> ym
y m  f ( x0 ) 
1  f ' 2 ( x0 )
f ' ' ( x0 )
3)1 + f‘(x0)2 + (f(x0)-ym)*f‘‘(x0) = 0
f ' ' ( x)
2
1)(x0-xm)2 + (f(x0)-ym)2
r
2
(1  f ' ( x 0 ))
f ' ' ( x0 )
2
3
Einsetzen in 1) -> r
2
b

g  k ( x ) * 1  f ' ( x ) 2 dx 
a
x m  x0  f ' ( x0 ) *
b
f ' ' ( x)
 1  f ' ( x)
2
1  f ' 2 ( x0 )
f ' ' ( x0 )
Einsetzen
in 2) ->xm
dx
a
17
Klassische Mathematik Teil 1
1. Grundlagen der linearen Algebra
•
•
•
Gruppe, Körper, Vektorraum, Unterräume, Basis, Dimension ...
Lineare (Un)Abhängigkeit, Def. des Skalar- und Vektorprodukts
Metrik auf dem R3
Körper der komlexen Zahlen
2. Grundlagen der Analytischen Geometrie
•
•
Geraden- und Ebenengleichungen, Schnitt, Winkel, Abstände,
Lagebeziehungen, Kugel, Polare
Schwerpunkt u.a. Abstand von 2 windschiefen Geraden,
Abstandsberechnungen im Allgemeinen
Parametrisierte Kurven
oder
Hüllkurven
18
Klassische Mathematik Teil 2
Körper der komplexen Zahlen
• Geschichte der komplexen Zahlen
a
• Isomorpie zwischen C und RxR (a+ib <->   )
b 
• Darstellungsformen (Normalform, Polarform, Eulerform)
• Rechnen und Arbeiten mit komplexen Zahlen
19
Wie viele Bäume müssen fallen?
Grundlagen parametrisierter Kurven
Ein Lastwagen mit einem Eisenträger, der a Meter nach hinten
herausragt durchfährt eine b Meter breite Allee auf dem
Mittelstreifen, wobei der Verlauf des Streifen in einem Bereich
von –c bis +c um den Ursprung in etwa dem Verlauf des
Graphen der Funktion f(x) = k*xn genügt.
(1LE = 10 Meter)
Kann der Laster die Allee durchfahren ohne die Bäume am
Rande zu treffen?
z.B. f(x) = 0,5*x4 , c=2 , a=8 und b = 5
Wie lautet die Terme der inneren und
äußeren Begrenzung der Straße?
 Parallelkurve
Da die Straße insgesamt a (a=8) Meter breit sein soll,
könnte man annehmen, dass funten(x)=f(x)-4 und
foben(x)=f(x)+4 ist. Dies ist aber außer an der Stelle O(0;0)
falsch.
Gesucht ist zunächst ein Punkt Z, der von einem Punkt P auf
f einen bestimmten Abstand hat. Dies ist vektoriell kein
Problem. Also muss man versuchen, das analytische
Problem vektoriell zu bearbeiten.
1. Transfer
Gerade
y  m*x b

0
y
* x   
x
b
 y x   x 
0
     *    
 y y  y
b
   
y  4* x  2
 yx  0
1 
        
 yy  2
 4
   
Für x  2 erhält man P ( 2;10 )
 yx  0
1   0   2   2 
      2 *           
 yy 
 4   2   8  10 
   2
20
Wie viele Bäume müssen fallen?
Grundlagen parametrisierter Kurven 2.
Die Umformung einer Geradengleichung der Form y=m*x+b in
die vektorielle Form gelingt immer.
Dabei werden Vektoraddition und Skalarprodukt verwendet,
was bei einer Einführung in Klasse 11 nicht problematisiert
werden muss, zumal es den Schülern völlig logisch und
sinnrichtig erscheint.
Die Umkehrung ist nicht immer so leicht, insbesondere dann
nicht, wenn der Aufpunkt nicht in der Form  0  gegeben ist.
b
Für LK-Schüler aber kein Problem.
 
2. Transfer
Parabel
Jeder Punkt P(x;y) auf dem Graphen von f(x)=k*xn
ist darstellbar (erreichbar) über den Vektor  t 
f(x)=k*xn


t


p(t )  
 f (t ) 


 f (t ) 
Hinweis
f(x)=y = m*x +b ist also gleichbedeutend mit

 m x   0  tm x 
0

f (t )     t *    

b
 m y   b  tm y 
Beim TI 92 Plus bzw. Voyage 2000 muss unter
„Mode“ an erster Stelle „Funktion“ in „Parametrisch“
geändert werden. Im y-Editor wird dann x(t)=t und
y(t) = f(t) eingegeben. Unter „Windows“ muss zunächst t und dann der Zeichenbereich für x und y
eingegeben werden. Variable ist t!! x ist zunächst zu
einer Zeichenbereichsgröße degradiert.
21
Wie viele Bäume müssen fallen?
Parallelkurve 1
Zu einem Punkt Q auf der „unteren“ Parallelkurve
gelangt man, indem man zunächst zu einem Punkt P auf
f geht und dort den mit dem Abstandsfaktor b
multiplizierten Normaleneinheitsvektor ansetzt.



q (t )  p (t )  b * n 0


Dabei ist n  t mit
1  ( f ' ( t )) 2
 f ' (t ) 

*
1



Daraus ergibt sich :

t

q (t )  
 f (t ) 
 


q x (t )  t 
b
1  ( f ' ( t )) 2
b * f ' (t )
1  ( f ' ( t )) 2
q y (t )  f (t ) 

 2t 
 
1  4 t 2   1
Mit Abs tan d b  2 von der Ausgangsparabel ergibt

sich für einen Ortsvektor x der Parallelkurve die

Normaleneinheitsvektor in P : n 0 
und somit
1
t 

p(t )   2 
t 
 1 
Tangentenvektor in P : t   
 2t 
f ( x)  x 2
  2t 
Normalenvektor in P : n   
  1


1

t  p' (t )  
 f ' (t ) 




 f ' (t ) 

Also ist n ( t )  
1




n 0 (t ) 
Beispiel f(x) = x2 mit b=2
 f ' (t ) 

*
1



1

 x (t )   t 
2
   2  
Parameterdarstellung : x (t )  
y
(
t
)
t

  
1  4t 2
2*2*t
2
bzw. x (t )  t 
und y (t )  t 2 
2
1  4t
1  4t 2
 2t 
 
  1
und
b
1  ( f ' ( t )) 2
Die Darstellung der „oberen“ Kurve ergibt sich durch
Vertauschung der Vorzeichen im Normalenvektor bzw.
in der Parameterdarstellung.
22
Wie viele Bäume müssen fallen?
Parallelkurve 2
Parallelkurve für
b=2
Parallelkurvenschar
für b =0,5; 1; 1,5 und 2
Die unteren Parallelkurven sind problemlos zu erstellen, bei den
oberen kann es aber zu sogenannten Rückläufen kommen.
Fragen: Wann und warum? Was hat es mit den Spitzen auf sich?
Problem!!
Rückläufe treten auf, wenn die x-Komponente
der Parameterdarstellung die Monotonie ändert.
Um also zu klären, wie breit eine Straße nach oben sein
kann, muss man das Monotonieverhalten für
x(t) untersuchen, d.h. man bildet x‘(t) und bestimmt die lokalen Extrema von x(t).
23
Wie viele Bäume müssen fallen?
Parallelkurve 3
Parallelkurve im Abs tan d
a
nach oben
 x a (t )  


  f (t )  a * n 0 (t )
x a (t )  
 y a (t ) 
Es ist dabei also immer
a * f ' (t )
x a (t )  t 
1  f ' (t ) 2
Da dieses a aber für jeden Punkt P des
Graphen jeweils den Krümmungskreisradius
angibt (s. Folie 16), legt der Vektor xs(t) den
zugehörigen Krümmungskreismittelpunkt
fest. Alle Krümmungskreismittelpunkte
liegen also auf einer Kurve, die man die
Evolute oder hier Neil‘sche Parabel der
Ausgangskurve nennt.
Bilde x ' a (t )  0 und erhalte :
3
1  f ' (t )
f ' ' (t )
Für die Ortskurve der Spitzen ergibt sich


x s (t )  x a (t ) mit a  .......
2
a
3

1  f ' (t ) 2


x s (t )  f (t ) 
* n 0 (t )
f ' ' (t )
24
Wie viele Bäume müssen fallen?
Flatterbandkurve
Nachdem nun die Straße mit ihrem(r) oberen und
unteren Rand(kurve) durch Parallelkurven
festgelegt wurde, muss nun geprüft werden,
welche Kurve der hinterste Punkt des Eisenträgers
durchläuft, wenn der Lastwagen auf dem
Mittelstreifen der Straße die Kurve passiert. Es
erfolgt ein neuer vektorieller Ansatz.
Beispiel 1: f(x) = 1/8x2 , a = 2 m und l = 4 m
Beispiel 2: f(x) = 1/8x2 , a = 2 m und l = 5 m
Die
Bäume
können
stehen
bleiben
Ortsvektor zum Parabelpunkt P
 t


p  
 f (t ) 
Tangentenvektor in P
 1


t  
 f ' (t ) 
Tangenteneinheitsvektor in P

t0 
Ortsvektor des Flatterbandes mit
Länge ldes Tangentenstücks

 x (t )   t

l
  
 
x (t )  
 y (t )   f (t ) 
1  f ' (t ) 2
oder
Die
Bäume
müssen
weg
1



1  f ' (t ) 2  f ' (t ) 
x (t )  t 
1
l
und
y (t )  f (t ) 
1



 f ' (t ) 
l * f ' (t )
25
Wie viele Bäume müssen fallen?
Evolute, Neil‘sche Parabel, Rollkurven 1
Unter der Evolute versteht man die Kurve, die die
Mittelpunkte der Krümmungskreise einer zweimal
differenzierbaren Funktion f durchlaufen, wenn ein
Punkt P den Graphen von f durchläuft. Damit lässt sich
die Evolute zu f wie folgt allgemein definieren:
Die Evolute zu f(x)=ax2 lässt sich also in parametrisierter
und funktionaler Form angeben. Diese Evolute nennt man
Neil‘sche Parabel. Dieses Verfahren lässt sich aber nicht
immer durchführen.
Im Beispiel: f(x)=2x2 für –1< x < 1 mit Neil‘scher Parabel

f ' (t ) * (1  f ' (t ) 2 ) 
t 

f ' ' (t )

 x (t )  

  
e (t )  

1  f ' (t ) 2
 y (t )  

 f (t )  f ' ' (t )



Bsp.: f(x) = a*x2
x (t )  4a 2 t 3
y (t ) 
1
 3at 2
2a
oder
x (t )  t
y (t ) 
1
3 3

4a 2 t 2
2a 4a
f ( x) 
1
3 3 2 2

4a x
2a 4a
Wird der Term von f komplexer, ergeben sich
schwierigere Zusammenhänge
26
Wie viele Bäume müssen fallen?
Evolute, Neil‘sche Parabel, Rollkurven 2
Evolute zu f(x) = 3*x4
 2 * t (72 t 6  1)
x (t ) 
3
252 t 6  1
y (t ) 
36 t 2
1) Die Evolute besitzt 2 Äste, da die Krümmung von f
im Ursprung 0 ist; k(0)=0. Dort muss somit der
Daraus ergibt sich, dass jede funktionale
Darstellung einer „Kurve“ in eine parametrisierte Form umgewandelt werden kann - aber
nicht umgekehrt.
Der Vorteil der parametrisierten Darstellung
von Kurven liegt also darin, dass man auf
diese Weise auch Kurven beschreiben kann,
die keine Funktion darstellen.
x (t )  t 2
y (t )  sin(t )
Radius des Krümmungskreises unendlich sein.
2) Diese Evolute (keine Neil‘sche Parabel) kann nicht
in funktionaler Form dargestellt werden.
x (t )  t 3  t  1
y (t )  t 2
27
Wie viele Bäume müssen fallen?
Evolute, Neil‘sche Parabel, Rollkurven 3
Rollkurven
Gegeben sei ein Punkt auf dem Rad einer Lokomotive mit dem Radius r. Welche Bahn durchläuft dieser Punkt wenn sich das Rad dreht?
Welche Fläche wird dabei überstrichen? Wie
verhält sich ein Punkt, der im Rad liegt? usw.
Wenn ein Kreis auf einer Geraden abrollt,
dann heißt die Bahnkurve, die ein beliebiger
Punkt des Kreises beschreibt, eine Zykloide

x(t )  O Q  O B  Q B  O B  P C  AB  c * sin(t )  rt  c * sin(t )
y (t )  Q P  B C  B M  C M  r  c * cos(t )
Bild einer gespitzten (c=r), verkürzten (r>c) und geschlungenen (r<c) Zykloide
28
KuDi ist gar nicht so tot
Diskussion von parametrisierten Kurven
 x (t )  t 3  t

 y (t )  t 4  4t
Gegeben sei die durch K1:
K2
 x (t )  t 2  1

 y (t )  t 3  t
Diskussionspunkte
beschriebene Kurve.
1.Ableitung K‘:
2.Ableitung K‘‘:
dy
dy dt
y ' (t )


dx dx x ' (t )
dt
y ' (t )
dy
dy dt
d(
)
d( ) d( * )
d y
dx  dt dx * dt  x' (t ) * 1

dx
dt
dx
dt
x ' (t )
dx 2
y ' ' (t ) x ' (t )  y ' (t ) x ' ' (t ) 1 y ' ' (t ) x ' (t )  y ' (t ) x ' ' (t )

*

x ' (t )
( x' (t )) 2
( x' (t )) 3
1.
Nullstellen (y(t)=0)
2.
Y-A-punkte.... (x(t)=0)
3.
Extrema (y‘(t)=0 ^ x‘(t)0)
4.
Schwenkpunkte (x‘(t)=0 ^
2
y‘(t)0)
K1
K2
5.
Wendepunkte
6.
Singuläre Punkte
7.
Doppelpunkte
8.
Mehrfachpunkte
29
KuDi ist gar nicht so tot
Diskussion von parametrisierten Kurven 2
1.
y(t)=0t=0  t=3 4
(x=0,x= 4- 3 4 )
2.
x(t)=0t=-1  t=0  t=1 (y=5,y=0,y= 3)
3.
y‘(t)=0  4t3-4=0 t=1 ; x‘(1)0;
K‘‘(1)>0; also TP; x(1)=0 und y(1)= -3
TP(0;-3)

4.
12 t (t  t  2)
(3t  1)
2
5.
K‘‘(t)=0 
Singulärer Punkt:
7.
Doppelpunk:
0
 t=0 
Gilt x‘(t0) = 0 und y‘(t0)=0, so heißt der
Punkt P(x(t0);y(t0)) singulärer Punkt.
Über das Verhalten der Tangente in diesem
Punkt kann keine allgemeine Aussage
gemacht werden. (Gesonderte
Untersuchung bzgl. Steigung).
(bei K1)
Bei K1 ist für t = 1 und t = -1 x(t) = 0 und
gleichzeitig ist y(t)=0; d.h. die Kurve K1
durchläuft den Ursprung zweimal. Damit
liegt im Ursprung ein Doppelpunkt vor.
1
3
3
x‘(t)=3t2-1=0  t=
S1(0,385 ; 2,421) und S2(-0,385 ; -2,198)
3
6.
8.
Mehrfachpunkt:
Ist ein „Doppelpunkt“, der nicht im
Ursprung liegt. Um ihn zu ermitteln löst
man: x(t1) = x(t2)  y(t1) = y(t2)
t= - 1,52138 => W1(0;0) und W2(-2;11,44)
30
Klassische Mathematik Teil 3
Integrationsverfahren
1.
Integration durch Partialbruchzerlegung
2.
Partielle Integration
3.
Integration durch Substitution
4.
Grenzwertuntersuchungen bei Flächeninhalten und
Volumina
31
KuDi ist gar nicht so tot
Integration von parametrisierten Kurven
1.
2.
Fläche zwischen Kurve und x-Achse
Fläche zwischen Kurve und y-Achse
x2
A
A
 f ( x)dx
Fläche in einer Schleife
4.
Rotation um x-Achse
Rotation um y-Achse

t1
y2
t2
 g ( y)dy


t1
dx
f (t ) * * dt 
dt
dy
g (t ) * * dt 
dt
t2
 y(t ) * x' (t )dt
t1
t2
 x(t ) * y' (t )dt
t1
Nach 1) oder 2) -> gleiches Ergebnis
x2
V 

x1
5.

x1
y1
3.
t2
y2
V 

y1
t2
t2
t1
t1
t2
t2
t1
t1


dx
f ( x ) dx   ( f (t ) * ) 2 * dt   ( y (t ) * x ' (t )) 2 dt
dt
2


dy
g ( y ) dy   ( g (t ) * ) 2 * dt   ( x(t ) * y ' (t )) 2 dt
dt
2
Integration wie Ableitungen unter
Verwendung der Kettenregel
32
KuDi ist gar nicht so tot
Bogenlänge und Krümmung bei parametrisierten Kurven
x2
s
Bogenlänge

t2
1  f ' ( x ) 2 dx 
x1
t2



1 (
t1
dy dt 2 dx
* )
* dt 
dt dx
dt
t2

1 (
t1
y ' (t ) 2
) * x ' (t )dt
x ' (t )
x ' (t ) 2  y ' (t ) 2 dt
t1
k ( x) 
Krümmung
f ' ' ( x)
1  f ' ( x)
2
3

x ' (t ) y ' ' (t )  x ' ' (t ) y ' (t )
( x' (t ))
3
x ' (t )  y ' (t )
2
2
3

x ' (t ) y ' ' (t )  x ' ' (t ) y ' (t )
x ' (t ) 2  y ' (t ) 2
x' (t ) 3 wird dabei auf 1 gesetzt.
3

A1 
Fläche A1 zwischen K und x-Achse
3
4
4
 (t
y (t ) * x ' (t )dt 
0
4
 4t )( 3t 2  1)dt 
0
3 7 t

 3t 4  2t 2   5,14 FE
 t 
5
7

5
0
Fläche A2 zwischen K und y-Achse
A2 

1
y ' (t ) * x (t )dt 
1
0
0
Länge der drei Bögen
s

1
 y' (t ) * x(t )dt  2 FE
3
1
x' (t )  y' (t ) dt 
2
2

0
dt 
4

dt  5,07  3,22  3,93  12,22 LE
1
33
Dreh‘ ich oder dreh‘ ich nicht?
oder:
auch nach oben kann der Platz beschränkt sein
Ein 11 Meter hoher Tannenbaum kann mittels
Schwertransport nicht waagerecht transportiert
werden (siehe Flatterband). Es wird daher überlegt,
ihn senkrecht auf der 1,5 Meter hohen Ladefläche
eines Transporters stehend über eine Straße von
A(schendorf) nach B(apenburg) zu transportieren. Dabei
muss er allerdings eine Überlandleitung unterqueren, die nicht waagerecht verläuft sondern
(vereinfacht dargestellt) gemäß einer fallenden
Geraden im Raum.
Der Straßenverlauf genüge im kritischen Bereich
etwa der Verlauf des Graphen der Funktion f mit
f(x) = 1/4 x2 für –2  x 2, mit 1 LE = 10 Meter und
die Überlandleitung verläuft durch die Spitzen der
beiden Haltemasten mit A(-0,5/1/1,4) und B(0,5/1/1,1). Kann der Transport die Leitung unterqueren?
1.
Geometrisches Problem, die Gerade
wird dreidimensional vektoriell
dargestellt, die Parabel aber funktional
dreidimensionale
parametrisierte Darstellung von f in
der Form
t



2


p(t )   t
 4
0 


2.
Reduktion des Problems auf die
Berechnung des Abstandes zweier
windschiefer Geraden im R3 .
3.
Übertragung des Lösungsweges auf
das gestellte Problem
Der so errechnete minimale Abstand löst
nicht das gestellte Problem!!!!
34
Abstand windschiefer Geraden
differentialgeometrisch betrachtet
Es sei P ein Punkt der Geraden g mit
Und Q sei ein Punkt der Geraden h mit
1
  
p  1
1
 
1.
1 
 
 t *2 
  1
 
2 
2 
 
  
q    1  s *   3
3 
1
 
 

P Q  (q x  p x ) 2  (q y  p y ) 2  (q z  p z ) 2 
 (1  2 s  t ) 2  ( 2  3s  2t ) 2  (2  s  t ) 2 
 14 s 2  6st  12 s  6t 2  10 t  9
Daraus ergibt sich:
f s (t )  14s 2  6st  12s  6t 2  10t  9
Dies liefert für jedes s (fester Punkt Q von h) eine
Parabel in Abhängigkeit von t (jeden Punkt von g),
die den Abstandvon Q zu jedem Punkt P beschreibt.
35
Abstand windschiefer Geraden
differentialgeometrisch betrachtet
Alle Parabeln der Schar haben ein lokales Minimum
(kleinster Abstand). Gesucht ist das kleinste
Minimum in Abhängigkeit von s. Dazu bildet man
die 1. Ableitung von fs(t) nach ds, setzt diese
Ableitung gleich Null und löst nach s auf.
Der gefundene s-Wert wird in f eingesetzt und es
ergibt sich eine Funktion g(t), die Hüllkurve der
Schar fs. Das lokale Minimum der Hüllkurve (nach
t) liefert den gesuchten minimalen Abstand, wenn
man den gefundenen t-Wert mit dem oben
errechneten s-Wert in fs(t) einsetzt und aus dem
Ergebnis die Wurzel zieht.
Am obigen Beispiel ergibt sich:
2.
f s (t )  14 s 2  6st  12 s  6t 2  10 t  9
f ( s, t )
 28 s  6t  12
s
28 s  6t  12  0  s  0,2142 ...( t  2)
 f s  0,2142..... (t )  5,35 ..t 2  7,42 ... t  6,428
df (t )
 18,71 ..t  7,428  0  t  0,693 ...
dt
 s  0,28
 Abs tan d 2  f ( 0,28,0,693 )  3,85333
 min imaler Abs tan d der beiden Geraden ist
3,85333  1,963 LE
36
Hüllkurven
Die oben nach Einsetzen von s in den Term der
Kurvenschar gewonnenen Funktion beschreibt eine
Parabel, die alle Parabeln der Parabelschar fs(t)
einhüllt; die Hüllkurve.
(I)
Hüllkurven
Beispiele
Die Aufgabe, den kleinsten Abstand von zwei
windschiefen Geraden zu ermitteln, führt also
auf den Lösungsansatz, von einer Kurvenschar
das lokale Minimum (Maximum) der zugehörigen Hüllkurve zu bestimmen.
(II)
Abstand von Geraden
zu Kurven
37
(I) Hüllkurve <-> Ortskurve 1
An weiteren z.T. schwereren Beispielen können
weitere Hüllkurven bestimmt werden. Dazu bietet
sich z.B. eine Handreichung9) von FB MüllerSommer vom 15.11.2000 an. „Springbrunnen“,
„Neil‘sche Parabel“ als Hüllkurve aller Normalen
einer Normalparabel, Astroide, Kreishüllkurven
und Parametervariationen können besprochen
werden.
Normalen an
eine Normalparabel werden
von der Ortskurve der
Krümmungskreismittelpunkte eingehüllt.
38
(I) Hüllkurve <-> Ortskurve 2
Vergleich von Ortskurve mit Hüllkurve
(insbesondere die Unterschiede bei der Herleitung)
Gegeben ist die Funktionenschar
1 0,5 x 2 ax
f a ( x)  e
a
k1 ( x )  x * e
0,5 x 2 1
1 0,5 x 2
*e
x
Untersuchen Sie, in welchem Zusammenhang die Funktionenschar fa
mit folgenden Kurven steht
Lösung: k2 ist Ortskurve der Extrema
k3 und k4 sind Ortskurven der
Wendepunkte
und k1 ist die Hüllkurve.
k 2 ( x) 
2
1
k 3 ( x) 
* e 0,5 x  x
x 1
k 4 ( x) 
2
1
* e 0,5 x  x
x 1
39
Abstand von Geraden zu Kurven
Die Vorgehensweise ist prinzipiell die gleiche wie bei 2
Geraden. Allerdings wird der Term für fs(t) erheblich
komplexer und schwieriger. Darüber hinaus kann es
sowohl für s als folgend für t mehrere Lösungen geben,
die auf Minimum/Maximum und dann bei eventuell
zwei Minima auf das gesuchte Minimum untersucht
werden müssen.
Wird der Grad der Kurvenfunktion 3 oder gar 4 oder
wird die Kurve über einen Exponentialterm angegeben,
kann es sein, dass selbst der TI Voyage aussteigt und
keine Lösung liefert (auch Derive ist dann am Ende).
Für die gestellte Aufgabe von oben
ergibt sich folgende Lösung.
P sei ein Punkt der Straße und Q
einer der Überlandleitung.
t

  0,5 
1







2


 q (t )  1
p (t )   t
 s * 2 

 4
1,4 
  0,3
0 






2
2
P Q  f s (t )  ( 0,5  s  t ) 2  (1  2 s  t ) 2  (1,4  0,3s ) 2
4
 5,09 s 2  st 2  2 st  5,84 s..........
f ( s, t )
 10,18 s  t 2  2t  5,84  g ( s )
s
g ( s )  0  s  0,098 ..( t 2  2t  5,84 )
Subst. f (t )  0,098 ...t 4  ........
df (t )
 0,05t 3  ........  0  t  0,08
dt
 s  0,589  f (0,589 ,0,08 )  1,5288
 Abs tan d  1,23645 LE  12 ,365 Meter
Dies ist aber nicht die Lösung
des Problems!!!!
40
Ente gut- Gans noch besser
(frei nach Bernd Stelter)
12,365 Meter ist zwar des geringste Abstand der
Überlandleitung von der Straße, aber es ist nicht der
Abstand senkrecht oberhalb der Straße, da der Vektor
PQmin ja senkrecht auf der Straße aber auch senkrecht
auf der Leitung steht; und das ist nicht genau oberhalb
der Straße der Fall.
Um das obige Problem zu lösen, bedarf es dieser
aufwendigen Abstandsberechnung nicht. Man
projeziert die Überlandleitung auf die x-y-Ebene in
der die Straße verläuft, bringt Gerade mit Kurve zum
Schnitt und erhält dabei je einen s- und t-Wert. Diese
Werte setzt man dann in fs(t) ein und erhält den
gesuchten Abstand.
Im Beispiel ergibt sich:
t
   0,5  s 

 
2
t
  1  2 s   2 x 2 System
 4 

0  0



s  0,5  t  0 oder s  7,5  t   8
2.Lösung nicht int eressant; also
f (0,5;0)  1,5625  Abs tan d  1,5625
 1,25 LE  12 ,5Meter
Der Transporter passt also gerade
- mit Berührung - unter der
Leitung durch.
(muss das Bäumchen halt etwas gekappt werden)
41
Literaturverzeichnis
1.
Kroll / Vaupel, Analysis Band 2
Dümmler-Verlag, 4282 (rot)
2.
Kroll / Vaupel, Analysis Band 1
Dümmler-Verlag, 4281 (grün)
3.
Steinberg/Ebenhöh, Aufgaben zur
Analysis, Schroedel, 73225
7.
H.-W. Henn, Realitätsnaher Mathematikunterricht mit Derive, DümmlerVerlag, 4565
8.
Materialien aus AMMuNT auf CD
9.
Materialien Regionale Lehrerfortbildung Vechta, Müller-Sommer
10.
Materialien Regionale Lehrerfortbildung Vechta, J. Rolfs
4.
Baumann, Analysis 1, Klett, 739512
5.
Baumann, Analysis 2, Klett, 739514
11.
Facharbeiten 1999 – 2002 am Gym.
Papenburg
6.
Kayser, Analysis mit Derive,
Dümmler-Verlag, 4523
12.
Reidt/Wolf/Athen, Elemente der Mathematik Band 3, Schroedel, 1964
42
Literaturverzeichnis 2.
13.
Knechtel, Weiskirch; Abituraufgaben mit
Graphikrechnern +Taschencomputern I;
Schroedel-Verlag 73237
14. Knechtel, Weiskirch; Abituraufgaben mit
Graphikrechnern +Taschencomputern II;
Schroedel-Verlag 73238
15. Röttger, Fulge u.a; Neue Ideen im Mathematikunterricht SII Differentialrechnung;
Schroedel-Verlag 73235
17. Weigand; Neue Materialien für den
Mathematikunterricht SII „Wie die
Mathematik in die Umwelt kommt“;
Schroedel-Verlag 73236
18. Aufgabensammlung A. Langendörfer
in Klausurenmappe.
16. Steinberg; Polarkoordinaten; SchroedelVerlag 03364
43