Kein Folientitel - HCU Hamburg

Potenzen
der Linearen Algebra
Stufen der Verallgemeinerung und ihre
didaktische Umsetzung in der Lehre
Fakultät für Ingenieurwissenschaften
Prof. Dr. Dieter Schott
E-Post: [email protected]
www.et.hs-wismar.de/schott
Hamburg, Februar 2015
D. Schott: Potenzen der Linearen Algebra, 12. WS Hamburg 2015
Überblick
Skalare und Vektoren
ƒ Skalarprodukt, Vektorprodukt, Spatprodukt
ƒ Vektorraum – Linearer Raum
ƒ Allgemeines Skalarprodukt
ƒ Matrizen und Skalarprodukte / Vektorprodukte
ƒ Determinanten und Parallelotopprodukte
ƒ Allgemeines Vektorprodukt
ƒ Lineare Abbildungen
ƒ Bilinearformen
ƒ
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Einordnung
Lineare Algebra relativ jung
ƒ Tor zur Algebra, (mehrdimensionalen, Funktional-)
Analysis
ƒ Geometrische, physikalische Vorstellungen
ƒ Strauß, Rögner, Wismar WFR 05/2006
ƒ LA und EW, TUMULT
ƒ Junglas, Bochum, WFR 03/2013
ƒ LA und Roboter
ƒ
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Skalare und Vektoren (im Raum)
Skalar (Zahl):
ƒ Länge (+), Arbeit, Energie (±)
ƒ Vektor (Verschiebung, Pfeil): Länge (Betrag), Richtung
(orientierte Gerade); Kraft, Moment
ƒ Darstellungen (Koordinaten: Vektor ÅÆ Punkt)
ƒ
a = (ax , ay , az )T = ax ex + aye y + az ez ONB
a = | a | ea = | a |(cosα,cos β ,cos γ )T ONB
a = λ1b1 + λ2b2 + λ3b3 B
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Elementare Operationen (Struktur)
Addition: Verkettung von Verschiebungen
ƒ entgegengesetzter Vektor: Orientierungsänderung
ƒ Subtraktion
ƒ Multiplikation mit positivem Skalar: Streckung
ƒ Skalarmultiplikation: orientierte Streckung
ƒ
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Skalarprodukt (Ebene, Raum)
Physikalische Motivation
ƒ Arbeit (Skalar): Kraft x Weg
ƒ Sonderfall (Schule): W = F · s
ƒ Vektorfall: W = < F,s > = F · s · cos φ(F,s)
ƒ [ Analysis: ∫ < F(x),s(x) > dx ]
ƒ Skalarprodukt (koordinatenfreie Definition)
ƒ <a,b> = a · b · cos φ(a,b)
ƒ
Winkel (spitz, stumpf)
Orthogonalität, Projektion
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Vektorprodukt (Raum)
Physikalische Motivation
ƒ Moment (Vektor): Kraft x Abstand (vom Drehpunkt)
ƒ Sonderfall (Schule): M = F · r (senkrechter Abstand)
ƒ Vektorfall: M(O) = r(OP) x F
ƒ Vektorprodukt (koordinatenfrei):
ƒ c = a x b: c ┴ a,b , c = a·b·sinφ(a,b) Parallelogramm
ƒ (a,b,c) Rechtssystem Æ b x a = - a x b
ƒ
Orthogonalität, Orientierung
Flächen (Parallelogramm, Dreieck)
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Spatprodukt (Raum)
Spatprodukt: < a,b,c > = < a x b,c > = - < b,a,c >
ƒ Spatvolumen: Betrag (bei Quader abc)
ƒ Orientierung dreier Vektoren (Rechts- u. Linkssystem)
ƒ Unabhängigkeit dreier Vektoren
ƒ Abstände (Punkt-Ebene, Gerade-Gerade)
ƒ
Spat
Parallelotop
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Koordinatendarstellung (Raum)
< a, b > = ax bx + a y by + az bz
| a |2 = < a, a >
⎛ a y bz − az by ⎞
⎜
⎟
a × b = ⎜ az bx − ax bz ⎟
⎜a b −a b ⎟
y x⎠
⎝ x y
< a, b, c > = ax by cz + a y bz c x + az bx c y
− ax bz c y − a y bx cz − az by c x
Betrag, Winkel
Kreuzregel
Parallelogrammprodukt
Sarrus-Regel
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Geometrie: Parametergleichungen
r =a
r = a + λu
r = a + λ1u1 + λ2u2
Punkt
Gerade
Ebene
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Normalengleichung
< n, r > = d = < n,a >
ƒ n Normalenvektor, r allgemeiner Ortsvektor
ƒ Hesse-Form
ƒ Ebene: Gerade
ƒ Raum: Ebene
ƒ
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Raum – Vektorraum – Linearer Raum
R2 ← R3 → R n → X , R × X
a+b
0, − a, λ a, a − b
A = {a1 , a2 ,..., am }, lin( A)
Vektoren, Matrizen
Polynome, Folgen, Funktionen
Lineare Abbildungen
Lin. Teilraum
Lin. Unabhängigkeit
Rang
Basis
Dimension
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Geometrie
r =a
Affin-lineare Teilräume
r = a + λu
r = a + λ1u1 + ... + λmum
Punkt: Dimension 0
< n, r >= d =< n, a >
Hyperebene (Kodimension 1)
Gerade: Dimension 1
Dimension m
Lineare Gleichung
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Euklidischer Raum, Skalarprodukte
Axiome Skalarprodukt
ƒ <a,a> ≥ 0, <a,a> = 0 Æ a = 0
ƒ <a,b> = <b,a>
ƒ <a+b,c> = <a,c> + <b,c>
ƒ <λ·a,b> = λ · <a,b>
Betrag
a² = | a |² = <a,a>
Winkel
spitz, stumpf
orthogonal
ƒ
∑ab
< a, b > = ∑ λ a b , λ > 0
< a , b > = ∫ a ( x ) ⋅ b ( x ) dx
< a, b > =
i
i
i
i
i
i
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Fourier-Entwicklungen
V ≈ R = Ln ⊇ Lm, m ≤ n
n
n
m
pr(a | Lm ) = ∑< a, ei > ei ,
i =1
n
a = ∑< a, ei > ei ,
i =1
{ei } ONS
{ei } ONB
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Matrizen
Matrix: horizontale Erweiterung eines Vektors (mehr als
eine Spalte), Zeile und Zahl als Sonderfälle,
ƒ Elementare Operationen: A+B, -A, λ · A
T
ƒ Transponieren: A
T
ƒ Skalarprodukt im Matrizenkalkül: < a,b > =a ⋅ b
ƒ Matrizen als Abbildungen: y = A · x
ƒ Matrixprodukt: A · B (Formatbedingung)
ƒ B · A ≠ A · B, A · B = O für gewisse A ≠ O oder B ≠ O
ƒ Umkehrabbildung (inverse Matrix): existiert nicht immer!
ƒ
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Determinanten als Parallelotopprodukt
nxn – Matrix (quadratisch), N · r = d lineares Gls.
ƒ Determinante Funktional det(.), das genau dann nicht
verschwindet, wenn Matrix invertierbar ist
ƒ Induktiv:
ƒ für n=2: Kreuzregel, Parallelogrammprodukt
ƒ für n=3: Sarrus-Regel, Spatprodukt
ƒ für n: Entwicklungssatz (Laplace), Parallelotopprodukt
ƒ Geometrie: Invertierbarkeit, falls Parallelotop nicht
entartet (Inhalt ungleich 0)
ƒ
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Matrizen als Abbildungen
⎛ cosϕ −sinϕ ⎞
Dϕ = ⎜
, det(Dϕ ) = 1
⎟
⎝ sinϕ cosϕ ⎠
⎛ cosϕ sinϕ ⎞
Sϕ = ⎜
, det(Sϕ ) = −1
⎟
⎝ sinϕ −cosϕ ⎠
−1
T
Dϕ ⋅ Dψ = Dψ ⋅ Dϕ = Dϕ+ψ , Dϕ = Dϕ = D−ϕ
−1
Sϕ = S0 ⋅ Dϕ = D−ϕ ⋅ S0 = Sϕ = Sϕ
T
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Matrizen als Abbildungen (Forts.)
B⋅ B = E ⇒ det(B) = ±1
Bewegung
det(B) = 1, B⋅ r = r, det(B − E) = 0
det(B) = −1
Drehung
T
C =λ⋅B
Orthogonale Matrizen B
Orthonormalbasen
Koordinatentransformationen
Umlegung
Ähnlichkeits-T.
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Schreibweisen des Vektorproduktes
⎛ ex ey ez ⎞ ⎛ 0 −az ay ⎞ ⎛ bx ⎞
⎜
⎟ ⎜
⎟⎜ ⎟
0 −ax ⎟ ⋅ ⎜ by ⎟
a ×b =det ⎜ ax ay az ⎟ = ⎜ az
⎜ bx by bz ⎟ ⎜ −ay ax 0 ⎟ ⎜ b ⎟
⎝
⎠ ⎝
⎠ ⎝ z⎠
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Verallgemeinerung Vektorprodukt
Rn (n ≥ 3, n = 2)
a1 × a2 ×... × an−1 = × (a1, a2 ,..., an−1 ) = c
n=2
c ⊥ lin{a1, a2 ,..., an−1} O − Hyperebene
| c |= | det ( a1, a2 ,..., an−1, ec ) | = I [a1, a2 ,..., an−1 ]
0 ≤ det ( a1, a2 ,..., an−1, c )
< c, an > = det ( a1, a2 ,..., an−1, an )
⎛ e1 e 2 L e n ⎞
⎜
⎟
a
a
L
1,1
1, n
⎜
⎟
c = det
⎜M
⎟
M
⎜⎜
⎟⎟
⎝ a n −1,1 ... a n −1, n ⎠
Vektorprodukt 0,
falls Faktoren linear
abhängig
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Lineare Abbildungen (Operatoren)
A(λ1 x1 + λ2 x2 ) = λ1 Ax1 + λ2 Ax2
A x = b, A Ax = A b
T
T
T
T
X ( A, b), X ( A A, A b)
Ax = λ ⋅ x, y = Ax + b
A: Differential- oder Integraloperator
Affin-linear
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Bilearformen
X ,Y , Y = L( X , X )
< x, y >
< x, y > = 0
< x, y > ≥ 0
Lineare Funktionale
Orthogonalität
Kegel (Halbordnung)
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